Interi: rappresentazione generale. Comprendere i numeri interi

La frase " insiemi di numeri" è abbastanza comune nei libri di testo di matematica. Lì puoi spesso trovare frasi come questa:

“Blah blah blah, dove appartiene l’insieme dei numeri naturali.”

Spesso, invece della fine di una frase, puoi vedere qualcosa di simile. Ha lo stesso significato del testo poco sopra: un numero appartiene all'insieme dei numeri naturali. Molte persone molto spesso non prestano attenzione a quale insieme è definita questa o quella variabile. Di conseguenza, quando si risolve un problema o si dimostra un teorema vengono utilizzati metodi completamente errati. Ciò si verifica perché le proprietà dei numeri appartenenti a insiemi diversi possono differire.

Non ci sono così tanti insiemi numerici. Di seguito puoi vedere le definizioni di vari insiemi di numeri.

L'insieme dei numeri naturali comprende tutti i numeri interi maggiori di zero: numeri interi positivi.

Ad esempio: 1, 3, 20, 3057. Il set non include il numero 0.

Dentro numero impostato include tutti i numeri interi maggiori e minori di zero, e anche zero.

Ad esempio: -15, 0, 139.

I numeri razionali, in generale, sono un insieme di frazioni che non possono essere cancellate (se una frazione viene cancellata, allora sarà già un intero, e in questo caso non è necessario introdurre un altro insieme di numeri).

Un esempio di numeri inclusi nell'insieme razionale: 3/5, 9/7, 1/2.

,

dove è una sequenza finita di cifre della parte intera di un numero appartenente all'insieme dei numeri reali. Questa sequenza è finita, cioè il numero di cifre nella parte intera di un numero reale è finito.

– una sequenza infinita di numeri che fanno parte della parte frazionaria di un numero reale. Si scopre che la parte frazionaria contiene un numero infinito di numeri.

Tali numeri non possono essere rappresentati come una frazione. Altrimenti tale numero potrebbe essere classificato come un insieme di numeri razionali.

Esempi di numeri reali:

Diamo uno sguardo più da vicino al significato della radice di due. La parte intera contiene solo una cifra - 1, quindi possiamo scrivere:

Nella parte frazionaria (dopo il punto), compaiono in sequenza i numeri 4, 1, 4, 2 e così via. Pertanto per le prime quattro cifre possiamo scrivere:

Oserei sperare che ora la definizione dell'insieme dei numeri reali sia diventata più chiara.

Conclusione

Va ricordato che la stessa funzione può essere esibita completamente proprietà diverse a seconda dell'insieme a cui appartiene la variabile. Quindi ricorda le nozioni di base: ti torneranno utili.

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Cosa significa un numero intero?

Quindi, diamo un'occhiata a quali numeri sono chiamati interi.

Pertanto, i seguenti numeri saranno indicati con numeri interi: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, ecc.

L'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme degli interi, cioè Qualsiasi numero naturale sarà un numero intero, ma non tutti i numeri interi sono un numero naturale.

Interi positivi e interi negativi

Definizione 2

più.

I numeri $3, 78, 569, 10450$ sono numeri interi positivi.

Definizione 3

sono numeri interi con segno meno.

I numeri $−3, −78, −569, -10450$ sono numeri interi negativi.

Nota 1

Il numero zero non è né un numero intero positivo né negativo.

Interi positivi sono numeri interi maggiori di zero.

Interi negativi sono numeri interi minori di zero.

L'insieme degli interi naturali è l'insieme di tutti gli interi positivi, mentre l'insieme di tutti i numeri naturali opposti è l'insieme di tutti gli interi. numeri negativi.

Interi non positivi e non negativi

Vengono chiamati tutti i numeri interi positivi e lo zero numeri interi non negativi.

Interi non positivi sono tutti numeri interi negativi e il numero $0$.

Nota 2

Così, intero non negativo sono numeri interi maggiori di zero o uguali a zero, e intero non positivo– numeri interi minori di zero o uguali a zero.

