Metodi di modellizzazione matematica in economia. Metodi matematici nell'analisi economica

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Introduzione

La modellazione nella ricerca scientifica iniziò ad essere utilizzata nei tempi antichi e gradualmente catturò nuove aree della conoscenza scientifica: progettazione tecnica, edilizia e architettura, astronomia, fisica, chimica, biologia e, infine, scienze sociali. Grande successo e il riconoscimento in quasi tutti i rami della scienza moderna ha portato il metodo di modellizzazione del ventesimo secolo. Tuttavia, la metodologia di modellazione per molto tempo sviluppato indipendentemente da scienze separate. Non esisteva un sistema unificato di concetti, né una terminologia unificata. Solo gradualmente si cominciò a realizzare il ruolo della modellazione come metodo universale di conoscenza scientifica.

Il termine "modello" è ampiamente utilizzato in vari campi attività umana e ha molti significati semantici. Consideriamo solo questi “modelli” che sono strumenti per ottenere conoscenza.

Un modello è un oggetto materiale o immaginato mentalmente che, nel processo di ricerca, sostituisce l'oggetto originale in modo che il suo studio diretto fornisca nuova conoscenza sull'oggetto originale.

La modellazione si riferisce al processo di costruzione, studio e applicazione dei modelli. È strettamente correlato a categorie come astrazione, analogia, ipotesi, ecc. Il processo di modellazione include necessariamente la costruzione di astrazioni, inferenze per analogia e la costruzione di ipotesi scientifiche.

La caratteristica principale della modellazione è che si tratta di un metodo di cognizione indiretta che utilizza oggetti proxy. Il modello agisce come una sorta di strumento cognitivo che il ricercatore pone tra sé e l'oggetto e con l'aiuto del quale studia l'oggetto di suo interesse. È questa caratteristica del metodo di modellazione che determina le forme specifiche di utilizzo di astrazioni, analogie, ipotesi e altre categorie e metodi di cognizione.

La necessità di utilizzare il metodo di modellazione è determinata dal fatto che molti oggetti (o problemi relativi a questi oggetti) sono impossibili da studiare direttamente, oppure questa ricerca richiede molto tempo e denaro.

Il processo di modellazione comprende tre elementi: 1) il soggetto (ricercatore), 2) l'oggetto della ricerca, 3) un modello che media la relazione tra il soggetto cognitivo e l'oggetto conoscibile.

Lascia che ci sia o sia necessario creare un oggetto A. Costruiamo (materialmente o mentalmente) o troviamo nel mondo reale un altro oggetto B - un modello dell'oggetto A. La fase di costruzione di un modello presuppone la presenza di una certa conoscenza dell'oggetto originale . Le capacità cognitive del modello sono determinate dal fatto che il modello riflette tutte le caratteristiche essenziali dell'oggetto originale. La questione della necessità e del grado sufficiente di somiglianza tra l'originale e il modello richiede un'analisi specifica. Ovviamente il modello perde di significato sia nel caso di identità con l'originale (quindi cessa di essere un originale), sia nel caso di eccessiva differenza dall'originale sotto tutti gli aspetti significativi.

Pertanto, lo studio di alcuni lati dell'oggetto modellato viene effettuato a costo di rifiutarsi di riflettere altri lati. Pertanto, qualsiasi modello sostituisce l'originale solo in senso strettamente limitato. Ne consegue che per un oggetto si possono costruire più modelli “specializzati”, concentrando l'attenzione su alcuni aspetti dell'oggetto studiato o caratterizzando l'oggetto con diversi gradi di dettaglio.

Nella seconda fase del processo di modellazione, il modello funge da oggetto di studio indipendente. Una delle forme di tale ricerca è la conduzione di esperimenti “modello”, in cui le condizioni operative del modello vengono deliberatamente modificate e i dati sul suo “comportamento” vengono sistematizzati. Il risultato finale di questo passaggio è un patrimonio di conoscenze sul modello R.

Nella terza fase, la conoscenza viene trasferita dal modello all'originale: la formazione di un insieme di conoscenze S sull'oggetto. Questo processo di trasferimento delle conoscenze viene effettuato da certe regole. La conoscenza del modello deve essere adeguata tenendo conto delle proprietà dell'oggetto originale che non sono state riflesse o sono state modificate durante la costruzione del modello. Possiamo, con sufficiente ragione, trasferire qualsiasi risultato da un modello all'originale se questo risultato è necessariamente associato a segni di somiglianza tra l'originale e il modello. Se un determinato risultato di uno studio su modello è associato alla differenza tra il modello e l'originale, è illegale trasferire questo risultato.

La quarta fase è la verifica pratica delle conoscenze ottenute con l'ausilio di modelli e il loro utilizzo per costruire una teoria generale dell'oggetto, della sua trasformazione o controllo.

Per comprendere l'essenza della modellazione è importante non perdere di vista il fatto che la modellazione non è l'unica fonte di conoscenza su un oggetto. Il processo di modellazione è “immerso” in un processo cognitivo più generale. Questa circostanza viene presa in considerazione non solo nella fase di costruzione del modello, ma anche nella fase finale, quando avviene la combinazione e la generalizzazione dei risultati della ricerca ottenuti sulla base di diversi mezzi di cognizione.

La modellazione è un processo ciclico. Ciò significa che il primo ciclo di quattro fasi può essere seguito da un secondo, un terzo, ecc. Allo stesso tempo, la conoscenza dell'oggetto in studio viene ampliata e perfezionata e il modello iniziale viene gradualmente migliorato. Le carenze scoperte dopo il primo ciclo di modellazione, dovute alla scarsa conoscenza dell'oggetto e ad errori nella costruzione del modello, potranno essere corrette nei cicli successivi. Pertanto, la metodologia di modellazione contiene grandi opportunità di auto-sviluppo.

1. Caratteristiche dell'applicazione del metodo matematicomodellizzazione in economia

La penetrazione della matematica nell’economia implica il superamento di notevoli difficoltà. Ciò è dovuto in parte alla matematica, che si è sviluppata nel corso di diversi secoli principalmente in relazione alle esigenze della fisica e della tecnologia. Ma le ragioni principali risiedono ancora nella natura processi economici, nello specifico scienza economica.

La maggior parte degli oggetti studiati dalla scienza economica possono essere caratterizzati dal concetto cibernetico di un sistema complesso.

La comprensione più comune di un sistema è come un insieme di elementi che interagiscono e formano una certa integrità, unità. Una qualità importante di qualsiasi sistema è l'emergenza: la presenza di proprietà che non sono inerenti a nessuno degli elementi inclusi nel sistema. Pertanto, quando si studiano i sistemi, non è sufficiente utilizzare il metodo di dividerli in elementi e poi studiarli separatamente. Una delle difficoltà della ricerca economica è che non esistono quasi oggetti economici che possano essere considerati elementi separati (non sistemici).

La complessità di un sistema è determinata dal numero di elementi in esso inclusi, dalle connessioni tra questi elementi, nonché dalla relazione tra il sistema e l'ambiente. L'economia del paese presenta tutte le caratteristiche di un sistema molto complesso. Lei unisce numero enorme elementi, si distingue per una varietà di connessioni interne e connessioni con altri sistemi (ambiente naturale, economie di altri paesi, ecc.). IN economia nazionale interagiscono processi naturali, tecnologici, sociali, fattori oggettivi e soggettivi.

La complessità dell’economia veniva talvolta vista come una giustificazione per l’impossibilità di modellizzarla e studiarla utilizzando la matematica. Ma questo punto di vista è fondamentalmente sbagliato. Puoi modellare un oggetto di qualsiasi natura e di qualsiasi complessità. E sono proprio gli oggetti complessi ad essere di maggiore interesse per la modellistica; È qui che la modellizzazione può fornire risultati che non possono essere ottenuti con altri metodi di ricerca.

Potenziale opportunità modellazione matematica di qualsiasi oggetto e processo economico non significa, ovviamente, la sua fattibilità con successo questo livello conoscenze economiche e matematiche, informazioni specifiche disponibili e tecnologia informatica. E sebbene sia impossibile indicare i limiti assoluti della formalizzabilità matematica dei problemi economici, ci saranno sempre problemi non formalizzati, così come situazioni in cui la modellizzazione matematica non è sufficientemente efficace.

2. Classificazione emodelli economici e matematici

I modelli matematici dei processi e dei fenomeni economici possono essere più brevemente chiamati modelli economico-matematici. Per classificare questi modelli vengono utilizzate basi diverse.

In base allo scopo previsto, i modelli economici e matematici si dividono in modelli teorici e analitici utilizzati nella ricerca proprietà generali e modelli di processi economici e quelli applicati utilizzati nella risoluzione di specifici problemi economici (modelli di analisi economica, previsione, gestione).

I modelli economici e matematici possono essere destinati a studiare diversi aspetti dell'economia nazionale (in particolare, le sue strutture produttive, tecnologiche, sociali, territoriali) e le sue singole parti. Quando si classificano i modelli in base ai processi economici e alle questioni sostanziali in studio, si possono distinguere i modelli dell'economia nazionale nel suo insieme e i suoi sottosistemi: industrie, regioni, ecc., Complessi di modelli di produzione, consumo, generazione e distribuzione del reddito, risorse lavorative, prezzi, rapporti finanziari, ecc. .d.

Soffermiamoci più in dettaglio sulle caratteristiche di tali classi di modelli economici e matematici, che sono associati alle maggiori caratteristiche della metodologia e delle tecniche di modellazione.

Secondo la classificazione generale dei modelli matematici, sono suddivisi in funzionali e strutturali e comprendono anche forme intermedie (strutturale-funzionali). Nella ricerca a livello economico nazionale, i modelli strutturali sono più spesso utilizzati, poiché per la pianificazione e la gestione grande valore avere interconnessioni tra sottosistemi. I modelli strutturali tipici sono modelli di connessioni intersettoriali. I modelli funzionali sono ampiamente utilizzati nella regolamentazione economica, quando il comportamento di un oggetto (“output”) è influenzato dalla modifica dell’“input”. Un esempio è il modello del comportamento del consumatore nelle condizioni delle relazioni merce-denaro. Lo stesso oggetto può essere descritto simultaneamente sia da una struttura che da un modello funzionale. Ad esempio, per pianificare un sistema industriale separato, viene utilizzato un modello strutturale e, a livello economico nazionale, ciascun settore può essere rappresentato da un modello funzionale.

