Il reciproco del logaritmo decimale. Definizione del logaritmo e delle sue proprietà: teoria e soluzione di problemi

Nel rapporto

è possibile impostare il compito di trovare uno qualsiasi dei tre numeri tra gli altri due indicati. Se a e poi N sono dati, si trovano mediante esponenziazione. Se N e allora a sono dati prendendo la radice del grado x (o elevandola a potenza). Consideriamo ora il caso in cui, dati a e N, dobbiamo trovare x.

Sia il numero N positivo: il numero a sia positivo e diverso da uno: .

Definizione. Il logaritmo del numero N in base a è l'esponente a cui bisogna elevare a per ottenere il numero N; il logaritmo è indicato con

Pertanto, nell'uguaglianza (26.1) l'esponente si trova come il logaritmo di N in base a. Messaggi

hanno lo stesso significato. L'uguaglianza (26.1) è talvolta chiamata l'identità principale della teoria dei logaritmi; in realtà esprime la definizione del concetto di logaritmo. Di questa definizione La base del logaritmo a è sempre positiva e diversa dall'unità; il numero logaritmico N è positivo. I numeri negativi e lo zero non hanno logaritmi. Si può dimostrare che qualsiasi numero con una data base ha un logaritmo ben definito. Quindi l’uguaglianza implica. Si noti che la condizione qui è essenziale altrimenti la conclusione non sarebbe giustificata, poiché l’uguaglianza è vera per qualsiasi valore di x e y.

Esempio 1. Trova

Soluzione. Per ottenere un numero è necessario elevare la base 2 alla potenza Pertanto.

Puoi prendere appunti quando risolvi tali esempi nel seguente modulo:

Esempio 2. Trova .

Soluzione. Abbiamo

Negli esempi 1 e 2 abbiamo trovato facilmente il logaritmo desiderato rappresentando il numero del logaritmo come una potenza della base con esponente razionale. Nel caso generale, ad esempio, per ecc., ciò non è possibile, poiché il logaritmo ha un valore irrazionale. Prestiamo attenzione a una questione relativa a questa affermazione. Nel paragrafo 12 abbiamo dato il concetto della possibilità di determinare qualsiasi grado reale di un dato numero positivo. Ciò si è reso necessario per l'introduzione dei logaritmi, che, in generale, possono essere numeri irrazionali.

Consideriamo alcune proprietà dei logaritmi.

Proprietà 1. Se il numero e la base sono uguali, allora il logaritmo è uguale a uno e, al contrario, se il logaritmo è uguale a uno, allora il numero e la base sono uguali.

Prova. Sia per la definizione di logaritmo che abbiamo e da dove

Viceversa, sia Allora per definizione

Proprietà 2. Il logaritmo di uno su qualsiasi base è uguale a zero.

Prova. Per definizione di logaritmo (la potenza zero di qualsiasi base positiva è uguale a uno, vedere (10.1)). Da qui

Q.E.D.

È vera anche l'affermazione inversa: se , allora N = 1. In effetti, abbiamo .

Prima di formulare la prossima proprietà dei logaritmi, concordiamo nel dire che due numeri aeb stanno dalla stessa parte del terzo numero c se sono entrambi maggiori di c o minori di c. Se uno di questi numeri è maggiore di c e l'altro è minore di c, allora diremo che stanno insieme lati diversi dal villaggio

Proprietà 3. Se il numero e la base stanno dalla stessa parte dell'uno, allora il logaritmo è positivo; Se il numero e la base si trovano su lati opposti dell'uno, il logaritmo è negativo.

La dimostrazione della proprietà 3 si basa sul fatto che la potenza di a è maggiore di uno se la base è maggiore di uno e l'esponente è positivo oppure la base è minore di uno e l'esponente è negativo. Una potenza è minore di uno se la base è maggiore di uno e l'esponente è negativo oppure la base è minore di uno e l'esponente è positivo.

Ci sono quattro casi da considerare:

Ci limiteremo ad analizzare il primo; il resto lo considererà da solo.

Supponiamo quindi che nell'uguaglianza l'esponente non possa essere né negativo né uguale a zero, quindi è positivo, cioè come richiesto per essere dimostrato.

Esempio 3. Scopri quali dei logaritmi seguenti sono positivi e quali sono negativi:

Soluzione, a) poiché il numero 15 e la base 12 si trovano sullo stesso lato dell'uno;

b) poiché 1000 e 2 sono posti su un lato dell'unità; in questo caso non è importante che la base sia maggiore del numero logaritmico;

c) poiché 3.1 e 0.8 giacciono su lati opposti dell'unità;

G) ; Perché?

D) ; Perché?

Le seguenti proprietà 4-6 sono spesso chiamate regole della logaritma: consentono, conoscendo i logaritmi di alcuni numeri, di trovare i logaritmi del loro prodotto, quoziente e grado di ciascuno di essi.

Proprietà 4 (regola del logaritmo del prodotto). Logaritmo del prodotto di più numeri positivi per una data base pari alla somma logaritmi di questi numeri sulla stessa base.

Prova. Lascia che i numeri dati siano positivi.

Per il logaritmo del loro prodotto scriviamo l'uguaglianza (26.1) che definisce il logaritmo:

Da qui troveremo

Confrontando gli esponenti della prima e dell'ultima espressione, otteniamo l'uguaglianza richiesta:

Si noti che la condizione è essenziale; logaritmo del prodotto di due numeri negativi ha senso, ma in questo caso otteniamo

In generale, se il prodotto di più fattori è positivo, allora il suo logaritmo è uguale alla somma dei logaritmi dei valori assoluti di questi fattori.

Proprietà 5 (regola per ricavare i logaritmi dei quozienti). Il logaritmo di un quoziente di numeri positivi è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore, presi sulla stessa base. Prova. Troviamo costantemente

Q.E.D.

Proprietà 6 (regola del logaritmo delle potenze). Logaritmo della potenza di un numero positivo uguale al logaritmo questo numero moltiplicato per l'esponente.

Prova. Riscriviamo l'identità principale (26.1) del numero:

Q.E.D.

