Come moltiplicare i numeri con denominatori diversi. Regole per moltiplicare e dividere le frazioni per numeri interi

Moltiplicare un numero intero per una frazione non è un compito difficile. Ma ci sono sottigliezze che probabilmente hai capito a scuola, ma da allora hai dimenticato.

Come moltiplicare un numero intero per una frazione - alcuni termini

Se ricordi cosa sono un numeratore e un denominatore e in che cosa differisce una frazione propria da una frazione impropria, salta questo paragrafo. È per coloro che hanno completamente dimenticato la teoria.

Il numeratore è la parte superiore della frazione, ovvero ciò che stiamo dividendo. Il denominatore è più basso. Questo è ciò per cui dividiamo.
Una frazione propria è quella il cui numeratore è minore del denominatore. Una frazione impropria è quella il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore.

Come moltiplicare un numero intero per una frazione

La regola per moltiplicare un numero intero per una frazione è molto semplice: moltiplichiamo il numeratore per il numero intero, ma non tocchiamo il denominatore. Ad esempio: due moltiplicati per un quinto: otteniamo due quinti. Quattro moltiplicato per tre sedicesimi fa dodici sedicesimi.

Riduzione

Nel secondo esempio, la frazione risultante può essere ridotta.
Cosa significa? Tieni presente che sia il numeratore che il denominatore di questa frazione sono divisibili per quattro. Dividi entrambi i numeri per divisore comune e si chiama ridurre una frazione. Otteniamo tre quarti.

Frazioni improprie

Ma supponiamo di moltiplicare quattro per due quinti. Risultò essere otto quinti. Questa è una frazione impropria.
Ha sicuramente bisogno di essere portato nella forma corretta. Per fare ciò, è necessario selezionare un'intera parte da esso.
Qui devi usare la divisione con resto. Otteniamo uno e tre come resto.
Un intero e tre quinti è la nostra frazione propria.

Riportare trentacinque ottavi alla forma corretta è un po' più difficile. Il numero più vicino a trentasette che è divisibile per otto è trentadue. Divisi ne otteniamo quattro. Sottraiamo trentadue da trentacinque e otteniamo tre. Risultato: quattro interi e tre ottavi.

Uguaglianza tra numeratore e denominatore. E qui tutto è molto semplice e bello. Se il numeratore e il denominatore sono uguali, il risultato è semplicemente uno.

L'ultima volta abbiamo imparato come aggiungere e sottrarre le frazioni (vedi la lezione "Addizione e sottrazione di frazioni"). La parte più difficile di quelle azioni è stata portare le frazioni a un denominatore comune.

Ora è il momento di occuparsi di moltiplicazione e divisione. Buone notizieè che queste operazioni sono ancora più semplici dell'addizione e della sottrazione. Per prima cosa consideriamo il caso più semplice, quando ci sono due frazioni positive senza una parte intera separata.

Per moltiplicare due frazioni, devi moltiplicare separatamente i loro numeratori e denominatori. Il primo numero sarà il numeratore della nuova frazione e il secondo sarà il denominatore.

Per dividere due frazioni, devi moltiplicare la prima frazione per la seconda frazione “invertita”.

Designazione:

Dalla definizione segue che la divisione delle frazioni si riduce alla moltiplicazione. Per “capovolgere” una frazione, basta scambiare numeratore e denominatore. Pertanto, nel corso della lezione considereremo principalmente la moltiplicazione.

Come risultato della moltiplicazione, può formarsi una frazione riducibile (e spesso si forma) che, ovviamente, deve essere ridotta. Se dopo tutte le riduzioni la frazione risultasse errata, va evidenziata tutta la parte. Ma ciò che sicuramente non accadrà con la moltiplicazione è la riduzione a un denominatore comune: nessun metodo incrociato, fattori massimi e minimi comuni multipli.

Per definizione abbiamo:

Moltiplicazione delle frazioni con parti intere e frazioni negative

Se presente in frazioni intera parte, devono essere convertiti in errati e solo successivamente moltiplicati secondo gli schemi sopra delineati.

Se c'è un segno meno al numeratore di una frazione, al denominatore o davanti ad esso, può essere tolto dalla moltiplicazione o eliminato del tutto secondo le seguenti regole:

Più per meno dà meno;
Due negazioni fanno una affermativa.

Fino ad ora queste regole sono state incontrate solo per addizione e sottrazione. frazioni negative quando è stato necessario liberarsi di un'intera parte. Per un lavoro, possono essere generalizzati per “bruciare” più svantaggi contemporaneamente:

Cancelliamo i negativi a coppie finché non scompaiono completamente. In casi estremi, può sopravvivere un meno: quello per il quale non c'era compagno;
Se non rimangono svantaggi, l'operazione è completata: puoi iniziare a moltiplicare. Se l'ultimo meno non viene cancellato perché non esiste una coppia, lo portiamo fuori dai limiti della moltiplicazione. Il risultato è una frazione negativa.

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Convertiamo tutte le frazioni in frazioni improprie e poi eliminiamo i meno dalla moltiplicazione. Moltiplichiamo ciò che resta secondo le solite regole. Noi abbiamo:

Permettimi di ricordarti ancora una volta che il meno che appare davanti a una frazione con la parte intera evidenziata si riferisce specificamente all'intera frazione, e non solo alla sua parte intera (questo vale per gli ultimi due esempi).

Nota anche numeri negativi: Quando si moltiplicano, sono racchiusi tra parentesi. Questo viene fatto per separare i segni meno dai segni di moltiplicazione e rendere l'intera notazione più accurata.

Riduzione delle frazioni al volo

La moltiplicazione è un'operazione molto laboriosa. I numeri qui risultano piuttosto grandi e, per semplificare il problema, puoi provare a ridurre ulteriormente la frazione prima della moltiplicazione. Infatti, in sostanza, i numeratori e i denominatori delle frazioni sono fattori ordinari e, pertanto, possono essere ridotti utilizzando la proprietà fondamentale della frazione. Dai un'occhiata agli esempi:

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Per definizione abbiamo:

In tutti gli esempi, i numeri che sono stati ridotti e ciò che ne resta sono contrassegnati in rosso.

