Argomento: metodo delle coordinate nello spazio. Metodo delle coordinate nello spazio

Il metodo delle coordinate è un modo molto efficace e universale per trovare angoli o distanze tra oggetti stereometrici nello spazio. Se il tuo tutor di matematica è altamente qualificato, dovrebbe saperlo. Altrimenti consiglierei di cambiare tutor per la parte “C”. La mia preparazione all'Esame di Stato Unificato di matematica C1-C6 prevede solitamente un'analisi degli algoritmi e delle formule di base descritti di seguito.

Angolo tra le linee a e b

L'angolo tra le linee nello spazio è l'angolo tra le linee che si intersecano ad esse parallele. Questo angolo è uguale all'angolo tra i vettori di direzione di queste linee (o lo completa a 180 gradi).

Quale algoritmo usa l'insegnante di matematica per trovare l'angolo?

1) Scegli qualsiasi vettore e avente le direzioni delle rette a e b (parallele ad esse).
2) Determiniamo le coordinate dei vettori utilizzando le coordinate corrispondenti dei loro inizi e fini (le coordinate dell'inizio devono essere sottratte dalle coordinate della fine del vettore).
3) Sostituisci le coordinate trovate nella formula:
. Per trovare l'angolo stesso, devi trovare l'arcocoseno del risultato.

Normale al piano

Una normale a un piano è un qualsiasi vettore perpendicolare a quel piano.
Come trovare la normalità? Per trovare le coordinate della normale è sufficiente conoscere le coordinate di tre punti qualsiasi M, N e K che giacciono su un dato piano. Utilizzando queste coordinate, troviamo le coordinate dei vettori e e richiediamo che le condizioni e siano soddisfatte. Uguagliando a zero il prodotto scalare dei vettori, creiamo un sistema di equazioni con tre variabili, da cui possiamo trovare le coordinate della normale.

Nota dell'insegnante di matematica : Non è affatto necessario risolvere il sistema completamente, perché è sufficiente selezionarne almeno una normale. Per fare ciò, puoi sostituire qualsiasi numero (ad esempio uno) invece di una qualsiasi delle sue coordinate sconosciute e risolvere il sistema di due equazioni con le restanti due incognite. Se non ha soluzioni, significa che nella famiglia delle normali non c'è nessuno il cui valore sia uno nella variabile selezionata. Quindi sostituiscine una con un'altra variabile (un'altra coordinata) e risolvi il nuovo sistema. Se sbagli di nuovo, la tua normale ne avrà una all'ultima coordinata e risulterà parallela a un piano di coordinate (in questo caso è facile da trovare senza un sistema).

Supponiamo di avere una linea retta e un piano con le coordinate del vettore direzione e della normale
L'angolo tra la retta e il piano si calcola utilizzando la seguente formula:

Siano e due normali qualsiasi a questi piani. Allora il coseno dell'angolo tra i piani è uguale al modulo del coseno dell'angolo tra le normali:

Equazione di un piano nello spazio

I punti che soddisfano l'uguaglianza formano un piano con una normale. Il coefficiente è responsabile della quantità di deviazione (spostamento parallelo) tra due piani con la stessa normale data. Per scrivere l'equazione di un piano, devi prima trovare la sua normale (come descritto sopra), quindi sostituire nell'equazione le coordinate di qualsiasi punto del piano con le coordinate della normale trovata e trovare il coefficiente.

La posizione di qualsiasi punto nello spazio può essere determinata in modo univoco utilizzando un sistema di coordinate rettangolari. Questo sistema comprende tre assi reciprocamente perpendicolari che si intersecano in un punto O – origine delle coordinate. Viene chiamato uno degli assi asse x(asse OH), un altro - asse y (UO), terzo - asse applicato (Oz). Aerei XOY, XOZ E YOZ sono chiamati piani di coordinate. Qualsiasi segmento viene considerato come unità di scala per tutti e tre gli assi . Le direzioni positive sugli assi vengono scelte in modo tale che una rotazione di 90 0, combinando il raggio positivo BUE con raggio positivo OH, sembrava passare in senso antiorario se visto dal raggio OZ. Questo sistema di coordinate si chiama Giusto.

