Una delle caratteristiche principali dell'algebra, e di tutta la matematica, è il grado. Naturalmente, nel 21° secolo, tutti i calcoli possono essere eseguiti su un calcolatore online, ma per lo sviluppo del cervello è meglio imparare a farlo da soli.

In questo articolo considereremo le questioni più importanti riguardanti questa definizione. Cioè, capiamo cos'è in generale e quali sono le sue funzioni principali, quali proprietà ci sono in matematica.

Diamo un'occhiata ad esempi di come appare il calcolo e quali sono le formule di base. Diamo un'occhiata ai principali tipi di quantità e come differiscono dalle altre funzioni.

Cerchiamo di capire come risolvere vari problemi utilizzando questa quantità. Mostreremo con esempi come elevare al potere zero, irrazionale, negativo, ecc.

Calcolatore di esponenziazione online

Cos'è la potenza di un numero

Cosa si intende con l’espressione “elevare un numero a potenza”?

La potenza n di un numero è il prodotto di fattori di grandezza an n volte consecutive.

Matematicamente appare così:

un n = un * un * un * ... un n .

Per esempio:

• 2 3 = 2 di terzo grado. = 2*2*2 = 8;
• 4 2 = 4 al passo. due = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 al passo. quattro = 5*5*5*5 = 625;
• 10 5 = 10 in 5 passi. = 10*10*10*10*10 = 100000;
• 10 4 = 10 in 4 passaggi. = 10*10*10*10 = 10000.

Di seguito è riportata una tabella dei quadrati e dei cubi da 1 a 10.

Tabella dei gradi da 1 a 10

Di seguito sono riportati i risultati dell'elevazione dei numeri naturali a potenze positive - "da 1 a 100".

Ch-lo	2° st.	3a fase
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Proprietà dei gradi

Cosa è caratteristico di una tale funzione matematica? Diamo un'occhiata alle proprietà di base.

Gli scienziati hanno stabilito quanto segue segni caratteristici di tutti i gradi:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• un n: un m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Verifichiamo con degli esempi:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. D'altra parte, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Allo stesso modo: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Altrimenti 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. E se fosse diverso? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Come puoi vedere, le regole funzionano.

Ma che dire? con addizione e sottrazione? È semplice. Viene eseguito prima l'elevamento a potenza, quindi l'addizione e la sottrazione.

Diamo un'occhiata agli esempi:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Nota: la regola non vale se prima sottrai: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Ma in questo caso, devi prima calcolare l'addizione, poiché ci sono azioni tra parentesi: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Come produrre calcoli in più casi difficili ? L'ordine è lo stesso:

• se ci sono parentesi, devi iniziare con loro;
• quindi esponenziazione;
• quindi eseguire le operazioni di moltiplicazione e divisione;
• dopo l'addizione, la sottrazione.

Mangiare proprietà specifiche, non tipico per tutti i gradi:

1. La radice n-esima di un numero a al grado m si scriverà come: a m / n.
2. Quando si eleva una frazione a potenza: sia il numeratore che il suo denominatore sono soggetti a questa procedura.
3. Quando si costruisce un'opera numeri diversi ad una potenza, l'espressione corrisponderà al prodotto di questi numeri per la potenza data. Cioè: (a * b) n = a n * b n .
4. Quando si eleva un numero a una potenza negativa, è necessario dividere 1 per un numero nello stesso secolo, ma con un segno "+".
5. Se il denominatore di una frazione è in grado negativo, allora questa espressione sarà uguale al prodotto del numeratore e del denominatore con una potenza positiva.
6. Qualsiasi numero elevato a 0 = 1 e elevato a potenza. 1 = a te stesso.

Queste regole sono importanti in alcuni casi; le considereremo più in dettaglio di seguito.

Grado con esponente negativo

Cosa fare con un grado negativo, cioè quando l'indicatore è negativo?

Basato sulle proprietà 4 e 5(vedi punto sopra), si scopre:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

E viceversa:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

E se fosse una frazione?

(A/B) (- n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Laurea con indicatore naturale

È inteso come un grado con esponenti uguali a numeri interi.

Cose da ricordare:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ecc.

UN1 = UN, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3...ecc.

Inoltre, se (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...allora il risultato sarà con il segno “+”. Se un numero negativo viene elevato a una potenza dispari, viceversa.

Sono caratteristici anche le proprietà generali e tutte le caratteristiche specifiche sopra descritte.

Grado frazionario

Questo tipo può essere scritto come uno schema: A m / n. Leggi come: la radice n-esima del numero A elevata alla potenza m.

Puoi fare quello che vuoi con un indicatore frazionario: ridurlo, dividerlo in parti, elevarlo a un'altra potenza, ecc.

Laurea con esponente irrazionale

Sia α un numero irrazionale e A ˃ 0.

Per comprendere l'essenza di una laurea con un tale indicatore, Consideriamo i diversi casi possibili:

• A = 1. Il risultato sarà uguale a 1. Poiché esiste un assioma, 1 in tutte le potenze è uguale a uno;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – numeri razionali;

• 0˂А˂1.

In questo caso avviene il contrario: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 nelle stesse condizioni del secondo paragrafo.

Ad esempio, l'esponente è il numero π.È razionale.

r 1 – in questo caso equivale a 3;

r 2 – sarà uguale a 4.

Allora, per A = 1, 1 π = 1.

A = 2, allora 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, quindi (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Tali gradi sono caratterizzati da tutte le operazioni matematiche e dalle proprietà specifiche sopra descritte.

