Perché è necessario l’errore assoluto? Misura di grandezze fisiche

Il risultato della misurazione di una quantità fisica differisce sempre dal valore reale di una certa quantità, che viene chiamata errore

CLASSIFICAZIONE:

1. Come espressione: assoluto, ridotto e relativo

2. Per fonte d'origine: metodologica e strumentale.

3. In base alle condizioni e alle cause di accadimento: principale e aggiuntivo

4. Dalla natura dei cambiamenti: sistematici e casuali.

5. A seconda del valore misurato in ingresso: additivo e moltiplicativo

6. Dipendenza dall'inerzia: statica e dinamica.

13. Errori assoluti, relativi e ridotti.

Errore assolutoè la differenza tra i valori misurati e quelli effettivi della quantità misurata:

dove A è misurato, A sono i valori misurati ed effettivi; ΔA - errore assoluto.

L'errore assoluto è espresso in unità del valore misurato. L'errore assoluto preso con il segno opposto si chiama correzione.

Parenteerrore p è uguale al rapporto errore assolutoΔA al valore effettivo del valore misurato ed è espresso in percentuale:

Datoerrore di uno strumento di misura è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore nominale. Il valore nominale per un dispositivo con scala unilaterale è uguale al limite superiore di misurazione, per un dispositivo con scala bilaterale (con zero al centro) - la somma aritmetica dei limiti superiori di misurazione:

n.

14. Errori metodologici, strumentali, sistematici e casuali.

Errore di metodoè dovuto all'imperfezione del metodo di misurazione utilizzato, all'imprecisione delle formule e alle dipendenze matematiche che descrivono questo metodo di misurazione, nonché all'influenza dello strumento di misura sull'oggetto le cui proprietà cambiano.

Errore strumentale(errore dello strumento) è dovuto alle caratteristiche di progettazione del dispositivo di misurazione, all'imprecisione della calibrazione e della scala, nonché all'installazione errata del dispositivo di misurazione.

L'errore strumentale, di norma, è indicato nel passaporto dello strumento di misura e può essere valutato in termini numerici.

Errore sistematico- un errore costante o naturalmente variabile durante misurazioni ripetute della stessa quantità nelle stesse condizioni di misurazione. Ad esempio, l'errore che si verifica quando si misura la resistenza con un ampervoltmetro è causato da una batteria scarica.

Errore casuale- errore di misurazione, la cui natura cambia durante misurazioni ripetute della stessa quantità nelle stesse condizioni è casuale. Ad esempio, l'errore di conteggio durante diverse misurazioni ripetute.

La causa dell'errore casuale è l'azione simultanea di molti fattori casuali, ciascuno dei quali individualmente ha poco effetto.

L'errore casuale può essere valutato e parzialmente ridotto attraverso metodi di elaborazione adeguati statistica matematica, nonché metodi probabilistici.

15. Errori fondamentali e aggiuntivi, statici e dinamici.

Errore di base- errore che si verifica nelle normali condizioni di utilizzo di uno strumento di misura (temperatura, umidità, tensione di alimentazione, ecc.), standardizzate e specificate in norme o specifiche tecniche.

Errore aggiuntivoè causato dalla deviazione di una o più grandezze d'influenza dal valore normale. Ad esempio, il cambiamento di temperatura ambiente, variazioni di umidità, fluttuazioni della tensione di alimentazione. Il valore dell'errore aggiuntivo è standardizzato e indicato nella documentazione tecnica degli strumenti di misura.

Errore statico- errore durante la misurazione di un valore di costante di tempo. Ad esempio, l'errore di misurazione di una tensione di corrente costante durante la misurazione.

Errore dinamico- errore di misura di una grandezza variabile nel tempo. Ad esempio, l'errore nella misurazione della tensione CC commutata a causa di processi transitori durante la commutazione, nonché della velocità limitata strumento di misura.

MISURA DI GRANDEZZE FISICHE.

INTRODUZIONE

Il complesso K-402.1 lo è elenco necessario attività di laboratorio previste dallo standard didattico e programma di lavoro nella sezione "Dinamiche" solido"disciplina "Fisica". Comprende una descrizione delle installazioni di laboratorio, la procedura per le misurazioni e un algoritmo per il calcolo di alcune quantità fisiche.

