Il minimo comune multiplo di due numeri è direttamente correlato al massimo comun divisore di tali numeri. Questo connessione tra GCD e NOCè determinata dal seguente teorema.

Teorema.

Il minimo comune multiplo di due interi positivi a e b è uguale al prodotto di a e b diviso per il massimo comun divisore di a e b, cioè LCM(a, b)=a b:MCD(a, b).

Prova.

Permettere M è un multiplo dei numeri a e b. Cioè, M è divisibile per a, e per la definizione di divisibilità, esiste un intero k tale che l'uguaglianza M=a·k è vera. Ma M è divisibile anche per b, quindi a·k è divisibile per b.

Indichiamo mcd(a, b) come d. Allora possiamo scrivere le uguaglianze a=a 1 ·d e b=b 1 ·d, e a 1 =a:d e b 1 =b:d saranno numeri primi relativi. Di conseguenza, la condizione ottenuta nel paragrafo precedente che a · k è divisibile per b può essere riformulata come segue: a 1 · d · k è diviso per b 1 · d , e questo, per le proprietà di divisibilità, equivale alla condizione che a 1 · k è divisibile per b 1 .

Occorre inoltre annotare due importanti corollari del teorema considerato.

I multipli comuni di due numeri sono uguali ai multipli del loro minimo comune multiplo.

In effetti è così, poiché qualsiasi multiplo comune di M dei numeri aeb è determinato dall'uguaglianza M=LMK(a, b)·t per un valore intero t.

Minimo comune multiplo di coprimo numeri positivi a e b sono uguali al loro prodotto.

La ragione di questo fatto è abbastanza ovvia. Poiché a e b sono primi tra loro, allora mcd(a, b)=1, quindi, MCD(a, b)=a b: MCD(a, b)=a b:1=a b.

Minimo comune multiplo di tre o più numeri

Trovare il minimo comune multiplo di tre o più numeri può essere ridotto alla ricerca sequenziale del MCM di due numeri. Come ciò avviene è indicato nel teorema seguente. a 1 , a 2 , …, a k coincidono con i multipli comuni dei numeri m k-1 e a k coincidono quindi con i multipli comuni del numero m k . E poiché il più piccolo multiplo positivo del numero m k è il numero m k stesso, allora il più piccolo multiplo comune dei numeri a 1, a 2, ..., a k è m k.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. e altri. 6a elementare: libro di testo per istituti di istruzione generale.
• Vinogradov I.M. Fondamenti di teoria dei numeri.
• Mikhelovich Sh.H. Teoria dei numeri.
• Kulikov L.Ya. e altri. Raccolta di problemi di algebra e teoria dei numeri: Esercitazione per studenti di fisica e matematica. specialità degli istituti pedagogici.

Come trovare LCM (minimo comune multiplo)

Un multiplo comune di due numeri interi è un numero intero divisibile per entrambi i numeri dati senza lasciare resto.

Il minimo comune multiplo di due numeri interi è il più piccolo tra tutti i numeri interi divisibile per entrambi i numeri dati senza lasciare resto.

Metodo 1. Puoi trovare il MCM, a sua volta, per ciascuno dei numeri indicati, scrivendo in ordine crescente tutti i numeri che si ottengono moltiplicandoli per 1, 2, 3, 4 e così via.

Esempio per i numeri 6 e 9.
Moltiplichiamo il numero 6, in sequenza, per 1, 2, 3, 4, 5.
Otteniamo: 6, 12, 18 , 24, 30
Moltiplichiamo il numero 9, in sequenza, per 1, 2, 3, 4, 5.
Otteniamo: 9, 18 , 27, 36, 45
Come puoi vedere, il MCM per i numeri 6 e 9 sarà uguale a 18.

Questo metodo è utile quando entrambi i numeri sono piccoli ed è facile moltiplicarli per una sequenza di numeri interi. Tuttavia, ci sono momenti in cui è necessario trovare l'LCM per due cifre o numeri a tre cifre, e anche quando ci sono tre o più numeri iniziali.