Conclusione

Riassumiamo: a cosa servono queste quantità, quali sono i vantaggi di tali funzioni? Naturalmente, prima di tutto, semplificano la vita di matematici e programmatori quando risolvono esempi, poiché consentono loro di ridurre al minimo i calcoli, abbreviare gli algoritmi, sistematizzare i dati e molto altro.

In quale altro luogo questa conoscenza può essere utile? In qualsiasi specialità lavorativa: medicina, farmacologia, odontoiatria, edilizia, tecnologia, ingegneria, design, ecc.

Formule di laurea utilizzato nel processo di riduzione e semplificazione di espressioni complesse, nella risoluzione di equazioni e disequazioni.

Numero CÈ N-esima potenza di un numero UN Quando:

Operazioni con i gradi.

1. Moltiplicando i gradi con la stessa base, si sommano i loro indicatori:

Sono·a n = a m + n .

2. Quando si dividono i gradi con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti:

3. Potenza del prodotto di 2 o Di più fattori è uguale al prodotto delle potenze di questi fattori:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Il grado di una frazione è uguale al rapporto tra i gradi del dividendo e il divisore:

(a/b) n = a n /b n .

5. Elevando una potenza a potenza, si moltiplicano gli esponenti:

(a m) n = a m n .

Ciascuna formula sopra è vera nelle direzioni da sinistra a destra e viceversa.

Per esempio. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operazioni con le radici.

1. La radice del prodotto di più fattori è uguale al prodotto delle radici di questi fattori:

2. La radice di un rapporto è uguale al rapporto tra il dividendo e il divisore delle radici:

3. Quando si eleva una radice a una potenza, è sufficiente elevare il numero radicale a questa potenza:

4. Se aumenti il ​​grado della radice in N una volta e allo stesso tempo incorporare N l'esima potenza è un numero radicale, quindi il valore della radice non cambierà:

5. Se riduci il grado della radice in N estrarre contemporaneamente la radice N-esima potenza di un numero radicale, il valore della radice non cambierà:

Un grado con esponente negativo. La potenza di un certo numero con esponente non positivo (intero) è definita come uno diviso per la potenza dello stesso numero con esponente uguale a valore assoluto indicatore non positivo:

Formula Sono:a n = a m - n può essere utilizzato non solo per M> N, ma anche con M< N.

Per esempio. UN4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Alla formula Sono:a n = a m - nè diventato giusto quando m=n, è richiesta la presenza di grado zero.

Una laurea con indice pari a zero. La potenza di qualsiasi numero diverso da zero con esponente zero è uguale a uno.

Per esempio. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grado con esponente frazionario. Per aumentare un numero reale UN al grado m/n, devi estrarre la radice N° grado di M-esima potenza di questo numero UN.

Tipo di lezione: lezione di generalizzazione e sistematizzazione della conoscenza

Obiettivi:

• educativo– ripetere la definizione di laurea, le regole per moltiplicare e dividere i gradi, elevare un grado a potenza, consolidare le capacità di risolvere esempi contenenti gradi,
• in via di sviluppo- sviluppo pensiero logico studenti, interesse per il materiale studiato,
• innalzamento– promuovere un atteggiamento responsabile nei confronti dell’apprendimento, una cultura della comunicazione e un senso di collettivismo.

Attrezzatura: computer, proiettore multimediale, lavagna interattiva, presentazione dei “Laurei” per calcolo orale, schede attività, dispense.

Piano della lezione:

1. Momento organizzativo.
2. Ripetizione di regole
3. Conteggio orale.
4. Informazioni storiche.
5. Lavora alla lavagna.
6. Minuto di educazione fisica.
7. Lavorare su una lavagna interattiva.
8. Lavoro indipendente.
9. Compiti a casa.
10. Riassumendo la lezione.

Avanzamento della lezione

I. Momento organizzativo

Comunicare l’argomento e gli obiettivi della lezione.

Nelle lezioni precedenti hai scoperto mondo fantastico gradi, imparò a moltiplicare e dividere i gradi, ed elevarli a potenza. Oggi dobbiamo consolidare le conoscenze acquisite risolvendo esempi.

II. Ripetizione di regole(oralmente)

1. Dare la definizione di grado con esponente naturale? (Potenza del numero UN con esponente naturale maggiore di 1 si chiama prodotto N fattori, ciascuno dei quali è uguale UN.)
2. Come moltiplicare due potenze? (Per moltiplicare le potenze con le stesse basi, devi lasciare la stessa base e aggiungere gli esponenti.)
3. Come dividere laurea per laurea? (Per dividere potenze con le stesse basi, è necessario lasciare la stessa base e sottrarre gli esponenti.)
4. Come elevare un prodotto a una potenza? (Per elevare un prodotto a una potenza, è necessario elevare ogni fattore a quella potenza)
5. Come elevare un grado a una potenza? (Per elevare una potenza a potenza bisogna lasciare la base invariata e moltiplicare gli esponenti)

III. Conteggio orale(mediante multimedia)

IV. Contesto storico

Tutti i problemi provengono dal papiro Ahmes, scritto intorno al 1650 a.C. e. relativo alla pratica di costruzione, alla delimitazione dei terreni, ecc. I compiti sono raggruppati per argomento. Si tratta principalmente di compiti per trovare le aree di un triangolo, quadrilateri e un cerchio, varie operazioni con numeri interi e frazioni, divisione proporzionale, trovare rapporti e c'è anche l'aumento in gradi diversi, risolvendo equazioni di primo e secondo grado con un'incognita.

