Qual è la soluzione alla disuguaglianza. Risoluzione delle disuguaglianze lineari

Per cominciare, un po' di poesia per avere un'idea del problema che il metodo dell'intervallo risolve. Diciamo che dobbiamo risolvere la seguente disuguaglianza:

(x − 5)(x + 3) > 0

Quali sono le opzioni? La prima cosa che viene in mente alla maggior parte degli studenti sono le regole “più su più dà più” e “meno su meno dà più”. Pertanto è sufficiente considerare il caso in cui entrambe le parentesi sono positive: x − 5 > 0 e x + 3 > 0. Consideriamo poi anche il caso in cui entrambe le parentesi sono negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Gli studenti più avanzati ricorderanno (forse) che a sinistra c'è funzione quadratica, il cui grafico è una parabola. Inoltre, questa parabola interseca l'asse OX nei punti x = 5 ex = −3. Per ulteriore lavoro devi aprire le parentesi. Abbiamo:

x2 − 2x − 15 > 0

Ora è chiaro che i rami della parabola sono diretti verso l'alto, perché coefficiente a = 1 > 0. Proviamo a disegnare un diagramma di questa parabola:

La funzione è maggiore di zero dove passa sopra l'asse OX. Nel nostro caso, questi sono gli intervalli (−∞ −3) e (5; +∞) - questa è la risposta.

Nota: l'immagine mostra esattamente diagramma delle funzioni, non il suo programma. Perché per un grafico reale è necessario contare le coordinate, calcolare gli spostamenti e altre stronzate che per ora non ci servono assolutamente.

Perché questi metodi sono inefficaci?

Quindi, abbiamo considerato due soluzioni alla stessa disuguaglianza. Entrambi si sono rivelati piuttosto ingombranti. La prima decisione sorge: pensaci! — un insieme di sistemi di disuguaglianze. Anche la seconda soluzione non è particolarmente semplice: bisogna ricordare il grafico della parabola e un mucchio di altri piccoli fatti.

Era una disuguaglianza molto semplice. Ha solo 2 moltiplicatori. Ora immagina che non ci saranno 2, ma almeno 4 moltiplicatori. Ad esempio:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Come risolvere tale disuguaglianza? Passare attraverso tutte le possibili combinazioni di pro e contro? Sì, ci addormenteremo più velocemente di quanto troviamo una soluzione. Anche disegnare un grafico non è un'opzione, poiché non è chiaro come si comporti tale funzione sul piano delle coordinate.

Per tali disuguaglianze è necessario uno speciale algoritmo risolutivo, che considereremo oggi.

Qual è il metodo dell'intervallo

Il metodo degli intervalli è uno speciale algoritmo progettato per risolvere disuguaglianze complesse della forma f (x) > 0 e f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Risolvi l'equazione f (x) = 0. Quindi, invece di una disuguaglianza, otteniamo un'equazione molto più semplice da risolvere;
2. Segna tutte le radici ottenute sulla linea delle coordinate. Pertanto la retta verrà divisa in più intervalli;
3. Trova il segno (più o meno) della funzione f (x) nell'intervallo più a destra. Per fare ciò è sufficiente sostituire in f (x) un numero qualsiasi che si troverà a destra di tutte le radici marcate;
4. Segna i segni negli intervalli rimanenti. Per fare ciò, ricorda solo che quando si passa attraverso ciascuna radice, il segno cambia.

Questo è tutto! Dopodiché non resta che annotare gli intervalli che ci interessano. Sono contrassegnati con il segno “+” se la disuguaglianza era della forma f (x) > 0, oppure con il segno “−” se la disuguaglianza era della forma f (x)< 0.

A prima vista, può sembrare che il metodo dell'intervallo sia una specie di cosa metallica. Ma in pratica tutto sarà molto semplice. Basta fare un po' di pratica e tutto diventerà più chiaro. Dai un'occhiata agli esempi e verifica tu stesso:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

(x − 2)(x + 7)< 0

Lavoriamo utilizzando il metodo dell'intervallo. Passaggio 1: sostituisci la disuguaglianza con un'equazione e risolvila:

(x − 2)(x + 7) = 0

Il prodotto è zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Abbiamo due radici. Passiamo al passaggio 2: segnamo queste radici sulla linea delle coordinate. Abbiamo:

Ora passaggio 3: trova il segno della funzione nell'intervallo più a destra (a destra del punto contrassegnato x = 2). Per fare questo, devi prendere qualsiasi numero quello più numero x = 2. Prendiamo ad esempio x = 3 (ma nessuno vieta di prendere x = 4, x = 10 e anche x = 10.000). Otteniamo:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Troviamo che f (3) = 10 > 0, quindi inseriamo un segno più nell'intervallo più a destra.

