Logaritmo decimale 1 2. Logaritmo

Istruzioni

Annotare il dato espressione logaritmica. Se l'espressione utilizza il logaritmo 10, la sua notazione viene abbreviata e assomiglia a questa: lg b è il logaritmo decimale. Se il logaritmo ha come base il numero e, scrivi l'espressione: ln b – logaritmo naturale. Resta inteso che il risultato di any è la potenza alla quale bisogna elevare il numero base per ottenere il numero b.

Quando trovi la somma di due funzioni, devi semplicemente differenziarle una per una e sommare i risultati: (u+v)" = u"+v";

Per trovare la derivata del prodotto di due funzioni, è necessario moltiplicare la derivata della prima funzione per la seconda e sommare la derivata della seconda funzione moltiplicata per la prima funzione: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Per trovare la derivata del quoziente di due funzioni, è necessario sottrarre dal prodotto della derivata del dividendo moltiplicato per la funzione divisore il prodotto della derivata del divisore moltiplicato per la funzione dividendo, e dividere tutto questo tramite la funzione divisore al quadrato. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Se dato funzione complessa, allora è necessario moltiplicare la derivata di funzione interna e la derivata di quella esterna. Sia y=u(v(x)), allora y"(x)=y"(u)*v"(x).

Utilizzando i risultati ottenuti sopra, puoi differenziare quasi tutte le funzioni. Quindi diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ci sono anche problemi che riguardano il calcolo della derivata in un punto. Data la funzione y=e^(x^2+6x+5), devi trovare il valore della funzione nel punto x=1.
1) Trova la derivata della funzione: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcolare il valore della funzione in dato punto y"(1)=8*e^0=8

Video sull'argomento

Consigli utili

Impara la tavola delle derivate elementari. Ciò farà risparmiare notevolmente tempo.

Fonti:

• derivata di una costante

Allora, qual è la differenza tra un'equazione irrazionale e una razionale? Se la variabile sconosciuta è sotto il segno radice quadrata, allora l'equazione è considerata irrazionale.

Istruzioni

Il metodo principale per risolvere tali equazioni è il metodo di costruzione di entrambi i lati equazioni in un quadrato. Tuttavia. questo è naturale, la prima cosa che devi fare è sbarazzarti del segno. Questo metodo non è tecnicamente difficile, ma a volte può causare problemi. Ad esempio, l'equazione è v(2x-5)=v(4x-7). Elevando al quadrato entrambi i lati ottieni 2x-5=4x-7. Risolvere una simile equazione non è difficile; x=1. Ma il numero 1 non verrà dato equazioni. Perché? Sostituisci uno nell'equazione invece del valore di x E i lati destro e sinistro conterranno espressioni che non hanno senso. Questo valore non è valido per una radice quadrata. Pertanto, 1 è una radice estranea e quindi questa equazione non ha radici.

Quindi, un'equazione irrazionale viene risolta utilizzando il metodo della quadratura di entrambi i suoi lati. E dopo aver risolto l'equazione, è necessario tagliare le radici estranee. Per fare ciò, sostituisci le radici trovate nell'equazione originale.

Considerane un altro.
2х+vх-3=0
Naturalmente, questa equazione può essere risolta utilizzando la stessa equazione della precedente. Sposta composti equazioni, che non hanno radice quadrata, a destra e quindi utilizzare il metodo della quadratura. risolvere l'equazione razionale e le radici risultanti. Ma anche un altro, più elegante. Inserisci una nuova variabile; vх=y. Di conseguenza, riceverai un'equazione della forma 2y2+y-3=0. Cioè, il solito equazione quadratica. Trova le sue radici; y1=1 e y2=-3/2. Quindi, risolvine due equazioni vх=1; vх=-3/2. La seconda equazione non ha radici; dalla prima risulta che x=1. Non dimenticare di controllare le radici.

Risolvere le identità è abbastanza semplice. Per fare ciò, è necessario eseguire trasformazioni identiche fino al raggiungimento dell'obiettivo prefissato. Quindi, con l'aiuto del più semplice operazioni aritmetiche il compito da svolgere sarà risolto.

Ne avrai bisogno

• - carta;
• - penna.

Istruzioni

Le più semplici di tali trasformazioni sono le moltiplicazioni algebriche abbreviate (come il quadrato della somma (differenza), la differenza dei quadrati, la somma (differenza), il cubo della somma (differenza)). Inoltre ce ne sono molti formule trigonometriche, che sono essenzialmente le stesse identità.