Manca completamente qualsiasi spiegazione o prova. Il risultato desiderato viene fornito direttamente oppure viene fornito un breve algoritmo per calcolarlo. Questo metodo di presentazione, tipico della scienza nei paesi antico Oriente, suggerisce che la matematica lì si sia sviluppata attraverso generalizzazioni e ipotesi che non formavano alcuna teoria generale. Tuttavia, il papiro contiene una serie di prove del fatto che i matematici egiziani sapevano come estrarre radici ed elevare a potenze, risolvere equazioni e persino padroneggiare i rudimenti dell'algebra.

V. Lavoro alla lavagna

Trovare il significato dell'espressione in modo razionale:

Calcola il valore dell'espressione:

VI. Minuto di educazione fisica

1. per gli occhi
2. per il collo
3. per le mani
4. per il busto
5. per i piedi

VII. Risoluzione dei problemi(con visualizzazione su lavagna interattiva)

La radice dell'equazione è un numero positivo?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Lavoro indipendente

IX. Compiti a casa

X. Riassumendo la lezione

Analisi dei risultati, annuncio dei voti.

Utilizzeremo le conoscenze acquisite sui titoli di studio per risolvere equazioni e problemi nelle scuole superiori, che spesso si trovano anche nell'Esame di Stato Unificato;

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Innanzitutto, ricordiamo le formule di base dei poteri e le loro proprietà.

Prodotto di un numero UN ricorre su se stesso n volte, possiamo scrivere questa espressione come a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. un n un m = un n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. un n / un m = un n - m

Equazioni di potenza o esponenziali– si tratta di equazioni in cui le variabili sono espresse in potenze (o esponenti) e la base è un numero.

Esempi equazioni esponenziali:

IN in questo esempio il numero 6 è la base, è sempre in basso, e la variabile X grado o indicatore.

Diamo altri esempi di equazioni esponenziali.
2x*5=10
16 x - 4 x - 6=0

Ora diamo un'occhiata a come vengono risolte le equazioni esponenziali?

Prendiamo una semplice equazione:

2 x = 2 3

Questo esempio può essere risolto anche nella tua testa. Si può vedere che x=3. Dopotutto, affinché i lati sinistro e destro siano uguali, devi inserire il numero 3 invece di x.
Vediamo ora come formalizzare questa decisione:

2 x = 2 3
x = 3

Per risolvere tale equazione, abbiamo rimosso motivi identici(cioè due) e ho scritto ciò che restava, questi sono i gradi. Abbiamo ottenuto la risposta che cercavamo.

Ora riassumiamo la nostra decisione.

Algoritmo per risolvere l'equazione esponenziale:
1. È necessario controllare identico se l'equazione ha basi a destra e a sinistra. Se i motivi non sono gli stessi, stiamo cercando opzioni per risolvere questo esempio.
2. Dopo che le basi diventano le stesse, equiparare gradi e risolvere la nuova equazione risultante.

Ora diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

Cominciamo con qualcosa di semplice.

Le basi sui lati sinistro e destro sono uguali al numero 2, il che significa che possiamo scartare la base e equiparare le loro potenze.

x+2=4 Si ottiene l'equazione più semplice.
x=4 – 2
x=2
Risposta: x=2

Nell'esempio seguente puoi vedere che le basi sono diverse: 3 e 9.

3 3x - 9x+8 = 0

Per prima cosa, spostiamo i nove sul lato destro, otteniamo:

Ora devi creare le stesse basi. Sappiamo che 9=3 2. Usiamo la formula della potenza (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Otteniamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Ora è chiaro che sui lati sinistro e destro le basi sono uguali e uguali a tre, il che significa che possiamo scartarle e uguagliare i gradi.

3x=2x+16 otteniamo l'equazione più semplice
3x - 2x=16
x=16
Risposta: x=16.

Diamo un'occhiata al seguente esempio:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Prima di tutto, guardiamo le basi, basi due e quattro. E abbiamo bisogno che siano uguali. Trasformiamo i quattro usando la formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

E usiamo anche una formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Aggiungi all'equazione:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Abbiamo fatto un esempio per gli stessi motivi. Ma gli altri numeri 10 e 24 ci danno fastidio. Cosa farne? Se guardi da vicino puoi vedere che sul lato sinistro abbiamo 2 2x ripetuti, ecco la risposta: possiamo mettere 2 2x tra parentesi:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calcoliamo l'espressione tra parentesi:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividiamo l'intera equazione per 6:

Immaginiamo 4=2 2:

2 2x = 2 2 basi sono uguali, le scartiamo e uguagliamo i gradi.
2x = 2 è l'equazione più semplice. Dividilo per 2 e otteniamo
x = 1
Risposta: x = 1.

Risolviamo l'equazione:

9 x – 12*3 x +27= 0

Trasformiamo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otteniamo l'equazione:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Le nostre basi sono uguali, pari a tre. In questo esempio puoi vedere che le prime tre hanno un grado doppio (2x) della seconda (solo x). In questo caso puoi risolvere metodo di sostituzione. Sostituiamo il numero con il grado più piccolo:

Allora 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Sostituiamo tutte le potenze x nell'equazione con t:

t2 - 12t+27 = 0
Otteniamo equazione quadratica. Risolvendo attraverso il discriminante otteniamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Ritornando alla variabile X.

Prendi t1:
t1 = 9 = 3x

Perciò,

3 x = 9
3 x = 3 2
x1 = 2

È stata trovata una radice. Cerchiamo il secondo da t 2:
t2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x2 = 1
Risposta: x1 = 2; x2 = 1.

