L'area di un rombo è uguale al prodotto. Come trovare l'area di un rombo

Nonostante il fatto che la matematica sia la regina delle scienze e l'aritmetica sia la regina della matematica, la geometria è la cosa più difficile da imparare per gli scolari. La planimetria è una branca della geometria che studia le figure piane. Una di queste forme è un rombo. La maggior parte dei problemi nella risoluzione dei quadrilateri derivano dalla ricerca delle loro aree. Sistemiamo le formule conosciute e vari modi calcolo dell'area di un rombo.

Un rombo è un parallelogramma con tutti e quattro i lati uguali. Ricordiamo che un parallelogramma ha quattro angoli e quattro paia di lati paralleli uguali. Come ogni quadrilatero, un rombo ha una serie di proprietà, che si riducono a quanto segue: quando le diagonali si intersecano, formano un angolo pari a 90 gradi (AC ⊥ BD), il punto di intersezione divide ciascuna in due segmenti uguali. Le diagonali di un rombo sono anche le bisettrici dei suoi angoli (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ecc.). Ne consegue che dividono il rombo in quattro uguali triangolo rettangolo. La somma delle lunghezze delle diagonali elevate alla seconda potenza è uguale alla lunghezza del lato alla seconda potenza moltiplicata per 4, cioè BD2 + AC2 = 4AB2. Esistono molti metodi utilizzati in planimetria per calcolare l'area di un rombo, la cui applicazione dipende dai dati di origine. Se si conosce la lunghezza del lato e l'eventuale angolo, è possibile utilizzare la seguente formula: l'area di un rombo è uguale al quadrato del lato moltiplicato per il seno dell'angolo. Dal corso di trigonometria sappiamo che sin (π – α) = sin α, il che significa che nei calcoli è possibile utilizzare il seno di qualsiasi angolo, sia acuto che ottuso. Un caso speciale è il rombo, in cui tutti gli angoli sono retti. Questo è un quadrato. È noto che seno angolo retto

è uguale a uno, quindi l'area di un quadrato è uguale alla lunghezza del suo lato elevato alla seconda potenza.

Se non si conosce la misura dei lati si usa la lunghezza delle diagonali. In questo caso l'area del rombo è pari alla metà del prodotto delle diagonali maggiore e minore. Data la lunghezza nota delle diagonali e la dimensione di qualsiasi angolo, l'area di un rombo viene determinata in due modi. Primo: l'area è la metà del quadrato della diagonale maggiore moltiplicata per la tangente della metà misura di laurea, cioè. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), dove D è la diagonale maggiore, α è l'angolo acuto. Se conosci la dimensione della diagonale minore, useremo la formula 1/2*d 2 *tg(β/2), dove d è la diagonale minore, β è un angolo ottuso. Ricordiamo che la misura di un angolo acuto è inferiore a 90 gradi (la misura di un angolo retto), e un angolo ottuso, di conseguenza, è maggiore di 90 0.

L'area di un rombo può essere trovata utilizzando la lunghezza del lato (ricorda, tutti i lati di un rombo sono uguali) e l'altezza. L'altezza è una perpendicolare abbassata al lato opposto all'angolo o al suo prolungamento. Affinché la base dell'altezza si trovi all'interno del rombo, dovrebbe essere abbassata da un angolo ottuso.

A volte un problema richiede di trovare l'area di un rombo in base ai dati relativi al cerchio inscritto. In questo caso, devi conoscerne il raggio. Esistono due formule che possono essere utilizzate per il calcolo. Quindi, per rispondere alla domanda, puoi raddoppiare il prodotto del lato del rombo e del raggio del cerchio inscritto. In altre parole, devi moltiplicare il diametro del cerchio inscritto per il lato del rombo. Se l'ampiezza dell'angolo è presentata nella formulazione del problema, l'area si trova attraverso il quoziente tra il quadrato del raggio moltiplicato per quattro e il seno dell'angolo.

