Integrali complessi

Questo articolo conclude l'argomento degli integrali indefiniti e include integrali che trovo piuttosto complessi. La lezione è nata dalle ripetute richieste dei visitatori che hanno espresso il desiderio che sul sito vengano analizzati esempi più difficili.

Si presuppone che il lettore di questo testo sia ben preparato e sappia applicare le tecniche di integrazione di base. I manichini e le persone che non hanno molta fiducia negli integrali dovrebbero fare riferimento alla primissima lezione: Integrale indefinito. Esempi di soluzioni, dove puoi padroneggiare l'argomento quasi da zero. Gli studenti più esperti possono acquisire familiarità con tecniche e metodi di integrazione che non hanno ancora incontrato nei miei articoli.

Quali integrali verranno presi in considerazione?

Per prima cosa considereremo gli integrali con radici, per la cui soluzione utilizzeremo successivamente sostituzione variabile E integrazione per parti. Cioè, in un esempio, due tecniche vengono combinate contemporaneamente. E anche di più.

Quindi faremo conoscenza con cose interessanti e originali Metodo per ridurre l'integrale a se stesso. Molti integrali vengono risolti in questo modo.

Il terzo numero del programma riguarderà gli integrali delle frazioni complesse, che sono volati in cassa negli articoli precedenti.

In quarto luogo, verranno analizzati ulteriori integrali di funzioni trigonometriche. In particolare, esistono metodi che evitano la sostituzione trigonometrica universale che richiede tempo.

(2) Nella funzione integranda, dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine.

(3) Utilizziamo la proprietà di linearità dell'integrale indefinito. Nell'ultimo integrale immediatamente poniamo la funzione sotto il segno differenziale.

(4) Prendiamo i rimanenti integrali. Nota che in un logaritmo puoi usare le parentesi anziché un modulo, poiché .

(5) Effettuiamo una sostituzione inversa, esprimendo “te” dalla sostituzione diretta:

Gli studenti masochisti possono differenziare la risposta e ottenere l'integrando originale, come ho appena fatto. No, no, ho fatto il controllo nel senso giusto =)

Come puoi vedere, durante la soluzione abbiamo dovuto utilizzare anche più di due metodi di soluzione, quindi per gestire tali integrali sono necessarie capacità di integrazione sicure e un po' di esperienza.

In pratica, ovviamente, la radice quadrata è più comune; ecco tre esempi per risolverla da soli:

Esempio 2

Trova l'integrale indefinito

Esempio 3

Trova l'integrale indefinito

Esempio 4

Trova l'integrale indefinito

Questi esempi sono dello stesso tipo, quindi la soluzione completa alla fine dell'articolo riguarderà solo l'Esempio 2; Gli Esempi 3-4 hanno le stesse risposte. Quale sostituzione utilizzare all'inizio delle decisioni, penso, sia ovvia. Perché ho scelto esempi dello stesso tipo? Spesso ritrovati nel loro ruolo. Più spesso, forse, solo qualcosa del genere .

Ma non sempre, quando sotto l'arcotangente, seno, coseno, esponenziale e altre funzioni c'è una radice di una funzione lineare, è necessario utilizzare più metodi contemporaneamente. In molti casi è possibile “se la cavare facilmente”, cioè subito dopo la sostituzione si ottiene un integrale semplice che può essere facilmente preso. Il più semplice dei compiti sopra proposti è l'Esempio 4, in cui, dopo la sostituzione, si ottiene un integrale relativamente semplice.

Riducendo l'integrale a se stesso

Un metodo spiritoso e bellissimo. Diamo un'occhiata ai classici del genere:

Esempio 5

Trova l'integrale indefinito

Sotto la radice c'è un binomio quadratico e provare a integrare questo esempio può far venire il mal di testa alla teiera per ore. Un tale integrale viene preso in parti e ridotto a se stesso. In linea di principio, non è difficile. Se sai come.

Denotiamo l'integrale in esame con una lettera latina e iniziamo la soluzione:

Integriamo per parti:

(1) Preparare la funzione integrando per la divisione termine per termine.

(2) Dividiamo la funzione integranda termine per termine. Potrebbe non essere chiaro a tutti, ma lo descriverò più nel dettaglio:

(3) Utilizziamo la proprietà di linearità dell'integrale indefinito.

(4) Prendiamo l'ultimo integrale (logaritmo “lungo”).

Ora diamo un'occhiata all'inizio della soluzione:

E fino alla fine:

Quello che è successo? Come risultato delle nostre manipolazioni, l'integrale si è ridotto a se stesso!

Uguagliamo l'inizio e la fine:

Spostarsi a sinistra con cambio di segno:

E spostiamo i due sul lato destro. Di conseguenza:

La costante, a rigor di termini, avrebbe dovuto essere aggiunta prima, ma l'ho aggiunta alla fine. Consiglio vivamente di leggere qual è la gravità qui:

Nota: Più rigorosamente, la fase finale della soluzione si presenta così:

Così:

La costante può essere rinominata con . Perché può essere rinominato? Perché lo accetta ancora Qualunque valori, e in questo senso non c'è differenza tra costanti e.
Di conseguenza:

Un trucco simile con rinotazione costante è ampiamente utilizzato in equazioni differenziali. E lì sarò severo. E qui concedo tale libertà solo per non confondervi con cose inutili e per focalizzare l'attenzione proprio sul metodo di integrazione stesso.

Esempio 6

Trova l'integrale indefinito

Un altro tipico integrale per soluzione indipendente. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione. Ci sarà una differenza con la risposta dell’esempio precedente!

Se sotto la radice quadrata c'è un trinomio quadrato, la soluzione si riduce comunque a due esempi analizzati.

Consideriamo ad esempio l'integrale . Tutto quello che devi fare è prima seleziona un quadrato completo:
.
Successivamente viene effettuata una sostituzione lineare, che avviene “senza alcuna conseguenza”:
, risultando nell'integrale . Qualcosa di familiare, vero?