Conseguenza. Il logaritmo di una radice di un numero positivo è uguale al logaritmo del radicale diviso per l'esponente della radice:

La validità di questo corollario può essere dimostrata immaginando come e utilizzando la proprietà 6.

Esempio 4. Prendi il logaritmo in base a:

a) (si presuppone che tutti i valori b, c, d, e siano positivi);

b) (si presuppone che ).

Soluzione, a) È conveniente passare alle potenze frazionarie in questa espressione:

Basandosi sulle uguaglianze (26.5)-(26.7) possiamo ora scrivere:

Notiamo che sui logaritmi dei numeri vengono eseguite operazioni più semplici che sui numeri stessi: quando si moltiplicano i numeri, i loro logaritmi vengono aggiunti, quando si dividono, vengono sottratti, ecc.

Ecco perché nella pratica informatica si utilizzano i logaritmi (cfr. paragrafo 29).

L'azione inversa del logaritmo si chiama potenziamento, vale a dire: il potenziamento è l'azione mediante la quale si trova il numero stesso da un dato logaritmo di un numero. In sostanza, il potenziamento non lo è azione speciale: si tratta di elevare la base a potenza ( uguale al logaritmo numeri). Il termine "potenziamento" può essere considerato sinonimo del termine "elevamento a potenza".

Quando si potenzia bisogna usare le regole inverse a quelle della logaritma: sostituire la somma dei logaritmi con il logaritmo del prodotto, la differenza dei logaritmi con il logaritmo del quoziente, ecc. In particolare, se c'è un fattore davanti del segno del logaritmo, poi durante il potenziamento dovrà essere trasferito ai gradi dell'esponente sotto il segno del logaritmo.

Esempio 5. Trova N se è noto

Soluzione. In connessione con la regola di potenziamento appena enunciata, trasferiremo i fattori 2/3 e 1/3 che stanno davanti ai segni dei logaritmi sul lato destro di questa uguaglianza in esponenti sotto i segni di questi logaritmi; otteniamo

Ora sostituiamo la differenza dei logaritmi con il logaritmo del quoziente:

per ottenere l'ultima frazione di questa catena di uguaglianze, abbiamo liberato la frazione precedente dall'irrazionalità al denominatore (sezione 25).

Proprietà 7. Se la base è maggiore di uno, allora numero maggiore ha un logaritmo più grande (e un numero più piccolo ne ha uno più piccolo), se la base è inferiore a uno, allora il numero più grande ha un logaritmo più piccolo (e il numero più piccolo ne ha uno più grande).

Questa proprietà è formulata anche come regola per prendere i logaritmi delle disuguaglianze, entrambi i lati delle quali sono positivi:

Quando si logaritmi le diseguaglianze su una base maggiore di uno, il segno della disuguaglianza viene conservato, mentre quando si logaritmi su una base inferiore a uno, il segno della disuguaglianza cambia al contrario (vedi anche paragrafo 80).

La dimostrazione si basa sulle proprietà 5 e 3. Consideriamo il caso in cui Se , allora e, prendendo i logaritmi, otteniamo

(a e N/M giacciono sullo stesso lato dell'unità). Da qui

Nel caso seguente, il lettore lo capirà da solo.

Quindi abbiamo potenze di due. Se prendi il numero dalla riga inferiore, puoi facilmente trovare la potenza alla quale dovrai alzare due per ottenere questo numero. Ad esempio, per ottenere 16, devi elevare due alla quarta potenza. E per ottenere 64, devi elevare due alla sesta potenza. Questo può essere visto dalla tabella.

E ora, in realtà, la definizione del logaritmo:

Il logaritmo in base a di x è la potenza alla quale deve essere elevato a per ottenere x.

Designazione: log a x = b, dove a è la base, x è l'argomento, b è ciò a cui è effettivamente uguale il logaritmo.

Ad esempio, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (il logaritmo in base 2 di 8 è tre perché 2 3 = 8). Con lo stesso successo log 2 64 = 6, poiché 2 6 = 64.

L'operazione di trovare il logaritmo di un numero in base data si chiama logaritmizzazione. Quindi, aggiungiamo una nuova riga alla nostra tabella:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
logaritmo 2 2 = 1logaritmo 2 4 = 2 log28 = 3logaritmo 2 16 = 4 logaritmo 2 32 = 5logaritmo 2 64 = 6

Sfortunatamente, non tutti i logaritmi si calcolano così facilmente. Ad esempio, prova a trovare log 2 5 . Il numero 5 non è nella tabella, ma la logica suggerisce che il logaritmo si trovi da qualche parte nel segmento. Perché 2 2< 5 < 2 3 , а чем più grado due, maggiore è il numero.

Tali numeri sono detti irrazionali: i numeri dopo la virgola possono essere scritti all'infinito e non si ripetono mai. Se il logaritmo risulta irrazionale, è meglio lasciarlo così: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

È importante capire che un logaritmo è un'espressione con due variabili (la base e l'argomento). Inizialmente, molte persone confondono dove sia la base e dove sia l’argomento. Per evitare fastidiosi malintesi basta guardare l'immagine:

Davanti a noi non c'è altro che la definizione di logaritmo. Ricordare: il logaritmo è una potenza, in cui è necessario costruire la base per ottenere un argomento. È la base che viene elevata a potenza: nell'immagine è evidenziata in rosso. Si scopre che la base è sempre in basso! Dico ai miei studenti questa meravigliosa regola già dalla prima lezione e non si crea alcuna confusione.

Abbiamo capito la definizione: non resta che imparare a contare i logaritmi, ad es. sbarazzarsi del segno "log". Per cominciare, notiamo che dalla definizione conseguono due fatti importanti:

  1. L'argomento e la base devono essere sempre maggiori di zero. Ciò deriva dalla definizione di grado mediante esponente razionale, a cui si riduce la definizione di logaritmo.
  2. La base deve essere diversa da uno, poiché uno in ogni grado rimane pur sempre uno. Per questo motivo la domanda “a quale potere bisogna elevare uno per averne due” non ha senso. Non esiste un diploma del genere!

