Calcola ln dal numero. Funzioni LN e LOG per il calcolo del logaritmo naturale in EXCEL

Vengono fornite le proprietà di base del logaritmo naturale, grafico, dominio di definizione, insieme di valori, formule di base, derivata, integrale, espansione in serie di potenze e rappresentazione della funzione ln x utilizzando numeri complessi.

Definizione

Logaritmo naturaleè la funzione y = lnx, l'inverso dell'esponenziale, x = e y, ed è il logaritmo alla base del numero e: ln x = log e x.

Il logaritmo naturale è ampiamente utilizzato in matematica perché la sua derivata ha la forma più semplice: (ln x)′ = 1/ x.

Basato definizioni, la base del logaritmo naturale è il numero e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Grafico della funzione y = lnx.

Grafico del logaritmo naturale (funzioni y = lnx) si ottiene dal grafico esponenziale per riflessione speculare relativo alla retta y = x.

Il logaritmo naturale è definito in valori positivi variabile x.

Aumenta monotonicamente nel suo dominio di definizione. 0 In x →

il limite del logaritmo naturale è meno infinito (-∞).

Poiché x → + ∞, il limite del logaritmo naturale è più infinito (+ ∞). Per x grandi, il logaritmo aumenta piuttosto lentamente. Qualsiasi funzione di potenza x a con esponente positivo a cresce più velocemente del logaritmo.

Proprietà del logaritmo naturale

Dominio di definizione, insieme di valori, estremi, aumento, diminuzione

Il logaritmo naturale è una funzione monotonicamente crescente, quindi non ha estremi. Le principali proprietà del logaritmo naturale sono presentate nella tabella.

ln valori x

ln1 = 0

Formule fondamentali per i logaritmi naturali

Formule che seguono dalla definizione della funzione inversa:

La proprietà principale dei logaritmi e le sue conseguenze

Formula sostitutiva della base

Qualsiasi logaritmo può essere espresso in termini di logaritmi naturali utilizzando la formula di sostituzione delle basi:

Le dimostrazioni di queste formule sono presentate nella sezione "Logaritmo".

Funzione inversa

L'inverso del logaritmo naturale è l'esponente.

Se poi

Se poi.

Derivata ln x
.
Derivata del logaritmo naturale:
.
Derivata del logaritmo naturale del modulo x:
.
Derivata dell'ennesimo ordine:

Formule di derivazione > > >

Integrante
.
L'integrale si calcola integrando per parti:

COSÌ,

Espressioni che utilizzano numeri complessi
.
Consideriamo la funzione della variabile complessa z: Esprimiamo la variabile complessa z tramite modulo R φ :
.
e argomento
.
Utilizzando le proprietà del logaritmo abbiamo:
.
L'argomento φ non è definito in modo univoco. Se metti
, dove n è un numero intero,
sarà lo stesso numero per n. diversi.

Pertanto, il logaritmo naturale, in quanto funzione di una variabile complessa, non è una funzione a valore singolo.

Espansione in serie di potenze

Quando avviene l’espansione:

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.

Non è affatto male, vero? Mentre i matematici cercano parole per darti una definizione lunga e confusa, diamo un'occhiata più da vicino a questa semplice e chiara.

Il numero e significa crescita

Il numero e significa crescita continua. Come abbiamo visto nell'esempio precedente, e x ci permette di collegare interesse e tempo: 3 anni con una crescita del 100% equivalgono a 1 anno con una crescita del 300%, assumendo "interesse composto".

Puoi sostituire qualsiasi valore percentuale e temporale (50% per 4 anni), ma è meglio impostare la percentuale su 100% per comodità (risulta 100% per 2 anni). Passando al 100%, possiamo concentrarci esclusivamente sulla componente temporale:

e x = e percentuale * tempo = e 1.0 * tempo = e tempo

Ovviamente e x significa:

quanto aumenterà il mio contributo dopo x unità di tempo (assumendo una crescita continua del 100%).
ad esempio dopo 3 intervalli di tempo riceverò e 3 = 20,08 volte più “cose”.

e x è un fattore di scala che mostra il livello che raggiungeremo in un periodo di tempo x.

Logaritmo naturale significa tempo

Il logaritmo naturale è l'inverso di e, un termine di fantasia per indicare l'opposto. Parlando di stranezze; in latino si chiama logarithmus naturali, da qui l'abbreviazione ln.

E cosa significa questa inversione o contrario?

e x ci permette di sostituire il tempo e ottenere crescita.
ln(x) ci consente di prendere la crescita o il reddito e scoprire il tempo necessario per generarlo.

