Numeri negativi. Una lezione per scoprire nuove conoscenze: cosa è maggiore di un numero negativo o dei numeri naturali?

Le formule in Excel ti aiuteranno a calcolare non solo i numeri positivi ma anche quelli negativi. Per sapere come scrivere un numero con un segno meno, vedere l'articolo "Come inserire un numero negativo in Excel".
Trovare somma di numeri negativi in ​​Excel , necessario Funzione "SOMMA.SE" in Excel . Ad esempio, abbiamo una tabella del genere.
Imposta la formula nella cella A7. Per fare ciò, vai alla scheda “Formule” della tabella Excel, seleziona “Matematico” e seleziona la funzione “SOMMA.SE” di Excel.
Compila le righe nella finestra che appare:
"Intervallo": indichiamo tutte le celle della colonna o riga in cui aggiungiamo i numeri. Per informazioni sulla gamma in tabella consultare l'articolo "Che cos'è un intervallo in Excel" .
“Criterio” - qui scriviamo “<0» .
Fare clic sul pulsante "OK".

È andata così.

Visualizza la formula nella barra della formula.Come impostare il segno “maggiore di” o “minore di” in una formula, vedere l’articolo “Dov'è il pulsante sulla tastiera?» .
Somma solo numeri positivi in ​​Excel.
È necessario scrivere la formula allo stesso modo, solo nella riga della finestra della funzione "Criteri" scrivere ">0"È andata così.

La funzione "SOMMA.SE" in Excel può contare i valori delle celle non tutte in fila, ma selettivamente in base alla condizione che scriviamo nella formula. Questa funzione è utile per calcolare i dati per una data specifica o un ordine per un cliente specifico, risultati degli studenti, ecc. Ulteriori informazioni su come utilizzare questa funzionalità.

Se aggiungiamo il numero 0 a sinistra di una serie di numeri naturali, otteniamo serie di numeri interi positivi:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Interi negativi

Diamo un'occhiata a un piccolo esempio. La figura a sinistra mostra un termometro che mostra una temperatura di 7°C. Se la temperatura scende di 4°, il termometro mostrerà 3° di calore. Una diminuzione della temperatura corrisponde all’azione di sottrazione:

Se la temperatura scende di 7°, il termometro indicherà 0°. Una diminuzione della temperatura corrisponde all’azione di sottrazione:

Se la temperatura scende di 8°, il termometro indicherà -1° (1° sotto zero). Ma il risultato della sottrazione 7 - 8 non può essere scritto utilizzando numeri naturali e zero.

Illustriamo la sottrazione utilizzando una serie di numeri interi positivi:

1) Dal numero 7, conta 4 numeri a sinistra e ottieni 3:

2) Dal numero 7, conta 7 numeri a sinistra e ottieni 0:

È impossibile contare 8 numeri dal numero 7 a sinistra in una serie di numeri interi positivi. Per rendere realizzabili le azioni 7 - 8, espandiamo l'intervallo di numeri interi positivi. Per fare ciò, a sinistra dello zero, scriviamo (da destra a sinistra) in ordine tutti i numeri naturali, aggiungendo a ciascuno di essi il segno - , ad indicare che questo numero si trova a sinistra dello zero.

Le voci -1, -2, -3, ... si leggono meno 1, meno 2, meno 3, ecc.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

La serie di numeri risultante viene chiamata serie di numeri interi. I punti a sinistra e a destra in questa voce indicano che la serie può essere continuata indefinitamente a destra e a sinistra.

A destra del numero 0 in questa riga ci sono i numeri chiamati naturale O interi positivi(brevemente - positivo).

A sinistra del numero 0 in questa riga ci sono i numeri chiamati intero negativo(brevemente - negativo).

Il numero 0 è un numero intero, ma non è né un numero positivo né negativo. Separa i numeri positivi e negativi.

Quindi, la serie di numeri interi è composta da numeri interi negativi, zero e numeri interi positivi.

Confronto di numeri interi

Confronta due numeri interi- significa scoprire quale è maggiore, quale è minore o determinare che i numeri sono uguali.

Puoi confrontare numeri interi utilizzando una riga di numeri interi, poiché i numeri in essa contenuti sono disposti dal più piccolo al più grande, se ti sposti lungo la riga da sinistra a destra. Pertanto, in una serie di numeri interi, è possibile sostituire le virgole con il segno minore di:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Quindi, di due numeri interi, maggiore è il numero che si trova a destra nella serie e minore è quello che si trova a sinistra, Significa:

1) Qualsiasi numero positivo è maggiore di zero e maggiore di qualsiasi numero negativo:

1 > 0; 15 > -16

2) Qualsiasi numero negativo inferiore a zero:

7 < 0; -357 < 0

3) Di due numeri negativi, quello che si trova a destra nella serie degli interi è maggiore.