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Grado e sue proprietà. Guida completa (2019)

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Andiamo... (Andiamo!)

Nota importante! Se vedi gobbledygook invece delle formule, svuota la cache. Per fare ciò, premi CTRL+F5 (su Windows) o Cmd+R (su Mac).

LIVELLO ENTRATA

L'esponenziazione è un'operazione matematica proprio come l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione o la divisione.

Ora spiegherò tutto nel linguaggio umano in molto semplici esempi. Stai attento. Gli esempi sono elementari, ma spiegano cose importanti.

Cominciamo con l'addizione.

Non c'è niente da spiegare qui. Sai già tutto: siamo in otto. Ognuno ha due bottiglie di cola. Quanta cola c'è? Esatto: 16 bottiglie.

Ora la moltiplicazione.

Lo stesso esempio con la cola può essere scritto diversamente: . I matematici sono persone astute e pigre. Prima notano alcuni schemi e poi trovano un modo per “contarli” più velocemente. Nel nostro caso, hanno notato che ciascuna delle otto persone aveva lo stesso numero di bottiglie di cola e hanno escogitato una tecnica chiamata moltiplicazione. D'accordo, è considerato più facile e veloce di.

Quindi, per contare più velocemente, più facilmente e senza errori, devi solo ricordare tabella di moltiplicazione. Certo, puoi fare tutto più lentamente, più difficile e con errori! Ma…

Ecco la tavola pitagorica. Ripetere.

E un altro, più bello:

Quali altri trucchetti intelligenti hanno escogitato i matematici pigri? Giusto - elevando un numero a una potenza.

Elevare un numero a una potenza

Se devi moltiplicare un numero per se stesso cinque volte, i matematici dicono che devi elevare quel numero alla quinta potenza. Per esempio, . I matematici ricordano che due alla quinta potenza è... E risolvono questi problemi nelle loro teste: più velocemente, più facilmente e senza errori.

Tutto quello che devi fare è ricorda cosa è evidenziato a colori nella tabella delle potenze dei numeri. Credimi, questo ti renderà la vita molto più semplice.

A proposito, perché si chiama secondo grado? piazza numeri, e il terzo - cubo? Cosa significa? Molto bella domanda. Ora avrai sia quadrati che cubi.

Esempio di vita reale n. 1

Cominciamo con il quadrato o la seconda potenza del numero.

Immagina una piscina quadrata che misura un metro per un metro. La piscina è nella tua dacia. Fa caldo e ho tanta voglia di nuotare. Ma... la piscina non ha fondo! È necessario coprire il fondo della piscina con piastrelle. Quante piastrelle ti servono? Per determinarlo è necessario conoscere la zona del fondo della piscina.

Puoi calcolare semplicemente puntando il dito che il fondo della piscina è costituito da cubi metro per metro. Se hai piastrelle di un metro per metro, avrai bisogno di pezzi. È facile... Ma dove hai visto piastrelle del genere? Molto probabilmente la tessera sarà cm per cm e poi verrai torturato “contando con il dito”. Allora devi moltiplicare. Quindi, da un lato del fondo della piscina metteremo le piastrelle (pezzi) e dall'altro anche le piastrelle. Moltiplica per e ottieni le tessere ().

Hai notato che per determinare l'area del fondo della piscina abbiamo moltiplicato lo stesso numero per se stesso? Cosa significa? Dato che stiamo moltiplicando lo stesso numero, possiamo usare la tecnica dell’“elevamento a potenza”. (Naturalmente, quando hai solo due numeri, devi comunque moltiplicarli o elevarli a potenza. Ma se ne hai molti, elevarli a potenza è molto più semplice e ci sono anche meno errori nei calcoli Per l'Esame di Stato Unificato questo è molto importante).
Quindi, trenta alla seconda potenza sarà (). Oppure possiamo dire che lo saranno trenta quadrati. In altre parole, la seconda potenza di un numero può sempre essere rappresentata come un quadrato. E viceversa, se vedi un quadrato, è SEMPRE la seconda potenza di qualche numero. Un quadrato è l'immagine della seconda potenza di un numero.

Esempio di vita reale n. 2

Ecco un compito per te: conta quante caselle ci sono sulla scacchiera usando la casella del numero... Da un lato delle celle e anche dall'altro. Per calcolare il loro numero, devi moltiplicare otto per otto oppure... se noti che una scacchiera è un quadrato con un lato, allora puoi elevare otto. Otterrai delle cellule. () COSÌ?

Esempio di vita reale n. 3

Ora il cubo o la terza potenza di un numero. La stessa piscina. Ma ora devi scoprire quanta acqua dovrà essere versata in questa piscina. Devi calcolare il volume. (I volumi e i liquidi, tra l'altro, si misurano in metri cubi. Inaspettato, vero?) Disegna una piscina: il fondo è largo un metro e profondo un metro, e prova a calcolare quanti cubi di un metro per metro ci saranno adattarsi alla tua piscina.

Basta puntare il dito e contare! Uno, due, tre, quattro...ventidue, ventitré...Quanti ne hai ottenuti? Non perso? È difficile contare con il dito? Questo è tutto! Prendiamo un esempio dai matematici. Sono pigri, quindi hanno notato che per calcolare il volume della piscina, è necessario moltiplicarne la lunghezza, la larghezza e l'altezza. Nel nostro caso il volume della piscina sarà pari a cubi... Più facile no?

