Un parallelepipedo retto a base quadrata. Parallelepipedo rettangolare

Parallelepipedo rettangolare

Un parallelepipedo rettangolare è un parallelepipedo retto in cui tutte le facce sono rettangoli.

Basta guardarci intorno e vedremo che gli oggetti intorno a noi hanno una forma simile ad un parallelepipedo. Possono essere distinti per colore, hanno molti dettagli aggiuntivi, ma se queste sottigliezze vengono scartate, possiamo dire che, ad esempio, un armadietto, una scatola, ecc., Hanno approssimativamente la stessa forma.

Quasi ogni giorno ci imbattiamo nel concetto di parallelepipedo rettangolare! Guardati intorno e dimmi dove vedi dei parallelepipedi rettangolari? Guarda il libro, ha esattamente la stessa forma! Un mattone, una scatola di fiammiferi, un blocco di legno hanno la stessa forma, e anche in questo momento ti trovi all'interno di un parallelepipedo rettangolare, perché l'aula scolastica ne è l'interpretazione più brillante figura geometrica.

Esercizio: Quali esempi di parallelepipedo puoi nominare?

Diamo uno sguardo più da vicino al cuboide. E cosa vediamo?

Innanzitutto vediamo che questa figura è formata da sei rettangoli, che sono le facce di un cuboide;

In secondo luogo, un cuboide ha otto vertici e dodici spigoli. I bordi di un cuboide sono i lati delle sue facce, mentre i vertici del cuboide sono i vertici delle facce.

Esercizio:

1. Qual è il nome di ciascuna delle facce di un parallelepipedo rettangolare? 2. Grazie a quali parametri si può misurare un parallelogramma? 3. Definire le facce opposte.

Tipi di parallelepipedi

Ma i parallelepipedi non sono solo rettangolari, ma possono anche essere dritti e inclinati, e le linee rette si dividono in rettangolari, non rettangolari e cubi.

Compito: guarda l'immagine e dì quali parallelepipedi sono raffigurati su di essa. In cosa differisce un parallelepipedo rettangolare da un cubo?

Proprietà di un parallelepipedo rettangolare

Un parallelepipedo rettangolare ha una serie di proprietà importanti:

Innanzitutto, il quadrato della diagonale di questa figura geometrica è uguale alla somma dei quadrati dei suoi tre parametri principali: altezza, larghezza e lunghezza.

In secondo luogo, tutte e quattro le sue diagonali sono assolutamente identiche.

In terzo luogo, se tutti e tre i parametri del parallelepipedo sono uguali, cioè lunghezza, larghezza e altezza sono uguali, allora tale parallelepipedo è chiamato cubo e tutte le sue facce saranno uguali allo stesso quadrato.

Esercizio

1. Un parallelepipedo rettangolare ha i lati uguali? Se ce ne sono, mostrali nella figura. 2. Da quali forme geometriche sono costituite le facce di un parallelepipedo rettangolare? 3. Qual è la disposizione dei bordi uguali l'uno rispetto all'altro? 4. Nomina il numero di coppie di facce uguali di questa figura. 5. Trova i bordi di un parallelepipedo rettangolare che ne indicano la lunghezza, la larghezza, l'altezza. Quanti ne hai contati?

Compito

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Sapete che il famoso illusionista David Blaine trascorse 44 giorni in un parallelepipedo di vetro sospeso sul Tamigi come parte di un esperimento. Per questi 44 giorni non mangiò, ma bevve solo acqua. Nella sua prigione volontaria, David portò con sé solo materiale per scrivere, un cuscino, un materasso e dei fazzoletti.

Quando eri piccolo e giocavi con i cubi, potresti aver realizzato le forme mostrate nella Figura 154. Queste cifre danno un'idea di parallelepipedo rettangolare. Ad esempio, una scatola di cioccolatini, un mattoncino, una scatola di fiammiferi, una scatola da imballaggio e una scatola di succhi hanno la forma di un parallelepipedo rettangolare.

