Cos'è il coseno alfa. Seno, coseno, tangente, cotangente di un angolo acuto

La trigonometria, come scienza, ha avuto origine nell'antico Oriente. I primi rapporti trigonometrici furono derivati ​​dagli astronomi per creare un calendario e un orientamento accurati da parte delle stelle. Questi calcoli si riferivano alla trigonometria sferica, mentre in corso scolastico studiare i rapporti tra i lati e gli angoli di un triangolo piano.

La trigonometria è una branca della matematica che si occupa delle proprietà delle funzioni trigonometriche e delle relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli.

Durante il periodo di massimo splendore della cultura e della scienza nel I millennio d.C., la conoscenza si diffuse da Antico Oriente alla Grecia. Ma le principali scoperte della trigonometria sono merito degli uomini del Califfato arabo. In particolare, lo scienziato turkmeno al-Marazwi introdusse funzioni come tangente e cotangente, e compilò le prime tabelle di valori per seno, tangente e cotangente. I concetti di seno e coseno furono introdotti dagli scienziati indiani. La trigonometria ha ricevuto molta attenzione nelle opere di grandi figure dell'antichità come Euclide, Archimede ed Eratostene.

Quantità fondamentali di trigonometria

Le funzioni trigonometriche di base di un argomento numerico sono seno, coseno, tangente e cotangente. Ognuno di essi ha il proprio grafico: seno, coseno, tangente e cotangente.

Le formule per calcolare i valori di queste quantità si basano sul teorema di Pitagora. È meglio noto agli scolari nella formulazione: "Pantaloni pitagorici, uguali in tutte le direzioni", poiché la dimostrazione viene fornita utilizzando l'esempio di un triangolo rettangolo isoscele.

Seno, coseno e altre relazioni stabiliscono la relazione tra gli angoli acuti e i lati di qualsiasi triangolo rettangolo. Diamo le formule per calcolare queste quantità per l'angolo A e tracciamo le relazioni tra le funzioni trigonometriche:

Come puoi vedere, tg e ctg sono funzioni inverse. Se immaginiamo la gamba a come il prodotto del peccato A e dell'ipotenusa c, e la gamba b come cos A * c, otteniamo le seguenti formule per tangente e cotangente:

Cerchio trigonometrico

Graficamente il rapporto tra le quantità citate può essere rappresentato come segue:

Il cerchio, in questo caso, rappresenta tutto valori possibili angolo α - da 0° a 360°. Come si può vedere dalla figura, ogni funzione accetta un segno negativo o valore positivo a seconda della dimensione dell'angolo. Ad esempio, sin α avrà un segno “+” se α appartiene al 1° e al 2° quarto del cerchio, cioè è compreso tra 0° e 180°. Per α da 180° a 360° (III e IV quarto), sin α può assumere solo un valore negativo.

Proviamo a costruire tabelle trigonometriche per angoli specifici e scopriamo il significato delle quantità.

Valori di α pari a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° e così via sono detti casi particolari. I valori delle funzioni trigonometriche per loro vengono calcolati e presentati sotto forma di tabelle speciali.

Questi angoli non sono stati scelti a caso. La designazione π nelle tabelle indica i radianti. Rad è l'angolo al quale la lunghezza dell'arco di un cerchio corrisponde al suo raggio. Questo valore è stato introdotto per stabilire una dipendenza universale; quando si calcola in radianti, la lunghezza effettiva del raggio in cm non ha importanza.

Gli angoli nelle tabelle per le funzioni trigonometriche corrispondono a valori in radianti:

Quindi non è difficile indovinare che 2π lo sia cerchio completo o 360°.

Proprietà delle funzioni trigonometriche: seno e coseno

Per considerare e confrontare le proprietà di base di seno e coseno, tangente e cotangente, è necessario disegnare le loro funzioni. Questo può essere fatto sotto forma di una curva situata in un sistema di coordinate bidimensionale.

Considera la tabella comparativa delle proprietà di seno e coseno:

Onda sinusoidale	Coseno
y = sinx	y = cosx
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, per x = πk, dove k ϵ Z	cos x = 0, per x = π/2 + πk, dove k ϵ Z
sin x = 1, per x = π/2 + 2πk, dove k ϵ Z	cos x = 1, in x = 2πk, dove k ϵ Z
sin x = - 1, in x = 3π/2 + 2πk, dove k ϵ Z	cos x = - 1, per x = π + 2πk, dove k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, cioè la funzione è dispari	cos (-x) = cos x, cioè la funzione è pari
	la funzione è periodica, il periodo più piccolo è 2π
sin x › 0, con x appartenente al 1° e 2° quarto oppure da 0° a 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, con x appartenente al I e ​​IV quarto ovvero da 270° a 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, con x appartenente al terzo e quarto quarto oppure da 180° a 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, con x appartenente al 2° e 3° quarto ovvero da 90° a 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
aumenta nell'intervallo [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	aumenta nell'intervallo [-π + 2πk, 2πk]
diminuisce sugli intervalli [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	diminuisce negli intervalli
derivata (sin x)’ = cos x	derivata (cos x)’ = - sin x

