Area antiderivativa di un trapezio curvilineo. Calcolatore online. Calcola l'integrale definito (area di un trapezio curvo)

Consideriamo un trapezio curvo delimitato dall'asse Ox, dalla curva y=f(x) e da due rette: x=ae x=b (Fig. 85). Prendiamo un valore arbitrario di x (semplicemente non a e non b). Diamogli un incremento h = dx e consideriamo una striscia delimitata dalle rette AB e CD, dall'asse Ox e dall'arco BD appartenenti alla curva in esame. Chiameremo questa striscia una striscia elementare. L'area di una striscia elementare differisce dall'area del rettangolo ACQB per il triangolo curvilineo BQD, e l'area di quest'ultimo è inferiore all'area del rettangolo BQDM con lati BQ = =h= dx) QD=Ay e area pari a hAy = Ay dx. Al diminuire del lato h diminuisce anche il lato Du e contemporaneamente ad h tende a zero. Pertanto l’area del BQDM è infinitesimale del secondo ordine. L'area di una striscia elementare è l'incremento dell'area, e l'area del rettangolo ACQB, pari a AB-AC ==/(x) dx> è il differenziale dell'area. Di conseguenza, troviamo l'area stessa integrando il suo differenziale. All'interno della figura in esame, la variabile indipendente l: cambia da a a b, per cui l'area richiesta 5 sarà pari a 5= \f(x) dx. (I) Esempio 1. Calcoliamo l'area delimitata dalla parabola y - 1 -x*, dalle rette X =--Fj-, x = 1 e dall'asse O* (Fig. 86). alla fig. 87. Figura. 86. 1 Qui f(x) = 1 - l?, i limiti di integrazione sono a = - e £ = 1, quindi J [*-t]\- -fl -- Ã -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Esempio 2. Calcoliamo l'area delimitata dalla sinusoide y = sinXy, dall'asse Ox e dalla retta (Fig. 87). Applicando la formula (I), otteniamo A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Esempio 3. Calcola l'area delimitata dall'arco della sinusoide ^у = sin jc, racchiusa tra due punti di intersezione adiacenti con l'asse Ox (ad esempio tra l'origine e il punto con l'ascissa i). Si noti che da considerazioni geometriche è chiaro che quest’area sarà il doppio dell’area dell’esempio precedente. Facciamo però i calcoli: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o In effetti, la nostra ipotesi si è rivelata corretta. Esempio 4. Calcola l'area delimitata dalla sinusoide e dall'asse Ox in un periodo (Fig. 88). I calcoli preliminari suggeriscono che l’area sarà quattro volte più grande rispetto all’Esempio 2. Tuttavia, dopo aver effettuato i calcoli, otteniamo “i Ã,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Questo risultato richiede un chiarimento. Per chiarire l'essenza della questione, calcoliamo anche l'area limitata dalla stessa sinusoide y = sin l: e l'asse Ox nell'intervallo da l a 2i. Applicando la formula (I), otteniamo 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Pertanto, vediamo che quest'area si è rivelata negativa. Confrontandola con l'area calcolata nell'esercizio 3, troviamo che i loro valori assoluti sono gli stessi, ma i segni sono diversi. Se applichiamo la proprietà V (vedi Capitolo XI, § 4), otteniamo 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Ciò che è accaduto in questo esempio non è un incidente. Sempre l'area situata sotto l'asse Ox, a condizione che la variabile indipendente cambi da sinistra a destra, si ottiene quando si calcola utilizzando gli integrali. In questo corso considereremo sempre le aree prive di segnaletica. Pertanto, la risposta nell'esempio appena discusso sarà: l'area richiesta è 2 + |-2| = 4. Esempio 5. Calcoliamo l'area del BAB mostrato in Fig. 89. Quest'area è delimitata dall'asse del Bue, dalla parabola y = - xr e dalla retta y - = -x+\. Area di un trapezio curvilineo L'area richiesta OAB è composta da due parti: OAM e MAV. Poiché il punto A è il punto di intersezione di una parabola e di una retta, troveremo le sue coordinate risolvendo il sistema di equazioni 3 2 Y = mx. (bisogna trovare solo l'ascissa del punto A). Risolvendo il sistema troviamo l; =~. Pertanto l'area deve essere calcolata in parti, primo quadrato. OAM e poi pl. MAV: .... SOL 3 2, 3 SOL xP 3 1/2 U 2. QAM-^x mq. unità 2 = 2 mq. unità

Esempio 5. Calcola l'area di una figura delimitata dalle linee: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Qui è necessario calcolare l'area di un trapezio curvilineo delimitato dal ramo superiore della parabola 2 = x, asse Ox e rette x = 1 e x = 4 (vedi figura)

Secondo la formula (1), dove f(x) = a = 1 e b = 4, abbiamo = (= unità quadrate.