Metodo 2. Puoi trovare il LCM fattorizzando i numeri originali in fattori primi.
Dopo la scomposizione, è necessario cancellare i numeri identici dalla serie risultante di fattori primi. I numeri rimanenti del primo numero saranno un moltiplicatore per il secondo, e i numeri rimanenti del secondo saranno un moltiplicatore per il primo.

Esempio per i numeri 75 e 60.
Il minimo comune multiplo dei numeri 75 e 60 può essere trovato senza scrivere i multipli di questi numeri in una riga. Per fare ciò, fattorizziamo 75 e 60 in fattori semplici:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Come puoi vedere, i fattori 3 e 5 compaiono in entrambe le righe. Li “cancelliamo” mentalmente.
Scriviamo i restanti fattori inclusi nell'espansione di ciascuno di questi numeri. Quando scomponiamo il numero 75, ci rimane il numero 5, mentre quando scomponiamo il numero 60, ci rimane 2 * 2
Ciò significa che per determinare il MCM per i numeri 75 e 60, dobbiamo moltiplicare i numeri rimanenti dall'espansione di 75 (questo è 5) per 60 e moltiplicare i numeri rimanenti dall'espansione di 60 (questo è 2 *2) per 75. Cioè, per comodità di comprensione, diciamo che stiamo moltiplicando “trasversalmente”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
È così che abbiamo trovato l’LCM per i numeri 60 e 75. Questo è il numero 300.

Esempio. Determina il MCM per i numeri 12, 16, 24
In questo caso, le nostre azioni saranno leggermente più complicate. Ma prima, come sempre, fattorizziamo tutti i numeri
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Per determinare correttamente il MCM, selezioniamo il più piccolo di tutti i numeri (questo è il numero 12) e esaminiamo in sequenza i suoi fattori, cancellandoli se in almeno una delle altre righe di numeri incontriamo lo stesso fattore che non è ancora stato stato cancellato.

Passo 1 . Vediamo che 2 * 2 ricorre in tutte le serie di numeri. Cancelliamoli.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Passaggio 2. Nei fattori primi del numero 12 rimane solo il numero 3, ma è presente nei fattori primi del numero 24. Cancelliamo il numero 3 da entrambe le righe, mentre per il numero 16 non è prevista alcuna azione. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Come puoi vedere, scomponendo il numero 12, abbiamo “cancellato” tutti i numeri. Ciò significa che l'individuazione del LOC è completata. Non resta che calcolarne il valore.
Per il numero 12, prendi i restanti fattori del numero 16 (successivi in ​​ordine crescente)
12 * 2 * 2 = 48
Questo è il NOC

Come puoi vedere, in questo caso, trovare l'LCM è stato un po' più difficile, ma quando devi trovarlo per tre o più numeri, questo metodo ti permette di farlo più velocemente. Tuttavia, entrambi i metodi per trovare l'LCM sono corretti.

Diamo un'occhiata a tre modi per trovare il minimo comune multiplo.

Determinazione tramite fattorizzazione

Il primo metodo consiste nel trovare il minimo comune multiplo scomponendo i numeri dati in fattori primi.

Diciamo che dobbiamo trovare il MCM dei numeri: 99, 30 e 28. Per fare ciò, fattorizziamo ciascuno di questi numeri in fattori primi:

Affinché il numero desiderato sia divisibile per 99, 30 e 28, è necessario e sufficiente che includa tutti i fattori primi di questi divisori. Per fare ciò, dobbiamo prendere tutti i fattori primi di questi numeri alla massima potenza possibile e moltiplicarli tra loro:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Pertanto, MCM (99, 30, 28) = 13.860 Nessun altro numero inferiore a 13.860 è divisibile per 99, 30 o 28.

