Come dimostrare che un angolo lineare è un angolo diedro. Appunti di lezione di matematica "Angolo diedro"

$\blacktriangleright$ L'angolo diedro è un angolo formato da due semipiani e una linea retta $a$, che è il loro confine comune.

$\blacktriangleright$ Per trovare l'angolo tra i piani $\xi$ e $\pi$ , devi trovare l'angolo lineare (e speziato O Dritto) angolo diedro formato dai piani $\xi$ e $\pi$ :

Passaggio 1: sia $\xi\cap\pi=a$ (la linea di intersezione dei piani). Nel piano $\xi$ segniamo un punto arbitrario $F$ e disegniamo $FA\perp a$ ;

Passaggio 2: eseguire $FG\perp \pi$ ;

Passaggio 3: secondo TTP ($FG$ – perpendicolare, $FA$ – obliquo, $AG$ – proiezione) abbiamo: $AG\perp a$ ;

Passo 4: L'angolo $\angle FAG$ è chiamato angolo lineare dell'angolo diedro formato dai piani $\xi$ e $\pi$ .

Nota che il triangolo $AG$ è rettangolo.
Si noti inoltre che il piano $AFG$ costruito in questo modo è perpendicolare ad entrambi i piani $\xi$ e $\pi$ . Pertanto possiamo dirlo diversamente: angolo tra i piani$\xi$ e $\pi$ è l'angolo tra due linee che si intersecano $c\in \xi$ e $b\in\pi$ che formano un piano perpendicolare a e $\xi\ ) e \(\pi$ .

Compito 1 #2875

Livello del compito: più difficile dell'Esame di Stato Unificato

Data una piramide quadrangolare, i cui lati sono uguali e la base è quadrata. Trova $6\cos \alpha$ , dove $\alpha$ è l'angolo tra le facce laterali adiacenti.

Sia $SABCD$ una data piramide ($S$ è un vertice) i cui bordi sono uguali a $a$ . Di conseguenza, tutte le facce laterali sono triangoli equilateri uguali. Troviamo l'angolo tra le facce $SAD$ e $SCD$ .

Facciamo $CH\perp SD$ . Perché $\triangolo SAD=\triangolo SCD$, allora $AH$ sarà anche l'altezza di $\triangle SAD$ . Pertanto, per definizione, $\angle AHC=\alpha$ è l'angolo lineare dell'angolo diedro tra le facce $SAD$ e $SCD$ .
Poiché la base è un quadrato, allora $AC=a\sqrt2$ . Si noti inoltre che $CH=AH$ è l'altezza di un triangolo equilatero con lato $a$, quindi $CH=AH=\frac(\sqrt3)2a$ .
Quindi, per il teorema del coseno di $\triangle AHC$: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Risposta: -2

Compito 2 #2876

Livello del compito: più difficile dell'Esame di Stato Unificato

I piani $\pi_1$ e $\pi_2$ si intersecano formando un angolo il cui coseno è uguale a $0.2$ . I piani $\pi_2$ e $\pi_3$ si intersecano ad angolo retto e la linea di intersezione dei piani $\pi_1$ e $\pi_2$ è parallela alla linea di intersezione dei piani $\pi_2$ e $\ pi_3$ . Trova il seno dell'angolo compreso tra i piani $\pi_1$ e $\pi_3$ .

Sia la linea di intersezione di $\pi_1$ e $\pi_2$ una linea retta $a$, la linea di intersezione di $\pi_2$ e $\pi_3$ sia una retta linea $b$ e la linea di intersezione $\pi_3$ e $\pi_1$ – linea retta $c$ . Poiché $a\parallel b$ , allora $c\parallel a\parallel b$ (secondo il teorema della sezione del riferimento teorico “Geometria nello spazio” $\rightarrow$ “Introduzione alla stereometria, parallelismo").

Segniamo i punti $A\in a, B\in b$ in modo che $AB\perp a, AB\perp b$ (questo è possibile poiché $a\parallel b$ ). Segniamo $C\in c$ in modo che $BC\perp c$ , quindi, $BC\perp b$ . Quindi $AC\perp c$ e $AC\perp a$ .
Infatti, poiché $AB\perp b, BC\perp b$ , allora $b$ è perpendicolare al piano $ABC$ . Poiché $c\parallela a\parallela b$, anche le rette $a$ e $c$ sono perpendicolari al piano $ABC$, e quindi a qualsiasi retta proveniente da questo piano, in particolare , la riga \ (AC\) .