Quando si risolvono equazioni e disuguaglianze, nonché problemi con i moduli, è necessario posizionare le radici trovate sulla linea numerica. Come sai, le radici trovate potrebbero essere diverse. Possono essere così: , oppure possono essere così: , .

Di conseguenza, se i numeri non sono razionali ma irrazionali (se hai dimenticato cosa sono, guarda nell'argomento) o sono espressioni matematiche complesse, posizionarli sulla linea numerica è molto problematico. Inoltre, durante l'esame non è possibile utilizzare calcolatrici e i calcoli approssimativi non garantiscono al 100% che un numero sia inferiore a un altro (e se ci fosse una differenza tra i numeri confrontati?).

Naturalmente, sai che i numeri positivi sono sempre più grandi di quelli negativi e che se immaginiamo un asse numerico, quando confrontiamo, i numeri più grandi saranno a destra del più piccolo: ; ; eccetera.

Ma è sempre tutto così facile? Dove sulla linea numerica segniamo, .

Come possono essere confrontati, ad esempio, con un numero? Questo è il problema...)

Innanzitutto, parliamo in termini generali di come e cosa confrontare.

Importante: è consigliabile effettuare trasformazioni tali che il segno della disuguaglianza non cambi! Cioè, durante le trasformazioni non è desiderabile moltiplicare per un numero negativo e è vietato quadrato se una delle parti è negativa.

Confronto di frazioni

Quindi, dobbiamo confrontare due frazioni: e.

Esistono diverse opzioni su come eseguire questa operazione.

Opzione 1. Ridurre le frazioni a un denominatore comune.

Scriviamolo sotto forma di frazione ordinaria:

- (come puoi vedere ho ridotto anche numeratore e denominatore).

Ora dobbiamo confrontare le frazioni:

Ora possiamo continuare a confrontare in due modi. Noi possiamo:

1. basta portare tutto a un denominatore comune, presentando entrambe le frazioni come improprie (il numeratore è maggiore del denominatore):

   Quale numero è maggiore? Esatto, quello con il numeratore più grande, cioè il primo.

2. "scartiamo" (consideriamo che abbiamo sottratto uno da ciascuna frazione e il rapporto tra le frazioni tra loro, di conseguenza, non è cambiato) e confrontiamo le frazioni:

   Li portiamo anche ad un denominatore comune:

   Abbiamo ottenuto esattamente lo stesso risultato del caso precedente: il primo numero è maggiore del secondo:

   Controlliamo anche se ne abbiamo sottratto uno correttamente? Calcoliamo la differenza del numeratore nel primo calcolo e nel secondo:
   1)
   2)

Quindi, abbiamo esaminato come confrontare le frazioni, portandole a un denominatore comune. Passiamo a un altro metodo: confrontare le frazioni, portandole a un comune... numeratore.

Opzione 2. Confrontare le frazioni riducendole a un numeratore comune.

Si si. Questo non è un errore di battitura. Questo metodo viene raramente insegnato a qualcuno a scuola, ma molto spesso è molto conveniente. Per comprenderne rapidamente l'essenza, ti farò solo una domanda: "in quali casi il valore di una frazione è maggiore?" Naturalmente dirai “quando il numeratore è il più grande possibile e il denominatore il più piccolo possibile”.

Ad esempio, puoi sicuramente dire che è vero? Cosa succede se dobbiamo confrontare le seguenti frazioni: ? Penso che metterai subito anche il segno correttamente, perché nel primo caso sono divisi in parti, e nel secondo in pezzi interi, il che significa che nel secondo caso i pezzi risultano essere molto piccoli, e di conseguenza: . Come puoi vedere, i denominatori qui sono diversi, ma i numeratori sono gli stessi. Tuttavia, per confrontare queste due frazioni, non è necessario cercare un denominatore comune. Anche se... trovalo e vedi se il segno di confronto è ancora sbagliato?

Ma il segno è lo stesso.

Torniamo al nostro compito originale: confrontiamo e... Confronteremo e... Riduciamo queste frazioni non a un denominatore comune, ma a un numeratore comune. Per farlo semplicemente numeratore e denominatore moltiplicare la prima frazione per. Noi abbiamo:

E. Quale frazione è più grande? Esatto, il primo.

Opzione 3: confrontare le frazioni utilizzando la sottrazione.

Come confrontare le frazioni usando la sottrazione? Sì, molto semplice. Sottraiamo un altro da una frazione. Se il risultato è positivo, la prima frazione (minuendo) è maggiore della seconda (sottraendo) e, se negativo, viceversa.