Le differenze tra modelli descrittivi e normativi sono già state mostrate sopra. I modelli descrittivi rispondono alla domanda: come avviene questo? o come molto probabilmente ciò potrebbe svilupparsi ulteriormente?, vale a dire spiegano solo fatti osservati o forniscono una previsione plausibile. I modelli normativi rispondono alla domanda: come dovrebbe essere? coinvolgono attività mirate. Un tipico esempio di modelli normativi sono i modelli di pianificazione ottimale, che formalizzano in un modo o nell'altro gli obiettivi di sviluppo economico, le opportunità e i mezzi per raggiungerli.

L'uso di un approccio descrittivo nella modellizzazione economica è spiegato dalla necessità di identificare empiricamente varie dipendenze nell'economia e stabilire modelli statistici di comportamento economico gruppi sociali, studiando i probabili percorsi di sviluppo di eventuali processi in condizioni invariate o che si verificano senza influenze esterne. Esempi di modelli descrittivi sono le funzioni di produzione e le funzioni di domanda dei consumatori costruite sulla base dell'elaborazione statistica dei dati.

Il fatto che un modello economico-matematico sia descrittivo o normativo dipende non solo dalla sua struttura matematica, ma dalla natura dell'uso di questo modello. Ad esempio, il modello input-output è descrittivo se viene utilizzato per analizzare le proporzioni del periodo passato. Ma questo stesso modello matematico diventa normativo quando viene utilizzato per calcolare opzioni equilibrate per lo sviluppo dell’economia nazionale che soddisfino i bisogni finali della società a standard di costi di produzione pianificati.

Molti modelli economici e matematici combinano caratteristiche di modelli descrittivi e normativi. Una situazione tipica è quando un modello normativo di una struttura complessa combina singoli blocchi, che sono modelli descrittivi privati. Per esempio, modello intersettoriale può includere funzioni della domanda dei consumatori che descrivono il comportamento dei consumatori quando il reddito cambia. Tali esempi caratterizzano la tendenza a combinare efficacemente approcci descrittivi e normativi per modellare i processi economici. L'approccio descrittivo è ampiamente utilizzato nella modellazione di simulazione.

In base alla natura della riflessione delle relazioni di causa-effetto, viene fatta una distinzione tra modelli strettamente deterministici e modelli che tengono conto della casualità e dell'incertezza. È necessario distinguere tra incertezza descritta da leggi probabilistiche e incertezza per la descrizione della quale non sono applicabili le leggi della teoria della probabilità. Il secondo tipo di incertezza è molto più difficile da modellizzare.

Secondo i metodi di riflessione del fattore tempo, i modelli economici e matematici sono divisi in statici e dinamici. Nei modelli statici, tutte le dipendenze si riferiscono a un momento o periodo di tempo. I modelli dinamici caratterizzano i cambiamenti nei processi economici nel tempo. In base alla durata del periodo di tempo considerato, i modelli di previsione e pianificazione a breve termine (fino a un anno), a medio termine (fino a 5 anni), a lungo termine (10-15 o più anni) differiscono. Il tempo stesso nei modelli economici e matematici può cambiare in modo continuo o discreto.

I modelli dei processi economici sono estremamente diversi sotto forma di dipendenze matematiche. È particolarmente importante evidenziare la classe di modelli lineari che sono più convenienti per l'analisi e i calcoli e, di conseguenza, si sono diffusi. Le differenze tra modelli lineari e non lineari sono significative non solo da un punto di vista matematico, ma anche da un punto di vista teorico ed economico, poiché molte dipendenze nell'economia sono fondamentalmente di natura non lineare: efficienza nell'uso delle risorse con aumento della produzione, cambiamenti della domanda e del consumo della popolazione con aumento della produzione, cambiamenti della domanda e del consumo della popolazione con aumento dei redditi, ecc. La teoria dell'"economia lineare" differisce in modo significativo dalla teoria dell'"economia non lineare". Le conclusioni sulla possibilità di combinare pianificazione centralizzata e indipendenza economica dei sottosistemi economici dipendono in modo significativo dal fatto che si presuma che gli insiemi di possibilità di produzione dei sottosistemi (industrie, imprese) siano convessi o non convessi.

In base al rapporto tra variabili esogene ed endogene incluse nel modello, queste possono essere suddivise in aperte e chiuse. Non esistono modelli completamente aperti; il modello deve contenere almeno una variabile endogena. Modelli economici e matematici completamente chiusi, vale a dire escludendo le variabili esogene, sono estremamente rari; la loro costruzione richiede la completa astrazione dall’“ambiente”, cioè grave ingrossamento dei sistemi economici reali che hanno sempre collegamenti esterni. La stragrande maggioranza dei modelli economici e matematici occupa una posizione intermedia e differisce nel grado di apertura (chiusura).

Per i modelli a livello economico nazionale, la divisione in aggregati e dettagliati è importante.

A seconda che i modelli economici nazionali includano o meno fattori e condizioni spaziali, viene fatta una distinzione tra modelli spaziali e modelli puntuali.

Pertanto, la classificazione generale dei modelli economici e matematici comprende più di dieci caratteristiche principali. Con lo sviluppo della ricerca economica e matematica, il problema della classificazione dei modelli utilizzati diventa più complicato. Insieme all’emergere di nuovi tipi di modelli (soprattutto tipi misti) e nuove caratteristiche della loro classificazione, viene effettuato il processo di integrazione del modello diversi tipi in strutture modello più complesse.

3 . Fasi delle economieo-modellazione matematica

Le fasi principali del processo di modellazione sono già state discusse in precedenza. In vari rami del sapere, compresa l'economia, acquisiscono caratteristiche specifiche. Analizziamo la sequenza e il contenuto delle fasi di un ciclo di modellizzazione economica e matematica.

1. Enunciazione del problema economico e sua analisi qualitativa. La cosa principale qui è formulare chiaramente l'essenza del problema, le ipotesi fatte e le domande a cui sono richieste risposte. Questa fase include l'identificazione delle caratteristiche e delle proprietà più importanti dell'oggetto modellato e l'astrazione da quelle minori; studiare la struttura di un oggetto e le dipendenze di base che collegano i suoi elementi; formulare ipotesi (almeno preliminari) che spieghino il comportamento e lo sviluppo dell'oggetto.

2. Costruzione di un modello matematico. Questa è la fase di formalizzazione di un problema economico, esprimendolo sotto forma di specifiche dipendenze e relazioni matematiche (funzioni, equazioni, disuguaglianze, ecc.). Di solito, viene prima determinata la progettazione (tipo) principale di un modello matematico, quindi vengono specificati i dettagli di questa progettazione (un elenco specifico di variabili e parametri, la forma delle connessioni). Pertanto, la costruzione del modello è a sua volta suddivisa in più fasi.

È sbagliato crederlo più fatti tiene conto del modello, meglio “funziona” e dà risultati migliori. Lo stesso si può dire di caratteristiche della complessità del modello come le forme di dipendenze matematiche utilizzate (lineari e non lineari), tenendo conto di fattori di casualità e incertezza, ecc. L’eccessiva complessità e macchinosità del modello complicano il processo di ricerca. È necessario tenere conto non solo delle reali capacità delle informazioni e del supporto matematico, ma anche confrontare i costi della modellazione con l'effetto risultante (all'aumentare della complessità del modello, l'aumento dei costi può superare l'aumento dell'effetto) .

Una delle caratteristiche importanti dei modelli matematici è il potenziale del loro utilizzo per risolvere problemi di diversa qualità. Pertanto, anche di fronte a un nuovo problema economico, non è necessario sforzarsi di “inventare” il modello; Per prima cosa bisogna provare ad applicare modelli già conosciuti per risolvere questo problema.

Nel processo di costruzione del modello, viene effettuato un confronto tra due sistemi di conoscenza scientifica: economico e matematico. È naturale sforzarsi di ottenere un modello che appartenga a una classe di problemi matematici ben studiata. Spesso questo può essere fatto semplificando un po’ i presupposti iniziali del modello, senza distorcere le caratteristiche essenziali dell’oggetto modellato. Tuttavia, è possibile anche una situazione in cui la formalizzazione di un problema economico porta ad una struttura matematica precedentemente sconosciuta. Le esigenze della scienza e della pratica economica nella metà del XX secolo. ha contribuito allo sviluppo della programmazione matematica, della teoria dei giochi, dell'analisi funzionale, matematica computazionale. È probabile che in futuro lo sviluppo della scienza economica diventi uno stimolo importante per la creazione di nuove branche della matematica.

3. Analisi matematica del modello. Lo scopo di questa fase è chiarire le proprietà generali del modello. Qui vengono utilizzati metodi di ricerca puramente matematici. Maggior parte punto importante- dimostrazione dell'esistenza delle soluzioni nel modello formulato (teorema di esistenza). Se ciò può essere dimostrato problema di matematica non ha una soluzione, quindi non è necessario lavorare ulteriormente sulla versione originale del modello; bisognerebbe aggiustare o la formulazione del problema economico o i metodi della sua formalizzazione matematica. Durante lo studio analitico del modello, domande come, ad esempio, se la soluzione è unica, quali variabili (incognite) possono essere incluse nella soluzione, quali saranno le relazioni tra loro, in che misura e in base a quali condizioni iniziali cambiano, quali sono le tendenze del loro cambiamento, vengono chiarite ecc. Uno studio analitico di un modello, rispetto a uno empirico (numerico), ha il vantaggio che le conclusioni ottenute rimangono valide per vari valori specifici dei parametri esterni ed interni del modello.

Conoscere le proprietà generali di un modello è così importante che spesso, per dimostrare tali proprietà, i ricercatori idealizzano deliberatamente il modello originale. Eppure, i modelli di oggetti economici complessi sono molto difficili da studiare analiticamente. Nei casi in cui i metodi analitici non riescono a determinare le proprietà generali del modello e le semplificazioni del modello portano a risultati inaccettabili, si passa ai metodi di ricerca numerica.

