Soluzione di alcuni problemi matematici implica trovare l’intersezione e l’unione insiemi di numeri. Nell'articolo seguente considereremo queste azioni in dettaglio, inclusi esempi specifici. Le competenze acquisite saranno applicabili alla risoluzione di disuguaglianze con una variabile e sistemi di diseguaglianze.

I casi più semplici

Quando parliamo dei casi più semplici dell'argomento in esame, intendiamo trovare l'intersezione e l'unione di insiemi numerici, che sono un insieme di numeri individuali. In tali casi sarà sufficiente utilizzare la definizione di intersezione e unione di insiemi.

Definizione 1

Unione di due insiemiè un insieme in cui ogni elemento è un elemento di uno degli insiemi originali.

Intersezione di moltiè un insieme che consiste di tutto elementi comuni set originali.

Da queste definizioni seguono logicamente le seguenti regole:

Per formare un'unione di due insiemi numerici con un numero finito di elementi, è necessario annotare tutti gli elementi di un insieme e aggiungere ad essi gli elementi mancanti del secondo insieme;

Per creare l'intersezione di due insiemi numerici è necessario controllare uno per uno gli elementi del primo insieme per vedere se appartengono al secondo insieme. Quelli che risultano appartenere ad entrambi gli insiemi costituiranno l'intersezione.

L'insieme ottenuto secondo la prima regola comprenderà tutti gli elementi appartenenti ad almeno uno degli insiemi originari, ovvero diventerà l'unione di questi insiemi per definizione.

L'insieme ottenuto secondo la seconda regola comprenderà tutti gli elementi comuni agli insiemi originali, vale a dire diventerà l'intersezione dei set originali.

Consideriamo l'applicazione delle regole risultanti utilizzando esempi pratici.

Esempio 1

Dati iniziali: insiemi numerici A = (3, 5, 7, 12) e B = (2, 5, 8, 11, 12, 13). È necessario trovare l'unione e l'intersezione degli insiemi originali.

Soluzione

1. Definiamo l'unione degli insiemi originari. Scriviamo tutti gli elementi, ad esempio, dell'insieme A: 3, 5, 7, 12. Aggiungiamo ad essi gli elementi mancanti dell'insieme B: 2, 8, 11 e 13. In definitiva, abbiamo un insieme numerico: (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13). Ordiniamo gli elementi dell'insieme risultante e otteniamo l'unione desiderata: A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).
2. Definiamo l'intersezione degli insiemi originali. Secondo la regola, esamineremo uno per uno tutti gli elementi del primo insieme A e controlleremo se sono inclusi nell'insieme B. Consideriamo il primo elemento, il numero 3: non appartiene all'insieme B, il che significa che non sarà un elemento dell'intersezione desiderata. Controlliamo il secondo elemento dell'insieme A, cioè numero 5: appartiene all'insieme B, ciò significa che diventerà il primo elemento dell'intersezione desiderata. Il terzo elemento dell'insieme A è il numero 7. Non è un elemento dell'insieme B e, quindi, non è un elemento di intersezione. Consideriamo l'ultimo elemento dell'insieme A: il numero 1. Appartiene anch'esso all'insieme B e di conseguenza diventerà uno degli elementi di intersezione. Pertanto, l'intersezione degli insiemi originali è un insieme composto da due elementi: 5 e 12, cioè A ∩ B = (5, 12).

Risposta: unione degli insiemi originari – A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13); intersezione degli insiemi originali - A ∩ B = (5, 12).

Tutto quanto sopra si applica al lavoro con due set. Per quanto riguarda la ricerca dell'intersezione e dell'unione di tre o più insiemi, la soluzione a questo problema può essere ridotta alla ricerca sequenziale dell'intersezione e dell'unione di due insiemi. Ad esempio, per determinare l'intersezione di tre insiemi A, B e C, è possibile determinare prima l'intersezione di A e B, quindi trovare l'intersezione del risultato risultante con l'insieme C. Usando un esempio, assomiglia a questo: siano dati gli insiemi numerici: A = (3, 9, 4, 3, 5, 21), B = (2, 7, 9, 21) e C = (7, 9 , 1, 3). L'intersezione dei primi due insiemi sarà: A ∩ B = (9, 21), e l'intersezione dell'insieme risultante con l'insieme A ∩ B = (9, 21). Di conseguenza: A ∩ B ∩ C = ( 9 ) .

Tuttavia, nella pratica, per trovare l'unione e l'intersezione di tre o più insiemi numerici semplici costituiti da un numero finito di singoli numeri, è più conveniente applicare regole simili a quelle sopra indicate.

Cioè, per trovare un'unione di tre o più insiemi del tipo specificato, è necessario aggiungere gli elementi mancanti del secondo insieme agli elementi del primo insieme, poi al terzo, ecc. Per chiarezza, prendiamo insiemi numerici: A = (1, 2), B = (2, 3), C = (1, 3, 4, 5). Agli elementi del primo insieme A verrà aggiunto il numero 3 dell'insieme B, poi i numeri mancanti 4 e 5 dell'insieme C. Pertanto, l'unione degli insiemi originali: A ∪ B ∪ C = (1, 2, 3, 4, 5).

Per quanto riguarda la soluzione del problema di trovare l'intersezione di tre o più insiemi numerici costituiti da un numero finito di numeri singoli, è necessario esaminare uno per uno i numeri del primo insieme e verificare passo dopo passo se il numero in questione appartiene a ciascuno degli insiemi rimanenti. Per chiarimenti, considerare gli insiemi di numeri:

A = (3, 1, 7, 12, 5, 2) B = (1, 0, 2, 12) C = (7, 11, 2, 1, 6) D = (1, 7, 15, 8, 2, 6).

Troviamo l'intersezione degli insiemi originali. Ovviamente, l'insieme B ha il minor numero di elementi, quindi questi sono quelli che controlleremo per determinare se sono inclusi negli insiemi rimanenti. Il numero 1 dell'insieme B è un elemento di altri insiemi, e quindi è il primo elemento dell'intersezione desiderata. Il secondo numero dell'insieme B - il numero 0 - non è un elemento dell'insieme A e, quindi, non diventerà un elemento di intersezione. Continuiamo la verifica: il numero 2 dell'insieme B è un elemento di altri insiemi e diventa un'altra parte dell'intersezione. Infine, l'ultimo elemento dell'insieme B - il numero 12 - non è un elemento dell'insieme D e non è un elemento di intersezione. Quindi, otteniamo: A ∩ B ∩ C ∩ D = ( 1 , 2 ) .

La linea coordinata e gli intervalli numerici come unione delle loro parti

Contrassegniamo un punto arbitrario sulla linea delle coordinate, ad esempio, con le coordinate - 5, 4. Punto specificato dividerà la linea coordinata in due intervalli numerici: due raggi aperti (-∞, -5,4) e (-5,4, +∞) e il punto stesso. È facile vedere che, secondo la definizione di unione di insiemi, qualsiasi numero reale apparterrà all'unione (- ∞, - 5, 4) ∪ (- 5, 4) ∪ (- 5, 4, + ∞). Quelli. l'insieme di tutti i numeri reali R = (- ∞ ; + ∞) può essere rappresentato sotto forma dell'unione ottenuta sopra. Viceversa, l’unione risultante sarà l’insieme di tutti i numeri reali.