Per esempio:

e 3 equivale a 20.08. Dopo tre periodi di tempo, avremo 20,08 volte di più di quello con cui abbiamo iniziato.
ln(20/08) sarebbe circa 3. Se sei interessato a una crescita di 20,08 volte, avrai bisogno di 3 periodi di tempo (di nuovo, assumendo una crescita continua del 100%).

Stai ancora leggendo? Il logaritmo naturale mostra il tempo necessario per raggiungere il livello desiderato.

Questo conteggio logaritmico non standard

Hai analizzato i logaritmi? strane creature. Come sono riusciti a trasformare la moltiplicazione in addizione? Che ne dici della divisione in sottrazione? Diamo un'occhiata.

A cosa è uguale ln(1)? Intuitivamente, la domanda è: quanto tempo dovrei aspettare per ottenere 1x di più di quello che ho?

Zero. Zero. Affatto. Ce l'hai già una volta. Non ci vuole molto tempo per passare dal livello 1 al livello 1.

logaritmo(1) = 0

Ok, che mi dici del valore frazionario? Quanto tempo ci vorrà per avere la metà della quantità disponibile? Sappiamo che con una crescita continua del 100%, ln(2) indica il tempo necessario per raddoppiare. Se noi torniamo indietro nel tempo(ovvero, attendere un periodo di tempo negativo), quindi otterremo la metà di ciò che abbiamo.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logico, vero? Se torniamo indietro (time back) a 0,693 secondi, troveremo la metà della quantità disponibile. In generale, puoi girare la frazione e prendere significato negativo: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Ciò significa che se torniamo indietro nel tempo a 1,09 volte, troveremo solo un terzo del numero attuale.

Ok, che ne dici del logaritmo di un numero negativo? Quanto tempo occorre per “far crescere” una colonia di batteri da 1 a -3?

Questo è impossibile! Non è possibile ottenere una conta batterica negativa, vero? Puoi ottenere un massimo (ehm... minimo) pari a zero, ma non è possibile ottenere un numero negativo da queste piccole creature. IN numero negativo i batteri semplicemente non ha senso.

ln(numero negativo) = indefinito

"Non definito" significa che non è necessario attendere alcun periodo di tempo per ottenere un valore negativo.

La moltiplicazione logaritmica è semplicemente divertente

Quanto tempo ci vorrà per quadruplicare? Naturalmente, puoi semplicemente prendere ln(4). Ma questo è troppo semplice, andremo dall'altra parte.

Puoi pensare alla crescita quadrupla come al raddoppio (richiedendo ln(2) unità di tempo) e poi raddoppiando nuovamente (richiedendo altre ln(2) unità di tempo):

Tempo per crescere 4 volte = ln(4) = Tempo per raddoppiare e poi raddoppiare ancora = ln(2) + ln(2)

Interessante. Qualsiasi tasso di crescita, ad esempio 20, può essere considerato un raddoppio subito dopo un aumento di 10 volte. O una crescita di 4 volte e poi di 5 volte. Oppure triplicando e poi aumentando di 6.666 volte. Vedi lo schema?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Il logaritmo di A per B è log(A) + log(B). Questa relazione acquista immediatamente senso se vista in termini di crescita.

Se sei interessato a una crescita di 30x, puoi aspettare ln(30) in una sola volta, oppure aspettare ln(3) per triplicare, e poi un altro ln(10) per 10x. Il risultato finale è lo stesso, quindi ovviamente il tempo deve rimanere costante (e lo fa).

E la divisione? Nello specifico, ln(5/3) significa: quanto tempo ci vorrà per crescere 5 volte e poi ottenerne 1/3?

Ottimo, la crescita di 5 volte è ln(5). Un aumento di 1/3 richiederà -ln(3) unità di tempo. COSÌ,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Ciò significa: lascialo crescere 5 volte e poi “torna indietro nel tempo” fino al punto in cui rimane solo un terzo di quella quantità, quindi ottieni una crescita di 5/3. In generale si scopre

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Spero che la strana aritmetica dei logaritmi inizi ad avere senso per te: moltiplicare i tassi di crescita significa aggiungere unità di tempo di crescita e dividere significa sottrarre unità di tempo. Non c'è bisogno di memorizzare le regole, cerca di capirle.

Utilizzo del logaritmo naturale per una crescita arbitraria

Beh, certo”, dici, “va tutto bene se la crescita è del 100%, ma che dire del 5% che ottengo?”

Nessun problema. Il "tempo" che calcoliamo con ln() è in realtà una combinazione di tasso di interesse e tempo, la stessa X dell'equazione e x. Abbiamo semplicemente deciso di impostare la percentuale al 100% per semplicità, ma siamo liberi di utilizzare qualsiasi numero.