Come puoi vedere, ci sono molti modi per trovare l'area di un rombo. Naturalmente, ricordare ciascuno di essi richiederà pazienza, attenzione e, ovviamente, tempo. Ma in futuro potrai facilmente scegliere il metodo adatto al tuo compito e scoprirai che la geometria non è difficile.

Piazza figura geometrica - una caratteristica numerica di una figura geometrica che mostra la dimensione di questa figura (parte della superficie limitata dal contorno chiuso di questa figura). La dimensione dell'area è espressa dal numero di unità quadrate in essa contenute.

Formule dell'area del triangolo

1. Formula per l'area di un triangolo per lato e altezza
   Area di un triangolo pari alla metà del prodotto della lunghezza di un lato di un triangolo e della lunghezza dell'altezza tracciata su questo lato
   
2. Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio della circonferenza circoscritta
   
3. Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio del cerchio inscritto
   Area di un triangoloè uguale al prodotto del semiperimetro del triangolo per il raggio del cerchio inscritto.
   
dove S è l'area del triangolo,
- lunghezze dei lati del triangolo,
- altezza del triangolo,
- l'angolo tra i lati e,
- raggio del cerchio inscritto,
R - raggio del cerchio circoscritto,

Formule per l'area quadrata

1. Formula per l'area di un quadrato per lato
   Zona quadrata uguale al quadrato della lunghezza del suo lato.
2. Formula per l'area di un quadrato lungo la diagonale
   Zona quadrata pari alla metà del quadrato della lunghezza della sua diagonale.
   

   S=	1	2
   	2

dove S è l'area del quadrato,
- lunghezza del lato del quadrato,
- lunghezza della diagonale del quadrato.

Formula dell'area del rettangolo

Area di un rettangolo uguale al prodotto delle lunghezze dei suoi due lati adiacenti

dove S è l'area del rettangolo,
- lunghezze dei lati del rettangolo.

Formule per l'area del parallelogramma

1. Formula per l'area di un parallelogramma in base alla lunghezza del lato e all'altezza
   Area di un parallelogramma
2. Formula per l'area di un parallelogramma basata su due lati e l'angolo compreso tra loro
   Area di un parallelogrammaè uguale al prodotto delle lunghezze dei suoi lati moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra loro.
   

   a b peccato α

dove S è l'area del parallelogramma,
- lunghezze dei lati del parallelogramma,
- lunghezza dell'altezza del parallelogramma,
- l'angolo tra i lati del parallelogramma.

Formule per l'area di un rombo

1. Formula per l'area di un rombo in base alla lunghezza del lato e all'altezza
   Area di un romboè uguale al prodotto della lunghezza del suo lato e della lunghezza dell'altezza abbassata su questo lato.
2. Formula per l'area di un rombo in base alla lunghezza del lato e all'angolo
   Area di un romboè uguale al prodotto del quadrato della lunghezza del suo lato e del seno dell'angolo formato dai lati del rombo.
3. Formula per l'area di un rombo in base alle lunghezze delle sue diagonali
   Area di un rombo pari alla metà del prodotto delle lunghezze delle sue diagonali.
dove S è l'area del rombo,
- lunghezza del lato del rombo,
- lunghezza dell'altezza del rombo,
- l'angolo tra i lati del rombo,
1, 2 - lunghezze delle diagonali.

Formule dell'area del trapezio

1. Formula di Erone per il trapezio

   Dove S è l'area del trapezio,
   - lunghezze delle basi del trapezio,
   - lunghezze dei lati del trapezio,
   

IN corso scolastico in geometria, tra i compiti principali, notevole attenzione è riservata agli esempi calcolo dell'area e del perimetro di un rombo. Ricordiamo che il rombo appartiene a una classe separata di quadrilateri e tra questi si distingue lati uguali. Un rombo è anche un caso speciale di parallelogramma se quest'ultimo ha tutti i lati uguali AB=BC=CD=AD. Di seguito è riportata un'immagine che mostra un rombo.

Proprietà del rombo

Poiché il rombo occupa una parte dei parallelogrammi, le proprietà in essi contenute saranno simili.