Nota: nel primo caso i moltiplicatori sono stati completamente ridotti. Al loro posto restano unità che, in generale, non necessitano di essere scritte. Nel secondo esempio non è stato possibile ottenere una riduzione completa, ma il numero totale di calcoli è comunque diminuito.

Tuttavia, non utilizzare mai questa tecnica quando si aggiungono e sottraggono frazioni! Sì, a volte ci sono numeri simili che vuoi semplicemente ridurre. Ecco, guarda:

Non puoi farlo!

L'errore si verifica perché durante l'addizione il numeratore di una frazione produce una somma, non un prodotto di numeri. Pertanto è impossibile applicare la proprietà principale di una frazione, poiché in questa proprietà stiamo parlando in particolare sulla moltiplicazione dei numeri.

Semplicemente non ci sono altri motivi per ridurre le frazioni, quindi soluzione corretta l'attività precedente è simile alla seguente:

Soluzione corretta:

Come puoi vedere, la risposta corretta si è rivelata non così bella. In generale, fai attenzione.

In questo articolo vedremo moltiplicando numeri misti. Innanzitutto, delineeremo la regola per moltiplicare i numeri misti e considereremo l'applicazione di questa regola durante la risoluzione degli esempi. Successivamente parleremo della moltiplicazione di un numero misto e di un numero naturale. Infine, impareremo come moltiplicare un numero misto e una frazione comune.

Navigazione della pagina.

Moltiplicazione di numeri misti.

Moltiplicazione di numeri misti può essere ridotto a moltiplicare le frazioni ordinarie. Per fare ciò è sufficiente convertire i numeri misti in frazioni improprie.

Scriviamolo regola di moltiplicazione di numeri misti:

Innanzitutto, i numeri misti da moltiplicare devono essere sostituiti da frazioni improprie;
In secondo luogo, è necessario utilizzare la regola per moltiplicare le frazioni per frazioni.

Diamo un'occhiata agli esempi di applicazione di questa regola quando si moltiplica un numero misto per un numero misto.

Esegui la moltiplicazione di numeri misti e .

Innanzitutto, rappresentiamo i numeri misti moltiplicati come frazioni improprie: E . Ora possiamo sostituire la moltiplicazione di numeri misti con la moltiplicazione di frazioni ordinarie: . Applicando la regola per moltiplicare le frazioni, otteniamo . La frazione risultante è irriducibile (vedi frazioni riducibili e irriducibili), ma è impropria (vedi frazioni proprie e improprie), quindi, per ottenere la risposta definitiva, resta da isolare l'intera parte dalla frazione impropria: .

Scriviamo l'intera soluzione in una riga: .

Per rafforzare le capacità di moltiplicare numeri misti, considera di risolvere un altro esempio.

Esegui la moltiplicazione.

I numeri divertenti e sono uguali rispettivamente alle frazioni 13/5 e 10/9. Poi . A questo punto, è il momento di ricordarsi di ridurre una frazione: sostituisci tutti i numeri della frazione con la loro scomposizione in fattori primi ed esegui una riduzione di fattori identici.

Moltiplicare un numero misto e un numero naturale

Dopo aver sostituito un numero misto con una frazione impropria, moltiplicando un numero misto e un numero naturale porta alla moltiplicazione di una frazione ordinaria e di un numero naturale.

Moltiplica un numero misto e il numero naturale 45.

Un numero misto è quindi uguale a una frazione . Sostituiamo i numeri nella frazione risultante con le loro scomposizioni in fattori primi, eseguiamo una riduzione e quindi selezioniamo l'intera parte: .

La moltiplicazione di un numero misto e di un numero naturale viene talvolta eseguita convenientemente utilizzando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. In questo caso, il prodotto di un numero misto e di un numero naturale è uguale alla somma dei prodotti della parte intera per il numero naturale dato e della parte frazionaria per il numero naturale dato, cioè .

Calcola il prodotto.

Sostituiamo il numero misto con la somma delle parti intere e frazionarie, dopodiché applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione: .

Moltiplicazione di numeri misti e frazioniÈ più conveniente ridurlo alla moltiplicazione delle frazioni ordinarie rappresentando il numero misto moltiplicato come una frazione impropria.

Moltiplica il numero misto per la frazione comune 4/15.

Sostituendo il numero misto con una frazione, otteniamo .

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Moltiplicazione delle frazioni

§ 140. Definizioni. 1) La moltiplicazione di una frazione per un numero intero è definita allo stesso modo della moltiplicazione di numeri interi, vale a dire: Moltiplicare un numero (moltiplicando) per un intero (fattore) significa comporre una somma di termini identici, in cui ogni termine è uguale al moltiplicando, e il numero di termini è uguale al moltiplicatore.

Quindi moltiplicare per 5 significa trovare la somma:
2) Moltiplicare un numero (moltiplicando) per una frazione (fattore) significa trovare questa frazione del moltiplicando.

Pertanto, chiameremo ora moltiplicazione per una frazione la ricerca di una frazione di un dato numero, che abbiamo considerato prima.

3) Moltiplicare un numero (moltiplicando) per un numero misto (fattore) significa moltiplicare il moltiplicando prima per il numero intero del moltiplicatore, poi per la frazione del moltiplicatore, e sommare insieme i risultati di queste due moltiplicazioni.

Per esempio:

Viene chiamato il numero ottenuto dopo la moltiplicazione in tutti questi casi lavoro, cioè lo stesso di quando si moltiplicano i numeri interi.

Da queste definizioni risulta chiaro che la moltiplicazione dei numeri frazionari è un'azione sempre possibile e sempre inequivocabile.