Determinare se una funzione è pari o meno è molto semplice. Immagina cerchio trigonometrico con i segni delle quantità trigonometriche e “piegare” mentalmente il grafico rispetto all’asse OX. Se i segni coincidono la funzione è pari, altrimenti è dispari.

L'introduzione dei radianti e l'elencazione delle proprietà fondamentali delle onde seno e coseno ci permettono di presentare il seguente schema:

È molto semplice verificare che la formula sia corretta. Ad esempio, per x = π/2, il seno è 1, così come il coseno di x = 0. La verifica può essere effettuata consultando tabelle o tracciando curve di funzione per valori dati.

Proprietà dei tangentisoidi e dei cotangentisoidi

I grafici delle funzioni tangente e cotangente differiscono significativamente dalle funzioni seno e coseno. I valori tg e ctg sono reciproci l'uno dell'altro.

1. Y = marrone chiaro x.
2. La tangente tende ai valori di y in x = π/2 + πk, ma non li raggiunge mai.
3. Il più piccolo periodo positivo della tangente è π.
4. Tg (- x) = - tg x, cioè la funzione è dispari.
5. Tg x = 0, per x = πk.
6. La funzione è crescente.
7. Tg x › 0, per x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, per x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivata (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Considera la rappresentazione grafica della cotangentoide qui sotto nel testo.

Principali proprietà dei cotangentoidi:

1. Y = lettino x.
2. A differenza delle funzioni seno e coseno, nella tangente Y può assumere i valori dell'insieme di tutti i numeri reali.
3. La cotangentoide tende ai valori di y in x = πk, ma non li raggiunge mai.
4. Il più piccolo periodo positivo di un cotangenteide è π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, cioè la funzione è dispari.
6. Ctg x = 0, per x = π/2 + πk.
7. La funzione è decrescente.
8. Ctg x › 0, per x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, per x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivata (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Corretto

Laddove fossero considerati i problemi relativi alla risoluzione di un triangolo rettangolo, ho promesso di presentare una tecnica per memorizzare le definizioni di seno e coseno. Usandolo, ricorderai sempre rapidamente quale lato appartiene all'ipotenusa (adiacente o opposto). Ho deciso di non rimandare troppo a lungo, materiale richiesto qui sotto, leggi 😉

Il fatto è che ho osservato più volte come gli studenti delle classi 10-11 abbiano difficoltà a ricordare queste definizioni. Si ricordano benissimo che la gamba si riferisce all'ipotenusa, ma quale- dimenticano e confuso. Il prezzo di un errore, come sai in un esame, è un punto perso.

Le informazioni che presenterò direttamente non hanno nulla a che fare con la matematica. È associato al pensiero fantasioso e ai metodi di comunicazione logico-verbale. È esattamente così che lo ricordo, una volta per tuttedati di definizione. Se li dimentichi, puoi sempre ricordarli facilmente utilizzando le tecniche presentate.

Lascia che ti ricordi le definizioni di seno e coseno in un triangolo rettangolo:

Coseno angolo acuto in un triangolo rettangolo, questo è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa:

Seno L'angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa:

Allora, che associazioni hai con la parola coseno?

Probabilmente ognuno ha il suo 😉Ricorda il collegamento:

Pertanto, l'espressione apparirà immediatamente nella tua memoria:

«… rapporto tra il cateto ADIACENTE e l'ipotenusa».

Il problema con la determinazione del coseno è stato risolto.

Se hai bisogno di ricordare la definizione di seno in un triangolo rettangolo, quindi ricordando la definizione di coseno, puoi facilmente stabilire che il seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa. Dopotutto, ci sono solo due cateti; se il cateto adiacente è “occupato” dal coseno, solo il cateto opposto rimane con il seno.

E che dire di tangente e cotangente? La confusione è la stessa. Gli studenti sanno che questa è una relazione di gambe, ma il problema è ricordare quale si riferisce a quale: o l'opposto con l'adiacente o viceversa.

Definizioni:

Tangente L'angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente:

Cotangente L'angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato adiacente e quello opposto:

Come ricordare? Ci sono due modi. Uno utilizza anche un collegamento logico-verbale, l'altro uno matematico.