Posizione di qualsiasi punto M nello spazio può essere definito da tre coordinate come segue . AttraversoMdisegnare piani paralleli ai pianiXOY, XOZ E YOZ. All'intersezione con gli assi otteniamo punti, ad esempio, P, Q E R rispettivamente. Numeri X (ascissa), A(ordinato), z (applicare), misurazione dei segmentiOPERAZIONE, OQEOsu una scala selezionata vengono chiamaticoordinate rettangolaripunti M. Si assumono positivi o negativi a seconda che i segmenti corrispondenti si trovino sul semiasse positivo o negativo. Ogni tripla di numeri ( X; A; z) corrisponde ad uno ed un solo punto nello spazio e viceversa.

Distanza tra due punti e si calcola con la formula: (1.6)

Coordinate (X; sì; z) puntiM che divide in un dato rapporto segmento AB, (,) sono determinati dalle formule:

In particolare, al (punto M divide un segmento AB a metà), otteniamo formule per determinare le coordinate del punto medio del segmento:

Esempio 4: In asse UO trovare un punto equidistante da due punti E .

Soluzione: Punto M, disteso sull'asse UO, ha coordinate . Secondo le condizioni del problema |AM| = |VM|. Troviamo le distanze |AM| E |VM|, utilizzando la formula (1.6):

Otteniamo l'equazione: .

Da qui troviamo che 4 A= 16, cioè y = 4. Il punto desiderato è lì M(0; 4; 0).

Esempio 5: Segmento AB diviso in 3 parti uguali. Trova le coordinate dei punti di divisione se i punti e .

Soluzione:

Indichiamo i punti di divisione del segmento AB nel seguente ordine: CON E D. Secondo le condizioni del problema |AC| = |CD| = |DB|. Quindi punto CON divide un segmento AB in un rapporto . Usando le formule (1.7), troviamo le coordinate del punto C:

Usando le formule (1.8) troviamo le coordinate del punto D– punto medio del segmento NE:

Cioè, il punto D ha coordinate: .

Esempio 6: A punti , ,, le masse sono concentrate di conseguenza M 1 , M 2 , M 3 , M 4 . Trova le coordinate del baricentro del sistema di queste masse.

Soluzione:

Come sai da un corso di fisica, il centro di gravità delle masse M 1 e M 2 posizionati nei punti UN E IN, divide un segmento AB in parti inversamente proporzionali alle masse concentrate alle estremità del segmento (). Sulla base di ciò, troviamo innanzitutto il baricentro del sistema a due masse M 1 e M 2 posizionati nei punti UN 1 E UN 2 :

, ,.

Baricentro di un sistema trimasse M 1 e M 2 e M 3 () troviamo analogamente:

, ,.

Troviamo finalmente il baricentro del sistema a tre masseM 1 , M 2 , M 3 EM 4 :

, ,.

Domande per il controllo:

Descrivere un sistema di coordinate rettangolari su un piano e tutte le sue componenti.

Come vengono determinate le coordinate di un punto arbitrario sul piano?

Scrivi una formula per trovare pdistanza tra due punti SU aereo .

Come trovarecoordinate di un punto che divide un segmento in un dato rapporto?

Scrivi le formule per le coordinate del punto medio del segmento.

Scrivi una formula che calcoli l'area di un triangolo se sono note le coordinate dei suoi vertici .

Descrivere il sistema di coordinate polari.

Cos'è chiamato raggio polare? In che misura viene misurato?

Come si chiama un angolo polare? I limiti della sua misurazione?

Come trovare le coordinate rettangolari di un punto di cui si conoscono le coordinate polari?

Come trovare le coordinate polari di un punto di cui si conoscono le coordinate rettangolari?

Come trovare distanza tra i punti in un sistema di coordinate polari?

Descrivere il sistema di coordinate rettangolari nello spazio e tutte le sue componenti.

