>> Lezione 13. Divisione per numeri a due e tre cifre

Dividere 876 per 24. Calcolando 800: 20 = 40 si vede che la risposta dovrebbe essere un numero vicino a 40.

Come per la divisione per un numero a una cifra, passeremo in sequenza dalla divisione di unità di conteggio più grandi alla divisione di unità più piccole.

Il numero di centinaia 8 è a una cifra, quindi dividiamo 87 decine per 24. Ottieni 3 decine e rimangono altre 15 decine (87 - 3 24 = 15). 15 decine e 6 unità fanno 156. E se 156 viene diviso per 24, ottieni 6 e 12 come resto (156 - 24 6 = 12). In totale ottieni 3 decine e 6 unità, cioè 36, e il resto è 12. Questo è scritto così:

10*. Trova la somma di tutti i possibili numeri a doppia cifra, le cui cifre sono tutte dispari.

Peterson Lyudmila Georgievna. Matematica. 4a elementare. Parte 1. - M.: Casa editrice Yuventa, 2005, - 64 p.: ill.

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Divisione delle colonne(puoi trovare anche il nome divisione angolo) è una procedura standard inaritmetica, progettata per dividere numeri a più cifre semplici o complessi mediante rotturadividendo per una serie di più semplici passaggi. Come per tutti i problemi di divisione, un numero, chiamatodivisibile, è diviso in un altro, chiamatodivisore, producendo un risultato chiamatoprivato.

La colonna può essere utilizzata per dividere i numeri naturali senza resto, oltre che per la divisione numeri naturali con il resto.

Regole per scrivere quando si divide per una colonna.

Cominciamo studiando le regole per scrivere il dividendo, il divisore, tutti i calcoli intermedi e i risultati quandodividere i numeri naturali in una colonna Diciamo subito che scrivere la divisione lunga lo èÈ più conveniente su carta con una linea a scacchi: in questo modo ci sono meno possibilità di allontanarsi dalla riga e dalla colonna desiderate.

Innanzitutto, il dividendo e il divisore vengono scritti su una riga da sinistra a destra, quindi tra quelli scrittii numeri rappresentano un simbolo della forma.

Per esempio, se il dividendo è 6105 e il divisore è 55, la loro notazione corretta quando si divide inla colonna sarà così:

Osserva il seguente diagramma che illustra i punti in cui scrivere dividendo, divisore, quoziente,resto e calcoli intermedi quando si divide per una colonna:

Dal diagramma sopra riportato è chiaro che il quoziente richiesto (o quoziente incompleto quando diviso con un resto) saràscritto sotto il divisore sotto la barra orizzontale. E i calcoli intermedi verranno eseguiti di seguitodivisibile, ed è necessario fare attenzione in anticipo alla disponibilità di spazio sulla pagina. In questo caso bisogna farsi guidareregola: di più differenza nel numero di caratteri nelle voci del dividendo e del divisore, maggiore èsarà richiesto spazio.

Divisione di un numero naturale per un numero naturale a una cifra, algoritmo di divisione delle colonne.

Come eseguire una divisione lunga è meglio spiegato con un esempio.Calcolare:

512:8=?

Innanzitutto, scriviamo il dividendo e il divisore in una colonna. Apparirà così:

Scriveremo il loro quoziente (risultato) sotto il divisore. Per noi questo è il numero 8.

1. Definire un quoziente incompleto. Per prima cosa guardiamo la prima cifra a sinistra nella notazione dei dividendi.Se il numero definito da questa figura è maggiore del divisore, allora punto successivo dobbiamo lavorarecon questo numero Se questo numero è inferiore al divisore, dobbiamo considerare quanto seguea sinistra la cifra nella notazione del dividendo, e proseguire con il numero determinato dai due consideratiin numeri. Per comodità, evidenziamo nella nostra notazione il numero con cui lavoreremo.

2. Prendi 5. Il numero 5 è inferiore a 8, il che significa che devi prendere un numero in più dal dividendo. 51 è maggiore di 8. Quindi.questo è un quoziente incompleto. Mettiamo un punto nel quoziente (sotto l'angolo del divisore).

Dopo 51 c'è solo il numero 2. Ciò significa che aggiungiamo un punto in più al risultato.

3. Ora, ricordando tabella di moltiplicazione per 8, trova il prodotto più vicino a 51 → 6 x 8 = 48→ scrivere il numero 6 nel quoziente:

Scriviamo 48 sotto 51 (se moltiplichiamo 6 del quoziente per 8 del divisore, otteniamo 48).

Attenzione! Quando si scrive sotto un quoziente incompleto, la cifra più a destra del quoziente incompleto dovrebbe essere sopracifra più a destra funziona.