Oppure questo esempio, con un binomio quadratico:
Seleziona un quadrato completo:
E, dopo la sostituzione lineare, otteniamo l'integrale, anch'esso risolto utilizzando l'algoritmo già discusso.

Diamo un'occhiata ad altri due esempi tipici di come ridurre un integrale a se stesso:
– integrale dell'esponenziale moltiplicato per il seno;
– integrale dell'esponenziale moltiplicato per il coseno.

Negli integrali elencati per parti dovrai integrare due volte:

Esempio 7

Trova l'integrale indefinito

L'integrando è l'esponenziale moltiplicato per il seno.

Integriamo per parti due volte e riduciamo l'integrale a se stesso:

In seguito alla doppia integrazione per parti, l'integrale si riduce a se stesso. Uguagliamo l'inizio e la fine della soluzione:

Lo spostiamo a sinistra con un cambio di segno ed esprimiamo il nostro integrale:

Pronto. Allo stesso tempo, è consigliabile pettinare il lato destro, cioè togli l'esponente dalle parentesi e metti il ​​seno e il coseno tra parentesi in un ordine "bello".

Ora torniamo all'inizio dell'esempio, o più precisamente, all'integrazione per parti:

Abbiamo designato l'esponente come. Sorge la domanda: è l'esponente che dovrebbe sempre essere indicato con ? Non necessariamente. Infatti, nell'integrale considerato fondamentalmente non importa, cosa intendiamo con , avremmo potuto andare diversamente:

Perché è possibile? Poiché l'esponenziale si trasforma in se stesso (sia durante la differenziazione che nell'integrazione), seno e coseno si trasformano reciprocamente l'uno nell'altro (di nuovo, sia durante la differenziazione che l'integrazione).

Cioè possiamo anche denotare una funzione trigonometrica. Ma, nell'esempio considerato, questo è meno razionale, poiché appariranno le frazioni. Se lo desideri, puoi provare a risolvere questo esempio utilizzando il secondo metodo; le risposte devono corrispondere;

Esempio 8

Trova l'integrale indefinito

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Prima di decidere, pensa a cosa è più vantaggioso in questo caso denotare con , una funzione esponenziale o una funzione trigonometrica? Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

E, naturalmente, non dimenticare che la maggior parte delle risposte di questa lezione sono abbastanza facili da verificare tramite differenziazione!

Gli esempi considerati non erano i più complessi. In pratica, gli integrali sono più comuni dove la costante è sia nell'esponente che nell'argomento della funzione trigonometrica, ad esempio: . Molte persone si confonderanno in un tale integrale, e spesso anch'io mi confondo. Il fatto è che c'è un'alta probabilità che appaiano frazioni nella soluzione ed è molto facile perdere qualcosa per disattenzione. Inoltre, c'è un'alta probabilità di errore nei segni; si noti che l'esponente ha un segno meno, e questo introduce ulteriori difficoltà.

Nella fase finale, il risultato è spesso qualcosa del genere:

Anche alla fine della soluzione, dovresti essere estremamente attento e comprendere correttamente le frazioni:

Integrazione di frazioni complesse

Ci stiamo avvicinando lentamente all'equatore della lezione e iniziamo a considerare gli integrali delle frazioni. Ancora una volta, non tutti sono super complessi, è solo che per un motivo o per l’altro gli esempi erano un po’ “fuori tema” in altri articoli.

Continuando il tema delle radici

Esempio 9

Trova l'integrale indefinito

Nel denominatore sotto la radice c'è un trinomio quadratico più una "appendice" a forma di "X" all'esterno della radice. Un integrale di questo tipo può essere risolto utilizzando una sostituzione standard.

Decidiamo:

La sostituzione qui è semplice:

Diamo un'occhiata alla vita dopo la sostituzione:

(1) Dopo la sostituzione, riduciamo i termini sotto la radice a un denominatore comune.
(2) Lo tiriamo fuori da sotto la radice.
(3) Il numeratore e il denominatore vengono ridotti di . Allo stesso tempo, sotto la radice, ho riorganizzato i termini in un ordine conveniente. Con una certa esperienza, i passaggi (1), (2) possono essere saltati, eseguendo oralmente le azioni commentate.
(4) L'integrale risultante, come ricordi dalla lezione Integrazione di alcune frazioni, si sta decidendo metodo di estrazione quadrato completo. Seleziona un quadrato completo.
(5) Integrando si ottiene un logaritmo ordinario “lungo”.
(6) Effettuiamo la sostituzione inversa. Se inizialmente , poi indietro: .
(7) L'azione finale mira a raddrizzare il risultato: sotto la radice riportiamo nuovamente i termini a un denominatore comune e li eliminiamo da sotto la radice.

Esempio 10

Trova l'integrale indefinito

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Qui viene aggiunta una costante all’unica “X” e la sostituzione è quasi la stessa:

L'unica cosa che devi fare in aggiunta è esprimere la "x" della sostituzione in corso:

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

A volte in un tale integrale può esserci un binomio quadratico sotto la radice, questo non cambia il metodo di soluzione, sarà ancora più semplice. Senti la differenza:

Esempio 11

Trova l'integrale indefinito

Esempio 12

Trova l'integrale indefinito

Brevi soluzioni e risposte alla fine della lezione. Va notato che l'Esempio 11 è esattamente integrale binomiale, il cui metodo di soluzione è stato discusso in classe Integrali di funzioni irrazionali.

Integrale di un polinomio indecomponibile di 2° grado elevato alla potenza

(polinomio al denominatore)

Un tipo di integrale più raro, ma comunque riscontrato in esempi pratici.

Esempio 13

Trova l'integrale indefinito

Ma torniamo all’esempio con il numero fortunato 13 (sinceramente non ho indovinato). Questo integrale è anche uno di quelli che possono essere piuttosto frustranti se non sai come risolverli.

