Teoria della probabilità e statistica matematica.

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1 1 Concetti base di calcolo combinatorio 1 Appendice Definizione Il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a n compreso è chiamato n-fattoriale e scritto Esempio Calcola 4! 3! N! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Esempio Calcola! 7! 5! 5!! Si diano tre lettere di queste lettere: 7 1! Permutazioni 5 3 A, B, C Facciamo tutte le combinazioni possibili di ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (combinazioni totali) Vediamo che differiscono tra loro solo nell'ordine delle lettere Definizione Combinazioni di n elementi che differiscono tra loro solo per l'ordine degli elementi, sono chiamate permutazioni Le permutazioni sono indicate con il simbolo n, dove n è il numero di elementi compresi in ciascuna permutazione 3 3! Il numero di permutazioni può essere calcolato utilizzando la formula n oppure utilizzando il fattoriale: n n 1 n 3 1 n n! Quindi, il numero di permutazioni di tre elementi secondo la formula è, che coincide con il risultato dell'esempio discusso sopra 5 0 Esempio Calcola,! ! !- 5! 5! -15! 5! 150! ! 1! Esempio Quanti numeri diversi di cinque cifre possono essere composti dalle cifre 1, 3, 4, 5, a condizione che nessuna cifra sia ripetuta nel numero?

2 5! Esempio Quattro squadre hanno partecipato al concorso Quante opzioni sono possibili per la distribuzione dei posti tra di loro? 4! Posizionamenti Lasciamo che ci siano quattro lettere A, B, C, D Componiamo tutte le combinazioni da sole due lettere, otteniamo: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Lo vediamo tutto ciò che le combinazioni risultanti differiscono o nelle lettere o nel loro ordine (le combinazioni BA e AB sono considerate diverse) Definizione Le combinazioni di m elementi di n elementi che differiscono tra loro o negli elementi stessi o nell'ordine degli elementi si chiamano posizionamenti. I posizionamenti sono designati da n A m n numero di elementi in ciascuna combinazione, dove m è il numero di tutti gli elementi disponibili, A n m m! (mn)! Esempio Quante possibilità ci sono per distribuire tre premi se all'estrazione partecipano 7 squadre? 3 7! 7! UN! 4! 10 Esempio Quanti numeri diversi di quattro cifre possono essere composti dalle cifre 0, 1, 8, 9? 4 10! 10! UN!! Esempio Quante opzioni di pianificazione possono essere create per un giorno se ce ne sono 8 in totale? materie educative, e solo tre di essi possono essere inclusi nel programma giornaliero? 3 8! 8! UN! 5! Esempio Quante opzioni per la distribuzione di tre buoni a sanatori di vari profili possono essere compilate per cinque richiedenti? 3 5! 5! UN!!

3 Combinazioni Definizione Le combinazioni sono tutte le possibili combinazioni di m elementi per n, che differiscono tra loro per almeno un elemento (qui m e n numeri interi, e n

4 Un fenomeno casuale può essere caratterizzato dal rapporto tra il numero delle sue occorrenze e il numero di prove, in ciascuna delle quali, nelle stesse condizioni di tutte le prove, potrebbe verificarsi o non verificarsi. La teoria della probabilità è una branca della matematica quali fenomeni (eventi) casuali vengono studiati e i modelli vengono identificati durante la loro ripetizione di massa. Per registrare ed esplorare questi modelli, introdurremo alcuni concetti e definizioni di base. Definizione: qualsiasi azione, fenomeno, osservazione con diversi risultati diversi, realizzata un dato insieme di condizioni, sarà chiamato test. Ad esempio, il lancio ripetuto di una moneta, il processo di produzione di qualsiasi parte sono test. Definizione Il risultato di questa azione o osservazione sarà chiamato un evento casuale di un numero quando si lancia una moneta è un evento casuale, poiché può essere accaduto o meno Definizione Se siamo interessati a un evento specifico tra tutti gli eventi possibili, allora lo chiameremo evento desiderato (o risultato desiderato) Definizione. Tutti gli eventi presi in considerazione saranno considerati ugualmente possibili, quelli che hanno la stessa probabilità di verificarsi. Quindi, lanciando un dado, possono apparire 1 punto, 3, 4, 5 o punti e questi risultati del test sono ugualmente possibili , pari opportunità significa uguaglianza, simmetria dei risultati dei test individuali, soggetta a determinate condizioni Gli eventi sono solitamente indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino: A, B, C, D Definizione Gli eventi sono detti incompatibili se non possono verificarsi due di essi insieme. un dato esperimento Altrimenti gli eventi si dicono compatibili Quindi, quando si lanciano monete, la comparsa del numero esclude la comparsa simultanea dello stemma; questo è un esempio di eventi incompatibili 4

