Moltiplicazione e divisione dei numeri negativi. Regole per moltiplicare i numeri negativi

In questo articolo capiremo il processo moltiplicazione numeri negativi . Per prima cosa formuliamo la regola per moltiplicare i numeri negativi e la giustifichiamo. Successivamente passeremo alla risoluzione di esempi tipici.

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Lo annunceremo subito regola per moltiplicare i numeri negativi: Per moltiplicare due numeri negativi, devi moltiplicare i loro valori assoluti.

Scriviamo questa regola usando le lettere: per ogni numero reale negativo −a e −b (in questo caso, i numeri a e b sono positivi) vale la seguente uguaglianza: (−a)·(−b)=a·b .

Dimostriamo la regola per moltiplicare i numeri negativi, ovvero dimostreremo l'uguaglianza (−a)·(−b)=a·b.

Nell'articolo moltiplicare i numeri con segni diversi abbiamo dimostrato la validità dell'uguaglianza a·(−b)=−a·b, analogamente si dimostra che (−a)·b=−a·b. Questi risultati e le proprietà dei numeri opposti ci permettono di scrivere le seguenti uguaglianze (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b))=a·b. Ciò dimostra la regola per moltiplicare i numeri negativi.

Dalla regola di moltiplicazione di cui sopra è chiaro che il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo. Infatti, poiché il modulo di qualsiasi numero è positivo, anche il prodotto dei moduli è un numero positivo.

In conclusione di questo punto, notiamo che la regola considerata può essere utilizzata per moltiplicare i numeri reali, numeri razionali e numeri interi.

E' ora di sistemare la cosa esempi di moltiplicazione di due numeri negativi, durante la risoluzione utilizzeremo la regola ottenuta nel paragrafo precedente.

Moltiplica due numeri negativi −3 e −5.

I moduli dei numeri da moltiplicare sono rispettivamente 3 e 5. Il prodotto di questi numeri è 15 (vedi moltiplicazione se necessario numeri naturali), quindi il prodotto dei numeri originali è 15.

L'intero processo di moltiplicazione dei numeri negativi iniziali si scrive brevemente come segue: (−3)·(−5)= 3·5=15.

La moltiplicazione dei numeri razionali negativi utilizzando la regola analizzata può essere ridotta alla moltiplicazione frazioni ordinarie, moltiplicando numeri misti o moltiplicando i decimali.

Calcola il prodotto (−0,125)·(−6) .

Secondo la regola per moltiplicare i numeri negativi, abbiamo (−0,125)·(−6)=0,125·6. Non resta che terminare i calcoli; moltiplicare la frazione decimale per un numero naturale in una colonna:

Infine, si noti che se uno o entrambi i fattori sono numeri irrazionali, espressi sotto forma di radici, logaritmi, potenze, ecc., spesso il loro prodotto deve essere scritto come espressione numerica. Il valore dell'espressione risultante viene calcolato solo quando necessario.

Moltiplicare un numero negativo per un numero negativo.

Troviamo prima i moduli dei numeri da moltiplicare: e (vedi proprietà del logaritmo). Quindi, secondo la regola della moltiplicazione dei numeri negativi, abbiamo. Il prodotto risultante è la risposta.

Puoi continuare a studiare l'argomento facendo riferimento alla sezione moltiplicando numeri reali.

Con un po' di forzatura, la stessa spiegazione è valida per il prodotto 1-5, se assumiamo che la “somma” provenga da un singolo

il termine è uguale a questo termine. Ma il prodotto 0 5 o (-3) 5 non può essere spiegato in questo modo: cosa significa la somma di zero o meno tre termini?

Tuttavia, puoi riorganizzare i fattori

Se vogliamo che il prodotto non cambi quando si riorganizzano i fattori, come è avvenuto per numeri positivi- allora dobbiamo quindi presumerlo

Passiamo ora al prodotto (-3) (-5). Quanto è uguale a: -15 o +15? Entrambe le opzioni hanno una ragione. Da un lato, il segno meno di un fattore rende già il prodotto negativo, tanto più che dovrebbe essere negativo se entrambi i fattori sono negativi. D'altra parte, nella tabella. 7 ha già due meno, ma solo un più, e “in tutta onestà” (-3)-(-5) dovrebbe essere uguale a +15. Quindi quale dovresti preferire?

Naturalmente, non rimarrai confuso da questi discorsi: da corso scolastico matematici Avete imparato con fermezza che meno con meno dà un più. Ma immagina che tuo fratello o tua sorella minore ti chieda: perché? Cos'è questo: il capriccio di un insegnante, un ordine delle autorità superiori o un teorema che può essere dimostrato?

Di solito la regola per moltiplicare i numeri negativi viene spiegata con esempi come quello presentato nella tabella. 8.

Può essere spiegato diversamente. Scriviamo i numeri in fila

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Ora scriviamo gli stessi numeri moltiplicati per 3:

È facile notare che ogni numero è 3 in più rispetto al precedente. Ora scriviamo gli stessi numeri in ordine inverso (iniziando, ad esempio, con 5 e 15):

Inoltre, sotto il numero -5 c'era il numero -15, quindi 3 (-5) = -15: più per meno dà meno.

Adesso ripetiamo lo stesso procedimento, moltiplicando i numeri 1,2,3,4,5. per -3 (sappiamo già che più per meno dà meno):

Ogni numero successivo nella riga inferiore è 3 inferiore al precedente. Scrivi i numeri in ordine inverso

Sotto il numero -5 ce ne sono 15, quindi (-3) (-5) = 15.

Forse queste spiegazioni potrebbero soddisfare i tuoi fratello minore o sorella. Ma hai il diritto di chiederti come stanno realmente le cose ed è possibile dimostrare che (-3) (-5) = 15?