La soluzione inizia con una trasformazione artificiale:

Penso che tutti capiscano già come dividere il numeratore per il denominatore termine per termine.

L'integrale risultante è preso in parti:

Per un integrale della forma ( – numero naturale) si ricava ricorrente formula di riduzione:
, Dove – integrale di grado inferiore.

Verifichiamo la validità di questa formula per l'integrale risolto.
In questo caso: , , usiamo la formula:

Come puoi vedere, le risposte sono le stesse.

Esempio 14

Trova l'integrale indefinito

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. La soluzione campione utilizza la formula precedente due volte consecutive.

Se sotto la laurea è indivisibile trinomio quadrato, allora la soluzione si riduce a un binomio isolando il quadrato perfetto, ad esempio:

Cosa succede se al numeratore c'è un polinomio aggiuntivo? In questo caso viene utilizzato il metodo dei coefficienti indefiniti e l'integrando viene espanso in una somma di frazioni. Ma nella mia pratica c'è un esempio del genere mai incontrato, quindi mi sono perso questo caso nell'articolo Integrali di funzioni frazionarie-razionali, adesso lo salterò. Se incontri ancora un tale integrale, guarda il libro di testo: lì tutto è semplice. Non credo sia consigliabile includere materiale (anche semplice), la probabilità di incontro tende a zero.

Integrazione di funzioni trigonometriche complesse

L'aggettivo “complicato” per la maggior parte degli esempi è ancora in gran parte condizionale. Cominciamo con tangenti e cotangenti a potenze elevate. Dal punto di vista dei metodi risolutivi utilizzati, tangente e cotangente sono quasi la stessa cosa, quindi parlerò più di tangente, lasciando intendere che il metodo dimostrato per la risoluzione dell'integrale è valido anche per la cotangente.

Nella lezione precedente abbiamo visto sostituzione trigonometrica universale per risolvere un certo tipo di integrali di funzioni trigonometriche. Lo svantaggio della sostituzione trigonometrica universale è che il suo utilizzo spesso dà come risultato integrali scomodi con calcoli difficili. E in alcuni casi, la sostituzione trigonometrica universale può essere evitata!

Consideriamo un altro esempio canonico, l'integrale dell'uno diviso per seno:

Esempio 17

Trova l'integrale indefinito

Qui puoi utilizzare la sostituzione trigonometrica universale e ottenere la risposta, ma esiste un modo più razionale. Fornirò la soluzione completa con commenti per ogni passaggio:

(1) Usiamo la formula trigonometrica per il seno di un doppio angolo.
(2) Effettuiamo una trasformazione artificiale: dividiamo per il denominatore e moltiplichiamo per .
(3) Utilizzando la nota formula al denominatore, trasformiamo la frazione in una tangente.
(4) Portiamo la funzione sotto il segno differenziale.
(5) Prendiamo l'integrale.

Un paio di semplici esempi da risolvere da solo:

Esempio 18

Trova l'integrale indefinito

Nota: il primo passo dovrebbe essere quello di utilizzare la formula di riduzione ed eseguire con attenzione azioni simili all'esempio precedente.

Esempio 19

Trova l'integrale indefinito

Bene, questo è un esempio molto semplice.

Soluzioni complete e risposte alla fine della lezione.

Penso che ora nessuno avrà problemi con gli integrali:
ecc.

Qual è l'idea del metodo? L'idea è di utilizzare trasformazioni e formule trigonometriche per organizzare solo le tangenti e la derivata tangente nell'integrando. Stiamo cioè parlando di sostituire: . Negli esempi 17-19 abbiamo effettivamente utilizzato questa sostituzione, ma gli integrali erano così semplici che siamo riusciti a farlo con un'azione equivalente, sussumendo la funzione sotto il segno differenziale.

Un ragionamento simile, come ho già accennato, si può fare per la cotangente.

Sussiste inoltre un presupposto formale per l'applicazione della sostituzione di cui sopra:

La somma delle potenze di coseno e seno è un numero PARI intero negativo, Per esempio:

per l'integrale – un numero intero negativo PARI.

! Nota : se l'integrando contiene SOLO un seno o SOLO un coseno, allora l'integrale viene preso anche per un grado dispari negativo (i casi più semplici sono negli Esempi n. 17, 18).

Diamo un'occhiata ad un paio di attività più significative basate su questa regola:

Esempio 20

Trova l'integrale indefinito

La somma delle potenze di seno e coseno: 2 – 6 = –4 è un numero intero negativo PARI, il che significa che l'integrale può essere ridotto alle tangenti e alla sua derivata:

(1) Trasformiamo il denominatore.
(2) Usando la nota formula, otteniamo .
(3) Trasformiamo il denominatore.
(4) Usiamo la formula .
(5) Portiamo la funzione sotto il segno differenziale.
(6) Effettuiamo la sostituzione. Gli studenti più esperti potrebbero non eseguire la sostituzione, ma è comunque meglio sostituire la tangente con una lettera: c'è meno rischio di confondersi.

Esempio 21

Trova l'integrale indefinito

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

Tenete duro, i gironi di campionato stanno per iniziare =)

Spesso l’integrando contiene un “miscuglio”:

Esempio 22

Trova l'integrale indefinito

Questo integrale contiene inizialmente una tangente, che porta immediatamente a un pensiero già familiare:

Lascerò la trasformazione artificiale all'inizio e i passaggi rimanenti senza commenti, poiché tutto è già stato discusso sopra.