METODO MATEMATICO

Esiste una tale definizione: la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra il seno dell'angolo e il suo coseno:

*Dopo aver memorizzato la formula, puoi sempre determinare che la tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.

Allo stesso modo.La cotangente di un angolo acuto è il rapporto tra il coseno dell'angolo e il suo seno:

COSÌ! Ricordando queste formule, puoi sempre determinare che:

- In un triangolo rettangolo la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra il lato opposto e quello adiacente

— In un triangolo rettangolo la cotangente di un angolo acuto è il rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto.

METODO LOGICO DELLA PAROLA

A proposito di tangente. Ricorda il collegamento:

Cioè, se hai bisogno di ricordare la definizione di tangente, usando questa connessione logica, puoi facilmente ricordare di cosa si tratta

“...il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente”

Se parliamo di cotangente, ricordando la definizione di tangente puoi facilmente esprimere la definizione di cotangente:

“...il rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto”

Sul sito web c'è un trucco interessante per ricordare tangente e cotangente " Tandem matematico " , Aspetto.

METODO UNIVERSALE

Puoi semplicemente memorizzarlo.Ma come dimostra la pratica, grazie alle connessioni logico-verbali, una persona ricorda le informazioni per molto tempo, e non solo quelle matematiche.

Spero che il materiale ti sia stato utile.

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh

P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.

Note importanti!
1. Se vedi gobbledygook invece delle formule, svuota la cache. Come farlo nel tuo browser è scritto qui:
2. Prima di iniziare a leggere l'articolo, presta maggiormente attenzione al nostro navigatore risorsa utile Per

Seno, coseno, tangente, cotangente

I concetti di seno (), coseno (), tangente (), cotangente () sono indissolubilmente legati al concetto di angolo. Per comprendere bene questi concetti, a prima vista, complessi (che causano uno stato di orrore in molti scolari), e per assicurarci che "il diavolo non è così terribile come viene dipinto", cominciamo dal fin dall'inizio e comprendere il concetto di angolo.

Concetto di angolo: radiante, grado

Diamo un'occhiata alla foto. Il vettore si è “girato” rispetto al punto di una certa quantità. Quindi sarà la misura di questa rotazione rispetto alla posizione iniziale angolo.

Cos'altro devi sapere sul concetto di angolo? Beh, unità angolari, ovviamente!

L'angolo, sia in geometria che in trigonometria, può essere misurato in gradi e radianti.

L'angolo (un grado) è l'angolo al centro di un cerchio sotteso da un arco circolare uguale a parte del cerchio. Pertanto, l'intero cerchio è costituito da “pezzi” di archi circolari, oppure l'angolo descritto dal cerchio è uguale.

Cioè, la figura sopra mostra un angolo uguale a, cioè questo angolo poggia su un arco circolare delle dimensioni della circonferenza.

Un angolo in radianti è l'angolo al centro di una circonferenza sotteso da un arco circolare la cui lunghezza è uguale al raggio della circonferenza. Bene, hai capito? In caso contrario, scopriamolo dal disegno.

Quindi, la figura mostra un angolo uguale a un radiante, cioè questo angolo poggia su un arco circolare, la cui lunghezza è uguale al raggio del cerchio (la lunghezza è uguale alla lunghezza oppure il raggio è uguale al raggio lunghezza dell'arco). Pertanto, la lunghezza dell'arco viene calcolata con la formula:

Dov'è l'angolo al centro in radianti.

Ebbene, sapendo questo, puoi rispondere quanti radianti sono contenuti nell'angolo descritto dal cerchio? Sì, per questo devi ricordare la formula della circonferenza. Ecco qui:

Bene, ora correliamo queste due formule e troviamo che l'angolo descritto dal cerchio è uguale. Cioè, correlando il valore in gradi e radianti, otteniamo questo. Rispettivamente, . Come puoi vedere, a differenza dei "gradi", la parola "radiante" viene omessa, poiché l'unità di misura è solitamente chiara dal contesto.

Quanti radianti ci sono? Giusto!

Fatto? Quindi vai avanti e risolvilo:

Hai difficoltà? Allora guarda risposte:

Triangolo rettangolo: seno, coseno, tangente, cotangente dell'angolo

Quindi, abbiamo capito il concetto di angolo. Ma cosa sono seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo? Scopriamolo. Per questo ci aiuterà triangolo rettangolo.

Come si chiamano i lati di un triangolo rettangolo? Esatto, ipotenusa e cateti: l'ipotenusa è il lato opposto angolo retto(nel nostro esempio questo è il lato); le gambe sono i due lati rimanenti (quelli adiacenti all'angolo retto), e se consideriamo le gambe rispetto all'angolo, allora la gamba è la gamba adiacente, e la gamba è l'opposto. Quindi ora rispondiamo alla domanda: cosa sono seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo?

