Trovare esempi di antiderivative. Antiderivativa di funzione e aspetto generale

Tipo di lavoro: 7
Soggetto: Antiderivativa di funzione

Condizione

La figura mostra un grafico della funzione y=f(x) (che è una linea spezzata composta da tre segmenti retti). Utilizzando la figura, calcola F(9)-F(5), dove F(x) è una delle derivative della funzione f(x).

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Soluzione

Secondo la formula di Newton-Leibniz, la differenza F(9)-F(5), dove F(x) è una delle antiderivative della funzione f(x), è uguale all'area del trapezio curvilineo limitata dal grafico della funzione y=f(x), rette y=0 , x=9 e x=5.

Dal grafico determiniamo che il trapezio curvo indicato è un trapezio con basi pari a 4 e 3 e altezza 3. La sua area è uguale

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Tipo di lavoro: 7
Risposta

Condizione

Argomento: Antiderivativa di funzione

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Soluzione

La figura mostra un grafico della funzione y=F(x) - una delle antiderivative di una funzione f(x) definita sull'intervallo (-5; 5).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Utilizzando la figura, determinare il numero di soluzioni dell'equazione f(x)=0 sul segmento [-3; 4].

Tipo di lavoro: 7
Risposta

Condizione

Secondo la definizione di antiderivativa vale l'uguaglianza: F"(x)=f(x). Pertanto l'equazione f(x)=0 può essere scritta come F"(x)=0.

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Soluzione

Poiché la figura mostra il grafico della funzione y=F(x), dobbiamo trovare quei punti nell'intervallo [-3; 4], in cui la derivata della funzione F(x) è uguale a zero. Dalla figura è chiaro che queste saranno le ascisse dei punti estremi (massimo o minimo) del grafico F(x).

Dal grafico determiniamo che il trapezio curvo indicato è un trapezio con basi pari a 4 e 3 e altezza 3. Ce ne sono esattamente 7 nell'intervallo indicato (quattro punti minimi e tre punti massimi).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Utilizzando la figura, determinare il numero di soluzioni dell'equazione f(x)=0 sul segmento [-3; 4].

Tipo di lavoro: 7
Risposta

Condizione

Fonte: “Matematica. Preparazione all'Esame di Stato Unificato 2017. A livello di profilo." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

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Soluzione

Secondo la definizione di antiderivativa vale l'uguaglianza: F"(x)=f(x). Pertanto l'equazione f(x)=0 può essere scritta come F"(x)=0.

Poiché la figura mostra il grafico della funzione y=F(x), dobbiamo trovare quei punti nell'intervallo [-3; 3], in cui la derivata della funzione F(x) è uguale a zero.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Utilizzando la figura, determinare il numero di soluzioni dell'equazione f(x)=0 sul segmento [-3; 4].

Tipo di lavoro: 7
Risposta

Condizione

Dalla figura è chiaro che queste saranno le ascisse dei punti estremi (massimo o minimo) del grafico F(x).

Ce ne sono esattamente 5 nell'intervallo indicato (due punti minimi e tre punti massimi).

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Soluzione

La figura mostra un grafico di una funzione y=f(x). La funzione F(x)=-x^3+4.5x^2-7 è una delle antiderivative della funzione f(x). Trova l'area della figura ombreggiata. La figura ombreggiata è trapezio curvo , delimitato dall'alto dal grafico della funzione y=f(x), dalle rette y=0, x=1 e x=3. 6,5-(-3,5)= 10.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Utilizzando la figura, determinare il numero di soluzioni dell'equazione f(x)=0 sul segmento [-3; 4].

Tipo di lavoro: 7
Risposta

Condizione

Secondo la formula di Newton-Leibniz, la sua area S è uguale alla differenza F(3)-F(1), dove F(x) è la primitiva della funzione f(x) specificata nella condizione.

Ecco perché

• S=
• F(3)-F(1)=
• -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)=
• La figura mostra un grafico di una funzione y=f(x).

La funzione F(x)=x^3+6x^2+13x-5 è una delle antiderivative della funzione f(x).

Trova l'area della figura ombreggiata.

Bersaglio:

Formazione del concetto di antiderivativa.

Preparazione alla percezione dell'integrale. Formazione di competenze informatiche. Coltivare il senso della bellezza (la capacità di vedere la bellezza nell'insolito).

