Ad esempio, la sequenza \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... è una progressione aritmetica, perché ogni elemento successivo differisce dal precedente di tre (si ottiene dal precedente sommando tre):

In questa progressione, la differenza \(d\) è positiva (pari a \(3\)), e quindi ogni termine successivo è maggiore del precedente. Tali progressioni sono chiamate in aumento.

Tuttavia, anche \(d\) può esserlo numero negativo. Per esempio, V progressione aritmetica\(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... la differenza di progressione \(d\) è pari a meno sei.

E in questo caso, ogni elemento successivo sarà più piccolo del precedente. Queste progressioni sono chiamate decrescente.

Notazione di progressione aritmetica

La progressione è indicata da una piccola lettera latina.

I numeri che formano una progressione vengono chiamati membri(o elementi).

Sono indicati con la stessa lettera di una progressione aritmetica, ma con un indice numerico pari al numero dell'elemento in ordine.

Ad esempio, la progressione aritmetica \(a_n = \sinistra\( 2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\) è costituita dagli elementi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e così via.

In altre parole, per la progressione \(a_n = \sinistra\(2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\)

Risoluzione di problemi di progressione aritmetica

In linea di principio, le informazioni presentate sopra sono già sufficienti per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica (compresi quelli offerti all'OGE).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni \(b_1=7; d=4\). Trova \(b_5\).
Soluzione:

Risposta: \(b_5=23\)

Esempio (OGE). Sono dati i primi tre termini di una progressione aritmetica: \(62; 49; 36…\) Trova il valore del primo termine negativo di questa progressione..
Soluzione:

	Ci vengono dati i primi elementi della sequenza e sappiamo che si tratta di una progressione aritmetica. Cioè ogni elemento differisce dal suo vicino per lo stesso numero. Scopriamo quale sottraendo il precedente dall'elemento successivo: \(d=49-62=-13\).
	Ora possiamo ripristinare la nostra progressione sull'elemento (primo negativo) di cui abbiamo bisogno.
	Pronto. Puoi scrivere una risposta.

Risposta: \(-3\)

Esempio (OGE). Dati più elementi consecutivi di una progressione aritmetica: \(…5; x; 10; 12,5...\) Trovare il valore dell'elemento indicato dalla lettera \(x\).
Soluzione:

	Per trovare \(x\), dobbiamo sapere quanto l'elemento successivo differisce da quello precedente, in altre parole, la differenza di progressione. Troviamolo da due elementi vicini noti: \(d=12.5-10=2.5\).
	E ora possiamo trovare facilmente ciò che stiamo cercando: \(x=5+2.5=7.5\).
	Pronto. Puoi scrivere una risposta.

Risposta: \(7,5\).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è definita dalle seguenti condizioni: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Trova la somma dei primi sei termini di questa progressione.
Soluzione:

Dobbiamo trovare la somma dei primi sei termini della progressione. Ma non ne conosciamo il significato; ci viene dato solo il primo elemento. Pertanto, calcoliamo prima i valori uno per uno, utilizzando quanto ci viene dato: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) E dopo aver calcolato i sei elementi di cui abbiamo bisogno, troviamo la loro somma.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

L'importo richiesto è stato trovato.

Risposta: \(S_6=9\).

Esempio (OGE). Nella progressione aritmetica \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trova la differenza di questa progressione.
Soluzione:

Risposta: \(d=7\).

Formule importanti per la progressione aritmetica

Come puoi vedere, molti problemi sulla progressione aritmetica possono essere risolti semplicemente comprendendo la cosa principale: che una progressione aritmetica è una catena di numeri, e ogni elemento successivo di questa catena si ottiene aggiungendo lo stesso numero a quello precedente (il differenza della progressione).

Tuttavia, a volte ci sono situazioni in cui decidere “frontalmente” è molto scomodo. Ad esempio, immagina che nel primo esempio non dobbiamo trovare il quinto elemento \(b_5\), ma il trecentottantaseiesimo \(b_(386)\). Dovremmo aggiungere quattro \(385\) volte? Oppure immagina che nel penultimo esempio devi trovare la somma dei primi settantatré elementi. Sarai stanco di contare...

Pertanto in questi casi non risolvono le cose “di petto”, ma utilizzano formule speciali derivate dalla progressione aritmetica. E le principali sono la formula per l'n-esimo termine della progressione e la formula per la somma dei \(n\) primi termini.

Formula del \(n\)esimo termine: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dove \(a_1\) è il primo termine della progressione;
\(n\) – numero dell'elemento richiesto;
\(a_n\) – termine della progressione con il numero \(n\).

Questa formula ci permette di trovare velocemente anche il trecentesimo o il milionesimo elemento, conoscendo solo il primo e la differenza della progressione.

Esempio. La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Trova \(b_(246)\).
Soluzione:

Risposta: \(b_(246)=1850\).