Diciamo che vogliamo ottenere una crescita 30x: prendi ln(30) e ottieni 3.4 Ciò significa:

e x = altezza
e3,4 = 30

Ovviamente, questa equazione significa che "il rendimento del 100% in 3,4 anni dà una crescita 30 volte superiore". Possiamo scrivere questa equazione come segue:

e x = e frequenza*tempo
e 100% * 3,4 anni = 30

Possiamo modificare i valori di “bet” e “time”, purché il tempo di bet* rimanga 3.4. Ad esempio, se siamo interessati a una crescita 30x, quanto tempo dovremo aspettare con un tasso di interesse del 5%?

ln(30) = 3,4
frequenza * tempo = 3,4
0,05 * tempo = 3,4
tempo = 3,4 / 0,05 = 68 anni

Ragiono così: “ln(30) = 3,4, quindi con una crescita del 100% ci vorranno 3,4 anni. Se raddoppio il tasso di crescita, il tempo richiesto sarà dimezzato”.

100% per 3,4 anni = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% in 1,7 anni = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% per 6,8 anni = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% sopra i 68 anni = 0,05 * 68 = 3,4.

Fantastico, vero? Il logaritmo naturale può essere utilizzato con qualsiasi tasso di interesse e tempo perché il loro prodotto rimane costante. Puoi spostare i valori delle variabili quanto vuoi.

Esempio interessante: regola del settantadue

La Regola del Settantadue è una tecnica matematica che ti consente di stimare quanto tempo occorrerà affinché i tuoi soldi raddoppino. Adesso lo dedurremo (sì!), e soprattutto cercheremo di coglierne l'essenza.

Quanto tempo ci vorrà per raddoppiare il tuo denaro con un interesse composto del 100% annuo?

Ops. Abbiamo usato il logaritmo naturale per il caso di crescita continua, e ora parli di capitalizzazione annuale? Questa formula non diventerebbe inadatta per un caso del genere? Sì, lo farà, ma per tassi di interesse reali come il 5%, il 6% o addirittura il 15%, la differenza tra capitalizzazione annuale e crescita continua sarà piccola. Quindi la stima approssimativa funziona, ehm, più o meno, quindi faremo finta di avere un accumulo completamente continuo.

Ora la domanda è semplice: quanto velocemente puoi raddoppiare con una crescita del 100%? ln(2) = 0,693. Occorrono 0,693 unità di tempo (anni nel nostro caso) per raddoppiare il nostro importo con un incremento continuo del 100%.

Quindi, cosa succede se il tasso di interesse non è del 100%, ma diciamo del 5% o del 10%?

Facilmente! Poiché scommessa * tempo = 0,693, raddoppieremo l'importo:

tasso * tempo = 0,693
tempo = 0,693/scommessa

Risulta che se la crescita è del 10%, ci vorranno 0,693 / 0,10 = 6,93 anni per raddoppiare.

Per semplificare i calcoli, moltiplichiamo entrambi i lati per 100, quindi possiamo dire "10" anziché "0,10":

tempo per raddoppiare = 69,3/scommessa, dove la scommessa è espressa in percentuale.

Ora è il momento di raddoppiare ad un tasso del 5%, 69,3/5 = 13,86 anni. Ma 69,3 non è il dividendo più conveniente. Scegliamo un numero vicino, 72, che conviene dividere per 2, 3, 4, 6, 8 e altri numeri.

tempo per raddoppiare = 72/scommessa

che è la regola del settantadue. Tutto è coperto.

Se hai bisogno di trovare il tempo per triplicare, puoi usare ln(3) ~ 109.8 e get

tempo per triplicare = 110/scommessa

Cos'è un altro regola utile. La "Regola del 72" si applica all'altezza tassi di interesse, crescita della popolazione, colture batteriche e tutto ciò che cresce in modo esponenziale.

Qual è il prossimo?

Speriamo che il logaritmo naturale ora abbia senso per te: mostra il tempo necessario affinché qualsiasi numero cresca in modo esponenziale. Penso che sia chiamato naturale perché e è una misura universale di crescita, quindi ln può essere considerato in modo universale determinare quanto tempo ci vuole per crescere.

Ogni volta che vedi ln(x), ricorda "il tempo necessario per crescere X volte". In un prossimo articolo descriverò e e ln insieme in modo che il fresco profumo della matematica riempia l'aria.

Addendum: logaritmo naturale di e

Quiz veloce: cos'è ln(e)?

un robot matematico dirà: poiché sono definiti l’uno l’inverso dell’altro, è ovvio che ln(e) = 1.
persona comprensiva: ln(e) è il numero di volte necessario per far crescere "e" volte (circa 2,718). Tuttavia, il numero e stesso è una misura della crescita di un fattore 1, quindi ln(e) = 1.

Pensa chiaramente.

