Lezioni complete - Ipermercato della Conoscenza. Cerchio

Ricordiamo i casi posizione relativa retta e cerchio.

Data una circonferenza di centro O e raggio r. Retta P, la distanza dal centro alla retta, cioè perpendicolare alla OM, è uguale a d.

Caso 1- la distanza dal centro del cerchio alla retta è inferiore al raggio del cerchio:

Abbiamo dimostrato che nel caso in cui la distanza d è minore del raggio del cerchio r, la retta e il cerchio hanno solo due punti in comune (Fig. 1).

Riso. 1. Illustrazione del caso 1

Caso due- la distanza dal centro del cerchio alla retta è uguale al raggio del cerchio:

Abbiamo dimostrato che in questo caso esiste un solo punto in comune (Fig. 2).

Riso. 2. Illustrazione per il caso 2

Caso 3- la distanza dal centro del cerchio alla retta è maggiore del raggio del cerchio:

Abbiamo dimostrato che in questo caso il cerchio e la retta non hanno punti in comune (Fig. 3).

Riso. 3. Illustrazione per il caso 3

SU questa lezione a noi interessa il secondo caso, quando la retta e il cerchio hanno un unico punto in comune.

Definizione:

Una linea retta che ha un solo punto in comune con un cerchio è detta tangente al cerchio; un punto in comune è detto punto tangente della linea e del cerchio.

La retta p è una tangente, il punto A è un punto di tangenza (Fig. 4).

Riso. 4. Tangente

Teorema:

La tangente al cerchio è perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di contatto (Fig. 5).

Riso. 5. Illustrazione del teorema

Prova:

Sia invece OA non perpendicolare alla retta r. In questo caso abbassiamo una perpendicolare dal punto O alla retta p, che sarà la distanza dal centro del cerchio alla retta:

Da un triangolo rettangolo possiamo dire che l'ipotenusa OH è minore del cateto OA, cioè la retta e il cerchio hanno due punti in comune, la retta p è una secante. Quindi abbiamo una contraddizione, il che significa che il teorema è dimostrato.

Riso. 6. Illustrazione del teorema

È vero anche il teorema inverso.

Teorema:

Se una retta passa per l'estremità di un raggio che giace su una circonferenza ed è perpendicolare a questo raggio, allora è tangente.

Prova:

Poiché la retta è perpendicolare al raggio, la distanza OA è la distanza dalla retta al centro del cerchio ed è uguale al raggio: . Cioè, in questo caso, come abbiamo dimostrato in precedenza, la linea e il cerchio hanno l'unico punto in comune: il punto A, quindi la linea p è tangente al cerchio per definizione (Fig. 7).

Riso. 7. Illustrazione del teorema

I teoremi diretto e inverso possono essere combinati come segue (Fig. 8):

Data una circonferenza di centro O, retta p, raggio OA

Riso. 8. Illustrazione del teorema

Teorema:

Una retta è tangente ad una circonferenza se e solo se il raggio tracciato nel punto di tangenza è perpendicolare ad essa.

Questo teorema significa che se una retta è tangente, allora il raggio tracciato fino al punto di tangenza gli è perpendicolare e viceversa, dalla perpendicolarità di OA e p segue che p è tangente, cioè la retta e il cerchio hanno un unico punto comune.

Consideriamo due tangenti tracciate da un punto a una circonferenza.

Teorema:

I segmenti tangenti a una circonferenza tracciata da un punto sono uguali e formano angoli uguali con una linea retta passante per questo punto e il centro della circonferenza.

Data una circonferenza, centro O, punto A esterno alla circonferenza. Dal punto A si tracciano due tangenti, i punti B e C sono punti di tangenza. Devi dimostrare che gli angoli 3 e 4 sono uguali.

Riso. 9. Illustrazione del teorema

Prova:

La dimostrazione si basa sull'uguaglianza dei triangoli . Spieghiamo l'uguaglianza dei triangoli. Sono rettangolari perché il raggio tracciato fino al punto di contatto è perpendicolare alla tangente. Ciò significa che gli angoli sono entrambi retti e uguali in . I cateti OB e OS sono uguali, poiché sono il raggio del cerchio. L'ipotenusa AO è generale.

Pertanto, i triangoli sono uguali in termini di uguaglianza del cateto e dell'ipotenusa. Da qui è ovvio che anche i cateti AB e AC sono uguali. Anche angoli opposti lati uguali, sono uguali, il che significa che gli angoli e , sono uguali.

Il teorema è stato dimostrato.

Quindi, abbiamo acquisito familiarità con il concetto di tangente a un cerchio, che vedremo nella prossima lezione misura di laurea archi di cerchio.

Riferimenti

Alexandrov A.D. ecc. Geometria 8a elementare. - M.: Educazione, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria 8. - M.: Educazione, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria 8a elementare. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Univer.omsk.su ().
Oldskola1.narod.ru ().
School6.aviel.ru ().

Compiti a casa

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometria 7-9, n. 634-637, pag. 168.

Ricordiamo i casi della posizione relativa di una linea e di un cerchio.

Data una circonferenza di centro O e raggio r. Retta P, la distanza dal centro alla retta, cioè perpendicolare alla OM, è uguale a d.