La Figura 155 mostra un parallelepipedo rettangolare ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Un parallelepipedo rettangolare è limitato da sei bordi. Ogni faccia è un rettangolo, cioè La superficie di un parallelepipedo rettangolare è composta da sei rettangoli.

Si chiamano i lati delle facce bordi di un parallelepipedo rettangolare, vertici delle facce − vertici di un parallelepipedo rettangolare. Ad esempio, i segmenti AB, BC, A 1 B 1 sono bordi e i punti B, A 1, C 1 sono vertici del parallelepipedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 155).

Un parallelepipedo rettangolare ha 8 vertici e 12 spigoli.

Le facce AA 1 B 1 B e DD 1 C 1 C non hanno vertici comuni. Tali bordi sono chiamati opposto. Nel parallelepipedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ci sono altre due coppie di facce opposte: i rettangoli ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1, nonché i rettangoli AA 1 D 1 D e BB 1 C 1 C.

Le facce opposte di un parallelepipedo rettangolo sono uguali.

Nella Figura 155, la faccia è chiamata ABCD base parallelepipedo rettangolare ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

La superficie di un parallelepipedo è la somma delle aree di tutte le sue facce.

Per avere un'idea delle dimensioni di un parallelepipedo rettangolare è sufficiente considerare tre spigoli qualsiasi che abbiano un vertice in comune. Le lunghezze di questi bordi sono chiamate misurazioni parallelepipedo rettangolare. Per distinguerli usano nomi: lunghezza, larghezza, altezza(Fig. 156).

Si chiama parallelepipedo rettangolare in cui tutte le dimensioni sono uguali cubo(Fig. 157). La superficie del cubo è composta da sei quadrati uguali.

Se una scatola a forma di parallelepipedo rettangolare viene aperta (Fig. 158) e tagliata lungo quattro bordi verticali (Fig. 159), e poi spiegata, otteniamo una figura composta da sei rettangoli (Fig. 160). Questa figura si chiama sviluppo di un parallelepipedo rettangolare.

La Figura 161 mostra una figura composta da sei quadrati uguali. È una rete di un cubo.

Utilizzando uno sviluppo è possibile realizzare il modello di un parallelepipedo rettangolare.

Questo può essere fatto, ad esempio, in questo modo. Disegnane il contorno su carta. Ritagliatelo, piegatelo lungo gli spicchi corrispondenti ai bordi del parallelepipedo rettangolare (vedi Fig. 159), e incollatelo tra loro.

Un parallelepipedo rettangolare è un tipo di poliedro, una figura la cui superficie è costituita da poligoni. La Figura 162 mostra i poliedri.

Un tipo di poliedro è piramide.

Questa cifra non ti è nuova. Studiare il corso Mondo antico, hai conosciuto una delle sette meraviglie del mondo: le piramidi egiziane.

La Figura 163 mostra le piramidi MABC, MABCD, MABCDE. La superficie della piramide è composta da facce laterali− triangoli aventi un vertice comune, e motivi(Fig. 164). Il vertice comune delle facce laterali si chiama bordi della base della piramide, e i lati delle facce laterali che non appartengono alla base lo sono bordi laterali della piramide.

Le piramidi possono essere classificate in base al numero di lati della base: triangolare, quadrangolare, pentagonale (vedi Fig. 163), ecc.

La superficie di una piramide triangolare è composta da quattro triangoli. Ognuno di questi triangoli può fungere da base di una piramide. Questa base è un tipo di piramide, qualsiasi faccia della quale può fungere da base.

La Figura 165 mostra una figura che può servire sviluppo di una piramide quadrangolare. È formato da un quadrato e da quattro triangoli isosceli uguali.

La Figura 166 mostra una figura composta da quattro triangoli equilateri uguali. Usando questa figura, puoi creare un modello di una piramide triangolare, le cui facce sono tutte triangoli equilateri.

I poliedri sono esempi corpi geometrici.

La Figura 167 mostra qualcosa di familiare corpi geometrici, che non sono poliedri. Imparerai di più su questi corpi in prima media.