La risposta qui è che possiamo dimostrare che (-3) (-5) deve essere uguale a 15 se vogliamo che le proprietà ordinarie di addizione, sottrazione e moltiplicazione rimangano vere per tutti i numeri, compresi quelli negativi. Lo schema di questa dimostrazione è il seguente.

Dimostriamo innanzitutto che 3 (-5) = -15. Cos'è -15? Questo è il numero opposto di 15, cioè il numero che sommato a 15 dà 0. Quindi dobbiamo dimostrarlo

(Togliendo 3 dalla parentesi, abbiamo usato la legge della distributività ab + ac = a(b + c) per - dopo tutto, assumiamo che rimanga vera per tutti i numeri, compresi quelli negativi.) Quindi, (Il meticoloso il lettore ci chiederà perché lo ammettiamo onestamente: tralasciamo la dimostrazione di questo fatto - così come la discussione generale su cosa sia lo zero.)

Dimostriamo ora che (-3) (-5) = 15. Per fare ciò scriviamo

e moltiplica entrambi i membri dell'uguaglianza per -5:

Apriamo le parentesi sul lato sinistro:

cioè (-3) (-5) + (-15) = 0. Quindi il numero è l'opposto del numero -15, cioè uguale a 15. (Ci sono anche delle lacune in questo ragionamento: sarebbe necessario dimostrare che esiste un solo numero, il contrario di -15.)

Regole per moltiplicare i numeri negativi

Comprendiamo correttamente la moltiplicazione?

“A e B erano seduti sul tubo. A è caduto, B è scomparso, cosa resta sul tubo?
"La tua lettera I rimane."

(Dal film “Giovani nell’Universo”)

Perché moltiplicando un numero per zero si ottiene zero?

Perché moltiplicando due numeri negativi si ottiene un numero positivo?

Gli insegnanti fanno di tutto per dare risposte a queste due domande.

Ma nessuno ha il coraggio di ammettere che ci sono tre errori semantici nella formulazione della moltiplicazione!

È possibile commettere errori nell'aritmetica di base? Dopotutto, la matematica si posiziona come una scienza esatta.

I libri di testo scolastici di matematica non forniscono risposte a queste domande, sostituendo le spiegazioni con una serie di regole che devono essere memorizzate. Forse questo argomento è considerato difficile da spiegare alle scuole medie? Proviamo a comprendere questi problemi.

7 è il moltiplicando. 3 è il moltiplicatore. 21-lavoro.

Secondo la formulazione ufficiale:

moltiplicare un numero per un altro numero significa aggiungere tanti moltiplicandi quanti ne prescrive il moltiplicatore.

Secondo la formulazione accettata, il fattore 3 ci dice che dovrebbero esserci tre sette sul lato destro dell'uguaglianza.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Ma questa formulazione della moltiplicazione non può spiegare le domande poste sopra.

Correggiamo la formulazione della moltiplicazione

Di solito in matematica c'è molto di cui si parla, ma non se ne parla né si scrive.

Questo si riferisce al segno più prima dei primi sette sul lato destro dell'equazione. Scriviamo questo vantaggio.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Ma a cosa vengono aggiunti i primi sette? Questo significa zero, ovviamente. Scriviamo zero.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

E se moltiplichiamo per tre meno sette?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

Scriviamo l'addizione del moltiplicando -7, ma in realtà sottraiamo da zero più volte. Apriamo le parentesi.

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

Ora possiamo dare una formulazione raffinata della moltiplicazione.

La moltiplicazione è il processo di aggiunta ripetuta (o sottrazione da zero) al moltiplicando (-7) tante volte quanto indicato dal moltiplicatore. Il moltiplicatore (3) e il suo segno (+ o -) indicano il numero di operazioni che vengono aggiunte o sottratte da zero.

Utilizzando questa formulazione della moltiplicazione chiarita e leggermente modificata, le “regole dei segni” per la moltiplicazione quando il moltiplicatore è negativo sono facilmente spiegate.

7 * (-3) - devono esserci tre segni meno dopo lo zero = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

- 7 * (-3) - ancora una volta dovrebbero esserci tre segni meno dopo lo zero =

0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Moltiplicare per zero

7 * 0 = 0 + . non ci sono operazioni di addizione a zero.

Se la moltiplicazione è un'addizione a zero e il moltiplicatore mostra il numero di operazioni di addizione a zero, allora il moltiplicatore zero mostra che nulla viene aggiunto a zero. Ecco perché rimane zero.

Quindi, nella formulazione esistente della moltiplicazione, abbiamo trovato tre errori semantici che impediscono la comprensione delle due “regole dei segni” (quando il moltiplicatore è negativo) e la moltiplicazione di un numero per zero.

Non è necessario sommare il moltiplicando, ma sommarlo a zero.
La moltiplicazione non è solo sommare a zero, ma anche sottrarre da zero.
Il moltiplicatore e il suo segno non mostrano il numero di termini, ma il numero di segni più o meno quando si scompone la moltiplicazione in termini (o sottratti).

Avendo un po' chiarito la formulazione, siamo riusciti a spiegare le regole dei segni per la moltiplicazione e la moltiplicazione di un numero per zero senza l'aiuto della legge commutativa della moltiplicazione, senza la legge distributiva, senza implicare analogie con la linea numerica, senza equazioni , senza prova dell'inverso, ecc.

Le regole dei segni per la formulazione raffinata della moltiplicazione si ottengono in modo molto semplice.

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

Il moltiplicatore e il suo segno (+3 o -3) indicano il numero di segni “+” o “-” sul lato destro dell'equazione.

La formulazione modificata della moltiplicazione corrisponde all'operazione di elevare un numero a potenza.

2^0 = 1 (uno non viene moltiplicato o diviso per nulla, quindi rimane uno)

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

I matematici concordano sul fatto che elevare un numero a una potenza positiva significa moltiplicarne uno ancora e ancora. E aumentare un numero a grado negativoè una divisione multipla di un'unità.