5 Consideriamo un altro esempio. Si disegnano sul bersaglio un cerchio, un rombo e un triangolo. Viene sparato un colpo. L'evento A colpisce il cerchio, l'evento B colpisce il rombo, l'evento C colpisce il triangolo. Poi gli eventi A e B e C, C e B sono incoerenti Definizione Un evento è detto affidabile se si verifica necessariamente in un dato test Ad esempio, vincere un biglietto della lotteria win-win è un evento affidabile Gli eventi affidabili sono indicati con la lettera U Definizione Un evento è detto impossibile se non può accadere in un dato esperimento Ad esempio, lanciando un dado è impossibile ottenere 7 punti Evento impossibile indicato con la lettera V Definizione Un sistema completo di eventi A 1, A, A 3, A n è un insieme di eventi incompatibili , il verificarsi di almeno uno dei quali è obbligatorio durante una determinata prova. Pertanto, la perdita di uno, due, tre, quattro, cinque, sei punti quando si lancia un dado di gioco è un sistema completo di eventi, poiché tutti questi eventi sono. incompatibili e il verificarsi di almeno uno di essi è obbligatorio Definizione Se un sistema completo consiste di due eventi, allora tali eventi sono chiamati opposti e sono designati A e A Esempio C'è un biglietto della lotteria “b su 45” L'evento A è quello è un vincitore e l'evento B è che non è vincitore. Questi eventi sono incompatibili? Esempio Ci sono 30 palline numerate in una scatola Determinare quale dei seguenti eventi è impossibile, affidabile, opposto: è stata estratta una pallina numerata (; è stata estratta una pallina con un numero pari (è stata estratta una pallina con un numero dispari. (C); è stata eliminata una pallina senza numero (D) Quali di loro formano un gruppo completo Esempio È certo o impossibile che un singolo lancio di dadi dia: 5 punti da 1 a 5 punti?

6 Definizione La somma di più eventi è un evento costituito dal verificarsi di almeno uno di essi a seguito di una prova. La somma degli eventi A e B è indicata con (A+ e significa che l'evento A, o B, o A e B si sono verificati insieme Definizione Il prodotto di più eventi è un evento , consistente nel verificarsi congiunto di tutti questi eventi come risultato del test. Il prodotto degli eventi A e B denota: AB 3 Determinazione della probabilità di un evento Eventi casuali. si realizzano con diverse possibilità Alcuni si verificano più spesso, altri meno spesso Per quantificare le possibilità di realizzazione di un evento si introduce il concetto di probabilità dell'evento Definizione La probabilità dell'evento A è il rapporto tra il numero M di esiti favorevoli e il totale numero N di risultati ugualmente possibili, formando un gruppo completo: La probabilità di un evento affidabile è 1, impossibile 0, casuale: 0 (1 Questa è la definizione classica di probabilità Frequenza relativa di un evento A il rapporto tra il numero m di prove in cui si è verificato l'evento sul numero totale di n prove: M N * (Esempio Una lettera viene scelta a caso dalla parola “clinica”). Qual è la probabilità che sia una vocale? Qual è la lettera K? È una vocale o la lettera K? Totale lettere 11 Evento A come risultato dell'esperimento è apparsa una vocale Evento B è apparsa la lettera K L'evento A è favorito da cinque eventi (5 vocali), l'evento B due m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Teoremi fondamentali e formule della teoria della probabilità Teorema della somma delle probabilità La probabilità che si verifichi uno degli eventi incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità:

