Come ottenere un numero da un logaritmo naturale. Logaritmo

Potrebbe trattarsi, ad esempio, di una calcolatrice dal set di programmi di base sistema operativo Finestre. Il collegamento per avviarlo è nascosto nel menu principale del sistema operativo: aprilo facendo clic sul pulsante "Start", quindi apri la sezione "Programmi", vai alla sottosezione "Standard" e quindi a "Utilità" sezione e, infine, fare clic sulla voce "Calcolatrice" " Invece di usare il mouse e navigare nei menu, puoi usare la tastiera e la finestra di dialogo di avvio del programma: premi la combinazione di tasti WIN + R, digita calc (questo è il nome del file eseguibile della calcolatrice) e premi Invio.

Passa l'interfaccia della calcolatrice alla modalità avanzata, che ti consente di fare... Per impostazione predefinita si apre in visualizzazione "normale", ma è necessario "ingegneria" o " " (a seconda della versione del sistema operativo che stai utilizzando). Espandi la sezione "Visualizza" nel menu e seleziona la riga appropriata.

Inserisci l'argomento di cui vuoi valutare il valore naturale. Questo può essere fatto dalla tastiera o facendo clic sui pulsanti corrispondenti nell'interfaccia della calcolatrice sullo schermo.

Fare clic sul pulsante denominato ln: il programma calcolerà il logaritmo in base e e mostrerà il risultato.

Utilizzare uno dei calcolatori come calcolo alternativo del valore logaritmo naturale. Ad esempio, quello situato in http://calc.org.ua. La sua interfaccia è estremamente semplice: c'è un unico campo di input in cui devi digitare il valore del numero, il cui logaritmo devi calcolare. Tra i pulsanti, trova e fai clic su quello che dice ln. Lo script di questa calcolatrice non richiede l'invio di dati al server e una risposta, quindi riceverai il risultato del calcolo quasi istantaneamente. L'unica caratteristica, che dovrebbe essere preso in considerazione: il separatore tra il frazionario e intera parte Il numero inserito deve avere un punto qui, non un .

Il termine " logaritmo" deriva da due parole greche, una significa "numero" e l'altra significa "rapporto". Denota l'operazione matematica di calcolo di una quantità variabile (esponente) alla quale occorre elevare un valore costante (base) per ottenere il numero indicato sotto il segno logaritmo UN. Se la base è uguale a una costante matematica chiamata numero "e", allora logaritmo chiamato "naturale".

Avrai bisogno

Accesso a Internet, Microsoft Office Excel o calcolatrice.

Istruzioni

Utilizza i numerosi calcolatori disponibili su Internet: questo è forse un modo semplice per calcolare l'a naturale. Non è necessario cercare il servizio appropriato, poiché molti motori di ricerca e loro stessi hanno calcolatrici integrate che sono abbastanza adatte per lavorare logaritmo ami. Ad esempio, vai alla pagina principale del più grande motore di ricerca online: Google. Qui non sono necessari pulsanti per inserire valori o selezionare funzioni; basta inserire l'azione matematica desiderata nel campo di input della query. Diciamo, per calcolare logaritmo e il numero 457 in base “e”, inserisci ln 457: questo sarà sufficiente affinché Google lo visualizzi con una precisione di otto cifre decimali (6.12468339) anche senza premere il pulsante per inviare una richiesta al server.

Utilizza l'apposita funzione integrata se devi calcolare il valore di un naturale logaritmo e si verifica quando si lavora con i dati nel popolare editor di fogli di calcolo Microsoft Office Excel. Questa funzione viene chiamata qui utilizzando la notazione comune logaritmo e in maiuscolo - LN. Seleziona la cella in cui deve essere visualizzato il risultato del calcolo e inserisci un segno uguale: ecco come in questo editor di fogli di calcolo i record dovrebbero iniziare nelle celle contenenti nella sottosezione "Standard" della sezione "Tutti i programmi" del menu principale. Passa la calcolatrice a una modalità più funzionale premendo la scorciatoia da tastiera Alt + 2. Quindi inserisci il valore, naturale logaritmo che si desidera calcolare, e cliccare nell'interfaccia del programma il pulsante indicato dai simboli ln. L'applicazione eseguirà il calcolo e visualizzerà il risultato.

Video sull'argomento

Non è affatto male, vero? Mentre i matematici cercano parole per darti una definizione lunga e confusa, diamo un'occhiata più da vicino a questa semplice e chiara.