Seno dell'angolo- questo è il rapporto tra la gamba opposta (distante) e l'ipotenusa.

Nel nostro triangolo.

Coseno dell'angolo- questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e l'ipotenusa.

Nel nostro triangolo.

Tangente dell'angolo- questo è il rapporto tra il lato opposto (distante) e quello adiacente (vicino).

Nel nostro triangolo.

Cotangente dell'angolo- questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e quella opposta (lontana).

Nel nostro triangolo.

Queste definizioni sono necessarie Ricordare! Per rendere più facile ricordare quale gamba dividere in cosa, è necessario capirlo chiaramente tangente E cotangente siedono solo le gambe e l'ipotenusa appare solo in seno E coseno. E poi puoi inventare una catena di associazioni. Ad esempio, questo:

coseno→tocco→tocco→adiacente;

Cotangente→tocco→tocco→adiacente.

Prima di tutto, devi ricordare che seno, coseno, tangente e cotangente come i rapporti tra i lati di un triangolo non dipendono dalla lunghezza di questi lati (allo stesso angolo). Non mi credi? Quindi assicurati guardando l'immagine:

Consideriamo ad esempio il coseno di un angolo. Per definizione, da un triangolo: , ma possiamo calcolare il coseno di un angolo da un triangolo: . Vedi, le lunghezze dei lati sono diverse, ma il valore del coseno di un angolo è lo stesso. Pertanto, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dipendono esclusivamente dalla grandezza dell'angolo.

Se capisci le definizioni, vai avanti e consolidale!

Per il triangolo mostrato nella figura seguente, troviamo.

Bene, hai capito? Allora provalo tu stesso: calcola lo stesso per l'angolo.

Cerchio unitario (trigonometrico).

Comprendendo i concetti di grado e radiante, abbiamo considerato un cerchio con raggio uguale a. Un tale cerchio si chiama separare. Sarà molto utile quando studierai la trigonometria. Pertanto, esaminiamolo un po 'più in dettaglio.

Come potete vedere, dato cerchio costruito in un sistema di coordinate cartesiane. Il raggio del cerchio è uguale a uno, mentre il centro del cerchio si trova nell'origine delle coordinate, la posizione iniziale del raggio vettore è fissata lungo la direzione positiva dell'asse (nel nostro esempio questo è il raggio).

Ogni punto sul cerchio corrisponde a due numeri: la coordinata dell'asse e la coordinata dell'asse. Quali sono questi numeri di coordinate? E in generale, cosa c'entrano con l'argomento in questione? Per fare ciò, dobbiamo ricordare il triangolo rettangolo considerato. Nella figura sopra puoi vedere due triangoli rettangoli interi. Considera un triangolo. È rettangolare perché è perpendicolare all'asse.

A cosa è uguale il triangolo? Giusto. Inoltre, sappiamo che è il raggio del cerchio unitario, il che significa . Sostituiamo questo valore nella nostra formula per il coseno. Ecco cosa succede:

A cosa è uguale il triangolo? Beh, certo! Sostituisci il valore del raggio in questa formula e ottieni:

Quindi, puoi dire quali coordinate ha un punto appartenente a un cerchio? Beh, assolutamente no? E se te ne rendessi conto e fossimo solo numeri? A quale coordinata corrisponde? Bene, ovviamente, le coordinate! E a quale coordinata corrisponde? Esatto, coordinate! Quindi, punto.

A cosa sono allora e uguali? Esatto, usiamo le definizioni corrispondenti di tangente e cotangente e otteniamo: a.

Cosa succede se l'angolo è maggiore? Ad esempio, come in questa immagine:

Cosa è cambiato in in questo esempio? Scopriamolo. Per fare ciò, torniamo di nuovo al triangolo rettangolo. Considera un triangolo rettangolo: angolo (come adiacente ad un angolo). Quali sono i valori di seno, coseno, tangente e cotangente per un angolo? Esatto, aderiamo alle definizioni corrispondenti delle funzioni trigonometriche:

Ebbene, come puoi vedere, il valore del seno dell'angolo corrisponde ancora alla coordinata; il valore del coseno dell'angolo - la coordinata; e i valori di tangente e cotangente ai rapporti corrispondenti. Pertanto, queste relazioni si applicano a qualsiasi rotazione del raggio vettore.

È già stato detto che la posizione iniziale del raggio vettore è lungo la direzione positiva dell'asse. Finora abbiamo ruotato questo vettore in senso antiorario, ma cosa succede se lo ruotiamo in senso orario? Niente di straordinario, otterrai anche un angolo di un certo valore, ma solo negativo. Pertanto, ruotando il raggio vettore in senso antiorario, otteniamo angoli positivi e quando si ruota in senso orario - negativo.