Formula per la somma dei primi n termini: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), dove

\(a_n\) – l'ultimo termine sommato;

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni \(a_n=3.4n-0.6\). Trova la somma dei primi \(25\) termini di questa progressione.
Soluzione:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Per calcolare la somma dei primi venticinque termini, dobbiamo conoscere il valore del primo e del venticinquesimo termine. La nostra progressione è data dalla formula dell'ennesimo termine in funzione del suo numero (per maggiori dettagli vedi). Calcoliamo il primo elemento sostituendolo con \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Ora troviamo il venticinquesimo termine sostituendo venticinque invece di \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Bene, ora possiamo facilmente calcolare l'importo richiesto.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		La risposta è pronta.

Risposta: \(S_(25)=1090\).

Per la somma \(n\) dei primi termini, puoi ottenere un'altra formula: devi solo \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) invece di \(a_n\) sostituisci la formula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Otteniamo:

Formula per la somma dei primi n termini: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), dove

\(S_n\) – la somma richiesta dei primi elementi \(n\);
\(a_1\) – il primo termine sommato;
\(d\) – differenza di progressione;
\(n\) – numero di elementi in totale.

Esempio. Trovare la somma dei primi \(33\)-ex termini della progressione aritmetica: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Soluzione:

Risposta: \(S_(33)=-231\).

Problemi di progressione aritmetica più complessi

Ora hai tutto informazioni necessarie per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica. Terminiamo l'argomento considerando i problemi in cui non solo è necessario applicare formule, ma anche pensare un po' (in matematica può essere utile ☺)

Esempio (OGE). Trova la somma di tutti i termini negativi della progressione: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Soluzione:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Il compito è molto simile al precedente. Iniziamo a risolvere la stessa cosa: prima troviamo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Ora vorrei sostituire \(d\) nella formula per la somma... e qui emerge una piccola sfumatura: non sappiamo \(n\). In altre parole, non sappiamo quanti termini dovranno essere aggiunti. Come scoprirlo? Pensiamo. Smetteremo di aggiungere elementi quando raggiungeremo il primo elemento positivo. Cioè, devi scoprire il numero di questo elemento. Come? Scriviamo la formula per calcolare qualsiasi elemento di una progressione aritmetica: \(a_n=a_1+(n-1)d\) per il nostro caso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		È necessario che \(a_n\) diventi maggiore di zero. Scopriamo a cosa \(n\) accadrà questo.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Dividiamo entrambi i membri della disuguaglianza per \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Trasferiamo meno uno, senza dimenticare di cambiare i segni
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Calcoliamo...
\(n>65.333…\)		...e risulta che il primo elemento positivo avrà il numero \(66\). Di conseguenza, l'ultimo negativo ha \(n=65\). Per ogni evenienza, controlliamo questo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Quindi dobbiamo aggiungere i primi elementi \(65\).
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cpunto 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		La risposta è pronta.

Risposta: \(S_(65)=-630,5\).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trova la somma dal \(26\)esimo all'elemento \(42\) compreso.
Soluzione:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Anche in questo problema devi trovare la somma degli elementi, ma non partendo dal primo, ma dal \(26\)esimo. Per un caso del genere non abbiamo una formula. Come decidere? È facile: per ottenere la somma dal \(26\)esimo al \(42\)esimo, devi prima trovare la somma dal \(1\)esimo al \(42\)esimo, quindi sottrarre da esso la somma dal primo al \(25\)esimo (vedi immagine).
	Per la nostra progressione \(a_1=-33\) e la differenza \(d=4\) (dopo tutto, aggiungiamo il quattro all'elemento precedente per trovare quello successivo). Sapendo questo, troviamo la somma dei primi elementi \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cpunto 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Ora la somma dei primi \(25\) elementi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cpunto 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	E infine, calcoliamo la risposta.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Risposta: \(S=1683\).

Per quanto riguarda la progressione aritmetica, ci sono molte altre formule che non abbiamo considerato in questo articolo a causa della loro scarsa utilità pratica. Tuttavia, puoi trovarli facilmente.

Oppure l'aritmetica è un tipo di sequenza numerica ordinata, le cui proprietà vengono studiate corso scolastico algebra. Questo articolo discute in dettaglio la questione di come trovare la somma di una progressione aritmetica.

Che tipo di progressione è questa?

Prima di passare alla questione (come trovare la somma di una progressione aritmetica), è bene capire di cosa stiamo parlando.

Qualsiasi sequenza di numeri reali ottenuta aggiungendo (sottraendo) un valore da ciascun numero precedente è chiamata progressione algebrica (aritmetica). Questa definizione, tradotta in linguaggio matematico, assume la forma:

Eccomi - numero di serie elemento della serie a i . Pertanto, conoscendo un solo numero iniziale, puoi facilmente ripristinare l'intera serie. Il parametro d nella formula è chiamato differenza di progressione.

Si può facilmente dimostrare che per la serie di numeri in esame vale la seguente uguaglianza:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Cioè, per trovare il valore dell'ennesimo elemento in ordine, dovresti aggiungere la differenza d al primo elemento a 1 n-1 volte.