7 A A A A A 1 n 1 A n Probabilità della somma di due eventi congiunti A A Somma delle probabilità di eventi opposti (1 Definizione Siano A e B due eventi casuali della stessa prova. La probabilità condizionata dell'evento A o la probabilità dell'evento A A a condizione che si verifichi l'evento B è il numero Designazione: A B A Teorema della moltiplicazione delle probabilità La probabilità del verificarsi simultaneo di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi A 7

Matematica (BkPl-100) P.F. Kharlamov Anno accademico 2011/2012, 1° semestre Lezione 5. Argomento: Combinatoria, introduzione alla teoria della probabilità 1 Argomento: Combinatoria La combinatoria è una branca della matematica che studia

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1 PARTE I. TEORIA DELLA PROBABILITÀ CAPITOLO 1. 1. Elementi di calcolo combinatorio Definizione 1. Esempi: Definizione. -fattoriale è un numero indicato da!, e! = 1** * per tutti i numeri naturali 1, ; Oltretutto,

1) Quanti sono i numeri naturali di tre cifre che hanno solo due cifre inferiori a cinque? Ci sono solo cinque cifre inferiori a 5: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) Le restanti cinque cifre sono almeno 5: ( ; ; ; ; ) 1° metodo di soluzione

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INDICE ARGOMENTO III. INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA PROBABILITÀ... 2 1. RIFERIMENTI... 2 1.1. CONCETTI E DEFINIZIONI FONDAMENTALI... 2 1.2. AZIONI SU EVENTI CASUALI... 4 1.3. DEFINIZIONE CLASSICA

Lezione 2. Teoremi di addizione e moltiplicazione delle probabilità Somma e prodotto di un evento La somma o unione di più eventi è un evento consistente nel verificarsi del verificarsi di almeno uno di questi

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Formula della probabilità totale. Sia un gruppo di eventi H 1, H 2,..., H n, che ha le seguenti proprietà: 1) Tutti gli eventi sono incompatibili a coppie: H i H j =; io, j=1,2,...,n; ij 2) Le loro forme di unione

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Vorobiev V.V. "Liceo" di Kalachinsk, regione di Omsk Workshop sulla risoluzione di problemi di teoria della probabilità e statistica matematica. Un ruolo importante nello studio di argomenti di teoria e statistica della probabilità è svolto da

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In termini di S, l'evento che il sistema non è chiuso può essere scritto: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2)+B. 2.18. Analogamente alla risoluzione dei problemi 2.5, 2.6, otteniamo S = A(B 1 +B 2) C D; S = A+B1B2+C

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À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

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Problemi da risolvere per il consolidamento di nuovo materiale

Compito n. 1. In quanti modi si possono disporre i 5 partecipanti alla finale?

corsa su 5 tapis roulant?

Soluzione: P5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 modi.

Compito n. 2. Quanti numeri di tre cifre possono essere composti dalle cifre 1,2,3, se ciascuno

una cifra appare nell'immagine di un numero solo una volta?

Soluzione: Il numero di tutte le permutazioni di tre elementi è uguale a P 3 =3!, dove 3!=1 * 2 * 3=6

Ciò significa che ci sono sei numeri a tre cifre composti dai numeri 1,2,3.

Compito n.3. In quanti modi quattro giovani possono invitarne quattro su sei?

ragazze a ballare?

Soluzione: due ragazzi non possono invitare la stessa ragazza contemporaneamente. E

opzioni in cui le stesse ragazze ballano con ragazzi diversi,

sono considerati diversi, quindi:

Problema n.4. Quanti numeri diversi di tre cifre possono essere composti dai numeri 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, purché nella scrittura del numero venga utilizzata soltanto ciascuna cifra

una volta?

Soluzione: Nella formulazione del problema si propone di contare il numero di possibili combinazioni da

tre cifre prese dalle nove cifre presunte e l'ordine

la disposizione dei numeri in una combinazione è importante (ad esempio, il numero 132)

e 231 diversi). In altre parole, devi trovare il numero di posizionamenti su nove

tre elementi ciascuno.