Quindi sappiamo che un'intera rivoluzione del raggio vettore attorno a un cerchio è o. È possibile ruotare il raggio vettore verso o verso? Beh, certo che puoi! Nel primo caso, quindi, il raggio vettore farà un giro completo e si fermerà nella posizione o.

Nel secondo caso, cioè, il raggio vettore farà tre giri completi e si fermerà nella posizione o.

Pertanto, dagli esempi precedenti possiamo concludere che gli angoli che differiscono di o (dove è un numero intero) corrispondono alla stessa posizione del raggio vettore.

La figura seguente mostra un angolo. La stessa immagine corrisponde all'angolo, ecc. Questo elenco può essere continuato indefinitamente. Tutti questi angoli possono essere scritti con la formula generale o (dove è qualsiasi numero intero)

Ora, conoscendo le definizioni delle funzioni trigonometriche di base e utilizzando la circonferenza unitaria, prova a rispondere quali sono i valori:

Ecco un cerchio unitario per aiutarti:

Hai difficoltà? Allora scopriamolo. Quindi sappiamo che:

Da qui determiniamo le coordinate dei punti corrispondenti a determinate misure angolari. Bene, partiamo con ordine: l'angolo a corrisponde ad un punto dotato di coordinate, quindi:

Non esiste;

Inoltre, aderendo alla stessa logica, scopriamo che gli angoli corrispondono rispettivamente a punti con coordinate. Sapendo questo, è facile determinare i valori delle funzioni trigonometriche nei punti corrispondenti. Provalo prima tu stesso e poi controlla le risposte.

Risposte:

Possiamo quindi realizzare la seguente tabella:

Non è necessario ricordare tutti questi valori. Basta ricordare la corrispondenza tra le coordinate dei punti sulla circonferenza unitaria e i valori delle funzioni trigonometriche:

Ma i valori delle funzioni trigonometriche degli angoli in e, riportati nella tabella seguente, deve essere ricordato:

Non aver paura, ora ti mostriamo un esempio abbastanza semplice ricordare i valori corrispondenti:

Per utilizzare questo metodo, è fondamentale ricordare i valori del seno per tutte e tre le misure dell'angolo (), nonché il valore della tangente dell'angolo. Conoscendo questi valori, è abbastanza semplice ripristinare l'intera tabella: i valori del coseno vengono trasferiti secondo le frecce, ovvero:

Sapendo questo, puoi ripristinare i valori di. Il numeratore " " corrisponderà e il denominatore " " corrisponderà. I valori della cotangente vengono trasferiti secondo le frecce indicate in figura. Se lo capisci e ricordi il diagramma con le frecce, sarà sufficiente ricordare tutti i valori della tabella.

Coordinate di un punto su una circonferenza

È possibile trovare un punto (le sue coordinate) su un cerchio, conoscere le coordinate del centro del cerchio, il suo raggio e l'angolo di rotazione?

Beh, certo che puoi! Tiriamolo fuori formula generale per trovare le coordinate di un punto.

Ad esempio, ecco un cerchio davanti a noi:

Supponiamo che il punto sia il centro della circonferenza. Il raggio del cerchio è uguale. E' necessario trovare le coordinate di un punto ottenute ruotando il punto di gradi.

Come si può vedere dalla figura, la coordinata del punto corrisponde alla lunghezza del segmento. La lunghezza del segmento corrisponde alla coordinata del centro del cerchio, cioè è uguale. La lunghezza di un segmento può essere espressa utilizzando la definizione di coseno:

Quindi lo abbiamo per la coordinata del punto.

Utilizzando la stessa logica, troviamo il valore della coordinata y per il punto. Così,

Quindi, dentro visione generale le coordinate dei punti sono determinate dalle formule:

Coordinate del centro del cerchio,

Raggio del cerchio,

L'angolo di rotazione del raggio del vettore.

Come puoi vedere, per la circonferenza unitaria che stiamo considerando, queste formule sono notevolmente ridotte, poiché le coordinate del centro sono uguali a zero e il raggio è uguale a uno:

Bene, proviamo queste formule esercitandoci a trovare punti su un cerchio?

1. Trova le coordinate di un punto sulla circonferenza unitaria ottenuta ruotando il punto.

2. Trovare le coordinate di un punto sulla circonferenza unitaria ottenuta ruotando il punto.

3. Trova le coordinate di un punto sulla circonferenza unitaria ottenuta ruotando il punto.

4. Il punto è il centro del cerchio. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenuto ruotando il raggio vettore iniziale di.