Per trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri, li scomponi nei loro fattori primi, quindi prendi ciascun fattore primo con l'esponente più grande in cui appare e moltiplica questi fattori insieme.

Poiché i numeri relativamente primi non hanno fattori primi comuni, il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto di questi numeri. Ad esempio, tre numeri: 20, 49 e 33 sono primi tra loro. Ecco perché

MCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Lo stesso deve essere fatto quando si trova il minimo comune multiplo di diversi numeri primi. Ad esempio, MCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Trovare per selezione

Il secondo metodo consiste nel trovare il minimo comune multiplo mediante selezione.

Esempio 1. Quando il più grande dei numeri dati viene diviso per un altro numero dato, il MCM di questi numeri è uguale al più grande di essi. Ad esempio, dati quattro numeri: 60, 30, 10 e 6. Ciascuno di essi è divisibile per 60, quindi:

MCM(60, 30, 10, 6) = 60

Negli altri casi, per trovare il minimo comune multiplo, si utilizza la seguente procedura:

1. Determina il numero più grande dai numeri dati.
2. Successivamente, troviamo i numeri che sono multipli del numero più grande moltiplicandolo per numeri interi in ordine crescente e controllando se i numeri rimanenti sono divisibili per il prodotto risultante.

Esempio 2. Dati tre numeri 24, 3 e 18. Determiniamo il più grande: questo è il numero 24. Successivamente, troviamo i numeri che sono multipli di 24, controllando se ciascuno di essi è divisibile per 18 e 3:

24 · 1 = 24 - divisibile per 3, ma non divisibile per 18.

24 · 2 = 48 - divisibile per 3, ma non divisibile per 18.

24 · 3 = 72 - divisibile per 3 e 18.

Pertanto, MCM (24, 3, 18) = 72.

Trovare trovando in sequenza l'LCM

Il terzo metodo consiste nel trovare il minimo comune multiplo trovando sequenzialmente l'LCM.

Il MCM di due numeri dati è uguale al prodotto di questi numeri diviso per il loro massimo comun divisore.

Esempio 1. Trova il MCM di due numeri dati: 12 e 8. Determina il loro massimo comun divisore: MCD (12, 8) = 4. Moltiplica questi numeri:

Dividiamo il prodotto per il loro MCD:

Pertanto, MCM (12, 8) = 24.

Per trovare il MCM di tre o più numeri, utilizzare la seguente procedura:

1. Per prima cosa, trova il MCM di due qualsiasi di questi numeri.
2. Quindi, MCM del minimo comune multiplo trovato e del terzo numero indicato.
3. Quindi, il MCM del minimo comune multiplo risultante e del quarto numero, ecc.
4. Pertanto, la ricerca di LCM continua finché ci sono numeri.

Esempio 2. Troviamo il MCM di tre numeri dati: 12, 8 e 9. Abbiamo già trovato il MCM dei numeri 12 e 8 nell'esempio precedente (questo è il numero 24). Resta da trovare il minimo comune multiplo del numero 24 e il terzo numero dato - 9. Determina il loro massimo comun divisore: MCD (24, 9) = 3. Moltiplica il MCM per il numero 9:

Dividiamo il prodotto per il loro MCD:

Pertanto, MCM (12, 8, 9) = 72.

L'argomento "Multipli" viene studiato al grado 5 scuola media. Il suo obiettivo è migliorare le capacità di calcolo matematico scritto e orale. In questa lezione vengono introdotti nuovi concetti: "numeri multipli" e "divisori", viene praticata la tecnica per trovare divisori e multipli di un numero naturale e la capacità di trovare LCM in vari modi.

Questo argomento è molto importante. La sua conoscenza può essere applicata quando si risolvono esempi con le frazioni. Per fare ciò, è necessario trovare il denominatore comune calcolando il minimo comune multiplo (LCM).

Un multiplo di A è un numero intero divisibile per A senza resto.