Nota che è possibile collegare un dato punto a uno qualsiasi dei raggi aperti, quindi diventerà semplice fascio numerico(- ∞ , - 5 , 4 ] o [ - 5 , 4 , + ∞) . In questo caso l’insieme R sarà descritto dalle seguenti unioni: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) oppure (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞). .

Un ragionamento simile è valido non solo rispetto ad un punto su una linea coordinata, ma anche rispetto a un punto su un qualsiasi intervallo numerico. Cioè, se prendiamo qualsiasi punto interno di qualsiasi intervallo arbitrario, può essere rappresentato come un'unione delle sue parti ottenuta dopo la divisione dato punto e il punto stesso. Ad esempio, dato un semiintervallo (7, 32] e un punto 13 appartenente a questo intervallo numerico. Quindi il semiintervallo dato può essere rappresentato come unione (7, 13) ∪ (13) ∪ (13, 32 ] e viceversa Possiamo includere il numero 13 in uno qualsiasi degli intervalli e quindi l'insieme dato (7, 32 ] può essere rappresentato come (7, 13 ] ∪ (13, 32 ] o (7, 13 ] ∪ (13). , 32 ]. Possiamo anche prendere non il punto interno di un dato semiintervallo, ma la sua fine (il punto con coordinata 32), quindi il semiintervallo dato può essere rappresentato come l'unione dell'intervallo (7, 32) e un insieme di un elemento (32) Quindi: (7, 32] = (7, . 32) ∪ ( 32 ) .

Un'altra opzione: quando non vengono presi uno, ma diversi punti su una linea di coordinate o su un intervallo numerico. Questi punti divideranno la linea di coordinate o intervallo numerico in più intervalli numerici e l'unione di questi intervalli formerà gli insiemi originali. Ad esempio, ai punti sulla linea delle coordinate vengono assegnate le coordinate - 6, 0, 8, che la divideranno in intervalli: (- ∞, - 6), (- 6, 0), (0, 8), (8, + ∞) . In questo caso, l'insieme di tutti i numeri reali, la cui forma di realizzazione è la linea delle coordinate, può essere rappresentato come una combinazione degli intervalli risultanti e dei numeri indicati:

(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .

L'argomento sulla ricerca dell'intersezione e dell'unione degli insiemi può essere compreso chiaramente se si utilizzano immagini di determinati insiemi su una linea di coordinate (a meno che non si tratti dei casi più semplici discussi all'inizio dell'articolo).

Considereremo un approccio generale che ci consente di determinare il risultato dell'intersezione e dell'unione di due insiemi di numeri. Descriviamo l'approccio sotto forma di algoritmo. Considereremo i suoi passaggi gradualmente, citando ogni volta la fase successiva della risoluzione di un esempio specifico.

Esempio 2

Dati iniziali: dati gli insiemi numerici A = (7, + ∞) e B = [ - 3, + ∞). È necessario trovare l'intersezione e l'unione di questi insiemi.

Soluzione

1. Rappresentiamo gli insiemi numerici dati su linee di coordinate. Devono essere posizionati uno sopra l'altro. Per comodità, è generalmente accettato che i punti di origine degli insiemi dati coincidano, e la posizione dei punti l'uno rispetto all'altro rimane preservata: qualsiasi punto con una coordinata maggiore si trova a destra del punto con una coordinata minore. Inoltre, se ci interessa l'unione di insiemi, allora le linee coordinate sono unite a sinistra dalla parentesi quadra dell'insieme; se sei interessato all'intersezione, usa la parentesi graffa del sistema.

Nel nostro esempio, per scrivere l'intersezione e l'unione di insiemi numerici abbiamo: e

Disegniamo un'altra linea di coordinate, posizionandola sotto quelle esistenti. Sarà necessario per visualizzare l'intersezione o l'unione desiderata. Su questa linea di coordinate sono contrassegnati tutti i punti di confine degli insiemi numerici originali: prima con trattini e successivamente, dopo aver chiarito la natura dei punti con queste coordinate, i trattini verranno sostituiti da punti perforati o non perforati. Nel nostro esempio, questi sono punti con coordinate - 3 e 7.

E

I punti raffigurati sulla linea di coordinate inferiore nel passaggio precedente dell'algoritmo consentono di considerare la linea di coordinate come un insieme di intervalli e punti numerici (ne abbiamo parlato sopra). Nel nostro esempio, rappresentiamo la linea delle coordinate come un insieme di cinque insiemi numerici: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 7), (7), (7, + ∞).

Ora bisogna verificare uno per uno se ciascuno degli insiemi scritti appartiene all'intersezione o unione desiderata. Le conclusioni risultanti sono contrassegnate gradualmente sulla linea delle coordinate inferiore: quando lo spazio fa parte di un'intersezione o di un'unione, sopra di essa viene disegnato un tratteggio. Quando un punto entra in un'intersezione o in un'unione, il tratto viene sostituito da un punto solido; se il punto non fa parte dell'intersezione o dell'unione, viene forato. In queste azioni è necessario rispettare le seguenti regole:

Uno spazio diventa parte dell'intersezione se è contemporaneamente parte dell'insieme A e dell'insieme B (o in altre parole, se c'è un'ombreggiatura sopra questo spazio su entrambe le linee di coordinate che rappresentano gli insiemi A e B);

Un punto diventa parte dell'intersezione se fa contemporaneamente parte di ciascuno degli insiemi A e B (in altre parole, se il punto è un punto non forato o interno a un qualsiasi intervallo di entrambi gli insiemi numerici A e B);

Uno spazio vuoto diventa parte di un'unione se fa parte di almeno uno degli insiemi A o B (in altre parole, se c'è un'ombreggiatura su questo spazio vuoto su almeno una delle linee coordinate che rappresentano gli insiemi A e B.

Un punto diventa parte di un'unione se fa parte di almeno uno degli insiemi A e B (in altre parole, il punto è un punto non forato o interno a qualsiasi intervallo di almeno uno degli insiemi A e B) .

Riassumendo brevemente: l'intersezione degli insiemi numerici A e B è l'intersezione di tutti gli intervalli numerici degli insiemi A e B, sui quali è contemporaneamente presente l'ombreggiatura, e di tutti i singoli punti appartenenti sia all'insieme A che all'insieme B. L'unione degli insiemi numerici A e B è l'unione di tutti gli intervalli numerici, sui quali almeno uno degli insiemi A o B ha un'ombreggiatura, così come tutti i singoli punti non perforati.

1. Torniamo all'esempio e definiamo l'intersezione di insiemi dati. Per fare ciò, controlliamo i set uno per uno: (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 7) , ( 7 ) , (7 , + ∞) . Cominciamo dal set (- ∞, - 3), evidenziandolo chiaramente nel disegno:

Questo spazio non verrà incluso nell'intersezione perché non fa parte né del set A né del set B (nessuna ombreggiatura). E così il nostro disegno mantiene il suo aspetto originale:

Considera il seguente insieme (-3). Il numero - 3 fa parte del set B (non è un punto perforato), ma non fa parte del set A e pertanto non diventerà parte dell'intersezione desiderata. Di conseguenza, sulla linea delle coordinate inferiore creiamo un punto con coordinate - 3:

Valutiamo il seguente set (- 3, 7).

