Equazione di grado x con basi diverse. Risoluzione di equazioni di potenza esponenziale, algoritmi ed esempi

1º. Equazioni esponenziali sono chiamate equazioni contenenti una variabile in un esponente.

Soluzione equazioni esponenziali basato sulla proprietà del grado: due potenze con la stessa base sono uguali se e solo se i loro esponenti sono uguali.

2º. Metodi di base per la risoluzione di equazioni esponenziali:

1) l'equazione più semplice ha una soluzione;

2) un'equazione della forma logaritmica rispetto alla base UN ridurre alla forma;

3) un'equazione della forma è equivalente all'equazione ;

4) equazione della forma è equivalente all'equazione

5) un'equazione della forma viene ridotta mediante sostituzione con un'equazione, e quindi viene risolto un insieme di semplici equazioni esponenziali;

6) equazione con reciproco reciproci per sostituzione si riducono a un'equazione e quindi risolvono un insieme di equazioni;

7) equazioni omogenee rispetto a un g(x) E bg(x) dato che Tipo mediante la sostituzione vengono ridotti a un'equazione e quindi viene risolto un insieme di equazioni.

Classificazione delle equazioni esponenziali.

1. Equazioni risolte andando ad una base.

Esempio 18. Risolvi l'equazione .

Soluzione: approfittiamo del fatto che tutte le basi delle potenze sono potenze del numero 5: .

2. Equazioni risolte passando ad un esponente.

Queste equazioni vengono risolte trasformando l'equazione originale nella forma , che si riduce alla sua forma più semplice sfruttando la proprietà della proporzione.

Esempio 19. Risolvi l'equazione:

3. Equazioni risolte togliendo il fattore comune dalle parentesi.

Se ciascun esponente di un'equazione differisce dall'altro di un certo numero, le equazioni vengono risolte mettendo tra parentesi l'esponente con l'esponente più piccolo.

Esempio 20. Risolvi l'equazione.

Soluzione: prendiamo il grado con l'esponente più piccolo tra parentesi sul lato sinistro dell'equazione:

Esempio 21. Risolvi l'equazione

Soluzione: Raggruppiamo separatamente sul lato sinistro dell'equazione i termini contenenti potenze in base 4, sul lato destro - con base 3, quindi mettiamo tra parentesi le potenze con esponente più piccolo:

4. Equazioni che si riducono ad equazioni quadratiche (o cubiche)..

Le seguenti equazioni si riducono a un'equazione quadratica per la nuova variabile y:

a) tipologia di sostituzione, in questo caso;

b) il tipo di sostituzione , e .

Esempio 22. Risolvi l'equazione .

Soluzione: cambiamo variabile e risolviamo l'equazione quadratica:

.

Risposta: 0; 1.

5. Equazioni omogenee rispetto a funzioni esponenziali.

Un'equazione della forma è equazione omogenea secondo grado relativo alle incognite ascia E bx. Tali equazioni vengono ridotte dividendo prima entrambi i membri per e quindi sostituendoli in equazioni quadratiche.

Esempio 23. Risolvi l'equazione.

Soluzione: dividi entrambi i membri dell'equazione per:

Mettendo , otteniamo un'equazione quadratica con radici .

Ora il problema si riduce a risolvere una serie di equazioni . Dalla prima equazione troviamo che . La seconda equazione non ha radici, poiché per qualsiasi valore X.

Risposta: -1/2.

6. Equazioni razionali rispetto a funzioni esponenziali.

Esempio 24. Risolvi l'equazione.

Soluzione: dividere il numeratore e il denominatore della frazione per 3 volte e invece di due ne otteniamo uno funzione esponenziale:

7. Equazioni della forma .

Tali equazioni con un insieme valori accettabili(ODZ), determinato dalla condizione, prendendo il logaritmo di entrambi i lati dell'equazione vengono ridotti a un'equazione equivalente, che a sua volta è equivalente a un insieme di due equazioni o.

Esempio 25. Risolvi l'equazione: .

.

Materiale didattico.

Risolvi le equazioni:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Trova il prodotto delle radici dell'equazione .

27. Trova la somma delle radici dell'equazione .

Trova il significato dell'espressione:

28. , dove x0- radice dell'equazione;

29. , dove x0 – radice intera equazioni .

Risolvi l'equazione:

31. ; 32. .

Risposte: 10; 2. -2/9; 3.1/36; 4.0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8.2; 9.1, 3; 10.8; 11,5; 12.1; 13,¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18.1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Argomento n.8.

Disuguaglianze esponenziali.

1º. Viene chiamata una disuguaglianza contenente una variabile nell'esponente disuguaglianza esponenziale.

2º. Soluzione disuguaglianze esponenziali type si basa sulle seguenti affermazioni:

se , allora la disuguaglianza è equivalente a ;

se , allora la disuguaglianza è equivalente a .

Quando si risolvono le disuguaglianze esponenziali, vengono utilizzate le stesse tecniche di quando si risolvono le equazioni esponenziali.

Esempio 26. Risolvi la disuguaglianza (metodo di transizione a una base).

Soluzione: da allora , allora la disuguaglianza data può essere scritta come: . Poiché , allora questa disuguaglianza è equivalente alla disuguaglianza .

Risolvendo l'ultima disuguaglianza, otteniamo .

Esempio 27. Risolvi la disuguaglianza: ( togliendo il fattore comune tra parentesi).

Soluzione: Togliamo tra parentesi il lato sinistro della disuguaglianza , il lato destro della disuguaglianza e dividiamo entrambi i lati della disuguaglianza per (-2), cambiando il segno della disuguaglianza nel contrario:

Da allora, quando si passa alla disuguaglianza degli indicatori, il segno della disuguaglianza cambia nuovamente nel contrario. Noi abbiamo. Pertanto, l’insieme di tutte le soluzioni a questa disuguaglianza è l’intervallo.

Esempio 28. Risolvi la disuguaglianza ( introducendo una nuova variabile).

Soluzione: lascia . Allora questa disuguaglianza assumerà la forma: O , la cui soluzione è l'intervallo .

Da qui. Poiché la funzione aumenta, allora .

Materiale didattico.

Specificare l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza:

1. ; 2. ; 3. ;

6. A quali valori X I punti sul grafico della funzione si trovano sotto la linea retta?

7. A quali valori X I punti sul grafico della funzione si trovano almeno fino alla retta?

Risolvi la disuguaglianza:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Specifica la più grande soluzione intera della disuguaglianza .

14. Trova il prodotto delle soluzioni dell'intero più grande e dell'intero più piccolo della disuguaglianza .

Risolvi la disuguaglianza:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Trova il dominio della funzione:

27. ; 28. .

29. Trova l'insieme di valori degli argomenti per i quali i valori di ciascuna funzione sono maggiori di 3:

E .

Risposte: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )