Regole per trovare il valore di un'espressione numerica. Espressioni numeriche ed algebriche

Di norma, i bambini iniziano a studiare l'algebra nella scuola elementare. Dopo aver padroneggiato i principi di base del lavoro con i numeri, risolvono esempi con una o più variabili sconosciute. Trovare il significato di un'espressione come questa può essere piuttosto difficile, ma se la semplifichi utilizzando le conoscenze delle scuole elementari, tutto funzionerà rapidamente e facilmente.

Qual è il significato di un'espressione

Un'espressione numerica è una notazione algebrica composta da numeri, parentesi e segni, se ha senso.

In altre parole, se è possibile trovare il significato di un'espressione, la voce non è priva di significato, e viceversa.

Esempi seguenti voci sono costruzioni numeriche corrette:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

Un singolo numero rappresenterà anche un'espressione numerica, come il numero 18 dell'esempio precedente.
Esempi di costruzioni di numeri errate che non hanno senso:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

Gli esempi numerici errati sono solo un mucchio di simboli matematici e non hanno significato.

Come trovare il valore di un'espressione

Poiché tali esempi contengono segni aritmetici, possiamo concludere che consentono calcoli aritmetici. Per calcolare i segni o, in altre parole, per trovare il significato di un'espressione, è necessario eseguire le opportune manipolazioni aritmetiche.

Ad esempio, considera la seguente costruzione: (120-30)/3=30. Il numero 30 sarà il valore espressione numerica (120-30)/3.

Istruzioni:

Concetto di uguaglianza numerica

Un'uguaglianza numerica è una situazione in cui due parti di un esempio sono separate dal segno "=". Cioè, una parte è completamente uguale (identica) all'altra, anche se visualizzata sotto forma di altre combinazioni di simboli e numeri.
Ad esempio, qualsiasi costruzione come 2+2=4 può essere definita un'uguaglianza numerica, poiché anche se le parti vengono scambiate, il significato non cambierà: 4=2+2. Lo stesso vale per le costruzioni più complesse che coinvolgono parentesi, divisioni, moltiplicazioni, operazioni con frazioni e così via.

Come trovare correttamente il valore di un'espressione

Per trovare correttamente il valore dell'espressione, è necessario eseguire i calcoli secondo un certo ordine Azioni. Questo ordine viene insegnato nelle lezioni di matematica e successivamente nelle lezioni di algebra scuola elementare. È noto anche come passaggi operazioni aritmetiche.

Passaggi aritmetici:

1. La prima fase è l'addizione e la sottrazione di numeri.
2. La seconda fase è quella in cui vengono eseguite la divisione e la moltiplicazione.
3. Terza fase: i numeri sono quadrati o cubici.

Osservando le seguenti regole, puoi sempre determinare correttamente il significato di un'espressione:

1. Esegui azioni a partire dal terzo passaggio, terminando con il primo, se nell'esempio non sono presenti parentesi. Cioè, prima il quadrato o il cubo, poi dividi o moltiplica e solo dopo aggiungi e sottrai.
2. Nelle costruzioni con parentesi, eseguire prima le azioni tra parentesi, quindi seguire l'ordine sopra descritto. Se sono presenti più parentesi, utilizzare anche la procedura del primo paragrafo.
3. Negli esempi sotto forma di frazione, scopri prima il risultato nel numeratore, poi nel denominatore, quindi dividi il primo per il secondo.

Trovare il significato di un'espressione non sarà difficile se acquisisci le conoscenze di base dei corsi elementari di algebra e matematica. Guidati dalle informazioni sopra descritte, è possibile risolvere qualsiasi problema, anche di maggiore complessità.

Scopri la password da VK, conoscendo il login

Una voce composta da numeri, segni e parentesi e dotata anche di significato, chiamata espressione numerica.

Ad esempio, le seguenti voci:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

saranno espressioni numeriche. Dovrebbe essere chiaro che un numero sarà anche un'espressione numerica. Nel nostro esempio, questo è il numero 13.

