Un altro modo per trovare il centro (ad esempio nei prodotti torniti) - utilizzando uno strumento speciale, il "cerca centro" - si basa sulle proprietà del cosiddetto. linee tangenti. Una tangente ad un cerchio è una qualsiasi linea retta che, nel punto d'incontro con il cerchio, è perpendicolare al raggio condotto fino a quel punto. Ad esempio, all'inferno. 174 dritto AB, CD E E.F.– tangenti ad una circonferenza ASSO. Punti A, C, E sono chiamati "punti di contatto". La particolarità di una linea tangente è che ha un cerchio con un solo punto in comune. Infatti, se la tangente AB(Fig. 175) era con un cerchio, oltre a questo c'è un altro punto in comune, ad esempio, CON, quindi collegandolo al centro otterremmo un triangolo isoscele SOA con due angoli retti SA, e questo, lo sappiamo, è impossibile (perché?).

Nella vita pratica incontriamo abbastanza spesso linee tangenti ad un cerchio. Una corda lanciata sopra un blocco assume nelle sue parti tese la posizione delle linee tangenti alla circonferenza del blocco. I nastri dei montacarichi (combinazioni di più blocchi, fig. 176) si trovano lungo la linea tangente comune alla circonferenza delle ruote. Le cinghie di trasmissione delle pulegge occupano anche la posizione di tangenti comuni ai cerchi delle pulegge di tangenti “esterne” nelle cosiddette. trasmissione aperta e “interna” - in trasmissione chiusa.

Come tracciare una tangente attraverso un dato punto esterno al cerchio? In altre parole: come attraverso un punto UN(disegno 177) tracciare una linea retta AB ad angolo ABO era dritto? Questo viene fatto come segue. Collegare UN con centro DI(disegno 178). La linea retta è divisa a metà e attorno al suo centro IN, come centro, descrivi un cerchio con un raggio IN. In altre parole, su OA costruire un cerchio come su un diametro. Punti di intersezione CON E D entrambi i cerchi sono collegati UN rette: queste saranno tangenti.

Per verificarlo disegniamo dal centro verso i punti CON E D linee ausiliarie sistema operativo E OD. Angoli VESPA E ODA- dritti, poiché sono iscritti a semicerchio. E questo significa questo sistema operativo E D.O.– tangenti alla circonferenza.

Considerando la nostra costruzione, vediamo, tra l'altro, che da ogni punto esterno al cerchio possiamo tracciare ad esso due tangenti. È facile verificare che entrambe queste tangenti hanno la stessa lunghezza, cioè che AC.= ANNO DOMINI. Infatti, punto DI equidistanti dai lati dell'angolo UN; Significa OAè un equidivisore, e quindi triangoli OSA E OAD uguale ( SUS).

Lungo il percorso, abbiamo stabilito che la linea retta che divide in due l'angolo formato da entrambe le tangenti passa per il centro del cerchio. Questa è la base per la progettazione del dispositivo per trovare il centro dei prodotti torniti: il centro del cercatore (Fig. 179). Si compone di due linee AB E AC, fissato ad angolo, e il terzo righello B.D, il cui bordo B.D divide in due l'angolo tra i bordi

le prime due righe. Il dispositivo viene applicato al prodotto rotondo in modo che i bordi dei righelli siano adiacenti ad esso AB E Sole sia entrato in contatto con la circonferenza del prodotto. In questo caso gli spigoli avranno un solo punto in comune con il cerchio, quindi lo spigolo del regolo dovrà, secondo la proprietà delle tangenti ora indicata, passare per il centro del cerchio. Dopo aver disegnato il diametro di un cerchio sul prodotto utilizzando un righello, applicare il cercatore centrale sul prodotto in una posizione diversa e disegnare un diametro diverso. Il centro desiderato sarà all'intersezione di entrambi i diametri.