4. Preparazione delle informazioni di base. La modellazione pone requisiti severi al sistema informativo. Allo stesso tempo, le reali possibilità di ottenere informazioni limitano la scelta dei modelli destinati all'uso pratico. In questo caso viene presa in considerazione non solo la possibilità fondamentale di preparare le informazioni (entro un certo intervallo di tempo), ma anche i costi per preparare le corrispondenti matrici di informazioni. Tali costi non dovrebbero superare l’effetto dell’utilizzo di informazioni aggiuntive.

Nel processo di preparazione delle informazioni, sono ampiamente utilizzati metodi di teoria della probabilità, statistica teorica e matematica. Nella modellizzazione economica e matematica dei sistemi, le informazioni iniziali utilizzate in alcuni modelli sono il risultato del funzionamento di altri modelli.

5. Soluzione numerica. Questa fase comprende lo sviluppo di algoritmi per la soluzione numerica del problema, la compilazione di programmi informatici e calcoli diretti. Le difficoltà di questa fase sono dovute principalmente alla grande dimensione dei problemi economici e alla necessità di elaborare quantità significative di informazioni.

In genere, i calcoli che utilizzano un modello economico-matematico sono di natura multivariata. Grazie all'elevata velocità dei computer moderni, è possibile condurre numerosi esperimenti “modello”, studiando il “comportamento” del modello sotto vari cambiamenti in determinate condizioni. La ricerca condotta con metodi numerici può integrare in modo significativo i risultati della ricerca analitica e per molti modelli è l'unica fattibile. La classe dei problemi economici che possono essere risolti con metodi numerici è molto più ampia della classe dei problemi accessibili alla ricerca analitica.

6. Analisi dei risultati numerici e loro applicazione. In questa fase finale del ciclo sorge la domanda sulla correttezza e completezza dei risultati della modellazione, sul grado di applicabilità pratica di quest'ultimo.

I metodi di verifica matematica possono identificare costruzioni di modelli errate e quindi restringere la classe di modelli potenzialmente corretti. L'analisi informale delle conclusioni teoriche e dei risultati numerici ottenuti attraverso il modello, confrontandoli con le conoscenze esistenti e i fatti della realtà, consente anche di rilevare carenze nella formulazione del problema economico, nel modello matematico costruito e nelle sue informazioni e supporto matematico.

Relazioni tra fasi. Prestiamo attenzione alle connessioni reciproche delle fasi che sorgono a causa del fatto che nel processo di ricerca vengono scoperti i difetti delle fasi precedenti della modellazione.

Già nella fase di costruzione del modello può diventare chiaro che la formulazione del problema è contraddittoria o porta a un modello matematico eccessivamente complesso. In base a ciò, la formulazione originale del problema viene modificata. Inoltre, l'analisi matematica del modello (fase 3) può mostrare che una leggera modifica della formulazione del problema o della sua formalizzazione fornisce un risultato analitico interessante.

Molto spesso, la necessità di tornare alle fasi precedenti della modellazione sorge durante la preparazione delle informazioni iniziali (fase 4). Potrebbe succedere informazioni necessarie manca o i costi della sua preparazione sono troppo elevati. Poi bisogna ritornare alla formulazione del problema e alla sua formalizzazione, modificandole per adattarle alle informazioni disponibili.

Poiché i problemi economici e matematici possono essere di struttura complessa e avere grandi dimensioni, accade spesso che gli algoritmi e i programmi per computer conosciuti non consentano di risolvere il problema nella sua forma originale. Se non è possibile entrare a breve termine sviluppare nuovi algoritmi e programmi, semplificare la formulazione e il modello del problema originale: rimuovere e combinare condizioni, ridurre il numero di fattori, sostituire le relazioni non lineari con quelle lineari, aumentare il determinismo del modello, ecc.

Le carenze che non possono essere corrette nelle fasi intermedie della modellazione vengono eliminate nei cicli successivi. Ma i risultati di ciascun ciclo hanno anche un significato del tutto indipendente. Iniziando la tua ricerca costruendo un modello semplice, puoi ottenere rapidamente risultati utili, per poi passare alla creazione di un modello più avanzato, integrato con nuove condizioni, comprese dipendenze matematiche raffinate.

Man mano che la modellizzazione economica e matematica si sviluppa e diventa più complessa, le sue singole fasi vengono isolate in aree specializzate di ricerca, le differenze tra modelli teorico-analitici e applicati si intensificano e i modelli si differenziano in base ai livelli di astrazione e idealizzazione.

La teoria dell'analisi matematica dei modelli economici si è sviluppata in un ramo speciale della matematica moderna: l'economia matematica. I modelli studiati nel quadro dell'economia matematica perdono il collegamento diretto con la realtà economica; si occupano esclusivamente di oggetti e situazioni economiche idealizzate. Quando si costruiscono tali modelli, il principio fondamentale non è tanto avvicinarsi alla realtà, ma ottenere il maggior numero possibile di risultati analitici attraverso dimostrazioni matematiche. Il valore di questi modelli per la teoria e la pratica economica è che servono come base teorica per i modelli applicati.

Aree di ricerca del tutto indipendenti sono la preparazione e l'elaborazione delle informazioni economiche e lo sviluppo di supporto matematico per problemi economici (creazione di banche dati e banche informazioni, programmi per la costruzione automatizzata di modelli e servizi software per economisti utenti). Nella fase di utilizzo pratico dei modelli, il ruolo guida dovrebbe essere svolto da specialisti nel settore pertinente dell'analisi, della pianificazione e della gestione economica. La principale area di lavoro di economisti e matematici rimane la formulazione e formalizzazione di problemi economici e la sintesi del processo di modellazione economica e matematica.

modellizzazione matematica economica

Elenco della letteratura usata

1.Fedoseev, Metodi economici

2. I.L. Akulich, Programmazione matematica in esempi e problemi, Mosca, “Scuola superiore”, 1986;

3. S.A. Abramov, Costruzioni matematiche e programmazione, Mosca, “Nauka”, 1978;

4. J. Littlewood, Miscela matematica, Mosca, “Nauka”, 1978;

5. Notizie dell'Accademia delle Scienze. Teoria e sistemi di controllo, 1999, n. 5, pp. 127-134.

7. http://exsolver.narod.ru/Books/Mathematic/GameTheory/c8.html

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Per studiare vari fenomeni economici, gli economisti usano le loro descrizioni formali semplificate, chiamate modelli economici. Quando si costruiscono modelli economici, i fattori essenziali vengono eliminati e i dettagli che non sono essenziali per risolvere il problema vengono scartati.

I modelli economici possono includere i seguenti modelli:

crescita economica
scelta del consumatore
equilibrio nei mercati finanziari e delle materie prime e molti altri.

Modello— una descrizione logica o matematica di componenti e funzioni che riflettono le proprietà essenziali dell'oggetto o del processo modellato.

Il modello viene utilizzato come un'immagine convenzionale, progettata per semplificare lo studio di un oggetto o processo.

La natura dei modelli può variare. I modelli si dividono in: descrizione reale, simbolica, verbale e tabellare, ecc.

Modello economico e matematico

Nella gestione dei processi aziendali valore più alto avere prima di tutto modelli economici e matematici, spesso combinati in sistemi modello.

Modello economico e matematico(EMM) - una descrizione matematica di un oggetto o processo economico allo scopo di studiarli e gestirli. Questa è una notazione matematica del problema economico da risolvere.

Principali tipologie di modelli

Modelli di estrapolazione
Modelli econometrici fattoriali
Modelli di ottimizzazione
Modelli di bilancio, modello di bilancio intersettoriale (IOB).
Valutazioni di esperti
Nota quella teoria dei giochi
Modelli di rete
Modelli di sistemi di code

Modelli e metodi economici e matematici utilizzati nell'analisi economica

Attualmente, i metodi di ricerca matematica sono sempre più utilizzati nell'analisi delle attività economiche delle organizzazioni. Ciò aiuta a migliorare l’analisi economica, ad approfondirla e ad aumentarne l’efficacia.

Come risultato dell'uso di metodi matematici, si ottiene uno studio più completo dell'influenza dei singoli fattori sugli indicatori economici generali delle attività delle organizzazioni, si riduce il tempo richiesto per l'analisi, si aumenta l'accuratezza dei calcoli economici e si ottengono risultati multidimensionali vengono risolti problemi analitici che non possono essere risolti con i metodi tradizionali. Nel processo di utilizzo di metodi economici e matematici in analisi economica vengono effettuati la costruzione e lo studio di modelli economici e matematici, che descrivono l'influenza dei singoli fattori sugli indicatori economici generali delle organizzazioni.

Esistono quattro tipi principali di modelli economici e matematici utilizzati per analizzare l’influenza dei singoli fattori:

modelli additivi;
modelli moltiplicativi;
più modelli;
modelli misti.

Modelli additivi può essere definito come somma algebrica indicatori individuali. Va ricordato che tali modelli possono essere caratterizzati utilizzando la seguente formula:

Un esempio di modello additivo potrebbe essere l’equilibrio dei prodotti commerciabili.

Modelli moltiplicativi può essere definito come il prodotto di fattori individuali.

È importante notare che un esempio di tale modello potrebbe essere un modello a due fattori, che esprime la relazione tra il volume della produzione, il numero di unità di apparecchiature utilizzate e la produzione per unità di apparecchiature:

P = KV,

P— volume di produzione;
A— numero di unità di attrezzatura;
IN— produzione per unità di attrezzatura.

Modelli multipli— ϶ᴛᴏ correlazione dei fattori individuali. Vale la pena notare che sono caratterizzati dalla seguente formula:

OP = x/y

Qui OPè un indicatore economico generale che è influenzato da fattori individuali X E sì. Un esempio di modello multiplo è una formula che esprime la relazione tra la durata del fatturato attività correnti in giorni, il valore medio di questi asset per un dato periodo e il volume delle vendite in un giorno:

P = OA/OP,

P- durata del fatturato;
OA — valore medio attività correnti;
OP— volume delle vendite di un giorno.

