Tangente al grafico di una funzione in un punto. Equazione tangente

Lo dimostra la lezione video “Equazione di una tangente al grafico di una funzione”. materiale didattico per padroneggiare l'argomento. Durante la videolezione viene descritto il materiale teorico necessario per formulare il concetto dell'equazione di una tangente al grafico di una funzione in un dato punto, un algoritmo per trovare tale tangente ed esempi di risoluzione di problemi utilizzando il materiale teorico studiato .

Il video tutorial utilizza metodi che migliorano la chiarezza del materiale. La presentazione contiene disegni, diagrammi, importanti commenti vocali, animazioni, evidenziazioni e altri strumenti.

La video lezione inizia con una presentazione dell'argomento della lezione e un'immagine di una tangente al grafico di una funzione y=f(x) nel punto M(a;f(a)). È risaputo che pendenza la tangente tracciata al grafico in un dato punto è uguale alla derivata della funzione f΄(a) in un dato punto. Anche dal corso di algebra conosciamo l'equazione della retta y=kx+m. Viene presentata schematicamente la soluzione al problema di trovare l'equazione tangente in un punto, che si riduce alla ricerca dei coefficienti k, m. Conoscendo le coordinate di un punto appartenente al grafico della funzione, possiamo trovare m sostituendo il valore della coordinata nell'equazione tangente f(a)=ka+m. Da esso troviamo m=f(a)-ka. Quindi, conoscendo il valore della derivata in un dato punto e le coordinate del punto, possiamo rappresentare l'equazione tangente in questo modo y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Quello che segue è un esempio di composizione di un'equazione tangente seguendo il diagramma. Data la funzione y=x 2 , x=-2. Prendendo a=-2, troviamo il valore della funzione in un dato punto f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Determiniamo la derivata della funzione f΄(x)=2x. A questo punto la derivata è pari a f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Per comporre l'equazione sono stati trovati tutti i coefficienti a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, quindi l'equazione tangente è y=4+(-4)(x+2). Semplificando l'equazione, otteniamo y = -4-4x.

L'esempio seguente suggerisce di costruire un'equazione per la tangente all'origine del grafico della funzione y=tgx. In un dato punto a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Quindi l'equazione della tangente assomiglia a y=x.

In via generale, il processo di composizione di un'equazione tangente al grafico di una funzione in un certo punto è formalizzato sotto forma di un algoritmo composto da 4 passaggi:

• Immettere la designazione a per l'ascissa del punto tangente;
• si calcola f(a);
• Viene determinato f΄(x) e viene calcolato f΄(a). I valori trovati di a, f(a), f΄(a) vengono sostituiti nella formula dell'equazione tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).

L'esempio 1 considera la composizione dell'equazione tangente al grafico della funzione y=1/x nel punto x=1. Per risolvere il problema utilizziamo un algoritmo. Per una data funzione nel punto a=1, il valore della funzione f(a)=-1. Derivato della funzione f΄(x)=1/x 2. Nel punto a=1 la derivata f΄(a)= f΄(1)=1. Utilizzando i dati ottenuti, viene elaborata l'equazione della tangente y=-1+(x-1), o y=x-2.

Nell'esempio 2 è necessario trovare l'equazione della tangente al grafico della funzione y=x 3 +3x 2 -2x-2. La condizione principale è il parallelismo della tangente e della retta y=-2x+1. Innanzitutto troviamo il coefficiente angolare della tangente, pari al coefficiente angolare della retta y=-2x+1. Poiché f΄(a)=-2 per una data retta, allora k=-2 per la tangente desiderata. Troviamo la derivata della funzione (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Sapendo che f΄(a)=-2, troviamo le coordinate del punto 3a 2 +6a-2=-2. Dopo aver risolto l'equazione, otteniamo 1 = 0 e 2 = -2. Utilizzando le coordinate trovate, puoi trovare l'equazione della tangente utilizzando un algoritmo noto. Troviamo il valore della funzione nei punti f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Il valore della derivata nel punto f΄(à 1)= f΄(à 2)=-2. Sostituendo i valori trovati nell'equazione della tangente, otteniamo per il primo punto a 1 =0 y=-2x-2, e per il secondo punto a 2 =-2 l'equazione della tangente y=-2x-22.