Ogni numero naturale ha infiniti multipli di esso. È esso stesso considerato il più piccolo. Il multiplo non può essere inferiore al numero stesso.

Devi dimostrare che il numero 125 è un multiplo di 5. Per fare ciò, devi dividere il primo numero per il secondo. Se 125 è divisibile per 5 senza resto, la risposta è sì.

Questo metodo è applicabile per piccoli numeri.

Esistono casi speciali nel calcolo del LOC.

1. Se devi trovare un multiplo comune di 2 numeri (ad esempio, 80 e 20), dove uno di essi (80) è divisibile per l'altro (20), allora questo numero (80) è il minimo multiplo di questi due numeri.

MCM(80, 20) = 80.

2. Se due non hanno un divisore comune, allora possiamo dire che il loro MCM è il prodotto di questi due numeri.

MCM(6, 7) = 42.

Diamo un'occhiata all'ultimo esempio. 6 e 7 rispetto a 42 sono divisori. Dividono un multiplo di un numero senza resto.

In questo esempio, 6 e 7 sono fattori accoppiati. Il loro prodotto è uguale al numero più multiplo (42).

Un numero si dice primo se è divisibile solo per se stesso o per 1 (3:1=3; 3:3=1). Il resto si chiama composito.

Un altro esempio riguarda la determinazione se 9 è un divisore di 42.

42:9=4 (resto 6)

Risposta: 9 non è un divisore di 42 perché la risposta ha resto.

Un divisore differisce da un multiplo in quanto il divisore è il numero per cui vengono divisi i numeri naturali e il multiplo stesso è divisibile per questo numero.

Massimo comun divisore di numeri UN E B, moltiplicato per il loro minimo multiplo, darà il prodotto dei numeri stessi UN E B.

Vale a dire: mcd (a, b) x mcd (a, b) = a x b.

I multipli comuni per i numeri più complessi si trovano nel modo seguente.

Ad esempio, trova l'LCM per 168, 180, 3024.

Scomponiamo questi numeri in fattori semplici e li scriviamo come prodotto di potenze:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

VLCM(168, 180, 3024) = 15120.

Le espressioni e i problemi matematici richiedono molte conoscenze aggiuntive. NOC è uno dei principali, usato spesso soprattutto in L'argomento viene studiato alle scuole superiori, e non è particolarmente difficile comprendere il materiale una persona che ha familiarità con le potenze e la tavola pitagorica non avrà difficoltà a identificare i numeri necessari e scoprire il risultato.

Definizione

Un multiplo comune è un numero che può essere completamente diviso in due numeri contemporaneamente (a e b). Molto spesso, questo numero si ottiene moltiplicando i numeri originali a e b. Il numero deve essere divisibile per entrambi i numeri contemporaneamente, senza deviazioni.

NOC è la designazione accettata nome corto, raccolti dalle prime lettere.

Modi per ottenere un numero

Il metodo di moltiplicazione dei numeri non è sempre adatto per trovare il MCM; è molto più adatto per numeri semplici a una o due cifre. È consuetudine dividere in fattori; maggiore è il numero, maggiori saranno i fattori.

Esempio 1

Per l'esempio più semplice, le scuole utilizzano solitamente numeri primi, a una o due cifre. Ad esempio, devi risolvere il seguente compito, trovare il minimo comune multiplo dei numeri 7 e 3, la soluzione è abbastanza semplice, basta moltiplicarli. Di conseguenza, esiste un numero 21, semplicemente non esiste un numero più piccolo.

Esempio n.2

La seconda versione del compito è molto più difficile. Vengono forniti i numeri 300 e 1260, trovare il LOC è obbligatorio. Per risolvere il problema si ipotizzano le seguenti azioni:

Scomposizione del primo e del secondo numero in fattori semplici. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. La prima fase è completata.