§ 141. L'opportunità di queste definizioni. Per comprendere l’opportunità di introdurre in aritmetica le ultime due definizioni di moltiplicazione, consideriamo il seguente problema:

Compito. Un treno, muovendosi uniformemente, percorre 40 km orari; come sapere quanti chilometri percorrerà questo treno in un dato numero di ore?

Se rimanessimo con l'unica definizione di moltiplicazione indicata nell'aritmetica degli interi (addizione di termini uguali), il nostro problema avrebbe tre diverse soluzioni, vale a dire:

Se il numero di ore indicato è un numero intero (ad esempio 5 ore), per risolvere il problema è necessario moltiplicare 40 km per questo numero di ore.

Se un determinato numero di ore è espresso come frazione (ad esempio un'ora), dovrai trovare il valore di questa frazione da 40 km.

Infine, se il numero specificato di ore è misto (ad esempio ore), sarà necessario moltiplicare 40 km per il numero intero contenuto nel numero misto e aggiungere al risultato un'altra frazione di 40 km, che è nel numero misto numero.

Le definizioni che abbiamo dato ci permettono di dare una risposta generale a tutti questi possibili casi:

devi moltiplicare 40 km per un dato numero di ore, qualunque esso sia.

Pertanto, se il problema è rappresentato in vista generale COSÌ:

Un treno, muovendosi uniformemente, percorre v km in un'ora. Quanti chilometri percorrerà il treno in t ore?

quindi, qualunque siano i numeri v e t, possiamo dare una risposta: il numero desiderato è espresso dalla formula v · t.

Nota. Trovare una frazione di un dato numero, secondo la nostra definizione, significa la stessa cosa che moltiplicare un dato numero per questa frazione; quindi, ad esempio, trovare il 5% (cioè cinque centesimi) di un dato numero equivale a moltiplicare un dato numero per o per ; trovare il 125% di un dato numero equivale a moltiplicare questo numero per o per, ecc.

§ 142. Una nota su quando un numero aumenta e quando diminuisce dalla moltiplicazione.

La moltiplicazione per una frazione propria diminuisce il numero, mentre la moltiplicazione per una frazione impropria aumenta il numero se questa frazione impropria è maggiore di uno, e rimane invariata se è uguale a uno.
Commento. Quando si moltiplicano numeri frazionari, così come numeri interi, il prodotto viene considerato uguale a zero se uno qualsiasi dei fattori è uguale a zero, quindi .

§ 143. Derivazione delle regole di moltiplicazione.

1) Moltiplicare una frazione per un numero intero. Lascia che una frazione venga moltiplicata per 5. Ciò significa aumentata di 5 volte. Per aumentare di 5 volte una frazione è sufficiente aumentarne il numeratore o diminuirne il denominatore di 5 volte (§ 127).

Ecco perché:
Regola 1. Per moltiplicare una frazione per un numero intero, devi moltiplicare il numeratore per questo numero intero, ma lasciare lo stesso denominatore; puoi invece anche dividere il denominatore della frazione per l'intero dato (se possibile) e lasciare invariato il numeratore.

Commento. Il prodotto di una frazione e del suo denominatore è uguale al suo numeratore.

COSÌ:
Regola 2. Per moltiplicare un numero intero per una frazione, devi moltiplicare il numero intero per il numeratore della frazione e rendere questo prodotto il numeratore e firmare il denominatore di questa frazione come denominatore.
Regola 3. Per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore e rendere il primo prodotto il numeratore e il secondo il denominatore del prodotto.

Commento. Questa regola può essere applicata anche alla moltiplicazione di una frazione per un numero intero e di un numero intero per una frazione, se solo consideriamo l'intero come una frazione con denominatore pari a uno. COSÌ:

Pertanto, le tre regole ora delineate sono contenute in una, che in generale può essere espressa come segue:
4) Moltiplicazione di numeri misti.

Regola 4a. Per moltiplicare i numeri misti, devi convertirli in frazioni improprie e poi moltiplicarli secondo le regole per moltiplicare le frazioni. Per esempio:
§ 144. Riduzione durante la moltiplicazione. Quando si moltiplicano le frazioni, se possibile, è necessario effettuare una riduzione preliminare, come si può vedere dai seguenti esempi:

Tale riduzione è possibile perché il valore di una frazione non cambierà se il suo numeratore e denominatore vengono ridotti dello stesso numero di volte.

§ 145. Cambiare un prodotto con fattori mutevoli. Quando i fattori cambiano, il prodotto dei numeri frazionari cambierà esattamente allo stesso modo del prodotto dei numeri interi (§ 53), vale a dire: se aumenti (o diminuisci) qualsiasi fattore più volte, il prodotto aumenterà (o diminuirà) dello stesso importo.

Quindi, se nell'esempio:
per moltiplicare più frazioni, devi moltiplicare i loro numeratori tra loro e i denominatori tra loro e rendere il primo prodotto il numeratore e il secondo il denominatore del prodotto.

Commento. Questa regola può essere applicata anche a quei prodotti in cui alcuni fattori del numero sono interi o misti, se solo consideriamo l'intero come una frazione con denominatore pari a uno e trasformiamo i numeri misti in frazioni improprie. Per esempio:
§ 147. Proprietà fondamentali della moltiplicazione. Quelle proprietà della moltiplicazione che abbiamo indicato per gli interi (§ 56, 57, 59) valgono anche per la moltiplicazione dei numeri frazionari. Indichiamo queste proprietà.

1) Il prodotto non cambia quando cambiano i fattori.

Per esempio:

Infatti, secondo la regola del paragrafo precedente, il primo prodotto è uguale alla frazione e il secondo è uguale alla frazione. Ma queste frazioni sono le stesse, perché i loro termini differiscono solo nell'ordine dei fattori interi, e il prodotto degli interi non cambia quando cambiano le posizioni dei fattori.

2) Il prodotto non cambierà se un gruppo di fattori viene sostituito dal relativo prodotto.