4. Tra 51 e 48 a sinistra mettiamo “-” (meno). Sottrarre secondo le regole della sottrazione nella colonna 48 e sotto la rigaScriviamo il risultato.

Tuttavia, se il risultato della sottrazione è zero, non è necessario scriverlo (a meno che la sottrazione non sia inquesto punto non è l'ultima azione che completa completamente il processo di divisione colonna).

Il resto è 3. Confrontiamo il resto con il divisore. 3 è inferiore a 8.

Attenzione!Se il resto è maggiore del divisore abbiamo commesso un errore nel calcolo e il prodotto lo èpiù vicino di quello che abbiamo preso.

5. Ora, sotto la linea orizzontale a destra dei numeri che si trovano lì (o a destra del punto in cui noncominciò a scrivere zero) scriviamo il numero situato nella stessa colonna nel record del dividendo. Se dentroNon ci sono numeri nella voce dividendi in questa colonna, quindi la divisione per colonna termina qui.

Il numero 32 è maggiore di 8. E ancora, utilizzando la tavola pitagorica per 8, troviamo il prodotto più vicino → 8 x 4 = 32:

Il resto era zero. Ciò significa che i numeri sono completamente divisi (senza resto). Se dopo l'ultimola sottrazione dà come risultato zero e non rimangono più cifre, quindi questo è il resto. Lo aggiungiamo al quoziente inparentesi (ad esempio 64(2)).

Divisione in colonne di numeri naturali a più cifre.

La divisione per un numero naturale a più cifre viene eseguita in modo simile. Allo stesso tempo, nel primoIl dividendo “intermedio” include così tante cifre di ordine elevato che diventa più grande del divisore.

Per esempio, 1976 diviso per 26.

• Il numero 1 nella cifra più significativa è inferiore a 26, quindi considera un numero composto da due cifre gradi senior - 19.
• Anche il numero 19 è inferiore a 26, quindi considera un numero composto dalle tre cifre più alte: 197.
• Il numero 197 è maggiore di 26, dividi 197 decine per 26: 197: 26 = 7 (15 decine rimaste).
• Converti 15 decine in unità, aggiungi 6 unità dalla cifra delle unità, otteniamo 156.
• Dividi 156 per 26 per ottenere 6.

Quindi 1976: 26 = 76.

Se ad un certo punto della divisione risulta essere il dividendo “intermedio”. minore del divisore, poi in privatoViene scritto 0 e il numero da questa cifra viene trasferito alla cifra successiva, inferiore.

Divisione con frazione decimale nel quoziente.

Decimali in linea. Traduzione decimali in regolare e frazioni ordinarie ai decimali.

Se il numero naturale non è divisibile per un numero naturale a una cifra, puoi continuaredivisione bit per bit e ottieni una frazione decimale nel quoziente.

Per esempio, dividi 64 per 5.

• Dividiamo 6 decine per 5, otteniamo 1 decina e 1 decina come resto.
• Convertiamo i restanti dieci in unità, aggiungiamo 4 dalla categoria delle unità e otteniamo 14.
• Dividiamo 14 unità per 5, otteniamo 2 unità e il resto di 4 unità.
• Convertiamo 4 unità in decimi, otteniamo 40 decimi.
• Dividi 40 decimi per 5 per ottenere 8 decimi.

Quindi 64:5 = 12,8

Quindi, se, quando si divide un numero naturale per un numero naturale a una cifra o a più cifresi ottiene il resto, quindi puoi inserire una virgola nel quoziente, convertire il resto in unità di quanto segue,cifra più piccola e continuare a dividere.

La divisione in colonne è parte integrante materiale didattico studente della scuola media. Ulteriore successo in matematica dipenderà da quanto correttamente imparerà a eseguire questa azione.

Come preparare adeguatamente un bambino a percepire il nuovo materiale?

La divisione delle colonne è un processo complesso che richiede una certa conoscenza da parte del bambino. Per eseguire la divisione, devi sapere ed essere in grado di sottrarre, aggiungere e moltiplicare rapidamente. Anche la conoscenza delle cifre dei numeri è importante.

Ognuna di queste azioni dovrebbe essere portata all'automaticità. Il bambino non dovrebbe pensare a lungo ed essere anche in grado di sottrarre e aggiungere non solo i numeri dai primi dieci, ma entro un centinaio in pochi secondi.

È importante formare il concetto corretto di divisione come operazione matematica. Anche quando studia le tabelle di moltiplicazione e divisione, il bambino deve capire chiaramente che il dividendo è un numero che verrà diviso in parti uguali, il divisore indica in quante parti deve essere diviso il numero e il quoziente è la risposta stessa.

Come spiegare passo dopo passo l'algoritmo di un'operazione matematica?