Il numero e significa crescita

Il numero e significa crescita continua. Come abbiamo visto nell'esempio precedente, e x ci permette di collegare interesse e tempo: 3 anni con una crescita del 100% equivalgono a 1 anno con una crescita del 300%, assumendo "interesse composto".

Puoi sostituire qualsiasi valore percentuale e temporale (50% per 4 anni), ma è meglio impostare la percentuale su 100% per comodità (risulta 100% per 2 anni). Passando al 100%, possiamo concentrarci esclusivamente sulla componente temporale:

e x = e percentuale * tempo = e 1.0 * tempo = e tempo

Ovviamente e x significa:

quanto aumenterà il mio contributo dopo x unità di tempo (assumendo una crescita continua del 100%).
ad esempio dopo 3 intervalli di tempo riceverò e 3 = 20,08 volte più “cose”.

e x è un fattore di scala che mostra il livello che raggiungeremo in un periodo di tempo x.

Logaritmo naturale significa tempo

Il logaritmo naturale è l'inverso di e, un termine di fantasia per indicare l'opposto. Parlando di stranezze; in latino si chiama logarithmus naturali, da qui l'abbreviazione ln.

E cosa significa questa inversione o contrario?

e x ci permette di sostituire il tempo e ottenere crescita.
ln(x) ci consente di prendere la crescita o il reddito e scoprire il tempo necessario per generarlo.

Per esempio:

e 3 equivale a 20.08. Dopo tre periodi di tempo, avremo 20,08 volte di più di quello con cui abbiamo iniziato.
ln(20/08) sarebbe circa 3. Se sei interessato a una crescita di 20,08 volte, avrai bisogno di 3 periodi di tempo (di nuovo, assumendo una crescita continua del 100%).

Stai ancora leggendo? Il logaritmo naturale mostra il tempo necessario per raggiungere il livello desiderato.

Questo conteggio logaritmico non standard

Hai analizzato i logaritmi? strane creature. Come sono riusciti a trasformare la moltiplicazione in addizione? Che ne dici della divisione in sottrazione? Diamo un'occhiata.

A cosa è uguale ln(1)? Intuitivamente, la domanda è: quanto tempo dovrei aspettare per ottenere 1x di più di quello che ho?

Zero. Zero. Affatto. Ce l'hai già una volta. Non ci vuole molto per passare dal livello 1 al livello 1.

ln(1) = 0

Ok, che mi dici del valore frazionario? Quanto tempo ci vorrà per avere la metà della quantità disponibile? Sappiamo che con una crescita continua del 100%, ln(2) indica il tempo necessario per raddoppiare. Se noi torniamo indietro nel tempo(ovvero, attendere un periodo di tempo negativo), quindi otterremo la metà di ciò che abbiamo.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logico, vero? Se torniamo indietro (time back) a 0,693 secondi, troveremo la metà della quantità disponibile. In generale, puoi girare la frazione e prendere significato negativo: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Ciò significa che se torniamo indietro nel tempo a 1,09 volte, troveremo solo un terzo del numero attuale.

Ok, che ne dici del logaritmo di un numero negativo? Quanto tempo occorre per “far crescere” una colonia di batteri da 1 a -3?

Questo è impossibile! Non è possibile ottenere una conta batterica negativa, vero? Puoi ottenere un massimo (ehm... minimo) pari a zero, ma non è possibile ottenere un numero negativo da queste piccole creature. IN numero negativo i batteri semplicemente non ha senso.

ln(numero negativo) = indefinito

"Non definito" significa che non è necessario attendere alcun periodo di tempo per ottenere un valore negativo.

La moltiplicazione logaritmica è semplicemente divertente

Quanto tempo ci vorrà per quadruplicare? Naturalmente, puoi semplicemente prendere ln(4). Ma questo è troppo semplice, andremo dall'altra parte.

Puoi pensare alla crescita quadrupla come al raddoppio (richiedendo ln(2) unità di tempo) e poi raddoppiando nuovamente (richiedendo altre ln(2) unità di tempo):

Tempo per crescere 4 volte = ln(4) = Tempo per raddoppiare e poi raddoppiare ancora = ln(2) + ln(2)

Interessante. Qualsiasi tasso di crescita, ad esempio 20, può essere considerato un raddoppio subito dopo un aumento di 10 volte. O una crescita di 4 volte e poi di 5 volte. Oppure triplicando e poi aumentando di 6.666 volte. Vedi lo schema?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Il logaritmo di A per B è log(A) + log(B). Questa relazione acquista immediatamente senso se vista in termini di crescita.