Finalmente, modelli misti— ϶ᴛᴏ una combinazione delle tipologie di modelli che abbiamo già considerato. Ad esempio, un tale modello può descrivere l'indicatore di rendimento delle attività, il cui livello è influenzato da tre fattori: utile netto (NP), valore delle attività non correnti (VA), valore delle attività correnti (CA):

R a = PE/VA + OA,

In forma generalizzata, il modello misto può essere rappresentato dalla seguente formula:

Pertanto, per prima cosa dovresti costruire un modello economico e matematico che descriva l'influenza dei singoli fattori sugli indicatori economici generali delle attività dell'organizzazione. È importante saperlo modelli moltiplicativi multifattoriali, poiché consentono di studiare l'influenza di un numero significativo di fattori sugli indicatori generali e quindi di ottenere una maggiore profondità e accuratezza dell'analisi.

Successivamente, è necessario scegliere un metodo per risolvere questo modello. Metodi tradizionali : metodo delle sostituzioni di catena, metodi delle differenze assolute e relative, metodo del bilancio, metodo dell'indice, nonché metodi di correlazione-regressione, cluster, analisi di dispersione, ecc. Insieme a questi metodi e metodi, possono essere utilizzati metodi e metodi specificamente matematici nell'analisi economica.

Metodo integrale dell'analisi economica

È importante notare che uno di questi metodi (metodi) sarà integrale. Vale la pena notare che viene utilizzato per determinare l'influenza dei singoli fattori utilizzando modelli moltiplicativi, multipli e misti (additivi multipli).

Quando si utilizza il metodo integrale, è possibile ottenere risultati più comprovati per il calcolo dell'influenza dei singoli fattori rispetto a quando si utilizza il metodo delle sostituzioni di catena e le sue varianti. Il metodo delle sostituzioni a catena e le sue varianti, così come il metodo dell'indice, presentano svantaggi significativi: 1) i risultati dei calcoli dell'influenza dei fattori dipendono dalla sequenza accettata di sostituzione dei valori di base dei singoli fattori con quelli effettivi; 2) l'ulteriore aumento dell'indicatore generale causato dall'interazione dei fattori, sotto forma di resto indecomponibile, viene aggiunto alla somma dell'influenza dell'ultimo fattore. Quando si utilizza il metodo integrale, l’aumento viene diviso equamente tra tutti i fattori.

Il metodo integrale stabilisce un approccio generale alla risoluzione dei modelli vari tipi, e indipendentemente dal numero di elementi inclusi in questo modello, nonché indipendentemente dalla forma di connessione tra questi elementi.

Il metodo integrale dell'analisi economica fattoriale si basa sulla somma degli incrementi di una funzione definita derivata parziale moltiplicati per l'incremento dell'argomento su intervalli infinitesimi.

Nel processo di applicazione del metodo integrale, è estremamente importante rispettare diverse condizioni. Innanzitutto deve essere soddisfatta la condizione di continua differenziabilità della funzione, dove qualsiasi indicatore economico viene preso come argomento. In secondo luogo, la funzione tra il punto iniziale e quello finale del periodo elementare deve variare lungo una linea retta G e. Infine, in terzo luogo, deve esserci una costanza nel rapporto tra i tassi di variazione dei valori dei fattori

d y / d x = cost

Quando si utilizza il metodo integrale, calcolo integrale definito per un dato integrando e un dato intervallo di integrazione viene effettuata secondo l'esistente programma standard utilizzando la moderna tecnologia informatica.

Se stiamo risolvendo un modello moltiplicativo, è possibile utilizzare le seguenti formule per calcolare l'influenza dei singoli fattori sull'indicatore economico generale:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2Δ X*Δ sì

Z(y)=X 0 * Δ sì +1/2 Δ X* Δ sì

Quando risolviamo un modello multiplo per calcolare l'influenza dei fattori, utilizziamo le seguenti formule:

Z=x/y;

Δ Z(x)= Δ X/Δ e Lny1/y0

Δ Z(y)=Δ Z- Δ Z(x)

Esistono due tipi principali di problemi risolti utilizzando il metodo integrale: statici e dinamici. Nel primo tipo non ci sono informazioni sui cambiamenti dei fattori analizzati durante un dato periodo. Esempi di tali compiti includono l'analisi dell'attuazione dei piani aziendali o l'analisi dei cambiamenti negli indicatori economici rispetto al periodo precedente. Il tipo dinamico delle attività si verifica in presenza di informazioni sui cambiamenti nei fattori analizzati durante un determinato periodo. Questo tipo di problemi include calcoli relativi allo studio di serie temporali di indicatori economici.

Queste sono le caratteristiche più importanti del metodo integrale dell’analisi economica dei fattori.

Metodo dei logaritmi

Oltre a questo metodo, nell'analisi viene utilizzato anche il metodo logaritmico (metodo). Vale la pena notare che viene utilizzato quando si conduce l'analisi fattoriale quando vengono risolti modelli moltiplicativi. L'essenza del metodo in esame è essenzialmente che quando viene utilizzato, esiste una distribuzione logaritmicamente proporzionale dell'entità dell'azione congiunta dei fattori tra questi ultimi, cioè questo valore è distribuito tra i fattori in proporzione alla quota di influenza di ogni singolo fattore sulla somma dell’indicatore generalizzante. Con il metodo integrale il valore indicato viene distribuito equamente tra i fattori. Pertanto, il metodo logaritmico rende i calcoli dell'influenza dei fattori più ragionevoli rispetto al metodo integrale.

Nel processo di logaritmizzazione non vengono utilizzati valori assoluti di crescita degli indicatori economici, come nel caso del metodo integrale, ma relativi, cioè indici di variazione di questi indicatori. Ad esempio, un indicatore economico generale è definito come il prodotto di tre fattori: fattori f = xyz.

Troviamo l'influenza di ciascuno di questi fattori sull'indicatore economico generale. Pertanto, l'influenza del primo fattore può essere determinata dalla seguente formula:

Δf x = Δf log(x 1 / x 0) / log(f 1 / f 0)

Qual è stata l'influenza del fattore successivo? Per trovare la sua influenza, utilizziamo la seguente formula:

Δf y = Δf log(y 1 / y 0) / log(f 1 / f 0)

Infine, per calcolare l’influenza del terzo fattore, applichiamo la formula:

Δf z = Δf log(z 1 / z 0)/ log(f 1 / f 0)

Sulla base di tutto quanto sopra, arriviamo alla conclusione che l'importo totale della variazione dell'indicatore generalizzante è diviso tra i singoli fattori in base alle proporzioni dei rapporti dei logaritmi degli indici dei fattori individuali rispetto al logaritmo dell'indicatore generalizzante.

Quando si applica il metodo in questione, è possibile utilizzare qualsiasi tipo di logaritmo, sia naturale che decimale.

Metodo del calcolo differenziale

Quando si esegue l'analisi fattoriale, viene utilizzato anche il metodo del calcolo differenziale. Quest'ultimo presuppone che la variazione complessiva della funzione, cioè l'indicatore generalizzante, sia divisa in termini individuali, il valore di ciascuno dei quali è calcolato come il prodotto di una certa derivata parziale e l'incremento della variabile di cui questa derivata è determinato. È opportuno notare che determineremo l'influenza dei singoli fattori sull'indicatore generale, utilizzando come esempio una funzione di due variabili.

Funzione specificata Z = f(x,y). Se questa funzione è differenziabile, la sua variazione può essere espressa dalla seguente formula:

Spieghiamo i singoli elementi della formula:

ΔZ = (Z1 - Z0)- entità del cambiamento di funzione;

Δx = (x1 - x0)— l'entità del cambiamento in un fattore;

Δ y = (y1 - y0)-l'entità del cambiamento in un altro fattore;

- una quantità infinitesima di ordine superiore a

IN in questo esempio influenza dei fattori individuali X E sì per cambiare funzione Z(indicatore generale) è calcolato come segue:

ΔZx = δZ / δx · Δx; ΔZy = δZ / δy · Δy.

La somma dell'influenza di entrambi questi fattori è la parte principale, lineare relativa all'incremento di un dato fattore dell'incremento della funzione differenziabile, cioè l'indicatore generalizzante.

Metodo patrimoniale

In termini di risoluzione dei modelli additivi e multipli, il metodo equità viene utilizzato anche per calcolare l'influenza dei singoli fattori sulle variazioni dell'indicatore generale. La sua essenza sta essenzialmente nel fatto che viene innanzitutto determinata la quota di ciascun fattore nell'importo totale dei loro cambiamenti. Tale quota viene poi moltiplicata per la variazione totale dell'indicatore sintetico.

Procederemo dal presupposto di determinare l'influenza di tre fattori: UN,B E Con ad un indicatore generale sì. Quindi, per il fattore, determinare la sua quota e moltiplicarla per l'importo totale della variazione nell'indicatore generalizzante può essere effettuato utilizzando la seguente formula:

Δya = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Per il fattore b, la formula in esame avrà la seguente forma:

Δy b = Δb/Δa + Δb + Δc*Δy

Infine, per il fattore c abbiamo:

Δy c = Δc/Δa + Δb + Δc*Δy

Questa è l'essenza del metodo patrimoniale utilizzato ai fini dell'analisi fattoriale.

Metodo di programmazione lineare

Vedi anche: Metodo di programmazione lineare

Si noti la teoria delle code

Vedi oltre: Nota che la teoria delle code

Nota quella teoria dei giochi

Viene utilizzata anche la teoria dei giochi. Proprio come la teoria delle code, la teoria dei giochi è uno dei rami della matematica applicata. Si noti che la teoria dei giochi studia le soluzioni ottimali possibili nelle situazioni di gioco. Ciò include situazioni associate alla scelta dell'ottimale decisioni gestionali, con la scelta delle opzioni più adeguate per i rapporti con altre organizzazioni, ecc.

Per risolvere tali problemi nella teoria dei giochi si possono utilizzare metodi algebrici basati sul sistema equazioni lineari e disuguaglianze, metodi iterativi, nonché metodi per ridurre un dato problema a uno specifico sistema di equazioni differenziali.

È importante notare che uno dei metodi economici e matematici utilizzati nell'analisi delle attività economiche delle organizzazioni è la cosiddetta analisi di sensibilità. Il materiale è stato pubblicato su http://site
Questo metodo viene spesso utilizzato nel processo di analisi dei progetti di investimento, nonché allo scopo di prevedere l'importo del profitto rimasto a disposizione di una determinata organizzazione.