Ora immagina quanto sarebbero pigri e astuti i matematici se semplificassero anche questo. Abbiamo ridotto tutto ad un'unica azione. Hanno notato che la lunghezza, la larghezza e l'altezza sono uguali e che lo stesso numero si moltiplica per se stesso... Cosa significa? Ciò significa che puoi usufruire della laurea. Quindi, quello che una volta contavi con il dito, lo fanno in un'unica azione: tre cubetti sono uguali. È scritto così: .

Tutto ciò che resta è ricorda la tabella dei gradi. A meno che, ovviamente, tu non sia pigro e astuto come i matematici. Se ti piace lavorare duro e commettere errori, puoi continuare a contare con il dito.

Bene, per convincerti finalmente che i diplomi sono stati inventati da persone che hanno rinunciato e da persone astute per risolversi da soli problemi della vita, e per non crearti problemi, ecco un altro paio di esempi tratti dalla vita.

Esempio di vita reale n. 4

Hai un milione di rubli. All'inizio di ogni anno, per ogni milione che guadagni, ne guadagni un altro milione. Cioè, ogni milione che hai raddoppia all'inizio di ogni anno. Quanti soldi avrai tra anni? Se adesso sei seduto e “conta con il dito”, allora sei una persona molto laboriosa e... stupida. Ma molto probabilmente darai una risposta in un paio di secondi, perché sei intelligente! Quindi, nel primo anno - due moltiplicati per due... nel secondo anno - quello che è successo, per altri due, nel terzo anno... Stop! Hai notato che il numero viene moltiplicato per se stesso volte. Quindi due alla quinta potenza fanno un milione! Ora immagina di avere una competizione e chi riesce a contare più velocemente vincerà questi milioni... Vale la pena ricordare il potere dei numeri, non credi?

Esempio di vita reale n. 5

Ne hai un milione. All'inizio di ogni anno, per ogni milione guadagnato, ne guadagni altri due. Fantastico, vero? Ogni milione viene triplicato. Quanti soldi avrai tra un anno? Contiamo. Il primo anno: moltiplica per, poi il risultato per un altro... È già noioso, perché hai già capito tutto: tre si moltiplica per se stesso volte. Quindi alla quarta potenza è pari a un milione. Devi solo ricordare che tre alla quarta potenza è o.

Ora sai che elevando un numero a potenza ti renderai la vita molto più semplice. Diamo un'ulteriore occhiata a cosa puoi fare con i titoli di studio e cosa devi sapere al riguardo.

Termini e concetti... per non confondersi

Quindi, per prima cosa, definiamo i concetti. Pensi cos'è un esponente? È molto semplice: è il numero che si trova "al vertice" della potenza del numero. Non scientifico, ma chiaro e facile da ricordare...

Ebbene, allo stesso tempo, cosa tale base di laurea? Ancora più semplice: questo è il numero che si trova sotto, alla base.

Ecco un disegno per buona misura.

Bene dentro visione generale, per generalizzare e ricordare meglio... Un grado con base “ ” ed esponente “ ” si legge “al grado” e si scrive così:

Potenza di un numero con esponente naturale

Probabilmente hai già indovinato: perché l'esponente lo è numero naturale. Sì, ma di cosa si tratta? numero naturale? Elementare! I numeri naturali sono quei numeri che si usano per contare quando si elencano gli oggetti: uno, due, tre... Quando contiamo gli oggetti, non diciamo: “meno cinque”, “meno sei”, “meno sette”. Inoltre non diciamo: “un terzo” o “zero virgola cinque”. Questi non sono numeri naturali. Che numeri pensi che siano questi?

Numeri come “meno cinque”, “meno sei”, “meno sette” si riferiscono a numeri interi. In generale, gli interi includono tutti i numeri naturali, i numeri opposti ai numeri naturali (cioè presi con il segno meno) e i numeri. Lo zero è facile da capire: è quando non c'è nulla. Cosa significano i numeri negativi (“meno”)? Ma sono stati inventati principalmente per indicare i debiti: se hai un saldo in rubli sul tuo telefono, significa che devi rubli all'operatore.

Tutte le frazioni sono numeri razionali. Come sono nati, secondo te? Molto semplice. Diverse migliaia di anni fa, i nostri antenati scoprirono che non disponevano di numeri naturali per misurare la lunghezza, il peso, l’area, ecc. E hanno inventato numeri razionali...Interessante, vero?

Esistono anche numeri irrazionali. Quali sono questi numeri? Insomma, infinito decimale. Ad esempio, se dividi la circonferenza di un cerchio per il suo diametro, otterrai un numero irrazionale.

Riprendere:

Definiamo il concetto di grado il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

1. Qualsiasi numero elevato alla prima potenza è uguale a se stesso:
2. Quadrare un numero significa moltiplicarlo per se stesso:
3. Cubare un numero significa moltiplicarlo per se stesso tre volte:

Definizione. Elevare un numero a una potenza naturale significa moltiplicare il numero per se stesso volte:
.

Proprietà dei gradi

Da dove provengono queste proprietà? Te lo mostrerò adesso.

Vediamo: di cosa si tratta E ?

Per definizione:

Quanti moltiplicatori ci sono in totale?

È molto semplice: abbiamo aggiunto i moltiplicatori ai fattori e il risultato sono i moltiplicatori.

Ma per definizione, questa è una potenza di un numero con un esponente, cioè: , che è ciò che doveva essere dimostrato.

Esempio: Semplifica l'espressione.

Soluzione:

Esempio: Semplifica l'espressione.

Soluzione:È importante notare che nella nostra regola Necessariamente devono essere gli stessi motivi!
Quindi uniamo le potenze con la base, ma rimane un fattore a parte:

solo per il prodotto delle potenze!