Esempio 6 . Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

L'area richiesta è limitata dalla semionda della sinusoide e dall'asse Ox (vedi figura).

Abbiamo - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 mq. unità

Esempio 7. Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: y = - 6x, y = 0 e x = 4.

La figura si trova sotto l'asse del Bue (vedi figura).

Pertanto, troviamo la sua area utilizzando la formula (3)

= =

Esempio 8. Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: y = e x = 2. Costruisci la curva y = dai punti (vedi figura). Pertanto, troviamo l'area della figura usando la formula (4)

Esempio 9 .

X 2 + sì 2 = r 2 .

Qui devi calcolare l'area racchiusa dal cerchio x 2 + sì 2 = r 2 , cioè l'area di un cerchio di raggio r con centro nell'origine. Troviamo la quarta parte di quest'area prendendo i limiti di integrazione da 0

Prima; abbiamo: 1 = = [

Quindi, 1 =

Esempio 10. Calcola l'area di una figura delimitata dalle linee: y= x 2 e y = 2x

Questa figura è limitata dalla parabola y = x 2 e la retta y = 2x (vedi figura) Per determinare i punti di intersezione delle rette date, risolviamo il sistema di equazioni: x 2 – 2x = 0 x = 0 e x = 2

Usando la formula (5) per trovare l'area, otteniamo

= area del trapezio curvo formato dalla funzione F,è uguale all'incremento dell'antiderivativa di questa funzione:

Compito 1:

Trova l'area di un trapezio curvilineo delimitato dal grafico della funzione: f(x) = x2 e dritto y = 0, x = 1, x = 2.

Soluzione: ( secondo l'algoritmo slide 3)

Disegniamo un grafico della funzione e delle linee

Troviamo una delle antiderivative della funzione f(x) = x2 :

Autotest della diapositiva

Integrante

Consideriamo un trapezio curvilineo definito dalla funzione F sul segmento [ UN; B]. Suddividiamo questo segmento in più parti. L'area dell'intero trapezio verrà divisa nella somma delle aree dei trapezi curvi più piccoli. ( diapositiva 5). Ciascuno di questi trapezi può essere approssimativamente considerato un rettangolo. La somma delle aree di questi rettangoli dà un'idea approssimativa dell'intera area del trapezio curvo. Quanto più piccolo dividiamo il segmento [ UN; B], più accuratamente calcoliamo l'area.

Scriviamo questi argomenti sotto forma di formule.

Dividere il segmento [ UN; B] in n parti per punti x 0 = a, x1,…, xn = b. Lunghezza k- th denotare con xk = xk – xk-1. Facciamo un bilancio

Dal punto di vista geometrico, questa somma rappresenta l'area della figura ombreggiata in figura ( sh.m.)

Le somme della forma sono chiamate somme intere della funzione F. (sh.m.)

Le somme integrali danno un valore approssimativo dell'area. Il valore esatto si ottiene passando al limite. Immaginiamo di perfezionare la partizione del segmento [ UN; B] in modo che le lunghezze di tutti i segmenti piccoli tendano a zero. Quindi l'area della figura composta si avvicinerà all'area del trapezio curvo. Possiamo dire che l'area di un trapezio curvo è uguale al limite delle somme integrali, Sc.t. (sh.m.) o integrale, cioè

Definizione:

Integrale di una funzione f(x) da UN A B detto limite delle somme intere

= (sh.m.)

Formula di Newton-Leibniz.

Ricordiamo che il limite delle somme integrali è pari all'area di un trapezio curvilineo, ciò significa che possiamo scrivere:

Sc.t. = (sh.m.)

D'altra parte, l'area di un trapezio curvo viene calcolata dalla formula

S k.t. (sh.m.)

Confrontando queste formule, otteniamo:

= (sh.m.)

Questa uguaglianza è chiamata formula di Newton-Leibniz.

Per comodità di calcolo la formula si scrive così:

= = (sh.m.)

Compiti: (sh.m.)

1. Calcola l'integrale utilizzando la formula di Newton-Leibniz: ( controlla nella diapositiva 5)

2. Comporre gli integrali secondo il disegno ( controlla nella diapositiva 6)

3. Trova l'area della figura delimitata dalle linee: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapositiva 7)

Trovare le aree delle figure piane ( diapositiva 8)

Come trovare l'area delle figure che non sono trapezi curvi?

