Consideriamo un trapezio curvo delimitato dall'asse Ox, dalla curva y=f(x) e da due rette: x=ae x=b (Fig. 85). Prendiamo un valore arbitrario di x (semplicemente non a e non b). Diamogli un incremento h = dx e consideriamo una striscia delimitata dalle rette AB e CD, dall'asse Ox e dall'arco BD appartenenti alla curva in esame. Chiameremo questa striscia una striscia elementare. L'area di una striscia elementare differisce dall'area del rettangolo ACQB per il triangolo curvilineo BQD, e l'area di quest'ultimo è inferiore all'area del rettangolo BQDM con lati BQ = =h= dx) QD=Ay e area pari a hAy = Ay dx. Al diminuire del lato h diminuisce anche il lato Du e contemporaneamente ad h tende a zero. Pertanto l’area del BQDM è infinitesimale del secondo ordine. L'area di una striscia elementare è l'incremento dell'area, e l'area del rettangolo ACQB, pari a AB-AC ==/(x) dx> è il differenziale dell'area. Di conseguenza, troviamo l'area stessa integrando il suo differenziale. All'interno della figura in esame, la variabile indipendente l: cambia da a a b, per cui l'area richiesta 5 sarà pari a 5= \f(x) dx. (I) Esempio 1. Calcoliamo l'area delimitata dalla parabola y - 1 -x*, dalle rette X =--Fj-, x = 1 e dall'asse O* (Fig. 86). alla fig. 87. Figura. 86. 1 Qui f(x) = 1 - l?, i limiti di integrazione sono a = - e £ = 1, quindi J [*-t]\- -fl -- Ã -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Esempio 2. Calcoliamo l'area delimitata dalla sinusoide y = sinXy, dall'asse Ox e dalla retta (Fig. 87). Applicando la formula (I), otteniamo A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Esempio 3. Calcola l'area delimitata dall'arco della sinusoide ^у = sin jc, racchiusa tra due punti di intersezione adiacenti con l'asse Ox (ad esempio tra l'origine e il punto con l'ascissa i). Si noti che da considerazioni geometriche è chiaro che quest'area sarà doppia più area esempio precedente. Facciamo però i calcoli: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o In effetti, la nostra ipotesi si è rivelata corretta. Esempio 4. Calcola l'area delimitata dalla sinusoide e dall'asse Ox in un periodo (Fig. 88). I calcoli preliminari suggeriscono che l’area sarà quattro volte più grande rispetto all’Esempio 2. Tuttavia, dopo aver effettuato i calcoli, otteniamo “i Ã,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Questo risultato richiede un chiarimento. Per chiarire l'essenza della questione, calcoliamo anche l'area limitata dalla stessa sinusoide y = sin l: e l'asse Ox nell'intervallo da l a 2i. Applicando la formula (I), otteniamo 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Pertanto, vediamo che quest'area si è rivelata negativa. Confrontandola con l'area calcolata nell'esercizio 3, troviamo che their valori assoluti sono gli stessi, ma i segni sono diversi. Se applichiamo la proprietà V (vedi Capitolo XI, § 4), otteniamo 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Ciò che è accaduto in questo esempio non è un incidente. Sempre l'area situata sotto l'asse Ox, a condizione che la variabile indipendente cambi da sinistra a destra, si ottiene quando si calcola utilizzando gli integrali. In questo corso considereremo sempre le aree prive di segnaletica. Pertanto, la risposta nell'esempio appena discusso sarà: l'area richiesta è 2 + |-2| = 4. Esempio 5. Calcoliamo l'area del BAB mostrato in Fig. 89. Quest'area è delimitata dall'asse del Bue, dalla parabola y = - xr e dalla retta y - = -x+\. Piazza trapezio curvo L'area richiesta della Rubrica fuori rete è composta da due parti: OAM e MAV. Poiché il punto A è il punto di intersezione di una parabola e di una retta, troveremo le sue coordinate risolvendo il sistema di equazioni 3 2 Y = mx. (bisogna trovare solo l'ascissa del punto A). Risolvendo il sistema troviamo l; =~. Pertanto l'area deve essere calcolata in parti, primo quadrato. OAM e poi pl. MAV: .... SOL 3 2, 3 SOL xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = [sostituzione:

] =

Ciò significa che l'integrale improprio converge e il suo valore è uguale a .