L'analisi matematica è un insieme di rami della matematica dedicati allo studio delle funzioni e delle loro generalizzazioni utilizzando i metodi del calcolo differenziale e integrale..

Finora abbiamo studiato una branca dell'analisi matematica chiamata calcolo differenziale, la cui essenza è lo studio di una funzione nel “piccolo”.
Quelli. studio di una funzione in intorni sufficientemente piccoli di ciascun punto di definizione. Una delle operazioni di differenziazione è trovare la derivata (differenziale) e applicarla allo studio delle funzioni.

Il problema inverso non è meno importante. Se si conosce il comportamento di una funzione in prossimità di ciascun punto della sua definizione, come si può ricostruire la funzione nel suo insieme, cioè nell’intero ambito della sua definizione. Questo problema è oggetto di studio del cosiddetto calcolo integrale.

L’integrazione è l’azione inversa della differenziazione. Oppure ripristinando la funzione f(x) da una data derivata f`(x).
Parola latina
“Integro” significa restauro.
f(x)=x3+1
f(x)=x3+2
f(x)= x 3 -3, ecc.

Perché la derivata di ciascuno di essi è pari a 3x 2. (La derivata di una costante è 0). Tutte queste funzioni differiscono tra loro per un termine costante. Ecco perché soluzione generale il problema può essere scritto nella forma f(x)= x 3 +C, dove C è un numero reale costante qualsiasi.

Viene chiamata una qualsiasi delle funzioni trovate f(x). PRIMODIO per la funzione F`(x)= 3x 2

Definizione. Una funzione F(x) è detta antiderivativa per una funzione f(x) su un dato intervallo J se per tutti gli x da questo intervallo F`(x)= f(x). Quindi la funzione F(x)=x 3 è antiderivativa per f(x)=3x 2 su (- ∞ ; ∞).
Poiché per ogni x ~R vale l'uguaglianza: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Come abbiamo già notato, questa funzione ha un numero infinito di antiderivative (vedi esempio n. 1).

Esempio n.2. La funzione F(x)=x è antiderivativa per ogni f(x)= 1/x sull'intervallo (0; +), perché per tutti gli x di questo intervallo vale l'uguaglianza.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Esempio n.3. La funzione F(x)=tg3x è una antiderivativa per f(x)=3/cos3x sull'intervallo (-n/ 2; P/ 2),
Perché F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Esempio n.4. La funzione F(x)=3sin4x+1/x-2 è antiderivativa per f(x)=12cos4x-1/x 2 sull'intervallo (0;∞)
Perché F`(x)=(3sen4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Lezione 2.

Argomento: Antiderivativa. La proprietà principale di una funzione antiderivativa.

Quando studieremo l'antiderivativa, faremo affidamento sulla seguente affermazione. Segno di costanza di una funzione: Se sull'intervallo J la derivata Ψ(x) della funzione è uguale a 0, allora su questo intervallo la funzione Ψ(x) è costante.

Questa affermazione può essere dimostrata geometricamente.

È noto che Ψ`(x)=tgα, γde α è l'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione Ψ(x) nel punto con ascissa x 0. Se Ψ`(υ)=0 in qualsiasi punto dell'intervallo J, allora tanα=0 δper qualsiasi tangente al grafico della funzione Ψ(x). Ciò significa che la tangente al grafico della funzione in ogni punto è parallela all'asse delle ascisse. Pertanto, sull'intervallo indicato, il grafico della funzione Ψ(x) coincide con il segmento di retta y=C.

Quindi, la funzione f(x)=c è costante sull'intervallo J se f`(x)=0 su questo intervallo.

Infatti, per x 1 e x 2 arbitrari dell'intervallo J, utilizzando il teorema sul valore medio di una funzione, possiamo scrivere:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), perché f`(c)=0, allora f(x 2)= f(x 1)

Teorema: (La proprietà principale della funzione antiderivativa)

Se F(x) è una delle antiderivative della funzione f(x) sull'intervallo J, allora l'insieme di tutte le antiderivative di questa funzione ha la forma: F(x)+C, dove C è un numero reale qualsiasi.

