Qual è la radice di un numero? Come estrarre rapidamente le radici quadrate

È necessario sapere qual è la radice di una parola per farlo correttamente analisi dei morfemi. Inoltre, da questo concetto La lingua russa dipende anche dall'ortografia corretta di molte ortografie, perché le regole stabiliscono che è necessario selezionare le parole con la stessa radice. Cos'è? Te lo raccontiamo in questo articolo.

Parola radice: definizione del concetto

Qualsiasi parola in lingua russa può essere divisa in morfemi: parti significative. Alcuni contengono contenuti grammaticali, altri - lessicali. Quest'ultima è la radice. È in questa parte che è contenuto il significato lessicale.

La radice di una parola è la sua parte principale. In effetti, un lessema può esistere senza prefisso, suffisso e avere zero flessione. Ma senza radice, sarà un insieme di lettere o simboli senza significato.

Facciamo un esempio: nelle parole “backwater” e “water” c'è rispettivamente un prefisso e un suffisso. Se li rimuoviamo, rimane il significato di "qualcosa che ha a che fare con l'acqua". Ma se rimuovi la radice -acqua-, allora cesseranno di essere tali. Pertanto, abbiamo dimostrato che è la radice a essere portatrice del significato principale.

Questo morfema può essere libero (esistere senza altre parti) e legato (non ha senso senza prefissi, desinenze e suffissi). Pertanto, la radice del lessema "correre" è libera (correre - il significato della parola può essere determinato), ma la radice del lessema "twist" è legata -in-, perché senza flessione e suffisso è semplicemente un significato privo di significato sillaba.

Parola senza radice

C'è una parola unica nella lingua russa che non contiene una radice: "tirare fuori". Sapendo qual è la radice di una parola, è difficile immaginare una cosa del genere! Tuttavia, non è sempre stato così.

Etimologicamente questa parola ha una radice, tuttavia, è andata perduta nel processo di evoluzione del linguaggio. Prima era scritto diversamente: "portare fuori". Nel corso del tempo, la lingua si sviluppò e iniziarono ad apparire verbi come "bastone", "soffiare", "toccare". Per analogia con loro, anche "take out" è cambiato: ha iniziato a essere scritto e pronunciato come "take out". Quindi ora formalmente questo lessema consiste solo del prefisso tu-, del suffisso -nu- e dell'inflessione -т. La radice si distingue solo etimologicamente.

Quali parole hanno la stessa radice

Le parole affini sono quelle che hanno la stessa radice e anche il loro significato lessicale è simile. I lessemi “guai” - “povero” - “povertà” - “impoverirsi” sono affini, perché hanno la stessa radice -letto-, che denota sfortuna, privazione.

Facciamo un altro esempio: la radice della parola “cerca” coincide con i morfemi presenti nelle parole “cerca”, “cerca”, “motore di ricerca”, “ingraziato”. Pertanto, tutti questi lessemi hanno la stessa radice.

Le parole affini sono irte della minaccia di commettere un errore quando le identificano. Dovrebbe essere chiaro che oltre alla stessa parte comune, devono avere anche un significato simile. Ad esempio, nelle parole “to drive” e “submariner” la radice è la stessa, -vod-. Tuttavia, il significato di queste parole varia: guidare - gestire veicolo, e un sommergibilista è colui che lavora sott'acqua. Pertanto, queste radici omonime non formano una coppia di parole affini.

Sarebbe anche un errore individuare le forme della stessa parola come parole affini: "infermiera" - "tata" - "infermiera". Questo è proprio il verbo allattare, usato al singolare o plurale e femminile.

Come cercare la radice di una parola

Per identificare correttamente i principali morfemi non è sufficiente sapere qual è la radice di una parola. Qui devi essere in grado di selezionare con competenza parole con la stessa radice e parole correlate.

Tali parole non appartengono necessariamente a una parte specifica del discorso; possono essere tutte significative. Pertanto, i lessemi avranno la stessa radice: “luce” - “luce” - “splendore” - “luce”; "verde" - "verde" - "verde" - "verde"; "pace" - "globale" - "riconciliare" - "pacificamente".

Come evidenziare la radice di una parola? La regola dice che dovresti approfondire il suo significato lessicale, selezionare le parole correlate e osservare quali parti si ripetono. In questo modo puoi facilmente capire dove si trova il morfema principale. A volte è utile “tagliare” inizialmente il prefisso, l'inflessione e il suffisso, soprattutto se hanno una variante.

Ad esempio, nella parola “piantaggine” c'è il prefisso po- (non ha altre varianti ed è facilmente visualizzabile) e il suffisso nik-, anch'esso molto caratteristico dei sostantivi. La radice -strada- rimane. Dimostriamolo selezionando parole con la stessa radice: sentiero, strada.

L'ultimo esempio mostra anche che l'alternanza avviene nelle radici. Ciò è dettato dai cambiamenti storici nella lingua. Sia i suoni delle consonanti che quelli delle vocali possono variare.

La strada è un sentiero.

Asciutto - asciutto.

Mano - penna.

Raccogli - raccogli - raccogli.

Morire è morire.

Brillante: brillare.

Sapendo qual è la radice di una parola e come cercarla correttamente, puoi tranquillamente eseguire un'analisi morfemica di tali parole senza timore di commettere errori.

