Triangolo isoscele. Teoria dettagliata con esempi (2020)

Le proprietà di un triangolo isoscele sono espresse dai seguenti teoremi.

Teorema 1. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali.

Teorema 2. In un triangolo isoscele, la bisettrice tracciata verso la base è la mediana e l'altezza.

Teorema 3. In un triangolo isoscele, la mediana portata alla base è la bisettrice e l'altezza.

Teorema 4. In un triangolo isoscele, l'altezza portata alla base è la bisettrice e la mediana.

Dimostriamone uno, ad esempio il Teorema 2.5.

Prova. Consideriamo un triangolo isoscele ABC con base BC e dimostriamo che ∠ B = ∠ C. Sia AD la bisettrice del triangolo ABC (Fig. 1). I triangoli ABD e ACD sono uguali secondo il primo segno di uguaglianza dei triangoli (AB = AC per condizione, AD è un lato comune, ∠ 1 = ∠ 2, poiché AD è una bisettrice). Dall'uguaglianza di questi triangoli segue che ∠ B = ∠ C. Il teorema è dimostrato.

Utilizzando il Teorema 1 si stabilisce il seguente teorema.

Teorema 5. Il terzo criterio per l'uguaglianza dei triangoli. Se tre lati di un triangolo sono rispettivamente uguali a tre lati di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti (Fig. 2).

Commento. Le frasi stabilite negli esempi 1 e 2 esprimono le proprietà dell'asse perpendicolare di un segmento. Da queste proposte ne consegue che le bisettrici perpendicolari ai lati di un triangolo si intersecano in un punto.

Esempio 1. Dimostrare che un punto del piano equidistante dagli estremi di un segmento giace sulla bisettrice perpendicolare a questo segmento.

Soluzione. Sia il punto M equidistante dagli estremi del segmento AB (Fig. 3), cioè AM = BM.

Allora Δ AMV è isoscele. Tracciamo una linea retta p passante per il punto M e il punto medio O del segmento AB. Per costruzione, il segmento MO è la mediana del triangolo isoscele AMB, e quindi (Teorema 3), e l'altezza, cioè la retta MO, è la bisettrice perpendicolare al segmento AB.

Esempio 2. Dimostrare che ogni punto della bisettrice perpendicolare di un segmento è equidistante dai suoi estremi.

Soluzione. Sia p la bisettrice perpendicolare del segmento AB e il punto O sia il punto medio del segmento AB (vedi Fig. 3).

Consideriamo un punto arbitrario M giacente sulla retta p. Disegniamo i segmenti AM e BM. I triangoli AOM e BOM sono uguali, poiché i loro angoli al vertice O sono retti, la gamba OM è comune e la gamba OA è uguale alla gamba OB per condizione. Dall'uguaglianza dei triangoli AOM e BOM segue che AM = BM.

Esempio 3. Nel triangolo ABC (vedi Fig. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; nel triangolo DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Confronta i triangoli ABC e DEF. Trova gli angoli uguali corrispondenti.

Soluzione. Questi triangoli sono uguali secondo il terzo criterio. Corrispondentemente, angoli uguali: A ed E (si trovano opposti ai lati uguali BC e FD), B e F (si trovano opposti ai lati uguali AC e DE), C e D (si trovano opposti ai lati uguali AB ed EF).

Esempio 4. Nella Figura 5, AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.

Trova l'angolo D.

Soluzione. Consideriamo i triangoli ABC e ADC. Sono uguali secondo il terzo criterio (AB = DC, BC = AD per condizione e il lato AC è comune). Dall'uguaglianza di questi triangoli segue che ∠ B = ∠ D, ma l'angolo B è uguale a 100°, il che significa che l'angolo D è uguale a 100°.

Esempio 5. In un triangolo isoscele ABC con base AC l'angolo esterno al vertice C è 123°. Trova l'ampiezza dell'angolo ABC. Dai la tua risposta in gradi.