L'operazione di moltiplicazione dovrebbe essere simile all'operazione di esponenziazione.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*0 = 0 (nulla viene aggiunto a zero e nulla viene sottratto da zero)

2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

La formulazione modificata della moltiplicazione non cambia nulla in matematica, ma restituisce il significato originale dell'operazione di moltiplicazione, spiega le “regole dei segni”, moltiplicando un numero per zero, e riconcilia la moltiplicazione con l'elevamento a potenza.

Controlliamo se la nostra formulazione della moltiplicazione è coerente con l'operazione di divisione.

15: 5 = 3 (inverso della moltiplicazione 5 * 3 = 15)

Il quoziente (3) corrisponde al numero di operazioni di addizione a zero (+3) durante la moltiplicazione.

Dividere il numero 15 per 5 significa trovare quante volte devi sottrarre 5 da 15. Questo viene fatto mediante sottrazione sequenziale fino a ottenere un risultato pari a zero.

Per trovare il risultato della divisione, devi contare il numero di segni meno. Ce ne sono tre.

15: 5 = 3 operazioni per sottrarre cinque da 15 per ottenere zero.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (divisione 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (moltiplicando 5 * 3)

Divisione con resto.

17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

17: 5 = 3 e 2 resto

Se c'è divisione con resto, perché non moltiplicazione con appendice?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Diamo un'occhiata alla differenza nella dicitura sulla calcolatrice

Formulazione esistente della moltiplicazione (tre termini).

10 + 10 + 10 = 30

Formulazione della moltiplicazione corretta (tre addizioni alle operazioni zero).

0 + 10 = = = 30

(Premere “uguale” tre volte.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Un moltiplicatore pari a 3 indica che il moltiplicando 10 deve essere sommato a zero tre volte.

Prova a moltiplicare (-10) * (-3) aggiungendo il termine (-10) meno tre volte!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

Cosa significa il segno meno per tre? Può darsi?

(-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

Op. Non è possibile scomporre il prodotto nella somma (o differenza) di termini (-10).

La formulazione rivista lo fa correttamente.

0 — (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Il moltiplicatore (-3) indica che il moltiplicando (-10) deve essere sottratto da zero tre volte.

Regole dei segni per addizioni e sottrazioni

Sopra abbiamo mostrato un modo semplice per ricavare le regole dei segni per la moltiplicazione cambiando il significato della formulazione della moltiplicazione.

Ma per la conclusione abbiamo utilizzato le regole dei segni per addizione e sottrazione. Sono quasi gli stessi della moltiplicazione. Creiamo una visualizzazione delle regole dei segni per addizione e sottrazione, in modo che anche un alunno di prima elementare possa capirlo.

Cos'è il "meno", il "negativo"?

Non c'è nulla di negativo in natura. NO temperatura negativa, nessuna direzione negativa, nessuna massa negativa, nessuna carica negativa. Anche il seno per sua natura non può che essere positivo.

Ma i matematici hanno trovato numeri negativi. Per quello? Cosa significa "meno"?

Meno significa direzione opposta. Sinistra destra. In alto in basso. In senso orario - antiorario. Avanti e indietro. Freddo caldo. Leggero e pesante. Piano veloce. Se ci pensi, puoi fornire molti altri esempi in cui è conveniente usarlo valori negativi le quantità

Nel mondo che conosciamo, l'infinito parte da zero e arriva a più infinito.

"Meno infinito" in mondo reale non esiste. Questa è la stessa convenzione matematica del concetto di “meno”.

Quindi, “meno” denota la direzione opposta: movimento, rotazione, processo, moltiplicazione, addizione. Analizziamo direzioni diverse quando si sommano e sottraggono numeri positivi e negativi (aumentando nella direzione opposta).

La difficoltà nel comprendere le regole dei segni di addizione e sottrazione è dovuta al fatto che queste regole sono solitamente spiegate sulla linea numerica. Sulla linea numerica si mescolano tre diversi componenti, da cui derivano le regole. E a causa della confusione, a causa dell'ammucchiamento di concetti diversi in un unico mucchio, si creano difficoltà di comprensione.

Per comprendere le regole dobbiamo dividere:

il primo termine e la somma (saranno sull'asse orizzontale);
il secondo termine (sarà sull'asse verticale);
direzione delle operazioni di addizione e sottrazione.

Questa divisione è chiaramente mostrata nella figura. Immagina mentalmente che l'asse verticale possa ruotare, sovrapponendosi all'asse orizzontale.

L'operazione di addizione si esegue sempre ruotando l'asse verticale in senso orario (segno più). L'operazione di sottrazione si esegue sempre ruotando l'asse verticale in senso antiorario (segno meno).

Esempio. Diagramma nell'angolo in basso a destra.

Si può vedere che due segni meno adiacenti (il segno dell'operazione di sottrazione e il segno del numero 3) hanno significati diversi. Il primo meno mostra la direzione della sottrazione. Il secondo meno è il segno del numero sull'asse verticale.

Trova il primo termine (-2) sull'asse orizzontale. Troviamo il secondo termine (-3) sull'asse verticale. Ruota mentalmente l'asse verticale in senso antiorario finché (-3) non si allinea con il numero (+1) sull'asse orizzontale. Il numero (+1) è il risultato dell'addizione.

dà lo stesso risultato dell'operazione di addizione nel diagramma nell'angolo in alto a destra.

Pertanto, due segni meno adiacenti possono essere sostituiti con un segno più.

Siamo tutti abituati a utilizzare regole aritmetiche già pronte senza pensare al loro significato. Pertanto, spesso non notiamo nemmeno come le regole dei segni di addizione (sottrazione) differiscono dalle regole dei segni di moltiplicazione (divisione). Sembrano uguali? Quasi. Una leggera differenza può essere vista nella seguente illustrazione.