Ogni operazione matematica richiede una stretta aderenza a un algoritmo specifico. Esempi di divisioni lunghe dovrebbero essere eseguite in questo ordine:

1. Scrivi l'esempio in un angolo e le posizioni del dividendo e del divisore devono essere rigorosamente rispettate. Per aiutare il bambino a non confondersi nelle prime fasi possiamo dire che scriviamo a sinistra numero maggiore, e a destra c'è quello più piccolo.
2. Seleziona una parte per la prima divisione. Deve essere divisibile per il dividendo con resto.
3. Utilizzando la tabella di moltiplicazione, determiniamo quante volte il divisore può adattarsi alla parte evidenziata. È importante indicare al bambino che la risposta non deve superare 9.
4. Moltiplica il numero risultante per il divisore e scrivilo sul lato sinistro dell'angolo.
5. Successivamente, è necessario trovare la differenza tra la parte del dividendo e il prodotto risultante.
6. Il numero risultante viene scritto sotto la riga e la cifra successiva viene eliminata. Tali azioni vengono eseguite fino a quando il resto è 0.

Un chiaro esempio per studenti e genitori

La divisione delle colonne può essere spiegata chiaramente utilizzando questo esempio.

1. Scrivi 2 numeri in una colonna: il dividendo è 536 e il divisore è 4.
2. La prima parte della divisione deve essere divisibile per 4 e il quoziente deve essere inferiore a 9. A questo scopo è adatto il numero 5.
3. 4 sta nel 5 solo una volta, quindi scriviamo 1 nella risposta e 4 sotto 5.
4. Successivamente, viene eseguita la sottrazione: 4 viene sottratto da 5 e 1 viene scritto sotto la linea.
5. La cifra successiva viene aggiunta a uno - 3. In tredici (13) - 4 si adatta 3 volte. 4x3 = 12. Dodici è scritto sotto il 13, e 3 è scritto come quoziente, come cifra successiva.
6. 12 viene sottratto da 13, la risposta è 1. La cifra successiva viene nuovamente tolta: 6.
7. 16 viene nuovamente diviso per 4. La risposta viene scritta come 4 e nella colonna della divisione - 16 e la differenza viene disegnata come 0.

Risolvendo più volte lunghi esempi di divisione con tuo figlio, puoi raggiungere il successo nel completare rapidamente i problemi della scuola media.

Divisione i numeri a più cifre o più cifre sono convenienti da produrre per iscritto in una colonna. Scopriamo come farlo. Iniziamo dividendo un numero a più cifre per un numero a una cifra e aumentiamo gradualmente la cifra del dividendo.

Quindi dividiamo 354 SU 2 . Per prima cosa posizioniamo questi numeri come mostrato in figura:

Mettiamo il dividendo a sinistra, il divisore a destra e il quoziente verrà scritto sotto il divisore.

Ora iniziamo a dividere il dividendo per il divisore bit per bit da sinistra a destra. Troviamo primo dividendo incompleto, per questo prendiamo la prima cifra a sinistra, nel nostro caso 3, e la confrontiamo con il divisore.

3 Di più 2 , Significa 3 e c'è un dividendo incompleto. Inseriamo un punto nel quoziente e determiniamo quante cifre in più saranno presenti nel quoziente, lo stesso numero rimasto nel dividendo dopo aver selezionato il dividendo incompleto. Nel nostro caso il quoziente ha lo stesso numero di cifre del dividendo, ovvero la cifra più significativa sarà le centinaia:

In modo da 3 dividere per 2 ricorda la tabella di moltiplicazione per 2 e trova il numero, moltiplicando per 2 otteniamo il prodotto più grande, che è inferiore a 3.

2 × 1 = 2 (2< 3)

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2 meno 3 , UN 4 di più, il che significa che prendiamo il primo esempio e il moltiplicatore 1 .

Scriviamolo 1 al quoziente al posto del primo punto (al posto delle centinaia), e scrivi il prodotto trovato sotto il dividendo:

Ora troviamo la differenza tra il primo dividendo incompleto e il prodotto del quoziente trovato e del divisore:

Il valore risultante viene confrontato con il divisore. 15 Di più 2 , il che significa che abbiamo trovato il secondo dividendo incompleto. Per trovare il risultato della divisione 15 SU 2 ricorda ancora una volta la tavola pitagorica 2 e trova il prodotto migliore che costa meno 15 :

2 × 7 = 14 (14< 15)

2 × 8 = 16 (16 > 15)

Il moltiplicatore richiesto 7 , lo scriviamo come quoziente al posto del secondo punto (in decine). Troviamo la differenza tra il secondo dividendo incompleto e il prodotto del quoziente e del divisore trovati:

Continuiamo la divisione, perché troviamo terzo dividendo incompleto. Abbassiamo la cifra successiva del dividendo:

Dividiamo il dividendo incompleto per 2, inserendo il valore risultante nella categoria delle unità del quoziente. Verifichiamo la correttezza della divisione:

2×7 = 14

Scriviamo il risultato della divisione del terzo dividendo incompleto per il divisore nel quoziente e troviamo la differenza:

Abbiamo ottenuto una differenza pari a zero, il che significa che la divisione è terminata Giusto.