Un paio di esempi creativi per la tua soluzione:

Esempio 23

Trova l'integrale indefinito

Esempio 24

Trova l'integrale indefinito

Sì, in essi, ovviamente, puoi abbassare le potenze di seno e coseno e utilizzare una sostituzione trigonometrica universale, ma la soluzione sarà molto più efficiente e più breve se eseguita attraverso le tangenti. Soluzione completa e risposte alla fine della lezione

Principali integrali che ogni studente dovrebbe conoscere

Gli integrali elencati sono la base, la base dei fondamenti. Queste formule dovrebbero assolutamente essere ricordate. Quando calcoli integrali più complessi, dovrai usarli costantemente.

Prestare particolare attenzione alle formule (5), (7), (9), (12), (13), (17) e (19). Non dimenticare di aggiungere una costante arbitraria C alla tua risposta durante l'integrazione!

Integrale di una costante

∫ A d x = A x + C (1)

Integrazione di una funzione di potenza

In effetti, potremmo limitarci solo alle formule (5) e (7), ma il resto degli integrali di questo gruppo ricorrono così spesso che vale la pena prestare loro un po' di attenzione.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x| +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrali di funzioni esponenziali e funzioni iperboliche

Naturalmente la formula (8) (forse la più comoda da memorizzare) può essere considerata un caso particolare della formula (9). Le formule (10) e (11) per gli integrali del seno iperbolico e del coseno iperbolico si ricavano facilmente dalla formula (8), ma è meglio ricordare semplicemente queste relazioni.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrali di base delle funzioni trigonometriche

Un errore che spesso fanno gli studenti è confondere i segni nelle formule (12) e (13). Ricordando che la derivata del seno è uguale al coseno, per qualche motivo molte persone credono che l'integrale della funzione sinx sia uguale a cosx. Questo non è vero! L'integrale del seno è uguale a “meno coseno”, ma l'integrale del cosx è uguale a “solo seno”:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 peccato 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrali che si riducono a funzioni trigonometriche inverse

La formula (16), che porta all'arcotangente, è naturalmente un caso speciale della formula (17) per a=1. Allo stesso modo, (18) è un caso speciale di (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcosen x + C = − arcocos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcosen x a + C = − arcocos x a + C (a > 0) (19)

Integrali più complessi

Si consiglia inoltre di ricordare queste formule. Inoltre vengono utilizzati abbastanza spesso e il loro output è piuttosto noioso.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x2 − a2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | +C(a > 0) (23)

∫ X 2 − a 2 d X = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x2 − a2 | +C(a > 0) (24)

Regole generali di integrazione

1) L'integrale della somma di due funzioni è uguale alla somma dei corrispondenti integrali: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) L'integrale della differenza di due funzioni è uguale alla differenza dei corrispondenti integrali: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) La costante può essere tolta dal segno integrale: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

È facile vedere che la proprietà (26) è semplicemente una combinazione delle proprietà (25) e (27).

4) Integrale di una funzione complessa se la funzione interna è lineare: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Qui F(x) è un'antiderivativa per la funzione f(x). Nota: questa formula funziona solo quando la funzione interna è Ax + B.

Importante: non esiste una formula universale per l'integrale del prodotto di due funzioni, così come per l'integrale di una frazione:

Usiamo le formule (25) e (26) (l'integrale della somma o differenza di funzioni è uguale alla somma o differenza degli integrali corrispondenti. Otteniamo: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 dx

Ricordiamo che la costante può essere tolta dal segno integrale (formula (27)). L'espressione viene convertita nel modulo

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Ora usiamo semplicemente la tabella degli integrali di base. Dovremo applicare le formule (3), (12), (8) e (1). Integriamo la funzione potenza, seno, esponenziale e costante 1. Non dimenticare di aggiungere una costante arbitraria C alla fine:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Dopo trasformazioni elementari otteniamo la risposta finale:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Mettiti alla prova con la differenziazione: prendi la derivata della funzione risultante e assicurati che sia uguale all'integrando originale.

Tavola riassuntiva degli integrali

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x| +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 peccato 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcosen x + C = − arcocos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcosen x a + C = − arcocos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |

x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |

x + x2 − a2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | +C(a > 0)

∫ X 2 − a 2 d X = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

Si dimostra che l'integrale del prodotto delle funzioni potenza di sin x e cos x può essere ridotto all'integrale di un binomio differenziale. Per i valori interi degli esponenti, tali integrali possono essere facilmente calcolati per parti o utilizzando formule di riduzione. Viene fornita la derivazione delle formule di riduzione. Viene fornito un esempio di calcolo di tale integrale.

Contenuto

Vedi anche:
Tavola degli integrali indefiniti

Riduzione all'integrale di un binomio differenziale

Consideriamo gli integrali della forma:

Tali integrali si riducono all'integrale del binomio differenziale di una delle sostituzioni t = peccato x oppure t = cos x.

Dimostriamolo eseguendo la sostituzione
t = peccato x.
Poi
dt = (peccato x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x = 1 - sin 2 x = 1 - t 2;

Se m e n sono numeri razionali, allora dovrebbero essere utilizzati metodi di integrazione binomiale differenziale.

Integrazione con numeri interi m e n

Consideriamo quindi il caso in cui m e n sono numeri interi (non necessariamente positivi). In questo caso l'integrando è una funzione razionale di peccato x E cos x.

Pertanto è possibile applicare le regole presentate nella sezione "Integrazione delle funzioni razionali trigonometriche".

Tuttavia, tenendo conto delle caratteristiche specifiche, è più semplice utilizzare formule di riduzione, che si ottengono facilmente mediante integrazione per parti.

Formule di riduzione

Formule di riduzione dell'integrale

;
;
;
.

hanno la forma:

Non è necessario memorizzarli poiché si ottengono facilmente integrando per parti.

Prova delle formule di riduzione


Integriamo per parti.

Moltiplicando per m + n, otteniamo la prima formula:

Allo stesso modo otteniamo la seconda formula.


Integriamo per parti.

Moltiplicando per m + n, otteniamo la seconda formula:

Allo stesso modo otteniamo la seconda formula.