Ora abbiamo tutto ciò che ci serve per ricavare le regole dei segni per la moltiplicazione. La sequenza di output è la seguente.

Mostriamo chiaramente come si ottengono le regole dei segni per l'addizione e la sottrazione.
Apportiamo modifiche semantiche alla formulazione esistente della moltiplicazione.
Sulla base della formulazione modificata della moltiplicazione e delle regole dei segni per l'addizione, deriviamo le regole dei segni per la moltiplicazione.

Di seguito sono scritti Regole dei segni per addizioni e sottrazioni, ottenuto dalla visualizzazione. E in rosso, per confronto, le stesse regole dei segni del libro di testo di matematica. Il più grigio tra parentesi è un più invisibile, che non è scritto per un numero positivo.

Ci sono sempre due segni tra i termini: il segno dell'operazione e il segno del numero (non scriviamo più, ma lo intendiamo). Le regole dei segni prescrivono la sostituzione di una coppia di caratteri con un'altra coppia senza modificare il risultato dell'addizione (sottrazione). In realtà, ci sono solo due regole.

Regole 1 e 3 (per la visualizzazione) - duplicare le regole 4 e 2.. Le regole 1 e 3 nell'interpretazione scolastica non coincidono con lo schema visivo, pertanto non si applicano alle regole dei segni per l'addizione. Queste sono alcune altre regole.

La regola scolastica 1. (rossa) ti consente di sostituire due più di fila con un più. La regola non si applica alla sostituzione dei segni di addizione e sottrazione.

La regola scolastica 3. (rossa) ti consente di non scrivere un segno più per un numero positivo dopo un'operazione di sottrazione. La regola non si applica alla sostituzione dei segni di addizione e sottrazione.

Il significato delle regole dei segni per l'addizione è la sostituzione di una COPPIA di caratteri con un'altra COPPIA di caratteri senza modificare il risultato dell'addizione.

I metodologi scolastici hanno mescolato due regole in un'unica regola:

— due regole di segni quando si sommano e sottraggono numeri positivi e negativi (sostituendo una coppia di segni con un'altra coppia di segni);

- due regole secondo le quali non è possibile scrivere un segno più per un numero positivo.

Due regole diverse, mescolati in uno, sono simili alle regole dei segni nella moltiplicazione, dove due segni danno come risultato un terzo. Sembrano esattamente uguali.

Grande confusione! Ancora la stessa cosa, per districare meglio. Evidenziamo in rosso i segni di operazione per distinguerli dai segni numerici.

1. Addizione e sottrazione. Due regole di segni secondo le quali vengono scambiate coppie di segni tra termini. Segno di operazione e segno numerico.

2. Due regole secondo le quali è consentito non scrivere il segno più di un numero positivo. Queste sono le regole per il modulo di iscrizione. Non si applica all'addizione. Per un numero positivo viene scritto solo il segno dell'operazione.

3. Quattro regole di segni per la moltiplicazione. Quando due segni di fattori danno luogo a un terzo segno del prodotto. Le regole dei segni di moltiplicazione contengono solo segni numerici.

Ora che abbiamo separato le regole della forma, dovrebbe essere chiaro che le regole dei segni per l'addizione e la sottrazione non sono affatto simili alle regole dei segni per la moltiplicazione.

"La regola per moltiplicare i numeri negativi e i numeri con segni diversi." 6a elementare

Presentazione della lezione

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Attenzione! Le anteprime delle diapositive sono solo a scopo informativo e potrebbero non rappresentare tutte le funzionalità della presentazione. Se siete interessati questo lavoro, scarica la versione completa.

Obiettivi della lezione.

Soggetto:

formulare una regola per moltiplicare i numeri negativi e i numeri con segni diversi,
insegnare agli studenti come applicare questa regola.

Metasoggetto:

sviluppare la capacità di lavorare secondo l'algoritmo proposto, elaborare un piano per le tue azioni,
sviluppare capacità di autocontrollo.

Personale:

sviluppare abilità comunicative,
modulo interesse cognitivo studenti.

Attrezzatura: computer, schermo, proiettore multimediale, Presentazione Powerpoint, dispensa: tabella per le regole di registrazione, test.

(Libro di testo di N.Ya. Vilenkin “Matematica. 6a elementare”, M: “Mnemosyne”, 2013.)

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

Comunicare l'argomento della lezione e registrare l'argomento su quaderni da parte degli studenti.

II. Motivazione.

Diapositiva numero 2. (Obiettivo della lezione. Piano della lezione).

Oggi continueremo a studiare un'importante proprietà aritmetica: la moltiplicazione.

Sai già come moltiplicare i numeri naturali - verbalmente e in colonna,

Imparato a moltiplicare i decimali e le frazioni ordinarie. Oggi dovrai formulare la regola della moltiplicazione per i numeri negativi e per i numeri con segni diversi. E non solo formularlo, ma anche imparare ad applicarlo.

III. Aggiornamento della conoscenza.

Risolvi le equazioni: a) x: 1,8 = 0,15; b) y: = . (Studente alla lavagna)

Conclusione: per risolvere tali equazioni devi essere in grado di moltiplicare numeri diversi.

2) Controllo della casa lavoro indipendente. Rivedi le regole per moltiplicare decimali, frazioni e numeri misti. (Diapositive n. 4 e n. 5).

IV. Formulazione della regola.

Considera l'attività 1 (diapositiva numero 6).

Considera l'attività 2 (diapositiva numero 7).

Nel processo di risoluzione dei problemi, abbiamo dovuto moltiplicare numeri con segni diversi e numeri negativi. Diamo uno sguardo più da vicino a questa moltiplicazione e ai suoi risultati.

Moltiplicando numeri con segni diversi otteniamo un numero negativo.