Molto spesso, quando risolviamo i problemi, ci troviamo di fronte a grandi numeri da cui dobbiamo estrarre Radice quadrata. Molti studenti decidono che si tratta di un errore e iniziano a risolvere l'intero esempio. In nessun caso dovresti farlo! Ci sono due ragioni per questo:

1. Radici da grandi numeri effettivamente si verificano in problemi. Soprattutto in quelli testuali;
2. Esiste un algoritmo mediante il quale queste radici vengono calcolate quasi oralmente.

Considereremo questo algoritmo oggi. Forse alcune cose ti sembreranno incomprensibili. Ma se presti attenzione a questa lezione, otterrai arma più potente contro radici quadrate.

Quindi, l'algoritmo:

1. Limita la radice richiesta sopra e sotto ai numeri multipli di 10. Pertanto, ridurremo l'intervallo di ricerca a 10 numeri;
2. Da questi 10 numeri, elimina quelli che sicuramente non possono essere radici. Di conseguenza, rimarranno 1-2 numeri;
3. Quadra questi 1-2 numeri. Quello il cui quadrato è uguale al numero originale sarà la radice.

Prima di mettere in pratica questo algoritmo, esaminiamo ogni singolo passaggio.

Limitazione della radice

Prima di tutto dobbiamo scoprire tra quali numeri si trova la nostra radice. È altamente auspicabile che i numeri siano multipli di dieci:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Otteniamo una serie di numeri:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Cosa ci dicono questi numeri? È semplice: otteniamo dei confini. Prendiamo ad esempio il numero 1296. Si trova tra 900 e 1600. Pertanto la sua radice non può essere inferiore a 30 e maggiore di 40:

[Didascalia dell'immagine]

La stessa cosa vale per qualsiasi altro numero di cui si possa ricavare la radice quadrata. Ad esempio, 3364:

[Didascalia dell'immagine]

Pertanto, invece di un numero incomprensibile, otteniamo un intervallo molto specifico in cui si trova la radice originale. Per restringere ulteriormente l'area di ricerca, passare al secondo passaggio.

Eliminando i numeri ovviamente inutili

Quindi, abbiamo 10 numeri: candidati alla radice. Li abbiamo ottenuti molto rapidamente, senza pensieri complessi e moltiplicazioni in una colonna. È ora di andare avanti.

Che tu ci creda o no, ora ridurremo il numero dei numeri candidati a due, ancora una volta senza calcoli complicati! È sufficiente conoscere la regola speciale. Ecco qui:

L'ultima cifra del quadrato dipende solo dall'ultima cifra numero originale.

In altre parole basta guardare l'ultima cifra del quadrato e capiremo subito dove finisce il numero originale.

Ci sono solo 10 cifre che possono apparire su ultimo posto. Proviamo a scoprire in cosa si trasformano una volta quadrati. Dai un'occhiata alla tabella:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Questa tabella è un altro passo verso il calcolo della radice. Come puoi vedere, i numeri nella seconda riga si sono rivelati simmetrici rispetto ai cinque. Per esempio:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Come puoi vedere, l'ultima cifra è la stessa in entrambi i casi. Ciò significa che, ad esempio, la radice di 3364 termina necessariamente con 2 o 8. Ricordiamo invece la restrizione del paragrafo precedente. Noi abbiamo:

[Didascalia dell'immagine]

I quadrati rossi indicano che non conosciamo ancora questa cifra. Ma la radice si trova nell'intervallo da 50 a 60, su cui ci sono solo due numeri che terminano con 2 e 8:

[Didascalia dell'immagine]

È tutto! Di tutte le possibili radici, abbiamo lasciato solo due opzioni! E questo è nel caso più difficile, perché l'ultima cifra può essere 5 o 0. E poi ci sarà un solo candidato per le radici!

Calcoli finali

Quindi, ci restano 2 numeri candidati. Come fai a sapere qual è la radice? La risposta è ovvia: eleva entrambi i numeri al quadrato. Quello che al quadrato dà il numero originale sarà la radice.

Ad esempio, per il numero 3364 abbiamo trovato due numeri candidati: 52 e 58. Eleviamoli al quadrato:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

È tutto! Si è scoperto che la radice è 58! Allo stesso tempo, per semplificare i calcoli, ho utilizzato la formula dei quadrati della somma e della differenza. Grazie a questo, non ho nemmeno dovuto moltiplicare i numeri in una colonna! Questo è un altro livello di ottimizzazione del calcolo, ma, ovviamente, è del tutto facoltativo :)

Esempi di calcolo delle radici

La teoria è, ovviamente, buona. Ma controlliamolo nella pratica.

[Didascalia dell'immagine]

Per prima cosa, scopriamo tra quali numeri si trova il numero 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Ora diamo un'occhiata all'ultimo numero. È uguale a 6. Quando accade questo? Solo se la radice termina con 4 o 6. Otteniamo due numeri:

Non resta che elevare al quadrato ogni numero e confrontarlo con l'originale:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Grande! Il primo quadrato si è rivelato uguale al numero originale. Quindi questa è la radice.

Compito. Calcola la radice quadrata:

[Didascalia dell'immagine]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Diamo un'occhiata all'ultima cifra:

1369 → 9;
33; 37.

Quadralo:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Ecco la risposta: 37.

Compito. Calcola la radice quadrata:

[Didascalia dell'immagine]

Limitiamo il numero:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Diamo un'occhiata all'ultima cifra:

2704 → 4;
52; 58.

Quadralo:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Abbiamo ricevuto la risposta: 52. Non sarà più necessario elevare al quadrato il secondo numero.

Compito. Calcola la radice quadrata:

[Didascalia dell'immagine]

Limitiamo il numero:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Diamo un'occhiata all'ultima cifra:

4225 → 5;
65.