5. Il punto è il centro del cerchio. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenuto ruotando il raggio vettore iniziale di.

Hai difficoltà a trovare le coordinate di un punto su un cerchio?

Risolvi questi cinque esempi (o diventa bravo a risolverli) e imparerai a trovarli!

FORMULE RIASSUNTIVE E BASE

Il seno di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto (lontano) e l'ipotenusa.

Il coseno di un angolo è il rapporto tra il cateto adiacente (vicino) e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo è il rapporto tra il lato opposto (lontano) e il lato adiacente (vicino).

La cotangente di un angolo è il rapporto tra il lato adiacente (vicino) e il lato opposto (lontano).

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!

Ora la cosa più importante.

Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, questo... è semplicemente fantastico! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.

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Ma questa non è la cosa principale.

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Centrato nel punto A.
α è l'angolo espresso in radianti.

Tangente ( marrone chiaro α) è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC|

alla lunghezza della gamba adiacente |AB| . Cotangente () ctgα

è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB|

alla lunghezza della gamba opposta |BC| . Tangente Dove

N
.
;
;
.

- Totale.

Nella letteratura occidentale, la tangente è indicata come segue:

alla lunghezza della gamba opposta |BC| . Tangente Dove

Grafico della funzione tangente, y = tan x
.
Cotangente
;
;
.

Nella letteratura occidentale, la cotangente è indicata come segue:

Sono accettate anche le seguenti notazioni:

Grafico della funzione cotangente, y = ctg x

Proprietà della tangente e della cotangente Periodicità Funzioni y = tg x e y =

ctg x

sono periodici con periodo π.

Parità

Le funzioni tangente e cotangente sono dispari. Tangente Aree di definizione e valori, in aumento, in diminuzione

	Le funzioni tangente e cotangente sono continue nel loro dominio di definizione (vedi prova di continuità). Le principali proprietà di tangente e cotangente sono presentate nella tabella ( Periodicità	Le funzioni tangente e cotangente sono continue nel loro dominio di definizione (vedi prova di continuità). Le principali proprietà di tangente e cotangente sono presentate nella tabella ( tg x
- Totale).
y =	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Portata e continuità		-
Intervallo di valori	-
In aumento	-	-
Discendente 0
Estremi 0	Le funzioni tangente e cotangente sono continue nel loro dominio di definizione (vedi prova di continuità). Le principali proprietà di tangente e cotangente sono presentate nella tabella ( 0	-

Zeri, y =

Punti di intercetta con l'asse delle ordinate, x =

; ;
; ;
;

Formule

Espressioni che utilizzano seno e coseno

Formule per tangente e cotangente per somma e differenza

Le restanti formule, ad esempio, sono facili da ottenere

Prodotto di tangenti

Formula per la somma e la differenza delle tangenti

Questa tabella presenta i valori di tangenti e cotangenti per determinati valori dell'argomento.

;
;

Espressioni che utilizzano numeri complessi

; .

.
Espressioni mediante funzioni iperboliche
.
Derivati

Derivata dell'ennesimo ordine rispetto alla variabile x della funzione:

Formule di derivazione per la tangente >> > ; per cotangente > > >

Integrali Espansioni di serie E Per ottenere lo sviluppo della tangente in potenze di x è necessario prendere più termini dello sviluppo in serie di potenze delle funzioni peccato x

cos x

e dividere questi polinomi tra loro, .
Ciò produce le seguenti formule. A . A .
;
;
Dove
Bn

- Numeri di Bernoulli. Sono determinati dalla relazione di ricorrenza:

Dove .

Oppure secondo la formula di Laplace:

Funzioni inverse Tangente Dove

Le funzioni inverse di tangente e cotangente sono rispettivamente arcotangente e arcotangente.

Funzioni inverse Tangente Dove

Arcotangente, arcog
, Dove
Arcotangente, arcctg

I concetti di seno, coseno, tangente e cotangente sono le principali categorie della trigonometria, una branca della matematica, e sono indissolubilmente legati alla definizione di angolo. La padronanza di questa scienza matematica richiede la memorizzazione e la comprensione di formule e teoremi, nonché il pensiero spaziale sviluppato. Questo è il motivo per cui i calcoli trigonometrici spesso causano difficoltà a scolari e studenti. Per superarli, dovresti acquisire maggiore familiarità con le funzioni e le formule trigonometriche.

Concetti di trigonometria

Per comprendere i concetti di base della trigonometria, devi prima capire cosa sono un triangolo rettangolo e un angolo in un cerchio e perché tutti i calcoli trigonometrici di base sono associati ad essi. Un triangolo in cui uno degli angoli misura 90 gradi è rettangolare. Storicamente, questa figura veniva spesso utilizzata da persone nel campo dell'architettura, della navigazione, dell'arte e dell'astronomia. Di conseguenza, studiando e analizzando le proprietà di questa figura, le persone sono arrivate a calcolare i rapporti corrispondenti dei suoi parametri.