Qual è la somma di una progressione aritmetica: formula

Prima di fornire la formula per l'importo indicato, vale la pena considerare un semplice caso speciale. La progressione è data numeri naturali da 1 a 10 bisogna trovare la loro somma. Dato che nella progressione (10) ci sono pochi termini, è possibile risolvere il problema frontalmente, cioè sommare tutti gli elementi in ordine.

S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Una cosa che vale la pena considerare cosa interessante: poiché ogni termine differisce dal successivo per lo stesso valore d = 1, allora la somma a coppie del primo con il decimo, del secondo con il nono e così via darà lo stesso risultato. Veramente:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Come puoi vedere, queste somme sono solo 5, cioè esattamente due volte inferiori al numero degli elementi della serie. Moltiplicando poi il numero di somme (5) per il risultato di ciascuna somma (11), si arriverà al risultato ottenuto nel primo esempio.

Se generalizziamo questi argomenti, possiamo scrivere la seguente espressione:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Questa espressione mostra che non è affatto necessario sommare tutti gli elementi di una riga è sufficiente conoscere il valore del primo a 1 e dell'ultimo a n ; numero totale n termini.

Si ritiene che Gauss sia stato il primo a pensare a questa uguaglianza quando cercava una soluzione a un determinato problema. insegnante di scuola compito: sommare i primi 100 numeri interi.

Somma degli elementi da m a n: formula

La formula riportata nel paragrafo precedente risponde alla domanda su come trovare la somma di una progressione aritmetica (i primi elementi), ma spesso nei problemi è necessario sommare una serie di numeri a metà della progressione. Come farlo?

Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è considerare il seguente esempio: sia necessario trovare la somma dei termini dall'm-esimo all'n-esimo. Per risolvere il problema, dovresti presentare il segmento dato da m a n della progressione sotto forma di una nuova serie numerica. In questo m-esima rappresentazione il termine a m sarà il primo e a n sarà numerato n-(m-1). In questo caso, applicando la formula standard per la somma, si otterrà la seguente espressione:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Esempio di utilizzo delle formule

Sapendo come trovare la somma di una progressione aritmetica, vale la pena considerare un semplice esempio di utilizzo delle formule di cui sopra.

Di seguito è riportata una sequenza numerica, dovresti trovare la somma dei suoi termini, partendo dal 5 e terminando con il 12:

I numeri indicati indicano che la differenza d è uguale a 3. Utilizzando l'espressione per l'ennesimo elemento, puoi trovare i valori del 5° e 12° termine della progressione. Si scopre:

a5 = a1 + d*4 = -4+3*4 = 8;

a12 = a1 + d*11 = -4+3*11 = 29.

Conoscere i valori dei numeri agli estremi del dato progressione algebrica, e sapendo anche quali numeri occupano nella riga, puoi utilizzare la formula per l'importo ottenuto nel paragrafo precedente. Risulterà:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Vale la pena notare che questo valore potrebbe essere ottenuto in modo diverso: prima trovare la somma dei primi 12 elementi utilizzando la formula standard, quindi calcolare la somma dei primi 4 elementi utilizzando la stessa formula, quindi sottrarre il secondo dalla prima somma.

Livello base

Progressione aritmetica. Teoria dettagliata con esempi (2019)

Sequenza numerica

Quindi sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:
Puoi scrivere qualsiasi numero e possono essercene quanti vuoi (nel nostro caso ce ne sono). Non importa quanti numeri scriviamo, possiamo sempre dire quale è il primo, quale è il secondo e così via fino all'ultimo, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica:

Sequenza numerica
Ad esempio, per la nostra sequenza:

Il numero assegnato è specifico per un solo numero nella sequenza. In altre parole, non ci sono numeri di tre secondi nella sequenza. Il secondo numero (come il numero 10) è sempre lo stesso.
Il numero con numero è chiamato l'esimo termine della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza con una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza è la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

Nel nostro caso:

Diciamo di avere una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.
Per esempio:

ecc.
Questa sequenza numerica è chiamata progressione aritmetica.
Il termine "progressione" fu introdotto dall'autore romano Boezio già nel VI secolo e fu inteso in un senso più ampio come una sequenza numerica infinita. Il nome "aritmetica" è stato trasferito dalla teoria delle proporzioni continue, studiata dagli antichi greci.

Questa è una sequenza numerica, ciascun membro della quale è uguale al precedente sommato allo stesso numero. Questo numero è chiamato differenza di una progressione aritmetica ed è designato.

Prova a determinare quali sequenze numeriche sono una progressione aritmetica e quali no:

UN)
B)
C)
D)

Fatto? Confrontiamo le nostre risposte:
È progressione aritmetica - b, c.
Non lo è progressione aritmetica - a, d.

Torniamo alla progressione data () e proviamo a trovare il valore del suo-esimo termine. Esiste due modo per trovarlo.