E, ad esempio, le seguenti voci

• 100 - *9,
• /32)343

non saranno espressioni numeriche, poiché non hanno significato e sono semplicemente un insieme di numeri e segni.

Valore dell'espressione numerica

Poiché i segni nelle espressioni numeriche includono segni di operazioni aritmetiche, possiamo calcolare il valore di un'espressione numerica. Per fare ciò, è necessario seguire questi passaggi.

Per esempio,

(100-32)/17 = 4, ovvero per l'espressione (100-32)/17, il valore di questa espressione numerica sarà il numero 4.

2*4+7=15, il numero 15 sarà il valore dell'espressione numerica 2*4+7.

Spesso, per brevità, le voci non scrivono il valore completo di un'espressione numerica, ma scrivono semplicemente "il valore dell'espressione", omettendo la parola "numerico".

Uguaglianza numerica

Se due espressioni numeriche vengono scritte utilizzando un segno di uguale, queste espressioni formano un'uguaglianza numerica. Ad esempio, l'espressione 2*4+7=15 è un'uguaglianza numerica.

Come notato sopra, le espressioni numeriche possono utilizzare parentesi. Come già sai, le parentesi influenzano l'ordine delle azioni.

In generale, tutte le azioni sono suddivise in più fasi.

• Azioni della prima fase: addizione e sottrazione.
• Operazioni del secondo stadio: moltiplicazione e divisione.
• Le azioni della terza fase sono il quadrato e il cubo.

Regole per il calcolo dei valori delle espressioni numeriche

Quando si calcolano i valori delle espressioni numeriche, è necessario seguire le seguenti regole.

• 1. Se l'espressione non ha parentesi, è necessario eseguire azioni a partire dai livelli più alti: terza fase, seconda fase e prima fase. Se sono presenti più azioni nella stessa fase, vengono eseguite nell'ordine in cui sono scritte, ovvero da sinistra a destra.
• 2. Se l'espressione contiene parentesi, le azioni tra parentesi vengono eseguite per prime e solo successivamente tutte le altre azioni vengono eseguite nell'ordine consueto. Quando si eseguono azioni tra parentesi, se ce ne sono diverse, è necessario utilizzare l'ordine descritto nel paragrafo 1.
• 3. Se l'espressione è una frazione, vengono prima calcolati i valori del numeratore e del denominatore, quindi il numeratore viene diviso per il denominatore.
• 4. Se l'espressione contiene parentesi nidificate, le azioni dovrebbero essere eseguite dalle parentesi interne.

Questo articolo spiega come trovare i valori delle espressioni matematiche. Cominciamo con semplici espressioni numeriche e poi consideriamo i casi man mano che la loro complessità aumenta. Alla fine presentiamo un'espressione contenente simboli di lettere, parentesi, radici, simboli matematici speciali, gradi, funzioni, ecc. Come da tradizione forniremo l'intera teoria con abbondanti e dettagliati esempi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Come trovare il valore di un'espressione numerica?

Le espressioni numeriche, tra le altre cose, aiutano a descrivere la condizione problematica linguaggio matematico. In generale, le espressioni matematiche possono essere molto semplici, costituite da una coppia di numeri e simboli aritmetici, o molto complesse, contenenti funzioni, potenze, radici, parentesi, ecc. Nell'ambito di un compito, spesso è necessario trovare il significato di una particolare espressione. Come farlo sarà discusso di seguito.

I casi più semplici

Questi sono i casi in cui l'espressione non contiene altro che numeri e operazioni aritmetiche. Per trovare con successo i valori di tali espressioni, avrai bisogno della conoscenza dell'ordine di esecuzione delle operazioni aritmetiche senza parentesi, nonché della capacità di eseguire operazioni con numeri diversi.