Se devi tracciare una tangente comune a due cerchi, cioè tracciare una linea retta che tocchi contemporaneamente due cerchi, procedi come segue. Vicino al centro di un cerchio, ad esempio, circa IN(Fig. 180), descrivi un cerchio ausiliario con un raggio uguale alla differenza tra i raggi di entrambi i cerchi. Quindi dal punto UN disegnare le tangenti AC E ANNO DOMINI a questo circolo ausiliario. Dai punti UN E IN tracciare linee rette perpendicolari a AC E ANNO DOMINI, finché non si intersecano con i cerchi indicati nei punti E, F, H E G. Linee rette che si collegano E Con F, G Con H, ci saranno tangenti comuni a questi cerchi, poiché sono perpendicolari ai raggi AE, CF, AG E D.H..

Oltre alle due tangenti appena tracciate e che vengono dette esterne, è possibile tracciare anche altre due tangenti, posizionate come l'inferno. 181 (tangenti interne). Per eseguire questa costruzione, descrivi il centro di uno di questi cerchi, ad esempio intorno IN– un cerchio ausiliario con raggio pari alla somma dei raggi di entrambi i cerchi. Dal punto UN traccia le tangenti a questo cerchio ausiliario. I lettori potranno scoprire da soli l'ulteriore corso della costruzione.

Ripeti le domande

Come si chiama una tangente? Quanti punti hanno in comune la tangente e la circonferenza? – Come si traccia la tangente ad una circonferenza passante per un punto esterno alla circonferenza? – Quante tangenti come questa si possono tracciare? – Cos’è una centrifuga? – Su cosa si basa il suo dispositivo? – Come tracciare una tangente comune a due cerchi? - Quante tangenti ci sono?

Costruzioni geometriche

Costruzione delle tangenti alle circonferenze

Consideriamo il problema alla base della soluzione di altri problemi riguardanti il ​​disegno delle tangenti ai cerchi.

Partiamo dal puntoUN(Fig. 1) è necessario disegnare le tangenti al cerchio con il centro nel puntoDI.

Per costruire con precisione le tangenti è necessario determinare i punti di tangenza delle rette al cerchio. Per questo puntoUNdovrebbe essere collegato con un puntoDIe dividere il segmentoOAa metà. Dalla metà di questo segmento - puntiCON, partendo dal centro, descrivere un cerchio il cui diametro dovrebbe essere uguale al segmentoOA. PuntiA1 EA2 intersezione di cerchi centrati in un puntoCONe con il centro nel puntoDIsono i punti di tangenza delle retteAK1 EAK2 ad un dato cerchio.

La correttezza della soluzione del problema è confermata dal fatto che il raggio del cerchio disegnato nel punto di contatto è perpendicolare alla tangente al cerchio. AngoliOK1 UNEOK2 UNsono dritti perché poggiano sul diametroJSCcerchio con centro in un puntoCON.

Riso. 1.

Quando si costruiscono le tangenti a due cerchi, si distinguono le tangentiinternoEesterno. Se i centri dei cerchi indicati si trovano su un lato della tangente, allora questa è considerata esterna e se i centri dei cerchi si trovano lungo lati diversi dalla tangente, - interna.

DI1 EDI2 R1 ER2 . È necessario disegnare le tangenti esterne ai cerchi dati.

Per una costruzione accurata è necessario determinare i punti di tangenza delle rette e dei cerchi indicati. Se i raggi dei cerchi con centriDI1 EDI2 iniziate a diminuire successivamente dello stesso valore, quindi potrete ottenere una serie di cerchi concentrici di diametro più piccolo. Inoltre, in ogni caso di diminuzione del raggio, le tangenti ai cerchi più piccoli saranno parallele a quelle desiderate. Dopo aver ridotto entrambi i raggi della dimensione del raggio più piccoloR2 cerchio con centroDI2 si trasforma in un punto e il cerchio con il centroDI1 si trasformerà in un cerchio concentrico con un raggioR3 , pari alla differenza tra i raggiR1 ER2 .

Utilizzando il metodo precedentemente descritto, dal puntoDI2 tracciare le tangenti esterne a una circonferenza di raggioR3 , unisci i puntiDI1 EDI2 , dividere per un puntoCONsegmentoDI1 DI2 a metà e disegna un raggioCO1 un arco, la cui intersezione con un dato cerchio determinerà i punti di tangenza delle retteDI2 A1 EDI2 A2 .