1. Metodo

Possiamo aggiungere il numero di progressione al valore precedente fino a raggiungere il trentesimo termine della progressione. È positivo che non abbiamo molto da riassumere: solo tre valori:

Quindi, l'esimo termine della progressione aritmetica descritta è uguale a.

2. Metodo

E se volessimo trovare il valore dell'esimo termine della progressione? La somma richiederebbe più di un'ora e non è un dato di fatto che non commetteremo errori nell'addizione dei numeri.
Naturalmente i matematici hanno escogitato un modo in cui non è necessario aggiungere la differenza di una progressione aritmetica al valore precedente. Dai un'occhiata più da vicino all'immagine disegnata... Sicuramente hai già notato un certo schema, vale a dire:

Vediamo ad esempio in cosa consiste il valore dell’esimo termine di questa progressione aritmetica:


In altre parole:

Prova a trovare tu stesso il valore di un membro di una determinata progressione aritmetica in questo modo.

Hai calcolato? Confronta i tuoi appunti con la risposta:

Tieni presente che hai ottenuto esattamente lo stesso numero del metodo precedente, quando abbiamo aggiunto in sequenza i termini della progressione aritmetica al valore precedente.
Proviamo a “spersonalizzare” questa formula: portiamola dentro visione generale e otteniamo:

Equazione di progressione aritmetica.

Le progressioni aritmetiche possono essere crescenti o decrescenti.

In aumento- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è maggiore del precedente.
Per esempio:

Discendente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è inferiore al precedente.
Per esempio:

La formula derivata viene utilizzata nel calcolo dei termini sia in termini crescenti che decrescenti di una progressione aritmetica.
Controlliamolo in pratica.
Ci viene data una progressione aritmetica composta dai seguenti numeri: Controlliamo quale sarà l'esimo numero di questa progressione aritmetica se utilizziamo la nostra formula per calcolarla:

Da allora:

Pertanto, siamo convinti che la formula operi sia in progressione aritmetica decrescente che crescente.
Prova a trovare tu stesso l'esimo e l'esimo termine di questa progressione aritmetica.

Confrontiamo i risultati:

Proprietà di progressione aritmetica

Complichiamo il problema: ricaveremo la proprietà della progressione aritmetica.
Diciamo che ci viene data la seguente condizione:
- progressione aritmetica, trova il valore.
Facile, dici e inizi a contare secondo la formula che già conosci:

Lasciamo, ah, allora:

Assolutamente vero. Si scopre che prima troviamo, quindi lo aggiungiamo al primo numero e otteniamo ciò che stiamo cercando. Se la progressione è rappresentata da piccoli valori, non c'è nulla di complicato in questo, ma cosa succede se nella condizione ci vengono forniti dei numeri? D'accordo, c'è la possibilità di commettere un errore nei calcoli.
Ora pensa se è possibile risolvere questo problema in un solo passaggio utilizzando qualsiasi formula? Naturalmente sì, ed è quello che cercheremo di far emergere adesso.

Indichiamo il termine richiesto della progressione aritmetica come, la formula per trovarlo ci è nota - questa è la stessa formula che abbiamo derivato all'inizio:
, Poi:

• il termine precedente della progressione è:
• il termine successivo della progressione è:

Riassumiamo i termini precedenti e successivi della progressione:

Risulta che la somma dei termini precedente e successivo della progressione è il doppio valore del termine di progressione situato tra di loro. In altre parole, per trovare il valore di un termine di progressione con valori precedenti e successivi noti, è necessario sommarli e dividere per.

Esatto, abbiamo lo stesso numero. Mettiamo al sicuro il materiale. Calcola tu stesso il valore della progressione, non è affatto difficile.

Ben fatto! Sai quasi tutto sulla progressione! Resta da scoprire solo una formula che, secondo la leggenda, fu facilmente dedotta da uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, il "re dei matematici" - Karl Gauss...

Quando Carl Gauss aveva 9 anni, un insegnante, impegnato a controllare il lavoro degli studenti di altre classi, assegnò in classe il seguente compito: "Calcola la somma di tutti i numeri naturali da a (secondo altre fonti a) compreso". Immaginate la sorpresa dell'insegnante quando uno dei suoi studenti (era Karl Gauss) un minuto dopo diede la risposta corretta al compito, mentre la maggior parte dei compagni di classe del temerario, dopo lunghi calcoli, ricevettero il risultato sbagliato...

Il giovane Carl Gauss notò un certo schema che puoi facilmente notare anche tu.
Diciamo di avere una progressione aritmetica composta da -esimi termini: dobbiamo trovare la somma di questi termini della progressione aritmetica. Naturalmente possiamo sommare manualmente tutti i valori, ma cosa succede se il compito richiede di trovare la somma dei suoi termini, come cercava Gauss?

Descriviamo la progressione che ci è stata data. Osserva da vicino i numeri evidenziati e prova a eseguire varie operazioni matematiche con essi.