• Gli angoli opposti di un rombo, come di un parallelogramma, sono uguali.
• La somma degli angoli di un rombo adiacente ad un lato è 180°.
• Le diagonali di un rombo si intersecano con un angolo di 90 gradi.
• Le diagonali di un rombo sono anche le bisettrici dei suoi angoli.
• Le diagonali di un rombo sono divise a metà nel punto di intersezione.

Segni di un diamante

Tutte le caratteristiche di un rombo derivano dalle sue proprietà e aiutano a distinguerlo tra quadrangoli, rettangoli e parallelogrammi.

• Un parallelogramma le cui diagonali si intersecano ad angoli retti è un rombo.
• Un parallelogramma le cui diagonali sono bisettrici è un rombo.
• Un parallelogramma con i lati uguali è un rombo.
• Un quadrilatero con tutti i lati uguali è un rombo.
• Un quadrilatero le cui diagonali sono bisettrici e si intersecano ad angoli retti è un rombo.
• Un parallelogramma con uguali altezze è un rombo.

Formula per il perimetro di un rombo

Perimetro per definizione pari alla somma tutti i lati. Poiché tutti i lati di un rombo sono uguali, calcoliamo il suo perimetro utilizzando la formula

Il perimetro è calcolato in unità di lunghezza.

Raggio di un cerchio inscritto in un rombo

Uno dei problemi più comuni quando si studia un rombo è trovare il raggio o il diametro del cerchio inscritto. La figura seguente mostra alcune delle formule più comuni per calcolare il raggio di un cerchio inscritto in un rombo.

La prima formula mostra che il raggio di un cerchio inscritto in un rombo è uguale al prodotto delle diagonali diviso per la somma di tutti i lati (4a).

Un'altra formula mostra che il raggio di un cerchio inscritto in un rombo è pari alla metà dell'altezza del rombo

La seconda formula in figura è una modifica della prima e viene utilizzata per calcolare il raggio di un cerchio inscritto in un rombo quando si conoscono le diagonali del rombo, cioè i lati sconosciuti.

La terza formula per il raggio di un cerchio inscritto trova infatti la metà dell'altezza del triangolino formato dall'intersezione delle diagonali.

Tra le formule meno popolari per calcolare il raggio di un cerchio inscritto in un rombo, puoi anche dare quanto segue:

qui D è la diagonale del rombo, alfa è l'angolo che taglia la diagonale.

Se si conoscono l'area (S) di un rombo e l'ampiezza dell'angolo acuto (alfa), per calcolare il raggio del cerchio inscritto è necessario trovare Radice quadrata da un quarto del prodotto dell'area per il seno di un angolo acuto:

Dalle formule precedenti puoi facilmente trovare il raggio di un cerchio inscritto in un rombo se le condizioni dell'esempio contengono l'insieme di dati richiesto.

Formula per l'area di un rombo

Le formule per il calcolo dell'area sono mostrate nella figura.

Il più semplice si ottiene dalla somma delle aree di due triangoli in cui un rombo è diviso dalla sua diagonale.

La seconda formula dell'area si applica ai problemi in cui si conoscono le diagonali di un rombo. Quindi l'area del rombo è pari alla metà del prodotto delle diagonali

È abbastanza semplice da ricordare e anche facile da calcolare.

La formula della terza area ha senso quando si conosce l'angolo tra i lati. Secondo esso l'area del rombo è uguale al prodotto del quadrato del lato e del seno dell'angolo. Che sia acuto o meno non ha importanza poiché il seno di entrambi gli angoli assume lo stesso valore.

Cos'è il rombo? Un rombo è un parallelogramma in cui tutti i lati sono uguali.

ROMBO, figura su un piano, quadrilatero con i lati uguali. Diamante - caso speciale Un PARALLELOGRAMMA in cui due lati adiacenti sono uguali, oppure le diagonali si intersecano ad angolo retto, oppure la diagonale divide in due l'angolo. Un rombo con angoli retti si chiama quadrato.

