Proprietà dei gradi con basi ed esponenti diversi. Grado e sue proprietà

Una delle caratteristiche principali dell'algebra, e di tutta la matematica, è il grado. Naturalmente, nel 21° secolo, tutti i calcoli possono essere eseguiti su un calcolatore online, ma per lo sviluppo del cervello è meglio imparare a farlo da soli.

In questo articolo considereremo le questioni più importanti riguardanti questa definizione. Cioè, capiamo cos'è in generale e quali sono le sue funzioni principali, quali proprietà ci sono in matematica.

Diamo un'occhiata ad esempi di come appare il calcolo e quali sono le formule di base. Diamo un'occhiata ai principali tipi di quantità e come differiscono dalle altre funzioni.

Cerchiamo di capire come risolvere vari problemi utilizzando questa quantità. Mostreremo con esempi come elevare al potere zero, irrazionale, negativo, ecc.

Calcolatore di esponenziazione online

Cos'è la potenza di un numero

Cosa si intende con l’espressione “elevare un numero a potenza”?

La potenza n di un numero è il prodotto di fattori di grandezza an n volte consecutive.

Matematicamente appare così:

un n = un * un * un * ... un n .

Per esempio:

• 2 3 = 2 di terzo grado. = 2*2*2 = 8;
• 4 2 = 4 al passo. due = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 al passo. quattro = 5*5*5*5 = 625;
• 10 5 = 10 in 5 passi. = 10*10*10*10*10 = 100000;
• 10 4 = 10 in 4 passaggi. = 10*10*10*10 = 10000.

Di seguito è riportata una tabella dei quadrati e dei cubi da 1 a 10.

Tabella dei gradi da 1 a 10

Di seguito sono riportati i risultati dell'elevazione dei numeri naturali a potenze positive - "da 1 a 100".

Ch-lo	2° st.	3a fase
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Proprietà dei gradi

Cosa è caratteristico di una tale funzione matematica? Diamo un'occhiata alle proprietà di base.

Gli scienziati hanno stabilito quanto segue segni caratteristici di tutti i gradi:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• un n: un m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Verifichiamo con degli esempi:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. D'altra parte, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Allo stesso modo: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Altrimenti 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. E se fosse diverso? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Come puoi vedere, le regole funzionano.

Ma per quanto riguarda con addizione e sottrazione? È semplice. Viene eseguito prima l'elevamento a potenza, quindi l'addizione e la sottrazione.

Diamo un'occhiata agli esempi:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Nota: la regola non vale se prima sottrai: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Ma in questo caso, devi prima calcolare l'addizione, poiché ci sono azioni tra parentesi: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Come produrre calcoli nei casi più complessi? L'ordine è lo stesso:

• se ci sono parentesi, devi iniziare con loro;
• quindi esponenziazione;
• quindi eseguire le operazioni di moltiplicazione e divisione;
• dopo l'addizione, la sottrazione.

Esistono proprietà specifiche che non sono caratteristiche di tutti i gradi:

1. La radice n-esima di un numero a al grado m si scriverà come: a m / n.
2. Quando si eleva una frazione a potenza: sia il numeratore che il suo denominatore sono soggetti a questa procedura.
3. Quando si eleva a potenza il prodotto di numeri diversi, l'espressione corrisponderà al prodotto di questi numeri per la potenza data. Cioè: (a * b) n = a n * b n .
4. Quando si eleva un numero a una potenza negativa, è necessario dividere 1 per un numero nello stesso secolo, ma con un segno "+".
5. Se il denominatore di una frazione sta a una potenza negativa, allora questa espressione sarà uguale al prodotto del numeratore e del denominatore a una potenza positiva.
6. Qualsiasi numero elevato a 0 = 1 e elevato a potenza. 1 = a te stesso.

Queste regole sono importanti in alcuni casi; le considereremo più in dettaglio di seguito.

Grado con esponente negativo

Cosa fare con un grado negativo, cioè quando l'indicatore è negativo?

Basato sulle proprietà 4 e 5(vedi punto sopra), si scopre:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

E viceversa:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

E se fosse una frazione?

(A/B) (- n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Laurea con indicatore naturale

È inteso come un grado con esponenti uguali a numeri interi.

Cose da ricordare:

UN0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ecc.

UN1 = UN, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3...ecc.

Inoltre, se (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...allora il risultato sarà con il segno “+”. Se un numero negativo viene elevato a una potenza dispari, viceversa.

Sono caratteristici anche le proprietà generali e tutte le caratteristiche specifiche sopra descritte.

Grado frazionario

Questo tipo può essere scritto come uno schema: A m / n. Leggi come: la radice n-esima del numero A elevata alla potenza m.

Puoi fare quello che vuoi con un indicatore frazionario: ridurlo, dividerlo in parti, elevarlo a un'altra potenza, ecc.

Laurea con esponente irrazionale

Sia α un numero irrazionale e A ˃ 0.

Per comprendere l'essenza di una laurea con un tale indicatore, Consideriamo i diversi casi possibili:

• A = 1. Il risultato sarà uguale a 1. Poiché esiste un assioma, 1 in tutte le potenze è uguale a uno;

À r 1 ˂ À α ˂ À r 2 , r 1 ˂ r 2 – numeri razionali;

• 0˂А˂1.

In questo caso avviene il contrario: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 nelle stesse condizioni del secondo paragrafo.

Ad esempio, l'esponente è il numero π.È razionale.

r 1 – in questo caso equivale a 3;

r 2 – sarà uguale a 4.

Allora, per A = 1, 1 π = 1.

A = 2, allora 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, quindi (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Tali gradi sono caratterizzati da tutte le operazioni matematiche e dalle proprietà specifiche sopra descritte.