Complichiamo il problema e facciamo un altro esempio:

1020÷5

Scriviamo il nostro esempio in una colonna e definiamo il primo quoziente incompleto:

Le migliaia del dividendo sono 1 , confrontare con il divisore:

1 < 5

Aggiungiamo le centinaia al dividendo incompleto e confrontiamo:

10 > 5 – abbiamo trovato un dividendo incompleto.

Dividiamo 10 SU 5 , otteniamo 2 , scrivi il risultato nel quoziente. La differenza tra il dividendo incompleto e il risultato della moltiplicazione del divisore e del quoziente trovato.

10 – 10 = 0

0 non scriviamo, omettiamo la cifra successiva del dividendo – la cifra delle decine:

Confrontiamo il secondo dividendo incompleto con il divisore.

2 < 5

Dovremmo aggiungere una cifra in più al dividendo incompleto; per questo mettiamo il quoziente, sulla cifra delle decine 0 :

20 ÷ 5 = 4

Scriviamo la risposta nella categoria unità del quoziente e controlliamo: scriviamo il prodotto sotto il secondo dividendo incompleto e calcoliamo la differenza. Otteniamo 0 , Significa esempio risolto correttamente.

E altre 2 regole per la divisione in una colonna:

1. Se il dividendo e il divisore hanno zeri nelle cifre inferiori, prima di dividerli possono essere ridotti, ad esempio:

Quanti zeri nella cifra di ordine inferiore del dividendo rimuoviamo, rimuoviamo lo stesso numero di zeri nelle cifre di ordine inferiore del divisore.

2. Se rimangono degli zeri nel dividendo dopo la divisione, dovrebbero essere trasferiti al quoziente:

Quindi, formuliamo la sequenza di azioni durante la divisione in una colonna.

1. Posiziona il dividendo a sinistra e il divisore a destra. Ricordiamo che dividiamo il dividendo isolando i dividendi incompleti poco a poco e dividendoli in sequenza per il divisore. Le cifre nel dividendo incompleto sono assegnate da sinistra a destra dal più alto al più basso.
2. Se il dividendo e il divisore hanno zero nelle cifre inferiori, è possibile ridurli prima della divisione.
3. Determiniamo il primo divisore incompleto:

UN) seleziona la cifra più alta del dividendo nel divisore incompleto;

B) confronta il dividendo incompleto con il divisore; se il divisore è maggiore, vai al punto (V), se inferiore, allora abbiamo trovato un dividendo incompleto e possiamo passare al punto 4 ;

V) aggiungi la cifra successiva al dividendo incompleto e vai al punto (B).

1. Determiniamo quante cifre ci saranno nel quoziente e mettiamo tanti punti al posto del quoziente (sotto il divisore) quante saranno le cifre al suo interno. Un punto (una cifra) per l'intero primo dividendo incompleto e i punti rimanenti (cifre) corrispondono al numero di cifre rimaste nel dividendo dopo aver selezionato il dividendo incompleto.
2. Dividiamo il dividendo incompleto per il divisore; per fare ciò, troviamo un numero che, moltiplicato per il divisore, darebbe come risultato un numero uguale al dividendo incompleto o inferiore ad esso.
3. Scriviamo il numero trovato al posto della cifra successiva del quoziente (punto) e scriviamo il risultato della moltiplicazione per il divisore sotto il dividendo incompleto e troviamo la loro differenza.
4. Se la differenza trovata è inferiore o uguale al dividendo incompleto, allora abbiamo diviso correttamente il dividendo incompleto per il divisore.
5. Se rimangono ancora cifre nel dividendo, continuiamo la divisione, altrimenti andiamo al punto 10 .
6. Abbassiamo la cifra successiva del dividendo alla differenza e otteniamo il successivo dividendo incompleto:

a) confrontiamo il dividendo incompleto con il divisore, se il divisore è maggiore allora passiamo al punto (b), se minore allora abbiamo trovato il dividendo incompleto e possiamo passare al punto 4;

b) aggiungere la cifra successiva del dividendo al dividendo incompleto e scrivere 0 al posto della cifra successiva (punto) del quoziente;

c) andare al punto (a).

10. Se eseguissimo la divisione senza resto e l'ultima differenza trovata fosse uguale a 0 poi noi ha fatto la divisione correttamente.