Prova:

Sia F`(x) = f (x), allora (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), per x Є J.
Supponiamo che esista Φ(x) - un'altra antiderivativa per f (x) sull'intervallo J, cioè Φ`(x) = f (x),
allora (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, per x Є J.
Ciò significa che Φ(x) - F(x) è costante sull'intervallo J.
Pertanto, Φ(x) - F(x) = C.
Da dove Φ(x)= F(x)+C.
Ciò significa che se F(x) è un'antiderivativa per una funzione f (x) sull'intervallo J, allora l'insieme di tutte le antiderivative di questa funzione ha la forma: F(x)+C, dove C è un numero reale qualsiasi.
Di conseguenza, due qualsiasi antiderivative di una data funzione differiscono l'una dall'altra per un termine costante.

Esempio: Trova l'insieme delle antiderivative della funzione f (x) = cos x. Disegna i grafici dei primi tre.

Il problema inverso non è meno importante. Se si conosce il comportamento di una funzione in prossimità di ciascun punto della sua definizione, come si può ricostruire la funzione nel suo insieme, cioè nell’intero ambito della sua definizione. Questo problema è oggetto di studio del cosiddetto calcolo integrale. Sin x è una delle antiderivative della funzione f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – l'insieme di tutte le antiderivative.

F 1 (x) = Sin x-1
F2(x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Illustrazione geometrica: Il grafico di una qualsiasi antiderivativa F(x)+C può essere ottenuto dal grafico della antiderivativa F(x) utilizzando il trasferimento parallelo r (0;c).

Esempio: Per la funzione f (x) = 2x, trovare una primitiva il cui grafico passi per t.M (1;4)

Il problema inverso non è meno importante. Se si conosce il comportamento di una funzione in prossimità di ciascun punto della sua definizione, come si può ricostruire la funzione nel suo insieme, cioè nell’intero ambito della sua definizione. Questo problema è oggetto di studio del cosiddetto calcolo integrale. F(x)=x 2 +C – l'insieme di tutte le antiderivative, F(1)=4 - secondo le condizioni del problema.
Pertanto, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x2+3

Antiderivativo.

L'antiderivativa è facile da capire con un esempio.

Prendiamo la funzione y = x 3. Come sappiamo dalle sezioni precedenti, la derivata di X 3 è 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Pertanto, dalla funzione y = x 3 otteniamo nuova funzionalità: A = 3X 2 .
In senso figurato, la funzione A = X 3 funzione prodotta A = 3X 2 ed è il suo “genitore”. In matematica non esiste la parola “genitore”, ma esiste un concetto correlato: antiderivativa.

Cioè: funzione y = x 3 è una primitiva della funzione A = 3X 2 .

Definizione di antiderivativo:

Nel nostro esempio ( X 3)" = 3X 2 quindi y = x 3 – antiderivativo per A = 3X 2 .

Integrazione.

Come sai, il processo per trovare la derivata rispetto a data funzione si chiama differenziazione. E l’operazione inversa si chiama integrazione.

Esempio-spiegazione:

A = 3X 2 + peccato X.

Soluzione:

Sappiamo che l'antiderivativa per 3 X 2 è X 3 .

Antiderivativa del peccato Xè –cos X.

Aggiungiamo due antiderivative e otteniamo l'antiderivativa per la funzione data:

y = x 3+(–cos X),

y = x 3 – cos X.

Risposta :
per funzione A = 3X 2 + peccato X y = x 3 – cos X.

Esempio-spiegazione:

Troviamo un'antiderivativa per la funzione A= 2 peccato X.

Soluzione:

Notiamo che k = 2. L'antiderivativa di sin Xè –cos X.

Pertanto, per la funzione A= 2 peccato X l'antiderivativa è la funzione A= –2cos X.
Coefficiente 2 nella funzione y = 2 sin X corrisponde al coefficiente dell'antiderivativa da cui è stata formata questa funzione.

Esempio-spiegazione:

Troviamo un'antiderivativa per la funzione sì= peccato 2 X.

Soluzione:

Lo notiamo k= 2. Antiderivativo per peccato Xè –cos X.

Applichiamo la nostra formula per trovare l'antiderivativa della funzione sì= cos2 X:

1
sì= - · (–cos 2 X),
2

cos2 X
sì = – ----
2

cos2 X
Risposta: per una funzione sì= peccato 2 X l'antiderivativa è la funzione sì = – ----
2

(4)

Esempio-spiegazione.