Come puoi vedere, dopo il secondo passaggio rimane solo un'opzione: 65. Questa è la radice desiderata. Ma facciamo ancora i conti e controlliamo:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Tutto è corretto. Scriviamo la risposta.

Conclusione

Ahimè, non meglio. Diamo un'occhiata alle ragioni. Ce ne sono due:

• In qualsiasi normale esame di matematica, sia esso l'Esame di Stato o l'Esame di Stato Unificato, è vietato l'uso della calcolatrice. E se porti una calcolatrice in classe, puoi facilmente essere espulso dall'esame.
• Non siate come gli stupidi americani. Che non sono solo radici: sono due numeri primi Non possono piegarlo. E quando vedono le frazioni, generalmente diventano isterici.

In questo articolo presenteremo concetto di radice di un numero. Procederemo in sequenza: cominciamo con radice quadrata, da esso passeremo alla descrizione della radice cubica, dopodiché generalizzeremo il concetto di radice definendo la radice dell'ennesimo grado. Allo stesso tempo introdurremo definizioni, notazioni, forniremo esempi di radici e forniremo le spiegazioni e i commenti necessari.

Radice quadrata, radice quadrata aritmetica

Per comprendere la definizione di radice di un numero, e di radice quadrata in particolare, è necessario disporre di . A questo punto incontreremo spesso la seconda potenza di un numero: il quadrato di un numero.

Iniziamo con definizioni di radice quadrata.

Definizione

Radice quadrata di aè un numero il cui quadrato è uguale ad a.

Per portare esempi di radici quadrate, prendiamo diversi numeri, ad esempio 5, −0.3, 0.3, 0, e elevandoli al quadrato otteniamo i numeri 25, 0.09, 0.09 e 0, rispettivamente (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 e 0 2 =0·0=0 ). Quindi, secondo la definizione data sopra, il numero 5 è la radice quadrata del numero 25, i numeri −0,3 e 0,3 sono le radici quadrate di 0,09 e 0 è la radice quadrata di zero.

Va notato che per ogni numero a non esiste a il cui quadrato sia uguale ad a. In altre parole, per ogni numero negativo a non esiste un numero reale b il cui quadrato sia uguale ad a. Infatti, l'uguaglianza a=b 2 è impossibile per qualsiasi a negativo, poiché b 2 non lo è un numero negativo per qualsiasi b. Così, non esiste la radice quadrata di un numero negativo nell'insieme dei numeri reali. In altre parole, nell'insieme dei numeri reali la radice quadrata di un numero negativo non è definita e non ha significato.

Ciò porta a una domanda logica: “Esiste una radice quadrata di a per ogni a non negativo”? La risposta è si. Questo fatto può essere giustificato dal metodo costruttivo utilizzato per trovare il valore della radice quadrata.

Quindi sorge la successiva domanda logica: "Qual è il numero di tutte le radici quadrate di un dato numero non negativo a - uno, due, tre o anche di più"? Ecco la risposta: se a è zero, allora l'unica radice quadrata di zero è zero; se a è qualcuno numero positivo, allora il numero di radici quadrate del numero a è due e le radici sono . Giustifichiamolo.

Cominciamo con il caso a=0 . Innanzitutto, mostriamo che zero è effettivamente la radice quadrata di zero. Ciò segue dall'ovvia uguaglianza 0 2 =0·0=0 e dalla definizione di radice quadrata.

Ora dimostriamo che 0 è l'unica radice quadrata di zero. Usiamo il metodo opposto. Supponiamo che esista un numero b diverso da zero che è la radice quadrata di zero. Allora deve essere soddisfatta la condizione b 2 = 0, il che è impossibile, poiché per ogni b diverso da zero il valore dell'espressione b 2 è positivo. Siamo arrivati ​​ad una contraddizione. Ciò dimostra che 0 è l'unica radice quadrata di zero.

Passiamo ai casi in cui a è un numero positivo. Abbiamo detto sopra che esiste sempre una radice quadrata di qualsiasi numero non negativo, lascia che la radice quadrata di a sia il numero b. Diciamo che esiste un numero c, che è anche la radice quadrata di a. Allora, per la definizione di radice quadrata, sono vere le uguaglianze b 2 =a e c 2 =a, da cui segue che b 2 −c 2 =a−a=0, ma poiché b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , quindi (b−c)·(b+c)=0 . L'uguaglianza risultante è valida proprietà delle operazioni con numeri reali possibile solo quando b−c=0 o b+c=0 . Pertanto, i numeri b e c sono uguali o opposti.

Se assumiamo che esista un numero d, che è un'altra radice quadrata del numero a, allora con un ragionamento simile a quelli già dati si dimostra che d è uguale al numero b o al numero c. Quindi, il numero di radici quadrate di un numero positivo è due e le radici quadrate sono numeri opposti.

Per comodità di lavorare con le radici quadrate, la radice negativa viene “separata” da quella positiva. A questo scopo viene introdotto definizione di radice quadrata aritmetica.

Definizione

Radice quadrata aritmetica di un numero non negativo aè un numero non negativo il cui quadrato è uguale ad a.

La notazione per la radice quadrata aritmetica di a è . Il segno è chiamato segno della radice quadrata aritmetica. È anche chiamato il segno radicale. Pertanto, a volte puoi sentire sia "radice" che "radicale", che significa lo stesso oggetto.