Se l'espressione contiene solo numeri e segni aritmetici " + " , " · " , " - " , " ÷ " , le azioni vengono eseguite da sinistra a destra nel seguente ordine: prima moltiplicazione e divisione, quindi addizione e sottrazione. Facciamo degli esempi.

Esempio 1: il valore di un'espressione numerica

Lascia che tu abbia bisogno di trovare i valori dell'espressione 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Facciamo prima la moltiplicazione e la divisione. Noi abbiamo:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Ora effettuiamo la sottrazione e otteniamo il risultato finale:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Esempio 2: il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Per prima cosa eseguiamo la conversione, divisione e moltiplicazione delle frazioni:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Ora facciamo qualche addizione e sottrazione. Raggruppiamo le frazioni e portiamole ad un denominatore comune:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Il valore richiesto è stato trovato.

Espressioni con parentesi

Se un'espressione contiene parentesi, queste definiscono l'ordine delle operazioni in quell'espressione. Le azioni tra parentesi vengono eseguite per prime e poi tutte le altre. Mostriamolo con un esempio.

Esempio 3: il valore di un'espressione numerica

Troviamo il valore dell'espressione 0,5 · (0,76 - 0,06).

L'espressione contiene parentesi, quindi eseguiamo prima l'operazione di sottrazione tra parentesi e solo successivamente la moltiplicazione.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Il significato delle espressioni contenenti parentesi all'interno di parentesi si trova secondo lo stesso principio.

Esempio 4: il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo il valore 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Eseguiremo azioni partendo dalle parentesi più interne, spostandoci verso quelle esterne.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Quando si trovano i significati delle espressioni tra parentesi, la cosa principale è seguire la sequenza delle azioni.

Espressioni con radici

Le espressioni matematiche di cui dobbiamo trovare i valori possono contenere segni di radice. Inoltre, l'espressione stessa può trovarsi sotto il segno della radice. Cosa fare in questo caso? Per prima cosa devi trovare il valore dell'espressione sotto la radice, quindi estrarre la radice dal numero ottenuto come risultato. Se possibile, è meglio eliminare le radici nelle espressioni numeriche, sostituendo con con valori numerici.

Esempio 5: il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo il valore dell'espressione con radici - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Per prima cosa calcoliamo le espressioni radicali.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Ora puoi calcolare il valore dell'intera espressione.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Spesso, per trovare il significato di un'espressione con radici è necessario prima convertire l'espressione originale. Spieghiamolo con un altro esempio.

Esempio 6: il valore di un'espressione numerica

Quanto fa 3 + 1 3 - 1 - 1

Come puoi vedere, non abbiamo la possibilità di sostituire la radice con un valore esatto, il che complica il processo di conteggio. Tuttavia, in questo caso, puoi applicare la formula di moltiplicazione abbreviata.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Così:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Espressioni con poteri

Se un'espressione contiene poteri, i loro valori devono essere calcolati prima di procedere con tutte le altre azioni. Accade che l'esponente o la base del grado stesso siano espressioni. In questo caso viene prima calcolato il valore di queste espressioni e poi il valore del grado.

Esempio 7: il valore di un'espressione numerica

Troviamo il valore dell'espressione 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Iniziamo a calcolare in ordine.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Non resta che eseguire l'operazione di addizione e scoprire il significato dell'espressione:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Spesso è anche consigliabile semplificare un'espressione utilizzando le proprietà di un grado.

Esempio 8: il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo il valore della seguente espressione: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Gli esponenti sono ancora una volta tali che non è possibile ottenere i loro valori numerici esatti. Semplifichiamo l'espressione originale per trovarne il valore.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Espressioni con frazioni

Se un'espressione contiene frazioni, quando si calcola tale espressione, tutte le frazioni in essa contenute devono essere rappresentate nel modulo frazioni ordinarie e calcolarne i valori.

Se il numeratore e il denominatore di una frazione contengono espressioni, vengono prima calcolati i valori di queste espressioni e viene annotato il valore finale della frazione stessa. Le operazioni aritmetiche vengono eseguite nell'ordine standard. Diamo un'occhiata alla soluzione di esempio.