La formula classica per calcolare l'area di un rombo è calcolarne il valore attraverso l'altezza. L'area di un rombo è uguale al prodotto di un lato per l'altezza tracciata su quel lato.

1. L'area di un rombo è uguale al prodotto di un lato e all'altezza tracciata su questo lato:

\[ S = a \cdot h \]

2. Se si conosce il lato di un rombo (tutti i lati di un rombo sono uguali) e l'angolo tra i lati, l'area può essere trovata utilizzando la seguente formula:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Anche l'area di un rombo è uguale al semiprodotto delle diagonali, cioè:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Se si conoscono il raggio r di un cerchio inscritto in un rombo e il lato del rombo a, la sua area viene calcolata con la formula:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Proprietà del rombo

Nella figura sopra, \(ABCD\) è un rombo, \(AC = DB = CD = AD\) . Poiché il rombo è un parallelogramma, ha tutte le proprietà di un parallelogramma, ma esistono anche proprietà inerenti solo al rombo.

Puoi inserire un cerchio in qualsiasi rombo. Il centro di un cerchio inscritto in un rombo è il punto di intersezione delle sue diagonali. Raggio del cerchio pari alla metà dell'altezza del rombo:

\[ r = \frac( AH )(2) \]

Proprietà del rombo

Le diagonali di un rombo sono perpendicolari;

Le diagonali di un rombo sono le bisettrici dei suoi angoli.

Segni di un diamante

Un parallelogramma le cui diagonali si intersecano ad angolo retto è un rombo;

Un parallelogramma le cui diagonali sono le bisettrici degli angoli è un rombo.

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Il rombo è un caso speciale di parallelogramma. È una figura quadrangolare piatta in cui tutti i lati sono uguali. Questa proprietà determina che i rombi hanno i lati opposti paralleli e gli angoli opposti uguali. Le diagonali di un rombo si intersecano ad angolo retto, il punto della loro intersezione è al centro di ciascuna diagonale e gli angoli da cui emergono sono divisi a metà. Cioè, le diagonali di un rombo sono bisettrici degli angoli. Sulla base delle definizioni di cui sopra e delle proprietà elencate dei rombi, la loro area può essere determinata in vari modi.

1. Se entrambe le diagonali di un rombo AC e BD sono note, l'area del rombo può essere determinata come metà del prodotto delle diagonali.

S = ½ ∙ AC. ∙ B.D

dove AC, BD sono la lunghezza delle diagonali del rombo.

Per capire perché è così, puoi inserire mentalmente un rettangolo in un rombo in modo che i lati di quest'ultimo siano perpendicolari alle diagonali del rombo. Diventa ovvio che l'area del rombo sarà uguale alla metà dell'area del rettangolo inscritto in questo modo nel rombo, la cui lunghezza e larghezza corrisponderanno alla dimensione delle diagonali del rombo.

2. Per analogia con un parallelepipedo, l'area di un rombo può essere trovata come il prodotto del suo lato e l'altezza della perpendicolare dal lato opposto abbassata a un dato lato.

S = un ∙ H

dove a è il lato del rombo;
h è l'altezza della perpendicolare caduta su un dato lato.

3. L'area di un rombo è anche uguale al quadrato del suo lato moltiplicato per il seno dell'angolo α.

S = un 2 ∙ peccato α

dove a è il lato del rombo;
α è l'angolo tra i lati.

4. Inoltre, l'area di un rombo può essere trovata attraverso il suo lato e il raggio del cerchio inscritto in esso.

S=2 ∙ UN ∙ R

dove a è il lato del rombo;
r è il raggio del cerchio inscritto nel rombo.

Fatti interessanti
La parola rombo deriva dal greco antico rombus, che significa “tamburello”. A quei tempi, i tamburelli avevano effettivamente la forma di un diamante, e non rotondo, come siamo abituati a vederli adesso. Il nome deriva dallo stesso periodo seme della carta"diamanti". Diamanti molto larghi vari tipi utilizzato in araldica.