Nel nostro caso proviamo a sottrarre la prima frazione dalla seconda: .

Come hai già capito, convertiamo anche in una frazione ordinaria e otteniamo lo stesso risultato - . La nostra espressione assume la forma:

Successivamente, dovremo ancora ricorrere alla riduzione a un denominatore comune. La domanda è: nel primo modo, convertire le frazioni in frazioni improprie, o nel secondo modo, come se “rimuovesse” l'unità? A proposito, questa azione ha una giustificazione completamente matematica. Aspetto:

Mi piace di più la seconda opzione, poiché moltiplicare il numeratore ridotto a un denominatore comune diventa molto più semplice.

Portiamolo ad un denominatore comune:

La cosa principale qui è non confondersi su quale numero abbiamo sottratto e dove. Osserva attentamente l'avanzamento della soluzione e non confondere accidentalmente i segni. Abbiamo sottratto il primo numero dal secondo numero e abbiamo ottenuto una risposta negativa, quindi?... Esatto, il primo numero è maggiore del secondo.

Fatto? Prova a confrontare le frazioni:

Basta basta. Non affrettarti a portare a un denominatore comune o a sottrarre. Guarda: puoi facilmente convertirlo in una frazione decimale. Per quanto durerà? Giusto. Cosa c'è di più alla fine?

Questa è un'altra opzione: confrontare le frazioni convertendole in un decimale.

Opzione 4: confrontare le frazioni utilizzando la divisione.

Si si. E anche questo è possibile. La logica è semplice: quando dividiamo un numero più grande per uno più piccolo, la risposta che otteniamo è un numero maggiore di uno, e se dividiamo un numero più piccolo per uno più grande, la risposta cade nell'intervallo da a.

Per ricordare questa regola, prendiamo ad esempio due numeri primi qualsiasi per il confronto e. Sai cosa c'è di più? Adesso dividiamo per. La nostra risposta è. Di conseguenza, la teoria è corretta. Se dividiamo per, ciò che otteniamo è inferiore a uno, il che a sua volta conferma che in realtà è inferiore.

Proviamo ad applicare questa regola alle frazioni ordinarie. Confrontiamo:

Dividi la prima frazione per la seconda:

Accorciamo via via.

Il risultato ottenuto è less, il che significa che il dividendo è minore del divisore, ovvero:

Abbiamo esaminato tutte le possibili opzioni per confrontare le frazioni. Come li vedi 5:

• riduzione a un denominatore comune;
• riduzione a un numeratore comune;
• riduzione alla forma di frazione decimale;
• sottrazione;
• divisione.

Pronto per allenarti? Confronta le frazioni in modo ottimale:

Confrontiamo le risposte:

1. (- converti in decimale)
2. (dividi una frazione per un'altra e riduci per numeratore e denominatore)
3. (seleziona l'intera parte e confronta le frazioni in base al principio dello stesso numeratore)
4. (dividere una frazione per un'altra e ridurre per numeratore e denominatore).

2. Confronto dei titoli di studio

Ora immagina di dover confrontare non solo numeri, ma espressioni in cui è presente un grado ().

Certo, puoi facilmente appendere un cartello:

Dopotutto, se sostituiamo il grado con la moltiplicazione, otteniamo:

Da questo piccolo e primitivo esempio segue la regola:

Ora prova a confrontare quanto segue: . Puoi anche mettere facilmente un cartello:

Perché se sostituiamo l'elevamento con la moltiplicazione...

In generale, capisci tutto e non è affatto difficile.

Le difficoltà sorgono solo quando, nel confronto, i titoli hanno basi e indicatori diversi. In questo caso è necessario cercare di raggiungere un terreno comune. Per esempio:

Naturalmente, sai che questa, di conseguenza, l'espressione assume la forma:

Apriamo le parentesi e confrontiamo ciò che otteniamo:

Un caso un po' particolare è quando la base del grado () è minore di uno.

Se, allora di due gradi e il maggiore è quello il cui indice è minore.

Proviamo a dimostrare questa regola. Lascia stare.

Introduciamo un numero naturale come differenza tra e.

Logico, no?

E ora prestiamo ancora una volta attenzione alla condizione - .

Rispettivamente: . Quindi, .

Per esempio:

Come capisci, abbiamo considerato il caso in cui le basi dei gradi sono uguali. Ora vediamo quando la base è nell'intervallo da a, ma gli esponenti sono uguali. Qui è tutto molto semplice.