Esempio 9: il valore di un'espressione numerica

Troviamo il valore dell'espressione contenente le frazioni: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Come puoi vedere, ci sono tre frazioni nell'espressione originale. Calcoliamo prima i loro valori.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Riscriviamo la nostra espressione e calcoliamo il suo valore:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Spesso quando si cerca il significato delle espressioni, è conveniente ridurre le frazioni. Esiste una regola non detta: prima di trovarne il valore, è meglio semplificare al massimo qualsiasi espressione, riducendo tutti i calcoli ai casi più semplici.

Esempio 10: il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo l'espressione 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Non possiamo estrarre completamente la radice di cinque, ma possiamo semplificare l'espressione originale attraverso trasformazioni.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

L'espressione originale assume la forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Calcoliamo il valore di questa espressione:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Espressioni con logaritmi

Quando in un'espressione sono presenti logaritmi, il loro valore viene calcolato dall'inizio, se possibile. Ad esempio, nell'espressione log 2 4 + 2 · 4, puoi scrivere immediatamente il valore di questo logaritmo invece di log 2 4, e quindi eseguire tutte le azioni. Otteniamo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Le espressioni numeriche si possono trovare anche sotto il segno del logaritmo stesso e alla sua base. In questo caso, la prima cosa da fare è trovare il loro significato. Prendiamo l'espressione log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Abbiamo:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Se è impossibile calcolare il valore esatto del logaritmo, semplificare l'espressione aiuta a trovarne il valore.

Esempio 11: il valore di un'espressione numerica

Troviamo il valore dell'espressione log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Per la proprietà dei logaritmi:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Utilizzando nuovamente le proprietà dei logaritmi, per l'ultima frazione dell'espressione otteniamo:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Ora puoi procedere al calcolo del valore dell'espressione originale.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Espressioni con funzioni trigonometriche

Accade che l'espressione contenga le funzioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e cotangente, nonché le loro funzioni inverse. Il valore viene calcolato prima che vengano eseguite tutte le altre operazioni aritmetiche. Altrimenti l'espressione è semplificata.

Esempio 12: il valore di un'espressione numerica

Trova il valore dell'espressione: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Per prima cosa calcoliamo i valori delle funzioni trigonometriche incluse nell'espressione.

peccato - 5 π 2 = - 1

Sostituiamo i valori nell'espressione e calcoliamo il suo valore:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Il valore dell'espressione è stato trovato.

Spesso per trovare il significato di un'espressione con funzioni trigonometriche, deve prima essere convertito. Spieghiamo con un esempio.

Esempio 13: il valore di un'espressione numerica

Dobbiamo trovare il valore dell'espressione cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Per la conversione useremo formule trigonometriche coseno del doppio angolo e coseno della somma.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Caso generale di un'espressione numerica

In generale un'espressione trigonometrica può contenere tutti gli elementi sopra descritti: parentesi, potenze, radici, logaritmi, funzioni. Formuliamo regola generale trovare il significato di tali espressioni.

Come trovare il valore di un'espressione

1. Radici, potenze, logaritmi, ecc. vengono sostituiti dai loro valori.
2. Vengono eseguite le azioni tra parentesi.
3. Le restanti azioni vengono eseguite in ordine da sinistra a destra. Prima - moltiplicazione e divisione, poi - addizione e sottrazione.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 14: il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo il valore dell'espressione - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

L'espressione è piuttosto complessa e macchinosa. Non è un caso che abbiamo scelto proprio un esempio del genere, cercando di inserirvi tutti i casi sopra descritti. Come trovare il significato di una simile espressione?

È noto che quando si calcola il valore di una forma frazionaria complessa, prima i valori del numeratore e del denominatore della frazione si trovano rispettivamente separatamente. Successivamente trasformeremo e semplificheremo questa espressione.