Ne consegue che $\angolo BAC=\angolo (\pi_1, \pi_2)$, $\angolo ABC=\angolo (\pi_2, \pi_3)=90^\circ$, $\angolo BCA=\angolo (\pi_3, \pi_1)$. Risulta che $\triangolo ABC$ è rettangolare, il che significa \[\sin \angolo BCA=\cos \angolo BAC=0.2.\]

Risposta: 0.2

Compito 3 #2877

Livello del compito: più difficile dell'Esame di Stato Unificato

Date le linee rette $a, b, c$ che si intersecano in un punto e l'angolo tra due qualsiasi di esse è uguale a $60^\circ$ . Trova $\cos^(-1)\alpha$ , dove $\alpha$ è l'angolo tra il piano formato dalle linee $a$ e $c$ e il piano formato dalle linee $ b\ ) e \(c$ . Dai la tua risposta in gradi.

Lascia che le linee si intersechino nel punto $O$ . Poiché l'angolo formato da due di esse è uguale a $60^\circ$, tutte e tre le rette non possono giacere sullo stesso piano. Segniamo il punto $A$ sulla linea $a$ e disegniamo $AB\perp b$ e $AC\perp c$ . Poi $\triangolo AOB=\triangolo AOC$ come rettangolare lungo l'ipotenusa e l'angolo acuto. Pertanto, $OB=OC$ e $AB=AC$ .
Facciamo $AH\perp (BOC)$ . Quindi dal teorema sulle tre perpendicolari $HC\perp c$ , $HB\perp b$ . Poiché $AB=AC$ , allora $\triangolo AHB=\triangolo AHC$ come rettangolare lungo l'ipotenusa e la gamba. Pertanto, $HB=HC$ . Ciò significa che $OH$ è la bisettrice dell'angolo $BOC$ (poiché il punto $H$ è equidistante dai lati dell'angolo).

Si noti che in questo modo abbiamo costruito anche l'angolo lineare dell'angolo diedro formato dal piano formato dalle rette $a$ e $c$ e il piano formato dalle rette $b$ e $c $ . Questo è l'angolo $ACH$ .

Troviamo questo angolo. Poiché abbiamo scelto il punto $A$ arbitrariamente, scegliamolo in modo che $OA=2$ . Quindi in rettangolare $\triangolo AOC$ : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Poiché $OH$ è una bisettrice, allora $\angle HOC=30^\circ$ , quindi, in un rettangolo $\triangle HOC$ : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Quindi dal rettangolare $\triangolo ACH$ : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Risposta: 3

Compito 4 #2910

Livello del compito: più difficile dell'Esame di Stato Unificato

I piani $\pi_1$ e $\pi_2$ si intersecano lungo la retta $l$ su cui giacciono i punti $M$ e $N$. I segmenti $MA$ e $MB$ sono perpendicolari alla retta $l$ e giacciono rispettivamente nei piani $\pi_1$ e $\pi_2$ e $MN = 15 $ , $AN = 39$ , $BN = 17$ , $AB = 40$ . Trova $3\cos\alpha$ , dove $\alpha$ è l'angolo tra i piani $\pi_1$ e $\pi_2$ .

Il triangolo $AMN$ è rettangolo, $AN^2 = AM^2 + MN^2$, da cui \ Il triangolo $BMN$ è rettangolo, $BN^2 = BM^2 + MN^2$, da cui \Scriviamo il teorema del coseno per il triangolo $AMB$: \ Poi \ Poiché l'angolo $\alpha$ tra i piani è angolo acuto, e $\angle AMB$ si è rivelato ottuso, quindi $\cos\alpha=\dfrac5(12)$ . Poi \

Risposta: 1.25

Compito 5 #2911

Livello del compito: più difficile dell'Esame di Stato Unificato

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ è un parallelepipedo, $ABCD$ è un quadrato di lato $a$, il punto $M$ è la base della perpendicolare caduta dal punto $A_1$ al piano \ ((ABCD)\) , inoltre, $M$ è il punto di intersezione delle diagonali del quadrato $ABCD$ . È risaputo che $A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a$. Trova l'angolo tra i piani $(ABCD)$ e $(AA_1B_1B)$ . Dai la tua risposta in gradi.