Indietro avanti

Attenzione! Le anteprime delle diapositive sono solo a scopo informativo e potrebbero non rappresentare tutte le funzionalità della presentazione. Se siete interessati questo lavoro, scarica la versione completa.

Parole chiave: trapezio integrale, curvilineo, area di figure delimitate da gigli

Attrezzatura: lavagna luminosa, computer, proiettore multimediale

Tipo di lezione: lezione-lezione

Obiettivi della lezione:

• educativo: creare una cultura del lavoro mentale, creare una situazione di successo per ogni studente e creare una motivazione positiva per l'apprendimento; sviluppare la capacità di parlare e ascoltare gli altri.
• sviluppando: formazione del pensiero indipendente dello studente nell'applicazione della conoscenza situazioni diverse, la capacità di analizzare e trarre conclusioni, lo sviluppo della logica, lo sviluppo della capacità di porre correttamente domande e trovare risposte ad esse. Migliorare la formazione di abilità computazionali e computazionali, sviluppare il pensiero degli studenti nel corso del completamento dei compiti proposti, sviluppare una cultura algoritmica.
• educativo: formare concetti su un trapezio curvilineo, su un integrale, padroneggiare le capacità di calcolo delle aree delle figure piane

Metodo d'insegnamento: esplicativo e illustrativo.

Durante le lezioni

Nelle lezioni precedenti abbiamo imparato a calcolare le aree delle figure i cui confini sono linee poligonali. In matematica esistono metodi che consentono di calcolare le aree delle figure delimitate da curve. Tali figure sono chiamate trapezi curvilinei e la loro area viene calcolata utilizzando gli antiderivativi.

Trapezio curvilineo ( diapositiva 1)

Un trapezio curvo è una figura delimitata dal grafico di una funzione, ( sh.m.), Dritto x = a E x = b e l'asse x

Vari tipi di trapezi curvi ( diapositiva 2)

Stiamo considerando diversi tipi trapezi curvilinei e nota: una delle rette è degenere in un punto, il ruolo della funzione limitante è svolto dalla retta

Area di un trapezio curvo (diapositiva 3)

Fissiamo l'estremità sinistra dell'intervallo UN, e quello giusto X cambieremo, cioè spostiamo la parete destra del trapezio curvilineo e otteniamo una figura che cambia. L'area di un trapezio curvilineo variabile delimitata dal grafico della funzione è un'antiderivativa F per funzione F

E sul segmento [ UN; B] area di un trapezio curvilineo formato dalla funzione F,è uguale all'incremento dell'antiderivativa di questa funzione:

Esercizio 1:

Trova l'area di un trapezio curvilineo delimitato dal grafico della funzione: f(x) = x2 e dritto y = 0, x = 1, x = 2.

Soluzione: ( secondo l'algoritmo slide 3)

Disegniamo un grafico della funzione e delle linee

Troviamone uno funzioni antiderivative f(x) = x2 :

Autotest su vetrino

Integrante

Consideriamo un trapezio curvilineo definito dalla funzione F sul segmento [ UN; B]. Suddividiamo questo segmento in più parti. L'area dell'intero trapezio verrà divisa nella somma delle aree dei trapezi curvi più piccoli. ( diapositiva 5). Ciascuno di questi trapezi può essere approssimativamente considerato un rettangolo. La somma delle aree di questi rettangoli dà un'idea approssimativa dell'intera area del trapezio curvo. Quanto più piccolo dividiamo il segmento [ UN; B], più accuratamente calcoliamo l'area.

Scriviamo questi argomenti sotto forma di formule.

Dividere il segmento [ UN; B] in n parti per punti x0 =a,x1,...,xn = b. Lunghezza K- th denotare con xk = xk – xk-1. Facciamo un bilancio

Dal punto di vista geometrico, questa somma rappresenta l'area della figura ombreggiata in figura ( sh.m.)

Le somme della forma sono chiamate somme intere della funzione F. (sh.m.)