In nessun caso puoi scriverlo.

2. questo è tutto l'esima potenza di un numero

Esattamente come per la proprietà precedente, passiamo alla definizione di grado:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa volte, cioè, secondo la definizione, questa è l'esima potenza del numero:

In sostanza, questo può essere chiamato “togliere l’indicatore tra parentesi”. Ma non puoi mai farlo in totale:

Ricordiamo le formule di moltiplicazione abbreviate: quante volte avremmo voluto scrivere?

Ma questo non è vero, dopotutto.

Potenza con base negativa

Finora abbiamo discusso solo di quale dovrebbe essere l'esponente.

Ma quale dovrebbe essere la base?

Nei poteri di indicatore naturale la base potrebbe essere qualsiasi numero. In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero tra loro, siano essi positivi, negativi o pari.

Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno gradi di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero è positivo o negativo? UN? ? Con il primo tutto è chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po’ più interessanti. Ricordiamo la semplice regola della prima media: "meno per meno dà un più". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per, funziona.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ci sei riuscito?

Ecco le risposte: Nei primi quattro esempi spero che sia tutto chiaro? Guardiamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nell'esempio 5) anche tutto non è così spaventoso come sembra: dopotutto, non importa a cosa sia uguale la base: il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo.

Bene, tranne quando la base è zero. La base non è uguale, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice!

6 esempi per esercitarsi

Analisi della soluzione 6 esempi

Se ignoriamo l'ottavo potere, cosa vediamo qui? Ricordiamo il programma di 7a elementare. Allora, ti ricordi? Questa è la formula per la moltiplicazione abbreviata, cioè la differenza dei quadrati! Otteniamo:

Osserviamo attentamente il denominatore. Assomiglia molto a uno dei fattori del numeratore, ma cosa c'è che non va? L'ordine dei termini è sbagliato. Se fossero invertite, la regola potrebbe applicarsi.

Ma come farlo? Si scopre che è molto semplice: il grado pari del denominatore ci aiuta qui.

Magicamente i termini cambiarono posto. Questo “fenomeno” si applica a qualsiasi espressione in misura uniforme: possiamo facilmente cambiare i segni tra parentesi.

Ma è importante ricordare: tutti i segni cambiano contemporaneamente!

Torniamo all'esempio:

E ancora la formula:

Totale chiamiamo i numeri naturali, i loro opposti (cioè presi con il segno " ") e numero.

intero positivo, e non è diverso da quello naturale, quindi tutto appare esattamente come nella sezione precedente.

Ora diamo un'occhiata ai nuovi casi. Cominciamo con un indicatore pari a.

Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno:

Come sempre chiediamoci: perché è così?

Consideriamo un certo grado con una base. Prendiamo ad esempio e moltiplichiamo per:

Quindi, abbiamo moltiplicato il numero per e abbiamo ottenuto la stessa cosa: - . Per quale numero dovresti moltiplicare in modo che non cambi nulla? Esatto, avanti. Significa.

Possiamo fare lo stesso con un numero arbitrario:

Ripetiamo la regola:

Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno.

Ma ci sono eccezioni a molte regole. Ed eccolo anche lì: questo è un numero (come base).

Da un lato, deve essere uguale in qualsiasi grado: non importa quanto moltiplichi lo zero per se stesso, otterrai comunque zero, questo è chiaro. Ma d'altra parte, come ogni numero elevato a zero, deve essere uguale. Quindi quanto di questo è vero? I matematici decisero di non farsi coinvolgere e rifiutarono di elevare lo zero alla potenza zero. Cioè, ora non solo possiamo dividere per zero, ma anche elevarlo a zero.

Andiamo avanti. Oltre ai numeri naturali e ai numeri, gli interi includono anche i numeri negativi. Per capire cos'è una potenza negativa, facciamo come l'ultima volta: moltiplichiamo un numero normale per lo stesso numero che dà una potenza negativa:

Da qui è facile esprimere ciò che stai cercando:

Ora estendiamo la regola risultante in misura arbitraria:

Quindi formuliamo una regola:

Un numero con potenza negativa è il reciproco dello stesso numero con potenza positiva. Ma allo stesso tempo La base non può essere nulla:(perché non puoi dividere per).

Riassumiamo:

I. L'espressione non è definita nel caso. Se, allora.

II. Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno: .

III. Un numero diverso da zero elevato a una potenza negativa è l'inverso dello stesso numero elevato a una potenza positiva: .

Compiti per una soluzione indipendente:

Bene, come al solito, esempi di soluzioni indipendenti:

Analisi dei problemi per una soluzione indipendente:

Lo so, lo so, i numeri fanno paura, ma all'Esame di Stato Unificato devi essere preparato a tutto! Risolvi questi esempi o analizza le loro soluzioni se non riesci a risolverli e imparerai ad affrontarli facilmente durante l'esame!

Continuiamo ad espandere la gamma di numeri “adatti” come esponente.

Ora consideriamo numeri razionali. Quali numeri sono detti razionali?

Risposta: tutto ciò che può essere rappresentato come una frazione, dove e sono numeri interi e.

Per capire di cosa si tratta "grado frazionario", considera la frazione:

Eleviamo a potenza entrambi i membri dell'equazione:

Ora ricordiamo la regola su "grado per grado":

Quale numero deve essere elevato a una potenza per ottenere?

Questa formulazione è la definizione della radice del esimo grado.