Fa parte del set B (c'è un'ombreggiatura sopra l'intervallo), ma non è compreso nel set A (non c'è un'ombreggiatura sopra l'intervallo): non verrà incluso nell'intersezione desiderata, il che significa che non appariranno nuovi segni su la linea di coordinate inferiore:

Il prossimo set da controllare è (7). Fa parte dell'insieme B (il punto con coordinata 7 è un punto interno dell'intervallo [ - 3, + ∞)), ma non fa parte dell'insieme A (punto forato), quindi l'intervallo in questione non sarà diventare parte dell'intersezione desiderata Contrassegniamo il punto con la coordinata 7 come punzonato:

E infine, controlliamo lo spazio rimanente (7, + ∞).

Lo spazio è incluso in entrambi i set A e B (sopra lo spazio è presente un tratteggio), quindi diventa parte dell'intersezione. Ombreggiamo il luogo sopra lo spazio considerato:

Alla fine, sulla linea di coordinate inferiore è stata formata un'immagine dell'intersezione desiderata dei set dati. Ovviamente è l'insieme di tutti i numeri reali più numero 7, ovvero: A ∩ B = (7, + ∞).

1. Passo successivo Definiamo l'unione degli insiemi dati A e B. Controlleremo in sequenza gli insiemi (- ∞ , - 3), ( - 3), (- 3, 7), ( 7), (7, + ∞), stabilendo il fatto della loro inclusione o non inclusione nel desiderato unione.

Il primo set (- ∞, - 3) non fa parte di nessuno dei set originali A e B (non ci sono ombreggiature sopra gli intervalli), pertanto il set (- ∞, - 3) non sarà incluso nel set desiderato unione:

L'insieme ( - 3) è incluso nell'insieme B, il che significa che sarà incluso nell'unione desiderata degli insiemi A e B:

L'insieme (- 3 , 7) è parte integrale insieme B (è presente il tratteggio sopra l'intervallo) e diventa un elemento dell'unione degli insiemi A e B:

L'insieme 7 è compreso nell'insieme numerico B, quindi sarà compreso anche nell'unione desiderata:

L'insieme (7, + ∞), essendo contemporaneamente un elemento di entrambi gli insiemi A e B, diventa un'altra parte dell'unione desiderata:

Basandosi sull'immagine finale dell'unione degli insiemi originali A e B, otteniamo: A ∩ B = [ - 3 , + ∞) .

Avendo una certa esperienza pratica nell'applicazione delle regole per trovare intersezioni e unioni di insiemi, i controlli descritti possono essere facilmente eseguiti oralmente, il che consente di annotare rapidamente il risultato finale. Dimostriamo con un esempio pratico come si presenta la sua soluzione senza spiegazioni dettagliate.

Esempio 3

Dati iniziali: insiemi A = (- ∞ , - 15) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7) ∪ ( 12 ) e B = (- 20 , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ (2 , 3) ​​​​∪ (17). È necessario determinare l'intersezione e l'unione degli insiemi dati.

Soluzione

Segniamo gli insiemi numerici dati sulle linee delle coordinate per poter ottenere un'illustrazione dell'intersezione e dell'unione richieste:

Risposta: A ∩ B = (- 20, - 15) ∪ (- 5) ∪ (2, 3); UN ∪ B = (- ∞ , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7 ] ∪ ( 12 , 17 ) .

È anche chiaro che con una sufficiente comprensione del processo, l'algoritmo specificato può essere ottimizzato. Ad esempio, nel processo di ricerca dell'intersezione, non devi perdere tempo a controllare tutti gli intervalli e gli insiemi che rappresentano i singoli numeri, limitandoti a considerare solo quegli intervalli e numeri che compongono l'insieme A o B. Altri intervalli non sarà in ogni caso incluso nell'intersezione, cioè To. non fanno parte dei set originali. Illustriamo quanto detto utilizzando un esempio pratico.

Esempio 4

Dati iniziali: insiemi A = ( - 2 ) ∪ [ 1 , 5 ] e B = [ - 4 , 3 ] .

È necessario determinare l'intersezione degli insiemi originali.

Soluzione

Rappresentiamo geometricamente gli insiemi numerici A e B:

I punti di confine degli insiemi originali divideranno la linea numerica in più insiemi:

(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .

È facile vedere che l'insieme numerico A può essere scritto combinando alcuni degli insiemi elencati, vale a dire: ( - 2), (1, 3), (3) e (3, 5). Basterà verificare questi insiemi per il loro inserimento anche nell'insieme B per trovare l'intersezione desiderata. Quelli che verranno inseriti nel set B e diventeranno elementi di intersezione. Controlliamo.

È assolutamente chiaro che ( - 2) fa parte dell'insieme B, perché il punto di coordinata - 2 è un punto interno al segmento [ - 4, 3). Anche l'intervallo (1, 3) e l'insieme (3) sono inclusi nell'insieme B (c'è un'ombreggiatura sopra l'intervallo e il punto con coordinata 3 è confine e non perforato per l'insieme B). L'insieme (3, 5) non sarà un elemento di intersezione, perché non è incluso nel set B (non c'è ombreggiatura sopra). Notiamo tutto quanto sopra nel disegno:

Di conseguenza, l'intersezione desiderata di due insiemi dati sarà l'unione di insiemi, che scriveremo come segue: ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

Risposta: A ∩ B = ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

Alla fine dell'articolo discuteremo anche di come risolvere il problema di trovare l'intersezione e l'unione di più insiemi (più di 2). Riduciamolo, come raccomandato prima, alla necessità di determinare l'intersezione e l'unione dei primi due insiemi, poi il risultato risultante con il terzo insieme, e così via. Oppure puoi utilizzare l'algoritmo sopra descritto con l'unica differenza che il controllo della presenza di intervalli e insiemi che rappresentano singoli numeri deve essere effettuato non da due, ma da tutti gli insiemi dati. Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 5

Dati iniziali: insiemi A = (- ∞, 12], B = (- 3, 25], D = (- ∞, 25) ꓴ (40). È necessario determinare l'intersezione e l'unione degli insiemi dati.

Soluzione

Mostriamo gli insiemi numerici dati sulle linee delle coordinate e posizioniamo una parentesi graffa sul lato sinistro di essi, che denota l'intersezione, così come una parentesi quadra, che denota l'unione. Di seguito mostriamo le linee di coordinate con punti di confine di insiemi numerici contrassegnati da tratti:

Pertanto, la linea delle coordinate è rappresentata dai seguenti insiemi: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 12), (12), (12, 25), (25), (25, 40 ), ( 40 ), (40 , + ∞) .

Iniziamo a cercare le intersezioni, controllando alternativamente gli insiemi scritti per vedere se appartengono a ciascuno di quelli originali. Tutti e tre gli insiemi dati comprendono l'intervallo (- 3, 12) e l'insieme (- 12): diventeranno gli elementi dell'intersezione desiderata. Quindi, otteniamo: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] .