Terza formula. + 1 Moltiplicando per n

, otteniamo la terza formula:

Allo stesso modo otteniamo la seconda formula.


Allo stesso modo, per la quarta formula. + 1 Moltiplicando per m

, otteniamo la quarta formula:

Esempio

Calcoliamo l'integrale:

Trasformiamo: Ecco m.

= 10, n = - 4

Applichiamo la formula di riduzione: Ecco m:

Applichiamo la formula di riduzione: A m:

= 10, n = - 4

Applichiamo la formula di riduzione: = 8, n = - 2:

Applichiamo la formula di riduzione: = 6, n = - 0:

Applichiamo la formula di riduzione: = 4, n = - 0:

= 2, n = - 0

Calcoliamo l'integrale rimanente:

Raccogliamo i risultati intermedi in un'unica formula.
Letteratura utilizzata:

N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Raccolta di problemi di matematica superiore, “Lan”, 2003.

Vedi anche:

Ciao di nuovo, amici!

Come ho promesso, con questa lezione inizieremo a esplorare le infinite distese del mondo poetico degli integrali e inizieremo a risolvere un'ampia varietà di esempi (a volte molto belli). :)

Per navigare con competenza in tutta la diversità integrale e non perdersi, abbiamo bisogno solo di quattro cose: 1) Tabella degli integrali. Tutti i dettagli su di lei -

2) Proprietà di linearità dell'integrale indefinito (integrale della somma/differenza e prodotto di una costante).

3) Tabella delle derivate e regole di differenziazione.

Sì, sì, non stupirti! Senza la possibilità di contare i derivati, non c’è assolutamente nulla da guadagnare dall’integrazione. D'accordo, non ha senso, ad esempio, imparare la divisione senza sapere come moltiplicare. :) E molto presto vedrai che senza affinate capacità di differenziazione non è possibile calcolare un singolo integrale che vada oltre quelli tabulari elementari.

4) Metodi di integrazione.

Ce ne sono moltissimi. Per una classe specifica di funzioni: la tua. Ma tra tutta la loro ricca diversità, ne spiccano tre fondamentali:

– ,

– ,

– .

Ciascuno di essi verrà discusso in lezioni separate.

E ora, finalmente, passiamo alla risoluzione degli esempi tanto attesi. Per non saltare da una sezione all'altra, duplicherò ancora una volta l'intero set del gentiluomo, che sarà utile per il nostro lavoro successivo. Lascia che tutti gli strumenti siano a portata di mano.)

Innanzitutto questo tabella degli integrali:

Inoltre, avremo bisogno delle proprietà di base dell'integrale indefinito (proprietà di linearità):

Bene, l'attrezzatura necessaria è pronta. È ora di andare! :)

Applicazione diretta della tabella

Questo paragrafo prenderà in considerazione gli esempi più semplici e innocui. L'algoritmo qui è terribilmente semplice:

1) Osserva la tabella e cerca la/e formula/e richiesta/e;

2) Applicare proprietà di linearità (dove richiesto);

3) Eseguiamo la trasformazione utilizzando formule tabulari e aggiungiamo una costante alla fine CON (non dimenticare!) ;

4) Scrivi la risposta.

Allora andiamo.)

Esempio 1

Non esiste una funzione del genere nella nostra tabella. Ma esiste un integrale di una funzione di potenza in forma generale (secondo gruppo). Nel nostro caso n=5. Quindi sostituiamo il cinque con n e calcoliamo attentamente il risultato:

Pronto. :)

Naturalmente, questo esempio è completamente primitivo. Puramente per conoscenza.) Ma la capacità di integrare le potenze rende facile calcolare gli integrali di qualsiasi polinomio e altre costruzioni di potenza.

Esempio 2

Sotto l'integrale c'è la somma. Vabbè. In questo caso abbiamo proprietà di linearità. :) Dividiamo il nostro integrale in tre separati, togliamo tutte le costanti dai segni degli integrali e contiamo ciascuna secondo la tabella (gruppo 1-2):

Nota: costante CON appare esattamente nel momento in cui TUTTI i segni integrali scompaiono! Naturalmente, dopo dovrai portarlo costantemente con te. Cosa fare...

Naturalmente, di solito non è necessario descriverlo in modo così dettagliato. Questo è puramente a scopo di comprensione. Per capire il punto.)

Ad esempio, molto presto, senza pensarci troppo, darai mentalmente una risposta a mostri come:

I polinomi sono le funzioni più libere negli integrali.) E nelle diffusioni, nella fisica, nella resistenza dei materiali e in altre discipline serie, dovrai integrare costantemente i polinomi. Abituatevi.)

Il prossimo esempio sarà un po’ più interessante.

Esempio 3

Spero che tutti capiscano che il nostro integrando può essere scritto in questo modo:

La funzione integranda è separata e il fattore dx (icona differenziale)- separatamente.

Commento: in questa lezione moltiplicatore dx nel processo di integrazione Ciao non partecipa in alcun modo e per ora ci stiamo “dimenticando” mentalmente. :) Lavoriamo solo con funzione integranda. Ma non dimentichiamoci di lui. Molto presto, letteralmente nella prossima lezione dedicata a, ce ne ricorderemo. E sentiremo l'importanza e il potere di questa icona in tutta la sua forza!)

Nel frattempo il nostro sguardo è attratto dalla funzione integranda

Non assomiglia molto a una funzione di alimentazione, ma è quello che è. :) Se ricordiamo le proprietà scolastiche di radici e poteri, allora è del tutto possibile trasformare la nostra funzione:

E x elevato meno due terzi è già una funzione tabulare! Secondo gruppo n=-2/3. E la costante 1/2 per noi non è un ostacolo. Lo portiamo fuori, oltre il segno integrale, e calcoliamo direttamente utilizzando la formula:

In questo esempio siamo stati aiutati dalle proprietà elementari dei gradi. E questo dovrebbe essere fatto nella maggior parte dei casi quando ci sono radici solitarie o frazioni sotto l'integrale. Pertanto, un paio di consigli pratici per l'integrazione delle costruzioni elettriche:

Sostituiamo le frazioni con potenze con esponenti negativi;

Sostituiamo le radici con potenze con esponenti frazionari.