L'esempio 3 descrive la composizione dell'equazione tangente per disegnarla nel punto (0;3) al grafico della funzione y=√x. La soluzione viene realizzata utilizzando un algoritmo ben noto. Il punto tangente ha coordinate x=a, dove a>0. Il valore della funzione nel punto f(a)=√x. La derivata della funzione f΄(х)=1/2√х, quindi in un dato punto f΄(а)=1/2√а. Sostituendo tutti i valori ottenuti nell'equazione della tangente, otteniamo y = √a + (x-a)/2√a. Trasformando l'equazione, otteniamo y=x/2√а+√а/2. Sapendo che la tangente passa per il punto (0;3), troviamo il valore di a. Troviamo a da 3=√a/2. Quindi √a=6, a=36. Troviamo l'equazione tangente y=x/12+3. La figura mostra il grafico della funzione in esame e la tangente desiderata costruita.

Si ricordano agli studenti le uguaglianze approssimative Δy=≈f΄(x)Δxe f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Prendendo x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, otteniamo f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), quindi f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

Nell'esempio 4 è necessario trovare il valore approssimativo dell'espressione 2.003 6. Poiché è necessario trovare il valore della funzione f(x)=x 6 nel punto x=2.003, possiamo utilizzare la nota formula, assumendo f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f΄(x)=6x 5. Derivata nel punto f΄(2)=192. Pertanto, 2.003 6 ≈65-192·0.003. Calcolata l'espressione, otteniamo 2.003 6 ≈64.576.

La videolezione “Equazione della tangente al grafico di una funzione” è consigliata per l'uso in una lezione di matematica tradizionale a scuola. Per un insegnante che insegna a distanza, il materiale video aiuterà a spiegare l'argomento in modo più chiaro. Il video può essere consigliato agli studenti per rivederlo in modo indipendente, se necessario, per approfondire la comprensione dell'argomento.

DECODIFICA DEL TESTO:

Sappiamo che se un punto M (a; f(a)) (em con coordinate a ed ef da a) appartiene al grafico della funzione y = f (x) e se in questo punto è possibile tracciare una tangente al grafico della funzione che non è perpendicolare all'asse delle ascisse, allora il coefficiente angolare della tangente è pari a f"(a) (eff primo da a).

Sia data una funzione y = f(x) e un punto M (a; f(a)), e si sa anche che esiste f´(a). Creiamo un'equazione per la tangente al grafico data funzione V dato punto. Questa equazione, come l'equazione di qualsiasi linea retta che non sia parallela all'asse delle ordinate, ha la forma y = kx+m (la y è uguale a ka x più em), quindi il compito è trovare i valori di i coefficienti k e m (ka ed em)

Coefficiente angolare k= f"(a). Per calcolare il valore di m utilizziamo il fatto che la retta desiderata passa per il punto M(a; f (a)). Ciò significa che se sostituiamo le coordinate del punto M nell'equazione della retta, otteniamo l'uguaglianza corretta: f(a) = ka+m, da dove troviamo che m = f(a) - ka.

Resta da sostituire i valori trovati dei coefficienti ki e m nell'equazione della retta:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

sì= F(UN)+ F"(UN) (X- UN). ( y è uguale a ef da a più ef primo da a, moltiplicato per x meno a).

Abbiamo ottenuto l'equazione per la tangente al grafico della funzione y = f(x) nel punto x=a.

Se, diciamo, y = x 2 e x = -2 (cioè a = -2), allora f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, che significa f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (allora ef di a è uguale a quattro, ef del primo di x è uguale a due x, che significa ef primo da a è uguale a meno quattro)

Sostituendo nell'equazione i valori trovati a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4, otteniamo: y = 4+(-4)(x+2), cioè y = -4x-4.

(E è uguale a meno quattro x meno quattro)

Creiamo un'equazione per la tangente al grafico della funzione y = tanx (la y è uguale alla tangente x) all'origine. Abbiamo: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , che significa f"(0) = l. Sostituendo nell'equazione i valori trovati a=0, f(a)=0, f´(a) = 1, otteniamo: y=x.