Innanzitutto calcoliamo il valore dell'espressione radicale 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Per fare ciò, devi trovare il valore del seno e l'espressione che è l'argomento della funzione trigonometrica.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Ora puoi scoprire il valore del seno:

peccato π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = peccato π 6 + 2 π = peccato π 6 = 1 2.

Calcoliamo il valore dell'espressione radicale:

2 sinπ 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Con il denominatore della frazione tutto è più semplice:

Ora possiamo scrivere il valore della frazione intera:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Tenendo conto di ciò, scriviamo l'intera espressione:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Risultato finale:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

In questo caso siamo stati in grado di calcolare valori esatti radici, logaritmi, seni, ecc. Se ciò non è possibile, puoi provare a sbarazzartene attraverso trasformazioni matematiche.

Calcolo dei valori di espressione utilizzando metodi razionali

I valori numerici devono essere calcolati in modo coerente e accurato. Questo processo può essere razionalizzato e accelerato utilizzando varie proprietà delle operazioni con i numeri. Ad esempio, è noto che un prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Tenendo conto di questa proprietà, possiamo subito dire che l'espressione 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 è uguale a zero. Allo stesso tempo, non è affatto necessario eseguire le azioni nell'ordine descritto nell'articolo sopra.

È anche conveniente utilizzare la proprietà di sottrazione numeri uguali. Senza eseguire alcuna azione, puoi ordinare che anche il valore dell'espressione 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 sia zero.

Un'altra tecnica per accelerare il processo è l'uso di trasformazioni di identità come il raggruppamento di termini e fattori e l'inserimento del fattore comune tra parentesi. Approccio razionale per calcolare le espressioni con le frazioni - scorciatoia espressioni identiche al numeratore e al denominatore.

Ad esempio, prendi l'espressione 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Senza eseguire le operazioni tra parentesi, ma riducendo la frazione, possiamo dire che il valore dell'espressione è 1 3 .

Trovare i valori delle espressioni con variabili

Senso espressione letterale e le espressioni con variabili si trovano per valori specifici di lettere e variabili.

Trovare i valori delle espressioni con variabili

Per trovare il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili, è necessario sostituire i valori specificati di lettere e variabili nell'espressione originale, quindi calcolare il valore dell'espressione numerica risultante.

Esempio 15: valore di un'espressione con variabili

Calcola il valore dell'espressione 0, 5 x - y dati x = 2, 4 e y = 5.

Sostituiamo i valori delle variabili nell'espressione e calcoliamo:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

A volte puoi trasformare un'espressione in modo tale da ottenere il suo valore indipendentemente dai valori delle lettere e delle variabili in essa incluse. Per fare ciò, è necessario eliminare lettere e variabili nell'espressione, se possibile, utilizzando trasformazioni identiche, proprietà delle operazioni aritmetiche e tutti gli altri metodi possibili.

Ad esempio, l'espressione x + 3 - x ha ovviamente valore 3, e per calcolare questo valore non è necessario conoscere il valore della variabile x. Il valore di questa espressione è uguale a tre per tutti i valori della variabile x dal suo intervallo di valori consentiti.

Un altro esempio. Il valore dell'espressione x x è uguale a uno per tutte le x positive.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Tu, come genitori, nel processo di educazione di tuo figlio, ti troverai più di una volta di fronte alla necessità di aiuto per risolvere i problemi dei compiti di matematica, algebra e geometria. E una delle abilità di base che devi apprendere è come trovare il significato di un'espressione. Molte persone sono in un vicolo cieco, perché quanti anni sono passati da quando abbiamo studiato nelle classi 3-5? Molto è già stato dimenticato e qualcosa non è stato ancora imparato. Le regole delle operazioni matematiche sono semplici e puoi ricordarle facilmente. Cominciamo con le nozioni di base su cosa sia un'espressione matematica.