Passiamo all'ultimo punto: dobbiamo notare i segni sugli intervalli rimanenti. Ricordiamo che passando per ciascuna radice il segno deve cambiare. Ad esempio, a destra della radice x = 2 c'è un più (ne abbiamo accertato il passaggio precedente), quindi a sinistra deve esserci un meno.

Questo meno si estende all'intero intervallo (−7; 2), quindi c'è un meno a destra della radice x = −7. Pertanto a sinistra della radice x = −7 c'è un più. Resta da segnare questi segni sull'asse delle coordinate. Abbiamo:

Torniamo alla disuguaglianza originaria, che aveva la forma:

(x − 2)(x + 7)< 0

Quindi la funzione deve essere minore di zero. Ciò significa che a noi interessa il segno meno, che compare solo su un intervallo: (−7; 2). Questa sarà la risposta.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Passaggio 1: imposta il lato sinistro su zero:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Ricorda: il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. Ecco perché abbiamo il diritto di equiparare ogni singola fascia a zero.

Passaggio 2: segna tutte le radici sulla linea delle coordinate:

Passaggio 3: scopri il segno dello spazio più a destra. Prendiamo qualsiasi numero maggiore di x = 1. Ad esempio, possiamo prendere x = 10. Abbiamo:

f(x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f(10) = −1197< 0.

Passaggio 4: posizionamento dei restanti cartelli. Ricordiamo che passando per ciascuna radice il segno cambia. Di conseguenza, la nostra immagine sarà simile a questa:

Questo è tutto. Non resta che scrivere la risposta. Diamo un’altra occhiata alla disuguaglianza originale:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Questa è una disuguaglianza della forma f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Questa è la risposta.

Una nota sui segni di funzione

La pratica dimostra che le maggiori difficoltà nel metodo dell'intervallo sorgono negli ultimi due passaggi, ad es. quando si posizionano i segnali. Molti studenti iniziano a confondersi: quali numeri dovrebbero essere presi e dove mettere i segni.

Per comprendere finalmente il metodo degli intervalli, consideriamo due osservazioni su cui si basa:

1. Una funzione continua cambia segno solo in quei punti dove è uguale a zero. Tali punti dividono l'asse delle coordinate in pezzi, all'interno dei quali il segno della funzione non cambia mai. Ecco perché risolviamo l'equazione f (x) = 0 e segniamo le radici trovate sulla retta. I numeri trovati sono punti “borderline” che separano i pro dai contro.
2. Per trovare il segno di una funzione su qualsiasi intervallo, è sufficiente sostituire nella funzione un numero qualsiasi di questo intervallo. Ad esempio, per l'intervallo (−5; 6) abbiamo il diritto di prendere x = −4, x = 0, x = 4 e anche x = 1,29374 se vogliamo. Perché è importante? Sì, perché i dubbi cominciano a rodere molti studenti. Ad esempio, cosa succederebbe se per x = −4 otteniamo un più e per x = 0 otteniamo un meno? Ma niente del genere accadrà mai. Tutti i punti sullo stesso intervallo danno lo stesso segno. Ricordalo.

Questo è tutto ciò che devi sapere sul metodo dell'intervallo. Ovviamente l'abbiamo smontato versione semplice. Esistono disuguaglianze più complesse: non rigorose, frazionarie e con radici ripetute. Puoi anche utilizzare il metodo dell'intervallo per loro, ma questo è un argomento per una grande lezione separata.

Ora vorrei esaminare una tecnica avanzata che semplifica notevolmente il metodo dell'intervallo. Più precisamente, la semplificazione riguarda solo il terzo passaggio: calcolare il segno sul tratto più a destra della linea. Per qualche motivo questa tecnica non viene insegnata nelle scuole (almeno nessuno me lo ha spiegato). Ma invano, perché in realtà questo algoritmo è molto semplice.

Quindi, il segno della funzione si trova sulla parte destra della linea numerica. Questo pezzo ha la forma (a ; +∞), dove a è la radice più grande dell'equazione f (x) = 0. Per non stupirvi, consideriamo un esempio specifico:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Abbiamo 3 radici. Elenchiamoli in ordine crescente: x = −2, x = 1 e x = 7. Ovviamente la radice più grande è x = 7.

Per chi trova più semplice ragionare graficamente segnerò queste radici sulla linea coordinata. Vediamo cosa succede:

È necessario trovare il segno della funzione f (x) nell'intervallo più a destra, cioè a (7; +∞). Ma come abbiamo già notato, per determinare il segno puoi prendere qualsiasi numero da questo intervallo. Ad esempio, puoi prendere x = 8, x = 150, ecc. E ora la stessa tecnica che non viene insegnata a scuola: prendiamo l'infinito come numero. Più precisamente, più infinito, cioè. +∞.