Le principali categorie associate ai triangoli rettangoli sono l'ipotenusa e i cateti. L'ipotenusa è il lato di un triangolo opposto all'angolo retto. Le gambe, rispettivamente, sono gli altri due lati. La somma degli angoli di qualsiasi triangolo è sempre 180 gradi.

La trigonometria sferica è una sezione della trigonometria che non viene studiata a scuola, ma nelle scienze applicate come l'astronomia e la geodesia, gli scienziati la usano. La particolarità di un triangolo nella trigonometria sferica è che ha sempre una somma degli angoli maggiore di 180 gradi.

Angoli di un triangolo

In un triangolo rettangolo, il seno di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto all'angolo desiderato e l'ipotenusa del triangolo. Di conseguenza, il coseno è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa. Entrambi questi valori hanno sempre grandezza inferiore a uno, poiché l'ipotenusa è sempre più lunga della gamba.

La tangente di un angolo è un valore uguale al rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente dell'angolo desiderato, o seno-coseno. La cotangente, a sua volta, è il rapporto tra il lato adiacente dell'angolo desiderato e il lato opposto. La cotangente di un angolo può essere ottenuta anche dividendo uno per il valore della tangente.

Cerchio unitario

Un cerchio unitario in geometria è un cerchio il cui raggio è uguale a uno. Tale cerchio è costruito in un sistema di coordinate cartesiane, con il centro del cerchio che coincide con il punto di origine, e la posizione iniziale del raggio vettore è determinata lungo la direzione positiva dell'asse X (asse delle ascisse). Ogni punto del cerchio ha due coordinate: XX e YY, cioè le coordinate dell'ascissa e dell'ordinata. Selezionando un punto qualsiasi della circonferenza nel piano XX e trascinando da esso una perpendicolare all'asse delle ascisse, otteniamo un triangolo rettangolo formato dal raggio del punto selezionato (indicato con la lettera C), la perpendicolare tracciata all'asse X (il punto di intersezione è indicato con la lettera G), e il segmento dell'asse delle ascisse è compreso tra l'origine delle coordinate (il punto è indicato con la lettera A) e il punto di intersezione G. Il triangolo risultante ACG è un triangolo rettangolo inscritto in un cerchio, dove AG è l'ipotenusa, e AC e GC sono i cateti. L'angolo tra il raggio del cerchio AC e il segmento dell'asse delle ascisse contrassegnato dalla designazione AG è definito come α (alfa). Quindi, cos α = AG/AC. Considerando che AC è il raggio della circonferenza unitaria, ed è uguale a uno, risulta che cos α=AG. Allo stesso modo, sin α=CG.

Inoltre, conoscendo questi dati, è possibile determinare le coordinate del punto C sul cerchio, poiché cos α=AG e sin α=CG, il che significa che il punto C ha le coordinate indicate (cos α; sin α). Sapendo che la tangente è uguale al rapporto seno/coseno, possiamo determinare che tan α = y/x e cot α = x/y. Considerando gli angoli in un sistema di coordinate negativo, puoi calcolare che i valori seno e coseno di alcuni angoli possono essere negativi.

Calcoli e formule fondamentali

Valori di funzioni trigonometriche

Avendo considerato l'essenza delle funzioni trigonometriche attraverso il cerchio unitario, possiamo derivare i valori di queste funzioni per alcuni angoli. I valori sono elencati nella tabella seguente.

Le identità trigonometriche più semplici

Equazioni in cui contiene il segno della funzione trigonometrica valore sconosciuto, sono detti trigonometrici. Identità con il valore sin x = α, k - qualsiasi numero intero:

1. peccato x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. peccato x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. peccato x = a, |a| > 1, nessuna soluzione.
5. peccato x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcoseno α + πk.

Identità con il valore cos x = a, dove k è un numero intero qualsiasi:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nessuna soluzione.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arcos α + 2πk.

Identità con il valore tg x = a, dove k è un numero intero qualsiasi:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Identità con il valore ctg x = a, dove k è un numero intero qualsiasi:

1. lettino x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Formule di riduzione

Questa categoria di formule costanti denota metodi con cui è possibile passare da funzioni trigonometriche della forma a funzioni di argomento, cioè ridurre seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di qualsiasi valore ai corrispondenti indicatori dell'angolo di l'intervallo da 0 a 90 gradi per una maggiore comodità di calcolo.