Ad esempio, numeri interi non positivi: $−32, −123, 0, −5$ e numeri interi non negativi: $54, 123, 0, 856.342.$

Descrivere i cambiamenti nelle quantità utilizzando numeri interi

I numeri interi vengono utilizzati per descrivere le modifiche nel numero di oggetti.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio 1

Lascia che un negozio venda un certo numero di prodotti. Quando il negozio riceve $520$ di articoli di merce, il numero di articoli nel negozio aumenterà e il numero $520$ mostra la variazione del numero in lato positivo. Quando un negozio vende $50$ di articoli di prodotto, il numero di articoli di prodotto nel negozio diminuirà e il numero $50$ esprimerà la variazione del numero in lato negativo. Se il negozio non porta né vende merci, il numero di merci rimarrà invariato (cioè possiamo parlare di una variazione pari a zero nel numero).

Nell'esempio sopra, la variazione del numero di beni è descritta utilizzando rispettivamente i numeri interi $520$, $−50$ e $0$. Valore positivo l'intero $520$ indica un cambiamento nel numero in direzione positiva. Un valore negativo dell'intero $−50$ indica una variazione negativa nel numero. Il numero intero $0$ indica che il numero è immutabile.

I numeri interi sono comodi da usare perché... non è necessaria un'indicazione esplicita dell'aumento o della diminuzione del numero: il segno del numero intero indica la direzione del cambiamento e il valore indica il cambiamento quantitativo.

Usando i numeri interi puoi esprimere non solo una variazione di quantità, ma anche una variazione di qualsiasi quantità.

Consideriamo un esempio di variazione del costo di un prodotto.

Esempio 2

Un aumento di valore, ad esempio, di 20$ rubli viene espresso utilizzando un numero intero positivo $20$. Una diminuzione del prezzo, ad esempio, di 5$ rubli viene descritta utilizzando un numero intero negativo $−5$. Se non vi è alcuna variazione di valore, tale variazione viene determinata utilizzando il numero intero $0$.

Consideriamo separatamente il significato dei numeri interi negativi come importo del debito.

Esempio 3

Ad esempio, una persona possiede 5.000 rubli. Quindi, utilizzando il numero intero positivo $5.000$, puoi mostrare il numero di rubli che possiede. Una persona deve pagare un affitto per un importo di 7.000$ rubli, ma non ha quella somma di denaro, nel qual caso una situazione del genere è descritta da un numero intero negativo $−7.000$. In questo caso, la persona ha $ −7.000 $ rubli, dove "-" indica il debito e il numero $ 7.000 $ indica l'importo del debito.

Proprietà algebriche

Collegamenti

Fondazione Wikimedia.

• 2010.
• Baciare i poliziotti

Cose intere

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Libri

• Aritmetica: numeri interi. Sulla divisibilità dei numeri. Misurazione delle quantità. Sistema metrico di misure. Ordinario, Kiselev, Andrey Petrovich. Presentiamo all'attenzione dei lettori un libro dell'eccezionale insegnante e matematico russo A.P. Kiselev (1852-1940), contenente un corso sistematico di aritmetica. Il libro comprende sei sezioni.…

Note importanti!
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2. Prima di iniziare a leggere l'articolo, presta maggiormente attenzione al nostro navigatore risorsa utile Per

Per renderti la vita MOLTO più semplice quando devi calcolare qualcosa, per guadagnare tempo prezioso nell'Esame di Stato Unificato o nell'Esame di Stato Unificato, per commettere meno errori stupidi: leggi questa sezione!

Ecco cosa imparerai:

• come contare più velocemente, più facilmente e con maggiore precisioneraggruppamento numericoquando si aggiungono e sottraggono,
• come moltiplicare e dividere rapidamente senza errori utilizzando Regole di moltiplicazione e segni di divisibilità,
• come velocizzare significativamente i calcoli utilizzando minimo comune multiplo(NOK) e massimo comun divisore(CENNO).

La padronanza delle tecniche di questa sezione può far pendere la bilancia in una direzione o nell'altra... che tu entri o meno nell'università dei tuoi sogni, tu o i tuoi genitori dovrete pagare un sacco di soldi per l'istruzione o vi iscriverete con un budget limitato .

Immergiamoci subito... (Andiamo!)

PS ULTIMO PREZIOSO CONSIGLIO...

Un mucchio di numeri interiè composto da 3 parti:

1. numeri interi(li vedremo più nel dettaglio di seguito);
2. numeri opposti ai numeri naturali(tutto andrà a posto non appena saprai cosa sono i numeri naturali);
3. zero-" " (dove saremmo senza di lui?)

lettera Z.

Numeri interi

“Dio ha creato i numeri naturali, tutto il resto è opera delle mani dell'uomo” (c) matematico tedesco Kronecker.