L'unione degli insiemi dati formerà i seguenti insiemi: (- ∞ , - 3) - elemento dell'insieme A; ( - 3 ) – elemento dell'insieme A; (- 3, 12) – elemento dell'insieme A; ( 12 ) – elemento dell'insieme A; (12, 25) – elemento dell'insieme B; (25) è un elemento dell'insieme B e (40) è un elemento dell'insieme D. Quindi, otteniamo: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ ( 40 ) .

Risposta: A ∩ B ∩ D = (- 3, 12 ]; A ∪ B ∪ D = (- ∞, 25 ] ∪ ( 40 ) .

Si noti inoltre che l'intersezione desiderata degli insiemi numerici è spesso l'insieme vuoto. Ciò accade nei casi in cui gli insiemi dati non comprendono elementi che appartengono contemporaneamente a tutti loro.

Esempio 6

Dati iniziali: A = [ - 7, 7 ]; B = ( - 15 ) ∪ [ - 12 , 0) ∪ ( 5 ) ; D = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞) ; E = (0, 27) . Determinare l'intersezione di insiemi dati.

Soluzione

Visualizziamo i set originali sulle linee di coordinate e i punti di confine di questi set sulla linea aggiuntiva con tratti.

I punti contrassegnati divideranno la linea numerica in serie: (- ∞ , - 15) , ( - 15 ) , (- 15 , - 12) , ( - 12 ) , (- 12 , - 10) , ( - 10 ) , (- 10 , - 7) , ( - 7 ) , ( - 7 , 0) , ( 0 ) , (0 , 5) , ( 5 ) , (5 , 7) , ( 7 ) , (7 , 10) , (10), (10, 27), (27), (27, + ∞) .

Nessuno di essi è contemporaneamente elemento di tutti gli insiemi originari, quindi l'intersezione degli insiemi dati è l'insieme vuoto.

Risposta: A ∩ B ∩ D ∩ E = Ø.

È conveniente rappresentare gli insiemi sotto forma di cerchi, chiamati cerchi di Eulero.

Nella figura, l'insieme di intersezione degli insiemi X e Y è colorato in arancione.

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Un'operazione sugli insiemi è una regola per cui da insiemi dati si ottiene univocamente un nuovo insieme.

Indichiamo un'operazione arbitraria con *. Insieme ottenuto da insiemi dati A e B, scritto nel modulo A*B. L'insieme risultante e l'operazione stessa vengono solitamente chiamati un termine.

Commento. Per le operazioni numeriche di base vengono utilizzati due termini: uno denota l'operazione stessa come azione, l'altro denota il numero ottenuto dopo aver eseguito l'azione. Ad esempio, l'operazione indicata con + è chiamata addizione e il numero risultante dall'addizione è chiamato somma di numeri. Allo stesso modo, il segno dell'operazione di moltiplicazione e il risultato un b- prodotto di numeri aeb. Tuttavia, meno spesso questa differenza non viene presa in considerazione e si dice "Considera la somma dei numeri", intendendo non un risultato specifico, ma l'operazione stessa.

Operazione di intersezione.L'intersezione degli insiemi A e B AglV, costituito da tutti gli oggetti, ciascuno dei quali appartiene a entrambi gli insiemi UN E IN contemporaneamente.

In altre parole, AsV-è l'insieme di all.g tale che heA E heV:

Operazione di unione.Unione degli insiemi A e Bè chiamato insieme indicato con A" e B, costituito da tutti gli oggetti, ciascuno dei quali appartiene ad almeno un insieme UN O IN.

L'operazione di unione è talvolta indicata con il segno + ed è chiamata addizione di insiemi.

Operazioni sulle differenze.La differenza tra gli insiemi A e Bè chiamato insieme indicato con AB, costituito da tutti gli oggetti, ciascuno dei quali si trova in UN, ma non mente IN.

Espressione ApV Leggere "UN in intersezione con IN», AkjB- “E in associazione con B", AB-"A senza IN".

Esempio 7.1.1. Permettere UN = {1, 3,4, 5, 8,9}, IN = {2,4, 6, 8}.

Poi AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1.3, 5, 9), YAL = (2.6).”

Sulla base di queste operazioni si possono individuare altre due operazioni importanti.

Operazione di addizione. Permettere AqS. Poi la differenza SA chiamato addizione dell'insieme A a S ed è designato COME.

Sia ogni insieme in esame un sottoinsieme di un insieme U. Aggiunta a un insieme così fisso (nel contesto della risoluzione di un particolare problema). U semplicemente significare UN. Viene utilizzata anche la notazione SA, Con AA."

Esempio 7.1.2. Il complemento dell'insieme (1, 3,4, 5, 8, 9) all'insieme di tutte le cifre decimali è (0, 2, 6, 7).

Complementare l'insieme Q all'insieme R c'è un set di 1.

Il complemento di un insieme di quadrati a un insieme di rettangoli è l'insieme di tutti i rettangoli aventi lati adiacenti disuguali.

Vediamo che le operazioni di unione, intersezione e complemento di insiemi corrispondono alle operazioni logiche di disgiunzione, congiunzione e negazione.

Operazione di differenza simmetrica.La differenza simmetrica degli insiemi A e Bè chiamato insieme indicato con A®B, costituito da tutti gli oggetti, ciascuno dei quali appartiene esattamente a uno degli insiemi A e B:

È facile vedere che la differenza simmetrica è l'unione di due insiemi AB E VA. Lo stesso set può essere ottenuto se prima combiniamo i set UN E IN, e quindi rimuovere gli elementi comuni dall'insieme.

Esempio 7.1.3. Diamo i numeri reali a Allora per i corrispondenti intervalli numerici abbiamo:

Si noti che dal segmento [UN; B] contiene un numero c> e l'intervallo (CD) punto Con non contiene il numero Con sta nella differenza [UN; B] senza [con; cfr. Ma la differenza, ad esempio (2;5), non contiene il numero 3, poiché si trova nel segmento. Abbiamo (2;5)=(2;3).

Siano dati insiemi disgiunti UN E IN. Poiché n è il segno dell'operazione di intersezione, allora l'entrata A(bb errato. È anche errato dire che gli insiemi non hanno intersezione. C'è sempre un'intersezione; è definita per qualsiasi insieme. Il fatto che gli insiemi non si intersechino significa che la loro intersezione è vuota (ovvero, eseguendo l'operazione indicata, otteniamo un insieme vuoto). Se gli insiemi si intersecano, la loro intersezione non è vuota. Concludiamo:

Generalizziamo le operazioni di unione intersezione al caso in cui ci sono più di due insiemi.

Lasciamo che il sistema sia dato A imposta. L'intersezione degli insiemi di un dato sistema è l'insieme di tutti gli elementi, ciascuno dei quali si trova in tutti i loro insiemi A.

L'unione degli insiemi di un dato sistema è l'insieme di tutti gli elementi, ciascuno dei quali rientra in almeno un insieme di essi A.