Conclusione

Riassumiamo: a cosa servono queste quantità, quali sono i vantaggi di tali funzioni? Naturalmente, prima di tutto, semplificano la vita di matematici e programmatori quando risolvono esempi, poiché consentono loro di ridurre al minimo i calcoli, abbreviare gli algoritmi, sistematizzare i dati e molto altro.

In quale altro luogo questa conoscenza può essere utile? In qualsiasi specialità lavorativa: medicina, farmacologia, odontoiatria, edilizia, tecnologia, ingegneria, design, ecc.

Come moltiplicare i poteri? Quali poteri possono essere moltiplicati e quali no? Come moltiplicare un numero per una potenza?

In algebra, puoi trovare un prodotto di potenze in due casi:

1) se i titoli hanno le stesse basi;

2) se i gradi hanno gli stessi indicatori.

Quando si moltiplicano potenze con le stesse basi, è necessario lasciare la base e aggiungere gli esponenti:

Quando si moltiplicano i gradi per gli stessi indicatori, l'indicatore complessivo può essere tolto tra parentesi:

Diamo un'occhiata a come moltiplicare i poteri utilizzando esempi specifici.

L'unità non si scrive nell'esponente, ma quando si moltiplicano le potenze si tiene conto di:

Quando si moltiplica, può esserci un numero qualsiasi di potenze. Va ricordato che non è necessario scrivere il segno di moltiplicazione prima della lettera:

Nelle espressioni, l'elevamento a potenza viene eseguito per primo.

Se devi moltiplicare un numero per una potenza, devi prima eseguire l'elevamento a potenza e solo dopo la moltiplicazione:

www.algebraclass.ru

Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di poteri

Addizione e sottrazione di poteri

È ovvio che i numeri dotati di potenze possono essere sommati come le altre quantità , sommandoli uno dopo l'altro con i relativi segni.

Quindi la somma di a 3 e b 2 è a 3 + b 2.
La somma di a 3 - b n e h 5 - d 4 è a 3 - b n + h 5 - d 4.

Probabilità potenze uguali di variabili identiche possono essere aggiunti o sottratti.

Quindi, la somma di 2a 2 e 3a 2 è uguale a 5a 2.

È anche ovvio che se prendi due quadrati a, o tre quadrati a, o cinque quadrati a.

Ma gradi varie variabili E vari gradi variabili identiche, devono essere composti sommandoli con i relativi segni.

Quindi la somma di a 2 e a 3 è la somma di a 2 + a 3.

È ovvio che il quadrato di a, e il cubo di a, non sono pari al doppio del quadrato di a, ma al doppio del cubo di a.

La somma di a 3 b n e 3a 5 b 6 è a 3 b n + 3a 5 b 6.

Sottrazione le potenze si eseguono allo stesso modo dell'addizione, tranne che i segni dei sottraendo devono essere cambiati di conseguenza.

O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Poteri moltiplicativi

I numeri dotati di potenze possono essere moltiplicati, come le altre quantità, scrivendoli uno dopo l'altro, con o senza segno di moltiplicazione tra di loro.

Pertanto, il risultato della moltiplicazione di a 3 per b 2 è a 3 b 2 o aaabb.

O:
x -3 ⋅ un m = un m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Il risultato nell'ultimo esempio può essere ordinato aggiungendo variabili identiche.
L'espressione assumerà la forma: a 5 b 5 y 3.

Confrontando diversi numeri (variabili) con potenze, possiamo vedere che se ne moltiplicano due qualsiasi, il risultato è un numero (variabile) con una potenza pari a quantità gradi di termini.

Quindi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Qui 5 è la potenza del risultato della moltiplicazione, che è uguale a 2 + 3, la somma delle potenze dei termini.

Quindi, a n.a m = a m+n.

Per a n , a viene preso come fattore tante volte quanto la potenza di n;

E a m si prende come fattore tante volte quanto è uguale il grado m;

Ecco perché, le potenze con le stesse basi possono essere moltiplicate sommando gli esponenti delle potenze.

Quindi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b2 y3 ⋅ b4 y = b6 y4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Moltiplica (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Risposta: x 4 - y 4.
Moltiplica (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Questa regola vale anche per i numeri i cui esponenti sono negativo.

1. Quindi, a -2 .a -3 = a -5 . Questo può essere scritto come (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Se si moltiplicano a + b per a - b, il risultato sarà a 2 - b 2: cioè

Il risultato della moltiplicazione della somma o della differenza di due numeri è uguale alla somma o alla differenza dei loro quadrati.

Se la somma e la differenza di due numeri aumenta a piazza, il risultato sarà uguale alla somma o alla differenza di questi numeri in il quarto gradi.

Quindi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Divisione dei gradi

I numeri con potenze possono essere divisi come gli altri numeri, sottraendo dal dividendo o trasformandoli in frazioni.

Quindi a 3 b 2 diviso b 2 è uguale a a 3.

Scrivere un 5 diviso per 3 assomiglia a $\frac $. Ma questo è uguale a 2 . In una serie di numeri
un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.
qualsiasi numero può essere diviso per un altro e l'esponente sarà uguale a differenza indicatori dei numeri divisibili.

Quando si dividono i gradi con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti..

Quindi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Cioè $\frac = y$.

E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Cioè $\frac = a^n$.

O:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

La regola vale anche per i numeri con negativo valori dei gradi.
Il risultato della divisione -5 per -3 è -2.
Inoltre, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oppure $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

È necessario padroneggiare molto bene la moltiplicazione e la divisione dei poteri, poiché tali operazioni sono molto utilizzate in algebra.