Se uno studente inizia a familiarizzare con un lavoro specifico in classe durante una lezione, le due ore assegnate per completarne uno lavoro di laboratorio, non ne avrà abbastanza e inizierà a restare indietro rispetto al programma di lavoro del semestre. Per eliminare ciò, lo standard educativo di seconda generazione prevede che il 50% delle ore destinate allo studio della disciplina siano dedicate al lavoro indipendente, che è una componente necessaria del processo di apprendimento. Scopo lavoro indipendenteè consolidare e approfondire conoscenze e abilità, prepararsi per lezioni frontali, lezioni pratiche e di laboratorio, nonché sviluppare l'indipendenza degli studenti nell'acquisizione di nuove conoscenze e abilità.

Sono previsti curricula per diverse specialità autodidatta disciplina “Fisica” nel corso del semestre dalle 60 alle 120 ore. Di questi, le lezioni di laboratorio rappresentano 20–40 ore o 2–4 ore per lavoro. Durante questo periodo, lo studente deve: leggere i paragrafi rilevanti nei libri di testo; imparare formule e leggi di base; acquisire familiarità con la procedura di installazione e misurazione. Per poter eseguire lavori sull'impianto, lo studente deve conoscere il dispositivo dell'impianto, essere in grado di determinare il valore di divisione dello strumento di misura, conoscere la sequenza delle misurazioni, essere in grado di elaborare i risultati della misurazione e valutare l'errore.

Dopo tutti i calcoli e la preparazione della relazione, lo studente deve trarre una conclusione, indicando specificamente quelle leggi fisiche che sono state testate durante il lavoro.

Esistono due tipi di misurazioni: dirette e indirette.

Le misurazioni dirette sono quelle in cui viene effettuato un confronto tra una misura e un oggetto. Ad esempio, misurare l'altezza e il diametro di un cilindro utilizzando un calibro.

Nelle misurazioni indirette, una grandezza fisica viene determinata sulla base di una formula che ne stabilisce la relazione con le quantità trovate mediante misurazioni dirette.

La misurazione non può essere effettuata con assoluta precisione. Il suo risultato contiene sempre qualche errore.

Gli errori di misurazione sono generalmente divisi in sistematici e casuali.

Errori sistematici sono causati da fattori che agiscono nello stesso modo quando le stesse misurazioni vengono ripetute più volte.

Il contributo agli errori sistematici deriva da strumentale O errore dello strumento, che è determinato dalla sensibilità del dispositivo. In assenza di tali dati sullo strumento, l'errore dello strumento viene considerato pari al prezzo o alla metà del prezzo della divisione di scala più piccola dello strumento.

Errori casuali causato dall’azione simultanea di molti fattori che non possono essere presi in considerazione. La maggior parte delle misurazioni sono accompagnate da errori casuali, caratterizzati dal fatto che ad ogni misurazione ripetuta assumono un valore diverso e imprevedibile.

Errore assoluto includerà errori sistematici e casuali:

. (1.1)

Il valore reale del valore misurato sarà compreso nell'intervallo:

che prende il nome di intervallo di confidenza.

Per determinare l'errore casuale, calcolare prima la media di tutti i valori ottenuti durante la misurazione:

, (1.2)

dov'è il risultato io-esima dimensione, – numero di dimensioni.

Successivamente vengono rilevati gli errori delle singole misurazioni

, , …, .

. (1.3)

Quando si elaborano i risultati della misurazione, viene utilizzata la distribuzione di Student. Tenendo conto del coefficiente di Student, errore casuale

.

Tabella 1.1

Tabella dei coefficienti di studente

N
0,6	0,7	0,9	0,95	0,99
	1,36	2,0	6,3	12,7	636,6
	1,06	1,3	2,9	4,3	31,6
	0,98	1,3	2,4	3,2	12,9
	0,94	1,2	2,1	2,8	8,7
…	…	…	…	…	…
	0,85	1,0	1,7	2,0	3,5
	0,84	1,0	1,7	2,0	3,4

Il coefficiente di Student mostra la deviazione della media aritmetica dal valore vero, espressa come frazione dell'errore quadratico medio. Il coefficiente di Student dipende dal numero di misurazioni N e sull'affidabilità ed è indicato in tabella. 1.1.