Infatti, il quadrato della somma di due termini è uguale al quadrato del primo più il doppio del prodotto del primo per il secondo e più il quadrato del secondo, cioè (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Semplifica entrambi

Principi generali della soluzione

Ripeti secondo il libro di testo analisi matematica o matematica superiore, cos'è un integrale definito. Come è noto, la soluzione integrale definito esiste una funzione la cui derivata dà un integrando. Questa funzione è chiamata antiderivativa. Sulla base di questo principio vengono costruiti i principali integrali.
Determinare in base al tipo di integrando quale degli integrali della tabella è adatto in questo caso. Non è sempre possibile determinarlo immediatamente. Spesso la forma tabellare diventa evidente solo dopo diverse trasformazioni per semplificare l'integrando.

Metodo di sostituzione variabile

Se la funzione integranda è funzione trigonometrica, il cui argomento contiene un polinomio, prova a utilizzare il metodo di sostituzione delle variabili. Per fare ciò, sostituisci il polinomio nell'argomento dell'integrando con una nuova variabile. In base alla relazione tra le nuove e le vecchie variabili, determinare i nuovi limiti di integrazione. Differenziando questa espressione, trova il nuovo differenziale in . Quindi otterrai nuovo aspetto dell'integrale precedente, vicino o addirittura corrispondente a qualsiasi integrale tabulare.

Risoluzione di integrali di seconda specie

Se l'integrale è un integrale del secondo tipo, una forma vettoriale dell'integrando, allora sarà necessario utilizzare le regole per il passaggio da questi integrali a quelli scalari. Una di queste regole è la relazione Ostrogradsky-Gauss. Questa legge ci permette di passare dal flusso rotorico di una certa funzione vettoriale all'integrale triplo sulla divergenza di un dato campo vettoriale.

Sostituzione dei limiti di integrazione

Dopo aver trovato l'antiderivativa è necessario sostituire i limiti di integrazione. Innanzitutto, sostituisci il valore del limite superiore nell'espressione dell'antiderivativa. Riceverai un certo numero. Successivamente, sottrai dal numero risultante un altro numero ottenuto dal limite inferiore nell'antiderivativa. Se uno dei limiti dell'integrazione è l'infinito, allora quando lo si sostituisce in funzione antiderivativaè necessario andare al limite e trovare ciò a cui tende l'espressione.
Se l'integrale è bidimensionale o tridimensionale, allora dovrai rappresentare geometricamente i limiti dell'integrazione per capire come valutare l'integrale. Infatti, nel caso, ad esempio, di un integrale tridimensionale, i limiti di integrazione possono essere interi piani che limitano il volume da integrare.

La potenza di un dato numero è un termine matematico coniato secoli fa. In geometria e algebra ci sono due opzioni: decimale e logaritmi naturali. Sono calcolati con formule diverse, mentre le equazioni che differiscono nell'ortografia sono sempre uguali tra loro. Questa identità caratterizza le proprietà che riguardano il potenziale utile della funzione.

Caratteristiche e segni importanti

SU al momento distinguere dieci qualità matematiche conosciute. I più comuni e popolari sono:

• Il logaritmo radicale diviso per la grandezza della radice è sempre uguale al logaritmo decimale √.
• Il log del prodotto è sempre pari alla somma del produttore.
• Lg = la grandezza della potenza moltiplicata per il numero che viene elevato ad essa.
• Se sottrai il divisore dal logaritmo del dividendo, ottieni il logaritmo del quoziente.

Inoltre, esiste un'equazione basata sull'identità principale (considerata la chiave), una transizione verso una base aggiornata e diverse formule minori.

Il calcolo del logaritmo decimale è un compito abbastanza specializzato, quindi è necessario affrontare attentamente l'integrazione delle proprietà in una soluzione e verificare regolarmente le azioni e la coerenza. Non bisogna dimenticarsi delle tabelle, che vanno consultate costantemente, e lasciarsi guidare solo dai dati in esse reperibili.

Varietà di termini matematici

Le principali differenze del numero matematico sono “nascoste” nella base (a). Se ha un esponente pari a 10, allora è log decimale. Nel caso opposto, “a” si trasforma in “y” e ha caratteristiche trascendentali e irrazionali. Vale anche la pena notare che il valore naturale viene calcolato mediante un'equazione speciale, dove la prova è una teoria studiata dall'esterno curriculum scolastico classi senior.