Per una pianificazione e previsione ottimale delle attività di un’organizzazione, è estremamente importante prevedere in anticipo i cambiamenti che potrebbero verificarsi in futuro con gli indicatori economici analizzati.

Ad esempio, dovresti prevedere in anticipo le variazioni dei valori di quei fattori che influenzano il margine di profitto: il livello dei prezzi di acquisto per le risorse materiali acquistate, il livello dei prezzi di vendita per i prodotti di una determinata organizzazione, i cambiamenti nella domanda dei clienti per questi prodotti.

L'analisi di sensibilità consiste nel determinare il valore futuro di un indicatore economico generale, a condizione che cambi il valore di uno o più fattori che influenzano tale indicatore.

Ad esempio, stabiliscono di quale importo cambierà il profitto in futuro, soggetto a una variazione della quantità di prodotti venduti per unità. In questo modo analizziamo la sensibilità dell'utile netto ai cambiamenti di uno dei fattori che lo influenzano, ovvero, in questo caso, il fattore volume delle vendite.
Vale la pena notare che i restanti fattori che influenzano l'importo del profitto rimarranno invariati. È anche possibile determinare l'importo del profitto se in futuro l'influenza di più fattori cambia contemporaneamente. Pertanto, l'analisi di sensibilità consente di stabilire la forza della risposta di un indicatore economico generale ai cambiamenti dei singoli fattori che influenzano questo indicatore.

Metodo della matrice

Insieme ai metodi economici e matematici di cui sopra, vengono utilizzati anche nell'analisi dell'attività economica. metodi matriciali. Questi metodi si basano sull'algebra lineare e di matrice vettoriale.

Metodo di pianificazione della rete

Vedi oltre: Metodo di pianificazione della rete

Analisi di estrapolazione

Oltre ai metodi discussi, viene utilizzata anche l'analisi di estrapolazione. Vale la pena notare che contiene una considerazione dei cambiamenti nello stato del sistema analizzato e un'estrapolazione, cioè l'estensione delle caratteristiche esistenti del sistema per periodi futuri. Nel processo di svolgimento di questo tipo di analisi si possono distinguere le seguenti fasi principali: elaborazione primaria e trasformazione della serie iniziale di dati disponibili; scelta del tipo di funzioni empiriche; determinazione dei parametri principali di queste funzioni; estrapolazione; stabilire il grado di attendibilità dell’analisi effettuata.

Anche l’analisi economica utilizza il metodo delle componenti principali. Vale la pena notare che vengono utilizzati ai fini dell'analisi comparativa individuale componenti, cioè i parametri dell’analisi delle attività dell’organizzazione. Le componenti principali rappresentano le caratteristiche più importanti delle combinazioni lineari delle parti componenti, cioè i parametri dell'analisi che presentano i valori di dispersione più significativi, cioè le maggiori deviazioni assolute dai valori medi.

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Ministero delle Ferrovie Federazione Russa

Università statale dei trasporti degli Urali

Istituto delle ferrovie di Chelyabinsk

LAVORO DEL CORSO

corso: “Modellazione economica e matematica”

Argomento: “I modelli matematici in economia”

Completato:

Cifra:

Indirizzo:

Controllato:

Čeljabinsk 200_ gr.

Introduzione

Elaborazione di un modello matematico

Creazione e salvataggio di report

Analisi della soluzione trovata. Risposte alle domande

Parte n. 2 "Calcolo del modello economico-matematico del saldo input-output

Risolvere un problema su un computer

Equilibrio intersettoriale tra produzione e distribuzione dei prodotti

Letteratura

Introduzione

La modellazione nella ricerca scientifica iniziò ad essere utilizzata nei tempi antichi e gradualmente catturò nuove aree della conoscenza scientifica: progettazione tecnica, edilizia e architettura, astronomia, fisica, chimica, biologia e, infine, scienze sociali. Il metodo di modellazione del XX secolo ha portato grande successo e riconoscimento in quasi tutti i rami della scienza moderna. Tuttavia, la metodologia di modellazione è stata sviluppata indipendentemente dalle singole scienze per molto tempo. Non esisteva un sistema unificato di concetti, né una terminologia unificata. Solo gradualmente si cominciò a realizzare il ruolo della modellazione come metodo universale di conoscenza scientifica.

Il termine “modello” è ampiamente utilizzato in vari campi dell’attività umana e ha molti significati semantici. Consideriamo solo questi “modelli” che sono strumenti per ottenere conoscenza.

Lo scopo della modellizzazione matematica dei sistemi economici è utilizzare per la maggior parte metodi matematici soluzione efficace problemi che sorgono nel campo dell'economia, utilizzando, di regola, la moderna tecnologia informatica.

Il processo di risoluzione dei problemi economici si svolge in più fasi:

Formulazione sostanziale (economica) del problema. Per prima cosa devi comprendere il compito e formularlo chiaramente. Allo stesso tempo vengono determinati anche gli oggetti relativi al problema da risolvere, nonché la situazione che deve essere realizzata come risultato della sua soluzione. Questa è la fase di formulazione significativa del problema. Affinché un problema possa essere descritto quantitativamente e utilizzare la tecnologia informatica per risolverlo, è necessario effettuare un'analisi qualitativa e quantitativa degli oggetti e delle situazioni ad esso correlati. In questo caso, gli oggetti complessi sono divisi in parti (elementi), le connessioni di questi elementi, le loro proprietà, i valori quantitativi e qualitativi delle proprietà, le relazioni quantitative e logiche tra loro, espresse sotto forma di equazioni, disuguaglianze, ecc. sono determinati. Questa è la fase dell'analisi sistemica del problema, a seguito della quale l'oggetto viene presentato sotto forma di sistema.

La fase successiva è la formulazione matematica del problema, durante la quale viene costruito un modello matematico dell'oggetto e vengono determinati i metodi (algoritmi) per ottenere una soluzione al problema. Questa è la fase di sintesi del sistema (formulazione matematica) del problema. Va notato che in questa fase potrebbe risultare che l'analisi del sistema precedentemente condotta ha portato ad un insieme di elementi, proprietà e relazioni per le quali non esiste un metodo accettabile per risolvere il problema, di conseguenza è necessario tornare a la fase di analisi del sistema. Di norma, i problemi risolti nella pratica economica sono standardizzati, l'analisi del sistema viene effettuata sulla base di un modello matematico noto e di un algoritmo per risolverlo, il problema sta solo nella scelta del metodo appropriato.

Il passo successivo è sviluppare un programma per risolvere il problema su un computer. Per oggetti complessi costituiti da un gran numero di elementi con un gran numero proprietà, potrebbe essere necessario compilare un database e strumenti per lavorarci, metodi per recuperare i dati necessari per i calcoli. Per compiti standard Non si tratta dello sviluppo, ma della scelta di un pacchetto applicativo e di un sistema di gestione del database adeguati.

Nella fase finale, il modello viene utilizzato e si ottengono i risultati.

Pertanto, la risoluzione del problema include i seguenti passaggi:

2. Analisi del sistema.

3. Sintesi del sistema (formulazione matematica del problema)

4. Sviluppo o selezione di software.

5. Risolvere il problema.

L'uso coerente dei metodi di ricerca operativa e la loro implementazione nelle moderne tecnologie informatiche e informatiche consente di superare la soggettività ed eliminare i cosiddetti decisioni volitive, basato non su un resoconto rigoroso e accurato di circostanze oggettive, ma sulle emozioni casuali e sugli interessi personali dei manager a vari livelli, che, inoltre, non possono coordinare queste decisioni volitive.

L'analisi del sistema consente di prendere in considerazione e utilizzare nella gestione tutte le informazioni disponibili sull'oggetto gestito, per coordinare le decisioni prese dal punto di vista di un criterio di efficienza oggettivo e non soggettivo. Risparmiare sui calcoli durante il controllo equivale a risparmiare sulla mira quando si spara. Tuttavia, un computer non solo consente di tenere conto di tutte le informazioni, ma solleva anche il manager da informazioni non necessarie e aggira tutte le informazioni necessarie aggirando la persona, presentandole solo le informazioni più generalizzate, la quintessenza. L'approccio sistemico in economia è efficace di per sé, senza l'uso del computer, come metodo di ricerca, e non modifica le leggi economiche precedentemente scoperte, ma insegna solo come usarle al meglio.

La complessità dei processi economici richiede che il decisore sia altamente qualificato e abbia una vasta esperienza. Questo però non garantisce errori; la modellazione matematica permette di dare una risposta rapida al quesito posto, oppure di effettuare studi sperimentali impossibili o che richiedono grandi costi e tempo su un oggetto reale.

La modellazione matematica ci consente di accettare l'ottimale, cioè soluzione migliore. Potrebbe differire leggermente da quello corretto decisione presa senza l’uso di modelli matematici (circa il 3%). Tuttavia, con grandi volumi di produzione, un errore così “minore” può portare a enormi perdite.

Metodi matematici utilizzati per analizzare il modello matematico e accettarlo soluzione ottimale, sono molto complessi e la loro attuazione senza l'uso del computer risulta difficoltosa. Come parte dei programmi Eccellere E Mathcad Esistono strumenti che consentono di effettuare analisi matematiche e trovare la soluzione ottimale.

Parte n. 1 "Studio del modello matematico"

Dichiarazione del problema.

L'azienda ha la capacità di produrre 4 tipi di prodotti. Per produrre un'unità di ciascun tipo di prodotto, è necessario spendere una certa quantità di risorse lavorative, finanziarie e di materie prime. In magazzino quantità limitata ciascuna risorsa. Le vendite di un’unità di produzione portano profitto. I valori dei parametri sono riportati nella Tabella 1. Condizione aggiuntiva: i costi finanziari per la produzione dei prodotti n. 2 e n. 4 non devono superare i 50 rubli. (ogni tipo).

Basato sulla modellazione matematica mediante Eccellere determinare quali prodotti e in quali quantità è consigliabile produrre dal punto di vista di ottenere il massimo profitto, analizzare i risultati, rispondere a domande, trarre conclusioni.