In questa lezione tutti potranno studiare l'argomento “Pallellelepipedo rettangolare”. All'inizio della lezione ripeteremo cosa sono i parallelepipedi arbitrari e diritti, ricorderemo le proprietà delle loro facce opposte e delle diagonali del parallelepipedo. Poi vedremo cos'è un cuboide e ne discuteremo le proprietà di base.

Argomento: Perpendicolarità di rette e piani

Lezione: Cuboide

Si chiama una superficie composta da due parallelogrammi uguali ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 e quattro parallelogrammi ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 parallelepipedo(Fig. 1).

Riso. 1 Parallelepipedo

Cioè: abbiamo due parallelogrammi uguali ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 (basi), giacciono su piani paralleli in modo che i bordi laterali AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 siano paralleli. Pertanto, viene chiamata una superficie composta da parallelogrammi parallelepipedo.

Pertanto la superficie di un parallelepipedo è la somma di tutti i parallelogrammi che compongono il parallelepipedo.

1. Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e uguali.

(le forme sono uguali, cioè si possono unire sovrapponendole)

Per esempio:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (parallelogrammi uguali per definizione),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (poiché AA 1 B 1 B e DD 1 C 1 C sono facce opposte del parallelepipedo),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (poiché AA 1 D 1 D e BB 1 C 1 C sono facce opposte del parallelepipedo).

2. Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e in questo punto sono divise in due.

Le diagonali del parallelepipedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B si intersecano in un punto O, e ciascuna diagonale è divisa a metà da questo punto (Fig. 2).

Riso. 2 Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano e sono divise a metà dal punto di intersezione.

3. Ci sono tre quadrupli di lati uguali e paralleli di un parallelepipedo: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.

Definizione. Un parallelepipedo si dice diritto se i suoi spigoli laterali sono perpendicolari alle basi.

Lasciare che il bordo laterale AA 1 sia perpendicolare alla base (Fig. 3). Ciò significa che la retta AA 1 è perpendicolare alle rette AD e AB, che giacciono nel piano della base. Ciò significa che le facce laterali contengono rettangoli. E le basi contengono parallelogrammi arbitrari. Indichiamo ∠BAD = φ, l'angolo φ può essere qualsiasi.

Riso. 3 Parallelepipedo destro

Quindi un parallelepipedo retto è un parallelepipedo in cui gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi del parallelepipedo.

Definizione. Il parallelepipedo si dice rettangolare, se i suoi bordi laterali sono perpendicolari alla base. Le basi sono rettangoli.

Il parallelepipedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 è rettangolare (Fig. 4), se:

1. AA 1 ⊥ ABCD (spigolo laterale perpendicolare al piano della base, cioè un parallelepipedo rettilineo).

2. ∠BAD = 90°, cioè la base è un rettangolo.

Riso. 4 Parallelepipedo rettangolare

Un parallelepipedo rettangolare ha tutte le proprietà di un parallelepipedo arbitrario. Ma ci sono ulteriori proprietà che derivano dalla definizione di cuboide.

COSÌ, cuboideè un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari alla base. La base di un cuboide è un rettangolo.

1. In un parallelepipedo rettangolare tutte e sei le facce sono rettangoli.

ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 sono rettangoli per definizione.

2. Le nervature laterali sono perpendicolari alla base. Ciò significa che tutte le facce laterali di un parallelepipedo rettangolare sono rettangoli.

3. Tutti gli angoli diedri di un parallelepipedo rettangolo sono retti.

Consideriamo, ad esempio, l'angolo diedro di un parallelepipedo rettangolo con lo spigolo AB, cioè l'angolo diedro tra i piani ABC 1 e ABC.

AB è un bordo, il punto A 1 si trova su un piano - nel piano ABB 1, e il punto D nell'altro - nel piano A 1 B 1 C 1 D 1. Allora l'angolo diedro in esame può essere indicato anche come segue: ∠A 1 ABD.

Prendiamo il punto A sul bordo AB. AA 1 è perpendicolare allo spigolo AB nel piano АВВ-1, AD è perpendicolare allo spigolo AB nel piano ABC. Quindi, ∠A 1 d.C. - angolo lineare dato l'angolo diedro. ∠A 1 AD = 90°, il che significa che l'angolo diedro sul bordo AB è 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Allo stesso modo, è dimostrato che qualsiasi angolo diedro di un parallelepipedo rettangolare è retto.