L'hai provato? Cosa hai notato? Giusto! Le loro somme sono uguali

Ora dimmi, quante coppie di questo tipo ci sono in totale nella progressione che ci è stata data? Naturalmente, esattamente la metà di tutti i numeri.
Basandosi sul fatto che la somma di due termini di una progressione aritmetica è uguale, e le coppie simili sono uguali, otteniamo che la somma totale è pari a:
.
Pertanto, la formula per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

In alcuni problemi non conosciamo l'esimo termine, ma conosciamo la differenza della progressione. Prova a sostituire la formula dell'esimo termine nella formula della somma.
Cosa hai ottenuto?

Ben fatto! Ora torniamo al problema posto a Carl Gauss: calcola tu stesso a cosa è uguale la somma dei numeri che iniziano dal -esimo e la somma dei numeri che iniziano dal -esimo.

Quanto hai ottenuto?
Gauss scoprì che la somma dei termini è uguale e la somma dei termini. È questo che hai deciso?

In effetti, la formula per la somma dei termini di una progressione aritmetica fu dimostrata dall'antico scienziato greco Diofanto nel III secolo e durante tutto questo tempo le persone spiritose sfruttarono appieno le proprietà della progressione aritmetica.
Ad esempio, immagina Antico Egitto e il più grande progetto di costruzione di quel tempo: la costruzione di una piramide... L'immagine ne mostra un lato.

Dov'è la progressione qui, dici? Osserva attentamente e trova uno schema nel numero di blocchi di sabbia in ciascuna fila del muro della piramide.


Perché non una progressione aritmetica? Calcola quanti blocchi sono necessari per costruire un muro se i mattoni sono posizionati alla base. Spero che non conterai muovendo il dito sul monitor, ricordi l'ultima formula e tutto quello che abbiamo detto sulla progressione aritmetica?

In questo caso, la progressione è la seguente: .
Differenza di progressione aritmetica.
Il numero di termini di una progressione aritmetica.
Sostituiamo i nostri dati nelle ultime formule (calcola il numero di blocchi in 2 modi).

Metodo 1.

Metodo 2.

E ora puoi calcolare sul monitor: confronta i valori ottenuti con il numero di blocchi presenti nella nostra piramide. Fatto? Ben fatto, hai padroneggiato la somma degli n-esimi termini di una progressione aritmetica.
Ovviamente non puoi costruire una piramide con i blocchi alla base, ma da? Prova a calcolare quanti mattoni di sabbia sono necessari per costruire un muro con questa condizione.
Ci sei riuscito?
La risposta corretta è blocchi:

Formazione

Compiti:

1. Masha si sta rimettendo in forma per l'estate. Ogni giorno aumenta il numero di squat di. Quante volte Masha farà gli squat in una settimana se li ha fatti al primo allenamento?
2. Qual è la somma di tutti i numeri dispari contenuti in.
3. Quando archiviano i log, i logger li impilano in modo tale che ciascuno strato superiore contiene un log in meno rispetto al precedente. Quanti tronchi ci sono in una muratura, se la fondazione della muratura è costituita da tronchi?

Risposte:

1. Definiamo i parametri della progressione aritmetica. In questo caso
   (settimane = giorni).

   Risposta: Tra due settimane, Masha dovrebbe fare squat una volta al giorno.

2. Primo numero dispari, ultimo numero.
   Differenza di progressione aritmetica.
   Il numero di numeri dispari è la metà, tuttavia controlliamo questo fatto utilizzando la formula per trovare l'esimo termine di una progressione aritmetica:

   I numeri contengono numeri dispari.
   Sostituiamo i dati disponibili nella formula:

   Risposta: La somma di tutti i numeri dispari contenuti è uguale.

3. Ricordiamo il problema delle piramidi. Nel nostro caso, a , poiché ogni strato superiore viene ridotto di un log, quindi in totale ci sono un mucchio di strati.
   Sostituiamo i dati nella formula:

   Risposta: Ci sono tronchi nella muratura.

Riassumiamo

1. - una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale. Può essere in aumento o in diminuzione.
2. Trovare la formula L'esimo termine di una progressione aritmetica è scritto dalla formula - , dove è il numero di numeri nella progressione.
3. Proprietà dei membri di una progressione aritmetica- - dove è il numero di numeri in progressione.
4. La somma dei termini di una progressione aritmetica può essere trovato in due modi:
   
   , dove è il numero di valori.

PROGRESSIONE ARITMETICA. LIVELLO MEDIO

Sequenza numerica

Sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:

Puoi scrivere qualsiasi numero e possono essercene quanti vuoi. Ma possiamo sempre dire quale è il primo, quale il secondo e così via, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica.

Sequenza numericaè un insieme di numeri, a ciascuno dei quali può essere assegnato un numero univoco.

In altre parole, ogni numero può essere associato a un certo numero naturale e unico. E non assegneremo questo numero a nessun altro numero di questo set.