Un modello è, prima di tutto, una rappresentazione semplificata di un oggetto o fenomeno reale che ne conserva le caratteristiche fondamentali ed essenziali. Il processo di sviluppo del modello stesso, ad es. è possibile eseguire la modellazione in vari modi, di cui i più comuni sono la modellazione fisica e matematica. Tuttavia, è possibile ottenere ciascuno di questi metodi vari modelli, poiché la loro implementazione specifica dipende da quali caratteristiche dell'oggetto reale il creatore del modello considera principali. Pertanto, nella pratica ingegneristica e nella ricerca scientifica, possono essere utilizzati diversi modelli dello stesso oggetto, poiché la loro diversità consente uno studio più approfondito degli aspetti più diversi di un oggetto o fenomeno reale.

Diffuso nella pratica ingegneristica e nelle scienze naturali modelli fisici, che differiscono dall'oggetto studiato, di regola, in dimensioni più piccole e servono per condurre esperimenti, i cui risultati vengono utilizzati per studiare l'oggetto originale e trarre conclusioni sulla scelta dell'una o dell'altra opzione per il suo sviluppo o progettazione, se stiamo parlando sul progetto di costruzione ingegneristica. Il percorso della modellazione fisica risulta improduttivo per l’analisi di oggetti e fenomeni economici. A causa di ciò Il metodo principale di modellizzazione in economia è il metodo della modellazione matematica , cioè. descrizione delle caratteristiche principali di un processo reale utilizzando un sistema di formule matematiche.

Come procediamo quando creiamo un modello matematico? Quali sono i tipi di modelli matematici? Quali caratteristiche emergono quando si modellano i fenomeni economici? Proviamo a fare chiarezza su queste questioni.

Quando creiamo un modello matematico, partiamo da un problema reale. Innanzitutto, la situazione viene chiarita, vengono identificate caratteristiche, parametri, proprietà, qualità, connessioni, ecc. importanti e minori. Quindi viene selezionato uno dei modelli matematici esistenti oppure viene creato un nuovo modello matematico per descrivere l'oggetto studiato.

Vengono introdotte le notazioni. I vincoli che le variabili devono soddisfare vengono scritti. L'obiettivo è determinato: la funzione target viene selezionata (se possibile). La scelta della funzione obiettivo non è sempre semplice. Potrebbero esserci situazioni in cui desideri questo, quello e molto altro ancora... Ma obiettivi diversi portano a decisioni diverse. In questo caso il problema appartiene alla classe dei problemi multicriterio.

L’economia è uno dei campi di attività più complessi. Gli oggetti economici possono essere descritti da centinaia e migliaia di parametri, molti dei quali sono casuali. Inoltre, il fattore umano opera nell’economia.

Prevedere il comportamento umano può essere difficile, a volte impossibile.

La complessità di un sistema di qualsiasi natura (tecnico, biologico, sociale, economico) è determinata dal numero degli elementi in esso compresi, dalle connessioni tra

questi elementi, nonché le relazioni tra sistema e ambiente. L’economia presenta tutte le caratteristiche di un sistema molto complesso. Unisce un numero enorme di elementi, si distingue per una varietà di connessioni interne e connessioni con altri sistemi (ambiente naturale, attività economica altri soggetti, relazioni sociali, ecc.). Nell'economia nazionale interagiscono processi naturali, tecnologici, sociali, fattori oggettivi e soggettivi. L’economia dipende dalla struttura sociale della società, dalla politica e da moltissimi altri fattori.

Complessità rapporti economici spesso giustificavano l’impossibilità di modellare l’economia e studiarla utilizzando la matematica. Eppure, modellare fenomeni, oggetti e processi economici è possibile. Puoi modellare un oggetto di qualsiasi natura e di qualsiasi complessità. Per modellare l’economia non viene utilizzato un modello, ma un sistema di modelli. Questo sistema contiene modelli che descrivono lati diversi economia. Esistono modelli dell'economia di un paese (sono chiamati macroeconomici), esistono modelli di modelli economici per un'impresa separata o anche un modello di un evento economico (sono chiamati microeconomici). Quando si compila un modello dell'economia di un oggetto complesso, viene eseguita la cosiddetta aggregazione. In questo caso, diversi parametri correlati vengono combinati in un unico parametro, riducendo così il numero totale di parametri. In questa fase, l’esperienza e l’intuizione giocano un ruolo importante. È possibile selezionare non tutte le caratteristiche come parametri, ma quelle più importanti.

Dopo che un problema matematico è stato compilato, viene scelto un metodo per risolverlo. In questa fase, di norma, viene utilizzato un computer. Dopo aver ricevuto una soluzione, viene confrontata con la realtà. Se i risultati ottenuti vengono confermati dalla pratica, il modello può essere applicato e con il suo aiuto si possono fare previsioni. Se le risposte ottenute in base al modello non corrispondono alla realtà, il modello non va bene. È necessario creare un modello più complesso che si adatti meglio all'oggetto studiato.

Quale modello è migliore: semplice o complesso? La risposta a questa domanda non può essere univoca.

Se il modello è troppo semplice, non corrisponde bene all'oggetto reale. Se il modello è troppo complesso, può succedere che, anche se esiste un buon modello, non siamo in grado di ottenere una risposta basata su di esso. Potrebbero esserci un buon modello e un algoritmo per risolvere il problema corrispondente. Ma i tempi di soluzione saranno così lunghi che tutti gli altri vantaggi del modello verranno cancellati. Pertanto, quando si sceglie un modello, è necessaria una "media d'oro".

Ministero delle Ferrovie della Federazione Russa

Università statale dei trasporti degli Urali

Istituto delle ferrovie di Chelyabinsk

LAVORO DEL CORSO

corso: “Modellazione economica e matematica”

Argomento: “I modelli matematici in economia”

Completato:

Cifra:

Indirizzo:

Controllato:

Čeljabinsk 200_ gr.

Introduzione

Creazione e salvataggio di report

Risolvere un problema su un computer

Letteratura

Introduzione

La modellazione nella ricerca scientifica iniziò ad essere utilizzata nei tempi antichi e gradualmente catturò nuove aree della conoscenza scientifica: progettazione tecnica, edilizia e architettura, astronomia, fisica, chimica, biologia e, infine, scienze sociali. Il metodo di modellazione del XX secolo ha portato grande successo e riconoscimento in quasi tutti i rami della scienza moderna. Tuttavia, la metodologia di modellazione è stata sviluppata indipendentemente dalle singole scienze per molto tempo. Non esisteva un sistema unificato di concetti, né una terminologia unificata. Solo gradualmente si cominciò a realizzare il ruolo della modellazione come metodo universale di conoscenza scientifica.

Lo scopo della modellazione matematica dei sistemi economici è utilizzare metodi matematici per risolvere nel modo più efficace i problemi che sorgono nel campo dell'economia, utilizzando, di norma, la moderna tecnologia informatica.

Il processo di risoluzione dei problemi economici si svolge in più fasi:

Il passo successivo è sviluppare un programma per risolvere il problema su un computer. Per oggetti complessi costituiti da un gran numero di elementi con un gran numero di proprietà, potrebbe essere necessario compilare un database e strumenti per lavorarci, metodi per recuperare i dati necessari per i calcoli. Per i compiti standard non viene effettuato lo sviluppo, ma la scelta di un pacchetto applicativo e di un sistema di gestione del database adeguati.

Nella fase finale, il modello viene utilizzato e si ottengono i risultati.

Pertanto, la risoluzione del problema include i seguenti passaggi:

2. Analisi del sistema.

3. Sintesi del sistema (formulazione matematica del problema)

4. Sviluppo o selezione di software.

5. Risolvere il problema.

L'uso coerente dei metodi di ricerca operativa e la loro implementazione nelle moderne tecnologie informatiche e informatiche consente di superare la soggettività ed eliminare le cosiddette decisioni volitive basate non su un resoconto rigoroso e accurato di circostanze oggettive, ma su emozioni casuali e interessi personali dei manager in diversi livelli, che peraltro non riescono a coordinare queste decisioni volitive.

La modellazione matematica consente di prendere la decisione ottimale, ovvero la migliore. Potrebbe differire leggermente da una decisione ben presa senza l'uso di modelli matematici (circa il 3%). Tuttavia, con grandi volumi di produzione, un errore così “minore” può portare a enormi perdite.

I metodi matematici utilizzati per analizzare il modello matematico e prendere la decisione ottimale sono molto complessi e la loro implementazione senza l'uso di un computer è difficile. Come parte dei programmi Eccellere E Mathcad Esistono strumenti che consentono di effettuare analisi matematiche e trovare la soluzione ottimale.

Parte n. 1 "Studio del modello matematico"

Dichiarazione del problema.

L'azienda ha la capacità di produrre 4 tipi di prodotti. Per produrre un'unità di ciascun tipo di prodotto, è necessario spendere una certa quantità di risorse lavorative, finanziarie e di materie prime. È disponibile una quantità limitata di ciascuna risorsa. Le vendite di un’unità di produzione portano profitto. I valori dei parametri sono riportati nella Tabella 1. Condizione aggiuntiva: i costi finanziari per la produzione dei prodotti n. 2 e n. 4 non devono superare i 50 rubli. (ogni tipo).

Tabella 1.

Elaborazione di un modello matematico

Funzione obiettivo (TF).

La funzione obiettivo mostra in che senso la soluzione al problema dovrebbe essere la migliore (ottimale). Nel nostro compito TF:

Profitto → massimo

Il valore del profitto può essere determinato dalla formula:

Profitto = conteggio 1 ∙ pr 1 + conteggio 2 ∙ pr 2 + conteggio 3 ∙ pr 3 + conteggio 4 ∙ pr 4, Dove contare 1,…, contare 4 –

quantità di ciascuna tipologia di prodotto prodotto;

pr 1,…, pr 4 - profitti ricevuti dalla vendita di un'unità di ciascun tipo di prodotto. Sostituendo i valori pr 1,…, pr 4 ( dalla tabella 1) otteniamo:

TF: 1.7 ∙ conta 1 + 2.3 ∙ conta 2 + 2 ∙ conta 3 + 5 ∙ conta 4 → massimo (1)

Restrizioni (GGR).