Viene chiamato il numero sotto il segno della radice quadrata aritmetica numero radicale, e l'espressione sotto il segno di radice è espressione radicale, mentre il termine “numero radicale” è spesso sostituito da “espressione radicale”. Ad esempio, nella notazione il numero 151 è un numero radicale, mentre nella notazione l'espressione a è un'espressione radicale.

Durante la lettura, la parola "aritmetica" viene spesso omessa, ad esempio la voce viene letta come "radice quadrata di sette virgola ventinove". La parola “aritmetica” viene usata solo quando vogliono sottolinearlo stiamo parlando in particolare sulla radice quadrata positiva di un numero.

Alla luce della notazione introdotta, dalla definizione di radice quadrata aritmetica segue che per qualsiasi numero non negativo a .

Le radici quadrate di un numero positivo a vengono scritte utilizzando il segno aritmetico della radice quadrata come e . Ad esempio, le radici quadrate di 13 sono e . La radice quadrata aritmetica di zero è zero, cioè . Per i numeri negativi a, non attribuiremo significato alla notazione finché non li studieremo numeri complessi . Ad esempio, le espressioni e non hanno significato.

Sulla base della definizione di radice quadrata, vengono dimostrate le proprietà delle radici quadrate, che vengono spesso utilizzate nella pratica.

In conclusione di questo paragrafo notiamo che le radici quadrate del numero a sono soluzioni della forma x 2 =a rispetto alla variabile x.

Radice cubica di un numero

Definizione di radice cubica del numero a è data in modo simile alla definizione della radice quadrata. Solo che si basa sul concetto di cubo numerico, non di quadrato.

Definizione

Radice cubica di aè un numero il cui cubo è uguale ad a.

Diamo esempi di radici cubiche. Per fare ciò, prendi diversi numeri, ad esempio 7, 0, −2/3, e mettili al cubo: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Quindi, in base alla definizione di radice cubica, possiamo dire che il numero 7 è la radice cubica di 343, 0 è la radice cubica di zero e −2/3 è la radice cubica di −8/27.

Si può dimostrare che la radice cubica di un numero, a differenza della radice quadrata, esiste sempre, non solo per a non negativo, ma anche per qualsiasi numero reale a. Per fare ciò, puoi utilizzare lo stesso metodo che abbiamo menzionato studiando le radici quadrate.

Inoltre, esiste una sola radice cubica di un dato numero a. Dimostriamo l'ultima affermazione. Per fare ciò, considera tre casi separatamente: a è un numero positivo, a=0 e a è un numero negativo.

È facile dimostrare che se a è positivo, la radice cubica di a non può essere né un numero negativo né zero. Infatti, sia b la radice cubica di a, allora per definizione possiamo scrivere l'uguaglianza b 3 =a. È chiaro che questa uguaglianza non può essere vera per b negativo e per b=0, poiché in questi casi b 3 =b·b·b sarà rispettivamente un numero negativo o zero. Quindi la radice cubica di un numero positivo a è un numero positivo.

Supponiamo ora che oltre al numero b ci sia un'altra radice cubica del numero a, denotiamola c. Allora c3=a. Pertanto b 3 −c 3 =a−a=0, ma b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(questa è la formula di moltiplicazione abbreviata differenza di cubi), da cui (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. L'uguaglianza risultante è possibile solo quando b−c=0 oppure b 2 +b·c+c 2 =0. Dalla prima uguaglianza abbiamo b=c, e la seconda uguaglianza non ha soluzioni, poiché il suo membro sinistro è un numero positivo per qualsiasi numero positivo b e c come somma di tre termini positivi b 2, b·c e c 2. Ciò dimostra l'unicità della radice cubica di un numero positivo a.

Quando a=0, la radice cubica del numero a è solo il numero zero. Infatti, se assumiamo che esista un numero b, che è una radice cubica diversa da zero di zero, allora deve valere l'uguaglianza b 3 =0, cosa possibile solo quando b=0.

Per a negativo si possono fornire argomenti simili a quelli per a positivo. Innanzitutto mostriamo che la radice cubica di un numero negativo non può essere uguale né a un numero positivo né a zero. In secondo luogo, assumiamo che esista una seconda radice cubica di un numero negativo e mostriamo che coinciderà necessariamente con la prima.

Quindi, c'è sempre una radice cubica di ogni dato numero reale a, e una radice unica.

Diamo definizione di radice cubica aritmetica.

Definizione

Radice cubica aritmetica di un numero non negativo aè un numero non negativo il cui cubo è uguale ad a.

La radice cubica aritmetica di un numero non negativo a è indicata come , il segno è chiamato segno della radice cubica aritmetica, il numero 3 in questa notazione è chiamato indice radice. Il numero sotto il segno della radice è numero radicale, l'espressione sotto il segno della radice è espressione radicale.

Sebbene la radice cubica aritmetica sia definita solo per i numeri non negativi a, è anche conveniente utilizzare notazioni in cui i numeri negativi si trovano sotto il segno della radice cubica aritmetica. Li comprenderemo come segue: , dove a è un numero positivo. Per esempio, .

Parleremo delle proprietà delle radici cubiche nell'articolo generale Proprietà delle radici.

Il calcolo del valore di una radice cubica si chiama estrazione di una radice cubica; questa azione è trattata nell'articolo estrazione di radici: metodi, esempi, soluzioni;

Per concludere questo punto, diciamo che la radice cubica del numero a è una soluzione della forma x 3 =a.

radice n-esima, radice aritmetica di grado n

Generalizziamo il concetto di radice di un numero: lo introduciamo definizione di radice ennesima per n.