“Sei fatto? Come puoi sostituire l’infinito in una funzione?” - potresti chiedere. Ma pensaci: non abbiamo bisogno del valore della funzione stessa, ci serve solo il segno. Pertanto, ad esempio, i valori f (x) = −1 e f (x) = −938 740 576 215 significano la stessa cosa: la funzione su questo intervallo è negativa. Pertanto, tutto ciò che ti viene richiesto è trovare il segno che appare all'infinito e non il valore della funzione.

In effetti, sostituire l'infinito è molto semplice. Torniamo alla nostra funzione:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Immagina che x sia molto gran numero. Miliardi o addirittura trilioni. Ora vediamo cosa succede in ciascuna parentesi.

Prima parentesi: (x − 1). Cosa succede se sottrai uno da un miliardo? Il risultato sarà un numero non molto diverso da un miliardo, e questo numero sarà positivo. Allo stesso modo con la seconda parentesi: (2 + x). Se aggiungiamo un miliardo a due, otteniamo un miliardo e un centesimo: questo è numero positivo. Infine, la terza parentesi: (7 − x). Qui ci sarà un miliardo in meno, da cui è stato "rosicchiato via" un patetico pezzo a forma di sette. Quelli. il numero risultante non differirà molto da meno un miliardo: sarà negativo.

Non resta che trovare il segno dell’intera opera. Poiché nelle prime parentesi abbiamo un più e nell'ultima un meno, otteniamo la seguente costruzione:

(+) · (+) · (−) = (−)

Il segno finale è meno! E non importa quale sia il valore della funzione stessa. La cosa principale è che questo valore è negativo, cioè l'intervallo più a destra ha un segno meno. Resta da completare il quarto passaggio del metodo dell'intervallo: disporre tutti i segni. Abbiamo:

La disuguaglianza originaria era:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

A noi interessano quindi gli intervalli contrassegnati dal segno meno. Scriviamo la risposta:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Questo è il trucco che volevo dirti. In conclusione, ecco un'altra disuguaglianza che può essere risolta con il metodo dell'intervallo utilizzando l'infinito. Per abbreviare visivamente la soluzione, non scriverò i numeri dei passaggi e i commenti dettagliati. Scriverò solo ciò di cui hai veramente bisogno di scrivere per risolvere problemi reali:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

x(2x + 8)(x − 3) > 0

Sostituiamo la disuguaglianza con un'equazione e risolviamola:

x(2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Contrassegniamo tutte e tre le radici sulla linea delle coordinate (con i segni contemporaneamente):

C'è un più sul lato destro dell'asse delle coordinate, perché la funzione è simile a:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

E se sostituiamo l'infinito (ad esempio un miliardo), otteniamo tre parentesi positive. Poiché l'espressione originale deve essere maggiore di zero, a noi interessano solo i valori positivi. Non resta che scrivere la risposta:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Ad esempio, la disuguaglianza è l'espressione \(x>5\).

Tipi di disuguaglianze:

Se \(a\) e \(b\) sono numeri o , allora viene chiamata la disuguaglianza numerico. In realtà si tratta solo di confrontare due numeri. Tali disuguaglianze sono suddivise in fedele E infedele.

Per esempio:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) è una disuguaglianza numerica errata, poiché \(17+3=20\), e \(20\) è inferiore a \(115\) (e non maggiore o uguale a) .

Se \(a\) e \(b\) sono espressioni contenenti una variabile, allora abbiamo disuguaglianza con variabile. Tali disuguaglianze sono suddivise in tipologie a seconda del contenuto:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabile solo alla prima potenza
\(3x^2-x+5>0\)				Esiste una variabile nella seconda potenza (quadrato), ma non esistono potenze superiori (terza, quarta, ecc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

...e così via.

Qual è la soluzione a una disuguaglianza?

Se sostituisci un numero anziché una variabile in una disuguaglianza, questa diventerà numerica.

Se un dato valore di x trasforma la disuguaglianza originaria in una vera disuguaglianza numerica, allora viene chiamata soluzione alla disuguaglianza. In caso contrario, questo valore non è una soluzione. E così risolvere la disuguaglianza– devi trovare tutte le sue soluzioni (o dimostrare che non ce ne sono).