Le somme integrali danno un valore approssimativo dell'area. Valore esatto si ottiene passando al limite. Immaginiamo di perfezionare la partizione del segmento [ UN; B] in modo che le lunghezze di tutti i segmenti piccoli tendano a zero. Quindi l'area della figura composta si avvicinerà all'area del trapezio curvo. Possiamo dire che l'area di un trapezio curvo è uguale al limite delle somme integrali, Sc.t. (sh.m.) o integrale, cioè

Definizione:

Integrale di una funzione f(x) da UN Prima B detto limite delle somme intere

= (sh.m.)

Formula di Newton-Leibniz.

Ricordiamo che il limite delle somme integrali è pari all'area di un trapezio curvilineo, ciò significa che possiamo scrivere:

Sc.t. = (sh.m.)

D'altra parte, l'area di un trapezio curvo si calcola con la formula

S k.t. (sh.m.)

Confrontando queste formule, otteniamo:

= (sh.m.)

Questa uguaglianza è chiamata formula di Newton-Leibniz.

Per comodità di calcolo la formula si scrive così:

= = (sh.m.)

Compiti: (sh.m.)

1. Calcola l'integrale utilizzando la formula di Newton-Leibniz: ( controlla nella diapositiva 5)

2. Comporre gli integrali secondo il disegno ( controlla nella diapositiva 6)

3. Trova l'area della figura delimitata dalle linee: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapositiva 7)

Trovare le aree delle figure piane ( diapositiva 8)

Come trovare l'area delle figure che non sono trapezi curvi?

Siano date due funzioni, i cui grafici vedi nella diapositiva . (sh.m.) Trova l'area della figura ombreggiata . (sh.m.). La figura in questione è un trapezio curvo? Come puoi trovare la sua area utilizzando la proprietà di additività dell'area? Consideriamo due trapezi curvi e sottraiamo l'area dell'altro dall'area di uno di essi ( sh.m.)

Creiamo un algoritmo per trovare l'area utilizzando l'animazione su una diapositiva:

1. Funzioni grafiche
2. Proietta i punti di intersezione dei grafici sull'asse x
3. Ombreggia la figura ottenuta quando i grafici si intersecano
4. Trova trapezi curvilinei la cui intersezione o unione è la figura data.
5. Calcola l'area di ciascuno di essi
6. Trova la differenza o la somma delle aree

Compito orale: come ottenere l'area di una figura ombreggiata (raccontare utilizzando l'animazione, diapositive 8 e 9)

Compiti a casa: Analizza le note, N. 353 (a), N. 364 (a).

Bibliografia

1. Algebra e gli inizi dell'analisi: un libro di testo per le classi 9-11 della scuola serale (turno) / ed. G.D. Glaser. - M: Illuminismo, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra e inizi dell'analisi: un libro di testo per 10-11 classi di scuola secondaria / Bashmakov M.I. - M: Illuminismo, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematica: libro di testo per le istituzioni a partire. e mercoledì prof. istruzione / M.I. Bashmakov. - M: Accademia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra e inizi di analisi: libro di testo per le classi 10-11. istituzioni educative / A.N. - M: Istruzione, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Come fare una presentazione per una lezione?/ S.L. Ostrovskij. – M.: Primo settembre 2010.

Integrale definito. Come calcolare l'area di una figura

Passiamo ora a considerare le applicazioni del calcolo integrale. In questa lezione analizzeremo il compito tipico e più comune – come utilizzare un integrale definito per calcolare l’area di una figura piana. Infine, coloro che cercano un significato nella matematica superiore, possano trovarlo. Non si sa mai. Dovremo avvicinarlo nella vita zona casolare di campagna funzioni elementari e trovarne l'area utilizzando un integrale definito.

Per padroneggiare con successo il materiale, devi:

1) Comprendere integrale indefinito almeno a livello medio. Pertanto, i manichini dovrebbero prima leggere la lezione Non.

2) Essere in grado di applicare la formula di Newton-Leibniz e di calcolare integrale definito. Preparati al caldo rapporti amichevoli con integrali definiti si trovano nella pagina Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Infatti, per trovare l’area di una figura non è necessaria molta conoscenza dell’integrale indefinito e definito. Il compito di “calcolare l'area utilizzando un integrale definito” implica sempre la costruzione di un disegno, molto di più questione di attualità saranno le tue conoscenze e abilità nel disegno. A questo proposito è utile rinfrescarsi la memoria con i grafici delle funzioni elementari di base e, come minimo, saper costruire una retta, una parabola e un'iperbole. Questo può essere fatto (per molti è necessario) utilizzando materiale metodologico e articoli sulle trasformazioni geometriche dei grafici.