Utilizzando la formula per il numero di posizionamenti troviamo:

Risposta: 504 numeri a tre cifre.

Problema n.5 In quanti modi si può selezionare un comitato di 3 persone tra 7?

Soluzione: Per considerare tutte le possibili commissioni, devi considerarle tutte

possibili sottoinsiemi di 3 elementi di un insieme composto da 7

Umano. Il numero richiesto di modi è

Compito n.6. Alla competizione partecipano 12 squadre. Quante opzioni ci sono?

distribuzione dei posti premio (1, 2, 3)?

Soluzione: E 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 opzioni per la distribuzione dei posti premio.

Risposta: 1320 opzioni.

Compito n.7. Alla gara di atletica la nostra scuola era rappresentata da una squadra di

10 atleti. In quanti modi l'allenatore può determinare quale di essi

correrà la staffetta 4x100m nella prima, seconda, terza e quarta tappa?

Soluzione: Scelta da 10 a 4, tenendo conto dell'ordine:
modi.

Risposta: 5040 modi.

Compito n. 8. In quanti modi possono rosso, nero, blu e

palline verdi?

Soluzione: Puoi mettere una qualsiasi delle quattro palline al primo posto (4 direzioni).

secondo - uno qualsiasi dei tre rimanenti (3 metodi), terzo posto - uno qualsiasi dei

le restanti due (2 vie), per il quarto posto - l'ultima pallina rimasta.

Totale 4 · 3 · 2 · 1 = 24 modi.

P4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Risposta: 24 modi.

Problema n.9. Agli studenti è stato fornito un elenco di 10 libri che si consiglia di leggere

ferie. In quanti modi uno studente può scegliere 6 libri tra loro?

Soluzione: Scelta 6 su 10 senza riguardo all'ordine:
modi.

Risposta: 210 modi.

Problema n. 10. Ci sono 7 studenti nel 9° anno, 9 studenti nel 10° anno e 8 studenti nell'11° anno. Per

lavori sul sito della scuola, è necessario assegnare due studenti dal grado 9,

tre su 10 e uno su 11. Quanti modi ci sono tra cui scegliere?

studenti a lavorare nell'area scolastica?

Soluzione: Scelta tra tre set indipendentemente dall'ordine, ciascuna scelta da

il primo set (C 7 2) può essere combinato con ciascuna scelta da

la seconda (C 9 3)) e con ciascuna scelta della terza (C 8 1) secondo la regola

moltiplicando otteniamo:

Risposta: 14.112 modi.

Compito n. 11. Gli alunni della nona elementare Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha e Olya corsero a correre

passaggio al tavolo da ping pong, dove la partita era già iniziata. Quanti

modi in cui possono prendere cinque alunni della nona elementare che corrono al tavolo

coda per il ping-pong?

Soluzione: Qualsiasi studente della nona elementare potrebbe essere il primo della fila e qualsiasi studente potrebbe essere il secondo.

i restanti tre, il terzo - uno qualsiasi dei restanti due e il quarto -

un bambino di nona elementare che è arrivato penultimo e uno di quinta elementare che è arrivato ultimo. Di

La regola della moltiplicazione per cinque studenti ha 5 4321=120 modi

Come risultato dello studio della sezione, lo studente deve:

Sapere:

¾ concetti base di combinatoria;

¾ definizione classica di probabilità;

¾ definizione di variabile casuale;

¾ caratteristiche matematiche di una variabile casuale: aspettativa matematica e dispersione;

essere in grado di:

¾ risolvere problemi per trovare la probabilità di un evento;

¾ risolvere problemi sulla determinazione del valore atteso matematico e della varianza di una variabile casuale.

Concetti base di combinatoria

Nella branca della matematica chiamata combinatoria vengono risolti alcuni problemi legati alla considerazione degli insiemi e alla composizione di varie combinazioni di elementi di questi insiemi. Ad esempio, se prendiamo 10 numeri diversi 0, 1, 2, ..., 9 e li combiniamo, otterremo numeri diversi, ad esempio 345, 534, 1036, 5671, 45, ecc.