Definizione di espressione

Un'espressione matematica è una raccolta di numeri, segni di azione (=, +, -, *, /), parentesi e variabili. In breve, questa è una formula il cui valore dovrà essere trovato. Tali formule si trovano nei corsi di matematica fin dalla scuola e poi perseguitano gli studenti che hanno scelto le specialità ad esse correlate scienze esatte. Le espressioni matematiche si dividono in trigonometriche, algebriche e così via;

1. Fai prima i calcoli su una bozza e poi riscrivili cartella di lavoro. In questo modo eviterete inutili attraversamenti e sterrati;
2. Ricalcolare totale operazioni matematiche che dovranno essere eseguite nell'espressione. Tieni presente che secondo le regole, le operazioni tra parentesi vengono eseguite prima, quindi la divisione e la moltiplicazione e alla fine la sottrazione e l'addizione. Ti consigliamo di evidenziare tutte le azioni a matita e di mettere dei numeri sopra le azioni nell'ordine in cui sono state eseguite. In questo caso sarà più semplice orientarsi sia per te che per tuo figlio;
3. Inizia a fare calcoli seguendo rigorosamente l'ordine delle azioni. Lascia che il bambino, se il calcolo è semplice, provi a eseguirlo nella sua testa, ma se è difficile, scrivi con una matita il numero corrispondente numero di serie espressioni ed eseguire calcoli per iscritto sotto la formula;
4. Di norma, trovare il valore di un'espressione semplice non è difficile se tutti i calcoli vengono eseguiti secondo le regole e nel giusto ordine. La maggior parte delle persone incontra un problema proprio in questa fase nel trovare il significato di un'espressione, quindi fai attenzione e non commettere errori;
5. Divieto della calcolatrice. Le formule matematiche e i problemi stessi potrebbero non essere utili nella vita di tuo figlio, ma non è questo lo scopo dello studio dell’argomento. La cosa principale è lo sviluppo pensiero logico. Se si usano le calcolatrici si perde il significato di tutto;
6. Il tuo compito come genitore non è risolvere i problemi di tuo figlio, ma aiutarlo in questo, guidarlo. Lascia che faccia tutti i calcoli da solo e assicurati che non commetta errori, spiegagli perché deve farlo in questo modo e non altrimenti.
7. Una volta trovata la risposta all'espressione, scrivetela dopo il segno “=";
8. Apri l'ultima pagina del tuo libro di testo di matematica. Di solito, ci sono risposte per ogni esercizio nel libro. Non fa male verificare se tutto è stato calcolato correttamente.

Trovare il significato di un'espressione è, da un lato, una procedura semplice; la cosa principale è ricordare le regole di base che abbiamo seguito; corso scolastico matematica. Ma d'altra parte, quando devi aiutare tuo figlio ad affrontare formule e risolvere problemi, la questione si complica. Dopotutto, ora non sei uno studente, ma un insegnante e l'educazione del futuro Einstein poggia sulle tue spalle.

Speriamo che il nostro articolo ti abbia aiutato a trovare la risposta alla domanda su come trovare il significato di un'espressione e che tu possa facilmente capire qualsiasi formula!

IO. Le espressioni in cui insieme alle lettere possono essere utilizzati numeri, simboli aritmetici e parentesi sono chiamate espressioni algebriche.

Esempi di espressioni algebriche:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a+2b); un 2 – 2ab;

Poiché una lettera in un'espressione algebrica può essere sostituita da numeri diversi, la lettera è chiamata variabile e l'espressione algebrica stessa è chiamata espressione con variabile.

II. Se in un'espressione algebrica le lettere (variabili) vengono sostituite dai loro valori e vengono eseguite le azioni specificate, il numero risultante viene chiamato valore dell'espressione algebrica.

Esempi.

Trova il significato dell'espressione:

1) a + 2b -c con a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| in x = -8; y = -5; z = 6..