9 settembre 2013

Logaritmo di un dato numero si chiama esponente al quale si deve elevare un altro numero, si chiama base logaritmo per ottenere questo numero. Ad esempio, il logaritmo in base 10 di 100 è 2. In altre parole, 10 deve essere elevato al quadrato per ottenere 100 (10 2 = 100). Se N– un dato numero, B– base e l– logaritmo, quindi bl = n. Numero N detto anche antilogaritmo delle basi B numeri l. Ad esempio, l'antilogaritmo di 2 in base 10 è uguale a 100. Questo può essere scritto sotto forma di log delle relazioni b n = l e antilog b l = N.

Proprietà di base dei logaritmi:

Qualunque numero positivo, ad eccezione dell'unità, può servire come base dei logaritmi, ma, sfortunatamente, risulta che se B E N sono numeri razionali, quindi in rari casi esiste un numero così razionale l, Che cosa bl = n. Tuttavia è possibile definire un numero irrazionale l, ad esempio, tale che 10 l= 2; questo è un numero irrazionale l può essere approssimato con tutta la precisione richiesta numeri razionali. Si scopre che nell'esempio fornito lè approssimativamente uguale a 0,3010 e questa approssimazione del logaritmo in base 10 di 2 può essere trovata nelle tabelle a quattro cifre logaritmi decimali. I logaritmi in base 10 (o logaritmi in base 10) sono così comunemente usati nei calcoli che vengono chiamati ordinario logaritmi e scritto come log2 = 0,3010 oppure log2 = 0,3010, omettendo l'indicazione esplicita della base del logaritmo. Logaritmi alla base e, un numero trascendente pari a circa 2,71828 naturale logaritmi. Si trovano principalmente in opere su analisi matematica e le sue applicazioni alle varie scienze. I logaritmi naturali si scrivono anche senza indicare esplicitamente la base, ma utilizzando la notazione speciale ln: ad esempio ln2 = 0,6931, perché e 0,6931 = 2.

Utilizzo di tabelle di logaritmi ordinari.

Il logaritmo regolare di un numero è un esponente al quale bisogna elevare 10 per ottenere il numero dato. Poiché 10 0 = 1, 10 1 = 10 e 10 2 = 100, otteniamo immediatamente che log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, ecc. per potenze intere crescenti 10. Allo stesso modo, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 e quindi log0,1 = –1, log0,01 = –2, ecc. per tutti i numeri interi poteri negativi 10. I logaritmi usuali dei restanti numeri sono contenuti tra i logaritmi delle potenze intere più vicine del numero 10; log2 deve essere compreso tra 0 e 1, log20 deve essere compreso tra 1 e 2 e log0.2 deve essere compreso tra -1 e 0. Pertanto, il logaritmo è costituito da due parti, un numero intero e decimale, racchiuso tra 0 e 1. Viene chiamata la parte intera caratteristica logaritmo ed è determinato dal numero stesso, viene chiamata la parte frazionaria mantissa e può essere trovato dalle tabelle. Inoltre, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Il logaritmo di 2 è 0,3010, quindi log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Allo stesso modo, log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Dopo la sottrazione, otteniamo log0,2 = – 0,6990. Tuttavia, è più conveniente rappresentare log0.2 come 0.3010 – 1 o come 9.3010 – 10; può essere formulato e regola generale: tutti i numeri ottenuti da un dato numero mediante moltiplicazione per una potenza di 10 hanno la stessa mantissa, uguale alla mantissa del numero dato. La maggior parte delle tabelle mostrano le mantisse dei numeri compresi tra 1 e 10, poiché le mantisse di tutti gli altri numeri possono essere ottenute da quelle indicate nella tabella.

La maggior parte delle tabelle fornisce logaritmi con quattro o cinque cifre decimali, sebbene esistano tabelle a sette cifre e tabelle con ancora più cifre decimali. Il modo più semplice per imparare a utilizzare tali tabelle è con gli esempi. Per trovare log3.59 notiamo innanzitutto che il numero 3.59 è contenuto tra 10 0 e 10 1, quindi la sua caratteristica è 0. Troviamo nella tabella il numero 35 (a sinistra) e spostiamoci lungo la riga fino a la colonna che ha in alto il numero 9; l'intersezione di questa colonna e della riga 35 è 5551, quindi log3,59 = 0,5551. Trovare la mantissa di un numero con quattro figure significative, è necessario ricorrere all'interpolazione. In alcune tabelle l'interpolazione è facilitata dalle proporzioni riportate nelle ultime nove colonne sul lato destro di ciascuna pagina delle tabelle. Troviamo ora log736.4; il numero 736,4 è compreso tra 10 2 e 10 3, quindi la caratteristica del suo logaritmo è 2. Nella tabella troviamo una riga a sinistra della quale c'è 73 e la colonna 6. All'intersezione di questa riga e questa colonna c'è il numero 8669. Tra le parti lineari troviamo la colonna 4 . All'intersezione della riga 73 e della colonna 4 c'è il numero 2. Sommando 2 a 8669, otteniamo la mantissa: è uguale a 8671. Quindi, log736.4 = 2,8671.