PuntoUN1 EUN2 la tangenza delle rette richieste con il cerchio maggiore si trova sulla continuazione delle retteDI1 A1 EDI1 A2 . PuntiIN1 EIN2 le rette tangenti del cerchio minore sono perpendicolari alla baseDI2 rispettivamente alle tangenti ausiliarieDI2 A1 EDI2 A2 . Posizionando i punti di contatto è possibile tracciare le linee rette desiderateUN1 IN1 EUN2 IN2 .

Riso. 2.

Siano dati due cerchi con centri puntiformiDI1 EDI2 (Fig. 2), aventi rispettivamente i raggiR1 ER2 . È necessario disegnare le tangenti interne ai cerchi dati.

Per determinare i punti di tangenza di rette e cerchi utilizziamo un ragionamento simile a quello fatto per la risoluzione del problema precedente. Se riduci il raggioR2 a zero, quindi il cerchio con centroDI2 vai al punto. Tuttavia, in questo caso, mantenere il parallelismo delle tangenti ausiliarie con il raggio desideratoR1 dovrebbe essere aumentato di una tagliaR2 e disegna un cerchio con raggioR3 , pari all'importo raggiR1 ER2 .

Dal puntoDI2 tracciare le tangenti ad una circonferenza di raggioR3 , perché unire i puntiDI1 EDI2 , dividere per un puntoCONsegmentoDI1 DI2 a metà e disegna un arco di cerchio con il centro nel puntoCONe raggioCO1 . Intersezione di un arco con una circonferenza di raggioR3 determinerà la posizione dei puntiA1 EA2 tangenti delle rette ausiliarieDI2 A1 EDI2 A2 .

PuntoUN1 EUN2 R1 è all'intersezione di questo cerchio con il segmentoDI1 A1 EDI1 A2 . Per definire i puntiIN 1EALLE 2tangenza delle rette richieste con un cerchio di raggioR2 segue dal puntoO2ripristinare le perpendicolari alle linee ausiliarieO2K1EO2K2finché non si interseca con un dato cerchio. Avendo i punti di tangenza tra le linee desiderate e i cerchi dati, disegniamo delle linee retteA1B1EA2B2.

Riso. 3.

In questo capitolo torniamo a uno dei principali forme geometriche- al cerchio. Verranno dimostrati vari teoremi relativi ai cerchi, compresi i teoremi sui cerchi inscritti in un triangolo, quadrilatero e cerchi circoscritti attorno a queste figure. Inoltre, verranno dimostrate tre affermazioni sui punti notevoli di un triangolo: il punto di intersezione delle bisettrici del triangolo, il punto di intersezione delle sue altezze e il punto di intersezione delle bisettrici perpendicolari ai lati del triangolo. Le prime due affermazioni sono state formulate in seconda media e ora possiamo dimostrarle.

Scopriamo quanti punti in comune possono avere una retta e un cerchio, a seconda della loro posizione relativa. È chiaro che se una linea passa attraverso il centro di un cerchio, interseca il cerchio in due punti: le estremità del diametro che giace su questa linea.

Non passi la retta p per il centro O di una circonferenza di raggio r. Tracciamo una perpendicolare OH alla retta p e indichiamo con la lettera d la lunghezza di questa perpendicolare, cioè la distanza dal centro di. questo cerchio alla linea retta (Fig. 211).

Riso. 211

Esploriamo accordo reciproco linea e cerchio a seconda del rapporto tra d e r. Ci sono tre casi possibili.

1) d< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

Di conseguenza i punti A e B giacciono sul cerchio e, quindi, sono punti comuni della retta p e del cerchio dato.

Dimostriamo che la retta p e la circonferenza data non hanno altri punti in comune. Supponiamo che abbiano un altro punto comune C. Allora la mediana OD del triangolo isoscele O AC portato alla base AC è l'altezza di questo triangolo, quindi OD ⊥ p. I segmenti OD e OH non coincidono, poiché il punto medio D del segmento AC non coincide con il punto H, il punto medio del segmento AB. Abbiamo scoperto che dal punto O si conducono due perpendicolari (segmenti OH e OD) alla retta p, il che è impossibile.