Ricordiamo come confrontare questo utilizzando un esempio:

Ovviamente hai fatto velocemente i conti:

Pertanto, quando incontri problemi simili per il confronto, tieni a mente qualche semplice esempio simile che puoi calcolare rapidamente e, sulla base di questo esempio, inserisci i segni in uno più complesso.

Quando esegui le trasformazioni, ricorda che se moltiplichi, aggiungi, sottrai o dividi, tutte le azioni devono essere eseguite sia con il lato sinistro che con quello destro (se moltiplichi per, devi moltiplicare entrambi).

Inoltre, ci sono casi in cui qualsiasi manipolazione è semplicemente non redditizia. Ad esempio, devi confrontare. In questo caso non è così difficile elevare a potenza e disporre il segno in base a questo:

Facciamo un pò di pratica. Confronta i titoli di studio:

Pronti a confrontare le risposte? Ecco cosa ho ottenuto:

1. - lo stesso di
2. - lo stesso di
3. - lo stesso di
4. - lo stesso di

3. Confronto tra numeri e radici

Per prima cosa, ricordiamo cosa sono le radici? Ricordi questa registrazione?

La radice di una potenza di un numero reale è un numero per il quale vale l'uguaglianza.

Radici di grado dispari esistono per i numeri negativi e positivi, e anche le radici- solo per quelli positivi.

Il valore della radice è spesso un decimale infinito, il che rende difficile il calcolo accurato, quindi è importante poter confrontare le radici.

Se hai dimenticato cos'è e con cosa si mangia - . Se ricordi tutto, impariamo a confrontare le radici passo dopo passo.

Diciamo che dobbiamo confrontare:

Per confrontare queste due radici non è necessario fare alcun calcolo, basta analizzare il concetto stesso di “radice”. Capisci di cosa sto parlando? Sì, a questo proposito: altrimenti si può scrivere come la terza potenza di qualche numero, uguale all'espressione radicale.

Cosa c'è di più? O? Naturalmente puoi confrontarlo senza alcuna difficoltà. Maggiore è il numero che eleviamo a potenza, maggiore sarà il valore.

COSÌ. Deriviamo una regola.

Se gli esponenti delle radici sono gli stessi (nel nostro caso lo è), allora è necessario confrontare le espressioni radicali (e): maggiore è il numero radicale, maggiore è il valore della radice con esponenti uguali.

Difficile da ricordare? Allora tieni un esempio in testa e... Questo di più?

Gli esponenti delle radici sono gli stessi, poiché la radice è quadrata. L'espressione radicale di un numero () è maggiore di un altro (), il che significa che la regola è realmente vera.

E se le espressioni radicali fossero le stesse, ma i gradi delle radici fossero diversi? Per esempio: .

È anche abbastanza chiaro che estraendo una radice di grado maggiore, si otterrà un numero minore. Prendiamo ad esempio:

Indichiamo il valore della prima radice come e la seconda come, quindi:

Puoi facilmente vedere che ci deve essere di più in queste equazioni, quindi:

Se le espressioni radicali sono le stesse(nel nostro caso), e gli esponenti delle radici sono diversi(nel nostro caso questo è e), allora è necessario confrontare gli esponenti(E) - più alto è l'indicatore, più piccola è questa espressione.

Prova a confrontare le seguenti radici:

Confrontiamo i risultati?

Abbiamo risolto questo problema con successo :). Sorge un’altra domanda: e se fossimo tutti diversi? Sia grado che espressione radicale? Non tutto è così complicato, basta solo... “sbarazzarsi” della radice. Si si. Liberatene)

Se abbiamo gradi ed espressioni radicali diversi, dobbiamo trovare il minimo comune multiplo (leggi la sezione relativa) per gli esponenti delle radici ed elevare entrambe le espressioni a una potenza pari al minimo comune multiplo.

Che siamo tutti in parole e parole. Ecco un esempio:

1. Osserviamo gli indicatori delle radici - e. Il loro minimo comune multiplo è .
2. Eleviamo entrambe le espressioni a potenza:
3. Trasformiamo l'espressione e apriamo le parentesi (maggiori dettagli nel capitolo):
4. Contiamo quello che abbiamo fatto e mettiamo un cartello:

4. Confronto di logaritmi

Quindi, lentamente ma inesorabilmente, arriviamo alla questione di come confrontare i logaritmi. Se non ricordi di che tipo di animale si tratta, ti consiglio di leggere prima la teoria dalla sezione. Lo hai letto? Quindi rispondi ad alcune domande importanti:

1. Qual è l'argomento di un logaritmo e qual è la sua base?
2. Cosa determina se una funzione aumenta o diminuisce?

Se ricordi tutto e lo hai padroneggiato perfettamente, cominciamo!