Esempi di risoluzione di esempi con frazioni contenenti numeri con potenze

1. Diminuire gli esponenti di $\frac $ Risposta: $\frac $.

2. Diminuire gli esponenti di $\frac$. Risposta: $\frac$ o 2x.

3. Riduci gli esponenti a 2 /a 3 e a -3 /a -4 e portali a un denominatore comune.
a 2 .a -4 è a -2 il primo numeratore.
a 3 .a -3 è a 0 = 1, il secondo numeratore.
a 3 .a -4 è a -1 , il numeratore comune.
Dopo la semplificazione: a -2 /a -1 e 1/a -1 .

4. Riduci gli esponenti 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e portali a un denominatore comune.
Risposta: 2a 3 /5a 7 e 5a 5 /5a 7 oppure 2a 3 /5a 2 e 5/5a 2.

5. Moltiplica (a 3 + b)/b 4 per (a - b)/3.

6. Moltiplica (a 5 + 1)/x 2 per (b 2 - 1)/(x + a).

7. Moltiplica b 4 /a -2 per h -3 /x e a n /y -3 .

8. Dividere a 4 /y 3 per a 3 /y 2 . Risposta: a/a.

Proprietà del grado

Ti ricordiamo che in questa lezione capiremo proprietà dei gradi con indicatori naturali e zero. Le potenze con esponenti razionali e le loro proprietà verranno discusse nelle lezioni per la terza media.

Una potenza con esponente naturale ha diverse proprietà importanti che ci consentono di semplificare i calcoli negli esempi con potenze.

Proprietà n. 1
Prodotto di poteri

Quando si moltiplicano le potenze con le stesse basi, la base rimane invariata e si sommano gli esponenti delle potenze.

a m · a n = a m + n, dove “a” è un numero qualsiasi e “m”, “n” sono numeri naturali qualsiasi.

Questa proprietà delle potenze vale anche per il prodotto di tre o più potenze.

Semplifica l'espressione.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Presentatelo come una laurea.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Presentatelo come una laurea.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Tieni presente che nella proprietà specificata si parlava solo della moltiplicazione di potenze con le stesse basi. Non si applica alla loro aggiunta.

Non è possibile sostituire la somma (3 3 + 3 2) con 3 5. Ciò è comprensibile se
calcolare (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 e 3 5 = 243

Proprietà n. 2
Gradi parziali

Quando si dividono potenze con la stessa base, la base rimane invariata e l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo.

Scrivi il quoziente come potenza
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Calcolare.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Esempio. Risolvi l'equazione. Utilizziamo la proprietà delle potenze quozienti.
3 8: t = 3 4

Risposta: t = 3 4 = 81

Utilizzando le proprietà n. 1 e n. 2, puoi facilmente semplificare le espressioni ed eseguire calcoli.

Esempio. Semplifica l'espressione.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Esempio. Trova il valore di un'espressione utilizzando le proprietà degli esponenti.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Si noti che nella Proprietà 2 si parlava solo di dividere poteri con le stesse basi.

Non è possibile sostituire la differenza (4 3 −4 2) con 4 1. Ciò è comprensibile se calcoli (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 e 4 1 = 4

Proprietà n. 3
Elevare un grado a una potenza

Quando si eleva un grado a potenza, la base del grado rimane invariata e gli esponenti vengono moltiplicati.

(a n) m = a n · m, dove “a” è un numero qualsiasi e “m”, “n” sono numeri naturali qualsiasi.

Si prega di notare che la proprietà n. 4, come altre proprietà dei gradi, viene applicata anche in ordine inverso.

(a n b n)= (a b) n

Cioè, per moltiplicare potenze con gli stessi esponenti, puoi moltiplicare le basi, ma lasciare invariato l'esponente.

Esempio. Calcolare.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Esempio. Calcolare.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Negli esempi più complessi, potrebbero esserci casi in cui la moltiplicazione e la divisione devono essere eseguite su potenze con basi ed esponenti diversi. In questo caso, ti consigliamo di fare quanto segue.

Ad esempio, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Un esempio di elevazione di un numero decimale a potenza.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Proprietà 5
Potenza di un quoziente (frazione)

Per elevare un quoziente a una potenza, puoi elevare separatamente il dividendo e il divisore a questa potenza e dividere il primo risultato per il secondo.

(a: b) n = a n: b n, dove “a”, “b” sono numeri razionali, b ≠ 0, n - qualsiasi numero naturale.

Esempio. Presentare l'espressione come quoziente di potenze.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Ti ricordiamo che un quoziente può essere rappresentato come una frazione. Pertanto, ci soffermeremo più in dettaglio sull'argomento dell'elevazione di una frazione a potenza nella pagina successiva.

Poteri e radici

Operazioni con poteri e radici. Laurea con negativo ,

zero e frazionario indicatore. Di espressioni che non hanno significato.

Operazioni con i gradi.

1. Quando si moltiplicano le potenze con la stessa base, si sommano i loro esponenti:

Sono · un n = un m + n .

2. Quando si dividono i gradi con la stessa base, i loro esponenti vengono detratti .

3. Il grado del prodotto di due o più fattori è uguale al prodotto dei gradi di questi fattori.

4. Il grado di un rapporto (frazione) è uguale al rapporto tra i gradi del dividendo (numeratore) e del divisore (denominatore):

(a/b) n = un n / b n .

5. Quando si eleva una potenza a potenza, i suoi esponenti vengono moltiplicati:

Tutte le formule di cui sopra vengono lette ed eseguite in entrambe le direzioni da sinistra a destra e viceversa.

ESEMPIO (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operazioni con le radici. In tutte le formule seguenti, il simbolo significa radice aritmetica(l'espressione radicale è positiva).