Riassumiamo i nostri passaggi per trovare l'equazione della tangente al grafico di una funzione nel punto x utilizzando un algoritmo.

ALGORITMO PER LO SVILUPPO DI UN'EQUAZIONE TANGENTE AL GRAFICO DELLA FUNZIONE y = f(x):

1) Designare l'ascissa del punto tangente con la lettera a.

2) Calcolare f(a).

3) Trova f´(x) e calcola f´(a).

4) Sostituisci i numeri trovati a, f(a), f´(a) nella formula sì= F(UN)+ F"(UN) (X- UN).

Esempio 1. Crea un'equazione per la tangente al grafico della funzione y = - in

punto x = 1.

Soluzione. Usiamo l'algoritmo, tenendo conto di quello in in questo esempio

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Sostituiamo i tre numeri trovati: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 nella formula. Otteniamo: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Risposta: y = x-2.

Esempio 2. Data la funzione y = x3 +3x2 -2x-2. Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione y = f(x), parallela alla retta y = -2x +1.

Utilizzando l'algoritmo per comporre l'equazione della tangente, teniamo conto che in questo esempio f(x) = x3 +3x2 -2x-2, ma qui non è indicata l'ascissa del punto tangente.

Cominciamo a pensare in questo modo. La tangente desiderata deve essere parallela alla retta y = -2x+1. E le rette parallele hanno coefficienti angolari uguali. Ciò significa che il coefficiente angolare della tangente è uguale al coefficiente angolare della retta data: k tangente. = -2. Ok, caso. = f"(a). Pertanto, possiamo trovare il valore di a dall'equazione f ´(a) = -2.

Troviamo la derivata della funzione y=F(X):

F"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;F"(a)= 3a2+6a-2.

Dall'equazione f"(a) = -2, cioè 3a2+6a-2=-2 troviamo a 1 =0, a 2 =-2. Ciò significa che ci sono due tangenti che soddisfano le condizioni del problema: una nel punto con ascissa 0, l'altra nel punto con ascissa -2.

Ora puoi seguire l'algoritmo.

1) a 1 =0 e 2 =-2.

2) f(a1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Sostituendo nella formula i valori a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2, otteniamo:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Sostituendo nella formula i valori a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2, otteniamo:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Risposta: y=-2x-2, y=-2x+2.

Esempio 3. Dal punto (0; 3) traccia una tangente al grafico della funzione y = . Soluzione. Usiamo l'algoritmo per comporre l'equazione della tangente, tenendo conto che in questo esempio f(x) = . Si noti che qui, come nell'esempio 2, l'ascissa del punto tangente non è esplicitamente indicata. Tuttavia, seguiamo l'algoritmo.

1) Sia x = a l'ascissa del punto di tangenza; è chiaro che >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Sostituendo i valori di a, f(a) = , f"(a) = nella formula

y=f (a) +f "(a) (x-a), noi abbiamo:

Per condizione, la tangente passa per il punto (0; 3). Sostituendo nell'equazione i valori x = 0, y = 3, otteniamo: 3 = , e quindi =6, a =36.

Come puoi vedere, in questo esempio, solo al quarto passo dell'algoritmo siamo riusciti a trovare l'ascissa del punto tangente. Sostituendo nell'equazione il valore a=36 otteniamo: y=+3

Nella fig. La Figura 1 mostra un'illustrazione geometrica dell'esempio considerato: viene costruito un grafico della funzione y =, viene disegnata una linea retta y = +3.

Risposta: y = +3.

Sappiamo che per una funzione y = f(x), che ha una derivata nel punto x, vale l'uguaglianza approssimata: Δyf´(x)Δx (delta y è approssimativamente uguale all'eff primo di x moltiplicato per delta x)

o, più in dettaglio, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff da x più delta x meno ef da x è approssimativamente uguale a eff primo da x per delta x).

Per comodità di ulteriore discussione, cambiamo la notazione:

invece di x scriveremo UN,

invece di x+Δx scriveremo x

Invece di Δx scriveremo x-a.