Consideriamo gli insiemi del sistema A numerato da elementi di qualche famiglia di indici /. Quindi qualsiasi insieme di A può essere designato UN,-, Dove iel. Se l'insieme è finito, allora l'insieme dei primi numeri naturali (1,2,...,u) viene utilizzato come /. In generale, / può essere infinito.

Quindi nel caso generale l'unione di insiemi UN per tutti iel denotare (J UN( , e l'intersezione - f]A i .

Lasciamo la totalità A finale, quindi K= In questo caso

scrivere AyjA 2 v...KjA„ E AG4 2 (^---G4p-

Esempio 7.1.4. Consideriamo gli intervalli della linea numerica А| = [-oo;2], L2 =H°; 3], L3 = u

Entrambi gli spazi sono racchiusi tra parentesi quadre, il che significa che i loro confini appartengono a loro.

Per chiarezza elenchiamo tutti gli interi appartenenti agli intervalli [−2; 3] e:

−2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3]

4, 5, 6, 7 ∈

Si può vedere che gli intervalli numerici [−2; 3] e non hanno numeri totali. Pertanto la loro intersezione sarà l’insieme vuoto:

[-2; 3] ∩ = Ø

Se rappresentiamo intervalli numerici [−2; 3] e sulla linea delle coordinate puoi vedere che non si intersecano da nessuna parte:

Esempio 7. Dato un insieme di un elemento (2). Trova la sua intersezione con l'intervallo (−3; 4)

Un insieme composto da un elemento (2) è rappresentato sulla linea delle coordinate come un cerchio pieno, e l'intervallo numerico (−3; 4) è un intervallo i cui confini non gli appartengono. Ciò significa che i confini −3 e 4 saranno rappresentati come cerchi vuoti:

L'intersezione dell'insieme (2) e dell'intervallo numerico (−3; 4) sarà un insieme costituito da un elemento (2), poiché l'elemento 2 appartiene sia all'insieme (2) che all'intervallo numerico (−3; 4 )

{ 2 } ∩ (−3; 4) = { 2 }

In effetti, abbiamo già trattato dell'intersezione di intervalli numerici nella risoluzione dei sistemi disuguaglianze lineari. Ricorda come li abbiamo risolti. Innanzitutto abbiamo trovato molte soluzioni alla prima disuguaglianza, poi molte soluzioni alla seconda. Quindi abbiamo trovato molte soluzioni che soddisfano entrambe le disuguaglianze.

Essenzialmente, l'insieme delle soluzioni che soddisfano entrambe le disuguaglianze è l'intersezione degli insiemi di soluzioni della prima e della seconda diseguaglianza. Il ruolo di questi insiemi è assunto da intervalli numerici.

Ad esempio, per risolvere un sistema di disuguaglianze, dobbiamo prima trovare gli insiemi di soluzioni di ciascuna disuguaglianza, quindi trovare l'intersezione di questi insiemi.

IN in questo esempio risolvere la prima disuguaglianza X≥ 3 è l'insieme di tutti i numeri maggiori di 3 (compreso il numero 3 stesso). In altre parole, la soluzione della disuguaglianza è l'intervallo numerico

UN decisione generale il sistema sarà l'intersezione degli insiemi di soluzioni della prima e della seconda diseguaglianza, cioè l'intersezione di intervalli numerici

Se rappresentiamo l'insieme delle soluzioni del sistema sulla retta coordinata, vedremo che queste soluzioni appartengono all'intervallo, che a sua volta è l'intersezione degli intervalli

Pertanto, come risposta abbiamo indicato che i valori della variabile X appartengono all'intervallo numerico, cioè all'intersezione degli insiemi di soluzioni della prima e della seconda diseguaglianza

X ∈

Esempio 2. Risolvere la disuguaglianza

Tutte le disuguaglianze incluse nel sistema sono già state risolte. È necessario solo indicare quelle soluzioni comuni a tutte le disuguaglianze.

La soluzione alla prima disuguaglianza è l'intervallo numerico (−∞; −1) .

La soluzione alla seconda disuguaglianza è l'intervallo numerico (−∞; −5) .

La soluzione alla terza disuguaglianza è l'intervallo numerico (−∞; 4) .

La soluzione del sistema sarà l'intersezione di intervalli numerici (−∞; −1), (−∞; −5) e (−∞; 4). In questo caso, questa intersezione è l'intervallo (−∞; −5) .

(−∞; −1) ∩ (−∞; −5) ∩ (−∞; 4) = (−∞; −5)

La figura mostra gli intervalli numerici e le disuguaglianze con cui sono definiti questi intervalli numerici. Si può vedere che i numeri appartenenti all'intervallo (−∞; −5) appartengono contemporaneamente a tutti gli intervalli originali.

Scriviamo la risposta al sistema utilizzando un intervallo numerico:

X ∈ (−∞; −5)

Esempio 3. Risolvere la disuguaglianza

Risolvere la prima disuguaglianza sì> 7 è l'intervallo numerico (7; +∞) .

Risolvere la seconda disuguaglianza sì< 4 является числовой промежуток (−∞; 4) .

La soluzione del sistema sarà l'intersezione degli intervalli numerici (7; +∞) e (−∞; 4).

In questo caso, l'intersezione degli intervalli numerici (7; +∞) e (−∞; 4) è un insieme vuoto, poiché questi intervalli numerici non hanno elementi comuni:

(7; +∞) ∩ (−∞; 4) = ∅

Se descrivi gli intervalli numerici (7; +∞) e (−∞; 4) sulla linea delle coordinate, puoi vedere che non si intersecano da nessuna parte:

Unione di insiemi

L'unione di due (o più) insiemi originari è un insieme costituito da elementi appartenenti ad almeno uno degli insiemi originari.

In pratica l'unione di insiemi è costituita da tutti gli elementi appartenenti agli insiemi originari. Ecco perché si dice che gli elementi di un tale insieme appartengano almeno a uno degli insiemi originali.

Considera l'insieme UN con gli elementi 1, 2, 3 e set B con gli elementi 4, 5, 6.

UN = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5, 6 }

Definiamo un nuovo set C UN e tutti gli elementi del set B

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

In questo caso unificazione imposta UN E Bè un insieme C ed è indicato come segue:

UN∪B=C

Il simbolo ∪ significa unione e sostituisce la congiunzione O. Poi l'espressione UN∪B=C può essere letto così:

Elementi appartenenti all'insieme A O insieme B, ci sono elementi appartenenti all'insieme C.

La definizione di unione afferma che gli elementi di tale insieme appartengono ad almeno uno degli insiemi originari. Questa frase può essere preso alla lettera.

Torniamo al set che abbiamo creato C, che include tutti gli elementi degli insiemi UN E B. Prendiamo come esempio l’elemento 5 di questo set. Cosa puoi dire a riguardo?

Se 5 è un elemento dell'insieme C e l'insieme CONè un'unione di insiemi UN E B, allora possiamo affermare con sicurezza che l'elemento 5 appartiene ad almeno uno degli insiemi UN E B. Così com'è:

UN = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5 , 6 }

C = { 1, 2, 3, 4, 5 , 6 }

Prendiamo un altro elemento dal set CON, ad esempio, l'elemento 2. Cosa puoi dire al riguardo?