Per esempio, se sostituiamo il numero \(7\) nella disuguaglianza lineare \(x+6>10\), otteniamo la disuguaglianza numerica corretta: \(13>10\). E se sostituiamo \(2\), ci sarà una disuguaglianza numerica errata \(8>10\). Cioè, \(7\) è una soluzione alla disuguaglianza originale, ma \(2\) non lo è.

Tuttavia, la disuguaglianza \(x+6>10\) ha altre soluzioni. In effetti, otterremo le disuguaglianze numeriche corrette sostituendo \(5\), e \(12\), e \(138\)... E come possiamo trovare tutte possibili soluzioni? Per questo usano. Nel nostro caso abbiamo:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Cioè, qualsiasi numero maggiore di quattro è adatto a noi. Ora devi scrivere la risposta. Le soluzioni alle disuguaglianze sono solitamente scritte numericamente, contrassegnandole inoltre sull'asse dei numeri con un'ombreggiatura. Per il nostro caso abbiamo:

Risposta: \(x\in(4;+\infty)\)

Quando cambia il segno di una disuguaglianza?

C’è una grande trappola nelle disuguaglianze in cui gli studenti “amano” davvero cadere:

Quando si moltiplica (o si divide) una disuguaglianza per un numero negativo, viene invertita (“più” per “meno”, “più o uguale” per “minore o uguale” e così via)

Perché sta succedendo questo? Per capirlo, consideriamo le trasformazioni della disuguaglianza numerica \(3>1\). È corretto, tre è infatti maggiore di uno. Innanzitutto, proviamo a moltiplicarlo per qualsiasi numero positivo, ad esempio due:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Come possiamo vedere, dopo la moltiplicazione la disuguaglianza rimane vera. E non importa per quale numero positivo moltiplichiamo, otterremo sempre la disuguaglianza corretta. Ora proviamo a moltiplicare per numero negativo, ad esempio, meno tre:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Il risultato è una disuguaglianza errata, perché meno nove è inferiore a meno tre! Cioè, affinché la disuguaglianza diventi vera (e quindi la trasformazione della moltiplicazione per negativo fosse “legale”), è necessario invertire il segno di confronto, in questo modo: \(−9<− 3\).
Con la divisione funzionerà allo stesso modo, puoi verificarlo tu stesso.

La regola scritta sopra si applica a tutti i tipi di diseguaglianze, non solo a quelle numeriche.

Esempio: Risolvi la disuguaglianza \(2(x+1)-1<7+8x\)
Soluzione:

\(2x+2-1<7+8x\)	Spostiamo \(8x\) a sinistra, e \(2\) e \(-1\) a destra, senza dimenticare di cambiare segno
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Dividiamo entrambi i lati della disuguaglianza per \(-6\), senza dimenticare di passare da “meno” a “più”
	Segniamo un intervallo numerico sull'asse. Disuguaglianza, quindi “punzelliamo” il valore \(-1\) stesso e non lo prendiamo come risposta
	Scriviamo la risposta come un intervallo

Risposta: \(x\in(-1;\infty)\)

Disuguaglianze e disabilità

Le disuguaglianze, proprio come le equazioni, possono avere restrizioni su , cioè sui valori di x. Di conseguenza, i valori inaccettabili secondo la DZ dovrebbero essere esclusi dalla gamma di soluzioni.

Esempio: Risolvi la disuguaglianza \(\sqrt(x+1)<3\)

Soluzione: È chiaro che affinché il lato sinistro sia inferiore a \(3\), l'espressione radicale deve essere inferiore a \(9\) (dopo tutto, da \(9\) è solo \(3\)). Otteniamo:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Tutto? Qualsiasi valore di x inferiore a \(8\) è adatto a noi? NO! Perché se prendiamo, ad esempio, il valore \(-5\) che sembra soddisfare il requisito, non sarà una soluzione alla disuguaglianza originaria, poiché ci porterà a calcolare la radice di un numero negativo.

\(\quadrato(-5+1)<3\)
\(\quadrato(-4)<3\)

Pertanto, dobbiamo anche tenere conto delle restrizioni sul valore di X: non può essere tale che sotto la radice ci sia un numero negativo. Pertanto, abbiamo il secondo requisito per x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

E affinché x sia la soluzione finale, deve soddisfare entrambi i requisiti contemporaneamente: deve essere minore di \(8\) (per essere una soluzione) e maggiore di \(-1\) (per essere ammissibile in linea di principio). Tracciandolo sulla linea numerica, abbiamo la risposta finale:

Risposta: \(\sinistra[-1;8\destra)\)

Cosa devi sapere sulle icone della disuguaglianza? Disuguaglianze con icona Di più (> ), O meno (< ) vengono chiamati rigoroso. Con icone maggiore o uguale a (≥ ), inferiore o uguale a (≤ ) vengono chiamati non severo. Icona non uguale (≠ ) si distingue, ma devi anche risolvere sempre esempi con questa icona. E decideremo.)