L'errore assoluto viene calcolato utilizzando la formula

.

Nella maggior parte dei casi non è l’errore assoluto, ma quello relativo a svolgere un ruolo più significativo

O . (1.4)

Tutti i risultati del calcolo vengono inseriti nella tabella. 1.2.

Tabella 1.2

Il risultato del calcolo dell'errore di misurazione

NO.
	mm	mm	mm	mm2	mm2	mm	mm	mm	mm	mm	%

Calcolo degli errori delle misurazioni indirette

Termini errore di misurazione E errore di misurazione sono usati in modo intercambiabile.) È possibile stimare l'entità di questa deviazione solo, ad esempio, utilizzando metodi statistici. In questo caso, il valore statistico medio ottenuto dall'elaborazione statistica dei risultati di una serie di misurazioni viene preso come valore reale. Questo valore ottenuto non è esatto, ma solo il più probabile. Pertanto, è necessario indicare nelle misurazioni qual è la loro precisione. Per fare ciò, l'errore di misurazione viene indicato insieme al risultato ottenuto. Ad esempio, registra T=2,8±0,1 C. significa che il vero valore della quantità T si trova nell'intervallo da 2,7 secondi. Prima 2,9 secondi. una certa probabilità specificata (vedi intervallo di confidenza, probabilità di confidenza, errore standard).

Nel 2006 a livello internazionale era accettato nuovo documento, dettando le condizioni per effettuare misurazioni e stabilendo nuove regole per il confronto degli standard statali. Il concetto di “errore” divenne obsoleto e al suo posto venne introdotto il concetto di “incertezza di misura”.

Determinazione dell'errore

A seconda delle caratteristiche della quantità misurata, vengono utilizzati vari metodi per determinare l'errore di misurazione.

• Il metodo Kornfeld consiste nello scegliere un intervallo di confidenza che va dal risultato minimo a quello massimo della misurazione, e l'errore come metà della differenza tra il risultato massimo e minimo della misurazione:

• Errore quadratico medio:

• Errore quadratico medio della media aritmetica:

Classificazione degli errori

Secondo il modulo di presentazione

• Errore assoluto - Δ Xè una stima dell'errore di misurazione assoluto. L'entità di questo errore dipende dal metodo di calcolo, che, a sua volta, è determinato dalla distribuzione della variabile casuale X MeUNS . In questo caso l'uguaglianza:

Δ X = | X TRtue − X MeUNS | ,

Dove X TRtue è il vero valore, e X MeUNS - il valore misurato deve essere soddisfatto con una certa probabilità prossima a 1. Se valore casuale X MeUNS è distribuito secondo la legge normale, quindi, solitamente, la sua deviazione standard viene presa come errore assoluto. L'errore assoluto viene misurato nelle stesse unità della quantità stessa.

• Errore relativo- il rapporto tra l'errore assoluto e il valore accettato come vero:

L'errore relativo è una quantità adimensionale o misurata in percentuale.

• Errore ridotto- errore relativo, espresso come rapporto tra l'errore assoluto dello strumento di misura e quello convenzionale valore accettato un valore costante sull'intero intervallo di misurazione o su parte dell'intervallo. Calcolato dalla formula

Dove X N- valore normalizzante, che dipende dal tipo di scala del dispositivo di misurazione ed è determinato dalla sua calibrazione:

Se la scala dello strumento è unilaterale, ad es. il limite inferiore di misurazione è quindi zero X N determinato pari al limite superiore di misurazione;
- se la scala dello strumento è a doppia faccia, il valore di normalizzazione è uguale all'ampiezza del campo di misura dello strumento.

L'errore indicato è una quantità adimensionale (può essere misurata in percentuale).

A causa dell'evento

• Errori strumentali/strumentali- errori determinati da errori degli strumenti di misura utilizzati e causati da imperfezioni nel principio di funzionamento, imprecisione nella calibrazione della bilancia e mancanza di visibilità del dispositivo.
• Errori metodologici- errori dovuti all'imperfezione del metodo, nonché semplificazioni alla base della metodologia.
• Errori soggettivi/operatore/personali- errori causati dal grado di attenzione, concentrazione, preparazione e altre qualità dell'operatore.