Per esempio:

I risultati sono gli stessi.

Da questa proprietà della moltiplicazione si può trarre la seguente conclusione:

per moltiplicare un numero per un prodotto, puoi moltiplicare questo numero per il primo fattore, moltiplicare il numero risultante per il secondo, ecc.

Per esempio:
3) Legge distributiva della moltiplicazione (relativa all'addizione). Per moltiplicare una somma per un numero, puoi moltiplicare ciascun termine separatamente per quel numero e sommare i risultati.

Questa legge è stata da noi spiegata (§ 59) applicata agli interi. Rimane vero senza alcuna modifica per i numeri frazionari.

Mostriamo, infatti, che l'uguaglianza

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(la legge distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione) rimane vera anche quando le lettere rappresentano numeri frazionari. Consideriamo tre casi.

1) Supponiamo innanzitutto che il fattore m sia un numero intero, ad esempio m = 3 (a, b, c – qualsiasi numero). Secondo la definizione di moltiplicazione per un intero possiamo scrivere (limitandoci a tre termini per semplicità):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

In base alla legge associativa dell'addizione possiamo omettere tutte le parentesi a destra; Applicando la legge commutativa dell'addizione, e poi ancora la legge associativa, possiamo ovviamente riscrivere il secondo membro come segue:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Ciò significa che la legge distributiva è confermata in questo caso.

Moltiplicazione e divisione delle frazioni

L'ultima volta abbiamo imparato come aggiungere e sottrarre frazioni (vedi la lezione "Somma e sottrazione di frazioni"). La parte più difficile di quelle azioni è stata portare le frazioni a un denominatore comune.

Ora è il momento di occuparsi di moltiplicazione e divisione. La buona notizia è che queste operazioni sono ancora più semplici delle addizioni e delle sottrazioni. Per prima cosa consideriamo il caso più semplice, quando ci sono due frazioni positive senza una parte intera separata.

Per moltiplicare due frazioni, devi moltiplicare separatamente i loro numeratori e denominatori. Il primo numero sarà il numeratore della nuova frazione e il secondo sarà il denominatore.

Per dividere due frazioni, devi moltiplicare la prima frazione per la seconda frazione “invertita”.

Per definizione abbiamo:

Moltiplicazione delle frazioni con parti intere e frazioni negative

Se le frazioni contengono una parte intera, devono essere convertite in parti improprie e solo successivamente moltiplicate secondo gli schemi sopra delineati.

Se c'è un segno meno al numeratore di una frazione, al denominatore o davanti ad esso, può essere tolto dalla moltiplicazione o eliminato del tutto secondo le seguenti regole:

Più per meno dà meno;
Due negazioni fanno una affermativa.

Finora queste regole si incontravano solo quando si sommavano e sottraevano le frazioni negative, quando era necessario eliminare l'intera parte. Per un lavoro, possono essere generalizzati per “bruciare” più svantaggi contemporaneamente:

Cancelliamo i negativi a coppie finché non scompaiono completamente. In casi estremi, può sopravvivere un meno: quello per il quale non c'era compagno;
Se non rimangono svantaggi, l'operazione è completata: puoi iniziare a moltiplicare. Se l'ultimo meno non viene cancellato perché non esiste una coppia, lo portiamo fuori dai limiti della moltiplicazione. Il risultato è una frazione negativa.

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Convertiamo tutte le frazioni in frazioni improprie e poi eliminiamo i meno dalla moltiplicazione. Moltiplichiamo ciò che resta secondo le solite regole. Noi abbiamo:

Presta attenzione anche ai numeri negativi: quando si moltiplicano, sono racchiusi tra parentesi. Questo viene fatto per separare i segni meno dai segni di moltiplicazione e rendere l'intera notazione più accurata.

Riduzione delle frazioni al volo

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Per definizione abbiamo:

In tutti gli esempi, i numeri che sono stati ridotti e ciò che ne resta sono contrassegnati in rosso.

Tuttavia, non utilizzare mai questa tecnica quando si aggiungono e sottraggono frazioni! Sì, a volte ci sono numeri simili che vuoi semplicemente ridurre. Ecco, guarda:

Non puoi farlo!

L'errore si verifica perché durante l'addizione il numeratore di una frazione produce una somma, non un prodotto di numeri. Di conseguenza è impossibile applicare la proprietà fondamentale della frazione, poiché questa proprietà riguarda specificamente la moltiplicazione dei numeri.

Semplicemente non ci sono altri motivi per ridurre le frazioni, quindi la soluzione corretta al problema precedente è simile alla seguente:

Come puoi vedere, la risposta corretta si è rivelata non così bella. In generale, fai attenzione.

Moltiplicazione delle frazioni.

Per moltiplicare correttamente una frazione per una frazione o una frazione per un numero, devi sapere regole semplici. Analizzeremo ora queste regole nel dettaglio.

Moltiplicare una frazione comune per una frazione.

Per moltiplicare una frazione per una frazione, è necessario calcolare il prodotto dei numeratori e il prodotto dei denominatori di queste frazioni.

Diamo un'occhiata ad un esempio:
Moltiplichiamo il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e moltiplichiamo anche il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione.

Moltiplicare una frazione per un numero.

Per prima cosa, ricordiamo la regola, qualsiasi numero può essere rappresentato come una frazione \(\bf n = \frac \) .

Usiamo questa regola quando moltiplichiamo.

La frazione impropria \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) è stata convertita in frazione mista.

In altre parole, Quando moltiplichiamo un numero per una frazione, moltiplichiamo il numero per il numeratore e lasciamo invariato il denominatore. Esempio:

Moltiplicazione di frazioni miste.

Per moltiplicare le frazioni miste, devi prima rappresentare ciascuna frazione mista come frazione impropria, quindi utilizzare la regola della moltiplicazione. Moltiplichiamo il numeratore per il numeratore e moltiplichiamo il denominatore per il denominatore.