Ma nella risposta finale, il passaggio dai poteri alle frazioni e alle radici è una questione di gusti. Personalmente, torno indietro: esteticamente è più gradevole o qualcosa del genere.

E per favore, conta attentamente tutte le frazioni! Monitoriamo attentamente i segni e cosa va dove: cosa c'è al numeratore e qual è il denominatore.

Che cosa? Sei già stanco delle noiose funzioni di alimentazione? OK! Prendiamo il toro per le corna!

Esempio 4

Se ora portiamo tutto sotto l'integrale a un denominatore comune, allora possiamo rimanere bloccati su questo esempio seriamente e per molto tempo.) Ma, dando uno sguardo più da vicino all'integrando, possiamo vedere che la nostra differenza consiste di due funzioni tabulari . Quindi non pervertiamoci, ma decomponiamo invece il nostro integrale in due:

Il primo integrale è una funzione di potenza ordinaria (2° gruppo, n = -1): 1/x = x -1 .

La nostra formula tradizionale per la primitiva di una funzione di potenza

Non funziona qui, ma per noi n = -1 esiste un'alternativa degna: una formula con un logaritmo naturale. Questo:

Quindi, secondo questa formula, la prima frazione verrà integrata in questo modo:

E la seconda frazione lo è anche una funzione da tavolo! Lo hai scoperto? SÌ! Questo settimo formula con logaritmo "alto":

La costante "a" in questa formula è uguale a due: a=2.

Nota importante: Si prega di notare la costanteCON con integrazione intermedia I luogo inesistente Non lo attribuisco! Perché? Perché andrà alla risposta finale intero esempio. Questo è più che sufficiente.) A rigor di termini, la costante deve essere scritta dopo ogni singola integrazione, sia essa intermedia o finale: questo è ciò che richiede l'integrale indefinito...)

Ad esempio dopo la prima integrazione dovrei scrivere:

Dopo la seconda integrazione:

Ma il trucco è che la somma/differenza delle costanti arbitrarie lo è anche qualche costante! Nel nostro caso, per la risposta finale abbiamo bisogno del primo integrale sottrarre secondo. Allora possiamo farlo differenza due costanti intermedie:

C1-C2

E abbiamo tutto il diritto di sostituire proprio questa differenza nelle costanti una costante! E semplicemente ridisegnarlo con la lettera “C” che ci è familiare. In questo modo:

C1-C2 = C

Quindi attribuiamo questa stessa costante CON al risultato finale e otteniamo la risposta:

Sì, sì, sono frazioni! I logaritmi multipiano quando integrati sono la cosa più comune. Anche noi ci stiamo abituando.)

Ricordare:

Durante l'integrazione intermedia di più termini, la costante CON Dopo ognuno di essi non devi scrivere. È sufficiente includerlo nella risposta finale dell'intero esempio. Alla fine.

Anche il prossimo esempio è con una frazione. Per il riscaldamento.)

Esempio 5

Il tavolo, ovviamente, non ha tale funzione. Ma c'è simile funzione:

Questo è proprio l'ultimo ottavo formula. Con arcotangente. :)

Questo:

E Dio stesso ci ha ordinato di adattare il nostro integrale a questa formula! Ma c'è un problema: nella formula tabellare prima x2 Non c'è alcun coefficiente, ma abbiamo un nove. Non possiamo ancora utilizzare direttamente la formula. Ma nel nostro caso il problema è completamente risolvibile. Per prima cosa togliamo questo nove tra parentesi, e poi escludiamolo del tutto dalla nostra frazione.)

E la nuova frazione è la funzione tabellare di cui già abbiamo bisogno, la numero 8! Qui e 2 = 4/9. O a=2/3.

Tutto. Prendiamo 1/9 dal segno integrale e usiamo l'ottava formula:

Ecco la risposta. Questo esempio, con un coefficiente davanti x2, l'ho scelto apposta così. Per chiarire cosa fare in questi casi. :) Se prima x2 non esiste alcun coefficiente, quindi anche tali frazioni verranno integrate nella mente.

Per esempio:

Qui un 2 = 5, quindi la stessa “a” sarà “radice di cinque”. In generale, capisci.)

Ora modifichiamo leggermente la nostra funzione: scriviamo il denominatore sotto la radice.) Ora prendiamo questo integrale:

Esempio 6

Il denominatore ora ha una radice. Naturalmente è cambiata anche la formula corrispondente per l'integrazione, sì.) Andiamo di nuovo nella tabella e cerchiamo quella appropriata. Abbiamo radici nelle formule del 5° e 6° gruppo. Ma nel sesto gruppo la differenza c'è solo sotto le radici. E abbiamo l'importo. Quindi, stiamo lavorando quinta formula, con un logaritmo "lungo":

Numero UN ne abbiamo cinque. Sostituisci nella formula e ottieni:

E questo è tutto. Questa è la risposta. Sì, sì, è così semplice!)

Se si insinuano dei dubbi, puoi (e dovresti) sempre controllare il risultato mediante la differenziazione inversa. Controlliamo? E se fosse una specie di errore?

Distinguiamo (non prestiamo attenzione al modulo e lo trattiamo come normali parentesi):

Tutto è giusto. :)

A proposito, se nell'integrando sotto la radice cambi il segno da più a meno, la formula per l'integrazione rimarrà la stessa. Non è un caso che nella tabella sotto la radice ci sia più/meno. :)

Per esempio:

Importante! In caso di meno, on Primo il posto sotto la radice dovrebbe essere esattamente x2 e così via secondo – numero. Se è vero il contrario sotto la radice, la formula tabulare corrispondente sarà più stretta un altro!