Per confrontare i logaritmi tra loro, devi conoscere solo 3 tecniche:

• riduzione sulla stessa base;
• riduzione allo stesso argomento;
• confronto con il terzo numero.

Inizialmente, presta attenzione alla base del logaritmo. Ricordi che se è inferiore, la funzione diminuisce e se è maggiore, aumenta. Su questo si baseranno i nostri giudizi.

Consideriamo un confronto tra logaritmi che sono già stati ridotti alla stessa base, o argomento.

Per cominciare, semplifichiamo il problema: consideriamo i logaritmi confrontati pari motivi. Poi:

1. La funzione for aumenta nell'intervallo da, che significa, per definizione, quindi (“confronto diretto”).
2. Esempio:- le motivazioni sono le stesse, confrontiamo le argomentazioni di conseguenza: , quindi:
3. La funzione at diminuisce nell'intervallo da, che significa, per definizione, allora (“confronto inverso”). - le basi sono le stesse, confrontiamo gli argomenti di conseguenza: il segno dei logaritmi sarà però “inverso”, poiché la funzione è decrescente: .

Consideriamo ora i casi in cui le ragioni sono diverse, ma gli argomenti sono gli stessi.

1. La base è più grande.
   • . In questo caso utilizziamo il “confronto inverso”. Ad esempio: - gli argomenti sono gli stessi, e. Confrontiamo le basi: però il segno dei logaritmi sarà “inverso”:
2. La base a è nello spazio vuoto.
   • . In questo caso utilizziamo il “confronto diretto”. Per esempio:
   • . In questo caso utilizziamo il “confronto inverso”. Per esempio:

Scriviamo tutto in una forma tabellare generale:

, in cui	, in cui

Di conseguenza, come hai già capito, quando confrontiamo i logaritmi, dobbiamo condurre alla stessa base, o argomento. Arriviamo alla stessa base utilizzando la formula per passare da una base all'altra.

Puoi anche confrontare i logaritmi con il terzo numero e, sulla base di ciò, trarre una conclusione su cosa è meno e cosa è di più. Ad esempio, pensa a come confrontare questi due logaritmi?

Un piccolo suggerimento: per fare un confronto, un logaritmo ti aiuterà molto, il cui argomento sarà uguale.

Pensiero? Decidiamo insieme.

Possiamo facilmente confrontare questi due logaritmi con te:

Non sai come? Vedi sopra. Abbiamo appena risolto il problema. Che segno ci sarà? Giusto:

Essere d'accordo?

Confrontiamo tra loro:

Dovresti ottenere quanto segue:

Ora combina tutte le nostre conclusioni in una sola. Accaduto?

5. Confronto di espressioni trigonometriche.

Cos'è seno, coseno, tangente e cotangente? Perché abbiamo bisogno di un cerchio unitario e come trovare il valore delle funzioni trigonometriche su di esso? Se non conosci le risposte a queste domande, ti consiglio vivamente di leggere la teoria su questo argomento. E se lo sai, confrontare le espressioni trigonometriche tra loro non è difficile per te!

Rinfreschiamoci un po' la memoria. Disegniamo un cerchio trigonometrico unitario e un triangolo inscritto in esso. Sei riuscito? Ora segna da quale lato tracciamo il coseno e da quale lato il seno, usando i lati del triangolo. (tu, ovviamente, ricordi che il seno è il rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa e il coseno è il lato adiacente?). L'hai disegnato tu? Grande! Il tocco finale è scrivere dove lo avremo, dove e così via. L'hai messo giù? Uff) Confrontiamo quello che è successo a te e me.

Uff! Ora iniziamo il confronto!

Diciamo che dobbiamo confrontare e. Disegna questi angoli utilizzando le istruzioni nelle caselle (dove abbiamo segnato dove), posizionando i punti sulla circonferenza unitaria. Sei riuscito? Ecco cosa ho ottenuto.

Ora trasciniamo sull'asse una perpendicolare dai punti che abbiamo segnato sul cerchio... Quale? Quale asse mostra il valore dei seni? Giusto, . Questo è ciò che dovresti ottenere:

Guardando questa foto, che è più grande: oppure? Naturalmente, perché il punto è al di sopra del punto.

In modo simile confrontiamo il valore dei coseni. Abbassiamo solo la perpendicolare all'asse... Esatto, . Di conseguenza, guardiamo quale punto è a destra (o più in alto, come nel caso dei seni), quindi il valore è maggiore.

Probabilmente sai già come confrontare le tangenti, giusto? Tutto quello che devi sapere è cos'è una tangente. Allora cos'è una tangente?) Esatto, il rapporto tra seno e coseno.