Se sei interessato a una crescita di 30x, puoi aspettare ln(30) in una sola volta, oppure aspettare ln(3) per triplicare, e poi un altro ln(10) per 10x. Il risultato finale è lo stesso, quindi ovviamente il tempo deve rimanere costante (e lo fa).

E la divisione? Nello specifico, ln(5/3) significa: quanto tempo ci vorrà per crescere 5 volte e poi ottenerne 1/3?

Ottimo, la crescita di 5 volte è ln(5). Un aumento di 1/3 richiederà -ln(3) unità di tempo. COSÌ,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Ciò significa: lascialo crescere 5 volte e poi “torna indietro nel tempo” fino al punto in cui rimane solo un terzo di quella quantità, quindi ottieni una crescita di 5/3. In generale si scopre

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Spero che la strana aritmetica dei logaritmi inizi ad avere senso per te: moltiplicare i tassi di crescita significa aggiungere unità di tempo di crescita e dividere significa sottrarre unità di tempo. Non c'è bisogno di memorizzare le regole, cerca di capirle.

Utilizzo del logaritmo naturale per una crescita arbitraria

Beh, certo”, dici, “va bene se la crescita è del 100%, ma che dire del 5% che ricevo?”

Nessun problema. Il "tempo" che calcoliamo con ln() è in realtà una combinazione di tasso di interesse e tempo, la stessa X dell'equazione e x. Abbiamo semplicemente deciso di impostare la percentuale al 100% per semplicità, ma siamo liberi di utilizzare qualsiasi numero.

Diciamo che vogliamo ottenere una crescita 30x: prendiamo ln(30) e otteniamo 3.4 Ciò significa:

e x = altezza
e3,4 = 30

Ovviamente, questa equazione significa che "il rendimento del 100% in 3,4 anni dà una crescita 30 volte superiore". Possiamo scrivere questa equazione come segue:

e x = e frequenza*tempo
e100% * 3,4 anni = 30

Possiamo modificare i valori di “bet” e “time”, purché il tempo di bet* rimanga 3.4. Ad esempio, se siamo interessati a una crescita 30x, quanto tempo dovremo aspettare con un tasso di interesse del 5%?

ln(30) = 3,4
frequenza * tempo = 3,4
0,05 * tempo = 3,4
tempo = 3,4 / 0,05 = 68 anni

Ragiono così: “ln(30) = 3,4, quindi con una crescita del 100% ci vorranno 3,4 anni. Se raddoppio il tasso di crescita, il tempo richiesto sarà dimezzato”.

100% per 3,4 anni = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% in 1,7 anni = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% per 6,8 anni = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% sopra i 68 anni = 0,05 * 68 = 3,4.

Fantastico, vero? Il logaritmo naturale può essere utilizzato con qualsiasi tasso di interesse e tempo perché il loro prodotto rimane costante. Puoi spostare i valori delle variabili quanto vuoi.

Esempio interessante: regola del settantadue

La Regola del Settantadue è una tecnica matematica che ti consente di stimare quanto tempo occorrerà affinché i tuoi soldi raddoppino. Adesso lo dedurremo (sì!), e soprattutto cercheremo di coglierne l'essenza.

Quanto tempo ci vorrà per raddoppiare i tuoi soldi al 100% composto ogni anno?

Ops. Abbiamo usato il logaritmo naturale per il caso di crescita continua, e ora parli di capitalizzazione annuale? Questa formula non diventerebbe inadatta per un caso del genere? Sì, lo farà, ma per tassi di interesse reali come il 5%, il 6% o addirittura il 15%, la differenza tra capitalizzazione annuale e crescita continua sarà piccola. Quindi la stima approssimativa funziona, ehm, più o meno, quindi faremo finta di avere un accumulo completamente continuo.

Ora la domanda è semplice: quanto velocemente puoi raddoppiare con una crescita del 100%? ln(2) = 0,693. Occorrono 0,693 unità di tempo (anni nel nostro caso) per raddoppiare il nostro importo con un incremento continuo del 100%.

Quindi, cosa succede se il tasso di interesse non è del 100%, ma diciamo del 5% o del 10%?