Si ottengono logaritmi decimali ampia applicazione quando si calcolano formule complesse. Sono state compilate intere tabelle per facilitare i calcoli e mostrare chiaramente il processo di risoluzione del problema. In questo caso, prima di andare dritti al punto, è necessario creare il log in Inoltre, in ogni negozio materiale scolastico Puoi trovare un righello speciale con una scala stampata che ti aiuta a risolvere un'equazione di qualsiasi complessità.

Logaritmo decimale Il numero è chiamato numero di Brigg, o numero di Eulero, in onore del ricercatore che per primo pubblicò il valore e scoprì il contrasto tra le due definizioni.

Due tipi di formula

Tutti i tipi e varietà di problemi per il calcolo della risposta, che hanno il termine log nella condizione, hanno un nome separato e una rigorosa struttura matematica. Equazione esponenzialeè praticamente una copia esatta calcoli logaritmici, se visti dal punto di vista della correttezza della soluzione. È solo che la prima opzione include un numero specializzato che ti aiuta a comprendere rapidamente la condizione, e la seconda sostituisce il registro con una potenza ordinaria. In questo caso, i calcoli che utilizzano l'ultima formula devono includere un valore variabile.

Differenza e terminologia

Entrambi gli indicatori principali hanno le proprie caratteristiche che distinguono i numeri l'uno dall'altro:

• Logaritmo decimale. Un dettaglio importante del numero è la presenza obbligatoria di una base. La versione standard del valore è 10. È contrassegnata dalla sequenza: log x o log x.
• Naturale. Se la sua base è il segno "e", che è una costante identica a un'equazione rigorosamente calcolata, dove n si muove rapidamente verso l'infinito, allora la dimensione approssimativa del numero nell'equivalente digitale è 2,72. La marcatura ufficiale, adottata sia a scuola che nelle formule professionali più complesse, è ln x.
• Diverso. Oltre ai logaritmi di base, esistono i tipi esadecimali e binari (rispettivamente base 16 e 2). Esiste un'opzione ancora più complessa con un indicatore base di 64, che rientra in un controllo sistematico di tipo adattivo che calcola il risultato finale con precisione geometrica.

La terminologia comprende le seguenti quantità incluse nel problema algebrico:

• Senso;
• discussione;
• base.

Calcolo del numero di registro

Esistono tre modi per effettuare velocemente e verbalmente tutti i calcoli necessari per trovare il risultato di interesse, con esito obbligatoriamente corretto della soluzione. Inizialmente avviciniamo il logaritmo decimale al suo ordine (la notazione scientifica di un numero elevato a una potenza). Ogni valore positivo può essere specificato da un'equazione, dove è uguale alla mantissa (un numero da 1 a 9) moltiplicato per dieci in ennesimo grado. Questa opzione di calcolo si basa su due fatti matematici:

• il prodotto e il logaritmo somma hanno sempre lo stesso esponente;
• il logaritmo preso da un numero da uno a dieci non può superare il valore di 1 punto.

1. Se si verifica un errore nel calcolo, non sarà mai inferiore a uno nella direzione della sottrazione.
2. La precisione aumenta se si considera che lg con base tre ha un risultato finale di cinque decimi di uno. Pertanto, qualsiasi valore matematico maggiore di 3 aggiunge automaticamente un punto alla risposta.
3. Si ottiene una precisione quasi perfetta se si ha a portata di mano una tabella specializzata che può essere facilmente utilizzata nelle attività di valutazione. Con il suo aiuto, puoi scoprire quanto il logaritmo decimale è uguale ai decimi di percentuale del numero originale.

Storia del registro reale

Il XVI secolo aveva un disperato bisogno di calcoli più complessi di quelli conosciuti dalla scienza dell'epoca. Ciò era particolarmente vero per dividere e moltiplicare numeri a più cifre con grande coerenza, comprese le frazioni.

Alla fine della seconda metà dell'epoca, diverse menti giunsero immediatamente alla conclusione di aggiungere numeri utilizzando una tabella che confrontava due e una geometrica. In questo caso tutti i calcoli di base dovevano basarsi sull'ultimo valore. Gli scienziati hanno integrato la sottrazione allo stesso modo.