Come determinare le coordinate di un punto nello spazio?

Scrivi una formula per trovare la distanza tra due punti nello spazio.

Scrivi le formule per trovare le coordinate di un punto che divide un segmento in un dato rapporto per un sistema di coordinate tridimensionale.

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Didascalie delle diapositive:

Sistema di coordinate rettangolari nello spazio. Coordinate vettoriali.

Sistema di coordinate rettangolari

Se tre linee perpendicolari a coppie vengono tracciate attraverso un punto nello spazio, su ciascuna di esse viene selezionata una direzione e viene selezionata un'unità di misura per i segmenti, quindi si dice che è specificato un sistema di coordinate rettangolari nello spazio

Le linee rette su cui si scelgono le direzioni sono chiamate assi delle coordinate e il loro punto comune è l'origine delle coordinate. Di solito è indicato con la lettera O. Gli assi delle coordinate sono designati come segue: Ox, Oy, O z - e hanno nomi: asse delle ascisse, asse delle ordinate, asse applicato.

L'intero sistema di coordinate è indicato con Oxy z. I piani che passano attraverso gli assi coordinati Ox e Oy, Oy e O z, O z e Ox, rispettivamente, sono chiamati piani coordinati e sono designati Oxy, Oy z, O z x.

Il punto O divide ciascuno degli assi delle coordinate in due raggi. Un raggio la cui direzione coincide con la direzione dell'asse è chiamato semiasse positivo, mentre l'altro raggio è chiamato semiasse negativo.

In un sistema di coordinate rettangolari, ogni punto M nello spazio è associato a una terna di numeri, chiamati sue coordinate.

La figura mostra sei punti A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F (0; 0; -3).

Coordinate vettoriali

Qualsiasi vettore può essere espanso in vettori di coordinate, cioè rappresentato nella forma in cui i coefficienti di espansione x, y, z sono determinati in modo univoco.

I coefficienti x, yez nell'espansione di un vettore in vettori di coordinate sono chiamati coordinate del vettore in un dato sistema di coordinate.

Consideriamo le regole che ci consentono di utilizzare le coordinate di questi vettori per trovare le coordinate della loro somma e differenza, nonché le coordinate del prodotto di un dato vettore per un dato numero.

10 . Ciascuna coordinata della somma di due o più vettori è uguale alla somma delle corrispondenti coordinate di questi vettori. In altre parole, se a (x 1, y 1, z 1) e b (x 2, y 2, z 2) sono vettori, allora il vettore a + b ha coordinate (x 1 + x 2, y 1 + y2, z1 + z2).

20 . Ciascuna coordinata della differenza di due vettori è uguale alla differenza delle coordinate corrispondenti di questi vettori. In altre parole, se a (x 1, y 1, z 1) e b (x 2 y 2; z 2) sono vettori, allora il vettore a - b ha coordinate (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z1 - z2).

trenta. Ciascuna coordinata del prodotto di un vettore e un numero è uguale al prodotto della coordinata corrispondente del vettore e di questo numero. In altre parole, se a (x; y; x) è un dato vettore, α è un dato numero, allora il vettore α a ha coordinate (αх; αу; α z).

Sul tema: sviluppi metodologici, presentazioni e appunti

Dispensa didattica "Serie di appunti per gli studenti sull'argomento "Metodo delle coordinate nello spazio" per lo svolgimento di lezioni sotto forma di lezioni frontali. Gradi di geometria 10-11....

Scopo della lezione: testare le conoscenze, le abilità e le abilità degli studenti sull'argomento "Utilizzo del metodo delle coordinate nello spazio per risolvere i compiti dell'esame di stato unificato C2 Risultati educativi pianificati: gli studenti dimostrano: ...

Prova di lezione sulla geometria in 11a elementare

Soggetto: " Metodo delle coordinate nello spazio."

Bersaglio: Testare le conoscenze teoriche degli studenti, le loro abilità e abilità per applicare queste conoscenze nella risoluzione di problemi utilizzando metodi vettoriali e a coordinate vettoriali.