Costruiamo $MN$ perpendicolare ad $AB$ come mostrato in figura.

Poiché $ABCD$ è un quadrato con lato $a$ e $MN\perp AB$ e $BC\perp AB$ , allora $MN\parallelo BC$ . Poiché $M$ è il punto di intersezione delle diagonali del quadrato, allora $M$ è il centro di $AC$, quindi $MN$ è la linea mediana e $MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a$.
$MN$ è la proiezione di $A_1N$ sul piano $(ABCD)$, e $MN$ è perpendicolare a $AB$, quindi, per il teorema delle tre perpendicolari, \ (A_1N\) è perpendicolare a $AB $ e l'angolo tra i piani $(ABCD)$ e $(AA_1B_1B)$ è $\angle A_1NM$ .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Risposta: 60

Compito 6 #1854

Livello del compito: più difficile dell'Esame di Stato Unificato

In un quadrato $ABCD$ : $O$ – il punto di intersezione delle diagonali; $S$ – non giace nel piano del quadrato, $SO \perp ABC$ . Trova l'angolo tra i piani $ASD$ e $ABC$ se $SO = 5$ e $AB = 10$ .

I triangoli rettangoli $\triangle SAO$ e $\triangle SDO$ sono uguali in due lati e l'angolo compreso tra loro ($SO \perp ABC$ $\Rightarrow$ $\angolo SOA = \angolo SOD = 90^\circ$; $AO = FARE$, perché $O$ – punto di intersezione delle diagonali del quadrato, $SO$ – lato comune) $\Rightarrow$ $AS = SD$ $\Rightarrow$ $\triangle ASD\ ) – isoscele. Il punto \(K$ è il centro di $AD$, quindi $SK$ è l'altezza nel triangolo $\triangle ASD$, e $OK$ è l'altezza nel triangolo $ AOD$ $\ Rightarrow$ il piano $SOK$ è perpendicolare ai piani $ASD$ e $ABC$ $\Rightarrow$ $\angle SKO$ – angolo lineare uguale all'angolo desiderato angolo diedro.

In $\triangolo SKO$ : $OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO$$\Rightarrow$ $\triangle SOK$ – triangolo rettangolo isoscele $\Rightarrow$ $\angle SKO = 45^\circ$ .

Risposta: 45

Compito 7 #1855

Livello del compito: più difficile dell'Esame di Stato Unificato

In un quadrato $ABCD$ : $O$ – il punto di intersezione delle diagonali; $S$ – non giace nel piano del quadrato, $SO \perp ABC$ . Trova l'angolo tra i piani $ASD$ e $BSC$ se $SO = 5$ e $AB = 10$ .

I triangoli rettangoli $\triangle SAO$ , $\triangle SDO$ , $\triangle SOB$ e $\triangle SOC$ sono uguali in due lati e l'angolo compreso tra loro ($SO \perp ABC $ $\Freccia destra$ $\angolo SOA = \angolo SOD = \angolo SOB = \angolo SOC = 90^\circ$; $AO = OD = OB = OC$, perché $O$ – punto di intersezione delle diagonali del quadrato, $SO$ – lato comune) $\Rightarrow$ $AS = DS = BS = CS$ $\Rightarrow$ $ \triangle ASD$ e $\triangle BSC$ sono isosceli. Il punto $K$ è il centro di $AD$, quindi $SK$ è l'altezza nel triangolo $\triangle ASD$, e $OK$ è l'altezza nel triangolo $ AOD$ $\ Rightarrow$ il piano $SOK$ è perpendicolare al piano $ASD$ . Il punto $L$ è il centro di $BC$, quindi $SL$ è l'altezza nel triangolo $\triangle BSC$, e $OL$ è l'altezza nel triangolo $ BOC$ $\ Rightarrow$ il piano $SOL$ (noto anche come piano $SOK$) è perpendicolare al piano $BSC$ . Otteniamo quindi che $\angolo KSL$ è un angolo lineare uguale all'angolo diedro desiderato.

$KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10$$\Freccia destra$ $OL = 5$ ; $SK = SL$ – altezze uguali triangoli isosceli, che può essere trovato utilizzando il teorema di Pitagora: $SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50$. Lo si può notare $SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2$$\Rightarrow$ per un triangolo $\triangle KSL$ vale il teorema di Pitagora inverso $\Rightarrow$ $\triangle KSL$ – triangolo rettangolo $\Rightarrow$ $\angle KSL = 90 ^\ circo$ .