In realtà, il compito di trovare l'area utilizzando un integrale definito è familiare a tutti fin dai tempi della scuola, e non andremo molto oltre curriculum scolastico. Questo articolo potrebbe non essere esistito affatto, ma il fatto è che il problema si verifica in 99 casi su 100, quando uno studente soffre di una scuola odiata e segue con entusiasmo un corso di matematica superiore.

I materiali di questo workshop sono presentati in modo semplice, dettagliato e con un minimo di teoria.

Cominciamo con un trapezio curvo.

Trapezio curvilineoè una figura piana delimitata da un asse, da rette e dal grafico di una funzione continua su un intervallo che non cambia segno su questo intervallo. Lascia che questa figura venga localizzata non meno asse x:

Poi l'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale a un integrale definito. Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico. Alla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni Ho detto che un integrale definito è un numero. E ora è il momento di dirne un’altra fatto utile. Dal punto di vista della geometria l'integrale definito è l'AREA.

Questo è, l'integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di una certa figura. Consideriamo ad esempio l’integrale definito. L'integrando definisce una curva sul piano posto sopra l'asse (chi vuole può fare un disegno), e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area corrispondente trapezio curvo.

Esempio 1

Questa è una tipica dichiarazione di assegnazione. Primo e il momento più importante soluzioni - disegno. Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.

Quando si costruisce un disegno, consiglio il seguente ordine: All'inizioè meglio costruire tutte le rette (se esistono) e solo Poi– parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. È più redditizio costruire grafici di funzioni punto per punto, la tecnica di costruzione punto per punto si trova in materiale di riferimento Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Lì puoi anche trovare materiale molto utile per la nostra lezione: come costruire rapidamente una parabola.

In questo problema, la soluzione potrebbe assomigliare a questa.
Completiamo il disegno (nota che l'equazione definisce l'asse):

Non tratterò un trapezio curvo, qui è ovvio quale sia l'area stiamo parlando. La soluzione continua così:

Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, Ecco perché:

Risposta:

Chi ha difficoltà nel calcolare l'integrale definito e nell'applicare la formula di Newton-Leibniz , fare riferimento alla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Una volta completata l'attività, è sempre utile guardare il disegno e capire se la risposta è reale. In questo caso, contiamo il numero di celle nel disegno “a occhio” - beh, ce ne saranno circa 9, sembra essere vero. È assolutamente chiaro che se otteniamo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora è ovvio che è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle ovviamente non rientrano nella cifra in questione, al massimo una dozzina. Se la risposta è negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.

Esempio 2

Calcola l'area di una figura delimitata dalle linee , e dall'asse

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Cosa fare se si trova il trapezio curvo sotto l'asse?

Esempio 3

Calcola l'area della figura delimitata da linee e assi coordinati.

Soluzione: Facciamo un disegno:

Se si trova un trapezio curvo sotto l'asse(o quantomeno non più alto dato l'asse), allora la sua area può essere trovata utilizzando la formula:
In questo caso:

Attenzione! I due tipi di compiti non devono essere confusi:

1) Se ti viene chiesto di risolvere semplicemente un integrale definito senza alcuno significato geometrico, allora può essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura utilizzando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché nella formula appena discussa appare il segno meno.

In pratica, molto spesso la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore, e quindi dal più semplice problemi scolastici Passiamo ad esempi più significativi.

Esempio 4

Trova l'area di una figura piana delimitata dalle linee , .

Soluzione: Per prima cosa devi completare il disegno. In generale, quando costruiamo un disegno per problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Troviamo i punti di intersezione della parabola e della retta. Questo può essere fatto in due modi. Il primo metodo è analitico. Risolviamo l'equazione:

Ciò significa che il limite inferiore di integrazione è , il limite superiore di integrazione è .
Se possibile, è meglio non utilizzare questo metodo..

È molto più redditizio e veloce costruire linee punto per punto, e i limiti dell’integrazione diventano chiari “da soli”. La tecnica di costruzione punto per punto di vari grafici è discussa in dettaglio nella guida Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Tuttavia, il metodo analitico per la ricerca dei limiti talvolta deve ancora essere utilizzato se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande o la costruzione dettagliata non ha rivelato i limiti dell'integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). E considereremo anche un esempio del genere.