Moltiplicazione di frazioni e numeri reciproci.

Domande sull'argomento:
Come moltiplicare una frazione per una frazione?
Risposta: Il prodotto delle frazioni ordinarie è la moltiplicazione di un numeratore per un numeratore, di un denominatore per un denominatore. Per ottenere il prodotto di frazioni miste, è necessario convertirle in una frazione impropria e moltiplicarle secondo le regole.

Come moltiplicare frazioni con denominatori diversi?
Risposta: non importa se le frazioni hanno denominatori uguali o diversi, la moltiplicazione avviene secondo la regola di trovare il prodotto di un numeratore con un numeratore, un denominatore con un denominatore.

Come moltiplicare le frazioni miste?
Risposta: prima di tutto bisogna convertire la frazione mista in frazione impropria e poi trovare il prodotto utilizzando le regole della moltiplicazione.

Come moltiplicare un numero per una frazione?
Risposta: moltiplichiamo il numero per il numeratore, ma lasciamo lo stesso denominatore.

Esempio 1:
Calcola il prodotto: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Esempio n.2:
Calcolare i prodotti di un numero e di una frazione: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

Esempio n.3:
Scrivere il reciproco della frazione \(\frac \)?
Risposta: \(\frac = 3\)

Esempio n.4:
Calcola il prodotto di due frazioni reciprocamente inverse: a) \(\frac \times \frac \)

Esempio n.5:
Le frazioni reciproche possono essere:
a) contemporaneamente alle frazioni proprie;
b) frazioni contemporaneamente improprie;
c) contemporaneamente numeri naturali?

Soluzione:
a) per rispondere alla prima domanda facciamo un esempio. La frazione \(\frac \) è propria, la sua frazione inversa sarà uguale a \(\frac \) - una frazione impropria. Risposta: no.

b) in quasi tutte le enumerazioni di frazioni questa condizione non è soddisfatta, ma ci sono alcuni numeri che soddisfano la condizione di essere contemporaneamente una frazione impropria. Ad esempio, una frazione impropria è \(\frac \), la sua frazione inversa è uguale a \(\frac \). Otteniamo due frazioni improprie. Risposta: non sempre in determinate condizioni quando numeratore e denominatore sono uguali.

c) i numeri naturali sono numeri che usiamo quando contiamo, ad esempio 1, 2, 3, …. Se prendiamo il numero \(3 = \frac \), la sua frazione inversa sarà \(\frac \). La frazione \(\frac \) non è un numero naturale. Se esaminiamo tutti i numeri, il reciproco del numero è sempre una frazione, tranne 1. Se prendiamo il numero 1, la sua frazione reciproca sarà \(\frac = \frac = 1\). Il numero 1 è un numero naturale. Risposta: possono essere contemporaneamente numeri naturali solo in un caso, se questo è il numero 1.

Esempio n.6:
Calcola il prodotto di frazioni miste: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

Soluzione:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Esempio n.7:
Possono due reciprocamente numeri reciproci essere allo stesso tempo numeri misti?

Diamo un'occhiata a un esempio. Prendiamo una frazione mista \(1\frac \), troviamo la sua frazione inversa, per fare questo la convertiamo in una frazione impropria \(1\frac = \frac \) . La sua frazione inversa sarà uguale a \(\frac \) . La frazione \(\frac\) è una frazione propria. Risposta: Due frazioni reciprocamente inverse non possono essere numeri mescolati contemporaneamente.

Moltiplicare un decimale per un numero naturale

Presentazione della lezione

Attenzione! Le anteprime delle diapositive sono solo a scopo informativo e potrebbero non rappresentare tutte le funzionalità della presentazione. Se siete interessati questo lavoro, scarica la versione completa.

Presenta la regola della moltiplicazione agli studenti in modo divertente decimale per numero naturale, per unità di cifra e la regola per esprimere una frazione decimale in percentuale. Sviluppare la capacità di applicare le conoscenze acquisite nella risoluzione di esempi e problemi.
Sviluppare e attivare pensiero logico studenti, la capacità di identificare modelli e generalizzarli, rafforzare la memoria, la capacità di cooperare, fornire assistenza, valutare il proprio lavoro e quello degli altri.
Coltivare l'interesse per la matematica, l'attività, la mobilità e le capacità comunicative.

Attrezzatura: lavagna interattiva, un poster con un cifragramma, poster con dichiarazioni di matematici.

Organizzare il tempo.
Aritmetica orale – generalizzazione del materiale precedentemente studiato, preparazione per lo studio di nuovo materiale.
Spiegazione del nuovo materiale.
Assegnazione dei compiti.
Educazione fisica matematica.
Generalizzazione e sistematizzazione delle conoscenze acquisite in forma di gioco usando un computer.
Classificazione.

2. Ragazzi, oggi la nostra lezione sarà un po' insolita, perché non la insegnerò da solo, ma con il mio amico. E anche il mio amico è insolito, lo vedrai adesso. (Sullo schermo appare un computer animato.) Il mio amico ha un nome e può parlare. Come ti chiami, amico? Komposha risponde: “Il mio nome è Komposha”. Sei pronto ad aiutarmi oggi? SÌ! Bene, allora iniziamo la lezione.