I numeri naturali lo sono numeri che usiamo per contare gli oggetti e su questo si basa la loro storia di origine: la necessità di contare frecce, pelli, ecc.

1, 2, 3, 4...n

lettera n.

Pertanto questa definizione non comprende (non si può contare ciò che non c’è?) e, a maggior ragione, non comprende valori negativi(c'è una mela?).

Inoltre, tutti i numeri frazionari non sono inclusi (non possiamo nemmeno dire “ho un laptop” o “ho venduto automobili”)

Qualunque numero naturale può essere scritto utilizzando 10 cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Quindi 14 non è un numero. Questo è il numero. Da quali numeri è composto? Esatto, dai numeri e...

Aggiunta. Raggruppare quando si aggiunge per contare più velocemente e commettere meno errori

Quali cose interessanti puoi dire su questa procedura? Naturalmente ora risponderai “il valore della somma non cambia riordinando i termini”. Sembrerebbe che questa sia una regola primitiva, familiare fin dalla prima elementare, tuttavia, quando si risolvono esempi di grandi dimensioni dimenticato all'istante!

Non dimenticarti di lui -utilizzare il raggruppamento, per semplificarti il ​​processo di conteggio e ridurre la probabilità di errori, perché non avrai una calcolatrice all'esame di stato unificato.

Scopri tu stesso quale espressione è più facile da mettere insieme?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Ovviamente la seconda! Anche se il risultato è lo stesso. Ma! Considerando il secondo metodo hai meno possibilità di sbagliare e farai tutto più velocemente!

Quindi, nella tua testa pensi così:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Sottrazione. Raggruppare durante la sottrazione per contare più velocemente e commettere meno errori

Durante la sottrazione possiamo anche raggruppare i numeri che stiamo sottraendo, ad esempio:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Cosa succede se nell'esempio la sottrazione si alterna all'addizione? Puoi anche raggruppare, rispondi, ed è corretto. Per favore, non dimenticare i segni prima dei numeri, ad esempio: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Ricorda: i segnali posizionati in modo errato porteranno a un risultato errato.

Moltiplicazione. Come moltiplicare nella tua testa

Ovviamente, cambiando la posizione dei fattori non cambierà nemmeno il valore del prodotto:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Non ti dirò “usa questo quando risolvi gli esempi” (hai capito tu stesso, vero?), ma piuttosto ti dirò come moltiplicare rapidamente alcuni numeri nella tua testa. Quindi, guarda attentamente la tabella:

E qualcosa in più sulla moltiplicazione. Naturalmente ne ricordi due occasioni speciali...Riesci a indovinare cosa intendo? Ecco a riguardo:

Oh sì, guardiamolo di nuovo segni di divisibilità. Ci sono 7 regole in totale basate su criteri di divisibilità, di cui conosci già le prime 3!

Ma il resto non è affatto difficile da ricordare.

7 segni di divisibilità dei numeri che ti aiuteranno a contare rapidamente nella tua testa!

• Naturalmente conosci le prime tre regole.
• Il quarto e il quinto sono facili da ricordare - quando dividiamo per e guardiamo se la somma delle cifre che compongono il numero è divisibile per questo.
• Quando dividiamo per, guardiamo le ultime due cifre di un numero: il numero per cui rendono divisibile?
• Quando si divide per, un numero deve essere divisibile per e per contemporaneamente. Questa è tutta la saggezza.

Ora stai pensando: “perché ho bisogno di tutto questo”?

Innanzitutto si sta svolgendo l'Esame di Stato Unificato senza calcolatrice e queste regole ti aiuteranno a navigare negli esempi.

E in secondo luogo, hai sentito parlare dei problemi GCD E NOC? Questo acronimo è familiare? Cominciamo a ricordare e comprendere.

Massimo Comun Divisore (MCD): necessario per ridurre le frazioni ed eseguire calcoli rapidi

Diciamo che hai due numeri: e. Per quello numero maggiore Entrambi i numeri sono divisibili? Risponderai senza esitazione, perché sai che:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Quali sono i numeri comuni nell'espansione? Esatto, 2 * 2 = 4. Questa era la tua risposta. Tenendo presente questo semplice esempio, non dimenticherai l'algoritmo su come trovarlo GCD. Prova a “costruirlo” nella tua testa. Accaduto?