Se 2 è un elemento dell'insieme C e l'insieme CONè un'unione di insiemi UN E B, allora possiamo affermare con sicurezza che l'elemento 2 appartiene ad almeno uno degli insiemi UN E B. Così com'è:

UN = {1, 2 , 3}

B = {4, 5, 6}

C = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6 }

Se vogliamo combinare due o più insiemi e improvvisamente scopriamo che a ciascuno di questi insiemi appartengono uno o più elementi, allora gli elementi ripetuti verranno inclusi nell'unione una sola volta.

Consideriamo ad esempio il set UN con gli elementi 1, 2, 3, 4 e set B con gli elementi 2, 4, 5, 6.

UN = {1, 2 , 3, 4 }

B = {2 , 4 , 5, 6}

Vediamo che gli elementi 2 e 4 appartengono contemporaneamente all'insieme UN, e molti B. Se vogliamo combinare i set UN E B, quindi il nuovo set C conterrà gli elementi 2 e 4 solo una volta. Apparirà così:

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Per evitare errori durante la fusione, di solito si fa così: prima si aggiungono tutti gli elementi del primo insieme al nuovo insieme, poi si aggiungono gli elementi del secondo insieme che non appartengono al primo insieme. Proviamo a creare una tale unione con i set UN E B .

Quindi, abbiamo i seguenti set iniziali:

UN = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 2, 4, 5, 6 }

Definiamo un nuovo set CON e aggiungi tutti gli elementi del set UN

C = { 1, 2, 3, 4,

Ora aggiungiamo elementi dal set B, che non appartengono al set UN. A molti UN gli elementi 5 e 6 non appartengono. Aggiungiamoli alla lista C

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Esempio 2. Gli amici di John sono Tom, Fred, Max e George. E gli amici di Michael sono Leo, Tom, Fred ed Evan. Trova l'unione di gruppi di amici di John e Michael.

Per prima cosa definiamo due insiemi: l'insieme degli amici di Giovanni e l'insieme degli amici di Michele.

Definiamo un nuovo set con il nome "Tutti gli amici di John e Michael" e aggiungi tutti gli amici di John e Michael.

Nota che Tom e Fred sono entrambi amici di John e Michael, quindi li aggiungeremo al nuovo set solo una volta, poiché non possono esserci due Tom e due Fred contemporaneamente.

In questo caso, l'insieme di tutti gli amici di Giovanni e Michele è l'unione degli insiemi di amici di Giovanni e Michele.

Amici di John ∪ Amici di Michael = Tutti gli amici di John e Michael

Esempio 3. Dati due intervalli numerici: [−7; 0] e [−3; 5] . Trova la loro unione.

Entrambi gli spazi sono racchiusi tra parentesi quadre, il che significa che i loro confini appartengono a loro.

Per chiarezza elenchiamo tutti gli interi appartenenti a questi intervalli:

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1 , 0 ∈ [−7; 0]

−3,−2, −1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5]

Combinando intervalli numerici [−7; 0] e [−3; 5] ci sarà un intervallo numerico [−7; 5] , che contiene tutti i numeri nell'intervallo [−7; 0] e [−3; 5] senza ripetere alcuni numeri

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]

Si noti che i numeri −3, −2, −1 appartenevano sia al primo che al secondo intervallo. Ma poiché tali elementi possono essere inclusi in un'unione solo una volta, li abbiamo inclusi una volta.

Ciò significa che combinando gli intervalli numerici [−7; 0] e [−3; 5] ci sarà un intervallo numerico [−7; 5]

[−7; 0] ∪ [−3; 5] = [−7; 5]

Rappresentiamo gli intervalli [−7; 0] e [−3; 5] . Nella zona superiore segniamo l'intervallo numerico [−7; 0], in basso - l'intervallo [−3; 5]

In precedenza, abbiamo scoperto che l'intervallo [−7; 5] è l'unione degli intervalli [−7; 0] e [−3; 5] . Qui è utile ricordare la definizione di unione di insiemi data proprio all'inizio. Un'unione viene interpretata come un insieme costituito da tutti gli elementi appartenenti ad almeno uno degli insiemi originari.

Infatti, se prendiamo un numero qualsiasi dall'intervallo [−7; 5], allora risulta che appartiene ad almeno uno degli intervalli: o l'intervallo [−7; 0] o l'intervallo [−3; 5] .

Prendiamo dall'intervallo [−7; 5] qualsiasi numero, ad esempio il numero 2. Poiché l'intervallo [−7; 5] è l'unione degli intervalli [−7; 0] e [−3; 5], allora il numero 2 apparterrà ad almeno uno di questi intervalli. In questo caso il numero 2 appartiene all'intervallo [−3; 5]

Prendiamo un altro numero. Ad esempio, il numero −4. Questo numero apparterrà ad almeno uno degli intervalli: [−7; 0] o [−3; 5] . In questo caso appartiene all'intervallo [−7; 0]

Prendiamo un altro numero. Ad esempio, il numero −2. Appartiene sia all'intervallo [−7; 0] e l'intervallo [−3; 5] . Ma sulla linea delle coordinate viene indicato una sola volta, poiché non ci sono due numeri −2 nello stesso punto.

Non ogni unione di intervalli numerici è un intervallo numerico. Ad esempio, proviamo a trovare l'unione degli intervalli numerici [−2; −1] e .

L'idea rimane la stessa: l'unione degli intervalli numerici [−2;−1] e ci sarà un insieme costituito da elementi appartenenti ad almeno uno degli intervalli: [−2; −1] o . Ma questo insieme non sarà un intervallo numerico. Per chiarezza elenchiamo tutti gli interi appartenenti a questa unione:

[−2; −1] ∪ = { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }

Abbiamo ottenuto l'insieme ( −2, −1, 4, 5, 6, 7 ) . Questo insieme non è un intervallo numerico poiché i numeri compresi tra −1 e 4 non sono inclusi nell'insieme risultante

L'intervallo numerico deve contenere tutti i numeri dal bordo sinistro a quello destro. Se manca uno dei numeri, l'intervallo numerico perde significato. Diciamo che c'è un righello lungo 15 cm

Questa riga è un intervallo numerico perché contiene tutti i numeri compresi tra 0 e 15 inclusi. Ora immagina che sul righello, dopo il numero 9, segua immediatamente il numero 12.

Questo righello non è un righello da 15 cm e non è consigliabile utilizzarlo per misurare. Inoltre, non può essere chiamato intervallo numerico, poiché non contiene tutti i numeri che dovrebbe contenere.

Risolvere disuguaglianze contenenti il ​​segno ≠

Alcune disuguaglianze contengono il segno ≠ (non uguale). Ad esempio, 2 X≠ 8. Per risolvere questa disuguaglianza, è necessario trovare l'insieme dei valori della variabile X, per cui il lato sinistro non uguale lato destro.

Risolviamo la disuguaglianza 2 X≠ 8. Dividiamo entrambi i membri di questa disuguaglianza per 2, quindi otteniamo:

Abbiamo una disuguaglianza equivalente X≠4. La soluzione a questa disuguaglianza è l'insieme di tutti i numeri, disuguale 4. Cioè, se sostituiamo nella disuguaglianza X≠ 4 è qualsiasi numero diverso da 4, quindi otteniamo la disuguaglianza corretta.