Nella tecnologia, gli strumenti vengono utilizzati per misurare solo con una certa precisione predeterminata, l'errore principale consentito dalla norma condizioni normali funzionamento per questo dispositivo.

Se il dispositivo funziona in condizioni diverse dal normale, si verifica un errore aggiuntivo, aumentando l'errore complessivo del dispositivo. Ulteriori errori includono: temperatura, causata da una deviazione della temperatura ambiente dalla normale, installazione, causata da una deviazione della posizione del dispositivo dalla normale posizione operativa, ecc. Dietro temperatura normale si considera che la temperatura dell'aria ambiente sia normale a 20°C Pressione atmosferica 01.325 kPa.

Una caratteristica generalizzata degli strumenti di misura è la classe di precisione, determinata valori limite errori principali e aggiuntivi consentiti, nonché altri parametri che incidono sulla precisione degli strumenti di misurazione; il significato dei parametri è stabilito dalle norme per alcuni tipi di strumenti di misura. La classe di accuratezza degli strumenti di misura caratterizza le loro proprietà di precisione, ma non è un indicatore diretto dell'accuratezza delle misurazioni eseguite utilizzando questi strumenti, poiché l'accuratezza dipende anche dal metodo di misurazione e dalle condizioni per la loro implementazione. Agli strumenti di misura, i cui limiti dell'errore base ammissibile sono specificati sotto forma di errori base (relativi), vengono assegnate classi di precisione selezionate da un numero dei seguenti numeri: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0 ; 5,0; 6,0)*10n, dove n = 1; 0; -1; -2, ecc.

Per natura della manifestazione

• Errore casuale- errore che varia (in grandezza e segno) da misura a misura. Errori casuali possono essere associati all'imperfezione degli strumenti (attrito nei dispositivi meccanici, ecc.), scuotimento in condizioni urbane, all'imperfezione dell'oggetto di misurazione (ad esempio, quando si misura il diametro di un filo sottile, che potrebbe non avere una forma completamente rotonda sezione trasversale a causa di imperfezioni nel processo di fabbricazione), con le caratteristiche della quantità misurata stessa (ad esempio, quando si misura la quantità particelle elementari passaggio al minuto attraverso un contatore Geiger).
• Errore sistematico- un errore che cambia nel tempo secondo una certa legge (un caso speciale è un errore costante che non cambia nel tempo). Errori sistematici possono essere associati ad errori strumentali (scala errata, calibrazione, ecc.) non presi in considerazione dallo sperimentatore.
• Errore progressivo (deriva).- un errore imprevedibile che cambia lentamente nel tempo. È un processo casuale non stazionario.
• Errore grossolano (miss)- un errore derivante da una svista da parte dello sperimentatore o da un malfunzionamento dell'apparecchiatura (ad esempio, se lo sperimentatore ha letto erroneamente il numero di divisioni sulla scala dello strumento, se si è verificato un cortocircuito nel circuito elettrico).

L'errore assoluto dei calcoli si trova dalla formula:

Il segno del modulo mostra che non ci interessa quale valore è maggiore e quale è minore. Importante, quanto lontano il risultato approssimativo si discostava dal valore esatto in una direzione o nell'altra.

L'errore relativo dei calcoli si trova dalla formula:
, o la stessa cosa:

Viene visualizzato l'errore relativo in quale percentuale il risultato approssimativo si discostava dal valore esatto. Esiste una versione della formula senza moltiplicare per il 100%, ma in pratica vedo quasi sempre la versione sopra con le percentuali.

Dopo un breve accenno, torniamo al nostro problema, in cui abbiamo calcolato il valore approssimativo della funzione utilizzando un differenziale.

Calcoliamo il valore esatto della funzione utilizzando un microcalcolatrice:
, in senso stretto, il valore è ancora approssimativo, ma lo considereremo accurato. Tali problemi si verificano.

Calcoliamo l'errore assoluto:

Calcoliamo errore relativo:
, sono stati ottenuti millesimi di punto percentuale, quindi il differenziale ha fornito solo un'ottima approssimazione.

Risposta: , errore di calcolo assoluto, errore di calcolo relativo

Il seguente esempio per una soluzione indipendente:

Esempio 4

al punto . Calcola un valore più accurato della funzione in un dato punto, stima l'errore assoluto e relativo dei calcoli.