Allora l’uguaglianza approssimativa scritta sopra assumerà la forma:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff da x è approssimativamente uguale a ef da a più ef primo da a, moltiplicato per la differenza tra x e a).

Esempio 4: trovare un valore approssimativo espressione numerica 2,003 6 .

Soluzione. Riguarda su come trovare il valore della funzione y = x 6 nel punto x = 2.003. Usiamo la formula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), tenendo conto che in questo esempio f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) =26=64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 e, quindi, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Di conseguenza otteniamo:

2.003 6 64+192· 0.003, cioè 2.003 6 =64.576.

Se usiamo una calcolatrice otteniamo:

2,003 6 = 64,5781643...

Come puoi vedere, la precisione di approssimazione è abbastanza accettabile.

All'argomento "Il coefficiente angolare di una tangente come tangente dell'angolo di inclinazione" vengono assegnati diversi compiti nell'esame di certificazione. A seconda della sua condizione, al laureato potrebbe essere richiesto di fornire una risposta completa o una risposta breve. In preparazione per superamento dell'Esame di Stato Unificato In matematica lo studente dovrebbe assolutamente ripetere i problemi in cui è necessario calcolare il coefficiente angolare di una tangente.

Ti aiuterà a farlo portale educativo"Scolkovo". I nostri specialisti hanno preparato e presentato materiale teorico e pratico nel modo più accessibile possibile. Avendo acquisito familiarità con esso, i laureati con qualsiasi livello di formazione saranno in grado di risolvere con successo problemi relativi alle derivate in cui è necessario trovare la tangente dell'angolo tangente.

Momenti fondamentali

Per trovare la soluzione corretta e razionale a tali compiti nell'Esame di Stato Unificato, è necessario ricordare la definizione di base: la derivata rappresenta il tasso di variazione di una funzione; è uguale alla tangente dell'angolo tangente disegnato al grafico della funzione in un certo punto. È altrettanto importante completare il disegno. Ti permetterà di trovare soluzione corretta Problemi dell'Esame di Stato Unificato sulla derivata, in cui è necessario calcolare la tangente dell'angolo tangente. Per chiarezza è meglio tracciare il grafico sul piano OXY.

Se hai già familiarizzato con il materiale di base sul tema delle derivate e sei pronto per iniziare a risolvere i problemi sul calcolo della tangente dell'angolo tangente, come ad esempio Compiti dell'Esame di Stato Unificato, puoi farlo online. Per ogni compito, ad esempio, problemi sull'argomento "Relazione di una derivata con la velocità e l'accelerazione di un corpo", abbiamo annotato la risposta corretta e l'algoritmo di soluzione. Allo stesso tempo, gli studenti possono esercitarsi a svolgere compiti di vari livelli di complessità. Se necessario, l'esercizio può essere salvato nella sezione “Preferiti” per poter discutere successivamente la soluzione con l'insegnante.

Sia data una funzione f, che in un punto x 0 ha una derivata finita f (x 0). Allora la retta passante per il punto (x 0 ; f (x 0)), avente coefficiente angolare f ’(x 0), si chiama tangente.

Cosa succede se la derivata non esiste nel punto x 0? Ci sono due opzioni:

1. Non c'è nemmeno una tangente al grafico. Un classico esempio è la funzione y = |x | nel punto (0; 0).
2. La tangente diventa verticale. Questo vale ad esempio per la funzione y = arcoseno x nel punto (1; π /2).

Equazione tangente

Qualsiasi linea retta non verticale è data da un'equazione della forma y = kx + b, dove k è la pendenza. La tangente non fa eccezione e per creare la sua equazione ad un certo punto x 0 è sufficiente conoscere il valore della funzione e la derivata in questo punto.

Sia quindi data una funzione y = f (x) che ha una derivata y = f ’(x) sul segmento. Allora in ogni punto x 0 ∈ (a ; b) si può tracciare una tangente al grafico di questa funzione, che è data dall'equazione:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Qui f ’(x 0) è il valore della derivata nel punto x 0, e f (x 0) è il valore della funzione stessa.