Logaritmi naturali.

Tabelle e proprietà logaritmi naturali sono simili alle tabelle e alle proprietà dei logaritmi ordinari. La differenza principale tra i due è che la parte intera del logaritmo naturale non è significativa nel determinare la posizione del punto decimale, e quindi la differenza tra la mantissa e la caratteristica non gioca un ruolo speciale. Logaritmi naturali dei numeri 5.432; 54,32 e 543,2 sono pari rispettivamente a 1,6923; 3.9949 e 6.2975. La relazione tra questi logaritmi diventerà evidente se consideriamo le differenze tra loro: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; ultimo numero non è altro che il logaritmo naturale del numero 10 (scritto così: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; l'ultimo numero è 2ln10. Ma 543,2 = 10′54,32 = 10 2′5,432. Quindi, dal logaritmo naturale di un dato numero UN puoi trovare i logaritmi naturali dei numeri, uguale ai prodotti numeri UN per qualsiasi laurea N numeri 10 se a ln UN aggiungi ln10 moltiplicato per N, cioè. ln( UNґ10N) = logaritmo UN + N ln10 = ln UN + 2,3026N. Ad esempio, ln0,005432 = ln(5,432′10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3′2,3026) = – 5,2155. Pertanto, le tabelle dei logaritmi naturali, come le tabelle dei logaritmi ordinari, di solito contengono solo logaritmi di numeri da 1 a 10. Nel sistema dei logaritmi naturali, si può parlare di antilogaritmi, ma più spesso si parla di funzione esponenziale o sull'espositore. Se X= registro sì, Quello sì = es, E sì chiamato esponente di X(per comodità tipografica, spesso scrivono sì= esp X). L'esponente svolge il ruolo di antilogaritmo del numero X.

Utilizzando le tabelle dei logaritmi decimali e naturali, è possibile creare tabelle dei logaritmi in qualsiasi base diversa da 10 e e. Se log b a = X, Quello bx = UN, e quindi log cbx= registro circa O X tronco d'albero cb= registro circa, O X= registro circa/tronco d'albero cb= registro b a. Pertanto, utilizzando questa formula di inversione dalla tabella dei logaritmi di base C puoi costruire tabelle di logaritmi in qualsiasi altra base B. Moltiplicatore 1/log cb chiamato modulo di transizione dalla base C alla base B. Nulla impedisce, ad esempio, di utilizzare la formula di inversione o di transizione da un sistema di logaritmi a un altro, di trovare logaritmi naturali dalla tavola dei logaritmi ordinari o di effettuare la transizione inversa. Ad esempio, log105.432 = log e 5.432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923̑0,4343 = 0,7350. Il numero 0,4343, per il quale bisogna moltiplicare il logaritmo naturale di un dato numero per ottenere un logaritmo ordinario, è il modulo di transizione al sistema dei logaritmi ordinari.

Tavoli speciali.

I logaritmi furono originariamente inventati in modo che, utilizzando le loro proprietà log ab= registro UN+ registro B e registrare UN/B= registro UN- tronco d'albero B, trasformano i prodotti in somme e i quozienti in differenze. In altre parole, se log UN e registrare B sono noti, quindi utilizzando addizione e sottrazione possiamo facilmente trovare il logaritmo del prodotto e il quoziente. In astronomia, invece, spesso vengono dati valori di log UN e registrare B devo trovare log( UN + B) o registro( UN – B). Naturalmente si potrebbe prima ricavarlo dalle tavole dei logaritmi UN E B, quindi eseguire l'addizione o la sottrazione indicata e, tornando nuovamente alle tabelle, trovare i logaritmi richiesti, ma tale procedura richiederebbe di fare riferimento alle tabelle tre volte. Z. Leonelli nel 1802 pubblicò le tavole dei cosiddetti. Logaritmi gaussiani– logaritmi per sommare somme e differenze – che permettevano di limitarsi ad un unico accesso alle tabelle.

Nel 1624 I. Keplero propose tabelle di logaritmi proporzionali, ad es. logaritmi dei numeri UN/X, Dove UN– qualche valore costante positivo. Queste tabelle sono utilizzate principalmente da astronomi e navigatori.

Logaritmi proporzionali a UN= 1 vengono chiamati cologaritmi e vengono utilizzati nei calcoli quando si ha a che fare con prodotti e quozienti. Cologaritmo di un numero N uguale al logaritmo numero reciproco; quelli. cologo N= log1/ N= – log N. Se log2 = 0,3010, allora colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Il vantaggio di utilizzare i cologaritmi è che quando si calcola il valore del logaritmo di espressioni come pq/tramite modulo logaritmo della somma tripla dei decimali positivi P+ registro Q+colog tramite moduloè più facile da trovare rispetto al registro misto di somme e differenze P+ registro Q- tronco d'albero tramite modulo.