Per trovare un GCD è necessario:

1. Dividi i numeri in fattori primi (quei numeri che non possono essere divisi per nient'altro se non per se stessi o per, ad esempio, 3, 7, 11, 13, ecc.).
2. Moltiplicateli.

Capisci perché avevamo bisogno di segni di divisibilità? In questo modo guardi il numero e puoi iniziare a dividere senza resto.

Ad esempio, troviamo il MCD dei numeri 290 e 485

Primo numero - .

Guardandolo ti accorgi subito che è divisibile per, scriviamolo:

È impossibile dividerlo in qualcos'altro, ma puoi - e otteniamo:

290 = 29 * 5 * 2

Prendiamo un altro numero: 485.

Secondo i criteri di divisibilità, deve essere divisibile per senza resto, poiché termina con. Dividere:

Analizziamo il numero originale.

• Non può essere diviso per (l'ultima cifra è dispari),
• - non è divisibile per, il che significa che anche il numero non è divisibile per,
• anche per e per non è divisibile (la somma delle cifre incluse in un numero non è divisibile per e per)
• inoltre non è divisibile per, poiché non è divisibile per e,
• inoltre non è divisibile per, poiché non è divisibile per e.
• non può essere completamente diviso

Ciò significa che il numero può essere scomposto solo in e.

Ora troviamo GCD questi numeri. Che numero è questo? Giusto, .

Facciamo pratica?

Compito n. 1. Trova il MCD dei numeri 6240 e 6800

1) Divido per immediatamente, poiché entrambi i numeri sono divisibili al 100% per:

Compito n. 2. Trova il MCD dei numeri 345 e 324

Non riesco a trovarne uno rapidamente qui divisore comune, quindi lo classifico semplicemente in fattori primi (il più piccolo possibile):

Il minimo comune multiplo (LCM): consente di risparmiare tempo, aiuta a risolvere i problemi in modo non standard

Diciamo che hai due numeri - e. Qual è il numero più piccolo per il quale è possibile dividere? senza traccia(cioè completamente)? Difficile da immaginare? Ecco un suggerimento visivo per te:

Ricordi cosa significa la lettera? Esatto, giusto numeri interi. E allora numero più piccolo si adatta al posto x? :

In questo caso.

Da questa semplice esempio Seguono diverse regole.

Regole per trovare rapidamente i NOC

Regola 1: Se uno dei due numeri naturali è divisibile per un altro numero, allora il maggiore dei due numeri è il loro minimo comune multiplo.

Trova i seguenti numeri:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Naturalmente, hai affrontato questo compito senza difficoltà e hai ottenuto le risposte - , e.

Tieni presente che nella regola si parla di DUE numeri; se ci sono più numeri, la regola non funziona.

Ad esempio, MCM (7;14;21) non è uguale a 21, poiché non è divisibile per.

Regola 2. Se due (o più di due) numeri sono coprimi, il minimo comune multiplo è uguale al loro prodotto.

Trovare NOC i seguenti numeri:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

Hai contato? Ecco le risposte - , ; .

Come hai capito, non è sempre possibile individuare la stessa x così facilmente, quindi per numeri leggermente più complessi esiste il seguente algoritmo:

Facciamo pratica?

Troviamo il minimo comune multiplo - MCM (345; 234)

Trova tu stesso il minimo comune multiplo (LCM).

Che risposte hai ottenuto?

Ecco cosa ho ottenuto:

Quanto tempo hai dedicato alla ricerca NOC? Il mio tempo è di 2 minuti, lo so davvero un trucco, che ti consiglio di aprire subito!

Se sei molto attento, probabilmente avrai notato che abbiamo già cercato i numeri indicati GCD e potresti prendere la fattorizzazione di questi numeri da quell’esempio, semplificando così il tuo compito, ma non è tutto.

Guarda la foto, forse ti verranno altri pensieri:

BENE? Ti do un suggerimento: prova a moltiplicare NOC E GCD tra di loro e scrivi tutti i fattori che appariranno durante la moltiplicazione. Sei riuscito? Dovresti ritrovarti con una catena come questa:

Dai un'occhiata più da vicino: confronta i moltiplicatori con come e sono disposti.

Che conclusione puoi trarre da questo? Giusto! Se moltiplichiamo i valori NOC E GCD tra loro, otteniamo il prodotto di questi numeri.