Soluzione video.

I primi storici della nostra civiltà - gli antichi greci - menzionano l'Egitto come la culla della geometria. È difficile non essere d'accordo con loro, sapendo con quale sorprendente precisione furono erette le tombe giganti dei faraoni. La posizione relativa dei piani delle piramidi, le loro proporzioni, l'orientamento rispetto ai punti cardinali: sarebbe impensabile raggiungere tale perfezione senza conoscere le basi della geometria.

La stessa parola “geometria” può essere tradotta come “misurazione della terra”. Inoltre, la parola “terra” non appare come un pianeta, parte del sistema solare, ma come un piano. La delimitazione delle aree per l'agricoltura è molto probabilmente la base originaria della scienza delle forme geometriche, dei loro tipi e proprietà.

Un triangolo è la figura spaziale più semplice della planimetria, contenente solo tre punti: i vertici (non ce ne sono meno). La base delle fondamenta, forse è per questo che sembra esserci in lui qualcosa di misterioso e di antico. L'occhio che tutto vede all'interno di un triangolo è uno dei primi segni occulti conosciuti, e la geografia della sua distribuzione e il suo arco temporale sono semplicemente sorprendenti. Dalle antiche civiltà egiziane, sumere, azteche e altre civiltà alle comunità più moderne di amanti dell'occulto sparse in tutto il mondo.

Cosa sono i triangoli?

Un triangolo scaleno ordinario è una figura geometrica chiusa composta da tre segmenti di diversa lunghezza e tre angoli, nessuno dei quali è retto. Oltre a questo, ci sono diversi tipi speciali.

Un triangolo acutangolo ha tutti gli angoli minori di 90 gradi. In altre parole, tutti gli angoli di un tale triangolo sono acuti.

Un triangolo rettangolo, sul quale gli scolari hanno sempre pianto per l'abbondanza di teoremi, ha un angolo di 90 gradi o, come viene anche chiamata, una linea retta.

Un triangolo ottuso si distingue per il fatto che uno dei suoi angoli è ottuso, cioè la sua dimensione è superiore a 90 gradi.

Un triangolo equilatero ha tre lati di uguale lunghezza. In una figura del genere, anche tutti gli angoli sono uguali.

E infine, un triangolo isoscele ha tre lati, due uguali tra loro.

Caratteristiche distintive

Le proprietà di un triangolo isoscele determinano anche la sua differenza principale: l'uguaglianza dei suoi due lati. Questi lati uguali sono solitamente chiamati fianchi (o, più spesso, lati), e il terzo lato è chiamato “base”.

Nella figura in esame a = b.

Il secondo criterio per un triangolo isoscele deriva dal teorema dei seni. Poiché i lati a e b sono uguali, i seni dei loro angoli opposti sono uguali:

a/sin γ = b/sin α, da cui si ha: sin γ = sin α.

Dall'uguaglianza dei seni segue l'uguaglianza degli angoli: γ = α.

Quindi, il secondo segno di un triangolo isoscele è l'uguaglianza di due angoli adiacenti alla base.

Terzo segno. In un triangolo ci sono elementi come altezza, bisettrice e mediana.

Se, nel processo di risoluzione del problema, si scopre che nel triangolo in questione due qualsiasi di questi elementi coincidono: l'altezza con la bisettrice; bisettrice con mediana; mediana con altezza - possiamo sicuramente concludere che il triangolo è isoscele.

Proprietà geometriche di una figura

1. Proprietà di un triangolo isoscele. Una delle qualità distintive della figura è l'uguaglianza degli angoli adiacenti alla base:

<ВАС = <ВСА.

2. Un'altra proprietà è stata discussa sopra: la mediana, la bisettrice e l'altezza in un triangolo isoscele coincidono se sono costruite dal vertice alla base.

3. Uguaglianza delle bisettrici tracciate dai vertici alla base:

Se AE è la bisettrice dell'angolo BAC e CD è la bisettrice dell'angolo BCA, allora: AE = DC.