Esempio 7

Sotto la radice di nuovo meno, ma x2 con i cinque ci siamo scambiati di posto. È simile, ma non è la stessa cosa... In questo caso, anche la nostra tabella ha una formula.) Formula numero sei, non ci abbiamo ancora lavorato:

Ma ora - con attenzione. Nell'esempio precedente abbiamo utilizzato cinque come numero UN . Qui cinque fungerà da numero un 2!

Pertanto, per applicare correttamente la formula, non dimenticare di estrarre la radice di cinque:

E ora l'esempio è risolto in un'unica azione. :)

Proprio così! Sono stati scambiati solo i termini sotto la radice e il risultato dell'integrazione è cambiato in modo significativo! Logaritmo e arcoseno... Quindi, per favore non confondere queste due formule! Sebbene le funzioni integrandi siano molto simili...

Bonus:

Nelle formule tabulari 7-8 ci sono coefficienti prima del logaritmo e dell'arcotangente 1/(2a) E 1/a rispettivamente. E in una situazione di combattimento allarmante, quando scrivono queste formule, anche i nerd stagionati dai loro studi spesso si confondono, dov'è semplice 1/a, e dove 1/(2a). Ecco un semplice trucco da ricordare.

Nella formula n. 7

Il denominatore dell'integrando contiene differenza di quadrati x2 – un 2. Che, secondo la temibile formula scolastica, si scompone come (x-a)(x+a). SU due moltiplicatore Parola chiave - due. E questi due durante l'integrazione, le parentesi vanno al logaritmo: con un meno verso l'alto, con un più verso il basso.) E anche il coefficiente davanti al logaritmo è 1/( 2 UN).

Ma nella formula n. 8

Il denominatore della frazione contiene somma dei quadrati. Ma la somma dei quadrati x2+a2 non è scomponibile in fattori più semplici. Pertanto, qualunque cosa si possa dire, il denominatore rimarrà tale uno fattore. E anche il coefficiente davanti all'arcotangente sarà 1/a.

Ora integriamo un po’ di trigonometria per cambiare.)

Esempio 8

L'esempio è semplice. Così semplice che la gente, senza nemmeno guardare il tavolo, scrive subito con gioia la risposta e... siamo arrivati. :)

Seguiamo la segnaletica! Questo è l'errore più comune quando si integrano seno/coseno. Da non confondere con i derivati!

SÌ, (peccato X)" = cos X E (cos X)’ = - peccato X.

Ma!

Dato che di solito si ricordano almeno le derivate, per non confondersi nei segni, la tecnica per ricordare gli integrali è molto semplice:

Integrale di seno/coseno = meno derivata dello stesso seno/coseno.

Ad esempio, sappiamo da scuola che la derivata di un seno è uguale a un coseno:

(peccato X)" = cos X.

Allora per integrante dallo stesso seno sarà vero:

Questo è tutto.) È lo stesso con il coseno.

Risolviamo ora il nostro esempio:

Trasformazioni elementari preliminari dell'integrando

Fino a questo punto c'erano gli esempi più semplici. Per avere un'idea di come funziona la tabella e non commettere errori nella scelta di una formula.)

Naturalmente abbiamo fatto alcune semplici trasformazioni: abbiamo eliminato i fattori e li abbiamo divisi in termini. Ma la risposta, in un modo o nell'altro, è ancora in superficie.) Tuttavia... Se il calcolo degli integrali si limitasse solo all'applicazione diretta della tabella, allora ci sarebbero molti omaggi in giro e la vita diventerebbe noiosa.)

Ora diamo uno sguardo più da vicino agli esempi. Di quelli in cui nulla sembra essere deciso direttamente. Ma basta ricordare solo un paio di formule o trasformazioni di scuola elementare e la strada verso la risposta diventa semplice e chiara. :)

Applicazione delle formule trigonometriche

Continuiamo a divertirci con la trigonometria.

Esempio 9

Non esiste una funzione simile nella tabella nemmeno vicino. Ma dentro trigonometria scolastica c'è un'identità così poco conosciuta:

Ora esprimiamo da esso la tangente quadrata di cui abbiamo bisogno e la inseriamo sotto l'integrale:

Perché è stato fatto questo? E poi, dopo tale trasformazione, il nostro integrale sarà ridotto a due tabulari e verrà preso in considerazione!

Vedere:

Ora analizziamo le nostre azioni. A prima vista, tutto sembra essere più semplice che mai. Ma pensiamo a questo. Se fossimo di fronte a un compito differenziare la stessa funzione, allora lo faremmo esattamente sapeva esattamente cosa fare: candidarsi formula derivata di una funzione complessa:

Questo è tutto. Tecnologia semplice e senza problemi. Funziona sempre ed è garantito che porti al successo.

E l'integrale? Ma qui abbiamo dovuto frugare nella trigonometria, scovare qualche formula oscura nella speranza che in qualche modo ci aiutasse a uscire e ridurre l'integrale a una tabella. E non è un dato di fatto che ci aiuterebbe, non è affatto un dato di fatto... Ecco perché l’integrazione è un processo più creativo che la differenziazione. Arte, direi addirittura. :) E questo non è l'esempio più difficile. Oppure ce ne saranno altri!

Esempio 10

Cosa ispira? La tavola degli integrali è ancora impotente, sì. Ma se guardi di nuovo nel nostro tesoro di formule trigonometriche, puoi scoprire un argomento molto, molto utile formula del coseno del doppio angolo:

Quindi applichiamo questa formula alla nostra funzione integranda. Nel ruolo “alfa” abbiamo x/2.

Otteniamo:

L'effetto è sorprendente, non è vero?