Diamo un'occhiata a un altro esempio. Trova il prodotto (–2) * 3, sostituendo la moltiplicazione con la somma dei termini identici. Allo stesso modo, trova il prodotto 3 * (–2). (Verifica - diapositiva n. 8).

Domande:

1) Qual è il segno del risultato quando si moltiplicano numeri con segni diversi?

2) Come si ottiene il modulo dei risultati? Formuliamo una regola per moltiplicare numeri con segni diversi e scriviamo la regola nella colonna di sinistra della tabella. (Diapositiva n. 9 e Appendice 1).

Regola per moltiplicare i numeri negativi e i numeri con segni diversi.

Torniamo al secondo problema, in cui abbiamo moltiplicato due numeri negativi. È abbastanza difficile spiegare tale moltiplicazione in un altro modo.

Usiamo la spiegazione data nel XVIII secolo dal grande scienziato russo (nato in Svizzera), matematico e meccanico Leonhard Euler. (Leonard Eulero non si è lasciato alle spalle solo lavori scientifici, ma scrisse anche una serie di libri di testo di matematica destinati agli studenti del ginnasio accademico).

Quindi Eulero spiegò il risultato più o meno come segue. (Diapositiva numero 10).

È chiaro che –2 · 3 = – 6. Pertanto, il prodotto (–2) · (–3) non può essere uguale a –6. Tuttavia deve essere in qualche modo correlato al numero 6. Rimane una possibilità: (–2) · (–3) = 6. .

Domande:

1) Qual è la sigla del prodotto?

2) Come è stato ottenuto il modulo del prodotto?

Formuliamo la regola per moltiplicare i numeri negativi e compiliamo la colonna di destra della tabella. (Diapositiva n. 11).

Per rendere più facile ricordare la regola dei segni durante la moltiplicazione, puoi usare la sua formulazione in versi. (Diapositiva n. 12).

Più per meno, moltiplicando,
Mettiamo un segno meno senza sbadigliare.
Moltiplica meno per meno
Ti daremo un vantaggio in risposta!

V. Formazione di competenze.

Impariamo come applicare questa regola per i calcoli. Oggi nella lezione eseguiremo calcoli solo con numeri interi e frazioni decimali.

1) Elaborazione di un piano d'azione.

Viene redatto uno schema per l'applicazione della norma. Le note vengono scritte alla lavagna. Un diagramma approssimativo sulla diapositiva n. 13.

2) Esecuzione di azioni secondo lo schema.

Risolviamo dal libro di testo n. 1121 (b, c, i, j, p, p). Eseguiamo la soluzione secondo lo schema redatto. Ogni esempio è spiegato da uno degli studenti. Allo stesso tempo, la soluzione è mostrata nella diapositiva n. 14.

3) Lavorare in coppia.

Compito sulla diapositiva numero 15.

Gli studenti lavorano sulle opzioni. Innanzitutto, lo studente dell'opzione 1 risolve e spiega la soluzione dell'opzione 2, lo studente dell'opzione 2 ascolta attentamente, aiuta e corregge se necessario, quindi gli studenti cambiano i ruoli.

Compito aggiuntivo per le coppie che finiscono il lavoro prima: n. 1125.

Alla fine del lavoro, la verifica viene eseguita utilizzando una soluzione già pronta situata sulla diapositiva n. 15 (viene utilizzata l'animazione).

Se molte persone sono riuscite a risolvere il n. 1125, si giunge alla conclusione che il segno del numero cambia quando moltiplicato per (?1).

4) Sollievo psicologico.

5) Lavoro indipendente.

Lavoro indipendente - testo sulla diapositiva n. 17. Dopo aver completato il lavoro - autotest utilizzando una soluzione già pronta (diapositiva n. 17 - animazione, collegamento ipertestuale alla diapositiva n. 18).

VI. Controllo del livello di assimilazione del materiale studiato. Riflessione.

Gli studenti sostengono il test. Sullo stesso foglio di carta valuta il tuo lavoro in classe compilando la tabella.

Prova la "Regola di moltiplicazione". Opzione 1.

Moltiplicazione dei numeri negativi: regola, esempi

In questo articolo formuleremo la regola per moltiplicare i numeri negativi e ne daremo una spiegazione. Il processo di moltiplicazione dei numeri negativi verrà discusso in dettaglio. Gli esempi mostrano tutti i casi possibili.

Moltiplicazione dei numeri negativi

Regola per moltiplicare i numeri negativiè che per moltiplicare due numeri negativi è necessario moltiplicare i loro moduli. Questa regola è scritta come segue: per qualsiasi numero negativo – a, – b, questa uguaglianza è considerata vera.

Sopra è riportata la regola per moltiplicare due numeri negativi. Sulla base di ciò dimostriamo l'espressione: (— a) · (— b) = a · b. L'articolo sulla moltiplicazione dei numeri con segni diversi dice che sono valide le uguaglianze a · (- b) = - a · b, così come (- a) · b = - a · b. Ciò deriva dalla proprietà dei numeri opposti, per cui le uguaglianze verranno scritte come segue:

(— a) · (— b) = — (— a · (— b)) = — (— (a · b)) = a · b .

Qui puoi vedere chiaramente la dimostrazione della regola per moltiplicare i numeri negativi. Sulla base degli esempi, è chiaro che il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo. Quando si moltiplicano i moduli dei numeri, il risultato è sempre un numero positivo.

Questa regola è applicabile alla moltiplicazione di numeri reali, numeri razionali e numeri interi.

Esempi di moltiplicazione di numeri negativi

Ora diamo un'occhiata in dettaglio agli esempi di moltiplicazione di due numeri negativi. Durante il calcolo, è necessario utilizzare la regola scritta sopra.

Moltiplica i numeri - 3 e - 5.

Soluzione.