Prendiamo la funzione dell'esempio precedente: sì= peccato 2 X.

Per questa funzione, tutti gli antiderivativi hanno la forma:

cos2 X
sì = – ---- + C.
2

Spiegazione.

Prendiamo la prima riga. Si legge così: se la funzione y = f( X) è 0, allora la sua primitiva è 1. Perché? Perché la derivata dell'unità è zero: 1" = 0.

Le righe rimanenti vengono lette nello stesso ordine.

Come scrivere i dati da una tabella? Prendiamo la riga otto:

(-cos X)" = peccato X

Scriviamo la seconda parte con il segno della derivata, poi il segno dell'uguale e la derivata.

Leggiamo: antiderivativa per funzioni peccato Xè la funzione -cos X.

Oppure: funzione -cos Xè antiderivativo per la funzione sin X.

In precedenza, data una determinata funzione, guidati da varie formule e regole, abbiamo trovato la sua derivata. Il derivato ha numerosi usi: è la velocità del movimento (o, più in generale, la velocità di qualsiasi processo); pendenza tangente al grafico di una funzione; utilizzando la derivata si può esaminare una funzione per la monotonia e gli estremi; aiuta a risolvere problemi di ottimizzazione.

Ma insieme al problema di trovare la velocità secondo una legge del movimento nota, c'è anche un problema inverso: il problema di ripristinare la legge del movimento secondo una velocità nota. Consideriamo uno di questi problemi.

Esempio 1. Si muove in linea retta punto materiale, la velocità del suo movimento al tempo t è data dalla formula v=gt. Trova la legge del moto.
Soluzione. Sia s = s(t) la legge del moto desiderata. È noto che s"(t) = v(t). Ciò significa che per risolvere il problema è necessario selezionare una funzione s = s(t), la cui derivata è uguale a gt. Non è difficile indovinare che \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cpunto 2t = gt\)
Risposta: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Notiamo subito che l'esempio è risolto correttamente, ma in modo incompleto. Abbiamo ottenuto \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). In effetti, il problema ha infinite soluzioni: qualsiasi funzione della forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), dove C è una costante arbitraria, può fungere da legge di movimento, poiché \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Per rendere il problema più specifico, dovevamo fissare la situazione iniziale: indicare la coordinata di un punto in movimento in un dato momento, ad esempio a t = 0. Se, diciamo, s(0) = s 0, allora dalla uguaglianza s(t) = (gt 2)/2 + C otteniamo: s(0) = 0 + C, cioè C = s 0. Ora la legge del moto è definita univocamente: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

In matematica vengono assegnate operazioni reciprocamente inverse nomi diversi, inventare notazioni speciali, ad esempio: quadratura (x 2) ed estrazione radice quadrata(\(\sqrt(x) \)), seno (sin x) e arcoseno (arcsin x), ecc. Il processo per trovare la derivata di una data funzione è chiamato differenziazione, e l'operazione inversa, cioè il processo per trovare una funzione da una data derivata, lo è integrazione.

Il termine stesso “derivato” può essere giustificato “in termini quotidiani”: la funzione y = f(x) “dà vita” ad una nuova funzione y" = f"(x). La funzione y = f(x) si comporta come se fosse un “genitore”, ma i matematici, naturalmente, non la chiamano “genitore” o “produttore” ma dicono che lo è, in relazione alla funzione y" = f"(x) , immagine primaria o primitiva.

Definizione. La funzione y = F(x) si dice antiderivativa della funzione y = f(x) sull'intervallo X se vale l'uguaglianza F"(x) = f(x) per \(x \in X\)

In pratica, l'intervallo X solitamente non è specificato, ma è implicito (come dominio naturale di definizione della funzione).

Facciamo degli esempi.
1) La funzione y = x 2 è antiderivativa per la funzione y = 2x, poiché per ogni x è vera l'uguaglianza (x 2)" = 2x
2) La funzione y = x 3 è antiderivativa per la funzione y = 3x 2, poiché per ogni x è vera l'uguaglianza (x 3)" = 3x 2
3) La funzione y = sin(x) è antiderivativa per la funzione y = cos(x), poiché per ogni x è vera l'uguaglianza (sin(x))" = cos(x)

Quando si trovano gli antiderivati, così come i derivati, non vengono utilizzate solo le formule, ma anche alcune regole. Sono direttamente correlati alle corrispondenti regole per il calcolo dei derivati.