Facilmente! Poiché scommessa * tempo = 0,693, raddoppieremo l'importo:

tasso * tempo = 0,693
tempo = 0,693/scommessa

Risulta che se la crescita è del 10%, ci vorranno 0,693 / 0,10 = 6,93 anni per raddoppiare.

Per semplificare i calcoli, moltiplichiamo entrambi i lati per 100, quindi possiamo dire "10" anziché "0,10":

tempo per raddoppiare = 69,3/scommessa, dove la scommessa è espressa in percentuale.

Ora è il momento di raddoppiare ad un tasso del 5%, 69,3/5 = 13,86 anni. Ma 69,3 non è il dividendo più conveniente. Scegliamo un numero vicino, 72, che conviene dividere per 2, 3, 4, 6, 8 e altri numeri.

tempo per raddoppiare = 72/scommessa

che è la regola del settantadue. Tutto è coperto.

Se hai bisogno di trovare il tempo per triplicare, puoi usare ln(3) ~ 109.8 e ottenere

tempo per triplicare = 110/scommessa

Cos'è un altro regola utile. La "Regola del 72" si applica all'altezza tassi di interesse, crescita della popolazione, colture batteriche e tutto ciò che cresce in modo esponenziale.

Qual è il prossimo?

Spero che il logaritmo naturale ora abbia senso per te: mostra il tempo necessario affinché qualsiasi numero cresca in modo esponenziale. Penso che sia chiamato naturale perché e è una misura universale di crescita, quindi ln può essere considerato in modo universale determinare quanto tempo ci vuole per crescere.

Ogni volta che vedi ln(x), ricorda "il tempo necessario per crescere X volte". In un prossimo articolo descriverò e e ln insieme in modo che il fresco profumo della matematica riempia l'aria.

Addendum: logaritmo naturale di e

Quiz veloce: cos'è ln(e)?

un robot matematico dirà: poiché sono definiti l’uno l’inverso dell’altro, è ovvio che ln(e) = 1.
persona comprensiva: ln(e) è il numero di volte necessario per far crescere "e" volte (circa 2,718). Tuttavia, il numero e stesso è una misura della crescita di un fattore 1, quindi ln(e) = 1.

Pensa chiaramente.

9 settembre 2013

1.1. Determinazione dell'esponente di un esponente intero

X1 = X
X2 = X*X
X3 = X*X*X
…
X N = X * X * … * X — N volte

1.2. Grado zero.

Per definizione, è generalmente accettato che la potenza zero di qualsiasi numero sia 1:

1.3. Grado negativo.

X -N = 1/X N

1.4. Potenza frazionaria, radice.

X 1/N = N radice di X.

Ad esempio: X 1/2 = √X.

1.5. Formula per aggiungere poteri.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Formula per sottrarre poteri.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Formula per moltiplicare le potenze.

X N*M = (X N) M

1.8. Formula per elevare una frazione a potenza.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Numero e.

Il valore del numero e è pari al seguente limite:

E = lim(1+1/N), poiché N → ∞.

Con una precisione di 17 cifre, il numero e è 2.71828182845904512.

3. Uguaglianza di Eulero.

Questa uguaglianza collega cinque numeri che svolgono un ruolo speciale in matematica: 0, 1, e, pi, unità immaginaria.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Funzione esponenziale exp(x)

esp(x) = ex

5. Derivato della funzione esponenziale

La funzione esponenziale ha una proprietà notevole: la derivata della funzione è uguale alla funzione esponenziale stessa:

(esper(x))" = esp(x)

6. Logaritmo.

6.1. Definizione della funzione logaritmo

Se x = b y, la funzione è il logaritmo

Y = logaritmo b(x).

Il logaritmo mostra a quale potenza deve essere elevato un numero, la base del logaritmo (b), per ottenere un dato numero (X). La funzione logaritmo è definita per X maggiore di zero.

Ad esempio: Log 10 (100) = 2.

6.2. Logaritmo decimale

Questo è il logaritmo in base 10:

Y = Logaritmo 10 (x) .

Indicato con Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Esempio di utilizzo logaritmo decimale-decibel.

6.3. Decibel

La voce è evidenziata in una pagina separata Decibel

6.4. Logaritmo binario

Questo è il logaritmo in base 2:

Y = Logaritmo 2 (x).

Denotato con Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Logaritmo naturale

Questo è il logaritmo in base e:

Y = Log e (x) .

Denotato con Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Il logaritmo naturale è la funzione inversa della funzione esponenziale exp(X).