La prima menzione di lg avvenne nel 1614. Ciò è stato fatto da un matematico dilettante di nome Napier. Vale la pena notare che, nonostante l'enorme divulgazione dei risultati ottenuti, è stato commesso un errore nella formula dovuto all'ignoranza di alcune definizioni apparse successivamente. È iniziato con la sesta cifra dell'indicatore. I più vicini alla comprensione del logaritmo furono i fratelli Bernoulli, e la sua prima legalizzazione avvenne nel XVIII secolo ad opera di Eulero. Ha esteso la funzione anche al campo dell'istruzione.

Storia del registro complesso

I primi tentativi di integrare LG nel grande pubblico furono fatti all'alba del XVIII secolo da Bernoulli e Leibniz. Ma non furono mai in grado di elaborare calcoli teorici completi. C'è stata un'intera discussione su questo, ma definizione precisa il numero non è stato assegnato. Successivamente il dialogo riprese, ma tra Eulero e d'Alembert.

Quest'ultimo concordava in linea di principio con molti dei fatti proposti dal fondatore del valore, ma riteneva che gli indicatori positivi e negativi dovessero essere uguali. A metà del secolo la formula fu dimostrata come versione definitiva. Inoltre, Eulero pubblicò la derivata del logaritmo decimale e compilò i primi grafici.

Tabelle

Le proprietà dei numeri indicano che i numeri a più cifre non possono essere moltiplicati, ma il loro registro può essere trovato e sommato utilizzando tabelle specializzate.

Questo indicatore è diventato particolarmente prezioso per gli astronomi costretti a lavorare con un ampio insieme di sequenze. IN Era sovietica Il logaritmo decimale fu cercato nella raccolta di Bradis, pubblicata nel 1921. Più tardi, nel 1971, apparve l'edizione Vega.

SEZIONE XIII.

LOGARITMI E LORO APPLICAZIONI.

§ 2. Logaritmi decimali.

Il logaritmo decimale del numero 1 è 0. Logaritmi decimali delle potenze positive di 10, cioè numeri 10, 100, 1000,.... essenzialmente, numeri positivi 1, 2, 3,...., quindi in generale il logaritmo di un numero indicato con uno con zeri, uguale al numero zeri. Logaritmi decimali delle potenze negative di 10, cioè le frazioni 0.1, 0.01, 0.001,.... sono numeri negativi -1, -2, -3....., quindi in generale un logaritmo decimale con numeratore pari a uno è uguale al numero negativo di zeri del denominatore.

I logaritmi di tutti gli altri numeri commensurabili sono incommensurabili. Tali logaritmi sono calcolati approssimativamente, solitamente con una precisione del centomillesimo, e quindi sono espressi in frazioni decimali a cinque cifre; ad esempio, log 3 = 0,47712.

Quando si presenta la teoria dei logaritmi decimali, si presuppone che tutti i numeri siano composti secondo il sistema decimale delle loro unità e frazioni, e tutti i logaritmi sono espressi attraverso una frazione decimale contenente 0 numeri interi, con un aumento o una diminuzione dell'intero. La parte frazionaria del logaritmo è detta mantissa, mentre l'intero incremento o decremento è detto mantissa caratteristica. I logaritmi dei numeri maggiori di uno sono sempre positivi e quindi hanno caratteristica positiva; i logaritmi dei numeri inferiori a uno sono sempre negativi, ma sono rappresentati in modo tale che la loro mantissa risulti positiva e una caratteristica sia negativa: ad esempio, log 500 = 0,69897 + 2 o più breve 2,69897 e log 0,05 = 0, 69897-2, che per brevità viene indicato come 2.69897, ponendo la caratteristica al posto dei numeri interi, ma con un segno sopra. Pertanto, il logaritmo di un numero maggiore di uno rappresenta la somma aritmetica di un intero positivo e di una frazione positiva, mentre il logaritmo di un numero minore di uno rappresenta la somma algebrica di un intero negativo con una frazione positiva.

Qualsiasi logaritmo negativo può essere ridotto alla forma artificiale indicata. Ad esempio, abbiamo log 3/5 = log 3 - log 5 = 0,47712-0,69897 = -0,22185. Per convertire questo vero logaritmo in una forma artificiale, gli aggiungiamo 1 e, dopo l'addizione algebrica, indichiamo la sottrazione di uno per la correzione.