Oggi ho ricevuto un cifragramma crittografato, ragazzi, che dobbiamo risolvere e decifrare insieme. (Un poster con conteggio verbale sull'addizione e sottrazione delle frazioni decimali, a seguito della quale i bambini ricevono il seguente codice 523914687. )

Komposha aiuta a decifrare il codice ricevuto. Il risultato della decodifica è la parola MOLTIPLICAZIONE. La moltiplicazione è parola chiave argomenti della lezione di oggi. Sul monitor viene visualizzato l'argomento della lezione: "Moltiplicare una frazione decimale per un numero naturale"

Ragazzi, sappiamo come moltiplicare i numeri naturali. Oggi parleremo della moltiplicazione numeri decimali ad un numero naturale. Moltiplicare una frazione decimale per un numero naturale può essere considerato come una somma di termini, ciascuno dei quali è uguale a questa frazione decimale, e il numero di termini è uguale a questo numero naturale. Ad esempio: 5.21 ·3 = 5.21 + 5.21 + 5.21 = 15.63 Quindi, 5.21 ·3 = 15.63. Presentando 5,21 come frazione comune a un numero naturale, otteniamo

E in questo caso abbiamo ottenuto lo stesso risultato: 15.63. Ora, ignorando la virgola, invece del numero 5.21, prendi il numero 521 e moltiplicalo per questo numero naturale. Qui dobbiamo ricordare che in uno dei fattori la virgola è stata spostata di due posti a destra. Moltiplicando i numeri 5, 21 e 3, otteniamo un prodotto pari a 15,63. Ora in questo esempio spostiamo la virgola di due posti a sinistra. Pertanto, di quante volte è stato aumentato uno dei fattori, di quante volte è stato diminuito il prodotto. Sulla base delle somiglianze di questi metodi, trarremo una conclusione.

Per moltiplicare una frazione decimale per un numero naturale è necessario:
1) senza prestare attenzione alla virgola, moltiplicare i numeri naturali;
2) nel prodotto risultante separare con una virgola tante cifre da destra quante sono nella frazione decimale.

Sul monitor vengono visualizzati i seguenti esempi, che analizziamo insieme a Komposha e ai ragazzi: 5.21 ·3 = 15.63 e 7.624 ·15 = 114.34. Poi mostro la moltiplicazione per un numero tondo 12,6 · 50 = 630. Successivamente, passo alla moltiplicazione di una frazione decimale per un'unità di valore posizionale. Mostro i seguenti esempi: 7.423 · 100 = 742.3 e 5.2 · 1000 = 5200. Quindi, introduco la regola per moltiplicare una frazione decimale per un'unità di cifra:

Per moltiplicare una frazione decimale per le unità di cifra 10, 100, 1000, ecc., è necessario spostare il punto decimale in questa frazione verso destra di tante posizioni quanti sono gli zeri nell'unità di cifra.

Concludo la mia spiegazione esprimendo la frazione decimale in percentuale. Introduco la regola:

Per esprimere una frazione decimale in percentuale, è necessario moltiplicarla per 100 e aggiungere il segno %.

Faccio un esempio su un computer: 0,5 100 = 50 o 0,5 = 50%.

4. Alla fine la spiegazione la do ai ragazzi compiti a casa, che viene visualizzato anche sul monitor del computer: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Per far riposare un po' i ragazzi, stiamo facendo una sessione di educazione fisica matematica insieme a Komposha per consolidare l'argomento. Tutti si alzano, mostrano alla classe gli esempi risolti e devono rispondere se l'esempio è stato risolto correttamente o in modo errato. Se l'esempio è stato risolto correttamente, alzano le braccia sopra la testa e battono i palmi. Se l'esempio non viene risolto correttamente, i ragazzi allungano le braccia lateralmente e allungano le dita.

6. E ora che ti sei riposato un po', puoi risolvere i compiti. Apri il tuo libro di testo a pagina 205, № 1029. In questa attività è necessario calcolare il valore delle espressioni:

Le attività vengono visualizzate sul computer. Una volta risolti, appare un'immagine con l'immagine di una barca che galleggia via una volta completamente assemblata.

Risolvendo questo compito al computer, il razzo si piega gradualmente; dopo aver risolto l'ultimo esempio, il razzo vola via; L'insegnante dà qualche informazione agli studenti: “Ogni anno dalla terra del Kazakistan, dal cosmodromo di Baikonur, decollano verso le stelle astronavi. Il Kazakistan sta costruendo il suo nuovo cosmodromo di Baiterek vicino a Baikonur.

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Nel corso della secondaria e Scuola superiore Gli studenti hanno studiato l'argomento “Frazioni”. Tuttavia, questo concetto è molto più ampio di quello che viene fornito nel processo di apprendimento. Oggi, il concetto di frazione si incontra abbastanza spesso e non tutti possono calcolare alcuna espressione, ad esempio moltiplicando le frazioni.

Cos'è una frazione?

Storicamente, i numeri frazionari sono nati dalla necessità di misurare. Come mostra la pratica, ci sono spesso esempi per determinare la lunghezza di un segmento e il volume di un rettangolo rettangolare.

Inizialmente, agli studenti viene introdotto il concetto di condivisione. Ad esempio, se dividi un'anguria in 8 parti, ogni persona riceverà un ottavo dell'anguria. Questa parte di otto è chiamata quota.

Un'azione pari a ½ di qualsiasi valore è detta metà; ⅓ - terzo; ¼ - un quarto. I record della forma 5/8, 4/5, 2/4 sono chiamati frazioni ordinarie. Una frazione comune è divisa in un numeratore e un denominatore. Tra di loro c'è la barra della frazione, o barra della frazione. La linea frazionaria può essere disegnata come una linea orizzontale o obliqua. In questo caso denota il segno di divisione.

Il denominatore rappresenta in quante parti uguali è divisa la quantità o l'oggetto; e il numeratore indica quante azioni identiche vengono prese. Il numeratore è scritto sopra la linea della frazione, il denominatore è scritto sotto di essa.

È più conveniente mostrare le frazioni ordinarie raggio coordinato. Se un segmento unitario è diviso in 4 parti uguali, etichetta ciascuna parte Lettera latina, il risultato può essere un eccellente aiuto visivo. Quindi, il punto A mostra una quota pari a 1/4 dell'intero segmento unitario, e il punto B segna 2/8 di un dato segmento.

Tipi di frazioni

Le frazioni possono essere numeri ordinari, decimali e misti. Inoltre, le frazioni possono essere divise in proprie e improprie. Questa classificazione è più adatta per le frazioni ordinarie.