Compito. Data la funzione y = x 3 . Scrivi un'equazione per la tangente al grafico di questa funzione nel punto x 0 = 2.

Equazione tangente: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Il punto x 0 = 2 ci è dato, ma bisognerà calcolare i valori f (x 0) e f ’(x 0).

Per prima cosa troviamo il valore della funzione. Qui è tutto facile: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Ora troviamo la derivata: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Sostituiamo x 0 = 2 nella derivata: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
In totale otteniamo: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Questa è l'equazione della tangente.

Compito. Scrivi un'equazione per la tangente al grafico della funzione f (x) = 2sen x + 5 nel punto x 0 = π /2.

Questa volta non descriveremo ogni azione in dettaglio: indicheremo solo i passaggi chiave. Abbiamo:

f(x0) = f(π /2) = 2sin(π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sen x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Equazione tangente:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

In quest'ultimo caso, la linea retta si è rivelata orizzontale, perché il suo coefficiente angolare k = 0. Non c'è niente di sbagliato in questo: ci siamo appena imbattuti in un punto estremo.

Y = f(x) e se a questo punto al grafico della funzione si può tracciare una tangente non perpendicolare all'asse delle ascisse, allora il coefficiente angolare della tangente è pari a f"(a). Abbiamo già lo ha utilizzato più volte Ad esempio, nel § 33 è stato stabilito che il grafico della funzione y = sin x (sinusoide) forma nell'origine un angolo di 45° con l'asse x (più precisamente, la tangente all'asse x). grafico che all'origine forma un angolo di 45° con la direzione positiva dell'asse x), e nell'esempio 5 § sono stati trovati 33 punti nella tabella data funzioni, in cui la tangente è parallela all'asse x. Nell'esempio 2 del § 33 è stata redatta un'equazione per la tangente al grafico della funzione y = x 2 nel punto x = 1 (più precisamente nel punto (1; 1), ma più spesso è solo il valore dell'ascissa indicato, ritenendo che, noto il valore dell'ascissa, allora si possa ricavare il valore dell'ordinata dall'equazione y = f(x)). In questa sezione svilupperemo un algoritmo per comporre un'equazione tangente al grafico di qualsiasi funzione.

Sia data la funzione y = f(x) e il punto M (a; f(a)), e si sappia anche che esiste f"(a). Componiamo un'equazione per la tangente al grafico di a data funzione in un dato punto. Questa equazione è come l'equazione di una retta qualsiasi non parallela all'asse delle ordinate ha la forma y = kx+m, quindi il compito è trovare i valori dei coefficienti k e m.

Non ci sono problemi con il coefficiente angolare k: sappiamo che k = f"(a). Per calcolare il valore di m utilizziamo il fatto che la retta desiderata passa per il punto M(a; f(a)) Ciò significa che se sostituiamo il punto di coordinate M nell'equazione della retta, otteniamo l'uguaglianza corretta: f(a) = ka+m, da cui risulta che m = f(a) - ka.
Resta da sostituire i valori trovati dei coefficienti del kit in l'equazione Dritto:

Abbiamo ottenuto l'equazione per la tangente al grafico della funzione y = f(x) nel punto x=a.
Se, diciamo,
Sostituendo i valori trovati a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 nell'equazione (1), otteniamo: y = 1+2(x-f), cioè y = 2x-1.
Confrontate questo risultato con quello ottenuto nell'esempio 2 del § 33. Naturalmente è accaduta la stessa cosa.
Creiamo un'equazione per la tangente al grafico della funzione y = tan x nell'origine. Abbiamo: questo significa cos x f"(0) = 1. Sostituendo i valori trovati a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 nell'equazione (1), otteniamo: y = x.
Per questo motivo nel § 15 (vedi Fig. 62) abbiamo tracciato la tangente attraverso l'origine delle coordinate con un angolo di 45° rispetto all'asse delle ascisse.
Risolverli abbastanza semplici esempi, in realtà abbiamo utilizzato un certo algoritmo, contenuto nella formula (1). Rendiamo esplicito questo algoritmo.