Otteniamo log 3/5 = log 0,6 = (1-0,22185)-1 = 0,77815-1. Risulta che la mantissa 0,77815 è la stessa che corrisponde al numeratore 6 di questo numero, rappresentato nel sistema decimale sotto forma di frazione 0,6.

Nella rappresentazione indicata dei logaritmi decimali, la loro mantissa e le loro caratteristiche hanno proprietà importanti in relazione alla designazione dei numeri ad essi corrispondenti nel sistema decimale. Per spiegare queste proprietà, notiamo quanto segue. Prendiamo come tipo principale di numero un numero arbitrario compreso tra 1 e 10 e, esprimendolo nel sistema decimale, presentiamolo nella forma a,b,c,d,e,f ...., Dove UN ce n'è uno cifre significative 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e cifre decimali, b,c,d,e,f ....... sono numeri qualsiasi, tra i quali possono esserci degli zeri. Dato che il numero preso è compreso tra 1 e 10, il suo logaritmo è compreso tra 0 e 1 e quindi questo logaritmo è costituito da una mantissa senza caratteristica o con caratteristica 0. Indicheremo questo logaritmo nella forma 0 ,α β γ δ ε ...., Dove α, β ,γ ,δ, ε l'essenza di alcuni numeri. Moltiplichiamo ora questo numero da un lato per i numeri 10, 100, 1000,.... e dall'altro per i numeri 0.1, 0.01, 0.001,... e applichiamo i teoremi sui logaritmi del prodotto e il quoziente. Quindi otteniamo una serie di numeri maggiori di uno e una serie di numeri minori di uno con i relativi logaritmi:

lg UN ,bcde f ....= 0 ,α β γ δ ε ....

lg ab,cde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....lg 0,abcde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....

lg аbc,de f ....= 2 ,α β γ δ ε ....lg 0.0abcde f ....= 2 ,α β γ δ ε ....

lg аbcd,e f ....= 3 ,α β γ δ ε ....lg 0.00abcde f ....= 3 ,α β γ δ ε ....

Quando si considerano queste uguaglianze, vengono rivelate le seguenti proprietà e caratteristiche della mantissa:

Proprietà della Mantissa. La mantissa dipende dalla posizione e dal tipo delle cifre spaziate del numero, ma non dipende affatto dalla posizione della virgola nella designazione di questo numero. Mantisse di logaritmi di numeri aventi un rapporto decimale, cioè quelli il cui rapporto multiplo è uguale a qualsiasi positivo o grado negativo dieci sono uguali.

Proprietà caratteristica. La caratteristica dipende dal rango delle unità più alte o delle frazioni decimali di un numero, ma non dipende affatto dal tipo di cifre nella designazione di questo numero.

Se diamo nomi ai numeri UN ,bcde f ...., ab,cde f ...., аbc,de f .... numeri di cifre positive: prima, seconda, terza, ecc., cifra del numero 0,abcde f .... considereremo lo zero e le cifre dei numeri 0.0abcde f ...., 0.00abcde f ...., 0.000abcde f .... se esprimiamo i numeri negativi meno uno, meno due, meno tre, ecc., allora possiamo dire in generale che la caratteristica del logaritmo di qualsiasi numero decimale per unità meno numero, indicando il grado

101. Sapendo che log 2 = 0,30103, trova i logaritmi dei numeri 20,2000, 0,2 e 0,00002.

101. Sapendo che log 3=0,47712, trova i logaritmi dei numeri 300, 3000, 0,03 e 0,0003.

102. Sapendo che log 5 = 0,69897, trova i logaritmi dei numeri 2,5, 500, 0,25 e 0,005.

102. Sapendo che log 7 = 0,84510, trova i logaritmi dei numeri 0,7, 4,9, 0,049 e 0,0007.

103. Conoscendo log 3=0,47712 e log 7=0,84510, trova i logaritmi dei numeri 210, 0,021, 3/7, 7/9 e 3/49.

103. Conoscendo log 2=0,30103 e log 7=0,84510, trova i logaritmi dei numeri 140, 0,14, 2/7, 7/8 e 2/49.

104. Conoscendo log 3 = 0,47712 e log 5 = O,69897, trova i logaritmi dei numeri 1,5, 3/5, 0,12, 5/9 e 0,36.

104. Conoscendo log 5 = 0,69897 e log 7 = 0,84510, trova i logaritmi dei numeri 3,5, 5/7, 0,28, 5/49 e 1,96.

I logaritmi decimali dei numeri espressi in non più di quattro cifre si trovano direttamente dalle tabelle, e dalle tabelle si trova la mantissa del logaritmo desiderato e la caratteristica viene impostata in base al rango del numero dato.