Il numero con il numero è chiamato l'esimo membro della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza con una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza è la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

È molto conveniente se l'esimo termine della successione può essere specificato da qualche formula. Ad esempio, la formula

imposta la sequenza:

E la formula è la seguente sequenza:

Ad esempio, una progressione aritmetica è una sequenza (il primo termine qui è uguale e la differenza lo è). Oppure (, differenza).

formula dell'ennesimo termine

Chiamiamo ricorrente una formula in cui, per scoprire l'esimo termine, è necessario conoscere il precedente o più precedenti:

Per trovare, ad esempio, l'esimo termine della progressione utilizzando questa formula, dovremo calcolare i nove precedenti. Ad esempio, lascialo. Poi:

Bene, ora è chiaro qual è la formula?

In ogni riga aggiungiamo, moltiplicato per un numero. Quale? Molto semplice: questo è il numero del membro attuale meno:

Molto più conveniente adesso, vero? Controlliamo:

Decidi tu stesso:

In una progressione aritmetica, trova la formula per l'ennesimo termine e trova il centesimo termine.

Soluzione:

Il primo termine è uguale. Qual è la differenza? Ecco cosa:

(Per questo si chiama differenza perché è uguale alla differenza di termini successivi della progressione).

Quindi, la formula:

Allora il centesimo termine è uguale a:

Qual è la somma di tutti i numeri naturali da a?

Secondo la leggenda, il grande matematico Carl Gauss, da bambino di 9 anni, calcolò questo importo in pochi minuti. Notò che la somma del primo e ultimo appuntamentoè uguale, la somma del secondo e del penultimo è uguale, la somma del terzo e del terzo dalla fine è uguale, e così via. Quante coppie di questo tipo ci sono in totale? Esatto, esattamente la metà di tutti i numeri, cioè. COSÌ,

La formula generale per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

Esempio:
Trova la somma di tutto numeri a doppia cifra, multipli.

Soluzione:

Il primo di questi numeri è questo. Ogni numero successivo si ottiene aggiungendo al numero precedente. Pertanto, i numeri che ci interessano formano una progressione aritmetica con il primo termine e la differenza.

Formula dell'esimo termine per questa progressione:

Quanti termini ci sono in una progressione se devono essere tutti a due cifre?

Molto semplice: .

L'ultimo termine della progressione sarà uguale. Quindi la somma:

Risposta: .

Ora decidi tu stesso:

1. Ogni giorno l'atleta percorre più metri rispetto al giorno precedente. Quanti chilometri totali correrà in una settimana, se il primo giorno ha corso km m?
2. Ogni giorno un ciclista percorre più chilometri del giorno precedente. Il primo giorno ha percorso km. Quanti giorni ha bisogno di viaggiare per percorrere un chilometro? Quanti chilometri percorrerà durante l'ultimo giorno del suo viaggio?
3. Il prezzo di un frigorifero in un negozio diminuisce della stessa quantità ogni anno. Determina quanto è diminuito il prezzo di un frigorifero ogni anno se, messo in vendita per rubli, sei anni dopo è stato venduto per rubli.

Risposte:

1. La cosa più importante qui è riconoscere la progressione aritmetica e determinarne i parametri. In questo caso, (settimane = giorni). È necessario determinare la somma dei primi termini di questa progressione:
   .
   Risposta:
2. Qui è dato: , deve essere trovato.
   Ovviamente, è necessario utilizzare la stessa formula di somma del problema precedente:
   .
   Sostituisci i valori:

   La radice ovviamente non va bene, quindi la risposta è.
   Calcoliamo il percorso percorso nell'ultimo giorno utilizzando la formula dell'esimo termine:
   (km).
   Risposta:

3. Dato: . Trovare: .
   Non potrebbe essere più semplice:
   (strofinare).
   Risposta:

PROGRESSIONE ARITMETICA. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Questa è una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.

La progressione aritmetica può essere crescente () e decrescente ().

Per esempio:

Formula per trovare l'ennesimo termine di una progressione aritmetica

è scritto dalla formula, dove è il numero di numeri in progressione.

Proprietà dei membri di una progressione aritmetica

Ti consente di trovare facilmente un termine di una progressione se sono noti i termini vicini: dov'è il numero di numeri nella progressione.

Somma dei termini di una progressione aritmetica

Esistono due modi per trovare l'importo:

Dov'è il numero di valori.

Dov'è il numero di valori.

Quando studi l'algebra in scuola media(9a elementare) uno degli argomenti importanti è lo studio delle sequenze numeriche, che includono progressioni geometriche e aritmetiche. In questo articolo esamineremo una progressione aritmetica ed esempi con soluzioni.

Cos'è una progressione aritmetica?

Per capirlo, è necessario definire la progressione in questione, nonché fornire le formule di base che verranno utilizzate successivamente per risolvere i problemi.