I vincoli stabiliscono le dipendenze tra le variabili. Nel nostro problema vengono imposte restrizioni sull’uso delle risorse, le cui quantità sono limitate. La quantità di materie prime necessarie per produrre tutti i prodotti può essere calcolata utilizzando la formula:

Materie prime = da 1 ∙ quantità 1 + da 2 ∙ quantità 2 + da 3 ∙ quantità 3 + da 4 ∙ quantità 4, Dove da 1 ,…, da 4 –

quantità di materie prime necessarie per produrre un'unità di ciascun tipo di prodotto. Quantità totale La quantità di materie prime utilizzate non può superare la risorsa disponibile. Sostituendo i valori della Tabella 1, otteniamo la prima limitazione - per le materie prime:

1,8 ∙ conteggio 1 + 1,4 ∙ conteggio 2 + 1 ∙ conteggio 3 + 0,15 ∙ conteggio 4 ≤ 800 (2)

Scriviamo allo stesso modo le restrizioni sulle finanze e sul costo del lavoro:

0,63 ∙ conteggio 1 + 0,1 ∙ conteggio 2 + 1 ∙ conteggio 3 + 1,7 ∙ conteggio 4 ≤ 400 (3)

1.1 ∙ conteggio 1 + 2.3 ∙ conteggio 2 + 1.6 ∙ conteggio 3 + 1.8 ∙ conteggio 4 ≤ 1000 (4)

Condizioni al contorno (GRU).

Le condizioni al contorno mostrano entro quali limiti le variabili desiderate possono cambiare. Nel nostro problema, questi sono i costi finanziari per la produzione dei prodotti n. 2 e n. 4 in base alla condizione:

0,1 ∙ contare 2 ≤ 50 sfregamenti; 1,7 ∙ contare 4 ≤ 50 sfregamenti. ( 5)

D'altra parte dobbiamo introdurre che la quantità di produzione deve essere maggiore o uguale a zero. Questa è una condizione ovvia per noi, ma necessaria per il computer:

contare 1 ≥ 0; contare 2 ≥ 0; contare 3 ≥ 0; contare 4 ≥ 0. ( 6)

Poiché tutte le variabili ricercate ( contare 1,..., contare 4) sono compresi nel rapporto 1-7 alla prima potenza e solo le azioni di somma e moltiplicazione per probabilità costanti, allora il modello è lineare.

Risolvere un problema su un computer.

Accendi il computer. Prima di entrare in rete impostare il nome utente ZA, con la password A. Scaricare il programma Eccellere. Salvare il file con il nome Lidovitskij Kulik. X ls. nella cartella Ek/k 31 (2). Crea un'intestazione: a sinistra c'è la data, al centro c'è il nome del file, a destra c'è il nome del foglio.

Creiamo e formattiamo l'intestazione e la tabella dei dati di origine (Tabella 1). Inseriamo i dati nella tabella in base alla variante del problema.

Creiamo e formattiamo la tabella per il calcolo. Inserisci i valori iniziali nelle celle "Quantità". Li scegliamo vicino al risultato atteso. Non disponiamo di informazioni preliminari e quindi le sceglieremo pari a 1. Questo ci renderà facile il controllo delle formule inserite.

Nella riga "Input di lavoro" inseriamo i termini della formula (4) - il prodotto della quantità di prodotti per la quantità di input di lavoro necessari per produrre un'unità di output:

per il prodotto n. 1 (=C15*C8);

prodotti n. 2 (=D15*D8);

prodotti n. 3 (=E15*E8);

prodotti n. 4 (=F15*F8).

Nella colonna “TOTALE” troviamo la somma del contenuto di queste celle utilizzando il pulsante di somma automatica Σ. Nella colonna “Restante” troviamo la differenza tra il contenuto delle celle “Risorse-Costo del lavoro” della Tabella 1 e “TOTALE-Costo del lavoro” (=G8-G17). -G18) e “Materie Prime” (=G10-G19).

Nella cella "Profitto" calcoliamo il profitto utilizzando il lato sinistro della formula (1). In questo caso utilizzeremo la funzione =SUMPRODUCT (C15: F15; C11: F11).

Assegniamo alle celle contenenti il profitto totale, i costi finanziari, di manodopera e delle materie prime, nonché le quantità di prodotto, i nomi, rispettivamente: "Profitto", "Finanza", "Costo della manodopera", "Materie prime", "Pr1", " Pr2”, “Pr3”, "Pr4". Eccellere includerà questi nomi nei rapporti.

Richiamo della finestra di dialogo Trovare una soluzione squadre Servizio-Cerca una soluzione...

Scopo della funzione obiettivo.

Posiziona il cursore nella finestra Imposta la cella di destinazione e facendo clic sulla cella "Profitto", inserisci il suo indirizzo al suo interno. Introduciamo la direzione della funzione obiettivo: Valore massimo.

Inserisci nella finestra gli indirizzi delle variabili richieste contenenti le quantità dei prodotti 1-4 Cambiare cella .

Restrizioni all'immissione.

Fare clic sul pulsante Aggiungere. Viene visualizzata una finestra di dialogo Aggiunta di restrizioni. Posiziona il cursore nella finestra Riferimento di cella e inserisci lì l'indirizzo della cella "Costo del lavoro". Aprire l'elenco delle condizioni e selezionare<=, в поле Limitazione inserire l'indirizzo della cella "Risorsa-Lavoro". Fare clic sul pulsante Aggiungere. In una nuova finestra Aggiunta di restrizioni Allo stesso modo, introduciamo una restrizione finanziaria. Fare clic sul pulsante Aggiungere, introduciamo restrizioni sulle materie prime. Fare clic su OK. sono state introdotte restrizioni. La finestra appare nuovamente sullo schermo Trovare una soluzione, sul campo Restrizioniè visibile un elenco delle restrizioni imposte.

Immissione delle condizioni al contorno.

L'accesso al GRU non è diverso dall'inserimento delle restrizioni. Nella finestra Aggiunta di restrizioni nel campo Riferimento di cella Usando il mouse, inserisci l'indirizzo della cella "Fin2". Scegliere un segno<=. В поле Limitazione annotare 50. Fare clic su Aggiungere. Usando il mouse, inserisci l'indirizzo della cella "Fin4". Scegliere un segno<=. В поле Limitazione annotare 50. Fare clic su OK. torniamo alla finestra Trovare una soluzione. Nel campo Restrizioniè visibile l'elenco completo delle OGR e delle GRU inserite (Fig. 1).

Figura 1.

Immissione dei parametri.

Fare clic sul pulsante Opzioni. Viene visualizzata una finestra Opzioni di ricerca della soluzione. Nel campo Modello lineare seleziona la casella. Lasciamo invariati i restanti parametri. Fare clic su OK(Fig. 2).

Figura 2.

Soluzione.

Nella finestra Trovare una soluzione fare clic sul pulsante Eseguire. Sullo schermo viene visualizzata una finestra Risultati della ricerca di soluzioni. Dice "La soluzione è stata trovata. Tutti i vincoli e le condizioni di ottimalità sono soddisfatti".

Creazione e salvataggio di report

Per rispondere alle domande del compito, avremo bisogno di rapporti. Nel campo Tipo di rapporto Utilizzare il mouse per selezionare tutte le tipologie: “Risultati”, “Stabilità” e “Limiti”.

Metti un punto nel campo Salva la soluzione trovata e fare clic su OK. (Fig. 3). Eccellere genera i report richiesti e li posiziona su fogli separati. Si apre il foglio originale con il calcolo. Nella colonna "Quantità" - i valori trovati per ciascun tipo di prodotto.

Figura 3.

Generiamo un report riepilogativo. Copiamo e inseriamo i rapporti ricevuti su un foglio di carta. Li modifichiamo in modo che tutto sia su un'unica pagina.

Presentiamo graficamente i risultati della soluzione. Costruiamo diagrammi “Quantità della produzione” e “Distribuzione delle risorse”.

Per costruire un grafico “Quantità di prodotti”, apri la procedura guidata del grafico e il primo passo è selezionare la versione volumetrica di un istogramma regolare. Il secondo passo nella finestra dei dati di origine è selezionare l'intervallo dati = Lidovitsky! $C$14: $F$15. Il terzo passaggio nei parametri del grafico consiste nell'impostare il nome del grafico "Quantità di prodotti". Il quarto passaggio consiste nel posizionare il diagramma sul foglio esistente. Premendo un pulsante Pronto Finiamo di costruire il diagramma.

Per creare un diagramma di "distribuzione delle risorse", aprire la procedura guidata del diagramma e il primo passaggio è selezionare un istogramma tridimensionale. Il secondo passo nella finestra dei dati di origine è selezionare l'intervallo: Lidovitsky! $ A $ 17: $ F $ 19; Lidovickij! $C$14: $F$14. Il terzo passaggio nei parametri del grafico consiste nell'impostare il nome del grafico "Allocazione delle risorse". Il quarto passaggio consiste nel posizionare il diagramma sul foglio esistente. Premendo un pulsante Pronto Terminiamo di costruire il diagramma (Figura 4).

Figura 4.

Questi diagrammi illustrano il miglior mix di prodotti dal punto di vista dell'ottenimento del massimo profitto e della corrispondente allocazione delle risorse.

Stampiamo un foglio con le tabelle dei dati di origine, con i diagrammi e i risultati dei calcoli, e un foglio con la relazione riassuntiva su supporto cartaceo.

Analisi della soluzione trovata. Risposte alle domande

Secondo il rapporto sui risultati.

Il profitto massimo che può essere ottenuto se tutte le condizioni dell'attività sono soddisfatte è di 1292,95 rubli.

Per fare ciò, è necessario produrre la massima quantità possibile di prodotti n. 2 - 172,75 e n. 4 - 29,41 unità con costi finanziari non superiori a 50 rubli. per ogni tipo e prodotti n. 1 - 188.9 e n. 3 - 213.72. In questo caso, le risorse per il costo del lavoro, le finanze e le materie prime saranno completamente esaurite.

Lo dice il rapporto sulla sostenibilità.