Abbiamo parlato della divisione di un numero a più cifre per un numero a una cifra. Nel caso in cui il divisore sia più grande, la divisione viene eseguita nello stesso modo:

La divisione dei numeri naturali, soprattutto quelli a più cifre, viene convenientemente eseguita con un metodo speciale, chiamato divisione per una colonna (in una colonna). Puoi anche trovare il nome divisione d'angolo. Notiamo subito che la colonna può essere utilizzata sia per dividere i numeri naturali senza resto, sia per dividere i numeri naturali con resto.

In questo articolo vedremo per quanto tempo viene eseguita la divisione. Qui parleremo delle regole di registrazione e di tutti i calcoli intermedi. Innanzitutto, concentriamoci sulla divisione di un numero naturale a più cifre per un numero a una cifra con una colonna. Successivamente, ci concentreremo sui casi in cui sia il dividendo che il divisore sono numeri naturali multivalore. L'intera teoria di questo articolo è fornita con esempi tipici di divisione per colonna di numeri naturali con spiegazioni dettagliate del processo di soluzione e illustrazioni.

Navigazione della pagina.

Regole per la registrazione durante la divisione per una colonna

Iniziamo studiando le regole per scrivere il dividendo, il divisore, tutti i calcoli intermedi e i risultati quando si dividono i numeri naturali per una colonna. Diciamo subito che è più conveniente eseguire la divisione delle colonne per iscritto su carta con una linea a scacchi: in questo modo ci sono meno possibilità di allontanarsi dalla riga e dalla colonna desiderate.

Innanzitutto, il dividendo e il divisore vengono scritti su una riga da sinistra a destra, dopodiché viene disegnato un simbolo della forma tra i numeri scritti. Ad esempio, se il dividendo è il numero 6 105 e il divisore è 5 5, la loro registrazione corretta durante la divisione in una colonna sarà la seguente:

Osserva il diagramma seguente per illustrare dove scrivere il dividendo, il divisore, il quoziente, il resto e i calcoli intermedi nella divisione lunga.

Dal diagramma sopra è chiaro che il quoziente richiesto (o il quoziente incompleto quando si divide con resto) verrà scritto sotto il divisore sotto la linea orizzontale. E i calcoli intermedi verranno eseguiti sotto il dividendo e dovrai fare attenzione in anticipo alla disponibilità di spazio sulla pagina. In questo caso dovresti lasciarti guidare dalla regola: maggiore è la differenza nel numero di caratteri nelle voci del dividendo e del divisore, maggiore sarà lo spazio richiesto. Ad esempio, quando si divide per colonna il numero naturale 614.808 per 51.234 (614.808 è un numero a sei cifre, 51.234 è un numero a cinque cifre, la differenza nel numero di caratteri nei record è 6−5 = 1), intermedio i calcoli richiederanno meno spazio rispetto a quando si dividono i numeri 8 058 e 4 (qui la differenza nel numero di caratteri è 4−1=3). Per confermare le nostre parole, presentiamo i record completi di divisione per colonna di questi numeri naturali:

Ora puoi procedere direttamente al processo di divisione dei numeri naturali per una colonna.

Divisione in colonna di un numero naturale per un numero naturale a una cifra, algoritmo di divisione in colonna

È chiaro che dividere un numero naturale a una cifra per un altro è abbastanza semplice e non c'è motivo di dividere questi numeri in una colonna. Tuttavia, sarà utile mettere in pratica le tue capacità iniziali di divisione lunga con questi semplici esempi.

Esempio.

Dobbiamo dividere con una colonna di 8 per 2.

Soluzione.

Naturalmente possiamo eseguire la divisione utilizzando la tavola pitagorica e scrivere immediatamente la risposta 8:2=4.

Ma a noi interessa come dividere questi numeri con una colonna.

Per prima cosa scriviamo il dividendo 8 e il divisore 2 come previsto dal metodo:

Adesso cominciamo a scoprire quante volte il divisore è contenuto nel dividendo. Per fare ciò, moltiplichiamo in sequenza il divisore per i numeri 0, 1, 2, 3, ... finché il risultato non è un numero uguale al dividendo (o un numero maggiore del dividendo, se c'è una divisione con resto ). Se otteniamo un numero uguale al dividendo, lo scriviamo immediatamente sotto il dividendo e al posto del quoziente scriviamo il numero per il quale abbiamo moltiplicato il divisore. Se otteniamo un numero maggiore del dividendo, sotto il divisore scriviamo il numero calcolato nel penultimo passaggio e al posto del quoziente incompleto scriviamo il numero per il quale è stato moltiplicato il divisore nel penultimo passaggio.