4. Le proprietà di un triangolo isoscele prevedono anche l'uguaglianza delle altezze che si ricavano dai vertici alla base.

Se costruiamo le altezze del triangolo ABC (dove AB = BC) dai vertici A e C, allora i segmenti risultanti CD e AE saranno uguali.

5. Anche le mediane ricavate dagli angoli alla base saranno uguali.

Quindi, se AE e DC sono mediane, cioè AD = DB e BE = EC, allora AE = DC.

Altezza di un triangolo isoscele

L'uguaglianza dei lati e degli angoli con essi introduce alcune caratteristiche nel calcolo delle lunghezze degli elementi della figura in questione.

L'altezza in un triangolo isoscele divide la figura in 2 triangoli rettangoli simmetrici, le cui ipotenuse sono sui lati. L'altezza in questo caso è determinata secondo il teorema di Pitagora come una gamba.

Un triangolo può avere tutti e tre i lati uguali, quindi si chiamerà equilatero. L'altezza in un triangolo equilatero è determinata in modo simile, solo per i calcoli è sufficiente conoscere un solo valore: la lunghezza del lato di questo triangolo.

Puoi determinare l'altezza in un altro modo, ad esempio conoscendo la base e l'angolo ad essa adiacente.

Mediana di un triangolo isoscele

Il tipo di triangolo in esame, per le sue caratteristiche geometriche, può essere risolto in modo molto semplice utilizzando un insieme minimo di dati iniziali. Poiché la mediana in un triangolo isoscele è uguale sia alla sua altezza che alla sua bisettrice, l'algoritmo per determinarla non è diverso dalla procedura per calcolare questi elementi.

Ad esempio, è possibile determinare la lunghezza della mediana in base al lato laterale noto e all'ampiezza dell'angolo dell'apice.

Come determinare il perimetro

Poiché i due lati della figura planimetrica in esame sono sempre uguali, per determinare il perimetro è sufficiente conoscere la lunghezza della base e la lunghezza di uno dei lati.

Consideriamo un esempio in cui è necessario determinare il perimetro di un triangolo utilizzando una base e un'altezza note.

Il perimetro è uguale alla somma della base e del doppio della lunghezza del lato. Il lato laterale, a sua volta, è definito utilizzando il teorema di Pitagora come l'ipotenusa di un triangolo rettangolo. La sua lunghezza è uguale alla radice quadrata della somma del quadrato dell'altezza e del quadrato della metà della base.

Area di un triangolo isoscele

Di norma, il calcolo dell'area di un triangolo isoscele non causa difficoltà. Naturalmente nel nostro caso si applica la regola universale per determinare l'area di un triangolo come metà del prodotto della base per la sua altezza. Tuttavia, le proprietà di un triangolo isoscele rendono ancora una volta il compito più semplice.

Supponiamo che siano noti l'altezza e l'angolo adiacente alla base. È necessario determinare l'area della figura. Questo può essere fatto in questo modo.

Poiché la somma degli angoli di qualsiasi triangolo è 180°, non è difficile determinare l'ampiezza dell'angolo. Successivamente, utilizzando la proporzione compilata secondo il teorema dei seni, viene determinata la lunghezza della base del triangolo. Tutto, base e altezza, dati sufficienti per determinare l'area, sono disponibili.

Altre proprietà del triangolo isoscele

La posizione del centro di un cerchio circoscritto ad un triangolo isoscele dipende dall'ampiezza dell'angolo al vertice. Quindi, se un triangolo isoscele è acutangolo, il centro del cerchio si trova all'interno della figura.

Il centro di un cerchio circoscritto ad un triangolo isoscele ottuso si trova all'esterno di esso. E infine, se l'angolo al vertice è 90°, il centro si trova esattamente al centro della base, e il diametro del cerchio passa per la base stessa.