Per confrontare le tangenti, disegniamo un angolo come nel caso precedente. Diciamo che dobbiamo confrontare:

L'hai disegnato tu? Ora segniamo anche i valori del seno sull'asse delle coordinate. Hai notato? Ora indica i valori del coseno sulla linea delle coordinate. Accaduto? Confrontiamo:

Ora analizza ciò che hai scritto. - dividiamo un segmento grande in uno piccolo. La risposta conterrà un valore sicuramente maggiore di uno. Giusto?

E quando dividiamo il piccolo per il grande. La risposta sarà un numero esattamente inferiore a uno.

Quindi quale espressione trigonometrica ha il valore maggiore?

Giusto:

Come ora capisci, confrontare le cotangenti è la stessa cosa, solo al contrario: guardiamo come i segmenti che definiscono coseno e seno si relazionano tra loro.

Prova a confrontare tu stesso le seguenti espressioni trigonometriche:

Esempi.

Risposte.

CONFRONTO DI NUMERI. LIVELLO MEDIO.

Quale numero è maggiore: o? La risposta è ovvia. E ora: o? Non è più così ovvio, vero? Quindi: o?

Spesso è necessario sapere quale espressione numerica è maggiore. Ad esempio, per posizionare i punti sull'asse nell'ordine corretto quando si risolve una disuguaglianza.

Ora ti insegnerò come confrontare tali numeri.

Se devi confrontare numeri e, mettiamo un segno tra loro (derivato dalla parola latina Versus o abbreviato vs. - contro): . Questo segno sostituisce il segno di disuguaglianza sconosciuta (). Successivamente, eseguiremo trasformazioni identiche finché non sarà chiaro quale segno deve essere posizionato tra i numeri.

L'essenza del confronto dei numeri è questa: trattiamo il segno come se fosse una sorta di segno di disuguaglianza. E con l’espressione possiamo fare tutto ciò che solitamente facciamo con le disuguaglianze:

• aggiungi qualsiasi numero a entrambi i membri (e, ovviamente, possiamo anche sottrarre)
• “spostare tutto da una parte”, cioè sottrarre da entrambe le parti una delle espressioni confrontate. Al posto dell'espressione sottratta rimarrà: .
• moltiplicare o dividere per lo stesso numero. Se questo numero è negativo, il segno di disuguaglianza è invertito: .
• elevare entrambe le parti alla stessa potenza. Se questa potenza è pari, bisogna assicurarsi che entrambe le parti abbiano lo stesso segno; se entrambe le parti sono positive, il segno non cambia quando elevato a una potenza, ma se sono negative, cambia al contrario.
• estrarre la radice dello stesso grado da entrambe le parti. Se stiamo estraendo una radice di grado pari, dobbiamo prima assicurarci che entrambe le espressioni siano non negative.
• eventuali altre trasformazioni equivalenti.

Importante: è consigliabile effettuare trasformazioni tali che il segno della disuguaglianza non cambi! Cioè, durante le trasformazioni, non è desiderabile moltiplicare per un numero negativo e non è possibile elevarlo al quadrato se una delle parti è negativa.

Consideriamo alcune situazioni tipiche.

1. Esponenziazione.

Esempio.

Che è di più: o?

Soluzione.

Poiché entrambi i lati della disuguaglianza sono positivi, possiamo elevarla al quadrato per eliminare la radice:

Esempio.

Che è di più: o?

Soluzione.

Qui possiamo anche elevarlo al quadrato, ma questo ci aiuterà solo a sbarazzarci della radice quadrata. Qui è necessario elevarlo a tal punto che entrambe le radici scompaiono. Ciò significa che l'esponente di questo grado deve essere divisibile sia per (grado della prima radice) che per. Questo numero viene quindi elevato all'esima potenza:

2. Moltiplicazione per il suo coniugato.

Esempio.

Che è di più: o?

Soluzione.

Moltiplichiamo e dividiamo ciascuna differenza per la somma coniugata:

Ovviamente, il denominatore a destra è maggiore del denominatore a sinistra. Pertanto la frazione di destra è minore di quella di sinistra:

3. Sottrazione

Ricordiamolo.

Esempio.

Che è di più: o?

Soluzione.

Naturalmente potremmo far quadrare tutto, riorganizzarci e quadrare di nuovo. Ma puoi fare qualcosa di più intelligente:

Si può vedere che sul lato sinistro ogni termine è minore di ogni termine sul lato destro.

Di conseguenza, la somma di tutti i termini del lato sinistro è inferiore alla somma di tutti i termini del lato destro.