Andiamo: 2·0=0 ; 2·1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. Abbiamo ricevuto un numero pari al dividendo, quindi lo scriviamo sotto il dividendo, e al posto del quoziente scriviamo il numero 4. In questo caso, la voce accetterà vista successiva:

Rimane la fase finale della divisione dei numeri naturali a una cifra con una colonna. Sotto il numero scritto sotto il dividendo, devi tracciare una linea orizzontale e sottrarre i numeri sopra questa linea nello stesso modo in cui si fa quando si sottraggono i numeri naturali in una colonna. Il numero risultante dalla sottrazione sarà il resto della divisione. Se è uguale a zero, i numeri originali vengono divisi senza resto.

Nel nostro esempio otteniamo

Ora abbiamo davanti a noi la registrazione completa della divisione in colonne del numero 8 per 2. Vediamo che il quoziente di 8:2 è 4 (e il resto è 0).

Risposta:

8:2=4 .

Ora vediamo come una colonna divide i numeri naturali a una cifra con un resto.

Esempio.

Dividi 7 per 3 utilizzando una colonna.

Soluzione.

Nella fase iniziale, la voce si presenta così:

Iniziamo a scoprire quante volte il dividendo contiene il divisore. Moltiplicheremo 3 per 0, 1, 2, 3, ecc. finché non otteniamo un numero uguale o maggiore del dividendo 7. Otteniamo 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (se necessario, fare riferimento all'articolo sul confronto dei numeri naturali). Sotto il dividendo scriviamo il numero 6 (è stato ottenuto al penultimo passaggio), e al posto del quoziente incompleto scriviamo il numero 2 (la moltiplicazione è stata effettuata da esso al penultimo passaggio).

Resta da eseguire la sottrazione e la divisione per una colonna di numeri naturali a una cifra 7 e 3 sarà completata.

Pertanto il quoziente parziale è 2 e il resto è 1.

Risposta:

7:3=2 (ripos. 1) .

Ora puoi passare alla divisione dei numeri naturali a più cifre per colonne in numeri naturali a una cifra.

Ora lo scopriremo algoritmo di divisione lunga. In ogni fase presenteremo i risultati ottenuti dividendo il numero naturale a più cifre 140.288 per il numero naturale a una cifra 4. Questo esempio non è stato scelto a caso, poiché risolvendolo incontreremo tutte le possibili sfumature e potremo analizzarle in dettaglio.

Per prima cosa guardiamo la prima cifra a sinistra nella notazione dei dividendi. Se il numero definito da questa cifra è maggiore del divisore, nel paragrafo successivo dovremo lavorare con questo numero. Se questo numero è inferiore al divisore, allora dobbiamo aggiungere al corrispettivo la cifra successiva a sinistra nella registrazione del dividendo e continuare a lavorare con il numero determinato dalle due cifre in esame. Per comodità, evidenziamo nella nostra notazione il numero con cui lavoreremo.

La prima cifra da sinistra nella notazione del dividendo 140288 è la cifra 1. Il numero 1 è inferiore al divisore 4, quindi osserviamo anche la cifra successiva a sinistra nella notazione dei dividendi. Allo stesso tempo vediamo il numero 14, con il quale dobbiamo lavorare ulteriormente. Evidenziamo questo numero nella notazione del dividendo.

I successivi punti dal secondo al quarto si ripetono ciclicamente fino a completare la divisione dei numeri naturali per una colonna.

Ora dobbiamo determinare quante volte il divisore è contenuto nel numero con cui stiamo lavorando (per comodità, denotiamo questo numero come x). Per fare ciò, moltiplichiamo in sequenza il divisore per 0, 1, 2, 3, ... finché non otteniamo il numero x o un numero maggiore di x. Quando otteniamo il numero x, lo scriviamo sotto il numero evidenziato secondo le regole di scrittura utilizzate quando si sottraggono i numeri naturali in una colonna. Il numero per il quale è stata effettuata la moltiplicazione viene scritto al posto del quoziente durante il primo passaggio dell'algoritmo (nei passaggi successivi di 2-4 punti dell'algoritmo, questo numero viene scritto a destra dei numeri già presenti). Quando otteniamo un numero maggiore del numero x, allora sotto il numero evidenziato scriviamo il numero ottenuto al penultimo passaggio, e al posto del quoziente (o a destra dei numeri già presenti) scriviamo il numero con cui è stata effettuata la moltiplicazione al penultimo passaggio. (Abbiamo eseguito azioni simili nei due esempi discussi sopra).

Moltiplichiamo il divisore 4 per i numeri 0, 1, 2, ... finché non otteniamo un numero uguale a 14 o maggiore di 14. Abbiamo 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14. Poiché nell'ultimo passaggio abbiamo ricevuto il numero 16, che è maggiore di 14, sotto il numero evidenziato scriviamo il numero 12, ottenuto nel penultimo passaggio, e al posto del quoziente scriviamo il numero 3, poiché in nel penultimo punto la moltiplicazione è stata effettuata proprio da esso.