Aritmetica o è un insieme di numeri razionali ordinati, ciascun membro dei quali differisce dal precedente per un valore costante. Questo valore è chiamato differenza. Cioè, conoscendo qualsiasi membro di una serie ordinata di numeri e la differenza, è possibile ripristinare l'intera progressione aritmetica.

Facciamo un esempio. La seguente sequenza di numeri sarà una progressione aritmetica: 4, 8, 12, 16, ..., poiché la differenza in questo caso è 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ma l'insieme dei numeri 3, 5, 8, 12, 17 non può più essere attribuito al tipo di progressione in esame, poiché la differenza per esso non è un valore costante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formule importanti

Presentiamo ora le formule di base che saranno necessarie per risolvere i problemi utilizzando la progressione aritmetica. Indichiamo con il simbolo a n ennesimo termine sequenze in cui n è un numero intero. Indichiamo la differenza Lettera latina D. Allora valgono le seguenti espressioni:

1. Per determinare il valore dell'n-esimo termine è adatta la seguente formula: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Per determinare la somma dei primi n termini: S n = (a n +a 1)*n/2.

Per comprendere eventuali esempi di progressione aritmetica con soluzioni in 9a elementare, è sufficiente ricordare queste due formule, poiché eventuali problemi del tipo in questione si basano sul loro utilizzo. Dovresti anche ricordare che la differenza di progressione è determinata dalla formula: d = a n - a n-1.

Esempio n. 1: trovare un termine sconosciuto

Facciamo un semplice esempio di progressione aritmetica e le formule da utilizzare per risolverla.

Lascia che sia data la sequenza 10, 8, 6, 4, ..., devi trovare cinque termini in essa.

Dalle condizioni del problema risulta già che i primi 4 termini sono noti. La quinta può essere definita in due modi:

1. Calcoliamo prima la differenza. Abbiamo: d = 8 - 10 = -2. Allo stesso modo, potresti prendere altri due membri qualsiasi uno accanto all'altro. Ad esempio, d = 4 - 6 = -2. Poiché è noto che d = a n - a n-1, allora d = a 5 - a 4, da cui si ottiene: a 5 = a 4 + d. Sostituiamo valori conosciuti: un 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Anche il secondo metodo richiede la conoscenza della differenza della progressione in questione, quindi è necessario prima determinarla come mostrato sopra (d = -2). Sapendo che il primo termine a 1 = 10, utilizzeremo la formula per il numero n della sequenza. Abbiamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Sostituendo n = 5 nell'ultima espressione, otteniamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Come puoi vedere, entrambe le soluzioni hanno portato allo stesso risultato. Si noti che in questo esempio la differenza di progressione d è un valore negativo. Tali sequenze sono dette decrescenti, poiché ogni termine successivo è minore del precedente.

Esempio n.2: differenza di progressione

Ora complichiamo un po' il compito, forniamo un esempio di come trovare la differenza di una progressione aritmetica.

È noto che in alcune progressioni algebriche il 1° termine è uguale a 6 e il 7° termine è uguale a 18. È necessario trovare la differenza e ripristinare questa sequenza al 7° termine.

Usiamo la formula per determinare il termine sconosciuto: a n = (n - 1) * d + a 1 . Sostituiamo in essa i dati noti della condizione, cioè i numeri a 1 e a 7, abbiamo: 18 = 6 + 6 * d. Da questa espressione puoi facilmente calcolare la differenza: d = (18 - 6) /6 = 2. Abbiamo così risposto alla prima parte del problema.

Per riportare la sequenza al 7° termine, dovresti usare la definizione di progressione algebrica, cioè a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d e così via. Ripristiniamo di conseguenza l'intera sequenza: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16, un 7 = 18.

Esempio n.3: redazione di una progressione

Complichiamo ancora di più il problema. Ora dobbiamo rispondere alla domanda su come trovare una progressione aritmetica. Si può fare il seguente esempio: vengono dati due numeri, ad esempio 4 e 5. È necessario creare una progressione algebrica in modo che tra questi vengano inseriti altri tre termini.

Prima di iniziare a risolvere questo problema, devi capire quale posto occuperanno i numeri indicati nella progressione futura. Dato che ci saranno altri tre termini tra loro, allora a 1 = -4 e a 5 = 5. Stabilito questo, passiamo al problema, che è simile al precedente. Ancora una volta, per l'ennesimo termine usiamo la formula, otteniamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Da: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ciò che abbiamo qui non è un valore intero della differenza, ma lo è numero razionale, quindi le formule per la progressione algebrica rimangono le stesse.

Ora aggiungiamo la differenza trovata a 1 e ripristiniamo i termini mancanti della progressione. Otteniamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, che coincideva con le condizioni del problema.

Esempio n.4: primo termine della progressione

Continuiamo a fornire esempi di progressione aritmetica con soluzioni. In tutti i problemi precedenti era noto il primo numero della progressione algebrica. Consideriamo ora un problema di tipo diverso: siano dati due numeri, dove a 15 = 50 e a 43 = 37. È necessario trovare con quale numero inizia questa sequenza.