Risposta: 90

La preparazione degli studenti a sostenere l'Esame di Stato Unificato in matematica, di regola, inizia con la ripetizione delle formule di base, comprese quelle che consentono di determinare l'angolo tra i piani. Nonostante il fatto che questa sezione della geometria sia trattata in modo sufficientemente dettagliato all'interno curriculum scolastico, molti laureati devono ripetere il materiale di base. Capendo come trovare l'angolo tra i piani, gli studenti delle scuole superiori potranno calcolare rapidamente la risposta corretta quando risolvono un problema e contare su come ottenere punteggi decenti sui risultati del superamento dell'esame di stato unificato.

Principali sfumature

Per garantire che la domanda su come trovare un angolo diedro non causi difficoltà, ti consigliamo di seguire un algoritmo di soluzione che ti aiuterà a far fronte ai compiti dell'esame di stato unificato.

Per prima cosa devi determinare la linea retta lungo la quale i piani si intersecano.

Quindi è necessario selezionare un punto su questa linea e tracciarvi due perpendicolari.

Passo successivo- trovare funzione trigonometrica angolo diedro formato dalle perpendicolari. Il modo più conveniente per farlo è con l'aiuto del triangolo risultante, di cui l'angolo fa parte.

La risposta sarà il valore dell'angolo o la sua funzione trigonometrica.

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Durante le lezioni il giorno prima superamento dell'Esame di Stato Unificato Molti scolari si trovano ad affrontare il problema di trovare definizioni e formule che consentano loro di calcolare l'angolo tra 2 piani. Non sempre un libro di testo scolastico è a portata di mano esattamente quando serve. E per trovare le formule necessarie e gli esempi della loro corretta applicazione, anche per trovare l'angolo tra gli aerei su Internet online, a volte è necessario dedicare molto tempo.

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Concetto di angolo diedro

Per introdurre il concetto di angolo diedro ricordiamo innanzitutto uno degli assiomi della stereometria.

Qualsiasi piano può essere diviso in due semipiani della linea $a$ giacente in questo piano. In questo caso i punti che giacciono sullo stesso semipiano si trovano da un lato della retta $a$, mentre i punti che giacciono su semipiani diversi si trovano dallo stesso lato. lati diversi dalla retta $a$ (Fig. 1).

Immagine 1.

Su questo assioma si basa il principio della costruzione di un angolo diedro.

Definizione 1

La figura si chiama angolo diedro, se è costituito da una linea e da due semipiani di questa linea che non appartengono allo stesso piano.

In questo caso si chiamano semipiani dell'angolo diedro bordi, e la retta che separa i semipiani è bordo diedro(Fig. 1).

Figura 2. Angolo diedro

Misura in gradi dell'angolo diedro

Definizione 2

Scegliamo un punto arbitrario $A$ sul bordo. L'angolo formato da due rette giacenti in semipiani diversi, perpendicolari ad uno spigolo e che si intersecano nel punto $A$ si chiama angolo diedro lineare(Fig. 3).

Figura 3.

Ovviamente ogni angolo diedro ha un numero infinito di angoli lineari.

Teorema 1

Tutti gli angoli lineari di un angolo diedro sono uguali tra loro.

Prova.

Consideriamo due angoli lineari $AOB$ e $A_1(OB)_1$ (Fig. 4).

Figura 4.

Poiché i raggi $OA$ e $(OA)_1$ giacciono nello stesso semipiano $\alpha $ e sono perpendicolari alla stessa retta, allora sono codirezionali. Poiché i raggi $OB$ e $(OB)_1$ giacciono nello stesso semipiano $\beta $ e sono perpendicolari alla stessa retta, allora sono codirezionali. Quindi

\[\angolo AOB=\angolo A_1(OB)_1\]

A causa dell'arbitrarietà della scelta degli angoli lineari. Tutti gli angoli lineari di un angolo diedro sono uguali tra loro.

Il teorema è dimostrato.

Definizione 3

La misura in gradi di un angolo diedro è la misura in gradi dell'angolo lineare di un angolo diedro.