Compiti:

1 .Creare condizioni di controllo (autocontrollo, controllo reciproco) per l'acquisizione di conoscenze e competenze.

2. Sviluppa il pensiero matematico, la parola, l'attenzione.

3. Promuovere l’attività, la mobilità, le capacità comunicative e la cultura generale degli studenti.

Forma di condotta: lavorare in gruppi.

Attrezzature e fonti di informazione: schermo, proiettore multimediale, tavolo conoscitivo, schede di prova, test.

Durante le lezioni

1. Momento di mobilitazione.

Lezione sull'utilizzo della CSR; gli studenti sono distribuiti in 3 gruppi dinamici, in cui partecipano studenti con un livello accettabile, ottimale e avanzato. Ogni gruppo seleziona un coordinatore che guida il lavoro dell'intero gruppo.

2 . Autodeterminazione degli studenti basata sull'anticipazione.

Compito:definizione degli obiettivi secondo lo schema: ricordare-imparare-essere capace.

Test di ingresso - Compila i campi (nelle stampe)

Test d'ingresso

Colmare le lacune…

1.Tre coppie di linee rette perpendicolari vengono tracciate attraverso un punto nello spazio.

su ciascuno di essi viene selezionata la direzione e l'unità di misura dei segmenti,

poi dicono che è dato…………. nello spazio.

2. Le linee rette su cui si scelgono le direzioni si chiamano ……………..,

e il loro punto comune…………. .

3. In un sistema di coordinate rettangolari, ad ogni punto M dello spazio è associata una terna di numeri, che si chiamano ………………..

4. Le coordinate di un punto nello spazio si chiamano ………………..

5. Un vettore la cui lunghezza è uguale a uno si chiama …………..

6. Vettori iosìKsono chiamati………….

7. Probabilità Xsìz in decomposizione UN= Xio + sìJ + zK sono chiamati

……………vettori UN .

8. Ciascuna coordinata della somma di due o più vettori è uguale a ……………..

9. Ciascuna coordinata della differenza di due vettori è uguale a ……………….

10. Ciascuna coordinata del prodotto di un vettore per un numero è uguale a………………..

11.Ogni coordinata vettoriale è uguale a…………….

12. Ciascuna coordinata del centro del segmento è uguale a……………….

13. Lunghezza del vettore UN { Xsìz) si calcola con la formula …………

14. Distanza tra i punti M 1(X 1 ; sì 1; z 1) e M 2 (X 2; sì 2 ; z2) calcolato con la formula …………………

15. Il prodotto scalare di due vettori si chiama……………..

16. Il prodotto scalare di vettori diversi da zero è uguale a zero………………..

17. Prodotto scalare di vettoriUN{ X 1; sì 1; z 1} B { X 2 ; sì 2 ; z 2) dentro espresso dalla formula…………………

Revisione tra pari del test d'ingresso. Risposte per testare le attività sullo schermo.

Criteri di valutazione:

1-2 errori – “5”

3-4 errori - “4”

5-6 errori - “3”

Negli altri casi – “2”

3. Portare a termine il lavoro. (tramite carte).

Ogni scheda contiene due compiti: N. 1 - teorico con dimostrazione, N. 2 include compiti.

Spiegare il livello di complessità dei compiti inclusi nel lavoro. Il gruppo esegue un compito, ma composto da 2 parti. Il coordinatore del gruppo gestisce il lavoro dell’intero gruppo. Discutere le stesse informazioni con più partner aumenta la responsabilità non solo dei propri successi, ma anche dei risultati del lavoro collettivo, che ha un effetto positivo sul microclima della squadra.

TESSERA N. 1

1.Deriva formule che esprimono le coordinate del centro di un segmento attraverso le coordinate delle sue estremità.

2.Compito: 1) Dati i punti A (-3; 1; 2) e B (1; -1; 2)

Trovare:

a) coordinate del punto medio del segmento AB

b) coordinate e lunghezza del vettore AB

2) Dato un cubo ABCDA1 B1 C1 D1. Usando il metodo delle coordinate, trova l'angolo

tra le rette AB1 e A1 D.