Una frazione propria è un numero il cui numeratore è minore del denominatore. Pertanto una frazione impropria è un numero il cui numeratore è maggiore del denominatore. Il secondo tipo è solitamente scritto come numero misto. Questa espressione è composta da un numero intero e da una parte frazionaria. Ad esempio, 1½. 1 è una parte intera, ½ è una parte frazionaria. Tuttavia, se è necessario eseguire alcune manipolazioni con l'espressione (dividere o moltiplicare le frazioni, ridurle o convertirle), il numero misto viene convertito in una frazione impropria.

Corretto espressione frazionaria sempre inferiore a uno e errato: maggiore o uguale a 1.

Per quanto riguarda questa espressione, intendiamo un record in cui è rappresentato un numero qualsiasi, il cui denominatore dell'espressione frazionaria può essere espresso in termini di uno con più zeri. Se la frazione è propria, lo è anche l'intera parte notazione decimale sarà uguale a zero.

Per scrivere una frazione decimale, devi prima scrivere l'intera parte, separarla dalla frazione utilizzando una virgola, quindi scrivere l'espressione della frazione. Va ricordato che dopo la virgola decimale il numeratore deve contenere tanti caratteri digitali quanti sono gli zeri nel denominatore.

Esempio. Esprimi la frazione 7 21 / 1000 in notazione decimale.

Algoritmo per convertire una frazione impropria in un numero misto e viceversa

Non è corretto scrivere una frazione impropria nella risposta a un problema, quindi deve essere convertita in un numero misto:

dividere il numeratore per il denominatore esistente;
in un esempio specifico, un quoziente incompleto è un intero;
e il resto è il numeratore della parte frazionaria, mentre il denominatore rimane invariato.

Esempio. Converti frazione impropria in numero misto: 47/5.

Soluzione. 47: 5. Il quoziente parziale è 9, il resto = 2. Quindi, 47/5 = 9 2/5.

A volte è necessario rappresentare un numero misto come frazione impropria. Quindi è necessario utilizzare il seguente algoritmo:

la parte intera viene moltiplicata per il denominatore dell'espressione frazionaria;
il prodotto risultante viene aggiunto al numeratore;
il risultato è scritto al numeratore, il denominatore rimane invariato.

Esempio. Presenta il numero in forma mista come frazione impropria: 9 8 / 10.

Soluzione. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 è il numeratore.

Risposta: 98 / 10.

Moltiplicazione delle frazioni

Varie operazioni algebriche possono essere eseguite sulle frazioni ordinarie. Per moltiplicare due numeri, devi moltiplicare il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore. Inoltre, moltiplicare frazioni con denominatori diversi non è diverso dal moltiplicare frazioni con gli stessi denominatori.

Succede che dopo aver trovato il risultato è necessario ridurre la frazione. È imperativo semplificare il più possibile l'espressione risultante. Naturalmente non si può dire che una frazione impropria in una risposta sia un errore, ma è anche difficile definirla una risposta corretta.

Esempio. Trova il prodotto di due frazioni ordinarie: ½ e 20/18.

Come si può vedere dall'esempio, dopo aver trovato il prodotto, è stata ottenuta una notazione frazionaria riducibile. Sia il numeratore che il denominatore in questo caso vengono divisi per 4, e il risultato è la risposta 5/9.

Moltiplicazione di frazioni decimali

Il prodotto delle frazioni decimali è molto diverso nel suo principio dal prodotto delle frazioni ordinarie. Quindi, moltiplicare le frazioni è il seguente:

due frazioni decimali devono essere scritte una sotto l'altra in modo che le cifre più a destra siano una sotto l'altra;
devi moltiplicare i numeri scritti, nonostante le virgole, cioè come numeri naturali;
contare il numero di cifre dopo la virgola in ogni numero;
nel risultato ottenuto dopo la moltiplicazione, è necessario contare da destra tanti simboli digitali quanti sono contenuti nella somma in entrambi i fattori dopo la virgola, e inserire un segno di separazione;
se il prodotto contiene meno numeri, è necessario scrivere davanti a loro tanti zeri per coprire questo numero, inserire una virgola e aggiungere l'intera parte uguale a zero.

Esempio. Calcola il prodotto di due frazioni decimali: 2,25 e 3,6.

Soluzione.

Moltiplicazione di frazioni miste

Per calcolare il prodotto di due frazioni miste, è necessario utilizzare la regola per moltiplicare le frazioni:

convertire numeri misti in frazioni improprie;
trovare il prodotto dei numeratori;
trovare il prodotto dei denominatori;
annotare il risultato;
semplificare il più possibile l'espressione.

Esempio. Trova il prodotto di 4½ e 6 2/5.

Moltiplicare un numero per una frazione (frazioni per un numero)

Oltre a trovare il prodotto di due frazioni e numeri misti, ci sono attività in cui devi moltiplicare per una frazione.

Quindi, per trovare il prodotto di una frazione decimale e un numero naturale, è necessario:

scrivi il numero sotto la frazione in modo che le cifre più a destra siano una sopra l'altra;
trovare il prodotto nonostante la virgola;
nel risultato risultante separare la parte intera dalla parte frazionaria utilizzando una virgola, contando da destra il numero di cifre che si trovano dopo la virgola nella frazione.

Per moltiplicare una frazione comune per un numero, devi trovare il prodotto del numeratore e del fattore naturale. Se la risposta dà come risultato una frazione che può essere ridotta, deve essere convertita.

Esempio. Calcola il prodotto di 5/8 e 12.

Soluzione. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Risposta: 7 1 / 2.

Come puoi vedere dall'esempio precedente, era necessario ridurre il risultato risultante e convertire l'espressione frazionaria errata in un numero misto.