Di conseguenza, avere numeri e significato GCD(O NOC), possiamo trovare NOC(O GCD) secondo questo schema:

1. Trova il prodotto dei numeri:

2. Dividi il prodotto risultante per il nostro GCD (6240; 6800) = 80:

È tutto.

Scriviamo la regola in forma generale:

Provare a trovare GCD, se è noto che:

Sei riuscito? .

I numeri negativi sono “numeri falsi” e il loro riconoscimento da parte dell’umanità.

Come hai già capito, si tratta di numeri opposti a quelli naturali, ovvero:

I numeri negativi possono essere sommati, sottratti, moltiplicati e divisi, proprio come i numeri naturali. Sembrerebbe, cosa c'è di così speciale in loro? Ma il fatto è che i numeri negativi “hanno conquistato” il posto che meritano in matematica fino al XIX secolo (fino a quel momento c'era un'enorme controversia sulla loro esistenza o meno).

Il numero negativo stesso è nato a causa di un'operazione con numeri naturali come "sottrazione". Infatti, sottrailo e ottieni un numero negativo. Ecco perché l’insieme dei numeri negativi viene spesso chiamato “estensione dell’insieme”. numeri naturali».

I numeri negativi non sono stati riconosciuti dalle persone per molto tempo. COSÌ, Antico Egitto, Babilonia e Grecia antica- i luminari del loro tempo non riconoscevano i numeri negativi e, nel caso in cui si ottenevano radici negative in un'equazione (ad esempio, come la nostra), le radici venivano respinte come impossibili.

I numeri negativi ottennero il diritto di esistere prima in Cina e poi nel VII secolo in India. Quale pensi sia il motivo di questo riconoscimento? Esatto, i numeri negativi hanno cominciato a denotare debiti (altrimenti, carenze). Si credeva che i numeri negativi fossero un valore temporaneo, che di conseguenza cambierà in positivo (ovvero, il denaro verrà comunque restituito al creditore). Tuttavia, già il matematico indiano Brahmagupta considerava i numeri negativi alla pari di quelli positivi.

In Europa, l’utilità dei numeri negativi, così come il fatto che possano denotare debiti, è stata scoperta molto più tardi, forse un millennio. La prima menzione si nota nel 1202 nel “Libro dell'Abaco” di Leonardo da Pisa (dico subito che l'autore del libro non ha nulla a che vedere con la Torre pendente di Pisa, ma i numeri di Fibonacci sono opera sua) (il soprannome di Leonardo da Pisa è Fibonacci)). Inoltre, gli europei sono giunti alla conclusione che i numeri negativi possono significare non solo debiti, ma anche mancanza di qualcosa, sebbene non tutti lo riconoscano.

Quindi, nel XVII secolo, Pascal ci credeva. Come pensi che abbia giustificato tutto ciò? È vero, “niente può essere meno di NIENTE”. Un'eco di quei tempi rimane il fatto che il numero negativo e l'operazione di sottrazione sono contrassegnati dallo stesso simbolo: il meno “-”. E la verità: . Il numero “ ” è positivo a cui viene sottratto, o negativo a cui viene sommato?… Qualcosa della serie “cosa viene prima: l’uovo o la gallina?” Questa è una filosofia matematica davvero peculiare.

I numeri negativi hanno assicurato il loro diritto di esistere con l'avvento della geometria analitica, in altre parole, quando i matematici hanno introdotto un concetto come l'asse dei numeri.

Fu da questo momento che arrivò l'uguaglianza. Tuttavia, c'erano ancora più domande che risposte, ad esempio:

proporzione

Questa proporzione è chiamata “paradosso di Arnaud”. Pensaci, cosa c'è di dubbio in questo?

Discutiamo insieme "" è più di "" giusto? Quindi, secondo la logica, il lato sinistro della proporzione dovrebbe essere maggiore del lato destro, ma sono uguali... Questo è il paradosso.

Di conseguenza, i matematici concordarono al punto che Karl Gauss (sì, sì, questo è lo stesso che calcolò la somma (o) dei numeri) pose fine a tutto ciò nel 1831 - disse che i numeri negativi hanno gli stessi diritti di quelli positivi quelli, e il fatto che non valgano per tutte le cose non significa nulla, poiché anche le frazioni non valgono per molte cose (non succede che uno scavatore scavi una buca, non si può comprare un biglietto del cinema, ecc.) .).

I matematici si calmarono solo nel XIX secolo, quando William Hamilton e Hermann Grassmann crearono la teoria dei numeri negativi.