Il valore assoluto dei due numeri moltiplicati è uguale ai numeri positivi 3 e 5. Il loro prodotto risulta in 15. Ne consegue che il prodotto dei numeri dati è 15

Scriviamo brevemente la moltiplicazione dei numeri negativi stessi:

(– 3) · (– 5) = 3 · 5 = 15

Risposta: (- 3) · (- 5) = 15.

Quando si moltiplicano i numeri razionali negativi, utilizzando la regola discussa, è possibile mobilitarsi per moltiplicare le frazioni, moltiplicare i numeri misti, moltiplicare i decimali.

Calcola il prodotto (— 0 , 125) · (— 6) .

Usando la regola per moltiplicare i numeri negativi, otteniamo che (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. Per ottenere il risultato è necessario moltiplicare la frazione decimale per il numero naturale di colonne. Sembra questo:

Abbiamo scoperto che l'espressione assumerà la forma (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Risposta: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

Nel caso in cui i fattori siano numeri irrazionali, il loro prodotto può essere scritto nella forma espressione numerica. Il valore viene calcolato solo quando necessario.

È necessario moltiplicare il negativo - 2 per il logaritmo non negativo 5 1 3 .

Trovare i moduli dei numeri indicati:

- 2 = 2 e log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Seguendo le regole per moltiplicare i numeri negativi, otteniamo il risultato - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Questa espressione è la risposta.

Risposta: — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Per continuare a studiare l'argomento, devi ripetere la sezione sulla moltiplicazione dei numeri reali.

Ora occupiamoci di moltiplicazione e divisione.

Diciamo che dobbiamo moltiplicare +3 per -4. Come farlo?

Consideriamo un caso del genere. Tre persone sono in debito e ciascuna ha 4$ di debito. Qual è il debito totale? Per trovarlo devi sommare tutti e tre i debiti: 4 dollari + 4 dollari + 4 dollari = 12 dollari. Abbiamo deciso che la somma dei tre numeri 4 viene indicata come 3x4. Poiché in questo caso si parla di debito, prima del 4 è presente il segno “-”. Sappiamo che il debito totale è pari a 12$, quindi il nostro problema ora diventa 3x(-4)=-12.

Otterremo lo stesso risultato se, secondo il problema, ciascuna delle quattro persone ha un debito di 3$. In altre parole, (+4)x(-3)=-12. E poiché l'ordine dei fattori non ha importanza, otteniamo (-4)x(+3)=-12 e (+4)x(-3)=-12.

Riassumiamo i risultati. Quando moltiplichi un numero positivo e uno negativo, il risultato sarà sempre un numero negativo. Il valore numerico della risposta sarà lo stesso del caso dei numeri positivi. Prodotto (+4)x(+3)=+12. La presenza del segno “-” influisce solo sul segno, ma non influisce sul valore numerico.

Come moltiplicare due numeri negativi?

Sfortunatamente, è molto difficile trovare un esempio di vita reale adeguato su questo argomento. È facile immaginare un debito di 3 o 4 dollari, ma è assolutamente impossibile immaginare -4 o -3 persone che si siano indebitate.

Forse andremo in una direzione diversa. Nella moltiplicazione, quando cambia il segno di uno dei fattori, cambia il segno del prodotto. Se cambiamo i segni di entrambi i fattori, dobbiamo cambiare due volte marchio di lavoro, prima da positivo a negativo, e poi viceversa, da negativo a positivo, cioè il prodotto avrà un segno iniziale.

Pertanto è abbastanza logico, anche se un po' strano, che (-3) x (-4) = +12.

Posizione del segno una volta moltiplicato cambia in questo modo:

numero positivo x numero positivo = numero positivo;
numero negativo x numero positivo = numero negativo;
numero positivo x numero negativo = numero negativo;
numero negativo x numero negativo = numero positivo.

In altre parole, moltiplicando due numeri con lo stesso segno otteniamo un numero positivo. Moltiplicando due numeri con segni diversi otteniamo un numero negativo.

La stessa regola vale per l'azione opposta alla moltiplicazione - per.

Puoi verificarlo facilmente eseguendo operazioni di moltiplicazione inversa. In ciascuno degli esempi precedenti, se moltiplichi il quoziente per il divisore, otterrai il dividendo e ti assicurerai che abbia lo stesso segno, ad esempio (-3)x(-4)=(+12).

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Moltiplicazione dei numeri negativi

Definizione 1

(- a) · (- b) = a · b.

Sopra è riportata la regola per moltiplicare due numeri negativi. Sulla base di ciò dimostriamo l'espressione: (- a) · (- b) = a · b. L'articolo sulla moltiplicazione dei numeri con segni diversi dice che sono valide le uguaglianze a · (- b) = - a · b, così come (- a) · b = - a · b. Ciò deriva dalla proprietà dei numeri opposti, per cui le uguaglianze verranno scritte come segue:

(- a) · (- b) = - (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b.

Questa regola è applicabile alla moltiplicazione di numeri reali, numeri razionali e numeri interi.

Ora diamo un'occhiata in dettaglio agli esempi di moltiplicazione di due numeri negativi. Durante il calcolo, è necessario utilizzare la regola scritta sopra.

Esempio 1

Moltiplica i numeri - 3 e - 5.

Soluzione.

Il valore assoluto dei due numeri moltiplicati è uguale ai numeri positivi 3 e 5. Il loro prodotto risulta in 15. Ne consegue che il prodotto dei numeri dati è 15

Scriviamo brevemente la moltiplicazione dei numeri negativi stessi:

(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15

Risposta: (- 3) · (- 5) = 15.

Quando si moltiplicano i numeri razionali negativi, utilizzando la regola discussa, è possibile mobilitarsi per moltiplicare le frazioni, moltiplicare i numeri misti, moltiplicare i decimali.

Esempio 2

Calcola il prodotto (- 0 , 125) · (- 6) .

Soluzione.