Definizione

radice ennesima di aè un numero la cui ennesima potenza è uguale ad a.

Da questa definizioneè chiaro che la radice di primo grado del numero a è il numero a stesso, poiché studiando il grado con esponente naturale abbiamo preso a 1 =a.

Sopra abbiamo esaminato casi speciali di radice n-esima per n=2 e n=3: radice quadrata e radice cubica. Cioè, una radice quadrata è una radice di secondo grado e una radice cubica è una radice di terzo grado. Per studiare le radici di grado n per n=4, 5, 6, ..., è conveniente dividerle in due gruppi: il primo gruppo - radici di grado pari (cioè per n = 4, 6, 8 , ...), il secondo gruppo - radici gradi dispari (cioè con n=5, 7, 9, ...). Ciò è dovuto al fatto che le radici delle potenze pari sono simili alle radici quadrate e le radici delle potenze dispari sono simili alle radici cubiche. Affrontiamoli uno per uno.

Cominciamo dalle radici, i cui poteri sono numeri pari 4, 6, 8, ... Come abbiamo detto, sono simili alla radice quadrata del numero a. Cioè, la radice di qualsiasi grado pari del numero a esiste solo per a non negativo. Inoltre, se a=0, allora la radice di a è unica e uguale a zero, e se a>0, allora ci sono due radici di grado pari del numero a, e sono numeri opposti.

Confermiamo l'ultima affermazione. Sia b una radice pari (la denotiamo come 2·m, dove m è un numero naturale) del numero a. Supponiamo che esista un numero c - un'altra radice di grado 2·m dal numero a. Allora b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Ma conosciamo la forma b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), allora (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Da questa uguaglianza segue che b−c=0, oppure b+c=0, oppure b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Le prime due uguaglianze significano che i numeri b e c sono uguali oppure b e c sono opposti. E l'ultima uguaglianza è valida solo per b=c=0, poiché alla sua sinistra c'è un'espressione non negativa per qualsiasi b e c come somma di numeri non negativi.

Per quanto riguarda le radici dell'ennesimo grado per n dispari, sono simili alla radice cubica. Cioè, la radice di ogni grado dispari del numero a esiste per ogni numero reale a, e per un dato numero a è unica.

L'unicità di una radice di grado dispari 2·m+1 del numero a si dimostra per analogia con la dimostrazione dell'unicità della radice cubica di a. Solo qui invece dell'uguaglianza a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) viene utilizzata un'uguaglianza della forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). L'espressione nell'ultima parentesi può essere riscritta come b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Ad esempio, con m=2 abbiamo b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Quando a e b sono entrambi positivi o entrambi negativi, il loro prodotto è un numero positivo, quindi l'espressione b 2 +c 2 +b·c nelle parentesi nidificate più alte è positiva come somma dei numeri positivi. Ora, passando in sequenza alle espressioni tra parentesi dei precedenti gradi di nidificazione, siamo convinti che siano positivi anche come somma di numeri positivi. Di conseguenza, otteniamo che l'uguaglianza b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 possibile solo quando b−c=0, cioè quando il numero b è uguale al numero c.

È tempo di comprendere la notazione delle radici n-esime. A questo scopo è dato definizione di radice aritmetica di grado ennesimo.

Definizione

Radice aritmetica dell'ennesimo grado di un numero non negativo aè un numero non negativo la cui ennesima potenza è uguale ad a.

Le parole sono necessarie non solo per corretta esecuzione analisi dei morfemi, ma anche per la corretta ortografia della maggior parte delle parole, poiché spesso è necessario conoscere l'ortografia corretta di un morfema specifico.

Morfemica, il suo argomento e gli obiettivi

Nella linguistica russa esiste una sezione dedicata allo studio del sistema dei morfemi e della struttura morfemica delle parole e delle forme delle parole, chiamate morfemi. Il compito principale della morfemica è lo studio e la classificazione dei morfemi, nonché un algoritmo per dividere le parole in morfemi.

Il morfema, essendo l'unità base della morfemia, è la più piccola e allo stesso tempo l'unità minima del linguaggio dotata di significato. Vale la pena notare che il morfema presenta differenze con le unità di tutti gli altri livelli linguistici. Differisce quindi dal suono in presenza di significato, dalla parola in assenza di un nome grammaticalmente formalizzato, dalla frase in quanto non rappresenta un'unità comunicativa.

Radice della parola

Ogni parola nella lingua russa può essere divisa in morfemi. Tutti i morfemi sono divisi in radice (la radice stessa) e non radice (prefisso, suffisso, desinenza). E se portano morfemi non radicali significato grammaticale parole, allora la radice esprime il significato lessicale. Ad esempio, nelle parole “sott’acqua” e “acqua”, la radice “acqua-” porta il significato di “qualcosa legato all’acqua”. Esistono però parole il cui significato non è contenuto precisamente nella radice o in un altro morfema. Ad esempio, la parola "matinee" nel significato festa per bambini non esprime il suo significato in nessuno dei morfemi.

La radice è la parte principale della parola, senza la quale non può esistere. Ci sono molte parole che possono essere usate senza prefisso, suffisso o desinenza (boscaiolo, sedia, taxi, ecc.), ma senza radice la parola diventa un semplice insieme di lettere senza significato. L'eccezione è l'unica parola in russo, che non ha radice. Questa è la parola "take out", composta dal prefisso you-, dal suffisso -well e dall'inflessione -t. L'assenza di una radice in questa parola può essere spiegata studiandone l'etimologia. Il fatto è che nel processo di sviluppo del linguaggio data parola ha cambiato il suo aspetto, e invece della versione originale “take out”, dove si poteva distinguere la radice -n-, entrò in uso la forma “take out”, dove la radice può essere distinta solo etimologicamente.