Vediamo che alcune di queste combinazioni differiscono solo nell'ordine delle cifre (345 e 534), altre - nelle cifre in esse incluse (1036, 5671) e altre differiscono anche nel numero di cifre (345 e 45).

Pertanto, le combinazioni risultanti soddisfano varie condizioni. A seconda delle regole di composizione si possono distinguere tre tipi di combinazioni: collocamento, permutazione e combinazione. Tuttavia, prima conosceremo il concetto di fattoriale.

Il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a n compreso si chiama n - fattoriale.

1. Posizionamenti . Le disposizioni di n elementi di m ciascuna sono quelle connessioni che differiscono l'una dall'altra o negli elementi stessi o nell'ordine della loro disposizione.

Esempio. Quanti numeri di due cifre si possono comporre da cinque cifre 1, 2, 3, 4, 5, purché nessuno di essi sia ripetuto?

Soluzione. Poiché i numeri a due cifre differiscono tra loro sia nei numeri stessi che nel loro ordine, la quantità richiesta è uguale al numero di posizionamenti di cinque elementi in due:

Esercizio. In quanti modi si possono selezionare tre persone tra otto candidati per tre posizioni?

Risposta: 336.

2. Riarrangiamenti . Le permutazioni di n elementi sono tali combinazioni di tutti gli n elementi che differiscono l'uno dall'altro nell'ordine degli elementi.

Esempio. Siano date tre lettere A, B, C. Quante combinazioni si possono fare di queste lettere?

Soluzione. Il numero di permutazioni di tre elementi può essere calcolato utilizzando la formula: 3! = = 6.

Esercizio. In quanti modi possono sedere 7 persone in 7 posti?

Soluzione. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Risposta: 5040.

3. Combinazioni . Combinazioni di n elementi di m ciascuna sono quei composti che differiscono tra loro per almeno un elemento.

Esempio.In quanti modi si possono selezionare tre frequentanti se nella classe ci sono 30 studenti?

Soluzione. Dato che su 30 studenti devi sceglierne 3, puoi realizzare combinazioni che differiscono tra loro per almeno un elemento, ovvero combinazioni di 30 per 3:

Risposta: 4060.

Esercizio. In quanti modi è possibile utilizzare 15 lavoratori per creare squadre di 5 persone ciascuna?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Risposta: 3003.

Domande per l'autocontrollo

1. Elencare i compiti principali della combinatoria.

2. Cosa si chiamano permutazioni?

3. Scrivi una formula per le permutazioni di n elementi.

4. Come si chiamano i posizionamenti?

5. Scrivi la formula per il numero di posizionamenti di n elementi per m.

6. Come si chiamano le combinazioni?

7. Scrivi la formula per il numero di combinazioni di n elementi di m.

Compito di prova

COMPITI PRATICI PER L'AUTOCONTROLLO
Combinatoria
Quanti numeri diversi di cinque cifre possono essere composti dalle cifre 1, 3, 5, 7, 9, a condizione che nessuna cifra sia ripetuta nel numero?

Quante possibilità ci sono per distribuire tre premi se all'estrazione partecipano 7 squadre?

In quanti modi si possono selezionare due studenti per una conferenza se ci sono 33 persone nel gruppo?

Risolvere equazioni
a) 13 EMBED Equazione.3 1415. b) 13 EMBED Equazione.3 1415.
Quanti numeri di quattro cifre divisibili per 5 si possono formare dalle cifre 0, 1, 2, 5, 7, se ciascun numero non deve contenere le stesse cifre?

Da un gruppo di 15 persone, dovrebbero essere selezionati un caposquadra e 4 membri del team. In quanti modi è possibile farlo?

Le lettere del codice Morse sono composte da simboli (punti e trattini). Quante lettere puoi disegnare se richiedi che ciascuna lettera contenga non più di cinque caratteri?

In quanti modi si possono realizzare nastri quadricromatici partendo da sette nastri di colori diversi?

In quanti modi si possono selezionare quattro persone tra nove candidati per quattro posizioni diverse?