A questo punto, dal numero selezionato, sottrai il numero situato sotto di esso utilizzando una colonna. Il risultato della sottrazione è scritto sotto la linea orizzontale. Tuttavia, se il risultato della sottrazione è zero, non è necessario scriverlo (a meno che la sottrazione in quel punto non sia l'ultima azione che completa completamente il processo di lunga divisione). Qui, per il tuo controllo, non sarebbe sbagliato confrontare il risultato della sottrazione con il divisore e assicurarsi che sia inferiore al divisore. Altrimenti da qualche parte è stato commesso un errore.

Dobbiamo sottrarre con una colonna il numero 12 dal numero 14 (per la correttezza della registrazione dobbiamo ricordarci di mettere un segno meno a sinistra dei numeri da sottrarre). Dopo aver completato questa azione, sotto la linea orizzontale è apparso il numero 2. Ora controlliamo i nostri calcoli confrontando il numero risultante con il divisore. Poiché il numero 2 è inferiore al divisore 4, puoi tranquillamente passare al punto successivo.


Ora, sotto la linea orizzontale a destra dei numeri che si trovano lì (o a destra del punto in cui non abbiamo scritto lo zero), scriviamo il numero che si trova nella stessa colonna nella notazione del dividendo. Se nella registrazione del dividendo in questa colonna non sono presenti numeri, la divisione per colonna termina qui. Successivamente, selezioniamo il numero formato sotto la linea orizzontale, lo accettiamo come numero di lavoro e con esso ripetiamo i punti da 2 a 4 dell'algoritmo.

Sotto la linea orizzontale a destra del numero 2 già presente, scriviamo il numero 0, poiché è il numero 0 che si trova nel record del dividendo 140.288 in questa colonna. Pertanto, sotto la linea orizzontale si forma il numero 20.


Selezioniamo questo numero 20, lo prendiamo come numero di lavoro e ripetiamo con esso le azioni del secondo, terzo e quarto punto dell'algoritmo.

Moltiplica il divisore 4 per 0, 1, 2, ... finché non otteniamo il numero 20 o un numero maggiore di 20. Abbiamo 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Eseguiamo la sottrazione in una colonna. Poiché stiamo sottraendo numeri naturali uguali, in virtù della proprietà di sottrarre numeri naturali uguali, il risultato è zero. Non scriviamo lo zero (poiché questa non è la fase finale della divisione con una colonna), ma ricordiamo il luogo in cui potremmo scriverlo (per comodità contrassegneremo questo luogo con un rettangolo nero).


Sotto la linea orizzontale a destra del luogo ricordato scriviamo il numero 2, poiché è proprio quello che si trova nel record del dividendo 140.288 in questa colonna. Quindi, sotto la linea orizzontale abbiamo il numero 2.


Prendiamo il numero 2 come numero di lavoro, lo contrassegniamo e dovremo eseguire ancora una volta le azioni di 2-4 punti dell'algoritmo.

Moltiplichiamo il divisore per 0, 1, 2 e così via e confrontiamo i numeri risultanti con il numero contrassegnato 2. Abbiamo 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Pertanto, sotto il numero segnato scriviamo il numero 0 (è stato ottenuto al penultimo passaggio), e al posto del quoziente a destra del numero già presente scriviamo il numero 0 (abbiamo moltiplicato per 0 al penultimo passaggio ).


Eseguiamo la sottrazione in una colonna, otteniamo il numero 2 sotto la linea orizzontale. Controlliamo noi stessi confrontando il numero risultante con il divisore 4. Dal 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Sotto la linea orizzontale a destra del numero 2, aggiungi il numero 8 (poiché è in questa colonna alla voce del dividendo 140 288). Pertanto, sotto la linea orizzontale appare il numero 28.


Prendiamo questo numero come numero di lavoro, lo contrassegniamo e ripetiamo i passaggi 2-4.

Non dovrebbero esserci problemi qui se sei stato attento fino ad ora. Dopo aver completato tutti i passaggi necessari, si ottiene il seguente risultato.

Non resta che eseguire un'ultima volta i passaggi dei punti 2, 3, 4 (questo lo lasciamo a voi), dopodiché otterrete un quadro completo della divisione dei numeri naturali 140.288 e 4 in una colonna:

Tieni presente che il numero 0 è scritto nella riga più in basso. Se questo non fosse l'ultimo passaggio della divisione per colonna (cioè se nella registrazione del dividendo ci fossero dei numeri rimasti nelle colonne a destra), allora non scriveremmo questo zero.

Pertanto, osservando il record completo della divisione del numero naturale a più cifre 140.288 per il numero naturale a una cifra 4, vediamo che il quoziente è il numero 35.072 (e il resto della divisione è zero, è proprio in fondo linea).