Storia.

Il principio alla base di qualsiasi sistema logaritmico è noto da moltissimo tempo e può essere fatto risalire all'antica matematica babilonese (circa 2000 aC). A quei tempi, per calcolare l'interesse composto veniva utilizzata l'interpolazione tra i valori della tabella delle potenze intere positive dei numeri interi. Molto più tardi, Archimede (287–212 a.C.) usò la potenza di 108 per trovare un limite superiore al numero di granelli di sabbia necessari per riempire completamente l'Universo allora conosciuto. Archimede richiamò l'attenzione sulla proprietà degli esponenti che è alla base dell'efficacia dei logaritmi: il prodotto delle potenze corrisponde alla somma degli esponenti. Alla fine del Medioevo e all'inizio dell'era moderna, i matematici iniziarono a dedicarsi sempre più al rapporto tra progressioni geometriche e aritmetiche. M. Stiefel nel suo saggio Aritmetica dei numeri interi(1544) fornirono una tabella dei poteri positivi e negativi del numero 2:

Stiefel notò che la somma dei due numeri nella prima riga (la riga degli esponenti) è uguale all'esponente di due corrispondente al prodotto dei due numeri corrispondenti nella riga inferiore (la riga degli esponenti). In relazione a questa tabella Stiefel formulò quattro regole equivalenti alle quattro regole moderne per le operazioni sugli esponenti o alle quattro regole per le operazioni sui logaritmi: la somma sulla riga superiore corrisponde al prodotto sulla riga inferiore; la sottrazione sulla riga superiore corrisponde alla divisione sulla riga inferiore; la moltiplicazione sulla riga superiore corrisponde all'elevamento a potenza sulla riga inferiore; la divisione sulla riga superiore corrisponde al rooting sulla riga inferiore.

A quanto pare, regole simili a quelle di Stiefel hanno portato J. Naper a introdurre formalmente il primo sistema di logaritmi nella sua opera Descrizione della straordinaria tavola dei logaritmi, pubblicato nel 1614. Ma i pensieri di Napier erano occupati dal problema di convertire i prodotti in somme fin da quando, più di dieci anni prima della pubblicazione della sua opera, Napier ricevette la notizia dalla Danimarca che all'Osservatorio di Tycho Brahe i suoi assistenti avevano un metodo che rendeva è possibile convertire i prodotti in somme. Il metodo menzionato nel messaggio ricevuto da Napier era basato sull'uso formule trigonometriche tipo

quindi le tavole di Naper erano costituite principalmente da logaritmi funzioni trigonometriche. Sebbene il concetto di base non fosse esplicitamente incluso nella definizione proposta da Napier, il ruolo equivalente alla base del sistema dei logaritmi nel suo sistema era svolto dal numero (1 – 10 –7)̑10 7, pari approssimativamente a 1/ e.

Indipendentemente da Naper e quasi contemporaneamente a lui, un sistema di logaritmi, del tutto simile nel tipo, fu inventato e pubblicato da J. Bürgi a Praga, pubblicato nel 1620 Tavole di progressione aritmetica e geometrica. Si trattava di tavole di antilogaritmi alla base (1 + 10 –4) ̑10 4, una discreta approssimazione del numero e.

Nel sistema Naper, il logaritmo del numero 10 7 era considerato pari a zero e, man mano che i numeri diminuivano, i logaritmi aumentavano. Quando G. Briggs (1561–1631) visitò Napier, entrambi concordarono che sarebbe stato più conveniente usare il numero 10 come base e considerare il logaritmo di uno pari a zero. Quindi, man mano che i numeri aumentassero, i loro logaritmi aumenterebbero. Quindi abbiamo ottenuto sistema moderno logaritmi decimali, una tabella di cui Briggs pubblicò nella sua opera Aritmetica logaritmica(1620). Logaritmi alla base e, sebbene non esattamente quelli introdotti da Naper, sono spesso chiamati Naper. I termini "caratteristico" e "mantissa" furono proposti da Briggs.

Primi logaritmi in vigore ragioni storiche usate approssimazioni ai numeri 1/ e E e. Un po' più tardi, l'idea dei logaritmi naturali cominciò ad essere associata allo studio delle aree sotto un'iperbole xy= 1 (figura 1). Nel XVII secolo è stato dimostrato che l'area delimitata da questa curva, l'asse X e ordinate X= 1 e X = UN(nella Fig. 1 questa zona è ricoperta da punti più spessi e radi) aumenta progressione aritmetica, Quando UN aumenta esponenzialmente. È proprio questa dipendenza che sorge nelle regole per le operazioni con esponenti e logaritmi. Ciò ha dato origine a chiamare i logaritmi naperiani “logaritmi iperbolici”.