Se il numero contiene più di quattro cifre, la ricerca del logaritmo è accompagnata da un calcolo aggiuntivo. La regola è: per trovare il logaritmo di un numero contenente più di quattro cifre, è necessario trovare nelle tabelle il numero indicato dalle prime quattro cifre e scrivere la mantissa corrispondente a queste quattro cifre; quindi moltiplica la differenza tabulare della mantissa per il numero formato dalle cifre scartate, nel prodotto, scarta da destra tante cifre quante sono state scartate nel numero dato, e somma il risultato alle ultime cifre della mantissa trovata; metti la caratteristica in accordo con il rango del numero dato.

Quando un numero viene cercato utilizzando un dato logaritmo e questo logaritmo è contenuto nelle tabelle, le cifre del numero cercato vengono trovate direttamente dalle tabelle e il rango del numero viene determinato in base alle caratteristiche del logaritmo dato.

Se questo logaritmo non è contenuto nelle tabelle, la ricerca del numero è accompagnata da un calcolo aggiuntivo. La regola è: per trovare il numero corrispondente ad un dato logaritmo, la cui mantissa non è contenuta nelle tabelle, è necessario trovare la mantissa minore più vicina e annotare le cifre del numero ad essa corrispondente; quindi moltiplicare la differenza tra la mantissa data e quella trovata per 10 e dividere il prodotto per la differenza tabulata; aggiungi la cifra risultante del quoziente a destra alle cifre scritte del numero, motivo per cui ottieni l'insieme di cifre desiderato; Il rango del numero deve essere determinato in base alle caratteristiche del logaritmo dato.

105. Trova i logaritmi dei numeri 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18,43, 2,05, 900,1, 0,73, 0,0028, 0,1008, 0,00005.

105. Trova il logaritmico dei numeri 15.154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8.315, 790.7, 0.09, 0.6745, 0.000745, 0.04257, 0.00071.

106. Trova i logaritmi dei numeri 2174.6, 1445.7, 2169.5, 8437.2, 46.472, 6.2853, 0.7893B, 0.054294, 631.074, 2.79556, 0.747428, 0.00237158.

106. Trova i logaritmi dei numeri 2578.4, 1323.6, 8170.5, 6245.3, 437.65, 87.268, 0.059372, 0.84938, 62.5475, 131.037, 0.593946, 0.00234261.

107. Trova i numeri corrispondenti ai logaritmi 3.16227, 3.59207, 2.93318, 0.41078, 1.60065, 2.756.86, 3.23528, 1.79692. 4.87800 5.14613.

107. Trova i numeri corrispondenti ai logaritmi 3.07372, 3.69205, 1.64904, 2.16107, 0.70364, 1.31952, 4.30814, 3.00087, 2.69949, 6.57978.

108. Trova il numero corrispondente ai logaritmi 3.57686, 3.16340, 2.40359, 1.09817, 4.49823, 2.83882, 1.50060, 3.30056, 1.17112, 4.25100.

108. Trova i numeri corrispondenti ai logaritmi 3.33720, 3.09875, 0.70093, 4.04640, 2.94004, 1.41509, 2.32649, 4.14631, 3.01290, 5.39003.

Logaritmi positivi dei numeri maggiori di uno lo sono somme aritmetiche le loro caratteristiche e mantisse. Pertanto, le operazioni con essi vengono eseguite secondo le normali regole aritmetiche.

Lo sono i logaritmi negativi dei numeri inferiori a uno somme algebriche caratteristica negativa e mantissa positiva. Pertanto, le operazioni con essi vengono eseguite secondo regole algebriche, che sono integrate da istruzioni speciali relative alla riduzione dei logaritmi negativi alla loro forma normale. Forma normale Un logaritmo negativo è quello in cui la caratteristica è un intero negativo e la mantissa è una frazione propria positiva.