Ma fa attenzione! Ci è stato chiesto cosa altro...

Il lato destro è più grande.

Esempio.

Confronta i numeri e...

Soluzione.

Ricordiamo le formule della trigonometria:

Controlliamo in quali quarti del cerchio trigonometrico si trovano i punti e la menzogna.

4. Divisione.

Anche qui usiamo una semplice regola: .

A o, cioè.

Quando il segno cambia: .

Esempio.

Confrontare: .

Soluzione.

5. Confronta i numeri con il terzo numero

Se e, allora (legge di transitività).

Esempio.

Confrontare.

Soluzione.

Confrontiamo i numeri non tra loro, ma con il numero.

E' ovvio.

Dall'altro lato, .

Esempio.

Che è di più: o?

Soluzione.

Entrambi i numeri sono più grandi, ma più piccoli. Selezioniamo un numero tale che sia maggiore di uno, ma minore dell'altro. Per esempio, . Controlliamo:

6. Cosa fare con i logaritmi?

Niente di speciale. Come sbarazzarsi dei logaritmi è descritto in dettaglio nell'argomento. Le regole di base sono:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \cuneo (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \cuneo y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Possiamo anche aggiungere una regola sui logaritmi con basi diverse e lo stesso argomento:

Si può spiegare così: più grande è la base, minore sarà il grado di innalzamento per ottenere la stessa cosa. Se la base è più piccola è vero il contrario, poiché la funzione corrispondente è monotonicamente decrescente.

Esempio.

Confronta i numeri: e.

Soluzione.

Secondo le regole di cui sopra:

E ora la formula per l'avanzato.

La regola per confrontare i logaritmi può essere scritta più brevemente:

Esempio.

Che è di più: o?

Soluzione.

Esempio.

Confronta quale numero è maggiore: .

Soluzione.

CONFRONTO DI NUMERI. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

1. Esponenziazione

Se entrambi i lati della disuguaglianza sono positivi, possono essere elevati al quadrato per eliminare la radice

2. Moltiplicazione per il suo coniugato

Un coniugato è un fattore che completa l'espressione con la formula della differenza dei quadrati: - coniugato per e viceversa, perché .

3. Sottrazione

4. Divisione

Quando o quello è

Quando il segno cambia:

5. Confronto con il terzo numero

Se e poi

6. Confronto di logaritmi

Regole di base:

Logaritmi con basi diverse e lo stesso argomento:

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!

Ora la cosa più importante.

Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, questo... è semplicemente fantastico! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.

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Numeri negativi e immaginari

Ora osiamo dedicarci all'algebra. L'uso di numeri negativi e immaginari in algebra conferma la natura in quattro parti dell'analisi e fornisce un'ulteriore possibilità di utilizzare l'analisi in tre parti. In questo caso dobbiamo ancora una volta avvertire che intendiamo utilizzare i concetti dell'algebra per scopi ben oltre la normale applicazione di questi concetti, poiché alcune delle scoperte dell'algebra danno un contributo significativo alla nostra ricerca.

L'evoluzione della matematica ha fatto passi da gigante dopo la scoperta della possibilità di utilizzare numeri negativi ( quantità negative). Se immaginiamo i numeri positivi come una serie che va a destra dello zero, allora a sinistra dello zero ci saranno i numeri negativi.
ecc... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3... ecc.

Utilizzando questo grafico, possiamo pensare all'addizione come allo spostamento verso destra e alla sottrazione come allo spostamento verso sinistra. Diventa possibile sottrarre un numero maggiore da uno minore; ad esempio, se sottraiamo 3 da 1, otteniamo -2, che è un numero reale (anche se negativo).

Il prossimo concetto importante sono i numeri immaginari. Non sono stati scoperti, ma piuttosto scoperti per caso. I matematici sono giunti alla conclusione che i numeri hanno radici, cioè numeri che, moltiplicati per se stessi, danno il numero desiderato. La scoperta dei numeri negativi e il loro confronto con le radici provocò il panico negli ambienti scientifici. Quali sono i numeri che se moltiplicati tra loro darebbero il numero -1? Per qualche tempo non ci fu risposta. La radice quadrata di un numero negativo era impossibile da calcolare. Ecco perché lo chiamavano immaginario. Ma quando Gauss, soprannominato il “Principe dei matematici”, scoprì un metodo per rappresentare i numeri immaginari, divenne presto possibile utilizzarli. Oggi vengono utilizzati alla pari dei numeri reali. Il metodo di rappresentazione dei numeri immaginari utilizza un diagramma di Argand, che rappresenta l'intero come un cerchio e le radici di questo insieme come sezioni del cerchio.