L'icona stessa non ha molta influenza sul processo di soluzione. Ma alla fine della decisione, quando si sceglie la risposta finale, il significato dell'icona appare in tutta la sua forza! Questo è ciò che vedremo di seguito negli esempi. Ci sono alcune battute lì...

Le disuguaglianze, come le uguaglianze, esistono fedele e infedele. Qui tutto è semplice, senza trucchi. Diciamo 5 > 2 è una vera disuguaglianza. 5 < 2 - errato.

Questa preparazione funziona per le disuguaglianze qualsiasi tipo e semplice fino all'orrore.) Devi solo eseguire correttamente due (solo due!) azioni elementari. Queste azioni sono familiari a tutti. Ma, tipicamente, gli errori in queste azioni sono l'errore principale nella risoluzione delle disuguaglianze, sì... Pertanto, queste azioni devono essere ripetute. Queste azioni si chiamano così:

Trasformazioni identiche di disuguaglianze.

Le trasformazioni identiche delle disuguaglianze sono molto simili alle trasformazioni identiche delle equazioni. In realtà, questo è il problema principale. Le differenze ti passano per la testa e... siamo arrivati.) Pertanto metterò in evidenza soprattutto queste differenze. Quindi, la prima trasformazione identica delle disuguaglianze:

1. Lo stesso numero o espressione può essere aggiunto (sottratto) a entrambi i membri della disuguaglianza. Qualunque. Ciò non cambierà il segno della disuguaglianza.

In pratica, questa regola viene utilizzata come trasferimento di termini dal lato sinistro della disuguaglianza a quello destro (e viceversa) con un cambio di segno. Con il cambio di segno del termine, non la disuguaglianza! La regola uno-a-uno è la stessa della regola per le equazioni. Ma le seguenti trasformazioni identiche nelle disuguaglianze differiscono significativamente da quelle nelle equazioni. Quindi li evidenzio in rosso:

2. Entrambi i lati della disuguaglianza possono essere moltiplicati (divisi) per la stessa cosapositivonumero. Per qualsiasipositivo non cambierà.

3. Entrambi i lati della disuguaglianza possono essere moltiplicati (divisi) per la stessa cosanegativo numero. Per qualsiasinegativonumero. Il segno di disuguaglianza da questocambierà al contrario.

Ricorda (spero...) che l'equazione può essere moltiplicata/divisa per qualsiasi cosa. E per qualsiasi numero e per un'espressione con una X. Se solo non fosse zero. Questo rende lui, l'equazione, né caldo né freddo.) Non cambia. Ma le disuguaglianze sono più sensibili alla moltiplicazione/divisione.

Un chiaro esempio di memoria lunga. Scriviamo una disuguaglianza che non sollevi dubbi:

5 > 2

Moltiplica entrambi i lati per +3, otteniamo:

15 > 6

Qualche obiezione? Non ci sono obiezioni.) E se moltiplichiamo entrambi i lati della disuguaglianza originale per -3, otteniamo:

15 > -6

E questa è una bugia assoluta.) Una bugia completa! Inganno del popolo! Ma non appena si cambia il segno di disuguaglianza in quello opposto, tutto va a posto:

15 < -6

Non sto solo giurando su bugie e inganni.) "Ho dimenticato di cambiare il segno di uguale..."- Questo casa errore nel risolvere le disuguaglianze. Questa banale e semplice regola ha fatto male a tantissime persone! Che si sono dimenticati...) Quindi lo giuro. Forse mi ricorderò...)

Le persone particolarmente attente noteranno che la disuguaglianza non può essere moltiplicata per un'espressione con una X. Rispetto a chi è attento!) Perché no? La risposta è semplice. Non conosciamo il segno di questa espressione con una X. Può essere positivo, negativo... Pertanto, non sappiamo quale segno di disuguaglianza mettere dopo la moltiplicazione. Dovrei cambiarlo o no? Sconosciuto. Naturalmente questa restrizione (il divieto di moltiplicare/dividere una disuguaglianza per un'espressione con una x) può essere aggirata. Se ne hai davvero bisogno. Ma questo è un argomento per altre lezioni.

Queste sono tutte le identiche trasformazioni delle disuguaglianze. Lascia che ti ricordi ancora una volta per cui lavorano Qualunque disuguaglianze Ora puoi passare a tipi specifici.

Disuguaglianze lineari. Soluzione, esempi.