1. La radice del prodotto di più fattori è uguale al prodotto delle radici di questi fattori:

2. La radice di un rapporto è uguale al rapporto tra le radici del dividendo e il divisore:

3. Quando si eleva una radice a potenza, è sufficiente elevare a questa potenza numero radicale:

4. Se aumenti il ​​grado della radice di m volte e allo stesso tempo elevi il numero radicale alla potenza m-esima, il valore della radice non cambierà:

5. Se riduci il grado della radice di m volte e contemporaneamente estrai la radice m-esima del numero radicale, il valore della radice non cambierà:

Ampliare il concetto di laurea. Finora abbiamo considerato solo i gradi con esponente naturale; ma possono portare anche operazioni con poteri e radici negativo, zero E frazionario indicatori. Tutti questi esponenti richiedono una definizione aggiuntiva.

Un grado con esponente negativo. La potenza di un certo numero con esponente negativo (intero) è definita come quella divisa per la potenza dello stesso numero con esponente uguale al valore assoluto dell'esponente negativo:

Ora la formula Sono : UN = un m - n può essere utilizzato non solo per M, più di N, ma anche con M, meno di N .

ESEMPIO UN 4: UN 7 =a 4 — 7 =a — 3 .

Se vogliamo la formula Sono : UN = Sono — N era giusto quando m = n, abbiamo bisogno di una definizione di grado zero.

Una laurea con indice pari a zero. La potenza di ogni numero diverso da zero con esponente zero è 1.

ESEMPI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grado con esponente frazionario. Per elevare un numero reale a alla potenza m/n, è necessario estrarre la radice n-esima della potenza m-esima di questo numero a:

Di espressioni che non hanno significato. Esistono molte di queste espressioni.

Dove UN ≠ 0 , non esiste.

In effetti, se lo assumiamo Xè un certo numero, quindi secondo la definizione dell'operazione di divisione abbiamo: UN = 0· X, cioè. UN= 0, che contraddice la condizione: UN ≠ 0

— qualsiasi numero.

In effetti, se assumiamo che questa espressione sia uguale a un numero X, allora secondo la definizione dell'operazione di divisione abbiamo: 0 = 0 · X. Ma questa uguaglianza si verifica quando qualsiasi numero x, che era ciò che doveva essere dimostrato.

0 0 — qualsiasi numero.

Soluzione Consideriamo tre casi principali:

1) X = 0 – questo valore non soddisfa questa equazione

2) quando X> 0 otteniamo: x/x= 1, cioè 1 = 1, il che significa

Che cosa X- qualsiasi numero; ma tenendo conto che in

nel nostro caso X> 0, la risposta è X > 0 ;

Regole per moltiplicare le potenze con basi diverse

LAUREA CON INDICATORE RAZIONALE,

FUNZIONE POTENZA IV

§ 69. Moltiplicazione e divisione dei poteri con le stesse basi

Teorema 1. Per moltiplicare le potenze con le stesse basi basta sommare gli esponenti e lasciare la base uguale, cioè

Prova. Per definizione di laurea

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Abbiamo esaminato il prodotto di due potenze. In effetti, la proprietà provata è vera per qualsiasi numero di potenze con le stesse basi.

Teorema 2. Per dividere i poteri con le stesse basi, quando l'indice del dividendo è maggiore dell'indice del divisore, basta sottrarre l'indice del divisore dall'indice del dividendo, e lasciare la base uguale, cioè A t > pag

(UN =/= 0)

Prova. Ricordiamo che il quoziente della divisione di un numero per un altro è il numero che, moltiplicato per il divisore, dà il dividendo. Pertanto, dimostra la formula dove UN =/= 0, equivale a dimostrare la formula

Se t > pag , quindi il numero t-p sarà naturale; quindi, per il Teorema 1

Il Teorema 2 è dimostrato.

Va notato che la formula

lo abbiamo dimostrato solo presupponendo che t > pag . Pertanto, da quanto dimostrato, non è ancora possibile trarre, ad esempio, le seguenti conclusioni:

Inoltre non abbiamo ancora considerato i gradi con esponente negativo e non sappiamo ancora quale significato si possa dare all’espressione 3 - 2 .

Teorema 3. Per elevare un grado a potenza è sufficiente moltiplicare gli esponenti, lasciando la stessa base del grado, questo è

Prova. Utilizzando la definizione di grado e il Teorema 1 di questa sezione, otteniamo:

Q.E.D.

Ad esempio, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Orale) Determinare X dalle equazioni:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .

519. (Imposta n.) Semplificare:

520. (Imposta n.) Semplificare:

521. Presentare queste espressioni sotto forma di gradi con le stesse basi:

1) 32 e 64; 3) 8 5 e 16 3; 5) 4 100 e 32 50;

2) -1000 e 100; 4) -27 e -243; 6) 81 75 8 200 e 3 600 4 150.

Nell'ultima videolezione, abbiamo appreso che il grado di una certa base è un'espressione che rappresenta il prodotto della base stessa, preso in una quantità pari all'esponente. Studiamo ora alcune delle proprietà e delle operazioni più importanti delle potenze.

Ad esempio, moltiplichiamo due potenze diverse con la stessa base:

Presentiamo quest'opera nella sua interezza:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Calcolato il valore di questa espressione, otteniamo il numero 32. D'altra parte, come si vede dallo stesso esempio, 32 può essere rappresentato come il prodotto della stessa base (due), preso 5 volte. E infatti, se lo conti, allora:

Pertanto possiamo tranquillamente concludere che:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Questa regola funziona con successo per qualsiasi indicatore e per qualsiasi motivo. Questa proprietà della moltiplicazione della potenza deriva dalla regola secondo cui il significato delle espressioni viene preservato durante le trasformazioni in un prodotto. Per ogni base a, il prodotto di due espressioni (a)x e (a)y è uguale a a(x + y). In altre parole, quando si producono espressioni con la stessa base, il monomio risultante ha un grado totale formato sommando i gradi della prima e della seconda espressione.