Esempi di problemi

Esempio 1

Siano dati due piani non perpendicolari $\alpha $ e $\beta $ che si intersecano lungo la retta $m$. Il punto $A$ appartiene al piano $\beta$. $AB$ è perpendicolare alla linea $m$. $AC$ è perpendicolare al piano $\alpha $ (il punto $C$ appartiene a $\alpha $). Dimostrare che l'angolo $ABC$ è un angolo lineare di un angolo diedro.

Prova.

Disegniamo un'immagine in base alle condizioni del problema (Fig. 5).

Figura 5.

Per dimostrarlo ricordiamo il seguente teorema

Teorema 2: Una retta passante per la base di una inclinata è ad essa perpendicolare, perpendicolare alla sua proiezione.

Poiché $AC$ è perpendicolare al piano $\alpha $, il punto $C$ è la proiezione del punto $A$ sul piano $\alpha $. Pertanto $BC$ è una proiezione obliqua di $AB$. Per il Teorema 2, $BC$ è perpendicolare allo spigolo dell'angolo diedro.

Quindi, l'angolo $ABC$ soddisfa tutti i requisiti per definire un angolo diedro lineare.

Esempio 2

L'angolo diedro è $30^\circ$. Su una delle facce si trova il punto $A$, che si trova a una distanza di $4$ cm dall'altra faccia. Trova la distanza dal punto $A$ allo spigolo dell'angolo diedro.

Soluzione.

Diamo un'occhiata alla Figura 5.

Per condizione abbiamo $AC=4\cm$.

Per definizione della misura in gradi di un angolo diedro, abbiamo che l'angolo $ABC$ è uguale a $30^\circ$.

Il triangolo $ABC$ è un triangolo rettangolo. Per definizione di seno di un angolo acuto

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Argomento della lezione: "Angolo diedro".

Lo scopo della lezione: introduzione del concetto di angolo diedro e del suo angolo lineare.

Compiti:

Educativo: considerare i compiti sull'applicazione di questi concetti, sviluppare l'abilità costruttiva di trovare l'angolo tra i piani;

Sviluppo: sviluppo pensiero creativo studenti, auto-sviluppo personale degli studenti, sviluppo del discorso degli studenti;

Educativo: coltivare una cultura del lavoro mentale, una cultura comunicativa, una cultura riflessiva.

Tipo di lezione: lezione per apprendere nuove conoscenze

Metodi di insegnamento: esplicativo ed illustrativo

Attrezzatura: computer, lavagna interattiva.

Letteratura:

Geometria. Classi 10-11: libro di testo. per le classi 10-11. educazione generale istituzioni: nozioni di base e profilo. livelli / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, ecc.] - 18a ed. – M.: Educazione, 2009. – 255 p.

Piano della lezione:

Organizzare il tempo(2 minuti)

Aggiornamento delle conoscenze (5 min)

Imparare nuovo materiale (12 min)

Rafforzamento del materiale appreso (21 min)

Compiti a casa (2 minuti)

Riassumendo (3 minuti)

Durante le lezioni:

1. Momento organizzativo.

Comprende l'insegnante che saluta la classe, prepara l'aula per la lezione e controlla gli assenti.

2. Aggiornamento delle conoscenze di base.

Insegnante: Nell'ultima lezione hai scritto lavoro indipendente. In generale, il lavoro è stato scritto bene. Ora ripetiamolo un po'. Come si chiama un angolo in un piano?

Alunno: Un angolo su un piano è una figura formata da due raggi provenienti da un punto.

Insegnante: Come si chiama l'angolo tra le linee nello spazio?

Alunno: L'angolo tra due linee che si intersecano nello spazio è il più piccolo degli angoli formati dai raggi di queste linee con il vertice nel punto della loro intersezione.

Alunno: L'angolo tra le linee che si intersecano è l'angolo tra le linee che si intersecano, rispettivamente, parallele ai dati.

Insegnante: Come si chiama l'angolo formato da una retta e un piano?

Alunno: L'angolo tra una linea retta e un pianoViene chiamato qualsiasi angolo compreso tra una linea retta e la sua proiezione su questo piano.

3. Studio di nuovo materiale.

Insegnante: Nella stereometria, insieme a tali angoli, viene considerato un altro tipo di angolo: gli angoli diedri. Probabilmente hai già intuito qual è l'argomento della lezione di oggi, quindi apri i tuoi quaderni, scrivi la data di oggi e l'argomento della lezione.