Te lo ricordo: la radice dell'esima potenza di un numero () è un numero che, elevato a potenza, è uguale a.

Cioè la radice della potenza è l'operazione inversa dell'elevazione a potenza: .

Si scopre che. Ovviamente questo caso speciale può essere ampliato: .

Adesso aggiungiamo il numeratore: che cos'è? La risposta è facile da ottenere utilizzando la regola potere-potenza:

Ma la base può essere un numero qualsiasi? Dopotutto, la radice non può essere estratta da tutti i numeri.

Nessuno!

Ricordiamo la regola: qualsiasi numero elevato a una potenza pari è un numero positivo. Cioè, è impossibile estrarre le radici pari dai numeri negativi!

Ciò significa che tali numeri non possono essere elevati a una potenza frazionaria con un denominatore pari, cioè l'espressione non ha senso.

E l'espressione?

Ma qui sorge un problema.

Un numero può essere rappresentato come altre frazioni riducibili, ad esempio, o.

E si scopre che esiste, ma non esiste, ma questi sono solo due record diversi dello stesso numero.

Oppure un altro esempio: una volta e poi puoi scriverlo. Ma se scriviamo l'indicatore in modo diverso, ci troveremo di nuovo nei guai: (cioè, abbiamo ottenuto un risultato completamente diverso!).

Per evitare tali paradossi, consideriamo solo esponente di base positivo con esponente frazionario.

Quindi se:

• — numero naturale;
• - intero;

Esempi:

Gli esponenti razionali sono molto utili per trasformare espressioni con radici, ad esempio:

5 esempi per esercitarsi

Analisi di 5 esempi per la formazione

Bene, ora arriva la parte più difficile. Ora lo scopriremo grado con esponente irrazionale.

Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse di un grado con esponente razionale, con l'eccezione

Dopotutto, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono numeri interi (ovvero, i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne quelli razionali).

Quando studiavamo le lauree con esponenti naturali, interi e razionali, ogni volta creavamo una certa “immagine”, “analogia” o descrizione in termini più familiari.

Ad esempio, un grado con esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte;

...numero elevato alla potenza zero- questo è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso una volta, cioè non hanno ancora iniziato a moltiplicarlo, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi il risultato è solo un certo "numero vuoto" , ovvero un numero;

...grado intero negativo- è come se si fosse verificato un “processo inverso”, ovvero il numero non fosse stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

A proposito, nella scienza viene spesso utilizzato un grado con un esponente complesso, cioè l'esponente non è nemmeno un numero reale.

Ma a scuola non pensiamo a queste difficoltà; avrai l’opportunità di comprendere questi nuovi concetti all’istituto.

DOVE SIAMO SICURI CHE ANDRAI! (se impari a risolvere questi esempi :))

Per esempio:

Decidi tu stesso:

Analisi delle soluzioni:

1. Cominciamo con la regola per elevare un potere a potere, che è già consueta per noi:

Ora guarda l'indicatore. Non ti ricorda niente? Ricordiamo la formula per la moltiplicazione abbreviata della differenza dei quadrati:

In questo caso,

Si scopre che:

Risposta: .

2. Riduciamo le frazioni in esponenti alla stessa forma: entrambi i decimali o entrambi quelli ordinari. Otteniamo, ad esempio:

Risposta: 16

3. Niente di speciale, usiamo le solite proprietà dei gradi:

LIVELLO AVANZATO

Determinazione del titolo di studio

Una laurea è un'espressione della forma: , dove:

• — base di laurea;
• - esponente.

Laurea con indicatore naturale (n = 1, 2, 3,...)

Elevare un numero alla potenza naturale n significa moltiplicare il numero per se stesso volte:

Grado con esponente intero (0, ±1, ±2,...)

Se l'esponente è intero positivo numero:

Costruzione al grado zero:

L'espressione è indefinita, perché, da un lato, qualsiasi grado è questo, e dall'altro, qualsiasi numero fino al decimo grado è questo.

Se l'esponente è intero negativo numero:

(perché non puoi dividere per).

Ancora una volta sugli zeri: l'espressione non è definita nel caso. Se, allora.

Esempi:

Potenza con esponente razionale

• — numero naturale;
• - intero;

Esempi:

Proprietà dei gradi

Per facilitare la risoluzione dei problemi, proviamo a capire: da dove provengono queste proprietà? Dimostriamoli.

Vediamo: cos'è e?

Per definizione:

Quindi, sul lato destro di questa espressione otteniamo il seguente prodotto:

Ma per definizione è una potenza di un numero con esponente, cioè:

Q.E.D.

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : .

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : È importante notare che nella nostra regola Necessariamente devono esserci gli stessi motivi. Quindi uniamo le potenze con la base, ma rimane un fattore a parte:

Un'altra nota importante: questa regola - solo per prodotto di potenze!

In nessun caso puoi scriverlo.

Esattamente come per la proprietà precedente, passiamo alla definizione di grado:

Raggruppiamo questo lavoro in questo modo:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa volte, cioè, secondo la definizione, questa è l'esima potenza del numero:

In sostanza, questo può essere chiamato “togliere l’indicatore tra parentesi”. Ma non puoi mai farlo in totale: !

Ricordiamo le formule di moltiplicazione abbreviate: quante volte avremmo voluto scrivere? Ma questo non è vero, dopo tutto.

Potenza con base negativa.

Finora abbiamo solo discusso di come dovrebbe essere indicatore gradi. Ma quale dovrebbe essere la base? Nei poteri di naturale indicatore la base potrebbe essere qualsiasi numero .