COSÌ, se la distanza dal centro del cerchio alla retta è minore del raggio del cerchio (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . In questo caso la retta si dice secante rispetto alla circonferenza.

2) d = r. In questo caso OH = r, cioè il punto H giace sul cerchio e, quindi, è il punto comune della retta e del cerchio (Fig. 211.6). La retta p e il cerchio non hanno altri punti in comune, poiché per ogni punto M della retta p, diverso dal punto H, OM > OH = r (l'inclinata OM è maggiore della perpendicolare OH), e, quindi , il punto M non giace sulla circonferenza.

Quindi, se la distanza dal centro del cerchio alla retta è uguale al raggio del cerchio, allora la retta e il cerchio hanno un solo punto in comune.

3) d > r. In questo caso, OH > r, quindi, per ogni punto M della retta r OM ≥ OH > r (fig. 211, c). Pertanto il punto M non giace sulla circonferenza.

Quindi, se la distanza dal centro del cerchio alla retta è maggiore del raggio del cerchio, allora la retta e il cerchio non hanno punti in comune.

Tangente ad una circonferenza

Abbiamo dimostrato che una linea e un cerchio possono avere uno o due punti in comune e potrebbero non averne alcuno.

Una retta che ha un solo punto in comune con un cerchio si dice tangente al cerchio, e il loro punto in comune si dice punto tangente alla retta e al cerchio. Nella Figura 212, la retta p è tangente a una circonferenza di centro O, A è il punto di tangenza.

Dimostriamo un teorema sulla proprietà della tangente ad una circonferenza.

Teorema

Prova

Sia p la tangente alla circonferenza di centro O, A il punto di tangenza (vedi Fig. 212). Dimostriamo che la tangente p è perpendicolare al raggio OA.

Riso. 212

Supponiamo che non sia così. Allora il raggio OA è inclinato rispetto alla retta r. Poiché la perpendicolare tracciata dal punto O alla retta p è minore della inclinata OA, la distanza dal centro O del cerchio alla retta p è minore del raggio. Di conseguenza la retta p e il cerchio hanno due punti in comune. Ma questo contraddice la condizione: la retta p è tangente.

Pertanto la retta p è perpendicolare al raggio OA. Il teorema è dimostrato.

Consideriamo due tangenti a una circonferenza di centro O, passante per il punto A e toccante la circonferenza nei punti B e C (Fig. 213). Chiamiamo i segmenti AB e AC segmenti tangenti tracciati da un punto R. Hanno la seguente proprietà:

Riso. 213

Per dimostrare questa affermazione, passiamo alla Figura 213. Per il teorema sulla proprietà della tangente, gli angoli 1 e 2 sono retti, quindi i triangoli ABO e ACO sono rettangoli. Sono uguali perché hanno un'ipotenusa comune OA e cateti uguali OB e OS. Pertanto AB = AC e ∠3 = ∠4, che è ciò che doveva essere dimostrato.

Dimostriamo ora il teorema contrario al teorema sulla proprietà tangente (proprietà tangente).

Teorema

Prova

Dalle condizioni del teorema segue che questo raggio è una perpendicolare tracciata dal centro del cerchio alla linea data. Dunque la distanza dal centro del cerchio alla retta è uguale al raggio, e quindi la retta e il cerchio hanno un solo punto in comune. Ma ciò significa che questa linea è tangente al cerchio. Il teorema è dimostrato.

La soluzione ai problemi riguardanti la costruzione di una retta tangente si basa su questo teorema. Risolviamo uno di questi problemi.

Compito

Per un dato punto A di una circonferenza di centro O si traccia la tangente a tale circonferenza.

Soluzione

Disegniamo una linea retta O A, e poi costruiamo una linea retta p passante per il punto A perpendicolare alla retta O A. Secondo il criterio della tangente, la retta p è la tangente desiderata.