Tali restrizioni sono chiamate regione valori accettabili (ODZ). Risulta che l'ODZ del logaritmo è simile a questo: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Nota che non ci sono restrizioni sul numero b (il valore del logaritmo). Ad esempio, il logaritmo potrebbe essere negativo: log 2 0,5 = −1, perché 0,5 = 2 −1.

Tuttavia, ora consideriamo solo espressioni numeriche, dove non è necessario conoscere il VA del logaritmo. Tutte le restrizioni sono già state prese in considerazione dagli autori dei problemi. Ma quando entrano in gioco le equazioni e le disuguaglianze logaritmiche, i requisiti DL diventeranno obbligatori. Dopotutto, la base e l'argomentazione possono contenere costruzioni molto forti che non corrispondono necessariamente alle restrizioni di cui sopra.

Consideriamo ora lo schema generale per il calcolo dei logaritmi. Si compone di tre fasi:

  1. Esprimi la base a e l'argomento x come una potenza con la base minima possibile maggiore di uno. Lungo il percorso, è meglio eliminare i decimali;
  2. Risolvi l'equazione per la variabile b: x = a b ;
  3. Il numero risultante b sarà la risposta.

Questo è tutto! Se il logaritmo risultasse irrazionale, ciò sarà visibile già nel primo passaggio. Molto importante è il requisito che la base sia maggiore di uno: questo riduce la probabilità di errore e semplifica moltissimo i calcoli. Con le frazioni decimali è lo stesso: se le converti immediatamente in frazioni ordinarie, ci saranno molti meno errori.

Vediamo come funziona questo schema utilizzando esempi specifici:

Compito. Calcola il logaritmo: log 5 25

  1. Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di cinque: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

    2. Creiamo e risolviamo l'equazione:
    log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

  2. Abbiamo ricevuto la risposta: 2.

Compito. Calcola il logaritmo:

Compito. Calcola il logaritmo: log 4 64

  1. Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
  2. Creiamo e risolviamo l'equazione:
    log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
  3. Abbiamo ricevuto la risposta: 3.

Compito. Calcola il logaritmo: log 16 1

  1. Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
  2. Creiamo e risolviamo l'equazione:
    log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
  3. Abbiamo ricevuto la risposta: 0.

Compito. Calcola il logaritmo: log 7 14

  1. Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di sette: 7 = 7 1 ; 14 non può essere rappresentato come una potenza di sette, poiché 7 1< 14 < 7 2 ;
  2. Dal paragrafo precedente ne consegue che il logaritmo non conta;
  3. La risposta è nessun cambiamento: log 7 14.

Una piccola nota sull'ultimo esempio. Come puoi essere sicuro che un numero non sia una potenza esatta di un altro numero? È molto semplice: basta fattorizzarlo in fattori primi. Se l'espansione ha almeno due fattori diversi, il numero non è una potenza esatta.

Compito. Scopri se i numeri sono potenze esatte: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - grado esatto, perché c'è un solo moltiplicatore;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - non è una potenza esatta, poiché ci sono due fattori: 3 e 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - grado esatto;
35 = 7 · 5 - ancora una volta non una potenza esatta;
14 = 7 · 2 - ancora una volta non un grado esatto;

Notiamo anche che noi stessi numeri primi sono sempre gradi esatti di se stessi.

Logaritmo decimale

Alcuni logaritmi sono così comuni che hanno un nome e un simbolo speciali.

Il logaritmo decimale di x è il logaritmo in base 10, cioè La potenza alla quale bisogna elevare il numero 10 per ottenere il numero x. Designazione: lgx.

Ad esempio, log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - ecc.

D'ora in poi, quando in un libro di testo apparirà una frase come "Trova lg 0.01", sappi che non si tratta di un errore di battitura. Questo è un logaritmo decimale. Tuttavia, se non hai familiarità con questa notazione, puoi sempre riscriverla:
logaritmo x = logaritmo 10 x

Tutto ciò che vale per i logaritmi ordinari vale anche per i logaritmi decimali.

Logaritmo naturale

C'è un altro logaritmo che ha una sua designazione. In un certo senso, è ancora più importante del decimale. Si tratta di sul logaritmo naturale.

Il logaritmo naturale di x è il logaritmo in base e, cioè la potenza alla quale bisogna elevare il numero e per ottenere il numero x. Designazione: ln x .

Molti si chiederanno: qual è il numero e? Questo è un numero irrazionale, suo valore esatto impossibile da trovare e registrare. Darò solo le prime cifre:
e = 2,718281828459...

Non entreremo nei dettagli su cosa sia questo numero e perché è necessario. Ricorda solo che e è la base del logaritmo naturale:
ln x = log e x

Quindi ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ecc. D'altra parte, ln 2 è un numero irrazionale. In generale, il logaritmo naturale di any numero razionale irrazionale. Tranne, ovviamente, uno: ln 1 = 0.

Per i logaritmi naturali valgono tutte le regole valide per i logaritmi ordinari.

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e trasformati in ogni modo. Ma poiché i logaritmi non sono esattamente numeri ordinari, ci sono delle regole che vengono chiamate principali proprietà.

Devi assolutamente conoscere queste regole: senza di esse non è possibile risolvere un solo problema logaritmico serio. Inoltre, ce ne sono pochissimi: puoi imparare tutto in un giorno. Quindi cominciamo.

Somma e sottrazione di logaritmi

Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: log UN X e registrare UN sì. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

  1. tronco d'albero UN X+ registro UN sì=log UN (X · sì);
  2. tronco d'albero UN X− registro UN sì=log UN (X : sì).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è uguale al logaritmo del quoziente. Notare che: punto chiave Qui - motivi identici. Se i motivi sono diversi, queste regole non funzionano!

Queste formule ti aiuteranno a calcolare espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono contate (vedi lezione “Che cos'è un logaritmo”). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Ceppo 6 4 + ceppo 6 9.

Poiché i logaritmi hanno le stesse basi, usiamo la formula di somma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.

Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono composte da logaritmi “cattivi”, che non vengono calcolati separatamente. Ma dopo le trasformazioni si ottengono numeri del tutto normali. Molti si basano su questo fatto prove. Sì, le espressioni simili ai test vengono offerte in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche) durante l'Esame di Stato unificato.

Estrarre l'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po' il compito. Cosa succede se la base o l'argomento di un logaritmo è una potenza? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è comunque meglio ricordarlo: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Naturalmente tutte queste regole hanno senso se si rispetta l'ODZ del logaritmo: UN > 0, UN ≠ 1, X> 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, cioè Puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che più spesso viene richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .

Eliminiamo la laurea nell'argomento utilizzando la prima formula:
logaritmo 7 49 6 = 6 logaritmo 7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il significato dell'espressione:

[Didascalia dell'immagine]

Nota che il denominatore contiene un logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:

[Didascalia dell'immagine]

Penso che l’ultimo esempio richieda alcuni chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento lavoriamo solo con il denominatore. Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo sotto forma di potenze e abbiamo eliminato gli esponenti: abbiamo ottenuto una frazione "a tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore contengono lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione: 2/4 rimarranno nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, e così è stato fatto. Il risultato è stata la risposta: 2.

Transizione ad una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre i logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se i motivi fossero diversi? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:

Lascia che sia dato registro dei logaritmi UN X. Quindi per qualsiasi numero C tale che C> 0 e C≠ 1, l'uguaglianza è vera:

[Didascalia dell'immagine]

In particolare, se mettiamo C = X, otteniamo:

[Didascalia dell'immagine]

Dalla seconda formula segue che la base e l'argomento del logaritmo possono essere invertiti, ma in questo caso l'intera espressione viene “capovolta”, cioè il logaritmo appare al denominatore.

Queste formule si trovano raramente in quelle convenzionali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono problemi che non possono essere risolti se non passando a una nuova fondazione. Diamo un'occhiata ad un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.

Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono potenze esatte. Togliamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Adesso “invertiamo” il secondo logaritmo:

[Didascalia dell'immagine]

Poiché il prodotto non cambia quando si riorganizzano i fattori, abbiamo moltiplicato con calma quattro per due e poi ci siamo occupati dei logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo ed eliminiamo gli indicatori:

[Didascalia dell'immagine]

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

[Didascalia dell'immagine]

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo risolutivo è necessario rappresentare un numero come logaritmo in base data. In questo caso ci aiuteranno le seguenti formule:

Nel primo caso, il numero N diventa un indicatore del grado di validità dell'argomentazione. Numero N può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo un valore logaritmico.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così: identità logaritmica di base.

In effetti, cosa accadrà se il numero B elevare a una potenza tale che il numero B a questa potenza dà il numero UN? Esatto: ottieni lo stesso numero UN. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone rimangono bloccate.

Come le formule per passare a una nuova base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il significato dell'espressione:

[Didascalia dell'immagine]

Nota che log 25 64 = log 5 8 - prende semplicemente il quadrato dalla base e dall'argomento del logaritmo. Tenendo conto delle regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:

[Didascalia dell'immagine]

Se qualcuno non lo sa, questo è stato un vero compito dell'Esame di Stato Unificato :)

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che difficilmente possono essere chiamate proprietà, ma piuttosto sono conseguenze della definizione del logaritmo. Compaiono costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti “avanzati”.

  1. tronco d'albero UN UN= 1 è un'unità logaritmica. Ricorda una volta per tutte: logaritmo in base qualsiasi UN da questa stessa base è uguale a uno.
  2. tronco d'albero UN 1 = 0 è zero logaritmico. Base UN può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento ne contiene uno, il logaritmo è uguale a zero! Perché UN 0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Espressioni logaritmiche, esempi di risoluzione. In questo articolo esamineremo i problemi relativi alla risoluzione dei logaritmi. I compiti pongono la questione di trovare il significato di un'espressione. Va notato che il concetto di logaritmo viene utilizzato in molti compiti e comprenderne il significato è estremamente importante. Per quanto riguarda l'Esame di Stato Unificato, il logaritmo viene utilizzato quando si risolvono equazioni, in problemi applicati e anche in compiti relativi allo studio delle funzioni.

Facciamo degli esempi per comprendere il significato del logaritmo:


Identità logaritmica di base:

Proprietà dei logaritmi che vanno sempre ricordate:

*Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori.

* * *

*Il logaritmo di un quoziente (frazione) è uguale alla differenza tra i logaritmi dei fattori.

* * *

*Logaritmo del grado uguale al prodotto esponente per il logaritmo della sua base.

* * *

*Transizione ad una nuova fondazione

* * *

Altre proprietà:

* * *

Il calcolo dei logaritmi è strettamente correlato all'uso delle proprietà degli esponenti.

Ne elenchiamo alcuni:

L'essenza di questa proprietà sta nel fatto che quando si trasferisce il numeratore al denominatore e viceversa, il segno dell'esponente cambia al contrario. Per esempio:

Un corollario da questa proprietà:

* * *

Quando si eleva una potenza a potenza, la base rimane la stessa, ma gli esponenti si moltiplicano.

* * *

Come hai visto, il concetto stesso di logaritmo è semplice. La cosa principale è che hai bisogno di una buona pratica, che ti dia una certa abilità. Naturalmente è richiesta la conoscenza delle formule. Se l'abilità nella conversione dei logaritmi elementari non è stata sviluppata, quando si risolvono compiti semplici si può facilmente commettere un errore.

Esercitati, risolvi prima gli esempi più semplici del corso di matematica, poi passa a quelli più complessi. In futuro mostrerò sicuramente come si risolvono i logaritmi “brutti”: questi non appariranno all’Esame di Stato Unificato, ma interessano, non perdeteli!

Questo è tutto! Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh

P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.

Definizione di logaritmo

Il logaritmo di b in base a è l'esponente al quale bisogna elevare a per ottenere b.