CARTA#2

Deriva una formula per calcolare la lunghezza di un vettore dalle sue coordinate.

Problema: 1) Dati i punti M(-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Trova la distanza dall'origine al centro del segmento MN.

→ → → → →

2) I vettori sono dati UN E B. Trovare b(a+b), Se a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

TESSERA N.3

Deriva una formula per calcolare la distanza tra punti con coordinate date.

Problema: 1) Dati i punti A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4).

Dimostra che ∆ABC è isoscele e trova la lunghezza della linea mediana del triangolo che collega i punti medi dei lati laterali.

2) Calcolare l'angolo formato dalle rette AB e CD, se A(1;1;0),

B(3;-1;2), D(0;1;0).

CARTA#4

Derivare formule per il coseno dell'angolo tra vettori diversi da zero con coordinate date.

Problema: 1) Date le coordinate dei tre vertici del parallelogramma ABCD:

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Trovare le coordinate del punto D.

2) Trovare l'angolo formato dalle rette AB e CD, se A(1;1;2), B(0;1;1), C(2;-2;2), D(2;-3;1) .

CARTA#5

Spiegaci come calcolare l'angolo tra due linee nello spazio utilizzando i vettori di direzione di queste linee. →→

Obiettivo: 1) Trovare il prodotto scalare dei vettoriUN E B, Se:

→ → → ^ →

a) | UN| =4; | B| =√3 (UNB)=30◦

B) UN {2 ;-3; 1}, B = 3 io +2 K

2) Dati i punti A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) e D(2;4;4). Dimostrare che ABCD è un rombo.

4. Controllare il lavoro dei gruppi dinamici utilizzando le carte.

Ascoltiamo le esibizioni dei rappresentanti del gruppo. Il lavoro dei gruppi viene valutato dal docente con la partecipazione degli studenti.

5. Riflessione. Valutazioni del test.

Test finale con scelta multipla (in stampe).

1) I vettori sono dati UN {2 ;-4 ;3} B(-3; ─; 1). Trova le coordinate del vettore

→ 2

C = UN+ B

a) (-5; 3 −; 4); b) (-1; -3,5;4) c) (5; -4 −; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) I vettori sono dati UN(4; -3; 5) e B(-3; 1; 2). Trova le coordinate del vettore

C=2 UN – 3 B

a) (7;-2;3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Calcolare il prodotto scalare di vettoriM E N, Se M = UN + 2 B- C

→ → → → →^ → → → → →

N= 2 UN - B se | UN|=2 , ‌| B |=3, (UNB‌)=60°, C ┴ UN , C ┴ B.

a)-1; b) -27; in 1; d) 35.

4) Lunghezza del vettore UN { Xsìz) è uguale a 5. Trova le coordinate del vettore a ifX=2, z=-√5

a) 16; b) 4 o -4; alle 9; d)3 o -3.

5) Trovare l'area ∆ABC se A(1;-1;3); B(3;-1;1) e C(-1;1;-3).

a) 4√3; b) √3; c)2√3; d)√8.

Revisione tra pari del test. Codici di risposta per attività di test sullo schermo: 1(b); 2(c);

3(a); 4(b); 5(c).

Criteri di valutazione:

Tutto è corretto - "5"

1 errore - "4"

2 errori - "3"

In altri casi - “2”

Tabella delle conoscenze degli studenti

Lavorare su

carte

Finale

test

Valutazione per il test

Compiti

teoria

pratica

1 gruppo

2° gruppo

3 gruppo

Valutazione della preparazione degli studenti alla prova.

Per utilizzare il metodo delle coordinate è necessario conoscere bene le formule. Ce ne sono tre:

A prima vista sembra minaccioso, ma con un po’ di pratica tutto funzionerà alla grande.

Compito. Trova il coseno dell'angolo compreso tra i vettori a = (4; 3; 0) e b = (0; 12; 5).