Un esempio approssimativo del progetto finale e la risposta alla fine della lezione.

Molte persone hanno notato che in tutti gli esempi considerati compaiono le radici. Ciò non è casuale; nella maggior parte dei casi, nel problema in esame vengono effettivamente proposte funzioni con radici.

Ma per i lettori sofferenti, ho trovato un piccolo esempio con l'arcoseno:

Esempio 5

Calcolare approssimativamente il valore di una funzione utilizzando un differenziale al punto

Questo esempio breve ma informativo può essere risolto anche da te. E mi sono riposato un po' affinché con rinnovato vigore potessi considerare il compito speciale:

Esempio 6

Calcola approssimativamente utilizzando un differenziale, arrotondando il risultato a due cifre decimali.

Soluzione: Cosa c'è di nuovo nel compito? La condizione richiede l'arrotondamento del risultato a due cifre decimali. Ma non è questo il punto; penso che il problema del passaggio scolastico non sia difficile per te. Il fatto è che ci viene data una tangente con un argomento, che è espresso in gradi. Cosa dovresti fare quando ti viene chiesto di risolvere una funzione trigonometrica con gradi? Per esempio , eccetera.

L'algoritmo di soluzione è fondamentalmente lo stesso, ovvero è necessario, come negli esempi precedenti, applicare la formula

Scriviamo una funzione ovvia

Il valore deve essere presentato nel modulo . Fornirà assistenza seria tabella dei valori delle funzioni trigonometriche . A proposito, per chi non l'ha stampato, consiglio di farlo, visto che dovrai guardarlo durante l'intero corso di studi di matematica superiore.

Analizzando la tabella notiamo un valore della tangente “buono”, che si avvicina ai 47 gradi:

Così:

Dopo analisi preliminare i gradi devono essere convertiti in radianti. Sì, e solo così!

IN in questo esempio direttamente dalla tavola trigonometrica puoi scoprirlo. Utilizzando la formula per convertire i gradi in radianti: (le formule si trovano nella stessa tabella).

Ciò che segue è una formula:

Così: (usiamo il valore per i calcoli). Il risultato, come richiesto dalla condizione, viene arrotondato alla seconda cifra decimale.

Risposta:

Esempio 7

Calcola approssimativamente utilizzando un differenziale, arrotondando il risultato a tre cifre decimali.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato, convertiamo i gradi in radianti e aderiamo al consueto algoritmo risolutivo.

Calcoli approssimati utilizzando il differenziale totale di una funzione di due variabili

Tutto sarà molto, molto simile, quindi se sei arrivato su questa pagina appositamente per questo compito, prima ti consiglio di guardare almeno un paio di esempi del paragrafo precedente.

Per studiare un paragrafo devi essere in grado di trovare Derivate parziali del secondo ordine , dove saremmo senza di loro? Nella lezione precedente, ho indicato una funzione di due variabili utilizzando la lettera . In relazione al compito in esame è più conveniente utilizzare la notazione equivalente.

Come nel caso di una funzione di una variabile, la condizione del problema può essere formulata in diversi modi, e cercherò di considerare tutte le formulazioni incontrate.

Esempio 8

Soluzione: Non importa come sia scritta la condizione, nella soluzione stessa per denotare la funzione, ripeto, è meglio usare non la lettera "zet", ma .

Ed ecco la formula di lavoro:

In effetti, prima di noi sorella maggiore formule del paragrafo precedente. La variabile è solo aumentata. Cosa posso dire io stesso? l'algoritmo di soluzione sarà fondamentalmente lo stesso!

In base alla condizione, è necessario trovare il valore approssimativo della funzione nel punto.

Rappresentiamo il numero 3.04 come . Il panino stesso chiede di essere mangiato:
,

Rappresentiamo il numero 3,95 come . Il turno è arrivato alla seconda metà di Kolobok:
,

E non guardare tutti i trucchi della volpe, c'è un Kolobok: devi mangiarlo.

Calcoliamo il valore della funzione nel punto:

Troviamo il differenziale di una funzione in un punto utilizzando la formula:

Dalla formula segue che dobbiamo trovare derivate parziali primo ordine e calcolarne i valori al punto .