Scrivi alla lavagna e sui quaderni:

10.12.14.

Angolo diedro.

Insegnante : Per introdurre il concetto di angolo diedro, occorre ricordare che ogni retta tracciata su un dato piano divide questo piano in due semipiani(Fig. 1, a)

Insegnante : Immaginiamo di aver piegato il piano lungo una linea retta in modo che due semipiani delimitati non giacciano più sullo stesso piano (Fig. 1, b). La figura risultante è l'angolo diedro. Un angolo diedro è una figura formata da una retta e da due semipiani con confine comune che non appartengono allo stesso piano. I semipiani che formano un angolo diedro si chiamano facce. Un angolo diedro ha due lati, da qui il nome angolo diedro. La linea retta - confine comune dei semipiani - è chiamata spigolo dell'angolo diedro. Scrivi la definizione sul tuo quaderno.

Un angolo diedro è una figura formata da una retta e da due semipiani con confine comune che non appartengono allo stesso piano.

Insegnante : Nella vita di tutti i giorni incontriamo spesso oggetti che hanno la forma di un angolo diedro. Dare esempi.

Alunno : Cartella semiaperta.

Alunno : La parete della stanza è unita al pavimento.

Alunno : Tetti a due falde degli edifici.

Insegnante : Giusto. E ci sono moltissimi esempi del genere.

Insegnante : Come sai, gli angoli su un piano si misurano in gradi. Probabilmente hai una domanda: come vengono misurati gli angoli diedri? Questo viene fatto come segue.Segniamo un punto sul bordo dell'angolo diedro e disegniamo un raggio perpendicolare al bordo da questo punto su ciascuna faccia. L'angolo formato da questi raggi è chiamato angolo lineare dell'angolo diedro. Fai un disegno sui tuoi quaderni.

Scrivi alla lavagna e sui quaderni.

DI ∈ a, JSC ⊥ a, VO ⊥ UN, SAB.D– angolo diedro,∠ AOB– angolo lineare dell'angolo diedro.

Insegnante : Tutti gli angoli lineari di un angolo diedro sono uguali. Realizza un altro disegno come questo.

Insegnante : Dimostriamolo. Consideriamo due angoli lineari AOB ePQR. Raggi OA eQPgiacciono sulla stessa faccia e sono perpendicolariOQ, il che significa che sono co-diretti. Allo stesso modo, i raggi OB eQRco-diretto. Significa,∠ AOB= ∠ PQR(come gli angoli con i lati allineati).

Insegnante : Bene, ora la risposta alla nostra domanda è come viene misurato l'angolo diedro.La misura in gradi di un angolo diedro è la misura in gradi del suo angolo lineare. Ridisegna le immagini di un angolo diedro acuto, retto e ottuso dal libro di testo a pagina 48.

4. Consolidamento del materiale studiato.

Insegnante : Realizza disegni per i compiti.

№ 1 . Dato: ΔABC, AC = BC, AB giace nel pianoα, CD ⊥ α, C∉ α. Costruisci l'angolo lineare dell'angolo diedroCABD.

Alunno : Soluzione:CM. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - ricercato.

№ 2. Dato: ΔABC, ∠ C= 90°, BC giace sul pianoα, JSC⊥ α, UN∈ α.

Costruisci l'angolo lineare dell'angolo diedroABCO.

Alunno : Soluzione:AB ⊥ AVANTI CRISTO., JSC⊥ BC significa sistema operativo⊥ Sole.∠ ACO - ricercato.

№ 3 . Dato: ΔABC, ∠ C = 90°, AB giace nel pianoα, CD⊥ α, C∉ α. Costruireangolo diedro lineareDABC.

Alunno : Soluzione: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,Non so ⊥ AB significa∠ DKC - ricercato.

№ 4 . Dato:DABC-tetraedro,FARE⊥ ABC.Costruire l'angolo lineare dell'angolo diedroABCD.

Alunno : Soluzione:DM ⊥ sole,FARE ⊥ VS significa OM⊥ Sole;∠ OMD - ricercato.

5. Riassumendo.

Insegnante: Cosa hai imparato di nuovo in classe oggi?

Studenti : Quello che viene chiamato angolo diedro, angolo lineare, come si misura l'angolo diedro.

Insegnante : Cosa hanno ripetuto?