6.6. Punti caratteristici

Loga(1) = 0
Logaritmo a(a) = 1

6.7. Formula del logaritmo del prodotto

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formula per il logaritmo del quoziente

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Logaritmo della formula di potenza

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formula per la conversione in un logaritmo con base diversa

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Esempio:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formule utili nella vita

Spesso ci sono problemi nel convertire il volume in area o lunghezza e il problema inverso: convertire l'area in volume. Ad esempio, le tavole vengono vendute in cubi (metri cubi) e dobbiamo calcolare quanta superficie della parete può essere coperta con tavole contenute in un determinato volume, vedere Calcolo delle tavole, quante tavole ci sono in un cubo. Oppure, se si conoscono le dimensioni del muro, è necessario calcolare il numero di mattoni, vedere calcolo dei mattoni.

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Logaritmo naturale

Grafico della funzione logaritmo naturale. La funzione si avvicina lentamente all'infinito positivo man mano che aumenta X e si avvicina rapidamente all'infinito negativo quando X tende a 0 (“lento” e “veloce” rispetto a qualsiasi funzione di potenza da X).

Logaritmo naturaleè il logaritmo in base , Dove e- una costante irrazionale pari a circa 2,718281 828. Il logaritmo naturale è solitamente scritto come ln( X), tronco d'albero e (X) o talvolta semplicemente accedi( X), se la base e implicito.

Logaritmo naturale di un numero X(scritto come ln(x)) è l'esponente a cui deve essere elevato il numero e, Ottenere X. Per esempio, ln(7.389...)è uguale a 2 perché e 2 =7,389... . Logaritmo naturale del numero stesso e (ln(e)) è uguale a 1 perché e 1 = e, e il logaritmo naturale è 1 ( ln(1)) è uguale a 0 perché e 0 = 1.

Il logaritmo naturale può essere definito per qualsiasi numero reale positivo UN come l'area sotto la curva sì = 1/X da 1 a UN. La semplicità di questa definizione, coerente con molte altre formule che utilizzano il logaritmo naturale, ha portato al nome "naturale". Questa definizione può essere estesa ai numeri complessi, come verrà discusso di seguito.

Se consideriamo il logaritmo naturale come una funzione reale di una variabile reale, allora è la funzione inversa della funzione esponenziale, che porta alle identità:

Come tutti i logaritmi, il logaritmo naturale associa la moltiplicazione all'addizione:

Pertanto, la funzione logaritmica è un isomorfismo del gruppo dei numeri reali positivi rispetto alla moltiplicazione per il gruppo dei numeri reali rispetto all'addizione, che può essere rappresentato come una funzione:

Il logaritmo può essere definito per qualsiasi base positiva diversa da 1, non solo e, ma i logaritmi per altre basi differiscono dal logaritmo naturale solo per un fattore costante e sono solitamente definiti in termini di logaritmo naturale. I logaritmi sono utili per risolvere equazioni che coinvolgono incognite come esponenti. Ad esempio, i logaritmi vengono utilizzati per trovare la costante di decadimento per un tempo di dimezzamento noto o per trovare il tempo di decadimento nella risoluzione dei problemi di radioattività. Svolgono un ruolo importante in molte aree della matematica e delle scienze applicate e vengono utilizzati in finanza per risolvere molti problemi, incluso il calcolo degli interessi composti.

Storia

La prima menzione del logaritmo naturale fu fatta da Nicholas Mercator nella sua opera Logaritmotecnia, pubblicato nel 1668, sebbene l'insegnante di matematica John Spidell compilò una tavola di logaritmi naturali già nel 1619. Precedentemente era chiamato logaritmo iperbolico perché corrisponde all'area sotto l'iperbole. A volte viene chiamato logaritmo di Napier, sebbene il significato originale di questo termine fosse leggermente diverso.

Convenzioni di designazione

Il logaritmo naturale è solitamente indicato con “ln( X)", logaritmo in base 10 - tramite "lg( X)", e altri motivi sono solitamente indicati esplicitamente con il simbolo "log".

In molti lavori sulla matematica discreta, sulla cibernetica e sull’informatica, gli autori usano la notazione “log( X)" per logaritmi in base 2, ma questa convenzione non è generalmente accettata e richiede chiarimenti nell'elenco delle notazioni utilizzate o (in assenza di tale elenco) mediante una nota a piè di pagina o un commento al primo utilizzo.