Soluzione. Poiché ci vengono fornite le coordinate dei vettori, le sostituiamo nella prima formula:

Compito. Scrivere un'equazione per un piano passante per i punti M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) e K = (2; 1; 0), se è noto che non passa per l'origine.

Soluzione. L'equazione generale del piano: Ax + By + Cz + D = 0, ma poiché il piano desiderato non passa per l'origine delle coordinate - il punto (0; 0; 0) - allora mettiamo D = 1. Poiché questo il piano passa per i punti M, N e K, quindi le coordinate di questi punti dovrebbero trasformare l'equazione in un'uguaglianza numerica corretta.

Sostituiamo le coordinate del punto M = (2; 0; 1) invece di x, yez. Abbiamo:
A2 + B0 + C1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Allo stesso modo, per i punti N = (0; 1; 1) e K = (2; 1; 0) otteniamo le seguenti equazioni:
A0 + B1 + C1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A2 + B1 + C0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Quindi abbiamo tre equazioni e tre incognite. Creiamo e risolviamo un sistema di equazioni:

Abbiamo trovato che l’equazione del piano ha la forma: − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0.

Compito. Il piano è dato dall'equazione 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Trova le coordinate del vettore perpendicolare a questo piano.

Soluzione. Usando la terza formula, otteniamo n = (7; − 2; 4) - questo è tutto!

Calcolo delle coordinate vettoriali

Ma cosa succede se nel problema non ci sono vettori: ci sono solo punti che giacciono su linee rette e devi calcolare l'angolo tra queste linee rette? È semplice: conoscendo le coordinate dei punti - inizio e fine del vettore - puoi calcolare le coordinate del vettore stesso.

Per trovare le coordinate di un vettore, devi sottrarre le coordinate dell'inizio dalle coordinate della sua fine.

Questo teorema funziona ugualmente bene sia sul piano che nello spazio. L'espressione “sottrai coordinate” significa che dalla coordinata x di un punto viene sottratta la coordinata x di un altro punto, quindi lo stesso va fatto con le coordinate yez. Ecco alcuni esempi:

Compito. Ci sono tre punti nello spazio, definiti dalle loro coordinate: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) e C = (− 4; 3; − 2). Trova le coordinate dei vettori AB, AC e BC.

Consideriamo il vettore AB: il suo inizio è nel punto A e la sua fine è nel punto B. Pertanto, per trovare le sue coordinate, dobbiamo sottrarre le coordinate del punto A dalle coordinate del punto B:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Allo stesso modo, l'inizio del vettore AC è lo stesso punto A, ma la fine è il punto C. Pertanto, abbiamo:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Infine, per trovare le coordinate del vettore BC, bisogna sottrarre le coordinate del punto B dalle coordinate del punto C:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Risposta: AB = (2; − 7; 4); AC = (-5; -3; -5); BC = (-7; 4; -9)

Presta attenzione al calcolo delle coordinate dell'ultimo vettore BC: molte persone commettono errori quando lavorano con numeri negativi. Ciò riguarda la variabile y: il punto B ha coordinata y = − 1, e il punto C ha coordinata y = 3. Otteniamo esattamente 3 − (− 1) = 4, e non 3 − 1, come molti pensano. Non commettere errori così stupidi!

Calcolo dei vettori di direzione per linee rette

Se leggi attentamente il problema C2, rimarrai sorpreso nello scoprire che non ci sono vettori lì. Esistono solo linee rette e piani.

Per prima cosa, diamo un'occhiata alle linee rette. Qui tutto è semplice: su ogni retta ci sono almeno due punti distinti e, viceversa, due punti distinti qualsiasi definiscono un'unica retta...

Qualcuno ha capito cosa è stato scritto nel paragrafo precedente? Io non l'ho capito, quindi lo spiego più semplicemente: nel problema C2 le linee rette sono sempre definite da una coppia di punti. Se introduciamo un sistema di coordinate e consideriamo un vettore con inizio e fine in questi punti, otteniamo il cosiddetto vettore di direzione della linea:

Perché è necessario questo vettore? Il fatto è che l'angolo tra due rette è l'angolo tra i loro vettori di direzione. Passiamo quindi da linee rette incomprensibili a vettori specifici le cui coordinate sono facili da calcolare. Quanto è facile? Dai un'occhiata agli esempi:

Compito. Nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sono tracciate le linee AC e BD 1. Trova le coordinate dei vettori di direzione di queste linee.