Tutte le radici possono essere divise in libere e connesse. Il primo può essere utilizzato sia indipendentemente che in combinazione con varie inflessioni (pompiere, sott'acqua, corsa, ecc.). Questi ultimi sono usati solo in combinazione con flessioni (na-d-et, o-d-et, raz-d-et, ecc.).

La radice di una parola è anche definita come la parte comune di parole correlate. Ma anche qui devi ricordare che ci sono molte radici che possono trovarsi in una sola parola. Ad esempio, "ahimè", "cacatua", alcuni nomi geografici.

Affini

Le parole che hanno la stessa parte (radice) e hanno un significato simile sono chiamate affini. Ad esempio: pioggia, pioggia, impermeabile; sparare, sparare, abbattere.

Per identificare correttamente la radice di una parola, è necessario selezionare quante più parole possibili con la stessa radice. Quella parte della parola che si ripete in tutte le parole con la stessa radice sarà la radice. Tuttavia, ci sono delle sfumature che dovrebbero essere prese in considerazione quando si scelgono parole con la stessa radice.

In primo luogo, non dovresti confondere le parole con la stessa radice con quelle correlate. Tutti gli affini sono imparentati, cioè hanno qualcosa in comune nel loro significato, ma non tutti gli affini sono affini. Ciò è dovuto al fatto che alcune parole nel processo di sviluppo hanno perso il loro significato originale. Ad esempio, le parole "nero" e "inchiostro" sono correlate, ma hanno radici diverse, sebbene sia possibile rintracciare la connessione etimologica tra i significati di queste parole. IN linguaggio moderno la parola "inchiostro" nel significato di "pasta messa in una bacchetta per scrivere" ha perso la sua connessione con il significato di "nero", poiché l'inchiostro può essere di qualsiasi colore. Pertanto, per individuare correttamente la radice di parole affini, è spesso necessario risalire alla loro etimologia.

In secondo luogo, quando si selezionano parole con la stessa radice, non è possibile utilizzare le forme di una parola. Pertanto, le parole "cucinare", "cucinare", "cucinare" hanno la stessa radice. E le parole "bollito", "bollito", "bollito" sono solo forme di una parola.

In terzo luogo, non dobbiamo dimenticare che esistono radici omonime. Queste radici suonano e sembrano uguali, ma lo sono significati diversi. Ad esempio, le radici sono nelle parole "guidare" e "acqua".

Parole difficili

Può essere difficile identificare una radice in una parola anche quando ne contiene diverse. Tali parole sono chiamate parole composte. Si formano aggiungendo due o anche tre parole e combinandone i significati. Per identificare correttamente le radici di una parola complessa, è necessario determinarne correttamente il significato. Ad esempio, un pedone (cammina), un operaio siderurgico (versa l'acciaio), una betoniera (mescola il cemento). Tipicamente, per formare parole per addizione, vengono utilizzate le vocali di collegamento -o- (gas-o-wire) e -e- (oil-e-wire).

Radici con alternanza

Nella lingua russa ci sono radici che consentono diverse opzioni per scrivere una vocale o una consonante nella radice, a seconda della forma della parola. Tali radici sono chiamate radici alternate. In questi casi, la conoscenza aiuterà a identificare la radice in una parola possibili opzioni alternanze. Quindi, tra le vocali queste sono:

O/a (scottatura - abbronzatura);

O/e/i (bruciare - accendere - bruciare);

O/s (s) (ululato - urla, battuto - lotta);

O/s/u (prosciugato - seccato - secco);

Suono O/zero (sonno - sogni);

Suono E/zero (giorno - giorno).

L'ortografia di tali radici può dipendere dall'accento, dalle lettere successive, dalla posizione e dal significato lessicale ed è determinata da regole.

Tra le consonanti si distinguono le seguenti alternanze:

G/f/z (amico - essere amici - amici);

K/h (lancette - manuale);

Treno ferroviario (autista - consigliere - accompagnatore);

H/sh (silenzioso - più silenzioso);

P/pl (cieco - cieco);

M/ml (feed - alimentazione);

B/bl (amare - innamorato);

V/vl (cattura - cattura).

Ortografia alla radice di una parola

L'ortografia è il punto in una parola in cui è possibile commettere un errore. Tali luoghi possono trovarsi in qualsiasi parte della parola, inclusa la radice. Dopo aver identificato l'ortografia della radice di una parola, devi prima determinare se è verificabile o non verificabile. L'ortografia delle ortografie non controllate deve essere controllata in un dizionario e deve essere memorizzata. Tra le ortografie testate ci sono: consonanti sonore e sorde non accentate, ortografia di consonanti impronunciabili. Per scegliere l'ortografia corretta, è necessario mettere la lettera in dubbio in una posizione forte. Questa posizione per una vocale sarà accentata (vola - pilota) e per una consonante - prima di una vocale o sonora (quercia - querce, ciao - salute, dente - dente). Per un rapido e selezione corretta parole di prova, è necessario identificare con precisione la radice delle parole con la stessa radice, che sono parole di prova.

Pertanto, la capacità di identificare correttamente la radice di una parola è una delle chiavi per una scrittura competente. Oltre a memorizzare le regole, la lettura può senza dubbio aiutare a sviluppare questa abilità. Dopo tutto, cosa più persone legge, più ricco è il suo vocabolario.