Numero e in matematica è consuetudine denotare il limite al quale tende un'espressione

Numero eÈ numero irrazionale- un numero incommensurabile con uno, non può essere espresso con precisione né come numero intero né come frazione razionale numero.

Lettera e- prima lettera Parola latina esponente- mettersi in mostra, da qui il nome in matematica esponenziale- funzione esponenziale.

Numero e largamente utilizzato in matematica, e in tutte le scienze che in un modo o nell'altro utilizzano i calcoli matematici per le loro esigenze.

Logaritmi. Proprietà dei logaritmi

Definizione: Il logaritmo di un numero positivo b rispetto alla sua base è l'esponente di c al quale bisogna elevare il numero a per ottenere il numero b.

Identità logaritmica di base:

7) Formula per trasferirsi in una nuova base:

lna = log e a, e ≈ 2.718…

Problemi e prove sul tema “Logaritmi. Proprietà dei logaritmi"

Per completare con successo le attività su questo argomento, è necessario conoscere la definizione di logaritmo, le proprietà dei logaritmi, l'identità logaritmica di base, le definizioni di logaritmi decimali e naturali. I principali tipi di problemi su questo argomento sono problemi che coinvolgono il calcolo e la trasformazione di espressioni logaritmiche. Consideriamo la loro soluzione utilizzando i seguenti esempi.

Soluzione: Usando le proprietà dei logaritmi, otteniamo

Soluzione: Usando le proprietà dei gradi, otteniamo

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Proprietà dei logaritmi, formulazioni e dimostrazioni.

I logaritmi hanno un numero di proprietà caratteristiche. In questo articolo vedremo i principali proprietà dei logaritmi. Qui forniremo le loro formulazioni, scriveremo le proprietà dei logaritmi sotto forma di formule, mostreremo esempi della loro applicazione e forniremo anche prove delle proprietà dei logaritmi.

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Proprietà fondamentali dei logaritmi, formule

Per facilità di memorizzazione e utilizzo, immaginiamo proprietà fondamentali dei logaritmi sotto forma di un elenco di formule. IN punto successivo Daremo le loro formulazioni, prove, esempi di utilizzo e spiegazioni necessarie.

  • Proprietà del logaritmo dell'unità: log a 1=0 per ogni a>0, a≠1.
  • Logaritmo di un numero uguale alla base: log a a=1 per a>0, a≠1.
  • Proprietà del logaritmo della potenza della base: log a a p = p, dove a>0, a≠1 e p è un numero reale qualsiasi.
  • Logaritmo del prodotto di due numeri positivi: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
    e la proprietà del logaritmo del prodotto di n numeri positivi: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .
  • Proprietà del logaritmo di un quoziente: , dove a>0, a≠1, x>0, y>0.
  • Logaritmo di una potenza di un numero: log a b p = p·log a |b| , dove a>0, a≠1, b e p sono numeri tali che il grado b p abbia senso e b p >0.
  • Conseguenza: , dove a>0, a≠1, n – numero naturale, maggiore di uno, b>0.
  • Corollario 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
  • Corollario 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p e q sono numeri reali, q≠0 , in particolare per b=a abbiamo .

    • Formulazioni e prove di proprietà

    Procediamo alla formulazione e alla dimostrazione delle proprietà scritte dei logaritmi. Tutte le proprietà dei logaritmi sono dimostrate sulla base della definizione del logaritmo e dell'identità logaritmica di base che ne consegue, nonché sulle proprietà del grado.

    Cominciamo con proprietà del logaritmo di uno. La sua formulazione è la seguente: il logaritmo dell'unità è uguale a zero, cioè registra un 1=0 per ogni a>0, a≠1. La dimostrazione non è difficile: poiché a 0 =1 per ogni a che soddisfa le condizioni di cui sopra a>0 e a≠1, allora il log di uguaglianza a 1=0 da dimostrare segue immediatamente dalla definizione del logaritmo.

    Diamo esempi di applicazione della proprietà considerata: log 3 1=0, log1=0 e .

    Passiamo alla proprietà successiva: il logaritmo di un numero uguale alla base è uguale a uno, questo è, log a a=1 per a>0, a≠1. Infatti, poiché a 1 =a per qualsiasi a, allora per definizione del logaritmo log a a=1.

    Esempi di utilizzo di questa proprietà dei logaritmi sono le uguaglianze log 5 5=1, log 5.6 5.6 e lne=1.

    Il logaritmo di una potenza di un numero uguale alla base del logaritmo è uguale all'esponente. Questa proprietà del logaritmo corrisponde a una formula della forma log a a p = p, dove a>0, a≠1 e p – qualsiasi numero reale. Questa proprietà deriva direttamente dalla definizione di logaritmo. Da notare che permette di indicare subito il valore del logaritmo, se è possibile rappresentare il numero sotto il segno del logaritmo come una potenza della base ne parleremo più approfonditamente nell'articolo Calcolo dei logaritmi;

    Ad esempio, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 e .

    Logaritmo del prodotto di due numeri positivi xey è uguale al prodotto dei logaritmi di questi numeri: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dimostriamo la proprietà del logaritmo di un prodotto. A causa delle proprietà del grado a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, e poiché per l'identità logaritmica principale a log a x =x e a log a y =y, allora a log a x ·a log a y =x·y. Quindi, un log a x+log a y =x·y, da cui, per la definizione di logaritmo, segue l'uguaglianza da dimostrare.

    Mostriamo esempi di utilizzo della proprietà del logaritmo di un prodotto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 e .

    La proprietà del logaritmo di un prodotto può essere generalizzata al prodotto di un numero finito n di numeri positivi x 1 , x 2 , …, x n come log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Questa uguaglianza può essere dimostrata senza problemi utilizzando il metodo dell'induzione matematica.

    Ad esempio, il logaritmo naturale del prodotto può essere sostituito dalla somma di tre logaritmi naturali dei numeri 4, e, e.

    Logaritmo del quoziente di due numeri positivi xey è uguale alla differenza tra i logaritmi di questi numeri. La proprietà del logaritmo del quoziente corrisponde a una formula della forma , dove a>0, a≠1, xey sono alcuni numeri positivi. La validità di questa formula è dimostrata così come quella della formula per il logaritmo di un prodotto: poiché , quindi per definizione di logaritmo .