Le formule finora utilizzate presuppongono la conoscenza di a 1 e d. Nella dichiarazione del problema non si sa nulla di questi numeri. Tuttavia, scriveremo le espressioni per ciascun termine su cui sono disponibili informazioni: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Abbiamo ricevuto due equazioni in cui ci sono 2 quantità sconosciute (a 1 e d). Ciò significa che il problema si riduce alla soluzione di un sistema di equazioni lineari.

Il modo più semplice per risolvere questo sistema è esprimere un 1 in ciascuna equazione e quindi confrontare le espressioni risultanti. Prima equazione: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; seconda equazione: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Uguagliando queste espressioni, otteniamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, da cui la differenza d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (sono fornite solo 3 cifre decimali).

Conoscendo d, puoi usare una qualsiasi delle 2 espressioni sopra per un 1. Ad esempio, primo: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Se hai dubbi sul risultato ottenuto, puoi verificarlo, ad esempio, determinare il 43° termine della progressione, che è specificato nella condizione. Otteniamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Il piccolo errore è dovuto al fatto che nei calcoli è stato utilizzato l'arrotondamento ai millesimi.

Esempio n.5: importo

Consideriamo ora alcuni esempi con soluzioni per la somma di una progressione aritmetica.

Sia data una progressione numerica il seguente tipo: 1, 2, 3, 4, ...,. Come calcolare la somma di 100 di questi numeri?

Grazie allo sviluppo tecnologia informatica Puoi risolvere questo problema, ovvero aggiungere tutti i numeri in sequenza, cosa che il computer farà immediatamente non appena una persona preme il tasto Invio. Tuttavia, il problema può essere risolto mentalmente se si presta attenzione che la serie di numeri presentata è una progressione algebrica e la sua differenza è uguale a 1. Applicando la formula per la somma, otteniamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

È interessante notare che questo problema è chiamato “gaussiano” perché all’inizio del XVIII secolo il famoso tedesco, ancora solo 10enne, riuscì a risolverlo mentalmente in pochi secondi. Il ragazzo non conosceva la formula per sommare una progressione algebrica, ma notò che se si sommano a coppie i numeri agli estremi della sequenza si ottiene sempre lo stesso risultato, cioè 1+100=2+99 = 3 + 98 = ..., e poiché queste somme saranno esattamente 50 (100/2), allora per ottenere la risposta corretta è sufficiente moltiplicare 50 per 101.

Esempio n.6: somma dei termini da n a m

Un altro tipico esempio di somma di una progressione aritmetica è il seguente: data una serie di numeri: 3, 7, 11, 15, ..., bisogna trovare a quanto sarà uguale la somma dei suoi termini da 8 a 14 .

Il problema si risolve in due modi. Il primo consiste nel trovare i termini sconosciuti da 8 a 14 e poi sommarli in sequenza. Poiché ci sono pochi termini, questo metodo non richiede molta manodopera. Tuttavia, si propone di risolvere questo problema utilizzando un secondo metodo, più universale.

L'idea è di ottenere una formula per la somma della progressione algebrica tra i termini m ed n, dove n > m sono numeri interi. In entrambi i casi scriviamo due espressioni per la somma:

1. S m = m * (am + a 1) / 2.
2. S n = n * (an + a 1) / 2.

Poiché n > m, è ovvio che la 2a somma include la prima. L'ultima conclusione significa che se prendiamo la differenza tra queste somme e vi aggiungiamo il termine a m (nel caso della differenza, viene sottratto dalla somma S n), otterremo la risposta necessaria al problema. Abbiamo: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). È necessario sostituire le formule per a n e m in questa espressione. Quindi otteniamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

La formula risultante è un po' complicata, tuttavia la somma S mn dipende solo da n, m, a 1 e d. Nel nostro caso a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Sostituendo questi numeri, otteniamo: S mn = 301.

Come si può vedere dalle soluzioni di cui sopra, tutti i problemi si basano sulla conoscenza dell'espressione per l'ennesimo termine e della formula per la somma dell'insieme dei primi termini. Prima di iniziare a risolvere uno qualsiasi di questi problemi, si consiglia di leggere attentamente la condizione, comprendere chiaramente cosa si desidera trovare e solo successivamente procedere con la soluzione.

Un altro suggerimento è quello di tendere alla semplicità, cioè se puoi rispondere a una domanda senza utilizzare calcoli matematici complessi, allora devi farlo, poiché in questo caso la probabilità di commettere un errore è inferiore. Ad esempio, nell'esempio di una progressione aritmetica con la soluzione n. 6, ci si potrebbe fermare alla formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e dividi il problema complessivo in sottoattività separate (in questo caso, trova prima i termini a n e a m).

Se si hanno dubbi sul risultato ottenuto si consiglia di verificarlo, come è stato fatto in alcuni degli esempi riportati. Abbiamo scoperto come trovare una progressione aritmetica. Se lo capisci, non è così difficile.