Studenti : Ciò che viene chiamato angolo su un piano; angolo tra rette.

6.Compiti a casa.

Scrivi alla lavagna e nei tuoi diari: paragrafo 22, n. 167, n. 170.

Angolo diedro. Angolo diedro lineare. Un angolo diedro è una figura formata da due semipiani che non appartengono allo stesso piano e hanno un confine comune: la retta a. I semipiani che formano un angolo diedro si chiamano facce, e il confine comune di questi semipiani si chiama spigolo dell'angolo diedro. L'angolo lineare di un angolo diedro è un angolo i cui lati sono i raggi lungo i quali le facce dell'angolo diedro sono intersecate da un piano perpendicolare allo spigolo dell'angolo diedro. Ogni angolo diedro ha un numero qualsiasi di angoli lineari: per ciascun punto di uno spigolo si può tracciare un piano perpendicolare a questo spigolo; I raggi lungo i quali questo piano interseca le facce di un angolo diedro formano angoli lineari.

Tutti gli angoli lineari di un angolo diedro sono uguali tra loro. Proviamo che se gli angoli diedri formati dal piano della base della piramide CABC e dai piani delle sue facce laterali sono uguali, allora la base della perpendicolare tracciata dal vertice K è il centro del cerchio inscritto nel triangolo ABC.

Prova. Innanzitutto costruiamo angoli lineari di angoli diedri uguali. Per definizione, il piano di un angolo lineare deve essere perpendicolare allo spigolo dell'angolo diedro. Pertanto, lo spigolo di un angolo diedro deve essere perpendicolare ai lati dell'angolo lineare. Se KO è perpendicolare al piano base, allora possiamo disegnare OR perpendicolare AC, OR perpendicolare SV, OQ perpendicolare AB, e quindi collegare i punti P, Q, R CON il punto K. Costruiremo quindi una proiezione di RK, QK inclinati , RK in modo che gli spigoli AC, NE, AB siano perpendicolari a queste proiezioni. Di conseguenza anche queste nervature sono perpendicolari a quelle inclinate. E quindi i piani dei triangoli ROK, QOK, ROK sono perpendicolari ai corrispondenti spigoli dell'angolo diedro e formano quegli angoli lineari uguali di cui si parla nella condizione. I triangoli rettangoli ROK, QOK, ROK sono congruenti (poiché hanno un cateto comune OK e gli angoli opposti a questo cateto sono uguali). Pertanto, OR = OR = OQ. Se disegniamo una circonferenza di centro O e raggio OP, allora i lati del triangolo ABC sono perpendicolari ai raggi OP, OR e OQ e quindi sono tangenti a questa circonferenza.

Perpendicolarità dei piani. I piani alfa e beta si dicono perpendicolari se l'angolo lineare di uno degli angoli diedri formati alla loro intersezione è pari a 90." Segni di perpendicolarità di due piani Se uno dei due piani passa per una linea perpendicolare all'altro piano, allora questi piani sono perpendicolari.

La figura mostra un parallelepipedo rettangolare. Le sue basi sono i rettangoli ABCD e A1B1C1D1. E le nervature laterali AA1 BB1, CC1, DD1 sono perpendicolari alle basi. Ne consegue che AA1 è perpendicolare ad AB, cioè la faccia laterale è un rettangolo. Pertanto, è possibile giustificare le proprietà parallelepipedo rettangolare: In un parallelepipedo rettangolare, tutte e sei le facce sono rettangoli. In un parallelepipedo rettangolare tutte e sei le facce sono rettangoli. Tutti gli angoli diedri di un parallelepipedo rettangolo sono retti. Tutti gli angoli diedri di un parallelepipedo rettangolo sono retti.

Teorema Quadrato della diagonale di un parallelepipedo rettangolo pari alla somma quadrati delle sue tre dimensioni. Torniamo alla figura e dimostriamo che AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Poiché il bordo CC1 è perpendicolare alla base ABCD, l'angolo ACC1 è retto. Da triangolo rettangolo ACC1 utilizzando il teorema di Pitagora otteniamo AC12=AC2+CC12. Ma AC è la diagonale del rettangolo ABCD, quindi AC2 = AB2 + AD2. Inoltre, CC1 = AA1. Pertanto AC12= AB2+AD2+AA12 Il teorema è dimostrato.