Per determinare il raggio di un cerchio circoscritto ad un triangolo isoscele è sufficiente dividere la lunghezza del lato per il doppio del coseno di metà dell'angolo al vertice.

Tra tutti i triangoli, ci sono due tipi speciali: triangoli rettangoli e triangoli isosceli. Perché questi tipi di triangoli sono così speciali? Bene, in primo luogo, tali triangoli risultano molto spesso i personaggi principali nei problemi dell'Esame di Stato Unificato nella prima parte. In secondo luogo, i problemi sui triangoli rettangoli e isosceli sono molto più facili da risolvere rispetto ad altri problemi di geometria. Hai solo bisogno di conoscere alcune regole e proprietà. Tutte le cose più interessanti sono discusse nell'argomento corrispondente, ma ora consideriamo i triangoli isosceli. E prima di tutto, cos'è un triangolo isoscele? Oppure, come dicono i matematici, qual è la definizione di triangolo isoscele?

Guarda come appare:

Come un triangolo rettangolo, un triangolo isoscele ha nomi speciali per i suoi lati. Si chiamano due lati uguali lati, e la terza parte - base.

E ancora una volta presta attenzione all'immagine:

Potrebbe, ovviamente, essere così:

Perciò stai attento: lato laterale: uno dei due lati uguali in un triangolo isoscele e la base è una terza parte.

Perché un triangolo isoscele è così bello? Per capirlo, disegniamo l'altezza alla base. Ti ricordi che altezza è?

Quello che è successo? Da un triangolo isoscele si ottengono due rettangolari.

Questo è già positivo, ma ciò accadrà in qualsiasi triangolo, anche il più “obliquo”.

In cosa differisce l'immagine per un triangolo isoscele? Guarda di nuovo:

Ebbene, in primo luogo, ovviamente, non è sufficiente che questi strani matematici vedano: devono certamente dimostrare. Altrimenti, all'improvviso questi triangoli saranno leggermente diversi, ma li considereremo uguali.

Ma non preoccupatevi: in questo caso dimostrare è facile quasi quanto vedere.

Iniziamo? Guarda attentamente, abbiamo:

E questo significa! Perché? Sì, troveremo semplicemente e, e dal teorema di Pitagora (ricordando allo stesso tempo che)

Sei sicuro? Bene, ora abbiamo

E su tre lati - il segno più semplice (terzo) di uguaglianza dei triangoli.

Ebbene, il nostro triangolo isoscele si è diviso in due rettangolari identici.

Vedi quanto è interessante? È venuto fuori che:

Come ne parlano solitamente i matematici? Andiamo con ordine:

(Ricorda qui che la mediana è una linea tracciata da un vertice che divide il lato a metà, e la bisettrice è l'angolo.)

Bene, qui abbiamo discusso di quali cose positive si possono vedere se dato un triangolo isoscele. Abbiamo dedotto che in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali, e l'altezza, la bisettrice e la mediana tirata alla base coincidono.

E ora sorge un'altra domanda: come riconoscere un triangolo isoscele? Cioè, come dicono i matematici, cosa sono segni di un triangolo isoscele?

E si scopre che devi solo "capovolgere" tutte le affermazioni al contrario. Questo, ovviamente, non accade sempre, ma un triangolo isoscele è comunque un'ottima cosa! Cosa succede dopo il “turnover”?

Bene, guarda:
Se altezza e mediana coincidono allora:

Se l'altezza e la bisettrice coincidono, allora:

Se bisettrice e mediana coincidono allora:

Bene, non dimenticare e usa:

Se ti viene dato un triangolo triangolare isoscele, sentiti libero di disegnare l'altezza, ottenere due triangoli rettangoli e risolvere il problema su un triangolo rettangolo.
Se dato questo due angoli sono uguali, quindi un triangolo esattamente isoscele e puoi disegnare l'altezza e….(La casa costruita da Jack…).
Se si scopre che l'altezza è divisa a metà, il triangolo è isoscele con tutti i bonus che ne derivano.
Se si scopre che l'altezza divide l'angolo tra i piani, è anche isoscele!
Se una bisettrice divide un lato a metà o una mediana divide un angolo, accade anche questo soltanto in un triangolo isoscele

Vediamo come appare nelle attività.