Sappiamo che la derivata di una somma è uguale alla somma delle sue derivate. Questa regola genera la regola corrispondente per la ricerca degli antiderivativi.

Regola 1. L'antiderivativa di una somma è uguale alla somma delle antiderivative.

Sappiamo che il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata. Questa regola genera la regola corrispondente per la ricerca degli antiderivativi.

Regola 2. Se F(x) è un'antiderivativa per f(x), allora kF(x) è un'antiderivativa per kf(x).

Teorema 1. Se y = F(x) è un'antiderivativa per la funzione y = f(x), allora l'antiderivativa per la funzione y = f(kx + m) è la funzione \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorema 2. Se y = F(x) è un'antiderivativa per la funzione y = f(x) sull'intervallo X, allora la funzione y = f(x) ha infinite antiderivative e tutte hanno la forma y = F(x) +C.

Metodi di integrazione

Metodo di sostituzione delle variabili (metodo di sostituzione)

Il metodo di integrazione per sostituzione prevede l'introduzione di una nuova variabile di integrazione (ovvero la sostituzione). In questo caso, l'integrale dato si riduce a un nuovo integrale, che è tabellare o riducibile ad esso. Non esistono metodi generali per selezionare le sostituzioni. La capacità di determinare correttamente la sostituzione si acquisisce attraverso la pratica.
Sia necessario calcolare l'integrale \(\textstyle \int F(x)dx \). Facciamo la sostituzione \(x= \varphi(t) \) dove \(\varphi(t) \) è una funzione che ha una derivata continua.
Allora \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) e in base alla proprietà di invarianza della formula di integrazione per l'integrale indefinito, otteniamo per sostituzione la formula di integrazione:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integrazione di espressioni della forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Se m è dispari, m > 0, allora è più conveniente effettuare la sostituzione sin x = t.
Se n è dispari, n > 0, allora è più conveniente fare la sostituzione cos x = t.
Se n e m sono pari, allora è più conveniente effettuare la sostituzione tg x = t.

Integrazione per parti

Integrazione per parti - applicando la seguente formula di integrazione:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
O:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tavola degli integrali indefiniti (antiderivative) di alcune funzioni

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C$$ Documento

Qualche intervallo X. Se Per qualsiasi xХ F"(x) = f(x), allora funzione F chiamatoantiderivativoPerfunzioni f sull'intervallo X. AntiderivativoPerfunzioni puoi provare a trovare...

Antiderivativa per funzione

Documento

... . Funzione F(x) chiamatoantiderivativoPerfunzioni f(x) sull'intervallo (a;b), se Per per ogni x(a;b) vale l’uguaglianza F(x) = f(x). Per esempio, Perfunzioni x2 antiderivativo Volere funzione x3...

Guida allo studio sui fondamenti del calcolo integrale

Esercitazione

...; 5. Trova l'integrale. ; B) ; C) ; D) ; 6. Funzionechiamatoantiderivativo A funzioni su un set se: Per tutti; ad un certo punto; Per tutti; ad un certo... intervallo. Definizione 1. FunzionechiamatoantiderivativoPerfunzioni su molti...

Antiderivativa Integrale indefinito

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Integrazione. Antiderivativo. Continuo funzione F(x) chiamatoantiderivativoPerfunzioni f (x) sull'intervallo X se Per ogni F’ (x) = f (x). ESEMPIO Funzione F(x) = x 3 è antiderivativoPerfunzioni f(x) = 3x...

ISTRUZIONE SPECIALE DELL'URSS Approvato dalla Direzione educativa e metodologica per l'istruzione superiore ISTRUZIONI METODICHE E COMPITI DI CONTROLLO DI MATEMATICA SUPERIORE (CON IL PROGRAMMA) per studenti part-time di ingegneria e specialità tecniche

Linee guida

Domande Per autotest Definire antiderivativofunzioni. Specificare significato geometrico totalità primitivofunzioni. Che cosa chiamato incerto...