Caso 1- la distanza dal centro del cerchio alla retta è inferiore al raggio del cerchio:

Abbiamo dimostrato che nel caso in cui la distanza d è minore del raggio del cerchio r, la retta e il cerchio hanno solo due punti in comune (Fig. 1).

Riso. 1. Illustrazione del caso 1

Caso due- la distanza dal centro del cerchio alla retta è uguale al raggio del cerchio:

Abbiamo dimostrato che in questo caso esiste un solo punto in comune (Fig. 2).

Riso. 2. Illustrazione per il caso 2

Caso 3- la distanza dal centro del cerchio alla retta è maggiore del raggio del cerchio:

Abbiamo dimostrato che in questo caso il cerchio e la retta non hanno punti in comune (Fig. 3).

Riso. 3. Illustrazione per il caso 3

In questa lezione siamo interessati al secondo caso, quando una linea e un cerchio hanno un unico punto in comune.

Definizione:

Una linea retta che ha un solo punto in comune con un cerchio è detta tangente al cerchio; un punto in comune è detto punto tangente della linea e del cerchio.

La retta p è una tangente, il punto A è un punto di tangenza (Fig. 4).

Riso. 4. Tangente

Teorema:

La tangente al cerchio è perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di contatto (Fig. 5).

Riso. 5. Illustrazione del teorema

Prova:

Sia invece OA non perpendicolare alla retta r. In questo caso abbassiamo una perpendicolare dal punto O alla retta p, che sarà la distanza dal centro del cerchio alla retta:

Riso. 6. Illustrazione del teorema

È vero anche il teorema inverso.

Teorema:

Se una retta passa per l'estremità di un raggio che giace su una circonferenza ed è perpendicolare a questo raggio, allora è tangente.

Prova:

Riso. 7. Illustrazione del teorema

I teoremi diretto e inverso possono essere combinati come segue (Fig. 8):

Data una circonferenza di centro O, retta p, raggio OA

Riso. 8. Illustrazione del teorema

Teorema:

Una retta è tangente ad una circonferenza se e solo se il raggio tracciato nel punto di tangenza è perpendicolare ad essa.

Consideriamo due tangenti tracciate da un punto a una circonferenza.

Teorema:

I segmenti tangenti a una circonferenza tracciata da un punto sono uguali e formano angoli uguali con una linea retta passante per questo punto e il centro della circonferenza.

Data una circonferenza, centro O, punto A esterno alla circonferenza. Dal punto A si tracciano due tangenti, i punti B e C sono punti di tangenza. Devi dimostrare che gli angoli 3 e 4 sono uguali.

Riso. 9. Illustrazione del teorema

Prova:

Pertanto, i triangoli sono uguali in termini di uguaglianza del cateto e dell'ipotenusa. Da qui è ovvio che anche i cateti AB e AC sono uguali. Inoltre, gli angoli opposti ai lati uguali sono uguali, il che significa che gli angoli e , sono uguali.

Il teorema è stato dimostrato.

Abbiamo quindi acquisito familiarità con il concetto di tangente ad un cerchio; nella prossima lezione vedremo la misura in gradi di un arco di cerchio;

Riferimenti

Alexandrov A.D. ecc. Geometria 8a elementare. - M.: Educazione, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria 8. - M.: Educazione, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria 8a elementare. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Univer.omsk.su ().
Oldskola1.narod.ru ().
School6.aviel.ru ().

Compiti a casa

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometria 7-9, n. 634-637, pag. 168.

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Diretto ( MN), avente un solo punto in comune con il cerchio ( UN), chiamato tangente al cerchio.

Il punto comune si chiama in questo caso punto di contatto.

Possibilità di esistenza tangente, e, inoltre, tracciato attraverso qualsiasi punto cerchio, come punto di tangenza, si dimostra come segue teorema.

Lascia che sia necessario eseguire cerchio con centro O tangente attraverso il punto UN. Per farlo dal punto UN, come dal centro, descriviamo arco raggio A.O., e dal punto O, come centro, intersechiamo questo arco nei punti B E CON una soluzione del compasso uguale al diametro del cerchio dato.

Dopo aver speso allora accordi O.B. E sistema operativo, collega il punto UN con punti D E E, in cui questi accordi si intersecano con un dato cerchio. Diretto A.D E A.E. - tangenti ad una circonferenza O. In effetti, dalla costruzione è chiaro che triangoli AOB E AOC isoscele(AO = AB = AC) con basi O.B. E sistema operativo, uguale al diametro del cerchio O.

Perché D.O. E O.E.- raggi, allora D - mezzo O.B., UN E- mezzo sistema operativo, Significa A.D E A.E. - mediane, disegnato alle basi dei triangoli isosceli, e quindi perpendicolare a queste basi. Se dritto D.A. E E.A. perpendicolare ai raggi D.O. E O.E., poi loro - tangenti.

Conseguenza.

Due tangenti condotte da un punto ad una circonferenza sono uguali e formano angoli uguali con la retta che collega questo punto al centro.

COSÌ d.C.=EA e ∠ OAD = ∠OAE Perché triangoli rettangoli AOD E AOE, avendo un comune ipotenusa A.O. e pari gambe D.O. E O.E.(come raggi), sono uguali. Nota che qui la parola “tangente” in realtà significa “ segmento tangente” da un dato punto al punto di contatto.