Diagonale quadrata di un cuboide pari alla somma quadrati delle sue tre dimensioni.

Nota. Le lunghezze dei tre bordi che partono da un vertice di un cuboide sono le misure del cuboide. A volte sono chiamati lunghezza, larghezza, altezza.

Dato: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parallelepipedo rettangolare (Fig. 5).

Dimostrare: .

Riso. 5 Parallelepipedo rettangolare

Prova:

La retta CC 1 è perpendicolare al piano ABC, e quindi alla retta AC. Ciò significa che il triangolo CC 1 A è rettangolo. Secondo il teorema di Pitagora:

Consideriamo triangolo rettangolo ABC. Secondo il teorema di Pitagora:

Ma BC e AD sono lati opposti del rettangolo. Quindi a.C. = d.C. Poi:

Perché , UN , Quello. Poiché CC 1 = AA 1, questo è ciò che doveva essere dimostrato.

Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali.

Indichiamo le dimensioni del parallelepipedo ABC come a, b, c (vedi Fig. 6), quindi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Il prisma si chiama parallelepipedo, se le sue basi sono parallelogrammi. Cm. Fig. 1.

Proprietà di un parallelepipedo:

Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele (cioè giacciono su piani paralleli) e uguali.

Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e in questo punto sono divise in due.

Facce adiacenti di un parallelepipedo– due facce che hanno un bordo comune.

Facce opposte di un parallelepipedo– facce che non hanno bordi comuni.

Vertici opposti di un parallelepipedo– due vertici che non appartengono alla stessa faccia.

Diagonale di un parallelepipedo– un segmento che collega i vertici opposti.

Se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi si chiama parallelepipedo diretto.

Un parallelepipedo retto le cui basi sono rettangoli si chiama rettangolare. Si chiama prisma le cui facce sono tutte quadrate cubo.

Parallelepipedo- un prisma le cui basi sono parallelogrammi.

Parallelepipedo destro- un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari al piano della base.

Parallelepipedo rettangolareè un parallelepipedo retto le cui basi sono rettangoli.

Cubo– un parallelepipedo rettangolare con bordi uguali.

parallelepipedo chiamato prisma la cui base è un parallelogramma; Quindi un parallelepipedo ha sei facce e tutte sono parallelogrammi.

Le facce opposte sono uguali e parallele a coppie. Il parallelepipedo ha quattro diagonali; si intersecano tutti in un punto e in esso sono divisi a metà. Qualsiasi faccia può essere presa come base; volume uguale al prodotto area di base per altezza: V = Sh.

Un parallelepipedo le cui quattro facce laterali sono rettangoli si dice parallelepipedo rettilineo.

Un parallelepipedo retto le cui sei facce sono rettangoli si dice rettangolare. Cm. Fig.2.

Il volume (V) di un parallelepipedo retto è pari al prodotto della superficie di base (S) per l'altezza (h): V = Sh .

Per un parallelepipedo rettangolare, inoltre, vale la formula V=abc, dove a,b,c sono archi.

La diagonale (d) di un parallelepipedo rettangolare è legata ai suoi bordi dalla relazione d2 = a2 + b2 + c2 .

Parallelepipedo rettangolare- un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari alle basi e le basi sono rettangoli.

Proprietà di un parallelepipedo rettangolare:

In un parallelepipedo rettangolare tutte e sei le facce sono rettangoli.

Tutti gli angoli diedri di un parallelepipedo rettangolo sono retti.

Il quadrato della diagonale di un parallelepipedo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni (le lunghezze di tre spigoli che hanno un vertice comune).

Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali.

Un parallelepipedo rettangolare, le cui facce sono tutte quadrate, si chiama cubo. Tutti gli spigoli del cubo sono uguali; il volume (V) di un cubo è espresso dalla formula V=a 3, dove a è lo spigolo del cubo.