Questi due esempi mostrano chiaramente che pre-trasformare una funzione prima dell'integrazioneÈ del tutto accettabile e talvolta rende la vita enormemente più semplice! E nell'integrazione questo procedimento (trasformazione dell'integrando) è un ordine di grandezza più giustificato che nella differenziazione. Vedrai tutto più tardi.)

Diamo un'occhiata ad un paio di trasformazioni più tipiche.

Formule per la moltiplicazione abbreviata, apertura di parentesi, introduzione di parentesi simili e metodo di divisione termine per termine.

Le solite banali trasformazioni scolastiche. Ma a volte sono gli unici a risparmiare, sì.)

Esempio 11

Se stessimo calcolando la derivata, non ci sarebbero problemi: la formula per la derivata di un prodotto e - vai avanti. Ma la formula standard per integrante non esiste dall'opera. E l'unica via d'uscita qui è aprire tutte le parentesi in modo che sotto l'integrale otteniamo un polinomio. E in qualche modo integreremo il polinomio.) Ma apriremo anche saggiamente le parentesi: le formule di moltiplicazione abbreviate sono cose potenti!

(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x8 - 2x4 + 1

Ora contiamo:

E questo è tutto.)

Esempio 12

Ancora una volta, la formula standard per integrale di una frazione non esiste. Tuttavia, il denominatore dell'integrando contiene solitario x. Ciò cambia radicalmente la situazione.) Dividiamo termine per termine il numeratore per il denominatore, riducendo la nostra terribile frazione a un'innocua somma di funzioni di potenza tabulari:

Non mi dilungherò nello specifico sulla procedura di integrazione dei titoli: non sono più piccoli.)

Integriamo la somma delle funzioni di potenza. Secondo il segno.)

Questo è tutto.) A proposito, se il denominatore non fosse X, ma, diciamo, x+1, in questo modo:

Questo trucco della divisione mandato per mandato non avrebbe funzionato così facilmente. È proprio per la presenza di una radice al numeratore e di un'unità al denominatore. Dovrei eliminare la radice. Ma tali integrali sono molto più complicati. Su di loro - in altre lezioni.

Vedere! Basta modificare leggermente la funzione: l'approccio alla sua integrazione cambia immediatamente. A volte in modo drammatico!) Non esiste uno schema standard chiaro. Ogni funzione ha il suo approccio. A volte anche unico.)

In alcuni casi, le conversioni in frazioni sono ancora più complicate.

Esempio 13

E qui, come si può ridurre l'integrale ad un insieme di integrali tabulari? Qui puoi schivare abilmente aggiungendo e sottraendo l'espressione x2 al numeratore della frazione seguito dalla divisione termine per termine. Un trucco molto intelligente negli integrali! Guarda la masterclass! :)

E ora, se sostituiamo la frazione originale con la differenza di due frazioni, il nostro integrale si divide in due tabulari: la funzione di potenza che ci è già familiare e l'arcotangente (formula 8):

Bene, cosa posso dire? Oh!

Questo trucco di aggiungere/sottrarre termini al numeratore è molto popolare nell'integrazione delle frazioni razionali. Molto! Consiglio di prenderne nota.

Esempio 14

Anche qui regna la stessa tecnologia. Devi solo aggiungere/sottrarre uno per estrarre l'espressione al denominatore dal numeratore:

In generale, le frazioni razionali (con polinomi al numeratore e al denominatore) sono un argomento separato e molto ampio. Il punto è che le frazioni razionali sono una delle pochissime classi di funzioni per le quali esiste un metodo di integrazione universale esiste. Il metodo di scomposizione in frazioni semplici, accoppiato con . Ma questo metodo richiede molto lavoro e viene solitamente utilizzato come artiglieria pesante. A lui sarà dedicata più di una lezione. Nel frattempo ci alleniamo e miglioriamo in funzioni semplici.

Riassumiamo la lezione di oggi.

Oggi abbiamo esaminato in dettaglio esattamente come utilizzare la tabella, con tutte le sfumature, analizzato molti esempi (e non quelli più banali) e conosciuto le tecniche più semplici per ridurre gli integrali a quelli tabulari. Ed è così che lo faremo ora Sempre. Non importa quale terribile funzione sia sotto l'integrale, con l'aiuto di un'ampia varietà di trasformazioni faremo in modo che, prima o poi, il nostro integrale, in un modo o nell'altro, sia ridotto a un insieme di tabelle.

Alcuni consigli pratici.

1) Se l'integrale è una frazione, il cui numeratore è la somma delle potenze (radici) e il denominatore è solitario x potere, allora usiamo la divisione termine per termine del numeratore per il denominatore. Sostituisci le radici con potenze di c indicatori frazionari e lavorare secondo le formule 1-2.

2) Nelle costruzioni trigonometriche, prima di tutto proviamo le formule base della trigonometria: doppio/triplo angolo,

Potresti essere molto fortunato. O forse no...

3) Dove necessario (soprattutto nei polinomi e nelle frazioni), utilizziamoformule di moltiplicazione abbreviate:

(a+b)2 = a2+2ab+b2

(a-b)2 = a2 -2ab+b2

(a-b)(a+b) = a 2 -b 2

4) Quando integriamo le frazioni con i polinomi, proviamo a isolare artificialmente le espressioni al denominatore nel numeratore. Molto spesso la frazione viene semplificata e l'integrale ridotto ad una combinazione di quelle tabulari.

Bene, amici? Vedo che iniziano a piacerti gli integrali. :) Poi miglioreremo nel risolvere gli esempi da soli.) Il materiale di oggi è abbastanza per affrontarli con successo.

Che cosa? Non lo so? SÌ! Non l’abbiamo ancora affrontato.) Ma non è necessario integrarli direttamente qui. E che il corso scolastico ti aiuti!)

Risposte (in disordine):

Per risultati migliori, consiglio vivamente di acquistare una raccolta di problemi basati su G.N Mathan. Berman. Roba fantastica!

Questo è tutto quello che ho per oggi. Buona fortuna!