La modifica di uno dei dati di input non porterà a una diversa struttura della soluzione trovata, ad es. ad un'altra gamma di prodotti necessaria per ottenere il massimo profitto, se: il profitto dalla vendita dell'unità del prodotto n. 1 non aumenta di più di 1,45 e diminuisce di non più di 0,35. Così:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

il profitto derivante dalla vendita dell'unità del prodotto n. 2 non aumenterà di più di 0,56 e diminuirà di non più di 1,61. Così:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

il profitto derivante dalla vendita dell'unità del prodotto n. 3 non aumenterà di più di 0,56 e diminuirà di non più di 0,39. Così:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

il profitto derivante dalla vendita dell'unità del prodotto n. 4 può diminuire di non più di 2,81, vale a dire del 56,2% e aumentano in modo illimitato. Quindi: profitto 4 > 2,19 = (5 - 2,81) la risorsa per le materie prime può essere aumentata di 380,54, cioè del 47,57% e ridotto del 210,46, ovvero del 26,31%. Quindi: 589,54< С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

Secondo il rapporto sui limiti:

La quantità di output di un tipo può variare da 0 al valore ottimale trovato; ciò non porterà a un cambiamento nella gamma di prodotti necessari per ottenere il massimo profitto. Allo stesso tempo, se produci il prodotto n. 1, il profitto sarà di 971,81 rubli, prodotto n. 2 - 895,63 rubli, prodotto n. 3 - 865,51 rubli, prodotto n. 4 - 1145,89 rubli.

Conclusioni

Lo studio del modello matematico e la sua successiva analisi permette di trarre le seguenti conclusioni:

Il profitto massimo possibile, pari a 1.292,95 rubli, se vengono soddisfatte tutte le condizioni e restrizioni specificate, può essere ottenuto se si produce il prodotto n. 1 - 188,9 unità, il prodotto n. 2 - 172,75 unità, il prodotto n. 3 - 213,72 unità, prodotti N. 4 - 29,41 unità.

Una volta rilasciata la produzione, tutte le risorse saranno completamente spese.

La struttura della soluzione trovata dipende fortemente dalle vendite delle unità di produzione n. 1 e n. 3, nonché dalla diminuzione o aumento di tutte le risorse disponibili.

Parte n. 2 "Calcolo del modello economico-matematico del saldo input-output

Disposizioni teoriche.

Metodo del bilancio- un metodo di confronto reciproco delle risorse finanziarie, materiali e lavorative e dei relativi bisogni. Il modello di equilibrio di un sistema economico è un sistema di equazioni che soddisfano i requisiti di corrispondenza tra la disponibilità di una risorsa e il suo utilizzo.

Equilibrio intersettoriale riflette la produzione e la distribuzione del prodotto per industria, le relazioni di produzione intersettoriali, l'uso di risorse materiali e lavorative, la creazione e la distribuzione del reddito nazionale.

Schema di equilibrio intersettoriale.

Ciascun settore in bilancio consuma e produce. Sono presenti 4 aree di bilancio (quadranti) a contenuto economico:

tabella delle connessioni materiali intersettoriali, qui X ij - valori dei flussi di prodotti intersettoriali, ad es. il costo dei mezzi di produzione prodotti nell'industria i e richiesti come costi materiali nell'industria j.

I prodotti finali sono prodotti che lasciano la sfera della produzione nella sfera del consumo, dell'accumulazione, dell'esportazione, ecc.

La produzione condizionatamente netta Zj è la somma dell'ammortamento Cj e della produzione netta (Uj + mj).

Riflette la distribuzione finale e l’utilizzo del reddito nazionale. La colonna e la riga della produzione lorda vengono utilizzate per verificare il saldo ed elaborare un modello economico e matematico.

Il totale dei costi materiali di qualsiasi industria consumatrice e la sua produzione netta condizionatamente sono pari alla produzione lorda di questa industria:

(1)

La produzione lorda di ciascun settore è pari alla somma dei costi materiali delle industrie che consumano i suoi prodotti e dei prodotti finali di questo settore.

(2)

Sommiamo su tutti i rami dell'equazione 1:

Allo stesso modo per l'equazione 2:

Il lato sinistro è il prodotto lordo, quindi equiparamo i lati destri:

(3)

Dichiarazione del problema.

Esiste un sistema economico a quattro rami. Determinare i coefficienti dei costi materiali totali in base ai dati: matrice dei coefficienti dei costi materiali diretti e vettore della produzione lorda (Tabella 2).

Tabella 2.

Elaborazione di un modello di bilancio.

La base del modello economico-matematico del bilancio input-output è la matrice dei coefficienti dei costi materiali diretti:

Il coefficiente dei costi materiali diretti mostra quanto prodotto dell'industria i è necessario, se prendiamo in considerazione solo i costi diretti per la produzione di un'unità di prodotto dell'industria j.

Data l'espressione 4, l'espressione 2 può essere riscritta:

(5)

Vettore di produzione lorda.

Vettore del prodotto finale.

Indichiamo la matrice dei coefficienti dei costi materiali diretti:

Quindi sistema di equazioni 5 in forma matriciale:

(6)

L'ultima espressione è il modello di equilibrio input-output o modello di Leontief. Utilizzando il modello è possibile:

Dopo aver specificato i valori della produzione lorda X, determinare i volumi dei prodotti finali Y:

(7)

dove E è la matrice identità.

Specificato il valore del prodotto finale Y, determinare il valore del prodotto lordo X:

(8)

indichiamo con B il valore (E-A) - 1, cioè

allora gli elementi della matrice B saranno .

Per ciascun settore:

Questi sono i coefficienti dei costi totali dei materiali; mostrano quanto prodotto dell'industria i deve essere prodotto per ottenere un'unità di prodotto finale dell'industria j, tenendo conto dei costi diretti e indiretti di questi prodotti.

Per calcolare il modello economico-matematico del saldo input-output, tenendo conto dei valori indicati:

Matrici dei coefficienti di costo dei materiali diretti:

Vettori della produzione lorda:

Prendiamo la matrice identità corrispondente alla matrice A:

Per calcolare i coefficienti dei costi totali dei materiali, utilizziamo la formula:

Per determinare la produzione lorda per tutti i settori, utilizzare la formula:

Per determinare il valore dei flussi di prodotti intersettoriali (matrice x), determiniamo gli elementi della matrice x utilizzando la formula:

dove i = 1…n; j = 1…n;

n è il numero di righe e colonne della matrice quadrata A.

Per determinare il vettore della produzione condizionatamente netta Z, gli elementi del vettore vengono calcolati utilizzando la formula:

Risolvere un problema su un computer

Scarica il programma Mathcad .

Crea un file con il nome Lidovitskiy- Kulik . mcd. nella cartella Ek/k 31 (2).

Sulla base delle impostazioni preliminari (template), creiamo e formattiamo il titolo.

Inserisci con i commenti appropriati ( ORIGINE=1) la matrice data dei coefficienti dei costi materiali diretti A e il vettore della produzione lorda X (tutte le iscrizioni e le designazioni sono inserite in carattere latino, le formule e i commenti forniti devono essere posizionati al livello o al di sopra dei valori calcolati).

Calcoliamo la matrice dei coefficienti dei costi totali del materiale B. Per fare ciò, calcoliamo la matrice unitaria corrispondente alla matrice A. Per fare ciò, utilizziamo la funzione identità ( col ( UN)).

Calcoliamo la matrice B utilizzando la formula:

Determiniamo il volume della produzione lorda per tutti i settori Y utilizzando la formula:

Definizione della matrice X valori dei flussi di prodotto intersettoriali. Per fare ciò, definiamo gli elementi della matrice specificando i commenti:

io=1. righe (A) j=1. cols (A) x i,j =A i,j ·X j

Successivamente troviamo la matrice X .

Calcoliamo il vettore della produzione condizionatamente pura Z impostando la formula per questo:

Poiché in equilibrio Z è un vettore riga, troviamo il vettore trasposto Z T .

Troviamo i totali:

9.11.1 Prodotti condizionatamente puri:

9.11.2 Prodotti finali:

9.11.3 Produzione lorda:

Stampiamo i risultati della soluzione su carta.

Equilibrio intersettoriale tra produzione e distribuzione dei prodotti

Sulla base dei dati ottenuti, elaboreremo un equilibrio intersettoriale di produzione e distribuzione delle risorse.

Conclusioni

Sulla base della matrice dei coefficienti dei costi dei materiali diretti e del vettore della produzione lorda, sono stati determinati i coefficienti dei costi totali dei materiali ed è stato compilato un equilibrio intersettoriale tra produzione e distribuzione delle risorse.

Determinate connessioni materiali o valori dei flussi di prodotti intersettoriali (matrice X), cioè. il costo dei mezzi di produzione prodotti nell'industria produttrice e richiesti come costi materiali nell'industria consumatrice.

Abbiamo determinato il prodotto finale (Y), cioè prodotti che lasciano l’industria di produzione verso l’industria di consumo.

Abbiamo determinato il valore della produzione netta condizionata per settore (Zj; Z T).

È stata determinata la distribuzione finale della produzione lorda (X). Utilizzando la colonna e la riga della produzione lorda, abbiamo verificato il saldo (138+697+282+218) =1335.

Sulla base del bilancio redatto si possono trarre le seguenti conclusioni:

il totale dei costi materiali di qualsiasi industria consumatrice e la sua produzione netta condizionatamente sono pari alla produzione lorda di questa industria.

La produzione lorda di ciascun settore è pari alla somma dei costi materiali delle industrie che consumano i suoi prodotti e dei prodotti finali di questo settore.

Letteratura

1. " Modelli matematici in economia." Linee guida per l'esecuzione di lavori di laboratorio e di prova per studenti di specialità economiche di educazione per corrispondenza. Zhukovsky A.A. CHIPS UrGUPS. Chelyabinsk. 2001.

2. Gataulin A.M., Gavrilov G.V., Sorokina T.M. et al. - M., Agropromizdat, 1990.

3. Metodi economici e matematici e modelli applicati: Libro di testo per le università / A cura di V. V. Fedoseeva. - M.: L'UNITÀ, 2001.

4. Cerca soluzioni ottimali utilizzando Excel 7.0. Kuritsky B.Ya. San Pietroburgo: "VNV - San Pietroburgo", 1997.

5. Plis A.I., Slivina N.A. MathCAD 2000. Workshop matematico per economisti e ingegneri. Mosca. Finanza e statistica. 2000.