Le parentesi attorno all'argomento dei logaritmi (se ciò non porta ad un'errata lettura della formula) vengono solitamente omesse e quando si eleva un logaritmo a potenza, l'esponente viene assegnato direttamente al segno del logaritmo: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Sistema anglo-americano

Matematici, statistici e alcuni ingegneri solitamente usano per denotare il logaritmo naturale o “log( X)" o "ln( X)", e per denotare il logaritmo in base 10 - "log 10 ( X)».

Alcuni ingegneri, biologi e altri specialisti scrivono sempre “ln( X)" (o occasionalmente "log e ( X)") quando intendono il logaritmo naturale e la notazione "log( X)" significano log 10 ( X).

tronco d'albero eè un logaritmo "naturale" perché si presenta automaticamente e appare molto spesso in matematica. Consideriamo ad esempio il problema della derivata di una funzione logaritmica:

Se la base B equivale e, allora la derivata è semplicemente 1/ X, e quando X= 1 questa derivata è uguale a 1. Un altro motivo per cui la base e La cosa più naturale riguardo al logaritmo è che può essere definito semplicemente in termini di un integrale semplice o di una serie di Taylor, cosa che non si può dire degli altri logaritmi.

Ulteriori giustificazioni per la naturalezza non sono legate alla notazione. Ad esempio, esistono diverse serie semplici con logaritmi naturali. Li chiamavano Pietro Mengoli e Nicola Mercatore logaritmo naturale diversi decenni fino a quando Newton e Leibniz svilupparono il calcolo differenziale e integrale.

Definizione

Formalmente ln( UN) può essere definita come l'area sotto la curva del grafico 1/ X da 1 a UN, cioè come integrale:

È veramente un logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale del logaritmo:

Ciò può essere dimostrato assumendo quanto segue:

Valore numerico

Per calcolare il valore numerico del logaritmo naturale di un numero, puoi utilizzare il suo sviluppo in serie di Taylor nella forma:

Ottenere migliore velocità convergenza, possiamo utilizzare la seguente identità:

purché sì = (X−1)/(X+1) e X > 0.

Per ln( X), Dove X> 1, più vicino è il valore X a 1, quindi velocità più veloce convergenza. Le identità associate al logaritmo possono essere utilizzate per raggiungere l'obiettivo:

Questi metodi venivano utilizzati anche prima dell'avvento delle calcolatrici, per le quali venivano utilizzate tabelle numeriche e venivano eseguite manipolazioni simili a quelle sopra descritte.

Alta precisione

Per calcolare il logaritmo naturale con grande quantità numeri di precisione, la serie di Taylor non è efficiente perché la sua convergenza è lenta. Un'alternativa è utilizzare il metodo di Newton per invertire in una funzione esponenziale la cui serie converge più rapidamente.

Un’alternativa per una precisione di calcolo molto elevata è la formula:

Dove M denota la media aritmetico-geometrica di 1 e 4/s, e

M scelto così P si ottengono segni di accuratezza. (Nella maggior parte dei casi, un valore pari a 8 per m è sufficiente.) Infatti, se si utilizza questo metodo, è possibile applicare l'inverso del logaritmo naturale di Newton per calcolare in modo efficiente la funzione esponenziale. (Le costanti ln 2 e pi possono essere precalcolate con la precisione desiderata utilizzando una qualsiasi delle serie note a rapida convergenza.)

Complessità computazionale

La complessità computazionale dei logaritmi naturali (usando la media aritmetico-geometrica) è O( M(N)ln N). Qui Nè il numero di cifre di precisione per le quali deve essere valutato il logaritmo naturale, e M(N) è la complessità computazionale della moltiplicazione di due N numeri a -cifre.

Frazioni continue

Sebbene non esistano frazioni continue semplici per rappresentare un logaritmo, è possibile utilizzare diverse frazioni continue generalizzate, tra cui:

Logaritmi complessi

La funzione esponenziale può essere estesa a una funzione che fornisce un numero complesso della forma e X per qualsiasi arbitrario numero complesso X, in questo caso una serie infinita con complesso X. Questo funzione esponenziale può essere invertito per formare un logaritmo complesso, che avrà la maggior parte delle proprietà dei logaritmi ordinari. Ci sono però due difficoltà: non esiste X, per cui e X= 0, e risulta che e 2πi = 1 = e 0 . Poiché la proprietà della moltiplicatività è valida per una funzione esponenziale complessa, allora e z = e z+2nπi per tutti i complessi z e intero N.