Sono così controversi, questi numeri negativi.

L’emergere del “vuoto”, ovvero la biografia dello zero.

In matematica è un numero speciale. A prima vista, questo non è niente: aggiungi o sottrai: non cambierà nulla, ma devi solo aggiungerlo a destra di " " e il numero risultante sarà volte più grande di quello originale. Moltiplicando per zero trasformiamo tutto in niente, ma dividendo per “niente”, cioè, non possiamo. In una parola, il numero magico)

La storia dello zero è lunga e complicata. Una traccia di zero è stata trovata negli scritti dei cinesi nel II millennio d.C. e anche prima tra i Maya. Il primo utilizzo del simbolo dello zero, così com'è oggi, è stato visto tra gli astronomi greci.

Esistono molte versioni del motivo per cui è stata scelta questa designazione “niente”. Alcuni storici sono propensi a credere che si tratti di un omicron, ad es. La prima lettera della parola greca per niente è ouden. Secondo un’altra versione, la parola “obol” (una moneta quasi priva di valore) ha dato vita al simbolo dello zero.

Lo zero (o zero) come simbolo matematico appare per la prima volta tra gli indiani (nota che lì i numeri negativi iniziarono a “svilupparsi”). La prima testimonianza attendibile della registrazione dello zero risale all'876, e in esse “ ” è un componente del numero.

Anche lo zero è arrivato tardi in Europa: solo nel 1600, e proprio come i numeri negativi, ha incontrato resistenza (cosa puoi fare, sono fatti così, europei).

“Lo zero è stato spesso odiato, temuto a lungo o addirittura bandito”, scrive il matematico americano Charles Safe. COSÌ, Sultano turco Abdul Hamid II alla fine del XIX secolo. ordinò ai suoi censori di cancellare la formula dell’acqua H2O da tutti i libri di chimica, prendendo la lettera “O” per zero e non volendo che le sue iniziali venissero screditate dalla vicinanza del disprezzato zero”.

Su Internet puoi trovare la frase: “Zero è la forza più potente dell'Universo, può fare qualsiasi cosa! Lo zero crea ordine in matematica e vi introduce anche il caos”. Punto assolutamente corretto :)

Riepilogo della sezione e formule base

L'insieme dei numeri interi è composto da 3 parti:

• numeri naturali (li vedremo più in dettaglio più avanti);
• numeri opposti ai numeri naturali;
• zero - " "

L'insieme degli interi è indicato lettera Z.

1. Numeri naturali

I numeri naturali sono numeri che usiamo per contare gli oggetti.

Si indica l'insieme dei numeri naturali lettera n.

Nelle operazioni con numeri interi, avrai bisogno della capacità di trovare MCD e LCM.

Massimo Comun Divisore (MCD)

Per trovare un GCD è necessario:

1. Scomporre i numeri in fattori primi (quei numeri che non possono essere divisi per nient'altro che per se stessi o per, ad esempio, ecc.).
2. Annota i fattori che fanno parte di entrambi i numeri.
3. Moltiplicateli.

Minimo comune multiplo (LCM)

Per trovare il NOC ti serve:

1. Dividi i numeri in fattori primi (sai già molto bene come farlo).
2. Annota i fattori inclusi nell'espansione di uno dei numeri (è meglio prendere la catena più lunga).
3. Aggiungi ad essi i fattori mancanti dagli sviluppi dei numeri rimanenti.
4. Trova il prodotto dei fattori risultanti.

2. Numeri negativi

Questi sono numeri opposti a quelli naturali, cioè:

Ora voglio ascoltarti...

Spero che tu abbia apprezzato i “trucchi” super utili presenti in questa sezione e che tu abbia capito come ti aiuteranno durante l'esame.

E, cosa più importante, nella vita. Non ne parlo, ma credetemi, questo è vero. La capacità di contare velocemente e senza errori ti salva in molte situazioni della vita.

Ora è il tuo turno!

Scrivi, utilizzerai metodi di raggruppamento, test di divisibilità, MCD e LCM nei calcoli?

Forse li hai usati prima? Dove e come?

Forse hai delle domande. O suggerimenti.

Scrivi nei commenti come ti è piaciuto l'articolo.

E buona fortuna per i tuoi esami!

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!

Ora la cosa più importante.

Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, questo... è semplicemente fantastico! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.