La seconda fase prevede di lavorare con i dati già ottenuti. Ciascuno dei numeri ricevuti deve partecipare al calcolo del risultato finale. Per ogni moltiplicatore, il massimo gran numero occorrenze. NOC lo è numero totale, quindi, i fattori dei numeri devono essere ripetuti in esso, tutti, anche quelli presenti in una copia. Entrambi i numeri iniziali contengono i numeri 2, 3 e 5, in gradi diversi,7 è presente in un solo caso.

Per calcolare il risultato finale, devi prendere ciascun numero nella potenza più grande rappresentata nell'equazione. Non resta che moltiplicare e ottenere la risposta; se compilato correttamente, il compito si svolge in due passaggi senza spiegazione:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2)NOC = 6300.

Questo è il problema, se provi a calcolare il numero richiesto mediante moltiplicazione, la risposta sicuramente non sarà corretta, poiché 300 * 1260 = 378.000.

Visita medica:

6300/300 = 21 - corretto;

6300/1260 = 5 - corretto.

La correttezza del risultato ottenuto viene determinata controllando: dividendo l'LCM per entrambi i numeri originali, se il numero è intero in entrambi i casi, la risposta è corretta;

Cosa significa NOC in matematica?

Come sai, non esiste una sola funzione inutile in matematica, questa non fa eccezione. Lo scopo più comune di questo numero è ridurre le frazioni a un denominatore comune. Ciò che di solito viene studiato nelle classi 5-6 Scuola superiore. È anche un divisore comune per tutti i multipli, se tali condizioni sono presenti nel problema. Tale espressione può trovare multipli non solo di due numeri, ma anche di molti Di più- tre, cinque e così via. Come più numeri- più azioni ci sono nell'attività, ma la complessità non aumenta.

Ad esempio, dati i numeri 250, 600 e 1500, è necessario trovare il loro LCM comune:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - questo esempio descrive la fattorizzazione in dettaglio, senza riduzione.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Per comporre un'espressione è necessario menzionare tutti i fattori, in questo caso vengono indicati 2, 5, 3 - per tutti questi numeri è necessario determinare il grado massimo.

Attenzione: tutti i fattori devono essere portati alla massima semplificazione, se possibile, scomposti a livello di una cifra.

Visita medica:

1) 3000/250 = 12 - corretto;

2) 3000/600 = 5 - vero;

3) 3000/1500 = 2 - corretto.

Questo metodo non richiede trucchi o abilità di livello geniale, tutto è semplice e chiaro.

Un altro modo

In matematica molte cose sono connesse, molte cose si possono risolvere in due o più modi, lo stesso vale per trovare il minimo comune multiplo, MCM. Il seguente metodo può essere utilizzato nel caso di numeri semplici a due cifre e ad una cifra. Viene compilata una tabella in cui il moltiplicando viene inserito verticalmente, il moltiplicatore orizzontalmente e il prodotto è indicato nelle celle che si intersecano della colonna. Puoi riflettere la tabella utilizzando una linea, prendere un numero e annotare i risultati della moltiplicazione di questo numero per numeri interi, da 1 a infinito, a volte bastano 3-5 punti, il secondo e i numeri successivi subiscono lo stesso processo di calcolo. Tutto accade finché non viene trovato un multiplo comune.

Dati i numeri 30, 35, 42, devi trovare l'LCM che collega tutti i numeri:

1) Multipli di 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, ecc.

2) Multipli di 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, ecc.

3) Multipli di 42: 84, 126, 168, 210, 252, ecc.

È evidente che tutti i numeri sono abbastanza diversi, l'unico numero comune tra loro è 210, quindi sarà il NOC. Tra i processi coinvolti in questo calcolo c'è anche un massimo comun divisore, che viene calcolato secondo principi simili e si incontra spesso in problemi vicini. La differenza è piccola, ma piuttosto significativa, LCM implica il calcolo di un numero diviso per tutti i valori iniziali indicati e GCD implica il calcolo valore più alto con cui vengono divisi i numeri originali.