Compiti

631. Sia d la distanza dal centro di un cerchio di raggio r ad una retta r. Qual è la posizione relativa della retta r e del cerchio se: a) r = 16 cm, d = 12 cm; b) r = 5 cm, d = 4,2 cm; c) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; d) r = 8 cm, d = 1,2 dm; e) r = 5 cm, d = 50 mm?

632. La distanza dal punto A al centro del cerchio è minore del raggio del cerchio. Dimostrare che ogni retta passante per il punto A è secante rispetto alla circonferenza data.

633. Dato un quadrato O ABC, il cui lato è 6 cm, e un cerchio con centro nel punto O di raggio 5 cm Quale delle rette OA, AB, BC e AC sono secanti rispetto a questo cerchio?

634. Il raggio OM di un cerchio di centro O divide a metà la corda AB. Dimostrare che la tangente passante per il punto M è parallela alla corda AB.

635. Per il punto A del cerchio si conducono una tangente ed una corda uguale al raggio del cerchio. Trova l'angolo tra loro.

636. Per gli estremi della corda AB, uguali al raggio del cerchio, si conducono due tangenti che si intersecano nel punto C. Trovare l'angolo AC B.

637. L'angolo fra il diametro AB e la corda AC è 30°. Per il punto C passa una tangente che interseca la retta AB nel punto D. Dimostrare che il triangolo ACD è isoscele.

638. La retta AB tocca una circonferenza di centro O di raggio r nel punto B. Trova AB se OA = 2 cm er = 1,5 cm.

639. La linea AB tocca una circonferenza di centro O di raggio r nel punto B. Trova AB se ∠AOB = 60° e r = 12 cm.

640. Dato un cerchio di centro O di raggio 4,5 cm e punto A. Per il punto A si tracciano due tangenti alla circonferenza. Trova l'angolo tra loro se OA = 9 cm.

641. I segmenti AB e AC sono segmenti tangenti a una circonferenza di centro O, tracciata dal punto A. Trova l'angolo BAC se il punto medio del segmento AO giace sulla circonferenza.

642. Nella Figura 213 OB = 3 cm, CM. = 6 cm. Trova AB, AC, ∠3 e ∠4.

643. Le rette AB e AC toccano una circonferenza di centro O nei punti B e C. Trova BC se ∠OAB = 30°, AB = 5 cm.

644. Le rette MA e MB toccano una circonferenza di centro O nei punti A e B. Il punto C è simmetrico al punto O rispetto al punto B. Dimostra che ∠AMC = 3∠BMC.

645. Dagli estremi del diametro AB di un cerchio dato si tracciano le perpendicolari AA 1 e BB 1 alla tangente, che non è perpendicolare al diametro AB. Dimostrare che il punto di tangenza è il punto medio del segmento A 1 B 1 .

646. Nel triangolo ABC l'angolo B è retto. Dimostrare che: a) la retta BC è tangente ad una circonferenza di centro A e raggio AB; b) la retta AB è tangente ad una circonferenza di centro C e raggio CB; c) la retta AC non è tangente a cerchi di centro B e raggi BA e BC.

647. Il segmento AN è una perpendicolare condotta dal punto A ad una retta passante per il centro O di una circonferenza di raggio 3 cm È la retta AN tangente alla circonferenza se: a) CM. = 5 cm, AN = 4 cm; b) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; c) ∠HAO = 30°, O A = 6 cm?

648. Costruisci una tangente ad una circonferenza di centro O: a) parallela alla retta data; b) perpendicolare ad una data linea.

Risposte ai problemi

Lezioni sul programma COMPASS.

Lezione n.12. Costruire cerchi in Compass 3D.
Cerchi tangenti a curve, cerchio per due punti.

Compass 3D dispone di diversi modi per costruire cerchi tangenti:

• cerchio tangente alla 1a curva;
• cerchio tangente a 2 curve;
• cerchio tangente a 3 curve;

Per costruire un cerchio tangente alla curva, premere il pulsante "Cerchio tangente a 1 curva" nel pannello compatto o nel menu superiore, premere i comandi in sequenza "Strumenti" - "Geometria" - "Cerchi" - "Cerchio tangente a 1 curva".