Le disuguaglianze lineari sono disuguaglianze in cui x è alla prima potenza e non esiste divisione per x. Tipo:

x+3 > 5x-5

Come si risolvono tali disuguaglianze? Sono molto facili da risolvere! Vale a dire: con l'aiuto di riduciamo la disuguaglianza lineare più confusa direttamente alla risposta. Questa è la soluzione. Evidenzierò i punti principali della decisione. Per evitare errori stupidi.)

Risolviamo questa disuguaglianza:

x+3 > 5x-5

La risolviamo esattamente allo stesso modo di un'equazione lineare. Con l'unica differenza:

Monitoriamo attentamente il segno di disuguaglianza!

Il primo passo è il più comune. Con X - a sinistra, senza X - a destra... Questa è la prima trasformazione identica, semplice e senza problemi.) Basta non dimenticare di cambiare i segni dei termini trasferiti.

Il segno di disuguaglianza rimane:

x-5x > -5-3

Eccone di simili.

Il segno di disuguaglianza rimane:

4x > -8

Resta da applicare l'ultima identica trasformazione: dividere entrambi i lati per -4.

Dividi per negativo numero.

Il segno di disuguaglianza cambierà al contrario:

X < 2

Questa è la risposta.

Ecco come vengono risolte tutte le disuguaglianze lineari.

Attenzione! Il punto 2 è disegnato in bianco, cioè non verniciato. Vuoto dentro. Ciò significa che non è inclusa nella risposta! L'ho disegnata così sana di proposito. Un punto del genere (vuoto, non sano!)) in matematica si chiama punto forato.

I restanti numeri sull'asse possono essere contrassegnati, ma non sono necessari. I numeri estranei che non sono legati alla nostra disuguaglianza possono creare confusione, sì... Devi solo ricordare che i numeri aumentano nella direzione della freccia, cioè numeri 3, 4, 5, ecc. Sono A destra sono due e i numeri sono 1, 0, -1, ecc. - A sinistra.

Disuguaglianza x < 2 - rigoroso. X è strettamente minore di due. In caso di dubbio, verificare è semplice. Sostituiamo il numero dubbio nella disuguaglianza e pensiamo: “Due è meno di due, ovviamente!” Giusto. Disuguaglianza 2 < 2 errato. Un due in cambio non è appropriato.

Uno va bene? Certamente. Meno... E zero va bene, e -17 e 0,34... Sì, tutti i numeri inferiori a due vanno bene! E anche 1.9999.... Almeno un po', ma meno!

Quindi segniamo tutti questi numeri sull'asse dei numeri. Come? Ci sono opzioni qui. Opzione uno: ombreggiatura. Spostiamo il mouse sull'immagine (o tocchiamo l'immagine sul tablet) e vediamo che l'area di tutti gli x che soddisfano la condizione x è ombreggiata < 2 . Questo è tutto.

Diamo un'occhiata alla seconda opzione utilizzando il secondo esempio:

X ≥ -0,5

Disegna un asse e segna il numero -0,5. In questo modo:

Noti la differenza?) Ebbene sì, è difficile non notarlo... Questo punto è nero! Verniciato. Ciò significa -0,5 è incluso nella risposta. Qui, a proposito, la verifica potrebbe confondere qualcuno. Sostituiamo:

-0,5 ≥ -0,5

Come mai? -0,5 non è più di -0,5! E c'è più icona...

Va bene. In una disuguaglianza debole, tutto ciò che si adatta all'icona è adatto. E è uguale bene, e Di più Bene. Pertanto, nella risposta è incluso -0,5.

Quindi, abbiamo segnato -0,5 sull'asse; resta da segnare tutti i numeri maggiori di -0,5. Questa volta contrassegno l'area dei valori x adatti arco(dalla parola arco), anziché l'ombreggiatura. Passiamo il cursore sul disegno e vediamo questo arco.

Non vi è alcuna differenza particolare tra l'ombreggiatura e i braccioli. Fai come dice l'insegnante. Se non c'è l'insegnante, disegna gli archi. Nelle attività più complesse, l'ombreggiatura è meno evidente. Puoi confonderti.

Ecco come vengono disegnate le disuguaglianze lineari su un asse. Passiamo alla caratteristica successiva delle disuguaglianze.

Scrivere la risposta alle disuguaglianze.

Le equazioni erano buone.) Abbiamo trovato x e abbiamo scritto la risposta, ad esempio: x=3. Esistono due forme di scrittura delle risposte alle disuguaglianze. Uno è sotto forma di disuguaglianza finale. Buono per casi semplici. Per esempio:

X< 2.

Questa è una risposta completa.