In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero tra loro, siano essi positivi, negativi o pari. Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno gradi di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero è positivo o negativo? UN? ?

Con il primo tutto è chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po’ più interessanti. Ricordiamo la semplice regola della prima media: "meno per meno dà un più". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per (), otteniamo - .

E così all'infinito: ad ogni moltiplicazione successiva il segno cambierà. Possiamo formulare quanto segue regole semplici:

1. Anche grado, - numero positivo.
2. Numero negativo, incorporato strano grado, - numero negativo.
3. Numero positivo in qualsiasi misura è un numero positivo.
4. Zero a qualsiasi potenza è uguale a zero.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ci sei riuscito? Ecco le risposte:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nei primi quattro esempi, spero che sia tutto chiaro? Guardiamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

Nell'esempio 5) anche tutto non è così spaventoso come sembra: dopotutto, non importa a cosa sia uguale la base: il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo. Bene, tranne quando la base è zero. La base non è uguale, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice. Qui devi scoprire quale è meno: o? Se lo ricordiamo, diventa chiaro che ciò significa che la base è inferiore a zero. Applichiamo cioè la regola 2: il risultato sarà negativo.

E ancora usiamo la definizione di grado:

Tutto è come al solito: scriviamo la definizione dei gradi e li dividiamo l'uno per l'altro, li dividiamo in coppie e otteniamo:

Prima di esaminare l'ultima regola, risolviamo alcuni esempi.

Calcola le espressioni:

Soluzioni :

Se ignoriamo l'ottavo potere, cosa vediamo qui? Ricordiamo il programma di 7a elementare. Allora, ti ricordi? Questa è la formula per la moltiplicazione abbreviata, cioè la differenza dei quadrati!

Otteniamo:

Osserviamo attentamente il denominatore. Assomiglia molto a uno dei fattori del numeratore, ma cosa c'è che non va? L'ordine dei termini è sbagliato. Se fossero invertite, si potrebbe applicare la regola 3. Ma come? Si scopre che è molto semplice: il grado pari del denominatore ci aiuta qui.

Se lo moltiplichi per non cambia nulla, giusto? Ma ora risulta così:

Magicamente i termini cambiarono posto. Questo “fenomeno” si applica a qualsiasi espressione in misura uniforme: possiamo facilmente cambiare i segni tra parentesi. Ma è importante ricordare: Tutti i segni cambiano allo stesso tempo! Non puoi sostituirlo modificando solo uno svantaggio che non ci piace!

Torniamo all'esempio:

E ancora la formula:

Quindi ora l'ultima regola:

Come lo dimostreremo? Naturalmente, come al solito: espandiamo il concetto di laurea e semplifichiamolo:

Bene, ora apriamo le parentesi. Quante lettere ci sono in totale? volte per moltiplicatori: cosa ti ricorda questo? Questa non è altro che la definizione di un'operazione moltiplicazione: Lì c'erano solo moltiplicatori. Cioè, questa, per definizione, è una potenza di un numero con un esponente:

Esempio:

Laurea con esponente irrazionale

Oltre alle informazioni sui gradi per il livello medio, analizzeremo il grado con un esponente irrazionale. Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse di un grado con esponente razionale, con l'eccezione che, dopo tutto, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono numeri interi (cioè , i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne i numeri razionali).

Quando studiavamo le lauree con esponenti naturali, interi e razionali, ogni volta creavamo una certa “immagine”, “analogia” o descrizione in termini più familiari. Ad esempio, un grado con esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte; un numero elevato a zero è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso volte, cioè non hanno ancora cominciato a moltiplicarlo, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi il risultato è solo un certo “numero vuoto”, ovvero un numero; un grado con un esponente intero negativo: è come se si fosse verificato un "processo inverso", cioè il numero non è stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

È estremamente difficile immaginare un grado con un esponente irrazionale (così come è difficile immaginare uno spazio quadridimensionale). Si tratta piuttosto di un oggetto puramente matematico che i matematici hanno creato per estendere il concetto di grado all'intero spazio dei numeri.

A proposito, nella scienza viene spesso utilizzato un grado con un esponente complesso, cioè l'esponente non è nemmeno un numero reale. Ma a scuola non pensiamo a queste difficoltà; avrai l’opportunità di comprendere questi nuovi concetti all’istituto.

Allora cosa facciamo se vediamo un esponente irrazionale? Stiamo facendo del nostro meglio per sbarazzarcene! :)

Per esempio:

Decidi tu stesso:

1)

2)

3)

Risposte:

1. Ricordiamo la formula della differenza dei quadrati. Risposta: .
2. Riduciamo le frazioni alla stessa forma: entrambe le cifre decimali oppure entrambe le frazioni ordinarie. Otteniamo, ad esempio: .
3. Niente di speciale, usiamo le solite proprietà dei gradi:

RIASSUNTO DELLA SEZIONE E FORMULE BASE

Grado chiamata espressione nella forma: , dove:

Grado con esponente intero

un grado il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

Potenza con esponente razionale

grado, il cui esponente è un numero negativo e frazionario.

Laurea con esponente irrazionale

un grado il cui esponente è una frazione decimale o radice infinita.

Proprietà dei gradi

Caratteristiche dei gradi.

• Numero negativo elevato a Anche grado, - numero positivo.
• Numero negativo elevato a strano grado, - numero negativo.
• Un numero positivo in qualsiasi grado è un numero positivo.
• Zero è uguale a qualsiasi potenza.
• Qualsiasi numero elevato a zero è uguale.

ORA HAI LA PAROLA...

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