Soluzione

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a + 2b -c con a = -2; b = 10; c = -3,5. Invece delle variabili, sostituiamo i loro valori. Noi abbiamo: 2) |x| + |y| -|z| in x = -8; y = -5; z = 6. Sostituisci i valori indicati. Ricorda che il modulo numero negativo è uguale al suo numero opposto e al modulo numero positivo

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

uguale a questo numero stesso. Noi abbiamo: III.

I valori della lettera (variabile) per i quali l'espressione algebrica ha senso sono chiamati valori ammissibili della lettera (variabile).

Esempi. Per quali valori della variabile l'espressione non ha senso?

Nell'esempio 1) questo valore è a = 0. Infatti, se sostituisci 0 invece di a, allora dovrai dividere il numero 6 per 0, ma questo non è possibile. Risposta: l'espressione 1) non ha senso quando a = 0.

Nell'esempio 2) il denominatore di x è 4 = 0 in x = 4, quindi questo valore x = 4 non può essere preso. Risposta: l'espressione 2) non ha senso quando x = 4.

Nell'esempio 3) il denominatore è x + 2 = 0 quando x = -2. Risposta: l'espressione 3) non ha senso quando x = -2.

Nell'esempio 4) il denominatore è 5 -|x| = 0 per |x| = 5. E poiché |5| = 5 e |-5| = 5, allora non puoi prendere x = 5 e x = -5. Risposta: l'espressione 4) non ha senso in x = -5 e in x = 5.
IV. Si dice che due espressioni siano identicamente uguali se ne hanno una qualsiasi valori accettabili variabili, i valori corrispondenti di queste espressioni sono uguali.

Esempio: anche 5 (a – b) e 5a – 5b sono uguali, poiché l'uguaglianza 5 (a – b) = 5a – 5b sarà vera per qualsiasi valore di a e b. L'uguaglianza 5 (a – b) = 5a – 5b è un'identità.

Identità è un'uguaglianza valida per tutti i valori ammissibili delle variabili in essa incluse. Esempi di identità già note sono, ad esempio, le proprietà di addizione e moltiplicazione e la proprietà distributiva.

La sostituzione di un'espressione con un'altra espressione identicamente uguale è chiamata trasformazione di identità o semplicemente trasformazione di un'espressione. Trasformazioni identiche di espressioni con variabili vengono eseguite in base alle proprietà delle operazioni sui numeri.

Esempi.

UN) convertire l'espressione in identicamente uguale utilizzando la proprietà distributiva della moltiplicazione:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

2) |x| + |y| -|z| in x = -8; y = -5; z = 6.. Ricordiamo la proprietà distributiva (legge) della moltiplicazione:

(a+b)c=ac+bc(legge distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione: per moltiplicare la somma di due numeri per un terzo numero, puoi moltiplicare ogni termine per questo numero e sommare i risultati risultanti).
(a-b) c=a c-b c(legge distributiva della moltiplicazione relativa alla sottrazione: per moltiplicare la differenza di due numeri per un terzo numero, puoi moltiplicare il minuendo e sottrarre questo numero separatamente e sottrarre il secondo dal primo risultato).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

B) trasformare l'espressione in identicamente uguale, utilizzando le proprietà commutative e associative (leggi) dell'addizione:

4)x+4,5+2x+6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Esempi. Applichiamo le leggi (proprietà) dell'addizione:

a+b=b+a(commutativo: riordinare i termini non cambia la somma).
(a+b)+c=a+(b+c)(combinativo: per aggiungere un terzo numero alla somma di due termini, si può sommare al primo numero la somma del secondo e del terzo).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) Converti l'espressione in identico uguale utilizzando le proprietà commutative e associative (leggi) della moltiplicazione:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 anni · (-1); 9) 3 bis · (-3) · 2s.

Esempi. Applichiamo le leggi (proprietà) della moltiplicazione:

a·b=b·a(commutativo: riorganizzare i fattori non cambia il prodotto).
(a b) c=a (bc)(combinativo: per moltiplicare il prodotto di due numeri per un terzo numero, puoi moltiplicare il primo numero per il prodotto del secondo e del terzo).