Fatto 1.
\(\bullet\) Prendiamo un numero non negativo \(a\) (ovvero \(a\geqslant 0\) ). Quindi (aritmetica) radice quadrata dal numero \(a\) viene chiamato tale numero non negativo \(b\) , al quadrato otteniamo il numero \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(uguale a )\quad a=b^2\] Dalla definizione ne consegue che \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Queste restrizioni sono una condizione importante per l'esistenza di una radice quadrata e dovrebbero essere ricordate!
Ricorda che qualsiasi numero al quadrato dà un risultato non negativo. Cioè, \(100^2=10000\geqslant 0\) e \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) A cosa è uguale \(\sqrt(25)\)? Sappiamo che \(5^2=25\) e \((-5)^2=25\) . Poiché per definizione dobbiamo trovare un numero non negativo, allora \(-5\) non è adatto, quindi \(\sqrt(25)=5\) (poiché \(25=5^2\) ).
Trovare il valore di \(\sqrt a\) viene chiamato prendendo la radice quadrata del numero \(a\) e il numero \(a\) viene chiamato espressione radicale.
\(\bullet\) In base alla definizione, espressione \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), ecc. non ha senso

Fatto 2.
Per calcoli rapidi sarà utile imparare la tabella dei quadrati numeri naturali da \(1\) a \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fatto 3.
Quali operazioni puoi fare con le radici quadrate?
\(\proiettile\) Cioè, la somma o la differenza delle radici quadrate NON È UGUALE alla radice quadrata della somma o della differenza \[\quadrato a\pm\quadrato b\ne \quadrato(a\pm b)\] Pertanto, se devi calcolare, ad esempio, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , inizialmente devi trovare i valori di \(\sqrt(25)\) e \(\ sqrt(49)\ ) e poi piegarli. Quindi, \[\quadrato(25)+\quadrato(49)=5+7=12\] Se i valori \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) non possono essere trovati aggiungendo \(\sqrt a+\sqrt b\), tale espressione non viene ulteriormente trasformata e rimane così com'è. Ad esempio, nella somma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) possiamo trovare \(\sqrt(49)\) è \(7\) , ma \(\sqrt 2\) non può essere trasformato in comunque, ecco perché \(\quadrato 2+\quadrato(49)=\quadrato 2+7\). Purtroppo questa espressione non può essere ulteriormente semplificata\(\bullet\) Il prodotto/quoziente delle radici quadrate è uguale alla radice quadrata del prodotto/quoziente, ovvero \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (a condizione che entrambi i lati delle uguaglianze abbiano senso)
Esempio: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\).
\(\bullet\) Usando queste proprietà, è conveniente trovare le radici quadrate di grandi numeri fattorizzandoli.
Diamo un'occhiata a un esempio. Troviamo \(\sqrt(44100)\) . Poiché \(44100:100=441\) , allora \(44100=100\cdot 441\) . Secondo il criterio di divisibilità, il numero \(441\) è divisibile per \(9\) (poiché la somma delle sue cifre è 9 ed è divisibile per 9), quindi, \(441:9=49\), cioè \(441=9\ cdot 49\) . Così abbiamo ottenuto:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mostriamo come inserire i numeri sotto il segno della radice quadrata usando l'esempio dell'espressione \(5\sqrt2\) (notazione breve per l'espressione \(5\cdot \sqrt2\)). Poiché \(5=\sqrt(25)\) , allora \ Si noti inoltre che, ad es.
1) \(\quadrato2+3\quadrato2=4\quadrato2\) ,
2) \(5\quadrato3-\quadrato3=4\quadrato3\)
3) \(\quadrato a+\quadrato a=2\quadrato a\) .

Perché? Spieghiamo utilizzando l'esempio 1). Come già capisci, non possiamo in qualche modo trasformare il numero \(\sqrt2\). Immaginiamo che \(\sqrt2\) sia un numero \(a\) . Di conseguenza, l'espressione \(\sqrt2+3\sqrt2\) non è altro che \(a+3a\) (un numero \(a\) più altri tre numeri uguali \(a\)). E sappiamo che questo è uguale a quattro di questi numeri \(a\) , cioè \(4\sqrt2\) .

Fatto 4.
\(\bullet\) Spesso si dice “non puoi estrarre la radice” quando non riesci a eliminare il segno \(\sqrt () \ \) della radice (radicale) quando trovi il valore di un numero . Ad esempio, puoi prendere la radice del numero \(16\) perché \(16=4^2\) , quindi \(\sqrt(16)=4\) . Ma è impossibile estrarre la radice del numero \(3\), cioè trovare \(\sqrt3\), perché non esiste un numero che al quadrato dia \(3\) .
Tali numeri (o espressioni con tali numeri) sono irrazionali. Ad esempio, i numeri \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) e così via. sono irrazionali.
Irrazionali sono anche i numeri \(\pi\) (il numero “pi”, approssimativamente uguale a \(3.14\)), \(e\) (questo numero è chiamato numero di Eulero, è approssimativamente uguale a \(2.7 \)) eccetera.
\(\bullet\) Tieni presente che qualsiasi numero sarà razionale o irrazionale. E insieme tutti i numeri razionali e tutti i numeri irrazionali formano un insieme chiamato un insieme di numeri reali. Questo insieme è indicato dalla lettera \(\mathbb(R)\) .
Ciò significa che tutti i numeri attivi questo momento sappiamo che si chiamano numeri reali.