Il logaritmo non può essere definito sull'intero piano complesso, e anche così è multivalore: qualsiasi logaritmo complesso può essere sostituito da un logaritmo "equivalente" aggiungendo qualsiasi multiplo intero di 2 πi. Il logaritmo complesso può essere a valore singolo solo su una fetta del piano complesso. Ad esempio, ln io = 1/2 πi o 5/2 πi o −3/2 πi, ecc., e sebbene io 4 = 1,4 logaritmo io può essere definito come 2 πi, o 10 πi o −6 πi, e così via.

Guarda anche

John Napier - inventore dei logaritmi

Appunti

Matematica per la chimica fisica. - 3°. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Estratto di pagina 9
JJ O'Connor e EF Robertson Il numero e. L'archivio MacTutor History of Mathematics (settembre 2001). Archiviato
Cajori Florian Una storia della matematica, 5a ed. - Libreria AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
Flashmann, Martin Stima degli integrali mediante polinomi. Archiviata dall'originale il 12 febbraio 2012.

Quindi abbiamo potenze di due. Se prendi il numero dalla riga inferiore, puoi facilmente trovare la potenza alla quale dovrai alzare due per ottenere questo numero. Ad esempio, per ottenere 16, devi elevare due alla quarta potenza. E per ottenere 64, devi elevare due alla sesta potenza. Questo può essere visto dalla tabella.

E ora, in realtà, la definizione del logaritmo:

Il logaritmo in base a di x è la potenza alla quale deve essere elevato a per ottenere x.

Designazione: log a x = b, dove a è la base, x è l'argomento, b è ciò a cui è effettivamente uguale il logaritmo.

Ad esempio, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (il logaritmo in base 2 di 8 è tre perché 2 3 = 8). Con lo stesso successo log 2 64 = 6, poiché 2 6 = 64.

L'operazione di trovare il logaritmo di un numero in base data si chiama logaritmizzazione. Quindi, aggiungiamo una nuova riga alla nostra tabella:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
logaritmo 2 2 = 1	logaritmo 2 4 = 2	log28 = 3	logaritmo 2 16 = 4	logaritmo 2 32 = 5	logaritmo 2 64 = 6

Sfortunatamente, non tutti i logaritmi si calcolano così facilmente. Ad esempio, prova a trovare log 2 5 . Il numero 5 non è nella tabella, ma la logica suggerisce che il logaritmo si trovi da qualche parte nel segmento. Perché 2 2< 5 < 2 3 , а чем più grado due, maggiore è il numero.

Tali numeri sono detti irrazionali: i numeri dopo la virgola possono essere scritti all'infinito e non si ripetono mai. Se il logaritmo risulta irrazionale, è meglio lasciarlo così: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

È importante capire che un logaritmo è un'espressione con due variabili (la base e l'argomento). Inizialmente, molte persone confondono dove sia la base e dove sia l’argomento. Per evitare fastidiosi malintesi basta guardare l'immagine:

Davanti a noi non c'è altro che la definizione di logaritmo. Ricordare: il logaritmo è una potenza, in cui è necessario costruire la base per ottenere un argomento. È la base che viene elevata a potenza: nell'immagine è evidenziata in rosso. Si scopre che la base è sempre in basso! Dico ai miei studenti questa meravigliosa regola già dalla prima lezione e non si crea alcuna confusione.

Abbiamo capito la definizione: non resta che imparare a contare i logaritmi, ad es. sbarazzarsi del segno "log". Per cominciare, notiamo che dalla definizione conseguono due fatti importanti:

L'argomento e la base devono essere sempre maggiori di zero. Ciò deriva dalla definizione di grado mediante esponente razionale, a cui si riduce la definizione di logaritmo.
La base deve essere diversa da uno, poiché uno in ogni grado rimane pur sempre uno. Per questo motivo la domanda “a quale potere bisogna elevare uno per averne due” non ha senso. Non esiste un diploma del genere!

Tali restrizioni sono chiamate regione valori accettabili (ODZ). Risulta che l'ODZ del logaritmo è simile a questo: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Nota che non ci sono restrizioni sul numero b (il valore del logaritmo). Ad esempio, il logaritmo potrebbe essere negativo: log 2 0,5 = −1, perché 0,5 = 2 −1.