Sostituiamo, ad esempio, il numero 5

5 ≠ 4 è una vera disuguaglianza perché 5 non è uguale a 4

Sostituiamo 7

7 ≠ 4 è una vera disuguaglianza perché 7 non è uguale a 4

E poiché la disuguaglianza X≠ 4 è equivalente alla disuguaglianza originale 2 X≠ 8, quindi soluzioni della disuguaglianza X≠ 4 si applicherà anche alla disuguaglianza 2 X≠ 8. Sostituiamo gli stessi valori del test 5 e 7 nella disuguaglianza 2 X≠ 8 .

2 × 5 ≠ 8

2×7 ≠ 8

X≠ 4 sulla linea delle coordinate. Per fare ciò, ritagliamo il punto 4 sulla linea delle coordinate ed evidenzieremo l'intera area rimanente su entrambi i lati con tratti:

Ora scriviamo la risposta sotto forma di intervallo numerico. Per fare ciò utilizzeremo l'unione di insiemi. Qualsiasi numero che sia una soluzione alla disuguaglianza 2 X≠ 8 apparterrà all'intervallo (−∞; 4) o all'intervallo (4; +∞). Quindi scriviamo che i valori della variabile X appartengono a (−∞; 4) o (4; +∞) . Ricordiamolo per la parola "O" viene utilizzato il simbolo ∪

X ∈ (−∞; 4) ∪ (4; +∞)

X, appartengono all'intervallo (−∞; 4) O intervallo (4; +∞).

Disuguaglianze contenenti un segno ≠ , possono anche essere risolte come le normali equazioni. Per questo segno ≠ sostituito da un segno = . Quindi ottieni la solita equazione. Alla fine della soluzione, il valore trovato della variabile x deve essere escluso dall'insieme delle soluzioni.

Risolviamo la disuguaglianza precedente 2 X≠ 8 come al solito equazione. Sostituisci il segno ≠ con il segno uguale = , otteniamo l'equazione 2 x = 8 . Dividiamo entrambi i lati di questa equazione per 2, otteniamo X= 4 .

Lo vedremo quando X, pari a 4, l'equazione si trasforma in una vera uguaglianza numerica. Per altri valori, l'uguaglianza non verrà rispettata. Questi altri significati sono ciò che ci interessa. E per fare questo basta escludere dall’insieme delle soluzioni le quattro trovate.

Esempio 2. Risolvere la disuguaglianza 3X− 5 ≠ 1 − 2X

Spostiamoci -2 X dal lato destro al lato sinistro, cambiando segno, e spostati di −5 dal lato sinistro al lato destro, cambiando ancora segno:

Presentiamo termini simili in entrambe le parti:

Dividi entrambi i membri della disuguaglianza risultante per 5

Risolvere la disuguaglianza X≠ 1.2 è l'insieme di tutti i numeri, disuguale 1,2 .

Descriviamo l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza X≠ 1.2 sulla linea delle coordinate e scrivi la risposta sotto forma di intervallo numerico:

X ∈ (−∞; 1,2) ∪ (1,2; +∞)

Questa espressione afferma che i valori assunti dalla variabile X appartengono all'intervallo (−∞; 1,2) O intervallo (1,2; +∞)

Risoluzione di insiemi di disuguaglianze

Consideriamo un altro tipo di disuguaglianze chiamate insieme di disuguaglianze. Raramente è possibile risolvere questo tipo di disuguaglianze, ma per lo sviluppo complessivo è utile studiarle.

Un insieme di disuguaglianze è molto simile a un sistema di disuguaglianze. La differenza è che in un sistema di disuguaglianze è necessario trovare molte soluzioni che soddisfino ciascuna disuguaglianza che forma questo sistema.

E nel caso di un insieme di disuguaglianze, è necessario trovare molte soluzioni che soddisfino almeno una le disuguaglianze che compongono questo aggregato.

Un insieme di disuguaglianze è indicato da una parentesi quadra. Ad esempio, la seguente notazione di due disuguaglianze è una raccolta:

Risolviamo questo insieme. Per prima cosa devi risolvere ciascuna disuguaglianza separatamente.

Risolvere la prima disuguaglianza X≥ 3 è un intervallo numerico.

Significati multipli X, per il quale è vero almeno una dalle disuguaglianze, apparterrà all'intervallo . Quindi lo scriviamo:

X ∈

Questa espressione dice che la variabile X, incluso in
la raccolta assume tutti i valori appartenenti all'intervallo. E questo è ciò di cui abbiamo bisogno. Dopotutto, risolvere un insieme significa trovare un insieme di soluzioni che soddisfino almeno una le disuguaglianze che compongono questo aggregato. E qualsiasi numero nell'intervallo soddisferà almeno una disuguaglianza.

Ad esempio, il numero 9 dell'intervallo soddisfa la seconda disuguaglianza X≤ 6.

Osserva attentamente l'espressione X∈ , cioè sul suo lato destro. Dopotutto, l'espressione è un'unione di intervalli numerici. Più precisamente, l'unione degli insiemi di soluzioni della prima e della seconda diseguaglianza.

Questo è, la soluzione dell'insieme delle disuguaglianze è l'unione degli insiemi soluzioni della prima e della seconda diseguaglianza.

In altre parole, la soluzione della popolazione sarà l'unione di intervalli numerici

L'unione degli intervalli numerici è l'intervallo (−∞; +∞) . Più precisamente, l'unione degli intervalli numerici è l'intera linea coordinata. E l'intera linea delle coordinate è composta da tutti i numeri che possono esserci

= (−∞; +∞)

X∈

X∈ (−∞; +∞)

Prendiamo un numero qualsiasi dalla combinazione risultante e controlliamo se soddisfa almeno una disuguaglianza.

Prendiamo come esempio il numero 8. Soddisfa la prima disuguaglianza X≥ 3.

8 ≥ 3

Prendiamo ad esempio un altro numero, il numero 1. Soddisfa la seconda disuguaglianza X≤ 6

Prendiamo un altro numero, ad esempio il numero 5. Soddisfa anche la prima disuguaglianza X≥ 3 e secondo X≤ 6

Esempio 2

Per risolvere questo insieme, è necessario trovare un insieme di soluzioni che soddisfino almeno una disuguaglianza che forma questo insieme.

Per prima cosa troviamo molte soluzioni alla prima disuguaglianza X< −0,25 . Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25) .

X≥ −7 è l'intervallo numerico [−7; +∞).

X∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

In altre parole, la soluzione della popolazione sarà l'unione di intervalli numerici (−∞; −0,25) e [−7; +∞)

Combinando gli intervalli numerici (−∞; −0,25) e [−7; +∞) è l'intera linea di coordinate. E l'intera linea delle coordinate è composta da tutti i numeri che possono esserci

(−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞) = (−∞; +∞)

La risposta può essere lasciata come l’abbiamo scritta prima:

X∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

oppure sostituiscilo con uno più corto:

X∈ (−∞; +∞)

Esempio 3. Risolvere un insieme di disuguaglianze

Risolviamo ciascuna disuguaglianza separatamente:

L'insieme delle soluzioni della prima disuguaglianza X < −3 является числовой промежуток (−∞; −3) .