Funzione logaritmica.

Ci fu un tempo in cui i logaritmi erano considerati esclusivamente come un mezzo di calcolo, ma nel XVIII secolo, soprattutto grazie al lavoro di Eulero, si formò il concetto di funzione logaritmica. Grafico di tale funzione sì= registro X, le cui ordinate aumentano in progressione aritmetica, mentre le ascisse aumentano in progressione geometrica, è presentata in Fig. 2, UN. Grafico di una funzione inversa o esponenziale y = ex, le cui ordinate aumentano in progressione geometrica, e le cui ascisse aumentano in progressione aritmetica, è presentata, rispettivamente, in Fig. 2, B. (Curve sì= registro X E sì = 10X simili nella forma alle curve sì= registro X E sì = es.) Sono state proposte anche definizioni alternative della funzione logaritmica, ad es.

kpi; e, analogamente, i logaritmi naturali del numero -1 sono numeri complessi della forma (2 K + 1)pi, Dove K– un numero intero. Affermazioni simili valgono per i logaritmi generali o altri sistemi di logaritmi. Inoltre, la definizione di logaritmi può essere generalizzata utilizzando le identità di Eulero per includere logaritmi complessi di numeri complessi.

Una definizione alternativa di funzione logaritmica è fornita dall'analisi funzionale. Se F(X) – funzione continua di un numero reale X, avente le seguenti tre proprietà: F (1) = 0, F (B) = 1, F (uv) = F (tu) + F (v), Quello F(X) è definito come il logaritmo del numero X basato su B. Questa definizione presenta una serie di vantaggi rispetto alla definizione fornita all'inizio di questo articolo.

Applicazioni.

Originariamente i logaritmi venivano utilizzati esclusivamente per semplificare i calcoli e questa applicazione è ancora una delle più importanti. Il calcolo di prodotti, quozienti, potenze e radici è facilitato non solo dall'ampia disponibilità di tavole logaritmiche pubblicate, ma anche dall'uso delle cosiddette. regolo calcolatore - uno strumento di calcolo il cui principio di funzionamento si basa sulle proprietà dei logaritmi. Il righello è dotato di scale logaritmiche, cioè distanza dal numero 1 a qualsiasi numero X scelto per essere uguale a log X; Spostando una scala rispetto all'altra è possibile tracciare le somme o le differenze dei logaritmi, il che permette di leggere direttamente sulla scala i prodotti o i quozienti dei numeri corrispondenti. Puoi anche sfruttare i vantaggi di rappresentare i numeri in forma logaritmica. carta logaritmica per tracciare grafici (carta con scale logaritmiche stampate su entrambi gli assi delle coordinate). Se una funzione soddisfa una legge di potenza della forma y = kxn, allora il suo grafico logaritmico appare come una linea retta, perché tronco d'albero sì= registro K + N tronco d'albero X– equazione lineare rispetto al log sì e registrare X. Al contrario, se il grafico logaritmico di una dipendenza funzionale assomiglia ad una linea retta, allora questa dipendenza è una legge di potenza. La carta semi-logaritmica (dove l'asse y ha una scala logaritmica e l'asse x ha una scala uniforme) è utile quando è necessario identificare le funzioni esponenziali. Equazioni della forma y = kbrx si verificano ogni volta che una quantità, come una popolazione, una quantità di materiale radioattivo o un saldo bancario, diminuisce o aumenta ad un tasso proporzionale alla disponibilità questo momento numero di residenti, sostanza radioattiva o denaro. Se tale dipendenza viene tracciata su carta semilogaritmica, il grafico apparirà come una linea retta.

La funzione logaritmica nasce in connessione con un'ampia varietà di forme naturali. I fiori nelle infiorescenze di girasole sono disposti in spirali logaritmiche e i gusci dei molluschi sono contorti. Nautilo, corna pecore di montagna e becchi di pappagallo. Tutte queste forme naturali possono servire come esempi di una curva nota come spirale logaritmica perché, in un sistema di coordinate polari, la sua equazione è r = aebq, o ln tramite modulo= registro UN + bq. Tale curva è descritta da un punto mobile, la cui distanza dal polo aumenta in progressione geometrica, e l'angolo descritto dal suo raggio vettore aumenta in progressione aritmetica. L'ubiquità di tale curva, e quindi della funzione logaritmica, è ben illustrata dal fatto che essa si presenta in aree così distanti e completamente diverse come il contorno di una camma eccentrica e la traiettoria di alcuni insetti che volano verso la luce.