    Ecco un esempio di utilizzo di questa proprietà del logaritmo: .

    Passiamo a proprietà del logaritmo della potenza. Il logaritmo di un grado è uguale al prodotto dell'esponente e del logaritmo del modulo della base di questo grado. Scriviamo questa proprietà del logaritmo di una potenza come formula: log a b p =p·log a |b|, dove a>0, a≠1, b e p sono numeri tali che il grado b p abbia senso e b p >0.

    Per prima cosa dimostriamo questa proprietà per il positivo b. L'identità logaritmica di base ci permette di rappresentare il numero b come un log a b , quindi b p =(a log a b) p , e l'espressione risultante, per la proprietà della potenza, è uguale a a p·log a b . Arriviamo così all'uguaglianza b p = a p·log a b, dalla quale, per la definizione di logaritmo, concludiamo che log a b p = p·log a b.

    Resta da dimostrare questa proprietà per b negativo. Qui notiamo che l'espressione log a b p per b negativo ha senso solo per esponenti pari p (poiché il valore del grado b p deve essere maggiore di zero, altrimenti il ​​logaritmo non avrà senso), e in questo caso b p =|b| P. Allora bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , da dove log a b p = p·log a |b| .

    Per esempio, e ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Ne consegue dalla proprietà precedente proprietà del logaritmo dalla radice: il logaritmo della radice n-esima è uguale al prodotto della frazione 1/n per il logaritmo dell'espressione radicale, cioè dove a>0, a≠1, n è un numero naturale maggiore di uno, b>0 .

    La dimostrazione si basa sull'uguaglianza (vedi definizione di esponente con esponente frazionario), valida per qualsiasi b positivo, e sulla proprietà del logaritmo dell'esponente: .

    Ecco un esempio di utilizzo di questa proprietà: .

    Ora dimostriamo formula per passare a una nuova base logaritmica tipo . Per fare ciò è sufficiente dimostrare la validità dell'uguaglianza log c b=log a b·log c a. L'identità logaritmica di base ci consente di rappresentare il numero b come log a b , quindi log c b=log c a log a b . Resta da utilizzare la proprietà del logaritmo del grado: log c a log a b =log a b·log c a . Ciò dimostra l'uguaglianza log c b=log a b·log c a , il che significa che è dimostrata anche la formula per la transizione a una nuova base del logaritmo .

    Mostriamo un paio di esempi di utilizzo di questa proprietà dei logaritmi: e .

    La formula per passare a una nuova base ti consente di passare a lavorare con logaritmi che hanno una base “conveniente”. Ad esempio, può essere utilizzato per passare ai logaritmi naturali o decimali in modo da poter calcolare il valore di un logaritmo da una tabella di logaritmi. La formula per passare ad una nuova base logaritmica consente anche, in alcuni casi, di trovare il valore di un dato logaritmo quando si conoscono i valori di alcuni logaritmi con altre basi.

    Spesso usato caso speciale formule per la transizione ad una nuova base del logaritmo con c=b della forma. Ciò dimostra che log a b e log b a sono numeri reciprocamente inversi. Per esempio, .

    Spesso viene utilizzata anche la formula, utile per trovare i valori dei logaritmi. Per confermare le nostre parole, mostreremo come può essere utilizzato per calcolare il valore di un logaritmo della forma . Abbiamo . Per dimostrare la formula è sufficiente utilizzare la formula per passare a una nuova base del logaritmo a: .

    Resta da dimostrare le proprietà di confronto dei logaritmi.

    Usiamo il metodo opposto. Supponiamo che per a 1 >1, a 2 >1 e a 1 2 e per 0 1, log a 1 b ≤ log a 2 b sia vero. Sulla base delle proprietà dei logaritmi, queste disuguaglianze possono essere riscritte come E rispettivamente, e da essi segue che log b a 1 ≤ log b a 2 e log b a 1 ≥ log b a 2, rispettivamente. Allora, secondo le proprietà delle potenze con le stesse basi, devono valere le uguaglianze b log b a 1 ≥b log b a 2 e b log b a 1 ≥b log b a 2, cioè a 1 ≥a 2 . Quindi siamo arrivati ​​a una contraddizione con la condizione a 1 2. Questo completa la dimostrazione.

    Proprietà fondamentali dei logaritmi

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    • Scarica tutte le formule

      • I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e trasformati in ogni modo. Ma poiché i logaritmi non sono esattamente numeri ordinari, ci sono delle regole che vengono chiamate principali proprietà.

      Devi assolutamente conoscere queste regole: senza di esse non è possibile risolvere un solo problema logaritmico serio. Inoltre, ce ne sono pochissimi: puoi imparare tutto in un giorno. Quindi cominciamo.

      Somma e sottrazione di logaritmi

      Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: log a x e log a y. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

      Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è uguale al logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è motivi identici. Se i motivi sono diversi, queste regole non funzionano!

      Queste formule ti aiuteranno a calcolare un'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

      Compito. Trova il valore dell'espressione: log 6 4 + log 6 9.

      Poiché i logaritmi hanno le stesse basi, usiamo la formula di somma:
      log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

      Compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.

      Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
      log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

      Compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.

      Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
      log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

      Come puoi vedere, le espressioni originali sono composte da logaritmi “cattivi”, che non vengono calcolati separatamente. Ma dopo le trasformazioni si ottengono numeri del tutto normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, le espressioni simili ai test vengono offerte in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche) durante l'Esame di Stato unificato.

      Estrarre l'esponente dal logaritmo

      Ora complichiamo un po' il compito. Cosa succede se la base o l'argomento di un logaritmo è una potenza? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

    • logaritmo a x n = n · logaritmo a x ;

      • È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è comunque meglio ricordarlo: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

      Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si rispetta l'ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa , cioè. Puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che più spesso viene richiesto.

      Compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .

      Eliminiamo la laurea nell'argomento utilizzando la prima formula:
      logaritmo 7 49 6 = 6 logaritmo 7 49 = 6 2 = 12

      Compito. Trova il significato dell'espressione:

      [Didascalia dell'immagine]

      Nota che il denominatore contiene un logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:

      [Didascalia dell'immagine]

      Penso che l’ultimo esempio richieda alcuni chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento lavoriamo solo con il denominatore. Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo sotto forma di potenze e abbiamo eliminato gli esponenti: abbiamo ottenuto una frazione "a tre piani".

      Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore contengono lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione: 2/4 rimarranno nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, e così è stato fatto. Il risultato è stata la risposta: 2.

      Transizione ad una nuova fondazione

      Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre i logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se i motivi fossero diversi? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

      Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:

      Sia dato il logaritmo log a x. Quindi per qualsiasi numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

      [Didascalia dell'immagine]

      In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

      [Didascalia dell'immagine]

      Dalla seconda formula segue che la base e l'argomento del logaritmo possono essere invertiti, ma in questo caso l'intera espressione viene “capovolta”, cioè il logaritmo appare al denominatore.

      Queste formule si trovano raramente nelle comuni espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

      Tuttavia, ci sono problemi che non possono essere risolti se non passando a una nuova fondazione. Diamo un'occhiata ad un paio di questi:

      Compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.

      Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono potenze esatte. Togliamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

      Adesso “invertiamo” il secondo logaritmo:

      [Didascalia dell'immagine]

      Poiché il prodotto non cambia quando si riorganizzano i fattori, abbiamo moltiplicato con calma quattro per due e poi ci siamo occupati dei logaritmi.

      Compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.

      La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo ed eliminiamo gli indicatori:

      [Didascalia dell'immagine]

      Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

      [Didascalia dell'immagine]

      Identità logaritmica di base

      Spesso nel processo risolutivo è necessario rappresentare un numero come logaritmo in base data. In questo caso ci aiuteranno le seguenti formule:

    1. n = log a a n

    2. Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente dell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è semplicemente un valore logaritmico.

      La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così: identità logaritmica di base.

      Infatti, cosa succede se il numero b viene elevato a una potenza tale che il numero b a questa potenza dà il numero a? Esatto: il risultato è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone rimangono bloccate.

      Come le formule per passare a una nuova base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

      [Didascalia dell'immagine]

      Nota che log 25 64 = log 5 8 - abbiamo semplicemente preso il quadrato dalla base e dall'argomento del logaritmo. Tenendo conto delle regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:

      [Didascalia dell'immagine]

      Se qualcuno non lo sa, questo è stato un vero compito dell'Esame di Stato Unificato :)

      Unità logaritmica e zero logaritmico

      In conclusione, darò due identità che difficilmente possono essere chiamate proprietà, ma piuttosto sono conseguenze della definizione del logaritmo. Compaiono costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti “avanzati”.

      1. log a a = 1 è un'unità logaritmica. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo di qualsiasi base a di quella base stessa è uguale a uno.
      2. log a 1 = 0 è zero logaritmico. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento ne contiene uno, il logaritmo è uguale a zero! Perché a 0 = 1 è una conseguenza diretta della definizione.

      Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

      Logaritmo. Proprietà del logaritmo (addizione e sottrazione).

      Proprietà del logaritmo derivare dalla sua definizione. E quindi il logaritmo del numero B basato su UNè definito come l'esponente a cui deve essere elevato un numero UN per ottenere il numero B(il logaritmo esiste solo per i numeri positivi).

      Da questa formulazione consegue che il calcolo x=log a b, equivale a risolvere l'equazione ax=b. Per esempio, log28 = 3 Perché 8 = 2 3 . La formulazione del logaritmo permette di giustificare che se b=un c, quindi il logaritmo del numero B basato su UNè uguale Con. È anche chiaro che il tema dei logaritmi è strettamente correlato al tema delle potenze.

      Con i logaritmi, come con qualsiasi numero, puoi farlo operazioni di addizione, sottrazione e trasformarlo in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri del tutto ordinari, qui si applicano le loro regole speciali, che vengono chiamate principali proprietà.

      Somma e sottrazione di logaritmi.

      Prendiamo due logaritmi con le stesse basi: registra un x E registra un anno. Successivamente è possibile eseguire operazioni di addizione e sottrazione:

      Come vediamo, somma dei logaritmiè uguale al logaritmo del prodotto e differenza logaritmi- logaritmo del quoziente. Inoltre, questo è vero se i numeri UN, X E A positivo e un ≠ 1.

      È importante notare che l'aspetto principale di queste formule sono le stesse basi. Se i motivi sono diversi, queste regole non si applicano!

      Le regole per aggiungere e sottrarre logaritmi con le stesse basi vengono lette non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa. Di conseguenza, abbiamo i teoremi per il logaritmo del prodotto e il logaritmo del quoziente.

      Logaritmo del prodotto due numeri positivi sono uguali alla somma dei loro logaritmi ; parafrasando questo teorema otteniamo quanto segue se i numeri UN, X E A positivo e un ≠ 1, Quello:

      Logaritmo del quoziente due numeri positivi equivalgono alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore. Per dirla in altro modo, se i numeri UN, X E A positivo e un ≠ 1, Quello:

      Applichiamo i teoremi precedenti per risolvere esempi:

      Se i numeri X E A sono negativi, quindi formula del logaritmo del prodotto diventa privo di significato. Pertanto è vietato scrivere:

      poiché le espressioni log 2 (-8) e log 2 (-4) non sono affatto definite (funzione logaritmica A= log2 X definito solo per valori positivi discussione X).

      Teorema del prodotto applicabile non solo per due, ma anche per un numero illimitato di fattori. Ciò significa che per ogni naturale k e tutti i numeri positivi X 1 , X 2 , . . . ,x n c'è un'identità:

      Da Teorema del quoziente logaritmico Si può ottenere un'altra proprietà del logaritmo. È risaputo che log UN 1= 0, quindi

      Ciò significa che esiste un'uguaglianza:

      Logaritmi di due reciprocamente numeri reciproci per lo stesso motivo differiranno tra loro unicamente per il segno. COSÌ:

      Logaritmo. Proprietà dei logaritmi

      Logaritmo. Proprietà dei logaritmi

      Consideriamo l'uguaglianza. Facci sapere i valori di e e vogliamo trovare il valore di .