ALGORITMO PER LO SVILUPPO DI UN'EQUAZIONE TANGENTE AL GRAFICO DELLA FUNZIONE y = f(x)

1) Designare l'ascissa del punto tangente con la lettera a.
2) Calcolare 1 (a).
3) Trova f"(x) e calcola f"(a).
4) Sostituisci i numeri trovati a, f(a), (a) nella formula (1).

Esempio 1. Scrivi un'equazione per la tangente al grafico della funzione nel punto x = 1.
Usiamo l'algoritmo, tenendo conto di quello in questo esempio

Nella fig. 126 viene rappresentata un'iperbole, viene costruita una retta y = 2.
Il disegno conferma i calcoli precedenti: infatti la retta y = 2 tocca l'iperbole nel punto (1; 1).

Risposta: y = 2-x.
Esempio 2. Disegna una tangente al grafico della funzione in modo che sia parallela alla retta y = 4x - 5.
Chiariamo la formulazione del problema. Il requisito di "disegnare una tangente" di solito significa "formare un'equazione per la tangente". Questo è logico, perché se una persona fosse in grado di creare un'equazione per una tangente, difficilmente avrebbe difficoltà a costruirla piano delle coordinate retta secondo la sua equazione.
Usiamo l'algoritmo per comporre l'equazione della tangente, tenendo conto che in questo esempio però, a differenza dell'esempio precedente, c'è ambiguità: l'ascissa del punto tangente non è esplicitamente indicata.
Cominciamo a pensare in questo modo. La tangente desiderata deve essere parallela alla retta y = 4x-5. Due rette sono parallele se e solo se le loro pendenze sono uguali. Ciò significa che il coefficiente angolare della tangente deve essere uguale al coefficiente angolare della retta data: Pertanto, possiamo trovare il valore di a dall'equazione f"(a) = 4.
Abbiamo:
Dall'equazione Ciò significa che ci sono due tangenti che soddisfano le condizioni del problema: una nel punto con ascissa 2, l'altra nel punto con ascissa -2.
Ora puoi seguire l'algoritmo.

Esempio 3. Dal punto (0; 1) traccia una tangente al grafico della funzione
Usiamo l'algoritmo per comporre l'equazione della tangente, tenendo conto che in questo esempio, si noti che qui, come nell'esempio 2, l'ascissa del punto tangente non è esplicitamente indicata. Tuttavia, seguiamo l'algoritmo.

Per condizione, la tangente passa per il punto (0; 1). Sostituendo i valori x = 0, y = 1 nell'equazione (2), otteniamo:
Come puoi vedere, in questo esempio, solo al quarto passo dell'algoritmo siamo riusciti a trovare l'ascissa del punto tangente. Sostituendo il valore a =4 nell'equazione (2), otteniamo:

Nella fig. 127 presenta un'illustrazione geometrica dell'esempio considerato: viene tracciato un grafico della funzione

Nel § 32 abbiamo notato che per una funzione y = f(x) avente derivata nel punto fisso x vale l'uguaglianza approssimata:

Per comodità di ulteriore ragionamento, cambiamo la notazione: invece di x scriveremo a, invece di scriveremo x e, di conseguenza, invece di scriveremo x-a. Allora l’uguaglianza approssimativa scritta sopra assumerà la forma:

Ora guarda la fig. 128. Si traccia una tangente al grafico della funzione y = f(x) nel punto M (a; f (a)). Il punto x è segnato sull'asse x vicino ad a. È chiaro che f(x) è l'ordinata del grafico della funzione in punto specificato X. Cos'è f(a) + f"(a) (x-a)? Questa è l'ordinata della tangente corrispondente allo stesso punto x - vedere la formula (1). Qual è il significato dell'uguaglianza approssimativa (3)? Il fatto che Per calcolare il valore approssimativo della funzione, prendi il valore dell'ordinata della tangente.