Siano date due funzioni, i cui grafici vedi nella diapositiva . (sh.m.) Trova l'area della figura ombreggiata . (sh.m.). La figura in questione è un trapezio curvo? Come puoi trovare la sua area utilizzando la proprietà di additività dell'area? Consideriamo due trapezi curvi e sottraiamo l'area dell'altro dall'area di uno di essi ( sh.m.)

Creiamo un algoritmo per trovare l'area utilizzando l'animazione su una diapositiva:

1. Funzioni grafiche
2. Proietta i punti di intersezione dei grafici sull'asse x
3. Ombreggia la figura ottenuta quando i grafici si intersecano
4. Trova trapezi curvilinei la cui intersezione o unione è la figura data.
5. Calcola l'area di ciascuno di essi
6. Trova la differenza o la somma delle aree

Compito orale: come ottenere l'area di una figura ombreggiata (raccontare utilizzando l'animazione, diapositive 8 e 9)

Compiti a casa: Analizza le note, N. 353 (a), N. 364 (a).

Riferimenti

1. Algebra e gli inizi dell'analisi: un libro di testo per le classi 9-11 della scuola serale (turno) / ed. G.D. Glaser. - M: Illuminismo, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra e inizi dell'analisi: un libro di testo per 10-11 classi di scuola secondaria / Bashmakov M.I. - M: Illuminismo, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematica: libro di testo per le istituzioni a partire. e mercoledì prof. istruzione / M.I. Bashmakov. - M: Accademia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra e inizi di analisi: libro di testo per le classi 10-11. istituzioni educative / A.N. - M: Istruzione, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Come fare una presentazione per una lezione?/ S.L. Ostrovskij. – M.: 1 settembre 2010.

Lavori finiti

LAVORI DI LAUREA

Molto è già passato e ora sei laureato, se, ovviamente, scrivi la tua tesi in tempo. Ma la vita è tale che solo ora ti diventa chiaro che, avendo smesso di essere uno studente, perderai tutte le gioie dello studente, molte delle quali non hai mai provato, rimandando tutto e rimandando a dopo. E adesso, invece di rimetterti in pari, lavori alla tua tesi? Esiste un'ottima soluzione: scarica la tesi che ti serve dal nostro sito - e avrai subito molto tempo libero!
Le tesi sono state difese con successo nelle principali università della Repubblica del Kazakistan.
Costo del lavoro da 20.000 tenge

IL CORSO FUNZIONA

Il progetto del corso è il primo lavoro pratico serio. È con la scrittura dei corsi che inizia la preparazione per lo sviluppo dei progetti di diploma. Se uno studente impara a presentare correttamente il contenuto di un argomento in un progetto del corso e a formattarlo in modo competente, in futuro non avrà problemi con la scrittura di relazioni, la composizione di tesi o l'esecuzione di altri compiti pratici. Per assistere gli studenti nella stesura di questo tipo di lavoro studentesco e per chiarire le domande che sorgono durante la sua preparazione, infatti, è stata creata questa sezione informativa.
Costo del lavoro da 2.500 tenge

TESI DI MAGISTRALE

Attualmente, negli istituti di istruzione superiore del Kazakistan e dei paesi della CSI, il livello di istruzione professionale superiore che segue la laurea è molto comune: il master. Nel programma del master, gli studenti studiano con l'obiettivo di ottenere un master, che nella maggior parte dei paesi del mondo è riconosciuto più di una laurea, ed è riconosciuto anche dai datori di lavoro stranieri. Il risultato degli studi di master è la difesa di una tesi di master.
Ti forniremo materiale analitico e testuale aggiornato; il prezzo comprende 2 articoli scientifici e un abstract;
Costo del lavoro da 35.000 tenge

RAPPORTI DI PRATICA

Dopo aver completato qualsiasi tipo di tirocinio studentesco (didattico, industriale, pre-laurea), è richiesta una relazione. Questo documento costituirà la conferma del lavoro pratico dello studente e la base per formare una valutazione per la pratica. Di solito, per redigere una relazione su uno stage, è necessario raccogliere e analizzare informazioni sull'impresa, considerare la struttura e la routine lavorativa dell'organizzazione in cui si svolge lo stage, elaborare un piano di calendario e descrivere le proprie attività pratiche. attività.
Ti aiuteremo a scrivere un rapporto sul tuo tirocinio, tenendo conto delle specificità delle attività di una particolare impresa.