Abbiamo scoperto che l'espressione assumerà la forma (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Risposta: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

Nel caso in cui i fattori siano numeri irrazionali, il loro prodotto può essere scritto come espressione numerica. Il valore viene calcolato solo quando necessario.

Esempio 3

È necessario moltiplicare negativo - 2 per il log non negativo 5 1 3.

Soluzione

Trovare i moduli dei numeri indicati:

2 = 2 e log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Seguendo le regole per moltiplicare i numeri negativi, otteniamo il risultato - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Questa espressione è la risposta.

Risposta: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Per continuare a studiare l'argomento, devi ripetere la sezione sulla moltiplicazione dei numeri reali.

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In questo articolo ci occuperemo di moltiplicazione di numeri con segni diversi. Qui formuleremo prima la regola per moltiplicare i numeri positivi e negativi, la giustificheremo e quindi considereremo l'applicazione di questa regola quando risolviamo gli esempi.

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Regola per moltiplicare numeri con segni diversi

La moltiplicazione di un numero positivo per un numero negativo, nonché di un numero negativo per un numero positivo, viene eseguita come segue: la regola per moltiplicare i numeri con segni diversi: per moltiplicare numeri con segni diversi, è necessario moltiplicare e anteporre il segno meno al prodotto risultante.

Scriviamolo questa regola sotto forma di lettera. Per ogni numero reale positivo a e ogni numero reale negativo −b, l'uguaglianza a·(−b)=−(|a|·|b|) , e anche per un numero negativo −a e un numero positivo b l'uguaglianza (−a)·b=−(|a|·|b|) .

La regola per moltiplicare numeri con segni diversi è pienamente coerente con proprietà delle operazioni con numeri reali. Infatti, sulla base di essi è facile dimostrare che per i numeri reali e positivi aeb esiste una catena di uguaglianze della forma a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, il che dimostra che a·(−b) e a·b sono numeri opposti, il che implica l'uguaglianza a·(−b)=−(a·b) . E da ciò consegue la validità della regola di moltiplicazione in questione.

Va notato che la regola indicata per moltiplicare numeri con segni diversi è valida sia per i numeri reali che per i numeri razionali e per gli interi. Ciò deriva dal fatto che le operazioni con numeri razionali e interi hanno le stesse proprietà utilizzate nella dimostrazione precedente.

È chiaro che moltiplicare numeri con segni diversi secondo la regola risultante si riduce a moltiplicare numeri positivi.

Resta solo da considerare esempi di applicazione della regola di moltiplicazione smontata quando si moltiplicano numeri con segni diversi.

Esempi di moltiplicazione di numeri con segni diversi

Consideriamo diverse soluzioni esempi di moltiplicazione di numeri con segni diversi. Cominciamo con un caso semplice per concentrarci sui passaggi della regola piuttosto che sulla complessità computazionale.

Moltiplica il numero negativo −4 per il numero positivo 5.

Secondo la regola per moltiplicare i numeri con segni diversi, dobbiamo prima moltiplicare i valori assoluti dei fattori originali. Il modulo di −4 è 4 e il modulo di 5 è 5, e moltiplicando i numeri naturali 4 e 5 si ottiene 20. Infine, resta da mettere un segno meno davanti al numero risultante, abbiamo −20. Questo completa la moltiplicazione.

In breve, la soluzione può essere scritta come segue: (−4)·5=−(4·5)=−20.

(−4)·5=−20.

Quando si moltiplicano frazioni con segni diversi, è necessario essere in grado di moltiplicare le frazioni ordinarie, moltiplicare i decimali e le loro combinazioni con numeri naturali e misti.

Moltiplicare i numeri con segni diversi 0, (2) e.

Convertendo una frazione decimale periodica in una frazione ordinaria ed anche eseguendo la transizione da numero misto ad una frazione impropria, dal prodotto originario si arriverà al prodotto di frazioni ordinarie con segni diversi della forma. Questo prodotto è uguale alla regola per moltiplicare numeri con segni diversi. Non resta che moltiplicare le frazioni ordinarie tra parentesi, abbiamo .

Separatamente, vale la pena menzionare la moltiplicazione di numeri con segni diversi, quando lo sono uno o entrambi i fattori

Ora occupiamoci di moltiplicazione e divisione.

Diciamo che dobbiamo moltiplicare +3 per -4. Come farlo?

Riassumiamo i risultati. Quando moltiplichi un numero positivo e un numero negativo, il risultato sarà sempre un numero negativo. Il valore numerico della risposta sarà lo stesso del caso dei numeri positivi. Prodotto (+4)x(+3)=+12. La presenza del segno “-” influisce solo sul segno, ma non influisce sul valore numerico.

Come moltiplicare due numeri negativi?

Pertanto è abbastanza logico, anche se un po' strano, che (-3) x (-4) = +12.

Posizione del segno una volta moltiplicato cambia in questo modo:

numero positivo x numero positivo = numero positivo;
numero negativo x numero positivo = numero negativo;
numero positivo x numero negativo = numero negativo;
numero negativo x numero negativo = numero positivo.

In altre parole, moltiplicando due numeri con lo stesso segno otteniamo un numero positivo. Moltiplicando due numeri con segni diversi otteniamo un numero negativo.

La stessa regola vale per l'azione opposta alla moltiplicazione - per.

Questo articolo fornisce una panoramica dettagliata dividere numeri con segni diversi. Innanzitutto viene fornita la regola per dividere i numeri con segni diversi. Di seguito sono riportati esempi di divisione dei numeri positivi per negativi e dei numeri negativi per positivi.

Navigazione della pagina.

Regola per dividere i numeri con segni diversi

Nell'articolo divisione dei numeri interi è stata ottenuta una regola per dividere i numeri interi con segni diversi. Può essere esteso sia ai numeri razionali che ai numeri reali ripetendo tutto il ragionamento dell'articolo precedente.