La moltiplicazione delle frazioni riguarda anche la ricerca del prodotto di un numero in forma mista e di un fattore naturale. Per moltiplicare questi due numeri, devi moltiplicare l'intera parte del fattore misto per il numero, moltiplicare il numeratore per lo stesso valore e lasciare invariato il denominatore. Se necessario, è necessario semplificare il più possibile il risultato risultante.

Esempio. Trova il prodotto di 9 5/6 e 9.

Soluzione. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Risposta: 88 1 / 2.

Moltiplicazione per fattori di 10, 100, 1000 o 0,1; 0,01; 0,001

Dal paragrafo precedente consegue la seguente regola. Per moltiplicare una frazione decimale per 10, 100, 1000, 10000, ecc., è necessario spostare la virgola verso destra di tante cifre quanti sono gli zeri nel fattore dopo l'uno.

Esempio 1. Trova il prodotto tra 0,065 e 1000.

Soluzione. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Risposta: 65.

Esempio 2. Trova il prodotto di 3,9 e 1000.

Soluzione. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Risposta: 3900.

Se devi moltiplicare un numero naturale e 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001, ecc., dovresti spostare la virgola nel prodotto risultante a sinistra di tanti caratteri quanti sono gli zeri prima di uno. Se necessario, prima del numero naturale viene scritto un numero sufficiente di zeri.

Esempio 1. Trova il prodotto di 56 e 0,01.

Soluzione. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Risposta: 0,56.

Esempio 2. Trova il prodotto di 4 e 0,001.

Soluzione. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Risposta: 0,004.

Quindi, trovare il prodotto di frazioni diverse non dovrebbe causare alcuna difficoltà, tranne forse il calcolo del risultato; in questo caso semplicemente non puoi fare a meno di una calcolatrice.

Per moltiplicare correttamente una frazione per una frazione o una frazione per un numero, è necessario conoscere semplici regole. Analizzeremo ora queste regole nel dettaglio.

Moltiplicare una frazione comune per una frazione.

Per moltiplicare una frazione per una frazione, è necessario calcolare il prodotto dei numeratori e il prodotto dei denominatori di queste frazioni.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ volte 3)(7 \volte 3) = \frac(4)(7)\\\)

La frazione \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) è stata ridotta di 3.

Moltiplicare una frazione per un numero.

Per prima cosa, ricordiamo la regola, qualsiasi numero può essere rappresentato come una frazione \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Usiamo questa regola quando moltiplichiamo.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Frazione impropria \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertito in una frazione mista.

In altre parole, Quando moltiplichiamo un numero per una frazione, moltiplichiamo il numero per il numeratore e lasciamo invariato il denominatore. Esempio:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Moltiplicazione di frazioni miste.

Esempio:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Moltiplicazione di frazioni e numeri reciproci.

La frazione \(\bf \frac(a)(b)\) è l'inverso della frazione \(\bf \frac(b)(a)\), purché a≠0,b≠0.
Le frazioni \(\bf \frac(a)(b)\) e \(\bf \frac(b)(a)\) sono chiamate frazioni reciproche. Il prodotto delle frazioni reciproche è uguale a 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Esempio:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Come moltiplicare le frazioni miste?
Risposta: prima di tutto bisogna convertire la frazione mista in frazione impropria e poi trovare il prodotto utilizzando le regole della moltiplicazione.

Come moltiplicare un numero per una frazione?
Risposta: moltiplichiamo il numero per il numeratore, ma lasciamo lo stesso denominatore.

Esempio 1:
Calcolare il prodotto: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)

Soluzione:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rosso) (5))(3 \times \color(rosso) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Esempio n.2:
Calcolare i prodotti di un numero e di una frazione: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Soluzione:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Esempio n.3:
Scrivere il reciproco della frazione \(\frac(1)(3)\)?
Risposta: \(\frac(3)(1) = 3\)

Esempio n.4:
Calcolare il prodotto di due frazioni reciprocamente inverse: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Soluzione:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Esempio n.5:
Le frazioni reciproche possono essere:
a) contemporaneamente alle frazioni proprie;
b) frazioni contemporaneamente improprie;
c) numeri naturali contemporaneamente?

Soluzione:
a) per rispondere alla prima domanda facciamo un esempio. La frazione \(\frac(2)(3)\) è propria, la sua frazione inversa sarà uguale a \(\frac(3)(2)\) - una frazione impropria. Risposta: no.

b) in quasi tutte le enumerazioni di frazioni questa condizione non è soddisfatta, ma ci sono alcuni numeri che soddisfano la condizione di essere contemporaneamente una frazione impropria. Ad esempio, la frazione impropria è \(\frac(3)(3)\), la sua frazione inversa è uguale a \(\frac(3)(3)\). Otteniamo due frazioni improprie. Risposta: non sempre in determinate condizioni quando numeratore e denominatore sono uguali.

c) i numeri naturali sono numeri che usiamo quando contiamo, ad esempio 1, 2, 3, …. Se prendiamo il numero \(3 = \frac(3)(1)\), la sua frazione inversa sarà \(\frac(1)(3)\). La frazione \(\frac(1)(3)\) non è un numero naturale. Se esaminiamo tutti i numeri, il reciproco del numero è sempre una frazione, tranne 1. Se prendiamo il numero 1, la sua frazione reciproca sarà \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Il numero 1 è un numero naturale. Risposta: possono essere contemporaneamente numeri naturali solo in un caso, se questo è il numero 1.

Esempio n.6:
Calcola il prodotto di frazioni miste: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Soluzione:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Esempio n.7:
Due reciproci possono essere numeri misti contemporaneamente?

Diamo un'occhiata a un esempio. Prendiamo una frazione mista \(1\frac(1)(2)\), troviamo la sua frazione inversa, per fare questo la convertiamo in una frazione impropria \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . La sua frazione inversa sarà uguale a \(\frac(2)(3)\) . La frazione \(\frac(2)(3)\) è una frazione propria. Risposta: Due frazioni reciprocamente inverse non possono essere numeri mescolati contemporaneamente.