In quanti modi puoi scegliere 3 cartoline su 6?

Prima della laurea, un gruppo di 30 studenti si è scambiato le foto. Quante cartoline fotografiche sono state distribuite?

In quanti modi possono sedersi 10 ospiti in dieci posti su una tavola festiva?

Quante partite dovrebbero giocare 20 squadre di calcio in un campionato a turno unico?

In quanti modi possono essere distribuite 12 persone tra le squadre se ciascuna squadra è composta da 6 persone?

Teoria della probabilità
L'urna contiene 7 palline rosse e 6 blu. Si estraggono due palline contemporaneamente dall'urna. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano rosse (evento A)?

Nove libri diversi sono disposti in modo casuale su uno scaffale. Trova la probabilità che quattro libri specifici vengano posizionati uno accanto all'altro (evento C).

Su 10 biglietti, 2 sono vincenti Determina la probabilità che tra 5 biglietti presi a caso, uno sia vincente.

Si estraggono a caso 3 carte da un mazzo di carte (52 carte). Trova la probabilità che sia un tre, un sette, un asso.

Un bambino gioca con le cinque lettere dell'alfabeto diviso A, K, R, Sh, Y. Qual è la probabilità che, se le lettere sono disposte casualmente in fila, otterrà la parola "Tetto".

Nella scatola ci sono 6 palline bianche e 4 rosse. Si prendono a caso due palline. Qual è la probabilità che siano dello stesso colore?

La prima urna contiene 6 palline nere e 4 bianche, la seconda urna contiene 5 palline nere e 7 bianche. Da ogni urna si estrae una pallina. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano bianche?

Variabile casuale, aspettativa matematica e varianza di una variabile casuale
Elabora una legge di distribuzione per il numero di colpi su un bersaglio con sei colpi, se la probabilità di un colpo con un colpo è 0,4.

La probabilità che uno studente trovi in ​​biblioteca il libro di cui ha bisogno è 0,3. Elaborare una legge di distribuzione per il numero di biblioteche che visiterà se in città ce ne sono quattro.

Il cacciatore spara alla selvaggina fino al primo colpo, ma riesce a sparare non più di quattro colpi. Trova la varianza del numero di colpi mancati se la probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,7.

Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale X se la legge della sua distribuzione è data dalla tabella:

X
1
2
3
4

R
0,3
0,1
0,2
0,4

L'impianto gestisce quattro linee automatiche. La probabilità che durante un turno di lavoro la prima riga non richieda aggiustamenti è 0,9, la seconda – 0,8, la terza – 0,75, la quarta – 0,7. trovare l'aspettativa matematica del numero di linee che non richiederanno aggiustamenti durante un turno di lavoro.
Trova la varianza della variabile casuale X, conoscendo la legge della sua distribuzione:

X
0
1
2
3
4

R
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02

V. RISPOSTE

Combinatoria
1. 13 Equazione EMBED.3 1415. 2. 13 Equazione EMBED.3 1415. 3. 13 Equazione EMBED.3 1415. 4. a) 13 Equazione EMBED.3 1415, 5; b) 13 Equazione EMBED.3 1415. 5. 13 Equazione EMBED.3 1415. 6.13 Equazione EMBED.3 1415. 7. 13 Equazione EMBED.3 1415. 8. 13 Equazione EMBED.3 1415. 9.13 Equazione EMBED.3 1415. 10.13 EMBED Equazione.3 1415. 11. 13 EMBED Equazione.3 1415. 12. 13 EMBED Equazione.3 1415. 13. 190. 14. 924.

Teoria della probabilità
1. 13 Equazione EMBED.3 1415 2.13 Equazione EMBED.3 1415 3. 13 Equazione EMBED.3 1415 4. 13 Equazione EMBED.3 14155. 13 Equazione EMBED.3 14156.13 Equazione EMBED.3 1415 7. 13 Equazione EMBED. 3 1415

Variabile casuale, aspettativa matematica e varianza di una variabile casuale.
1.
0
1
2
3
4
5
6

0,046656
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096

2.
1
2
3
4

0,3
0,21
0,147
0,343

3. 13 Equazione EMBED.3 1415 4. 13 Equazione EMBED.3 1415 5.13 Equazione EMBED.3 1415 6.13 Equazione EMBED.3 1415.