      Cioè, stiamo cercando l'esponente con cui dobbiamo armarlo per ottenere .

      Permettere una variabile può assumere qualsiasi valore reale, alle variabili vengono imposte le seguenti restrizioni: o" title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″ />

      Se conosciamo i valori di e , e ci troviamo di fronte al compito di trovare l'ignoto, allora a questo scopo viene introdotta un'operazione matematica, chiamata logaritmo.

      Per trovare il valore prendiamo logaritmo di un numero Di base :

      Il logaritmo di un numero alla sua base è l'esponente a cui deve essere elevato per ottenere .

      Questo è identità logaritmica di base:

      o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

      è essenzialmente una notazione matematica definizioni di logaritmo.

      L'operazione matematica del logaritmo è l'inverso dell'operazione di esponenziazione, quindi proprietà dei logaritmi sono strettamente legati alle proprietà del grado.

      Elenchiamo i principali proprietà dei logaritmi:

      (o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

      d>0″/>, 1″ titolo="d1″/>

      4.

      5.

      Il seguente gruppo di proprietà consente di rappresentare l'esponente di un'espressione sotto il segno del logaritmo, oppure stando alla base del logaritmo sotto forma di coefficiente davanti al segno del logaritmo:

      6.

      7.

      8.

      9.

      Il successivo gruppo di formule permette di passare da un logaritmo con base data a un logaritmo con base arbitraria, e si chiama formule per spostarsi in una nuova base:

      10.

      12. (corollario della proprietà 11)

      Le seguenti tre proprietà non sono ben note, ma vengono spesso utilizzate quando si risolvono equazioni logaritmiche o quando si semplificano espressioni contenenti logaritmi:

      13.

      14.

      15.

      Casi particolari:

      — logaritmo decimale

      — logaritmo naturale

      Quando si semplificano le espressioni contenenti logaritmi, viene utilizzato un approccio generale:

      1. Presentazione decimali sotto forma di quelli ordinari.

      2. Numeri misti rappresentate come frazioni improprie.

      3. Scomponiamo i numeri alla base del logaritmo e sotto il segno del logaritmo in fattori semplici.

      4. Cerchiamo di ridurre tutti i logaritmi alla stessa base.

      5. Applicare le proprietà dei logaritmi.

      Diamo un'occhiata ad esempi di semplificazione di espressioni contenenti logaritmi.

      Esempio 1.

      Calcolare:

      Semplifichiamo tutti gli esponenti: il nostro compito è ridurli a logaritmi, la cui base è uguale alla base dell'esponente.

      ==(per proprietà 7)=(per proprietà 6) =

      Sostituiamo gli indicatori che abbiamo inserito nell'espressione originale. Otteniamo:

      Risposta: 5.25

      Esempio 2. Calcola:

      Riduciamo tutti i logaritmi in base 6 (in questo caso, i logaritmi dal denominatore della frazione “migreranno” al numeratore):

      Scomponiamo i numeri sotto il segno del logaritmo in fattori semplici:

      Applichiamo le proprietà 4 e 6:

      Presentiamo la sostituzione

      Otteniamo:

      Risposta: 1

      Logaritmo . Identità logaritmica di base.

      Proprietà dei logaritmi. Logaritmo decimale. Logaritmo naturale.

      Logaritmo numero positivo N in base (B > 0, B 1) è l'esponente x al quale bisogna elevare b per ottenere N .

      Questa voce è equivalente alla seguente: bx = N .

      Esempi: log 3 81 = 4, poiché 3 4 = 81;

      ceppo 1/3 27 = – 3, poiché (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

      La definizione di logaritmo sopra può essere scritta come un'identità:

      Proprietà fondamentali dei logaritmi.

      2) log 1 = 0, poiché B 0 = 1 .

      3) Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori:

      4) Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore:

      5) Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della sua base:

      La conseguenza di questa proprietà è la seguente: logaritmo della radice uguale al logaritmo del numero radicale diviso per la potenza della radice:

      6) Se la base del logaritmo è un grado, allora il valore l'inverso dell'esponente può essere estratto dal segno della rima logaritmica:

      Le ultime due proprietà possono essere combinate in una sola:

      7) Formula del modulo di transizione (cioè transizione da una base logaritmica a un'altra base):

      Nel caso speciale quando N=d abbiamo:

      Logaritmo decimale chiamato logaritmo di base 10. È designato lg, cioè registro 10 N= registro N. Logaritmi dei numeri 10, 100, 1000, . p sono 1, 2, 3, …, rispettivamente, cioè ne ho tanti di positivi

      unità, quanti zeri ci sono in un numero logaritmico dopo l'uno. Logaritmi dei numeri 0.1, 0.01, 0.001, . p sono rispettivamente –1, –2, –3, …, cioè avere tanti negativi quanti sono gli zeri nel numero logaritmico prima dell'uno (inclusi gli zero interi). I logaritmi degli altri numeri hanno una parte frazionaria chiamata mantissa. Parte intera si chiama il logaritmo caratteristica. Per l'uso pratico, i logaritmi decimali sono i più convenienti.

      Logaritmo naturale chiamato logaritmo di base e. È indicato con ln, cioè tronco d'albero e N= registro N. Numero eè irrazionale, il suo valore approssimativo è 2,718281828. È il limite a cui tende il numero (1+1/ N) N con incremento illimitato N(cm. Primo limite meraviglioso nella pagina "Limiti della sequenza numerica").
      Per quanto strano possa sembrare, i logaritmi naturali si sono rivelati molto convenienti durante l'esecuzione vari tipi operazioni relative all'analisi funzionale. Calcolo dei logaritmi in base e effettuato molto più velocemente che per qualsiasi altro motivo.



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