Fatto 5.
\(\bullet\) Il modulo di un numero reale \(a\) è un numero non negativo \(|a|\) , pari alla distanza dal punto \(a\) a \(0\) sulla retta reale. Ad esempio, \(|3|\) e \(|-3|\) sono uguali a 3, poiché le distanze dai punti \(3\) e \(-3\) a \(0\) sono le uguale e uguale a \(3 \) .
\(\bullet\) Se \(a\) è un numero non negativo, allora \(|a|=a\) .
Esempio: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
Esempio: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Si dice che per i numeri negativi il modulo “mangia” il meno, mentre i numeri positivi, così come il numero \(0\), vengono lasciati invariati dal modulo.
MA Questa regola si applica solo ai numeri. Se sotto il segno del modulo c'è uno sconosciuto \(x\) (o qualche altro sconosciuto), ad esempio \(|x|\) , di cui non sappiamo se sia positivo, zero o negativo, allora sbarazzati del modulo non possiamo. In questo caso, questa espressione rimane la stessa: \(|x|\) . \(\bullet\) Valgono le seguenti formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( fornito ) a\geqslant 0\]
Molto spesso si commette il seguente errore: si dice che \(\sqrt(a^2)\) e \((\sqrt a)^2\) sono la stessa cosa. Questo è vero solo se \(a\) è un numero positivo o zero. Ma se \(a\) è un numero negativo, allora è falso. Basti considerare questo esempio. Prendiamo al posto di \(a\) il numero \(-1\) . Quindi \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ma l'espressione \((\sqrt (-1))^2\) non esiste affatto (dopo tutto, è impossibile usare il segno di radice e mettere numeri negativi!). Pertanto, attiriamo la vostra attenzione sul fatto che \(\sqrt(a^2)\) non è uguale a \((\sqrt a)^2\) ! Esempio 1)\(\quadrato(\sinistra(-\quadrato2\destra)^2)=|-\quadrato2|=\quadrato2\)<0\) ;

, Perché \(-\sqrt2 \(\phantom(00000)\) 2) \(((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) Poiché \(\sqrt(a^2)=|a|\) , allora \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(l'espressione \(2n\) denota un numero pari)
Cioè, quando si estrae la radice di un numero che è di un certo grado, questo grado viene dimezzato.
Esempio:
1) \(\quadrato(4^6)=|4^3|=4^3=64\)

2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (notare che se il modulo non viene fornito, risulta che la radice del numero è uguale a \(-25\ ) ; ma ricordiamo che per definizione di radice questo non può accadere: quando si estrae una radice, dovremmo sempre ottenere un numero positivo o zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (poiché qualsiasi numero elevato a una potenza pari è non negativo)
Fatto 6.<\sqrt b\) , то \(a(l'espressione \(2n\) denota un numero pari)
Come confrontare due radici quadrate? \(\bullet\) Per le radici quadrate è vero: if \(\sqrt a 1) confrontare \(\sqrt(50)\) e \(6\sqrt2\) . Per prima cosa trasformiamo la seconda espressione in<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
\(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\)
. Pertanto, poiché \(50<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
2) Tra quali numeri interi si trova \(\sqrt(50)\)? \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((aggiungi uno ad entrambi i lati))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((quadratura di entrambi i lati))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(aligned)\] Vediamo che abbiamo ottenuto una disuguaglianza errata. Pertanto, la nostra ipotesi era errata e \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Si noti che l'aggiunta di un certo numero a entrambi i membri della disuguaglianza non influisce sul suo segno. Anche moltiplicare/dividere entrambi i membri di una disuguaglianza per un numero positivo non ne influenza il segno, ma moltiplicare/dividere per un numero negativo inverte il segno della disuguaglianza!
Puoi elevare al quadrato entrambi i lati di un'equazione/disuguaglianza SOLO SE entrambi i lati sono non negativi. Ad esempio, nella disuguaglianza dell'esempio precedente puoi elevare al quadrato entrambi i lati, nella disuguaglianza \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) È bene ricordarlo \[\begin(aligned) &\sqrt 2\circa 1,4\\ &\sqrt 3\circa 1,7 \end(aligned)\] Conoscere il significato approssimativo di questi numeri ti aiuterà a confrontare i numeri!
\(\bullet\) Per estrarre la radice (se è possibile estrarla) da un numero grande che non si trova nella tabella dei quadrati, è necessario prima determinare tra quali “centinaia” si trova, quindi – tra quale “ decine", quindi determinare l'ultima cifra di questo numero. Mostriamo come funziona con un esempio.
Prendiamo \(\sqrt(28224)\) . Sappiamo che \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), ecc. Tieni presente che \(28224\) è compreso tra \(10\,000\) e \(40\,000\) . Pertanto, \(\sqrt(28224)\) è compreso tra \(100\) e \(200\) .
Ora determiniamo tra quali “decine” si trova il nostro numero (cioè, ad esempio, tra \(120\) e \(130\)). Inoltre dalla tavola dei quadrati sappiamo che \(11^2=121\) , \(12^2=144\) ecc., quindi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Quindi vediamo che \(28224\) è compreso tra \(160^2\) e \(170^2\) . Pertanto, il numero \(\sqrt(28224)\) è compreso tra \(160\) e \(170\) .
Proviamo a determinare l'ultima cifra. Ricordiamo quali numeri a una cifra, al quadrato, danno \(4\) alla fine? Questi sono \(2^2\) e \(8^2\) . Pertanto, \(\sqrt(28224)\) terminerà con 2 o 8. Controlliamolo. Troviamo \(162^2\) e \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .

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