Usando il cursore, indichiamo prima la curva attraverso la quale passerà il cerchio, quindi impostiamo il 1° e il 2° punto di questo cerchio (le coordinate dei punti possono essere inserite nel pannello delle proprietà).

I fantasmi di tutti verranno visualizzati sullo schermo possibili opzioni cerchi. Utilizzando il cursore, seleziona quelli di cui abbiamo bisogno e correggili facendo clic sul pulsante "Crea oggetto". Completiamo la costruzione facendo clic sul pulsante “Interrompi comando”.

Prima di specificare il secondo punto, è possibile inserire un valore di raggio o diametro nel campo corrispondente del pannello delle proprietà. Non sempre questo cerchio sarà costruito. Questo dipende dal raggio o diametro indicato. L'impossibilità di costruzione sarà segnalata dalla scomparsa del fantasma dopo aver inserito il valore del raggio.

Se si conosce il punto centrale del cerchio, è possibile impostarlo anche nel pannello delle proprietà.

Per costruire un cerchio tangente a due curve, premere il pulsante "Cerchio tangente a 2 curve" in un pannello compatto. Oppure nel menu in alto premiamo i comandi in sequenza "Strumenti" - "Geometria" - "Cerchi" - "Cerchio tangente a 2 curve".

Usando il cursore, indichiamo gli oggetti che il cerchio dovrebbe toccare. Sullo schermo verranno visualizzati fantasmi di tutte le possibili opzioni di costruzione.

Se si conosce la posizione di un punto appartenente alla circonferenza è necessario specificarla utilizzando il cursore oppure inserirne le coordinate nel pannello delle proprietà. Puoi anche inserire valori di raggio o diametro nel pannello delle proprietà. Per completare la costruzione, selezionare il fantasma desiderato e premere successivamente i pulsanti "Crea oggetto" E "Comando di interruzione".

Per costruire un cerchio tangente a tre curve, premere il pulsante "Cerchio tangente a 3 curve" in un pannello compatto. Oppure nel menu in alto, premi i comandi in sequenza "Strumenti" - "Geometria" - "Cerchi" - "Cerchio tangente a 3 curve".

Le costruzioni sono simili alle precedenti, quindi realizzatele voi stessi, il risultato è mostrato nella figura sotto.

Diretto ( MN), avente un solo punto in comune con il cerchio ( UN), chiamato tangente al cerchio.

Il punto comune si chiama in questo caso punto di contatto.

Possibilità di esistenza tangente, e, inoltre, tracciato attraverso qualsiasi punto cerchio, come punto di tangenza, si dimostra come segue teorema.

Lascia che sia necessario eseguire cerchio con centro O tangente attraverso il punto UN. Per farlo dal punto UN, come dal centro, descriviamo arco raggio A.O., e dal punto O, come centro, intersechiamo questo arco nei punti B E CON una soluzione del compasso uguale al diametro del cerchio dato.

Dopo aver speso allora accordi O.B. E sistema operativo, collega il punto UN con punti D E E, in cui questi accordi si intersecano con un dato cerchio. Diretto ANNO DOMINI E A.E. - tangenti ad una circonferenza O. In effetti, dalla costruzione è chiaro che triangoli AOB E AOC isoscele(AO = AB = AC) con basi O.B. E sistema operativo, uguale al diametro del cerchio O.

Perché D.O. E O.E.- raggi, allora D - mezzo O.B., UN E- mezzo sistema operativo, Significa ANNO DOMINI E A.E. - mediane, portato alle basi triangoli isosceli, e quindi perpendicolare a queste basi. Se dritto D.A. E E.A. perpendicolare ai raggi D.O. E O.E., Allora loro - tangenti.

Conseguenza.

Due tangenti condotte da un punto ad una circonferenza sono uguali e formano angoli uguali con la retta che collega questo punto al centro.

COSÌ d.C.=EA e ∠ OAD = ∠OAE Perché triangoli rettangoli AOD E AOE, avendo un comune ipotenusa A.O. e pari gambe D.O. E O.E.(come raggi), sono uguali. Nota che qui la parola “tangente” in realtà significa “ segmento tangente” da un dato punto al punto di contatto.