Problema 1(il più semplice)

In un triangolo i lati e sono uguali, a. Trovare.

Noi decidiamo:

Prima il disegno.

Qual è la base qui? Certamente, .

Ricordiamo cosa succede se, allora e.

Disegno aggiornato:

Indichiamo con. Qual è la somma degli angoli di un triangolo? ?

Noi usiamo:

Quello è risposta: .

Non è difficile, vero? Non ho nemmeno dovuto regolare l'altezza.

Problema 2(Anche non molto complicato, ma dobbiamo ripetere l'argomento)

In un triangolo, . Trovare.

Noi decidiamo:

Il triangolo è isoscele! Disegniamo l'altezza (questo è il trucco con cui adesso si deciderà tutto).

Adesso “cancelliamo dalla vita”, guardiamola e basta.

Quindi, abbiamo:

Ricordiamo i valori della tabella dei coseni (beh, oppure guarda il cheat sheet...)

Non resta che trovare: .

Risposta: .

Nota che siamo qui Molto conoscenze richieste sui triangoli rettangoli e sui seni e coseni “tabulari”. Molto spesso succede questo: gli argomenti “Triangolo isoscele” e in problemi vanno insieme, ma non sono molto amichevoli con altri argomenti.

Triangolo isoscele. Livello medio.

Questi due lati uguali sono chiamati lati, UN il terzo lato è la base di un triangolo isoscele.

Guarda l'immagine: e - i lati, - la base del triangolo isoscele.

Usiamo un'immagine per capire perché questo accade. Disegniamo un'altezza da un punto.

Ciò significa che tutti gli elementi corrispondenti sono uguali.

Tutto! In un colpo solo (altezza) hanno dimostrato tutte le affermazioni in una volta.

E ricorda: per risolvere un problema relativo ad un triangolo isoscele, spesso è molto utile abbassare l'altezza alla base del triangolo isoscele e dividerlo in due triangoli rettangoli uguali.

Segni di un triangolo isoscele

Sono vere anche le affermazioni inverse:

Quasi tutte queste affermazioni possono essere nuovamente dimostrate “in un colpo solo”.

1. Quindi, lascia entrare si è rivelato uguale e.

Controlliamo l'altezza. Poi

2. a) Ora inserisci un triangolo altezza e bisettrice coincidono.

2. b) E se altezza e mediana coincidono? Tutto è quasi uguale, non più complicato!

- su due lati

2. c) Ma se non c'è altezza, che è abbassato alla base di un triangolo isoscele, allora non esistono triangoli inizialmente rettangoli. Male!

Ma c'è una via d'uscita: leggila nel livello successivo della teoria, poiché la dimostrazione qui è più complicata, ma per ora ricorda solo che se la mediana e la bisettrice coincidono, anche il triangolo risulterà isoscele e l'altezza coinciderà comunque con tale bisettrice e mediana.

Riassumiamo:

Se il triangolo è isoscele, allora gli angoli alla base sono uguali e l'altezza, la bisettrice e la mediana tirata alla base coincidono.
Se in un triangolo ci sono due angoli uguali, o due delle tre linee (bisettrice, mediana, altezza) coincidono, allora tale triangolo è isoscele.

Triangolo isoscele. Breve descrizione e formule base

Un triangolo isoscele è un triangolo che ha due lati uguali.

Segni di un triangolo isoscele:

Se in un certo triangolo due angoli sono uguali allora è isoscele.
Se in qualche triangolo coincidono:
UN) altezza e bisettrice O
B) altezza e mediana O
V) mediana e bisettrice,
disegnato da un lato, allora tale triangolo è isoscele.

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