La regola presentata funziona benissimo anche quando si moltiplicano più espressioni. La condizione principale è che tutti abbiano le stesse basi. Per esempio:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

È impossibile sommare gradi e anzi realizzare azioni congiunte basate sul potere con due elementi di un'espressione se le loro basi sono diverse.
Come mostra il nostro video, a causa della somiglianza dei processi di moltiplicazione e divisione, le regole per aggiungere potenze in un prodotto si trasferiscono perfettamente alla procedura di divisione. Considera questo esempio:

Trasformiamo l'espressione termine per termine nella sua forma completa e riduciamo gli stessi elementi nel dividendo e nel divisore:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Il risultato finale di questo esempio non è così interessante, perché già nel processo di risoluzione è chiaro che il valore dell'espressione è uguale al quadrato di due. Ed è due quello che si ottiene sottraendo il grado della seconda espressione dal grado della prima.

Per determinare il grado del quoziente è necessario sottrarre il grado del divisore dal grado del dividendo. La regola funziona con la stessa base per tutti i suoi valori e per tutte le potenze naturali. Sotto forma di astrazione abbiamo:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Dalla regola di dividere le basi identiche con i gradi segue la definizione del grado zero. Ovviamente, la seguente espressione assomiglia a:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Se invece eseguiamo la divisione in modo più visivo, otteniamo:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Riducendo tutti gli elementi visibili di una frazione si ottiene sempre l'espressione 1/1, cioè uno. Pertanto, è generalmente accettato che qualsiasi base elevata a zero sia uguale a uno:

Indipendentemente dal valore di a.

Tuttavia, sarebbe assurdo se 0 (che dà comunque 0 per qualsiasi moltiplicazione) fosse in qualche modo uguale a uno, quindi un'espressione della forma (0) 0 (zero alla potenza zero) semplicemente non ha senso, e la formula ( a) 0 = 1 aggiungi una condizione: “se a non è uguale a 0”.

Risolviamo l'esercizio. Troviamo il valore dell'espressione:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Dato che la base è la stessa ovunque e uguale a 34, il valore finale avrà la stessa base con un grado (secondo le regole sopra indicate):

In altre parole:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Risposta: l'espressione è uguale a uno.

Ti ricordiamo che in questa lezione capiremo proprietà dei gradi con indicatori naturali e zero.

Le potenze con esponenti razionali e le loro proprietà verranno discusse nelle lezioni per la terza media.

Proprietà n. 1
Prodotto di poteri

Una potenza con esponente naturale ha diverse proprietà importanti che ci consentono di semplificare i calcoli negli esempi con potenze.

Ricordare!

Quando si moltiplicano le potenze con le stesse basi, la base rimane invariata e si sommano gli esponenti delle potenze.

Questa proprietà delle potenze vale anche per il prodotto di tre o più potenze.

• a m · a n = a m + n, dove “a” è un numero qualsiasi e “m”, “n” sono numeri naturali qualsiasi.
  Semplifica l'espressione.
• b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  Presentatelo come una laurea.
• b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Importante! Tieni presente che nella proprietà indicata si parlava solo di moltiplicare le potenze con per gli stessi motivi

. Non si applica alla loro aggiunta.
Non è possibile sostituire la somma (3 3 + 3 2) con 3 5. Ciò è comprensibile se

Proprietà n. 2
Gradi parziali

Una potenza con esponente naturale ha diverse proprietà importanti che ci consentono di semplificare i calcoli negli esempi con potenze.

calcolare (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 e 3 5 = 243

Quando si dividono potenze con le stesse basi, la base rimane invariata e l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Esempio. Risolvi l'equazione. Utilizziamo la proprietà delle potenze quozienti.

3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Utilizzando le proprietà n. 1 e n. 2, puoi facilmente semplificare le espressioni ed eseguire calcoli.

• Risposta: t = 3 4 = 81
  Esempio. Semplifica l'espressione.
• Esempio. Trova il valore di un'espressione utilizzando le proprietà degli esponenti.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

  Si noti che nella Proprietà 2 si parlava solo di dividere poteri con le stesse basi. (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 Non è possibile sostituire la differenza (4 3 −4 2) con 4 1. Questo è comprensibile se conti

  e 4 1 = 4

  Proprietà n. 3
  Elevare un grado a una potenza

  Una potenza con esponente naturale ha diverse proprietà importanti che ci consentono di semplificare i calcoli negli esempi con potenze.

  Stai attento!

  Quando si eleva un grado a potenza, la base del grado rimane invariata e gli esponenti vengono moltiplicati.

  
  

  (a n) m = a n · m, dove “a” è un numero qualsiasi e “m”, “n” sono numeri naturali qualsiasi.
  Potenza del prodotto

  Una potenza con esponente naturale ha diverse proprietà importanti che ci consentono di semplificare i calcoli negli esempi con potenze.

  Quando si eleva un prodotto a una potenza, ciascuno dei fattori viene elevato a una potenza. I risultati ottenuti vengono poi moltiplicati.

  (a b) n = a n b n, dove “a”, “b” sono numeri razionali qualsiasi; "n" è un numero naturale qualsiasi.

  • Esempio 1.
    (6 un 2 b 3 c) 2 = 6 2 un 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 un 4 b 6 c 2
    
  • Esempio 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

  Si prega di notare che la proprietà n. 4, come altre proprietà dei gradi, viene applicata anche in ordine inverso.