Per convertire il vero logaritmo riflettente nella sua normale forma artificiale, è necessario aumentare valore assoluto il suo intero termine per uno e rendere il risultato una caratteristica negativa; quindi aggiungi tutte le cifre del termine frazionario a 9 e l'ultima a 10 e rendi il risultato una mantissa positiva. Ad esempio, -2,57928 = 3,42072.

Convertire la forma normale artificiale di un logaritmo nella sua forma vera valore negativo, è necessario ridurre di uno la caratteristica negativa e rendere il risultato un termine intero della somma negativa; quindi aggiungi tutte le cifre della mantissa a 9 e l'ultima a 10 e rendi il risultato un termine frazionario della stessa somma negativa. Ad esempio: 4.57406= -3.42594.

109. Converti i logaritmi nella forma artificiale -2.69537, -4, 21283, -0.54225, -1.68307, -3.53820, -5.89990.

109. Converti i logaritmi nella forma artificiale -3.21729, -1.73273, -5.42936, -0.51395, -2.43780, -4.22990.

110. Trova i valori reali dei logaritmi 1.33278, 3.52793, 2.95426, 4.32725, 1.39420, 5.67990.

110. Trova i valori reali dei logaritmi 2.45438, 1.73977, 3.91243, 5.12912, 2.83770, 4.28990.

Le regole per le operazioni algebriche con logaritmi negativi sono espresse come segue:

Per applicare un logaritmo negativo nella sua forma artificiale, è necessario applicare la mantissa e sottrarre il valore assoluto della caratteristica. Se l'aggiunta delle mantisse produce un numero intero numero positivo, quindi è necessario attribuirlo alla caratteristica del risultato, apportandovi una modifica adeguata. Per esempio,

3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

Per sottrarre un logaritmo negativo nella sua forma artificiale, è necessario sottrarre la mantissa e aggiungere il valore assoluto della caratteristica. Se la mantissa sottratta è grande, è necessario apportare una modifica alle caratteristiche del minuendo in modo da separare l'unità positiva dal minuendo. Per esempio,

2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

Per moltiplicare un logaritmo negativo per un numero intero positivo, devi moltiplicare separatamente la sua caratteristica e la mantissa. Se, moltiplicando la mantissa, viene identificato un numero intero positivo, è necessario attribuirlo alla caratteristica del risultato, apportandovi una modifica appropriata. Per esempio,

2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

Quando moltiplichi un logaritmo negativo per una quantità negativa, devi sostituire il moltiplicando con il suo valore vero.

Per dividere un logaritmo negativo per un numero intero positivo, è necessario separare separatamente la sua caratteristica e la mantissa. Se la caratteristica del dividendo non è esattamente divisibile per il divisore, è necessario modificarla in modo da includere più unità positive nella mantissa e rendere la caratteristica un multiplo del divisore. Per esempio,

3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

Quando dividi un logaritmo negativo per una quantità negativa, devi sostituire il dividendo con il suo valore reale.

Esegui i seguenti calcoli utilizzando le tabelle logaritmiche e verifica i risultati nei casi più semplici utilizzando i metodi ordinari:

174. Determina il volume di un cono la cui generatrice è 0,9134 piedi e il cui raggio di base è 0,04278 piedi.

175. Calcola il quindicesimo termine di una progressione multipla, il cui primo termine è 2 3/5 e il denominatore è 1,75.

175. Calcola il primo termine di una progressione multipla, il cui 11° termine è pari a 649,5 e il denominatore è 1,58.

176. Determinare il numero di fattori UN , UN 3 , UN 5 R . Trova qualcosa del genere UN , in cui il prodotto di 10 fattori è uguale a 100.

176. Determinare il numero di fattori. UN 2 , UN 6 , UN 10 ,.... in modo che il loro prodotto sia uguale al numero dato R . Trova qualcosa del genere UN , in cui il prodotto di 5 fattori è uguale a 10.

177. Il denominatore della progressione multipla è 1.075, la somma dei suoi 10 termini è 2017,8. Trova il primo termine.

177. Il denominatore della progressione multipla è 1,029, la somma dei suoi 20 termini è 8743,7. Trova il ventesimo termine.

178 . Esprimere il numero di termini di una progressione multipla dato il primo termine UN , ultimo e denominatore Q , quindi scegliendo casualmente valori numerici UN E tu , raccolta Q affinché N

178. Esprimere il numero di termini di una progressione multipla dato il primo termine UN , scorso E e denominatore Q E E Q , raccolta UN affinché N era un numero intero.