Poiché la lunghezza degli spigoli del cubo non è specificata nella condizione, poniamo AB = 1. Introduciamo un sistema di coordinate con l'origine nel punto A e gli assi x, y, z diretti lungo le rette AB, AD e AA 1, rispettivamente. Il segmento unitario è uguale a AB = 1.

Troviamo ora le coordinate del vettore direzione per la retta AC. Abbiamo bisogno di due punti: A = (0; 0; 0) e C = (1; 1; 0). Da qui otteniamo le coordinate del vettore AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - questo è il vettore di direzione.

Consideriamo ora la retta BD 1. Ha anche due punti: B = (1; 0; 0) e D 1 = (0; 1; 1). Otteniamo il vettore di direzione BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Risposta: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Compito. In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1, i cui lati sono tutti uguali a 1, si tracciano le linee rette AB 1 e AC 1. Trova le coordinate dei vettori di direzione di queste linee.

Introduciamo un sistema di coordinate: l'origine è nel punto A, l'asse x coincide con AB, l'asse z coincide con AA 1, l'asse y forma il piano OXY con l'asse x, che coincide con il piano ABC.

Per prima cosa consideriamo la retta AB 1. Qui tutto è semplice: abbiamo i punti A = (0; 0; 0) e B 1 = (1; 0; 1). Otteniamo il vettore di direzione AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Ora troviamo il vettore di direzione per AC 1. Tutto è uguale, l'unica differenza è che il punto C 1 ha coordinate irrazionali. Quindi A = (0; 0; 0), quindi abbiamo:

Risposta: AB 1 = (1; 0; 1);

Una piccola ma molto importante nota sull'ultimo esempio. Se l'inizio del vettore coincide con l'origine delle coordinate, i calcoli sono molto semplificati: le coordinate del vettore sono semplicemente uguali alle coordinate della fine. Sfortunatamente, questo è vero solo per i vettori. Ad esempio, quando si lavora con gli aerei, la presenza dell'origine delle coordinate su di essi complica solo i calcoli.

Calcolo dei vettori normali per gli aerei

I vettori normali non sono quei vettori che stanno bene o che fanno sentire bene. Per definizione, un vettore normale (normale) a un piano è un vettore perpendicolare a un dato piano.

In altre parole, una normale è un vettore perpendicolare a qualsiasi vettore su un dato piano. Probabilmente ti sei imbattuto in questa definizione, tuttavia, invece di vettori stiamo parlando di linee rette. Tuttavia, è stato mostrato appena sopra che nel problema C2 puoi operare con qualsiasi oggetto conveniente, sia esso una linea retta o un vettore.

Permettimi di ricordarti ancora una volta che ogni piano è definito nello spazio dall'equazione Ax + By + Cz + D = 0, dove A, B, C e D sono alcuni coefficienti. Senza perdere la generalità della soluzione, possiamo assumere D = 1 se il piano non passa per l'origine, oppure D = 0 se lo fa. In ogni caso, le coordinate del vettore normale a questo piano sono n = (A; B; C).

Quindi, l'aereo può anche essere sostituito con successo da un vettore, lo stesso normale. Ogni piano è definito nello spazio da tre punti. Abbiamo già discusso di come trovare l'equazione del piano (e quindi della normale) all'inizio dell'articolo. Tuttavia, questo processo causa problemi a molti, quindi fornirò un altro paio di esempi:

Compito. Nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 è disegnata una sezione A 1 BC 1. Trova il vettore normale al piano di questa sezione se l'origine delle coordinate è nel punto A e gli assi x, y e z coincidono rispettivamente con i bordi AB, AD e AA 1.