  (a n · b n)= (a · b) n

  Cioè, per moltiplicare potenze con gli stessi esponenti, puoi moltiplicare le basi, ma lasciare invariato l'esponente.

  • Esempio. Calcolare.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Esempio. Calcolare.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Negli esempi più complessi, potrebbero esserci casi in cui la moltiplicazione e la divisione devono essere eseguite su potenze con basi ed esponenti diversi.

  In questo caso, ti consigliamo di fare quanto segue. Per esempio,
  

  Un esempio di elevazione di un numero decimale a potenza.

  4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
  Proprietà 5

  Una potenza con esponente naturale ha diverse proprietà importanti che ci consentono di semplificare i calcoli negli esempi con potenze.

  Potenza di un quoziente (frazione)

  Per elevare un quoziente a una potenza, puoi elevare separatamente il dividendo e il divisore a questa potenza e dividere il primo risultato per il secondo.

  • (a: b) n = a n: b n, dove “a”, “b” sono numeri razionali qualsiasi, b ≠ 0, n è qualsiasi numero naturale.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Esempio. Presentare l'espressione come quoziente di potenze.

Ricordiamo che un quoziente può essere rappresentato come una frazione. Pertanto, ci soffermeremo più in dettaglio sull'argomento dell'elevazione di una frazione a potenza nella pagina successiva.

Se ignoriamo l'ottavo potere, cosa vediamo qui? Ricordiamo il programma di 7a elementare. Allora, ti ricordi? Questa è la formula per la moltiplicazione abbreviata, cioè la differenza dei quadrati! Noi abbiamo:

Osserviamo attentamente il denominatore. Assomiglia molto a uno dei fattori del numeratore, ma cosa c'è che non va? L'ordine dei termini è sbagliato. Se fossero invertite, la regola potrebbe applicarsi.

ma come farlo? Si scopre che è molto semplice: il grado pari del denominatore ci aiuta qui.

Magicamente i termini cambiarono posto. Questo “fenomeno” si applica a qualsiasi espressione in misura uniforme: possiamo facilmente cambiare i segni tra parentesi. Ma è importante ricordare:!

tutti i segni cambiano contemporaneamente

Torniamo all'esempio:

E ancora la formula: Totale

chiamiamo i numeri naturali, i loro opposti (cioè presi con il segno " ") e numero., e non è diverso da quello naturale, quindi tutto appare esattamente come nella sezione precedente.

Ora diamo un'occhiata ai nuovi casi. Cominciamo con un indicatore pari a.

Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno:

Come sempre chiediamoci: perché è così?

Consideriamo un certo grado con una base. Prendiamo ad esempio e moltiplichiamo per:

Quindi, abbiamo moltiplicato il numero per e abbiamo ottenuto la stessa cosa: - . Per quale numero dovresti moltiplicare in modo che non cambi nulla? Esatto, avanti. Significa.

Possiamo fare lo stesso con un numero arbitrario:

Ripetiamo la regola:

Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno.

Ma ci sono eccezioni a molte regole. Ed eccolo anche lì: questo è un numero (come base).

Da un lato, deve essere uguale in qualsiasi grado: non importa quanto moltiplichi lo zero per se stesso, otterrai comunque zero, questo è chiaro. Ma d'altra parte, come ogni numero elevato a zero, deve essere uguale. Quindi quale di queste è vera? I matematici decisero di non farsi coinvolgere e rifiutarono di elevare lo zero alla potenza zero. Cioè, ora non solo possiamo dividere per zero, ma anche elevarlo a zero.

Andiamo avanti. Oltre ai numeri naturali e ai numeri, gli interi includono anche i numeri negativi. Per capire cos'è una potenza negativa, facciamo come l'ultima volta: moltiplichiamo un numero normale per lo stesso numero che dà una potenza negativa:

Da qui è facile esprimere ciò che stai cercando:

Ora estendiamo la regola risultante in misura arbitraria:

Quindi formuliamo una regola:

Un numero con potenza negativa è il reciproco dello stesso numero con potenza positiva. Ma allo stesso tempo La base non può essere nulla:(perché non puoi dividere per).

Riassumiamo:

I. L'espressione non è definita nel caso. Se poi.

II. Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno: .

III. Un numero diverso da zero elevato a una potenza negativa è l'inverso dello stesso numero elevato a una potenza positiva: .

Compiti per una soluzione indipendente:

Bene, come al solito, esempi di soluzioni indipendenti:

Analisi dei problemi per una soluzione indipendente:

Lo so, lo so, i numeri fanno paura, ma all'Esame di Stato Unificato devi essere preparato a tutto! Risolvi questi esempi o analizza le loro soluzioni se non riesci a risolverli e imparerai ad affrontarli facilmente durante l'esame!

Continuiamo ad espandere la gamma di numeri “adatti” come esponente.

Ora consideriamo numeri razionali. Quali numeri sono detti razionali?

Risposta: tutto ciò che può essere rappresentato come una frazione, dove e sono numeri interi e.

Per capire di cosa si tratta "grado frazionario", considera la frazione:

Eleviamo entrambi i membri dell'equazione a una potenza:

Ora ricordiamo la regola su "grado per grado":

Quale numero deve essere elevato a una potenza per ottenere?

Questa formulazione è la definizione della radice del esimo grado.

Te lo ricordo: la radice dell'esima potenza di un numero () è un numero che, elevato a potenza, è uguale a.

Cioè la radice della potenza è l'operazione inversa dell'elevazione a potenza: .

Si scopre che. Ovviamente questo caso particolare può essere ampliato: .