179. Determina il numero di fattori in modo che il loro prodotto sia uguale a R . Come deve essere R in modo da UN =0,5 e B =0,9 il numero di fattori era 10.

179. Determinare il numero di fattori in modo che il loro prodotto sia uguale R . Come deve essere R in modo da UN =0,2 e B =2 il numero di fattori era 10.

180. Esprimere il numero di termini di una progressione multipla dato il primo termine UN , lo seguirò E e il prodotto di tutti i membri R , e poi, scegliendo arbitrariamente valori numerici UN E R , raccolta E e poi il denominatore Q affinché E era un numero intero.

160. Esprimere il numero di termini di una progressione multipla dato il primo termine UN , l'ultimo ee il prodotto di tutti i termini R , quindi selezionando in modo casuale i valori numerici E E R , raccolta UN e poi il denominatore Q affinché N era un numero intero.

Risolvi le seguenti equazioni, dove possibile, senza l'aiuto delle tabelle e, dove no, con le tabelle:

Spesso prendono il numero dieci. Vengono chiamati logaritmi dei numeri in base dieci decimale. Quando si eseguono calcoli con il logaritmo decimale, è normale operare con il segno lg, non tronco d'albero; in questo caso non è indicato il numero dieci, che definisce la base. Sì, sostituiamo ceppo 10 105 a semplificato lg105; UN ceppo102 SU lg2.

Per logaritmi decimali sono tipiche le stesse caratteristiche che hanno i logaritmi con base maggiore di uno. Vale a dire, i logaritmi decimali sono caratterizzati esclusivamente per i numeri positivi. I logaritmi decimali dei numeri maggiori di uno sono positivi, mentre quelli dei numeri minori di uno sono negativi; di due numeri non negativi, il logaritmo decimale più grande è equivalente a quello più grande, ecc. Inoltre, i logaritmi decimali hanno caratteristiche distintive e caratteristiche peculiari che spiegano perché sia ​​comodo preferire il numero dieci come base dei logaritmi.

Prima di esaminare queste proprietà, familiarizziamo con le seguenti formulazioni.

Parte intera del logaritmo decimale di un numero UNè chiamato caratteristica, e quello frazionario lo è mantissa questo logaritmo.

Caratteristiche del logaritmo decimale di un numero UNè indicato come , e la mantissa come (lg UN}.

Prendiamo, ad esempio, log 2 ≈ 0,3010 Pertanto = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Allo stesso modo per log 543.1 ≈2.7349. Di conseguenza, = 2, (log 543,1)≈ 0,7349.

Il calcolo dei logaritmi decimali dei numeri positivi dalle tabelle è ampiamente utilizzato.

Caratteristiche caratteristiche dei logaritmi decimali.

Il primo segno del logaritmo decimale. non un tutto numero negativo, rappresentato da uno seguito da zeri, è un numero intero positivo uguale al numero di zeri nella voce del numero selezionato .

Prendiamo log 100 = 2, log 1 00000 = 5.

In generale, se

Quello UN= 10N , da cui otteniamo

lg a = lg 10 n = n lg 10 =N.

Secondo segno. Il dieci logaritmo di un decimale positivo, mostrato come uno con zeri iniziali, è - N, Dove N- il numero di zeri nella rappresentazione di questo numero, tenendo conto dei numeri interi zero.

Consideriamo , logaritmo 0,001 = - 3, logaritmo 0,000001 = -6.

In generale, se

,

Quello UN= 10-N e si scopre

lg=lg10N =-n log 10 =-n

Terzo segno. La caratteristica del logaritmo decimale di un numero non negativo maggiore di uno è pari al numero di cifre della parte intera di tale numero escluso l'uno.

Analizziamo questa caratteristica: 1) La caratteristica del logaritmo lg 75.631 è uguale a 1.

Infatti, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Ne consegue,

logaritmo 75.631 = 1+b,

Spostare il punto decimale in una frazione decimale a destra o a sinistra equivale all'operazione di moltiplicare questa frazione per una potenza di dieci con un esponente intero N(positivo o negativo). Pertanto, quando la virgola in una frazione decimale positiva viene spostata a sinistra o a destra, la mantissa del logaritmo decimale di questa frazione non cambia.

Quindi, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).