L'insieme delle soluzioni della seconda disuguaglianza X≤ 0 è l'intervallo numerico (−∞; 0] .

La soluzione dell'insieme delle disuguaglianze sarà l'unione degli insiemi delle soluzioni della prima e della seconda diseguaglianza.

X∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]

In altre parole, la soluzione della popolazione sarà l'unione degli intervalli numerici (−∞; −3) e (−∞; 0]

L'unione degli intervalli numerici (−∞; −3) e (−∞; 0] è l'intervallo numerico (−∞; 0]

(−∞; −3) ∪ (−∞; 0] = (−∞; 0]

La risposta può essere lasciata come l’abbiamo scritta prima:

X∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]

oppure sostituiscilo con uno più corto:

X∈ (−∞; 0]

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1 DOMANDA:Moltiè un insieme di alcuni elementi uniti da qualche caratteristica comune. Gli elementi di un insieme possono essere numeri, figure, oggetti, concetti, ecc.

Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole e gli elementi dell'insieme sono indicati con lettere minuscole. Gli elementi degli insiemi sono racchiusi tra parentesi graffe.

Se elemento X appartiene a molti X, allora scrivi X ∈ X (∈ - appartiene). Se l'insieme A fa parte dell'insieme B, allora scrivi UN⊂ IN (⊂ - contenuto).

Definizione 1 (definizione di uguaglianza di insiemi). Imposta UN e B sono uguali se sono costituiti dagli stessi elementi, cioè se x  A implica x  B e viceversa, x  B implica x  A.

Formalmente l’uguaglianza di due insiemi si scrive come segue:

(A=B):= X((XUN)  (XB)),

questo significa che per ogni oggetto x le relazioni x A e x B sono equivalenti.

Qui  è il quantificatore universale ( X si legge "per tutti" X").

Sottoinsieme

Definizione: L'insieme X è sottoinsieme Y, se qualsiasi elemento dell'insieme X appartiene all'insieme Y. Questo è anche chiamato inclusione non rigorosa.Alcune proprietà del sottoinsieme:

1. ХХ - riflettività

2. X  Y & YZ  X  Z - transitività

3.   X cioè l'insieme vuoto è un sottoinsieme di qualsiasi insieme universale Definizione: Insieme universale- questo è un insieme composto da tutti gli elementi, nonché da sottoinsiemi dell'insieme di oggetti nell'area studiata, ad es.

1. Se M  IO , Quello M  IO

2. Se M  IO , Quello Ώ(M)  IO, dove sotto Ώ(M) - sono compresi tutti i possibili sottoinsiemi di M, o M booleano.

L'insieme universale è solitamente indicato IO .

Il set universale può essere selezionato in modo indipendente, a seconda del set in esame e dei compiti da risolvere.

Metodi per specificare gli insiemi:

1. elencandone gli elementi. Di solito gli insiemi finiti sono definiti mediante enumerazione.

2. descrivendo le proprietà comuni a tutti gli elementi di questo insieme, e solo a questo insieme. Questa proprietà si chiama immobile caratteristico, e questo modo di specificare l'insieme descrizione. Pertanto, è possibile specificare sia insiemi finiti che insiemi infiniti. Se definiamo un insieme con qualche proprietà, in seguito potrebbe risultare che solo un oggetto ha questa proprietà o che non esiste affatto un oggetto del genere. Questo fatto potrebbe non essere del tutto ovvio.

Argomento 2.3 Operazioni sugli insiemi.

Ora definiamo le operazioni sugli insiemi.

1. Intersezione di insiemi.

Definizione: L'intersezione degli insiemi X e Y è un insieme formato da tutti quegli, e solo quegli elementi, che appartengono sia all'insieme X che all'insieme Y.

Ad esempio: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) intersezione (2,4)

Definizione: Gli insiemi si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, cioè la loro intersezione è uguale all'insieme vuoto.

Per esempio : Gli insiemi disgiunti sono gli insiemi degli studenti eccellenti e di quelli senza successo.

Questa operazione può essere estesa a più di due set. In questo caso si tratterà di un insieme di elementi che appartengono contemporaneamente a tutti gli insiemi.

Proprietà dell'intersezione:

1. X∩Y = Y∩X - commutatività

2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z - associatività

3. X∩ = 

4. X∩ IO =X

2. Unione di insiemi

Definizione: L'unione di due insiemi è un insieme formato da tutti e soli gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi X o Y.

Ad esempio: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) combinando (1,2,3,4,6)

Questa operazione può essere estesa a più di due set. In questo caso si tratterà dell'insieme degli elementi appartenenti ad almeno uno di questi insiemi.

Unisci proprietà:

1. XUY= YUY - commutatività

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ - associatività

4.XU IO = IO

Dalle proprietà delle operazioni di intersezione e unione risulta chiaro che l'insieme vuoto è simile allo zero nell'algebra dei numeri.

3. Impostare la differenza

Definizione: Questa operazione, a differenza delle operazioni di intersezione e unione, è definita solo per due insiemi. La differenza tra gli insiemi X e Y è un insieme formato da tutti quelli e solo quegli elementi che appartengono a X e non appartengono a Y.

Ad esempio: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) differenza (1,3)

Come abbiamo già visto, il ruolo dello zero nell'algebra degli insiemi è svolto dall'insieme vuoto. Definiamo un insieme che svolgerà il ruolo di unità nell'algebra degli insiemi

4. Imposta il completamento

Il complemento di un insieme X è la differenza tra I e X.

Proprietà aggiuntive:

1. L'insieme X e il suo complemento non hanno elementi comuni

2. Qualsiasi elemento I appartiene all'insieme X o al suo complemento.

DOMANDA 2 Insiemi di numeri

Numeri interi− numeri utilizzati durante il conteggio (elenco) degli elementi: N=(1,2,3,…)

Numeri naturali con zero incluso− numeri utilizzati per indicare il numero di elementi: N0=(0,1,2,3,…)

Numeri interi− includere numeri interi, numeri opposti a quelli naturali (cioè con segno negativo) e zero. Interi positivi: Z+=N=(1,2,3,…) Interi negativi: Z−=(…,−3,−2,−1) Z=Z−∪(0)∪Z+=(…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…)

Numeri razionali− numeri rappresentati come frazione comune a/b, dove a e b sono numeri interi e b≠0. Q=(x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0) Quando convertito in decimale un numero razionale è rappresentato da una frazione periodica finita o infinita.

Numeri irrazionali− numeri rappresentati come una frazione decimale non periodica infinita.

Numeri reali− unione di numeri razionali e irrazionali: R

Numeri complessi C=(x+iy∣x∈R иy∈R), dove i è l'unità immaginaria.

Modulo e proprietà dei numeri reali

Modulo di un numero reale- Questo valore assoluto questo numero.

In poche parole, quando si prende il modulo, è necessario rimuovere il suo segno dal numero.

Il valore assoluto di un numero UN denotato da |a|. Nota: il modulo di un numero è sempre non negativo: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45