Adesso aggiungiamo il numeratore: che cos'è? La risposta è facile da ottenere utilizzando la regola potere-potenza:

Ma la base può essere un numero qualsiasi? Dopotutto, la radice non può essere estratta da tutti i numeri.

Nessuno!

Ricordiamo la regola: qualsiasi numero elevato a una potenza pari è un numero positivo. Cioè, è impossibile estrarre le radici pari dai numeri negativi!

Ciò significa che tali numeri non possono essere elevati a una potenza frazionaria con un denominatore pari, cioè l'espressione non ha senso.

E l'espressione?

Ma qui sorge un problema.

Un numero può essere rappresentato come altre frazioni riducibili, ad esempio, o.

E si scopre che esiste, ma non esiste, ma questi sono solo due record diversi dello stesso numero.

Oppure un altro esempio: una volta e poi puoi scriverlo. Ma se scriviamo l'indicatore in modo diverso, ci troveremo di nuovo nei guai: (cioè, abbiamo ottenuto un risultato completamente diverso!).

Per evitare tali paradossi, consideriamo solo esponente di base positivo con esponente frazionario.

Quindi se:

• - numero naturale;
• - numero intero;

Esempi:

Gli esponenti razionali sono molto utili per trasformare espressioni con radici, ad esempio:

5 esempi per esercitarsi

Analisi di 5 esempi per la formazione

1. Non dimenticare le consuete proprietà dei gradi:

2. . Qui ricordiamo che ci siamo dimenticati di imparare la tabella dei gradi:

dopotutto, questo è o. La soluzione viene trovata automaticamente: .

Bene, ora arriva la parte più difficile. Ora lo scopriremo grado con esponente irrazionale.

Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse di un grado con esponente razionale, con l'eccezione

Dopotutto, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono numeri interi (ovvero, i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne quelli razionali).

Quando studiavamo le lauree con esponenti naturali, interi e razionali, ogni volta creavamo una certa “immagine”, “analogia” o descrizione in termini più familiari.

Ad esempio, un grado con esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte;

...numero elevato alla potenza zero- questo è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso una volta, cioè non hanno ancora iniziato a moltiplicarlo, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi il risultato è solo un certo "numero vuoto" , ovvero un numero;

...grado intero negativo- è come se si fosse verificato un “processo inverso”, ovvero il numero non fosse stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

A proposito, nella scienza viene spesso utilizzato un grado con un esponente complesso, cioè l'esponente non è nemmeno un numero reale.

Ma a scuola non pensiamo a queste difficoltà; avrai l’opportunità di comprendere questi nuovi concetti all’istituto.

DOVE SIAMO SICURI CHE ANDRAI! (se impari a risolvere questi esempi :))

Per esempio:

Decidi tu stesso:

Analisi delle soluzioni:

1. Cominciamo con la regola per elevare un potere a potere, che è già consueta per noi:

Ora guarda l'indicatore. Non ti ricorda niente? Ricordiamo la formula per la moltiplicazione abbreviata della differenza dei quadrati:

In questo caso,

Si scopre che:

Risposta: .

2. Riduciamo le frazioni in esponenti alla stessa forma: entrambi i decimali o entrambi quelli ordinari. Otteniamo, ad esempio:

Risposta: 16

3. Niente di speciale, usiamo le solite proprietà dei gradi:

LIVELLO AVANZATO

Determinazione del titolo di studio

Una laurea è un'espressione della forma: , dove:

• — base di laurea;
• - esponente.

Laurea con indicatore naturale (n = 1, 2, 3,...)

Elevare un numero alla potenza naturale n significa moltiplicare il numero per se stesso volte:

Grado con esponente intero (0, ±1, ±2,...)

Se l'esponente è intero positivo numero:

Costruzione al grado zero:

L'espressione è indefinita, perché da un lato qualsiasi grado è questo e dall'altro qualsiasi numero fino al decimo grado è questo.

Se l'esponente è intero negativo numero:

(perché non puoi dividere per).

Ancora una volta sugli zeri: l'espressione non è definita nel caso. Se poi.

Esempi:

Potenza con esponente razionale

• - numero naturale;
• - numero intero;

Esempi:

Proprietà dei gradi

Per facilitare la risoluzione dei problemi, proviamo a capire: da dove provengono queste proprietà? Dimostriamoli.

Vediamo: cos'è e?

A priori:

Quindi, sul lato destro di questa espressione otteniamo il seguente prodotto:

Ma per definizione è una potenza di un numero con esponente, cioè:

Q.E.D.

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : .

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : È importante notare che nella nostra regola Necessariamente devono esserci gli stessi motivi. Quindi uniamo le potenze con la base, ma rimane un fattore a parte:

Un'altra nota importante: questa regola - solo per prodotto di potenze!

In nessun caso puoi scriverlo.

Come per la proprietà precedente, passiamo alla definizione di grado:

Raggruppiamo questo lavoro in questo modo:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa volte, cioè, secondo la definizione, questa è l'esima potenza del numero:

In sostanza, questo può essere chiamato “togliere l’indicatore tra parentesi”. Ma non puoi mai farlo in totale: !

Ricordiamo le formule di moltiplicazione abbreviate: quante volte avremmo voluto scrivere? Ma questo non è vero, dopotutto.

Potenza con base negativa.

Finora abbiamo solo discusso di come dovrebbe essere indice gradi. Ma quale dovrebbe essere la base? Nei poteri di naturale indicatore la base potrebbe essere qualsiasi numero .

In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero tra loro, siano essi positivi, negativi o pari. Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno potenze di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero è positivo o negativo? UN? ?