Le formule per ridurre le funzioni per il seno di un angolo si presentano così:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• peccato(1800 - α) = peccato α;
• sin(1800 + α) = -senα;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sen α;
• peccato(3600 + α) = peccato α.

Per il coseno dell'angolo:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sen α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sen α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

L'uso delle formule di cui sopra è possibile nel rispetto di due regole. Innanzitutto, se l'angolo può essere rappresentato come un valore (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), il valore della funzione cambia:

• dal peccato al cos;
• dal cos al peccato;
• da tg a ctg;
• da ctg a tg.

Il valore della funzione rimane invariato se l'angolo può essere rappresentato come (π ± a) o (2π ± a).

In secondo luogo, il segno della funzione ridotta non cambia: se inizialmente era positivo, tale rimane. Lo stesso con le funzioni negative.

Formule di addizione

Queste formule esprimono i valori di seno, coseno, tangente e cotangente della somma e differenza di due angoli di rotazione attraverso le loro funzioni trigonometriche. Tipicamente gli angoli sono indicati come α e β.

Le formule appaiono così:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Queste formule sono valide per qualsiasi angolo α e β.

Formule del doppio e del triplo angolo

Le formule trigonometriche del doppio e del triplo angolo sono formule che mettono in relazione rispettivamente le funzioni degli angoli 2α e 3α con le funzioni trigonometriche dell'angolo α. Derivato da formule di addizione:

1. sin2α = 2senα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sen^2α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2α).
4. sin3α = 3senα - 4sen^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Transizione dalla somma al prodotto

Considerando che 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), semplificando questa formula, otteniamo l'identità sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Allo stesso modo sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sen(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Transizione dal prodotto alla somma

Queste formule seguono dalle identità della transizione di una somma a un prodotto:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule di riduzione dei gradi

In queste identità, le potenze quadrata e cubica di seno e coseno possono essere espresse in termini di seno e coseno della prima potenza di un angolo multiplo:

• peccato^2α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• peccato^4α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Sostituzione universale

Le formule per la sostituzione trigonometrica universale esprimono le funzioni trigonometriche in termini di tangente di un semiangolo.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), con x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), dove x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), dove x = π + 2πn;
• lettino x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), con x = π + 2πn.

Casi speciali

Casi particolari di protozoi equazioni trigonometriche sono riportati di seguito (k è un numero intero qualsiasi).

Quozienti per il seno:

Peccato x valore	valore x
0	ok
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk o 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk o -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk o 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk o -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk oppure 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk oppure -2π/3 + 2πk

Quozienti per coseno:

valore cosx	valore x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2+2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Quozienti per la tangente:

valore tgx	valore x
0	ok
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Quozienti per cotangente:

ctg x valore	valore x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremi

Teorema dei seni

Esistono due versioni del teorema: semplice ed estesa. Teorema semplice del seno: a/sen α = b/sen β = c/sen γ. In questo caso, a, b, c sono rispettivamente i lati del triangolo e α, β, γ sono gli angoli opposti.

Teorema del seno esteso per un triangolo arbitrario: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. In questa identità, R denota il raggio del cerchio in cui è inscritto il triangolo dato.

Teorema del coseno

L'identità viene visualizzata come segue: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Nella formula a, b, c sono i lati del triangolo e α è l'angolo opposto al lato a.

Teorema della tangente

La formula esprime il rapporto tra le tangenti di due angoli e la lunghezza dei lati ad essi opposti. I lati sono indicati con a, b, c e i corrispondenti angoli opposti sono α, β, γ. Formula del teorema della tangente: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Teorema della cotangente

Collega il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo con la lunghezza dei suoi lati. Se a, b, c sono i lati del triangolo e A, B, C sono rispettivamente gli angoli opposti ad essi, r è il raggio del cerchio inscritto e p è il semiperimetro del triangolo, vale quanto segue le identità sono valide:

• lettino A/2 = (p-a)/r;
• lettino B/2 = (p-b)/r;
• lettino C/2 = (p-c)/r.

Applicazione

La trigonometria non è solo una scienza teorica associata alle formule matematiche. Le sue proprietà, teoremi e regole sono utilizzate nella pratica da vari settori. attività umana- astronomia, aerea e navigazione marittima, teoria musicale, geodesia, chimica, acustica, ottica, elettronica, architettura, economia, ingegneria meccanica, lavori di misurazione, computer grafica, cartografia, oceanografia e molti altri.

Seno, coseno, tangente e cotangente sono i concetti base della trigonometria, con l'aiuto dei quali si possono esprimere matematicamente le relazioni tra gli angoli e le lunghezze dei lati di un triangolo e trovare le quantità richieste attraverso identità, teoremi e regole.