Voce radiceEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativaEquazione nativa

Combinatoria

1. Quanti numeri diversi di cinque cifre possono essere composti dalle cifre 1, 3, 5, 7, 9, a condizione che nessuna cifra sia ripetuta nel numero?

2. Quante possibilità ci sono per distribuire tre premi se all'estrazione partecipano 7 squadre?

3. In quanti modi si possono selezionare due studenti per una conferenza se ci sono 33 persone nel gruppo?

4. Risolvere equazioni

5. Quanti numeri di quattro cifre divisibili per 5 si possono formare dalle cifre 0, 1, 2, 5, 7, se ciascun numero non deve contenere le stesse cifre?

6. Da un gruppo di 15 persone, dovrebbero essere selezionati un caposquadra e 4 membri del team. In quanti modi è possibile farlo?

7. Le lettere del codice Morse sono composte da simboli (punti e trattini). Quante lettere puoi disegnare se richiedi che ciascuna lettera contenga non più di cinque caratteri?

8. In quanti modi si possono realizzare nastri quadricolori da sette nastri di colori diversi?

9. In quanti modi si possono selezionare quattro persone tra nove candidati per quattro posizioni diverse?

10. In quanti modi puoi scegliere 3 carte su 6?

11. Prima della laurea, un gruppo di 30 studenti si è scambiato le foto. Quante cartoline fotografiche sono state distribuite?

12. In quanti modi possono sedersi 10 ospiti in dieci posti su una tavola festiva?

13. Quante partite dovrebbero giocare 20 squadre di calcio in un campionato a turno unico?

14. In quanti modi possono essere distribuite 12 persone tra le squadre se ciascuna squadra è composta da 6 persone?

Teoria della probabilità

1. L'urna contiene 7 palline rosse e 6 blu. Si estraggono due palline contemporaneamente dall'urna. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano rosse (evento A)?

2. Nove libri diversi sono disposti in modo casuale su uno scaffale. Trova la probabilità che quattro libri specifici vengano posizionati uno accanto all'altro (evento C).

3. Su 10 biglietti, 2 sono vincenti Determina la probabilità che tra 5 biglietti presi a caso, uno sia vincente.

4. Si estraggono a caso 3 carte da un mazzo di carte (52 carte). Trova la probabilità che sia un tre, un sette, un asso.

5. Un bambino gioca con le cinque lettere dell'alfabeto diviso A, K, R, Sh, Y. Qual è la probabilità che, se le lettere sono disposte casualmente in fila, otterrà la parola "Tetto".

6. Nella scatola ci sono 6 palline bianche e 4 rosse. Si prendono a caso due palline. Qual è la probabilità che siano dello stesso colore?

7. La prima urna contiene 6 palline nere e 4 bianche, la seconda urna contiene 5 palline nere e 7 bianche. Da ogni urna si estrae una pallina. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano bianche?

Variabile casuale, aspettativa matematica e varianza di una variabile casuale

1. Elabora una legge di distribuzione per il numero di colpi su un bersaglio con sei colpi, se la probabilità di un colpo con un colpo è 0,4.

2. La probabilità che uno studente trovi in ​​biblioteca il libro di cui ha bisogno è 0,3. Elaborare una legge di distribuzione per il numero di biblioteche che visiterà se in città ce ne sono quattro.

3. Il cacciatore spara alla selvaggina fino al primo colpo, ma riesce a sparare non più di quattro colpi. Trova la varianza del numero di colpi mancati se la probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,7.

4. Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale X , se la legge della sua distribuzione è data dalla tabella:

5. L'impianto gestisce quattro linee automatiche. La probabilità che durante un turno di lavoro la prima riga non richieda aggiustamenti è 0,9, la seconda – 0,8, la terza – 0,75, la quarta – 0,7. trovare l'aspettativa matematica del numero di linee che non richiederanno aggiustamenti durante un turno di lavoro.