Il problema è che questo potrebbe non bastare...

Per quello?

Per il successo superamento dell'Esame di Stato Unificato, per l'ammissione al college con un budget limitato e, SOPRATTUTTO, per la vita.

Non ti convincerò di nulla, dirò solo una cosa...

Persone che hanno ricevuto una buona educazione, guadagna molto di più di chi non lo ha ricevuto. Questa è statistica.

Ma questa non è la cosa principale.

La cosa principale è che sono PIÙ FELICI (esistono studi del genere). Forse perché davanti a loro si aprono molte più opportunità e la vita diventa più luminosa? Non lo so...

Ma pensa tu stesso...

Cosa serve per essere sicuri di essere migliori degli altri all'Esame di Stato Unificato e, in definitiva, essere... più felici?

PRENDI LA TUA MANO RISOLVENDO PROBLEMI SU QUESTO ARGOMENTO.

Non ti verrà chiesta teoria durante l'esame.

Avrai bisogno risolvere problemi contro il tempo.

E, se non li hai risolti (MOLTI!), sicuramente commetterai uno stupido errore da qualche parte o semplicemente non avrai tempo.

È come nello sport: devi ripeterlo molte volte per vincere con certezza.

Trovi la collezione dove vuoi, necessariamente con soluzioni, analisi dettagliata e decidere, decidere, decidere!

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Se aggiungiamo il numero 0 a sinistra di una serie di numeri naturali, otteniamo serie di numeri interi positivi:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Interi negativi

Diamo un'occhiata a un piccolo esempio. La figura a sinistra mostra un termometro che mostra una temperatura di 7°C. Se la temperatura scende di 4°, il termometro mostrerà 3° di calore. Una diminuzione della temperatura corrisponde all’azione di sottrazione:

Se la temperatura scende di 7°, il termometro indicherà 0°. Una diminuzione della temperatura corrisponde all’azione di sottrazione:

Se la temperatura scende di 8°, il termometro indicherà -1° (1° sotto zero). Ma il risultato della sottrazione 7 - 8 non può essere scritto utilizzando numeri naturali e zero.

Illustriamo la sottrazione utilizzando una serie di numeri interi positivi:

1) Dal numero 7, conta 4 numeri a sinistra e ottieni 3:

2) Dal numero 7, conta 7 numeri a sinistra e ottieni 0:

È impossibile contare 8 numeri dal numero 7 a sinistra in una serie di numeri interi positivi. Per rendere realizzabili le azioni 7 - 8, espandiamo l'intervallo di numeri interi positivi. Per fare ciò, a sinistra dello zero, scriviamo (da destra a sinistra) in ordine tutti i numeri naturali, aggiungendo a ciascuno di essi il segno - , ad indicare che questo numero si trova a sinistra dello zero.

Le voci -1, -2, -3, ... si leggono meno 1, meno 2, meno 3, ecc.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

La serie di numeri risultante viene chiamata serie di numeri interi. I punti a sinistra e a destra in questa voce indicano che la serie può essere continuata indefinitamente a destra e a sinistra.

A destra del numero 0 in questa riga ci sono i numeri chiamati naturale O interi positivi(brevemente - positivo).

A sinistra del numero 0 in questa riga ci sono i numeri chiamati intero negativo(brevemente - negativo).

Il numero 0 è un numero intero, ma non è né un numero positivo né negativo. Separa i numeri positivi e negativi.

Quindi, la serie di numeri interi è composta da numeri interi negativi, zero e numeri interi positivi.

Confronto di numeri interi

Confronta due numeri interi- significa scoprire quale è maggiore, quale è minore o determinare che i numeri sono uguali.

Puoi confrontare numeri interi utilizzando una riga di numeri interi, poiché i numeri in essa contenuti sono disposti dal più piccolo al più grande, se ti sposti lungo la riga da sinistra a destra. Pertanto, in una serie di numeri interi, è possibile sostituire le virgole con il segno minore di:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Quindi, di due numeri interi, maggiore è il numero che si trova a destra nella serie e minore è quello che si trova a sinistra, Significa:

1) Qualunque numero positivo maggiore di zero e maggiore di qualsiasi numero negativo:

1 > 0; 15 > -16

2) Qualsiasi numero negativo inferiore a zero:

7 < 0; -357 < 0

3) Di due numeri negativi, quello che si trova a destra nella serie degli interi è maggiore.