COSÌ, regola per dividere i numeri con segni diversi ha la seguente formulazione: per dividere un numero positivo per uno negativo o un numero negativo per uno positivo, è necessario dividere il dividendo per il modulo del divisore e anteporre il segno meno al numero risultante.

Scriviamo questa regola di divisione usando le lettere. Se i numeri a e b hanno segni diversi la formula è valida a:b=−|a|:|b| .

Dalla regola indicata è chiaro che il risultato della divisione di numeri con segni diversi è un numero negativo. Infatti, poiché il modulo del dividendo e il modulo del divisore sono numeri positivi, il loro quoziente è un numero positivo e il segno meno rende questo numero negativo.

Si noti che la regola considerata riduce la divisione dei numeri con segno diverso alla divisione dei numeri positivi.

Puoi dare un'altra formulazione della regola per dividere i numeri con segni diversi: per dividere il numero a per il numero b, devi moltiplicare il numero a per il numero b −1, l'inverso del numero b. Questo è, a:b=a b −1 .

Questa regola può essere utilizzata quando è possibile andare oltre l'insieme degli interi (poiché non tutti gli interi hanno un inverso). In altre parole, si applica sia all’insieme dei numeri razionali che a quello dei numeri reali.

È chiaro che questa regola per dividere i numeri con segni diversi ti consente di passare dalla divisione alla moltiplicazione.

La stessa regola viene utilizzata quando si dividono i numeri negativi.

Resta da considerare come viene applicata questa regola per dividere i numeri con segni diversi durante la risoluzione degli esempi.

Esempi di divisione di numeri con segni diversi

Consideriamo le soluzioni per diverse caratteristiche esempi di divisione di numeri con segni diversi comprendere il principio di applicazione delle regole del paragrafo precedente.

Dividi il numero negativo −35 per il numero positivo 7.

La regola per dividere i numeri con segni diversi prescrive di trovare prima i moduli del dividendo e del divisore. Il modulo di −35 è 35 e il modulo di 7 è 7. Ora dobbiamo dividere il modulo del dividendo per il modulo del divisore, cioè dobbiamo dividere 35 per 7. Ricordando come viene eseguita la divisione dei numeri naturali, otteniamo 35:7=5. L'ultimo passaggio rimasto nella regola per dividere i numeri con segni diversi è mettere un meno davanti al numero risultante, abbiamo −5.

Ecco la soluzione completa: .

È stato possibile procedere da una diversa formulazione della regola per dividere i numeri con segni diversi. In questo caso troviamo prima l'inverso del divisore 7. Questo numero è la frazione comune 1/7. Così, . Resta da moltiplicare i numeri con segni diversi: . Ovviamente siamo arrivati allo stesso risultato.

(−35):7=−5 .

Calcolare il quoziente 8:(−60) .

Secondo la regola per dividere i numeri con segni diversi, abbiamo 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . L'espressione risultante corrisponde a una frazione ordinaria negativa (vedi il segno di divisione come una barra di frazione), puoi ridurre la frazione di 4, otteniamo .

Scriviamo brevemente tutta la soluzione: .

Quando si dividono numeri razionali frazionari con segni diversi, il loro dividendo e divisore sono solitamente rappresentati come frazioni ordinarie. Ciò è dovuto al fatto che non è sempre conveniente eseguire la divisione con numeri in un'altra notazione (ad esempio in decimale).

Il modulo del dividendo è uguale e il modulo del divisore è 0,(23) . Per dividere il modulo del dividendo per il modulo del divisore passiamo alle frazioni ordinarie.

Tabella 5

Tabella 6

Con un po' di forzatura, la stessa spiegazione è valida per il prodotto 1-5, se assumiamo che la “somma” provenga da un singolo

il termine è uguale a questo termine. Ma il prodotto 0 5 o (-3) 5 non può essere spiegato in questo modo: cosa significa la somma di zero o meno tre termini?

Tuttavia, puoi riorganizzare i fattori

Se vogliamo che il prodotto non cambi quando i fattori vengono riorganizzati - come nel caso dei numeri positivi - allora dobbiamo supporre che

Tabella 7

Naturalmente non rimarrete confusi da questi discorsi: dal vostro corso di matematica a scuola avete fermamente imparato che meno con meno dà un più. Ma immagina che tuo fratello o tua sorella minore ti chieda: perché? Cos'è questo: il capriccio di un insegnante, un ordine delle autorità superiori o un teorema che può essere dimostrato?

Di solito la regola per moltiplicare i numeri negativi viene spiegata con esempi come quello presentato nella tabella. 8.

Tabella 8

Può essere spiegato diversamente. Scriviamo i numeri in fila

Ora scriviamo gli stessi numeri moltiplicati per 3:

È facile notare che ogni numero è 3 in più rispetto al precedente. Ora scriviamo gli stessi numeri in ordine inverso (iniziando, ad esempio, con 5 e 15):

Inoltre, sotto il numero -5 c'era il numero -15, quindi 3 (-5) = -15: più per meno dà meno.

Ora ripetiamo la stessa procedura, moltiplicando i numeri 1,2,3,4,5... per -3 (sappiamo già che più per meno dà meno):

Ogni numero successivo nella riga inferiore è 3 inferiore al precedente. Scrivi i numeri in ordine inverso

e continua:

Sotto il numero -5 ce ne sono 15, quindi (-3) (-5) = 15.

Forse queste spiegazioni soddisferebbero tuo fratello o tua sorella minore. Ma hai il diritto di chiederti come stanno realmente le cose ed è possibile dimostrare che (-3) (-5) = 15?

Dimostriamo innanzitutto che 3 (-5) = -15. Cos'è -15? Questo è il numero opposto di 15, cioè il numero che sommato a 15 dà 0. Quindi dobbiamo dimostrarlo