Naturalmente, quando dividi i numeri naturali per una colonna, non descriverai tutte le tue azioni in modo così dettagliato. Le tue soluzioni saranno simili ai seguenti esempi.

Esempio.

Esegui una divisione lunga se il dividendo è 7 136 e il divisore è un numero naturale a una cifra 9.

Soluzione.

Nella prima fase dell'algoritmo per dividere i numeri naturali per colonne, otteniamo un record del modulo

Dopo aver eseguito le azioni dal secondo, terzo e quarto punto dell'algoritmo, prenderà forma il record di divisione delle colonne

Ripetendo il ciclo, avremo

Un ulteriore passaggio ci darà un quadro completo della divisione in colonne dei numeri naturali 7.136 e 9

Pertanto, il quoziente parziale è 792 e il resto è 8.

Risposta:

7 136:9=792 (resto 8) .

E questo esempio dimostra come dovrebbe essere la divisione lunga.

Esempio.

Dividi il numero naturale 7.042.035 per il numero naturale a una cifra 7.

Soluzione.

Il modo più conveniente per eseguire la divisione è per colonne.

Risposta:

7 042 035:7=1 006 005 .

Divisione in colonne di numeri naturali a più cifre

Ci affrettiamo a farti piacere: se hai padroneggiato a fondo l'algoritmo di divisione delle colonne del paragrafo precedente di questo articolo, allora sai quasi già come eseguire divisione in colonne di numeri naturali a più cifre. Questo è vero, poiché le fasi da 2 a 4 dell'algoritmo rimangono invariate e nel primo punto compaiono solo piccole modifiche.

Nella prima fase di divisione dei numeri naturali a più cifre in una colonna, è necessario guardare non la prima cifra a sinistra nella notazione del dividendo, ma il numero di essi pari al numero di cifre contenute nella notazione del divisore. Se il numero definito da questi numeri è maggiore del divisore, nel paragrafo successivo dovremo lavorare con questo numero. Se questo numero è inferiore al divisore, allora dobbiamo aggiungere al corrispettivo la cifra successiva a sinistra nella notazione del dividendo. Successivamente, vengono eseguite le azioni specificate nei paragrafi 2, 3 e 4 dell'algoritmo fino all'ottenimento del risultato finale.

Non resta che vedere l'applicazione pratica dell'algoritmo di divisione in colonne per i numeri naturali multivalore durante la risoluzione degli esempi.

Esempio.

Eseguiamo la divisione in colonne dei numeri naturali a più cifre 5.562 e 206.

Soluzione.

Poiché il divisore 206 contiene 3 cifre, guardiamo le prime 3 cifre a sinistra nel dividendo 5.562. Questi numeri corrispondono al numero 556. Poiché 556 è maggiore del divisore 206, prendiamo il numero 556 come numero di lavoro, lo selezioniamo e passiamo alla fase successiva dell'algoritmo.

Ora moltiplichiamo il divisore 206 per i numeri 0, 1, 2, 3, ... finché non otteniamo un numero uguale a 556 o maggiore di 556. Abbiamo (se la moltiplicazione è difficile, allora è meglio moltiplicare i numeri naturali in una colonna): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Poiché abbiamo ricevuto un numero maggiore del numero 556, sotto il numero evidenziato scriviamo il numero 412 (è stato ottenuto nel penultimo passaggio) e al posto del quoziente scriviamo il numero 2 (poiché abbiamo moltiplicato per esso al penultimo passaggio). La voce di divisione delle colonne assume la forma seguente:

Eseguiamo la sottrazione di colonna. Otteniamo la differenza 144, questo numero è inferiore al divisore, quindi puoi continuare tranquillamente a eseguire le azioni richieste.

Sotto la linea orizzontale a destra del numero scriviamo il numero 2, poiché è nel record del dividendo 5562 in questa colonna:

Ora lavoriamo con il numero 1.442, selezionalo e ripetiamo i passaggi da due a quattro.

Moltiplica il divisore 206 per 0, 1, 2, 3, ... finché non ottieni il numero 1442 o un numero maggiore di 1442. Andiamo: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Eseguiamo la sottrazione in una colonna, otteniamo zero, ma non lo scriviamo subito, ricordiamo solo la sua posizione, perché non sappiamo se la divisione finisce qui, o se dovremo ripetere ripetere i passaggi dell'algoritmo:

Ora vediamo che non possiamo scrivere alcun numero sotto la linea orizzontale a destra della posizione ricordata, poiché non ci sono cifre nella registrazione del dividendo in questa colonna. Concludiamo quindi la divisione per colonne e completiamo la voce:

• Matematica. Eventuali libri di testo per le classi 1a, 2a, 3a, 4a degli istituti di istruzione generale.
• Matematica. Eventuali libri di testo per la quinta elementare degli istituti di istruzione generale.