Tuttavia, ora stiamo solo considerando espressioni numeriche, dove non è necessario conoscere la CVD del logaritmo. Tutte le restrizioni sono già state prese in considerazione dagli autori dei problemi. Ma quando entrano in gioco le equazioni e le disuguaglianze logaritmiche, i requisiti DL diventeranno obbligatori. Dopotutto, la base e l'argomentazione possono contenere costruzioni molto forti che non corrispondono necessariamente alle restrizioni di cui sopra.

Consideriamo ora lo schema generale per il calcolo dei logaritmi. Si compone di tre passaggi:

Esprimi la base a e l'argomento x come una potenza con la base minima possibile maggiore di uno. Lungo il percorso, è meglio eliminare i decimali;
Risolvi l'equazione per la variabile b: x = a b ;
Il numero risultante b sarà la risposta.

È tutto! Se il logaritmo risultasse irrazionale, ciò sarà visibile già nel primo passaggio. Molto importante è il requisito che la base sia maggiore di uno: questo riduce la probabilità di errore e semplifica moltissimo i calcoli. Lo stesso con decimali: se li converti immediatamente in quelli normali, ci saranno molti meno errori.

Vediamo come funziona questo schema utilizzando esempi specifici:

Compito. Calcola il logaritmo: log 5 25

Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di cinque: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Creiamo e risolviamo l'equazione:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Abbiamo ricevuto la risposta: 2.

Compito. Calcola il logaritmo:

Compito. Calcola il logaritmo: log 4 64

Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Creiamo e risolviamo l'equazione:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Abbiamo ricevuto la risposta: 3.

Compito. Calcola il logaritmo: log 16 1

Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Creiamo e risolviamo l'equazione:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Abbiamo ricevuto la risposta: 0.

Compito. Calcola il logaritmo: log 7 14

Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di sette: 7 = 7 1 ; 14 non può essere rappresentato come una potenza di sette, poiché 7 1< 14 < 7 2 ;
Dal paragrafo precedente ne consegue che il logaritmo non conta;
La risposta è nessun cambiamento: log 7 14.

Una piccola nota sull'ultimo esempio. Come puoi essere sicuro che un numero non sia una potenza esatta di un altro numero? È molto semplice: basta fattorizzarlo in fattori primi. Se l'espansione ha almeno due fattori diversi, il numero non è una potenza esatta.

Compito. Scopri se i numeri sono potenze esatte: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - grado esatto, perché c'è un solo moltiplicatore;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - non è una potenza esatta, poiché ci sono due fattori: 3 e 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - grado esatto;
35 = 7 · 5 - ancora una volta non una potenza esatta;
14 = 7 · 2 - ancora una volta non un grado esatto;

Notiamo anche che noi stessi numeri primi sono sempre gradi esatti di se stessi.

Logaritmo decimale

Alcuni logaritmi sono così comuni che hanno un nome e un simbolo speciali.

Il logaritmo decimale di x è il logaritmo in base 10, cioè La potenza alla quale bisogna elevare il numero 10 per ottenere il numero x. Designazione: lgx.

Ad esempio, log 10 = 1; logaritmo 100 = 2; lg 1000 = 3 - ecc.

D'ora in poi, quando in un libro di testo apparirà una frase come "Trova lg 0.01", sappi: non si tratta di un errore di battitura. Questo è un logaritmo decimale. Tuttavia, se non hai familiarità con questa notazione, puoi sempre riscriverla:
logaritmo x = logaritmo 10 x

Tutto ciò che vale per i logaritmi ordinari vale anche per i logaritmi decimali.

Logaritmo naturale

C'è un altro logaritmo che ha una sua designazione. In un certo senso, è ancora più importante del decimale. Riguarda sul logaritmo naturale.

Il logaritmo naturale di x è il logaritmo in base e, cioè la potenza alla quale bisogna elevare il numero e per ottenere il numero x. Designazione: ln x .

Molti si chiederanno: qual è il numero e? Questo è un numero irrazionale, suo valore esatto impossibile da trovare e registrare. Darò solo le prime cifre:
e = 2,718281828459...

Non entreremo nei dettagli su cosa sia questo numero e perché è necessario. Ricorda solo che e è la base del logaritmo naturale:
ln x = log e x

Quindi ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ecc. D'altra parte, ln 2 è un numero irrazionale. In generale, il logaritmo naturale di any numero razionale irrazionale. Tranne, ovviamente, uno: ln 1 = 0.

Per i logaritmi naturali valgono tutte le regole valide per i logaritmi ordinari.