Con il primo tutto è chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po’ più interessanti. Ricordiamo la semplice regola della prima media: "meno per meno dà un più". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per (), otteniamo - .

E così all'infinito: ad ogni moltiplicazione successiva il segno cambierà. Si possono formulare le seguenti semplici regole:

1. Anche grado, - numero positivo.
2. Numero negativo elevato a strano grado, - numero negativo.
3. Un numero positivo in qualsiasi grado è un numero positivo.
4. Zero a qualsiasi potenza è uguale a zero.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sei riuscito? Ecco le risposte:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nei primi quattro esempi, spero che sia tutto chiaro? Guardiamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

Nell'esempio 5) anche tutto non è così spaventoso come sembra: dopotutto, non importa a cosa sia uguale la base: il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo. Bene, tranne quando la base è zero. La base non è uguale, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice. Qui devi scoprire quale è meno: o? Se lo ricordiamo, diventa chiaro che ciò significa che la base è inferiore a zero. Applichiamo cioè la regola 2: il risultato sarà negativo.

E ancora usiamo la definizione di grado:

Tutto è come al solito: scriviamo la definizione dei gradi e li dividiamo l'uno per l'altro, li dividiamo in coppie e otteniamo:

Prima di esaminare l'ultima regola, risolviamo alcuni esempi.

Calcola le espressioni:

Soluzioni :

Se ignoriamo l'ottavo potere, cosa vediamo qui? Ricordiamo il programma di 7a elementare. Allora, ti ricordi? Questa è la formula per la moltiplicazione abbreviata, cioè la differenza dei quadrati!

Noi abbiamo:

Osserviamo attentamente il denominatore. Assomiglia molto a uno dei fattori del numeratore, ma cosa c'è che non va? L'ordine dei termini è sbagliato. Se fossero invertite, si potrebbe applicare la regola 3. Ma come? Si scopre che è molto semplice: il grado pari del denominatore ci aiuta qui.

Se lo moltiplichi per non cambia nulla, giusto? Ma ora risulta così:

Magicamente i termini cambiarono posto. Questo “fenomeno” si applica a qualsiasi espressione in misura uniforme: possiamo facilmente cambiare i segni tra parentesi. Ma è importante ricordare: Tutti i segni cambiano allo stesso tempo! Non puoi sostituirlo modificando solo uno svantaggio che non ci piace!

Torniamo all'esempio:

E ancora la formula:

Quindi ora l'ultima regola:

Come lo dimostreremo? Naturalmente, come al solito: espandiamo il concetto di laurea e semplifichiamolo:

Bene, ora apriamo le parentesi. Quante lettere ci sono in totale? volte per moltiplicatori: cosa ti ricorda questo? Questa non è altro che la definizione di un'operazione moltiplicazione: Lì c'erano solo moltiplicatori. Cioè, questa, per definizione, è una potenza di un numero con un esponente:

Esempio:

Laurea con esponente irrazionale

Oltre alle informazioni sui gradi per il livello medio, analizzeremo il grado con un esponente irrazionale. Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse di un grado con esponente razionale, con l'eccezione che, dopo tutto, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono numeri interi (cioè , i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne i numeri razionali).

Quando studiavamo le lauree con esponenti naturali, interi e razionali, ogni volta creavamo una certa “immagine”, “analogia” o descrizione in termini più familiari. Ad esempio, un grado con esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte; un numero elevato a zero è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso volte, cioè non hanno ancora cominciato a moltiplicarlo, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi il risultato è solo un certo “numero vuoto”, ovvero un numero; un grado con un esponente intero negativo: è come se si fosse verificato un "processo inverso", cioè il numero non è stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

È estremamente difficile immaginare un grado con un esponente irrazionale (così come è difficile immaginare uno spazio quadridimensionale). Si tratta piuttosto di un oggetto puramente matematico che i matematici hanno creato per estendere il concetto di grado all'intero spazio dei numeri.

A proposito, nella scienza viene spesso utilizzato un grado con un esponente complesso, cioè l'esponente non è nemmeno un numero reale. Ma a scuola non pensiamo a queste difficoltà; avrai l’opportunità di comprendere questi nuovi concetti all’istituto.

Allora cosa facciamo se vediamo un esponente irrazionale? Stiamo facendo del nostro meglio per sbarazzarcene! :)

Per esempio:

Decidi tu stesso:

1)

2)

3)

Risposte:

1. Ricordiamo la formula della differenza dei quadrati. Risposta: .
2. Riduciamo le frazioni alla stessa forma: entrambe le cifre decimali oppure entrambe le frazioni ordinarie. Otteniamo, ad esempio: .
3. Niente di speciale, usiamo le solite proprietà dei gradi:

RIASSUNTO DELLA SEZIONE E FORMULE BASE

Grado chiamata espressione nella forma: , dove:

Grado con esponente intero

un grado il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

Potenza con esponente razionale

grado, il cui esponente è un numero negativo e frazionario.

Laurea con esponente irrazionale

un grado il cui esponente è una frazione decimale o radice infinita.

Proprietà dei gradi

Caratteristiche dei gradi.

• Numero negativo elevato a Anche grado, - numero positivo.
• Numero negativo elevato a strano grado, - numero negativo.
• Un numero positivo in qualsiasi grado è un numero positivo.
• Zero è uguale a qualsiasi potenza.
• Qualsiasi numero elevato a zero è uguale.

ORA HAI LA PAROLA...

Ti piace l'articolo? Scrivi qui sotto nei commenti se ti è piaciuto o no.

Raccontaci la tua esperienza con le proprietà dei titoli di studio.

Forse hai delle domande. O suggerimenti.

Scrivi nei commenti.

E buona fortuna per i tuoi esami!