Grafico della funzione logaritmo naturale. La funzione si avvicina lentamente all'infinito positivo man mano che aumenta X e si avvicina rapidamente all'infinito negativo quando X tende a 0 (“lento” e “veloce” rispetto a qualsiasi funzione di potenza da X).

Logaritmo naturaleè il logaritmo in base , Dove e (\displaystyle e)- una costante irrazionale pari a circa 2,72. È indicato come ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) o talvolta semplicemente log ⁡ x (\displaystyle \logx), se la base e (\displaystyle e) implicito. In altre parole, il logaritmo naturale di un numero X- questo è un esponente a cui deve essere elevato un numero e, Ottenere X. Questa definizione può essere estesa ai numeri complessi.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), Perché e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), Perché e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Il logaritmo naturale può anche essere definito geometricamente per qualsiasi numero reale positivo UN come l'area sotto la curva y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) nel mezzo [1; a] (\displaystyle ). La semplicità di questa definizione, che è coerente con molte altre formule che utilizzano questo logaritmo, spiega l'origine del nome "naturale".

Se consideriamo il logaritmo naturale come una funzione reale di una variabile reale, allora è la funzione inversa della funzione esponenziale, che porta alle identità:

e ln ⁡ un = un (un > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e un = un (un > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Come tutti i logaritmi, il logaritmo naturale associa la moltiplicazione all'addizione:

ln ⁡ X y = ln ⁡ X + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Il logaritmo di un numero positivo b in base a (a>0, a non è uguale a 1) è un numero c tale che a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Nota che il logaritmo di un numero non positivo non è definito. Inoltre, la base del logaritmo deve essere un numero positivo che non sia uguale a 1. Ad esempio, se eleviamo al quadrato -2, otteniamo il numero 4, ma questo non significa che il logaritmo in base -2 di 4 sia uguale a 2.

Identità logaritmica di base

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

È importante che l'ambito di definizione dei lati destro e sinistro di questa formula sia diverso. Il lato sinistro è definito solo per b>0, a>0 e a ≠ 1. Il lato destro è definito per qualsiasi b e non dipende affatto da a. Pertanto, l’applicazione dell’“identità” logaritmica di base quando si risolvono equazioni e disequazioni può portare a un cambiamento nella OD.

Due ovvie conseguenze della definizione di logaritmo

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Infatti, elevando il numero a alla prima potenza, otteniamo lo stesso numero, e quando lo eleviamo alla potenza zero, otteniamo uno.

Logaritmo del prodotto e logaritmo del quoziente

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Vorrei mettere in guardia gli scolari dall'uso sconsiderato di queste formule quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche. Quando li si utilizza "da sinistra a destra", l'ODZ si restringe e quando si passa dalla somma o differenza dei logaritmi al logaritmo del prodotto o del quoziente, l'ODZ si espande.

Infatti, l'espressione log a (f (x) g (x)) è definita in due casi: quando entrambe le funzioni sono strettamente positive o quando f(x) e g(x) sono entrambe minori di zero.

Trasformando questa espressione nella somma log a f (x) + log a g (x), siamo costretti a limitarci solo al caso in cui f(x)>0 e g(x)>0. C'è un restringimento dell'area valori accettabili, e questo è categoricamente inaccettabile, perché può portare alla perdita di soluzioni. Un problema simile esiste per la formula (6).

Il grado può essere estratto dal segno del logaritmo

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

E ancora una volta vorrei chiedere precisione. Considera il seguente esempio:

Logaritmo a (f (x) 2 = 2 logaritmo a f (x)

Il lato sinistro dell'uguaglianza è ovviamente definito per tutti i valori di f(x) tranne zero. Il lato destro è solo per f(x)>0! Togliendo il grado dal logaritmo, restringiamo nuovamente l'ODZ. La procedura inversa porta ad un ampliamento dell'intervallo di valori accettabili. Tutte queste osservazioni si applicano non solo alla potenza 2, ma anche a qualsiasi potenza pari.

Formula per trasferirsi in una nuova fondazione

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Quel raro caso in cui l'ODZ non cambia durante la trasformazione. Se hai scelto saggiamente la base c (positiva e diversa da 1), la formula per passare a una nuova base è completamente sicura.

Se scegliamo il numero b come nuova base c, otteniamo un importante caso speciale formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Alcuni semplici esempi con i logaritmi

Esempio 1. Calcola: log2 + log50.
Soluzione. log2 + log50 = log100 = 2. Abbiamo utilizzato la formula della somma dei logaritmi (5) e la definizione del logaritmo decimale.

Esempio 2. Calcolare: lg125/lg5.
Soluzione. log125/log5 = log 5 125 = 3. Abbiamo usato la formula per spostarci in una nuova base (8).