A volte è necessario scrivere la stessa cosa, ma in una forma diversa, a intervalli numerici. Quindi la registrazione inizia a sembrare molto scientifica):

x∈ (-∞; 2)

Sotto l'icona ∈ la parola è nascosta "appartiene"

La voce recita così: x appartiene all'intervallo da meno infinito a due escluso. Abbastanza logico. X può essere qualsiasi numero tra tutti i numeri possibili da meno infinito a due. Non può esserci una doppia X, questo è ciò che ci dice la parola "escluso".

E dove nella risposta è chiaro che "escluso"? Questo fatto è notato nella risposta girare parentesi immediatamente dopo i due. Se i due fossero inclusi, la parentesi lo sarebbe piazza. Ecco qui:]. L'esempio seguente utilizza tale parentesi.

Scriviamo la risposta: x ≥ -0,5 ad intervalli:

x∈ [-0,5; +∞)

Si legge: x appartiene all'intervallo da meno 0,5, compreso, a più infinito.

L'infinito non può mai essere acceso. Non è un numero, è un simbolo. Pertanto, in tali notazioni, l'infinito è sempre adiacente a una parentesi.

Questa forma di registrazione è conveniente per risposte complesse composte da più spazi. Ma - solo per le risposte finali. Nei risultati intermedi, dove si prevede un'ulteriore soluzione, è meglio utilizzare la forma consueta, sotto forma di disuguaglianza semplice. Di questo parleremo negli argomenti pertinenti.

Compiti popolari con disuguaglianze.

Le stesse disuguaglianze lineari sono semplici. Pertanto, i compiti spesso diventano più difficili. Quindi era necessario pensare. Questo, se non sei abituato, non è molto piacevole.) Ma è utile. Mostrerò esempi di tali compiti. Non spetta a te impararli, non è necessario. E per non aver paura di incontrare tali esempi. Basta pensarci un po’ ed è semplice!)

1. Trova due soluzioni qualsiasi della disuguaglianza 3x - 3< 0

Se non è molto chiaro cosa fare, ricorda la regola principale della matematica:

Se non sai di cosa hai bisogno, fai quello che puoi!)

X < 1

E cosa? Niente di speciale. Cosa ci chiedono? Ci viene chiesto di trovare due numeri specifici che siano la soluzione a una disuguaglianza. Quelli. adatta alla risposta. Due Qualunque numeri. In realtà, questo crea confusione.) Sono adatti una coppia di 0 e 0,5. Un paio -3 e -8. Esistono un numero infinito di queste coppie! Quale risposta è corretta?!

Rispondo: tutto! Qualsiasi coppia di numeri, ciascuno dei quali è minore di uno, sarà la risposta corretta. Scrivi quale vuoi. Andiamo avanti.

2. Risolvi la disuguaglianza:

4x-3 ≠ 0

I compiti in questa forma sono rari. Ma, come disuguaglianze ausiliarie, quando si trova ODZ, ad esempio, o quando si trova il dominio di definizione di una funzione, si verificano continuamente. Tale disuguaglianza lineare può essere risolta come un'equazione lineare ordinaria. Solo ovunque tranne il segno "=" ( è uguale) mettere un cartello " ≠ " (non uguale). Ecco come ti avvicini alla risposta, con un segno di disuguaglianza:

X ≠ 0,75

Negli esempi più complessi, è meglio fare le cose diversamente. Fare della disuguaglianza l’uguaglianza. In questo modo:

4x-3 = 0

Risolvilo con calma come insegnato e ottieni la risposta:

x = 0,75

La cosa principale è, alla fine, quando scrivi la risposta finale, non dimenticare che abbiamo trovato x, che dà uguaglianza. E abbiamo bisogno - disuguaglianza. Pertanto, non abbiamo davvero bisogno di questa X.) E dobbiamo scriverla con il simbolo corretto:

X ≠ 0,75

Questo approccio comporta meno errori. Coloro che risolvono le equazioni automaticamente. E per coloro che non risolvono equazioni, le disuguaglianze sono, in effetti, inutili...) Un altro esempio di un compito popolare:

3. Trova la più piccola soluzione intera della disuguaglianza:

3(x-1) < 5x + 9

Per prima cosa risolviamo semplicemente la disuguaglianza. Apriamo le parentesi, le spostiamo, ne portiamo di simili... Otteniamo:

X > - 6

Non è andata così!? Hai seguito le indicazioni!? E dietro i segni dei membri, e dietro il segno della disuguaglianza...