Esempio 4. Trova il valore approssimativo dell'espressione numerica 1.02 7.
Si tratta di trovare il valore della funzione y = x 7 nel punto x = 1,02. Usiamo la formula (3), tenendo conto di ciò in questo esempio
Di conseguenza otteniamo:

Se usiamo una calcolatrice, otteniamo: 1,02 7 = 1,148685667...
Come puoi vedere, la precisione di approssimazione è abbastanza accettabile.
Risposta: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algebra 10a elementare

Pianificazione tematica del calendario in matematica, video in matematica online, download di Matematica a scuola

Contenuto della lezione appunti di lezione metodi di accelerazione della presentazione delle lezioni con frame di supporto tecnologie interattive Pratica compiti ed esercizi autotest workshop, corsi di formazione, casi, ricerche compiti a casa domande di discussione domande retoriche degli studenti Illustrazioni audio, video clip e contenuti multimediali fotografie, immagini, grafica, tabelle, diagrammi, umorismo, aneddoti, barzellette, fumetti, parabole, detti, cruciverba, citazioni Componenti aggiuntivi abstract articoli trucchi per i curiosi presepi libri di testo dizionario base e aggiuntivo dei termini altro Miglioramento di libri di testo e lezionicorreggere gli errori nel libro di testo aggiornamento di un frammento in un libro di testo, elementi di innovazione nella lezione, sostituzione di conoscenze obsolete con nuove Solo per insegnanti lezioni perfette piano di calendario per l'anno linee guida programmi di discussione Lezioni integrate

Tangenteè una retta che passa per un punto della curva e coincide con esso in questo punto fino al primo ordine (Fig. 1).

Un'altra definizione: questa è la posizione limite della secante a Δ X→0.

Spiegazione: prendi una linea retta che interseca la curva in due punti: UN E B(Guarda l'immagine). Questa è una secante. Lo ruoteremo in senso orario finché non troverà un solo punto in comune con la curva. Questo ci darà una tangente.

Definizione rigorosa di tangente:

Tangente al grafico di una funzione F, differenziabile nel punto XO, è una retta passante per il punto ( XO; F(XO)) e avere una pendenza F′( XO).

La pendenza ha una linea retta della forma y =kx+B. Coefficiente K ed è pendenza questa linea retta.

Fattore di pendenza uguale alla tangente angolo acuto, formato da questa retta con asse delle ascisse:

K = abbronzatura α

Qui l'angolo α è l'angolo formato dalla retta y =kx+B e la direzione positiva (cioè in senso antiorario) dell'asse x. È chiamato angolo di inclinazione di una retta(Fig. 1 e 2).

Se l'angolo di inclinazione è dritto y =kx+B acuto, allora la pendenza è numero positivo. Il grafico è in aumento (Fig. 1).

Se l'angolo di inclinazione è dritto y =kx+Bè ottuso, allora la pendenza lo è numero negativo. Il grafico è decrescente (Fig. 2).

Se la retta è parallela all'asse x, l'angolo di inclinazione della retta è zero. In questo caso, anche la pendenza della retta è zero (poiché la tangente di zero è zero). L'equazione della retta sarà simile a y = b (Fig. 3).

Se l'angolo di inclinazione di una retta è 90º (π/2), cioè è perpendicolare all'asse delle ascisse, allora la retta è data dall'uguaglianza x =C, Dove C– qualche numero reale (Fig. 4).

Equazione della tangente al grafico di una funzionesì = F(X) al punto XO:

Esempio: Trova l'equazione della tangente al grafico della funzione F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 nel punto con ascissa 2.

Soluzione.

Seguiamo l'algoritmo.

1) Punto di contatto XOè uguale a 2. Calcola F(XO):

F(XO) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Trova F′( X). Per fare ciò, applichiamo le formule di differenziazione delineate nella sezione precedente. Secondo queste formule, X 2 = 2X, UN X 3 = 3X 2. Significa:

F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Ora, utilizzando il valore risultante F′( X), calcolare F′( XO):

F′( XO) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Quindi, abbiamo tutti i dati necessari: XO = 2, F(XO) = 1, F ′( XO) = 4. Sostituisci questi numeri nell'equazione della tangente e trova la soluzione finale:

y = F(XO) + F′( XO) (x-xo) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Risposta: y = 4x – 7.