Calcoliamo le derivate parziali del primo ordine nel punto:

Differenziale totale al punto:

Pertanto, secondo la formula, il valore approssimativo della funzione nel punto:

Calcoliamo il valore esatto della funzione nel punto:

Questo valore è assolutamente accurato.

Gli errori vengono calcolati utilizzando formule standard, che sono già state discusse in questo articolo.

Errore assoluto:

Errore relativo:

Risposta: , errore assoluto: , errore relativo:

Esempio 9

Calcolare il valore approssimativo di una funzione in un punto utilizzando un differenziale totale, stimare l'errore assoluto e relativo.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Chiunque dia un'occhiata più da vicino a questo esempio noterà che gli errori di calcolo si sono rivelati molto, molto evidenti. Ciò è accaduto per il seguente motivo: nel problema proposto gli incrementi degli argomenti sono piuttosto grandi: .

Modello generale Ecco com'è a - maggiori sono questi incrementi in valore assoluto, minore è la precisione dei calcoli. Quindi, ad esempio, per un punto simile gli incrementi saranno piccoli: e la precisione dei calcoli approssimativi sarà molto elevata.

Questa caratteristica vale anche per il caso di una funzione di una variabile (prima parte della lezione).

Esempio 10

Soluzione: Calcoliamo questa espressione approssimativamente utilizzando il differenziale totale di una funzione di due variabili:

La differenza rispetto agli Esempi 8-9 è che dobbiamo prima costruire una funzione di due variabili: . Penso che tutti capiscano intuitivamente come è composta la funzione.

Il valore 4.9973 è vicino a “cinque”, quindi: , .
Il valore 0,9919 è prossimo a “uno”, quindi assumiamo: , .

Calcoliamo il valore della funzione nel punto:

Troviamo il differenziale in un punto utilizzando la formula:

Per fare ciò, calcoliamo le derivate parziali del primo ordine nel punto.

I derivati ​​​​qui non sono i più semplici e dovresti fare attenzione:

;

.

Differenziale totale al punto:

Pertanto, il valore approssimativo di questa espressione è:

Calcoliamo un valore più preciso utilizzando una microcalcolatrice: 2.998899527

Troviamo il relativo errore di calcolo:

Risposta: ,

Giusto per illustrare quanto sopra, nel problema considerato, gli incrementi degli argomenti sono molto piccoli e l'errore si è rivelato straordinariamente piccolo.

Esempio 11

Utilizzando il differenziale completo di una funzione di due variabili, calcola approssimativamente il valore di questa espressione. Calcola la stessa espressione usando una microcalcolatrice. Stimare l'errore di calcolo relativo in percentuale.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Un esempio approssimativo del progetto finale alla fine della lezione.

Come già notato, l'ospite più comune in questo tipo di attività sono alcune radici. Ma di tanto in tanto ci sono altre funzioni. E un ultimo semplice esempio per il relax:

Esempio 12

Utilizzando il differenziale totale di una funzione di due variabili, calcola approssimativamente il valore della funzione se

La soluzione è più vicina alla fine della pagina. Ancora una volta, presta attenzione alla formulazione dei compiti della lezione, in vari esempi in pratica le formulazioni possono essere diverse, ma ciò non cambia sostanzialmente l'essenza e l'algoritmo della soluzione.

Ad essere onesti, ero un po' stanco perché il materiale era un po' noioso. Non era pedagogico dirlo all'inizio dell'articolo, ma ora è già possibile =) In effetti, i compiti matematica computazionale di solito non è molto complesso, non molto interessante, la cosa più importante, forse, è non commettere errori nei calcoli ordinari.