Ripensiamoci. Dobbiamo trovare un numero specifico che corrisponda sia alla risposta che alla condizione "numero intero più piccolo". Se non te ne rendi conto subito, puoi semplicemente prendere qualsiasi numero e capirlo. Due su meno sei? Certamente! È lì numero adatto più piccolo? Ovviamente. Ad esempio, zero è maggiore di -6. E anche meno? Abbiamo bisogno della più piccola cosa possibile! Meno tre è più di meno sei! Puoi già cogliere lo schema e smettere stupidamente di scorrere i numeri, giusto?)

Prendiamo un numero più vicino a -6. Ad esempio, -5. La risposta è soddisfatta, -5 > - 6. È possibile trovare un altro numero inferiore a -5 ma maggiore di -6? Puoi, ad esempio, -5,5... Stop! Ci viene detto Totale soluzione! Non ottiene -5,5! E meno sei? Uh-uh! La disuguaglianza è rigorosa, meno 6 non è in alcun modo inferiore a meno 6!

Pertanto la risposta corretta è -5.

Spero che tutto sia chiaro con la scelta del valore rispetto alla soluzione generale. Un altro esempio:

4. Risolvere la disuguaglianza:

7 < 3x+1 < 13

Oh! Questa espressione si chiama tripla disuguaglianza. A rigor di termini, questa è una forma abbreviata di un sistema di disuguaglianze. Ma queste triple disuguaglianze devono ancora essere risolte in alcuni compiti... Può essere risolto senza alcun sistema. Secondo le stesse identiche trasformazioni.

Dobbiamo semplificare, portare questa disuguaglianza alla X pura. Ma... Cosa devo spostare e dove?! È qui che è il momento di ricordare che significa muoversi a destra e a sinistra forma abbreviata prima trasformazione dell’identità.

E la forma completa suona così: Qualsiasi numero o espressione può essere aggiunto/sottratto a entrambi i lati dell'equazione (disuguaglianza).

Ci sono tre parti qui. Quindi applicheremo trasformazioni identiche a tutte e tre le parti!

Quindi, eliminiamo quello nella parte centrale della disuguaglianza. Sottraiamo uno dall'intera parte centrale. Affinché la disuguaglianza non cambi, sottraiamo uno dalle restanti due parti. In questo modo:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Così va meglio, vero?) Non resta che dividere tutte e tre le parti in tre:

2 < X < 4

Questo è tutto. Questa è la risposta. X può essere qualsiasi numero compreso tra due (escluso) e quattro (escluso). Anche questa risposta è scritta a intervalli; tali voci saranno in disuguaglianze quadratiche. Là sono la cosa più comune.

Alla fine della lezione ripeterò la cosa più importante. Il successo nella risoluzione delle disuguaglianze lineari dipende dalla capacità di trasformare e semplificare le equazioni lineari. Se allo stesso tempo attenzione al segno di disuguaglianza, non ci saranno problemi. Questo è quello che ti auguro. Nessun problema.)

Se ti piace questo sito...

A proposito, ho un paio di altri siti interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Nell'articolo considereremo risolvere le disuguaglianze. Te lo diremo chiaramente come costruire una soluzione alle disuguaglianze, con esempi chiari!

Prima di esaminare la risoluzione delle disuguaglianze utilizzando esempi, comprendiamo i concetti di base.

Generalità sulle disuguaglianze

Disuguaglianzaè un'espressione in cui le funzioni sono collegate da segni di relazione >, . Le disuguaglianze possono essere sia numeriche che letterali.
Le disuguaglianze con due segni di rapporto sono chiamate doppie, con tre - triple, ecc. Per esempio:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Le disuguaglianze contenenti il ​​segno > o o - non sono strette.
Risolvere la disuguaglianzaè qualsiasi valore della variabile per il quale questa disuguaglianza sarà vera.
"Risolvere la disuguaglianza" significa che dobbiamo trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni. Ce ne sono diverse Metodi per risolvere le disuguaglianze. Per soluzioni di disuguaglianza Usano la linea numerica, che è infinita. Per esempio, soluzione alla disuguaglianza x > 3 è l'intervallo da 3 a +, e il numero 3 non è incluso in questo intervallo, quindi il punto sulla linea è indicato cerchio vuoto, Perché la disuguaglianza è rigorosa.
+
La risposta sarà: x(3; +).
Il valore x=3 non è incluso nell'insieme delle soluzioni, quindi la parentesi è tonda. Il segno dell'infinito è sempre separato da una parentesi. Il segno significa "appartenenza".
Diamo un'occhiata a come risolvere le disuguaglianze usando un altro esempio con un segno:
x2
-+
Il valore x=2 è compreso nell'insieme delle soluzioni, quindi la parentesi è quadrata e il punto sulla retta è indicato da un cerchio pieno.
La risposta sarà: x)