Poiché il piano non passa per l'origine, la sua equazione è questa: Ax + By + Cz + 1 = 0, cioè coefficiente D = 1. Poiché questo piano passa per i punti A 1, B e C 1, le coordinate di questi punti trasformano l'equazione del piano nella corretta uguaglianza numerica.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Allo stesso modo, per i punti B = (1; 0; 0) e C 1 = (1; 1; 1) otteniamo le seguenti equazioni:
LA1 + B0 + C0 + 1 = 0 ⇒ LA + 1 = 0 ⇒ LA = − 1;
A1 + B1 + C1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Ma conosciamo già i coefficienti A = − 1 e C = − 1, quindi resta da trovare il coefficiente B:
B = - 1 - UN - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Otteniamo l'equazione del piano: − A + B − C + 1 = 0. Pertanto, le coordinate del vettore normale sono uguali a n = (− 1; 1; − 1).

Compito. Nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 c'è una sezione AA 1 C 1 C. Trovare il vettore normale al piano di questa sezione se l'origine delle coordinate è nel punto A e gli assi x, y e z coincidono con rispettivamente i bordi AB, AD e AA 1.

In questo caso, il piano passa per l'origine, quindi il coefficiente D = 0, e l'equazione del piano assomiglia a questa: Ax + By + Cz = 0. Poiché il piano passa per i punti A 1 e C, le coordinate di questi punti trasformano l'equazione del piano nella corretta uguaglianza numerica.

Sostituiamo le coordinate del punto A 1 = (0; 0; 1) invece di x, yez. Abbiamo:
A0 + B0 + C1 = 0 ⇒ C = 0;

Allo stesso modo, per il punto C = (1; 1; 0) otteniamo l'equazione:
A1 + B1 + C0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Poniamo B = 1. Allora A = − B = − 1, e l'equazione dell'intero piano ha la forma: − A + B = 0. Pertanto, le coordinate del vettore normale sono uguali a n = (− 1 ;1;0).

In generale, nei problemi di cui sopra è necessario creare un sistema di equazioni e risolverlo. Otterrai tre equazioni e tre variabili, ma nel secondo caso una di queste sarà libera, cioè assumere valori arbitrari. Ecco perché abbiamo il diritto di porre B = 1, fatta salva la generalità della soluzione e la correttezza della risposta.

Molto spesso nel Problema C2 è necessario lavorare con punti che dividono in due un segmento. Le coordinate di tali punti sono facilmente calcolabili se si conoscono le coordinate delle estremità del segmento.

Quindi, lascia che il segmento sia definito dalle sue estremità: i punti A = (x a; y a; z a) e B = (x b; y b; z b). Quindi le coordinate del centro del segmento - denotiamolo con il punto H - possono essere trovate utilizzando la formula:

In altre parole, le coordinate del centro di un segmento sono la media aritmetica delle coordinate delle sue estremità.

Compito. Il cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 è posto in un sistema di coordinate tale che gli assi x, y e z sono diretti lungo i bordi AB, AD e AA 1, rispettivamente, e l'origine coincide con il punto A. Il punto K è il centro del bordo A 1 B 1 . Trova le coordinate di questo punto.

Poiché il punto K è il centro del segmento A 1 B 1, le sue coordinate sono uguali alla media aritmetica delle coordinate degli estremi. Scriviamo le coordinate delle estremità: A 1 = (0; 0; 1) e B 1 = (1; 0; 1). Ora troviamo le coordinate del punto K:

Compito. Il cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 è posto in un sistema di coordinate tale che gli assi x, y e z sono diretti lungo i bordi AB, AD e AA 1, rispettivamente, e l'origine coincide con il punto A. Trova il coordinate del punto L in cui si intersecano le diagonali del quadrato A 1 B 1 C 1 D 1 .

Dall'andamento planimetrico sappiamo che il punto di intersezione delle diagonali di un quadrato è equidistante da tutti i suoi vertici. In particolare, A 1 L = C 1 L, cioè il punto L è il centro del segmento A 1 C 1. Ma A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), quindi abbiamo:

Risposta: L = (0,5; 0,5; 1)