Che i tasti della tua calcolatrice non vengano cancellati!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2:

Soluzione: Usiamo la formula:
In questo caso: , ,

Così:

Risposta:

Esempio 4:

Soluzione: Usiamo la formula:
In questo caso: , ,

Così:

Calcoliamo un valore più accurato della funzione utilizzando un microcalcolatore:

Errore assoluto:

Errore relativo:

Risposta: , errore di calcolo assoluto, errore di calcolo relativo

Esempio 5:

Soluzione: Usiamo la formula:

In questo caso: , ,

Così:

Risposta:

Esempio 7:

Soluzione: Usiamo la formula:
In questo caso: , ,

Nella nostra epoca, l'uomo ha inventato e utilizza un'enorme varietà di tutti i tipi di strumenti di misura. Ma non importa quanto perfetta possa essere la tecnologia per la loro produzione, tutti hanno un errore maggiore o minore. Questo parametro, di norma, è indicato sullo strumento stesso e per valutare l'accuratezza del valore determinato è necessario essere in grado di capire cosa significano i numeri indicati sulla marcatura. Inoltre, durante i calcoli matematici complessi si verificano inevitabilmente errori relativi e assoluti. È ampiamente utilizzato nelle statistiche, nell'industria (controllo della qualità) e in numerosi altri settori. Come viene calcolato questo valore e come interpretarlo: questo è esattamente ciò che verrà discusso in questo articolo.

Errore assoluto

Indichiamo con x il valore approssimativo di una grandezza, ottenuto, ad esempio, attraverso un'unica misurazione, e con x 0 il suo valore esatto. Ora calcoliamo l'entità della differenza tra questi due numeri. L'errore assoluto è esattamente il valore che abbiamo ottenuto come risultato di questa semplice operazione. Nel linguaggio delle formule, questa definizione può essere scritta in questa forma: Δ x = | x - x 0 |.

Errore relativo

La deviazione assoluta presenta un importante inconveniente: non consente di valutare il grado di importanza dell'errore. Ad esempio, compriamo 5 kg di patate al mercato e un venditore senza scrupoli, misurando il peso, ha commesso un errore di 50 grammi a suo favore. Cioè, l'errore assoluto era di 50 grammi. Per noi una simile svista sarà una sciocchezza e non le presteremo nemmeno attenzione. Riesci a immaginare cosa accadrebbe se si verificasse un errore simile durante la preparazione del medicinale? Qui tutto sarà molto più serio. E quando si carica un vagone merci, è probabile che si verifichino deviazioni molto maggiori di questo valore. Pertanto, l’errore assoluto in sé non è molto informativo. Oltre a ciò, molto spesso calcolano anche la deviazione relativa, pari al rapporto tra l'errore assoluto e valore esatto numeri. Questo si scrive con la seguente formula: δ = Δ x / x 0 .

Proprietà dell'errore

Supponiamo di avere due quantità indipendenti: x e y. Dobbiamo calcolare la deviazione del valore approssimativo della loro somma. In questo caso, possiamo calcolare l'errore assoluto come la somma delle deviazioni assolute precalcolate di ciascuno di essi. In alcune misurazioni può accadere che gli errori nella determinazione dei valori di x e y si annullino a vicenda. Oppure può accadere che in seguito all'addizione le deviazioni si intensifichino al massimo. Pertanto, quando si calcola l’errore assoluto totale, si dovrebbe considerare lo scenario peggiore. Lo stesso vale per la differenza tra errori di diverse quantità. Questa proprietàè caratteristico solo dell'errore assoluto e non può essere applicato alla deviazione relativa, poiché ciò porterà inevitabilmente a un risultato errato. Esaminiamo questa situazione utilizzando il seguente esempio.

Supponiamo che le misurazioni all'interno del cilindro abbiano mostrato che il raggio interno (R 1) è 97 mm e il raggio esterno (R 2) è 100 mm. È necessario determinare lo spessore della sua parete. Per prima cosa troviamo la differenza: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Se il problema non indica quale sia l'errore assoluto, allora viene considerato pari alla metà della divisione della scala del dispositivo di misurazione. Pertanto, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. L'errore assoluto totale è: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Ora calcoliamo la deviazione relativa di tutti i valori:

δ(R1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Come puoi vedere, l'errore nella misurazione di entrambi i raggi non supera il 5,2% e l'errore nel calcolo della loro differenza - lo spessore della parete del cilindro - è stato pari al 33,(3)%!

La seguente proprietà afferma: la deviazione relativa del prodotto di più numeri è approssimativamente uguale alla somma delle deviazioni relative dei singoli fattori:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Inoltre questa regolaè vero indipendentemente dal numero di valori da valutare. La terza e ultima proprietà dell'errore relativo è la stima relativa del numero kesimo grado circa in | k | volte l'errore relativo del numero originale.