Ricordiamo che una serie di numeri negativi e positivi divergono in direzioni opposte da un punto: zero. Pertanto, le radici quadrate degli interi, +1 o -1, possono anche essere espresse come estremità opposte di una linea con zero al centro. Questa linea può anche essere rappresentata come un angolo di 180 0, o diametro.

Gauss sviluppò l'idea originale e descrisse la radice quadrata di -1 come la metà della distanza tra +1 e -1, o come l'angolo di 90° tra la linea da -1 a +1. Di conseguenza, se la divisione del tutto in più e meno è un diametro, cioè 180 0, allora la seconda divisione porta alla comparsa di un altro asse, che divide questo diametro a metà, cioè di un angolo di 90 0.

Pertanto, otteniamo due assi: uno orizzontale, che rappresenta gli infiniti dei numeri positivi e negativi, e uno verticale, che rappresenta gli infiniti dei numeri positivi e negativi immaginari. Il risultato è un asse di coordinate regolari, dove il numero descritto da questo diagramma e dagli assi è un numero che ha parti reali e immaginarie.

Utilizzando il diagramma di Argand (questo cerchio con il raggio dell'intero (raggio +1) su un sistema di coordinate complesso), troviamo le seguenti radici dell'intero (radici cubiche, radici alla quarta, quinta potenza, ecc.) semplicemente dividere il cerchio in tre, cinque, ecc. d. Trovare una radice intera diventa un processo di inscrizione di poligoni in un cerchio: un triangolo per una radice cubica, un pentagono per una quinta radice, ecc. Le radici diventano punti sul cerchio; i loro valori hanno parte reale e parte immaginaria e sono calcolati, rispettivamente, lungo l'asse delle coordinate orizzontale o verticale. Ciò significa che sono misurati in termini radici quadrate e radici alla quarta potenza.

Da questa potente semplificazione logica diventa chiaro che l'analisi è un processo in quattro parti. Qualsiasi situazione può essere considerata dal punto di vista di quattro fattori o aspetti. Ciò non solo conferma ulteriormente l'idea di Aristotele delle quattro categorie, ma spiega anche perché le equazioni quadratiche (in altre parole, "quadrilateri") sono così popolari in matematica.

Ma la conclusione sulla natura quadripartita dell'analisi presuppone essenzialmente il suo lavoro in entrambe le direzioni. L’analisi mostra sia la completezza delle quattro parti sia i suoi limiti. E anche il fatto che a volte l'essenza dell'esperienza sfugge a qualsiasi analisi.

Essendo “dentro” il metodo geometrico, abbiamo dimostrato che questi fattori non analitici includono la triplicità, la quinta e la settima. Nonostante siamo in grado di darne una descrizione analitica, non siamo in grado di rivelare la loro vera natura.

Esistono molti tipi di numeri, uno di questi sono i numeri interi. Sembrava che i numeri interi facilitassero il conteggio non solo nella direzione positiva, ma anche in quella negativa.

Diamo un'occhiata ad un esempio:
Durante il giorno la temperatura esterna era di 3 gradi. Verso sera la temperatura è scesa di 3 gradi.
3-3=0
Fuori sono diventati 0 gradi. E di notte la temperatura è scesa di 4 gradi e il termometro ha cominciato a segnare -4 gradi.
0-4=-4

Una serie di numeri interi.

Non possiamo descrivere un problema del genere utilizzando i numeri naturali; lo considereremo su una linea di coordinate.

Abbiamo una serie di numeri:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Questa serie di numeri si chiama serie di numeri interi.

Interi positivi. Interi negativi.

La serie di numeri interi è composta da numeri positivi e negativi. A destra dello zero ci sono i numeri naturali, o vengono anche chiamati interi positivi. E a sinistra dello zero vanno interi negativi.

Lo zero non è né un numero positivo né negativo. È il confine tra numeri positivi e negativi.

è un insieme di numeri costituito da numeri naturali, numeri interi negativi e zero.

Una serie di numeri interi in direzione positiva e negativa lo è un numero infinito.

Se prendiamo due numeri interi qualsiasi, verranno chiamati i numeri tra questi numeri interi insieme finito.

Per esempio:
Prendiamo i numeri interi da -2 a 4. Tutti i numeri compresi tra questi numeri sono inclusi nell'insieme finito. La nostra serie finale di numeri è simile a questa:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

I numeri naturali si indicano con la lettera latina N.
Gli interi sono indicati con la lettera latina Z. L'intero insieme dei numeri naturali e degli interi può essere rappresentato in un'immagine.


Interi non positivi in altre parole, sono numeri interi negativi.
Interi non negativi sono numeri interi positivi.