Torniamo al nostro compito: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Facciamo il disegno:

Ripeto che quando si costruisce puntualmente, i limiti dell'integrazione vengono spesso scoperti “automaticamente”.

E ora la formula di lavoro: Se è presente una funzione continua sul segmento maggiore o uguale a qualche funzione continua, quindi l'area della figura, limitato dagli orari determinate funzioni e rette , , possono essere trovate utilizzando la formula:

Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura: sopra o sotto l'asse e, in parole povere, importa quale grafico è PIÙ ALTO(relativo ad un altro grafico), e quale è SOTTO.

Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi occorre sottrarre da

La soluzione completata potrebbe assomigliare a questa:

La figura desiderata è limitata da una parabola sopra e da una linea retta sotto.
Sul segmento, secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Infatti, la formula scolastica per l'area di un trapezio curvilineo nel semipiano inferiore (vedi semplice esempio n. 3) è caso speciale formule . Poiché l'asse è specificato dall'equazione e si trova il grafico della funzione non più alto assi, quindi

E ora un paio di esempi per la tua soluzione

Esempio 5

Esempio 6

Trova l'area della figura delimitata dalle linee , .

Quando si risolvono problemi che coinvolgono il calcolo dell'area utilizzando un integrale definito, a volte accade un incidente divertente. Il disegno è stato fatto correttamente, i calcoli erano corretti, ma per disattenzione... è stata trovata l'area della figura sbagliata, è proprio così che il tuo umile servitore ha commesso un errore più volte. Qui caso reale dalla vita:

Esempio 7

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , , , .

Soluzione: Per prima cosa, facciamo un disegno:

...Eh, il disegno è venuto una schifezza, ma sembra tutto leggibile.

La figura di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu(guarda attentamente le condizioni: come è limitata la cifra!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, spesso si verifica un "problema tecnico" per cui è necessario trovare l'area della figura ombreggiata verde!

Questo esempio è utile anche perché calcola l'area di una figura utilizzando due integrali definiti. Veramente:

1) Sul segmento sopra l'asse c'è il grafico di una retta;

2) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico di un'iperbole.

È abbastanza ovvio che le aree possono (e devono) essere aggiunte, quindi:

Risposta:

Passiamo a un altro compito significativo.

Esempio 8

Calcola l'area di una figura delimitata da linee,
Presentiamo le equazioni in forma “scolastica” e facciamo un disegno punto per punto:

Dal disegno è chiaro che il nostro limite superiore è “buono”: .
Ma qual è il limite inferiore?! È chiaro che questo non è un numero intero, ma cos'è? Forse ? Ma dov'è la garanzia che il disegno sia stato eseguito con perfetta precisione, potrebbe benissimo risultare che... O la radice. Cosa succederebbe se costruissimo il grafico in modo errato?

In questi casi è necessario dedicare ulteriore tempo e chiarire analiticamente i limiti dell’integrazione.

Troviamo i punti di intersezione di una retta e di una parabola.
Per fare ciò, risolviamo l'equazione:


,

Veramente, .

L'ulteriore soluzione è banale, l'importante è non confondersi in sostituzioni e segni, i calcoli qui non sono dei più semplici;

Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Bene, per concludere la lezione, esaminiamo due compiti più difficili.

Esempio 9

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , ,

Soluzione: Descriviamo questa figura sul disegno.

Accidenti, ho dimenticato di firmare il programma e, scusate, non volevo rifare la foto. Non è una giornata di sorteggio, insomma, oggi è la giornata giusta =)

Per la costruzione punto per punto devi sapere aspetto sinusoidi (e generalmente utile sapere grafici di tutte le funzioni elementari), così come alcuni valori del seno, possono essere trovati in tavola trigonometrica. In alcuni casi (come in questo caso) è possibile costruire un disegno schematico, sul quale dovrebbero essere visualizzati fondamentalmente correttamente i grafici ed i limiti di integrazione.

Non ci sono problemi con i limiti di integrazione qui; derivano direttamente dalla condizione: “x” cambia da zero a “pi”. Prendiamo un'ulteriore decisione:

Sul segmento il grafico della funzione si trova sopra l'asse, quindi: