Questo programma di matematica trova l'equazione della tangente al grafico della funzione \(f(x)\) in un punto specificato dall'utente \(a\).

Il programma non solo visualizza l'equazione della tangente, ma mostra anche il processo di risoluzione del problema.

Questo calcolatore online può essere utile per gli studenti delle scuole superiori scuola secondaria in preparazione per test ed esami, per testare le conoscenze prima dell'Esame di Stato Unificato, per consentire ai genitori di controllare la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? Oppure vuoi semplicemente farlo il più velocemente possibile? compiti a casa in matematica o algebra? In questo caso potete anche utilizzare i nostri programmi con soluzioni dettagliate.

In questo modo potrai condurre il tuo allenamento e/o il tuo allenamento. fratelli minori o sorelle, mentre aumenta il livello di istruzione nel campo dei problemi da risolvere.

Se hai bisogno di trovare la derivata di una funzione, allora per questo abbiamo il compito Trova la derivata.

Se non hai familiarità con le regole per l'immissione delle funzioni, ti consigliamo di familiarizzare con esse.

Immettere l'espressione della funzione \(f(x)\) e il numero \(a\)

f(x)=
un=

Trova l'equazione della tangente

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Una piccola teoria.

Pendenza diretta

Ricordiamo che il grafico della funzione lineare \(y=kx+b\) è una linea retta. Viene chiamato il numero \(k=tg \alpha \). pendenza di una retta, e l'angolo \(\alpha \) è l'angolo tra questa linea e l'asse del Bue

Se \(k>0\), allora \(0 Se \(kEquazione della tangente al grafico della funzione

Se il punto M(a; f(a)) appartiene al grafico della funzione y = f(x) e se in questo punto è possibile tracciare una tangente al grafico della funzione che non sia perpendicolare all'asse delle ascisse , quindi da significato geometrico derivata ne consegue che il coefficiente angolare della tangente è uguale a f "(a). Successivamente, svilupperemo un algoritmo per comporre l'equazione della tangente al grafico di qualsiasi funzione.

Sia data una funzione y = f(x) e un punto M(a; f(a)) sul grafico di questa funzione; sappiamo che esiste f"(a). Creiamo un'equazione per la tangente al grafico data funzione in un dato punto. Questa equazione, come l'equazione di qualsiasi linea retta che non sia parallela all'asse delle ordinate, ha la forma y = kx + b, quindi il compito è trovare i valori dei coefficienti k e b.

Con il coefficiente angolare k tutto è chiaro: è noto che k = f"(a). Per calcolare il valore di b utilizziamo il fatto che la retta desiderata passa per il punto M(a; f(a)) Ciò significa che se sostituiamo le coordinate del punto M nell'equazione di una retta, otteniamo l'uguaglianza corretta: \(f(a)=ka+b\), cioè \(b = f(a) -. ka\).

Resta da sostituire i valori trovati dei coefficienti k e b nell'equazione della retta:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a)$$

Abbiamo ricevuto Equazione della tangente al grafico di una funzione\(y = f(x) \) nel punto \(x=a \).

Algoritmo per trovare l'equazione della tangente al grafico della funzione \(y=f(x)\)
1. Designare l'ascissa del punto tangente con la lettera \(a\)
2. Calcola \(f(a)\)
3. Trova \(f"(x)\) e calcola \(f"(a)\)
4. Sostituisci i numeri trovati \(a, f(a), f"(a) \) nella formula \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

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Lo dimostra la lezione video “Equazione di una tangente al grafico di una funzione”. materiale didattico per padroneggiare l'argomento. Durante la videolezione viene descritto il materiale teorico necessario per formare il concetto dell'equazione di una tangente al grafico di una funzione in un dato punto, un algoritmo per trovare tale tangente ed esempi di risoluzione di problemi utilizzando il materiale teorico studiato .

Il video tutorial utilizza metodi che migliorano la chiarezza del materiale. La presentazione contiene disegni, diagrammi, importanti commenti vocali, animazioni, evidenziazioni e altri strumenti.

La video lezione inizia con una presentazione dell'argomento della lezione e un'immagine di una tangente al grafico di una funzione y=f(x) nel punto M(a;f(a)). È risaputo che pendenza la tangente tracciata al grafico in un dato punto è uguale alla derivata della funzione f΄(a) in un dato punto. Anche dal corso di algebra conosciamo l'equazione della retta y=kx+m. Viene presentata schematicamente la soluzione al problema di trovare l'equazione tangente in un punto, che si riduce alla ricerca dei coefficienti k, m. Conoscendo le coordinate di un punto appartenente al grafico della funzione, possiamo trovare m sostituendo il valore della coordinata nell'equazione tangente f(a)=ka+m. Da esso troviamo m=f(a)-ka. Quindi, conoscendo il valore della derivata in un dato punto e le coordinate del punto, possiamo rappresentare l'equazione tangente in questo modo y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Quello che segue è un esempio di composizione di un'equazione tangente seguendo il diagramma. Data la funzione y=x 2 , x=-2. Prendendo a=-2, troviamo il valore della funzione in un dato punto f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Determiniamo la derivata della funzione f΄(x)=2x. A questo punto la derivata è pari a f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Per comporre l'equazione sono stati trovati tutti i coefficienti a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, quindi l'equazione tangente è y=4+(-4)(x+2). Semplificando l'equazione, otteniamo y = -4-4x.

L'esempio seguente suggerisce di costruire un'equazione per la tangente all'origine del grafico della funzione y=tgx. A questo punto a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Quindi l'equazione della tangente assomiglia a y=x.

In via generale, il processo di composizione di un'equazione tangente al grafico di una funzione in un certo punto è formalizzato sotto forma di un algoritmo composto da 4 passaggi:

• Immettere la designazione a per l'ascissa del punto tangente;
• si calcola f(a);
• Viene determinato f΄(x) e viene calcolato f΄(a). I valori trovati di a, f(a), f΄(a) vengono sostituiti nella formula dell'equazione della tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).

L'esempio 1 considera la composizione dell'equazione tangente al grafico della funzione y=1/x nel punto x=1. Per risolvere il problema utilizziamo un algoritmo. Per una data funzione nel punto a=1, il valore della funzione f(a)=-1. Derivato della funzione f΄(x)=1/x 2. Nel punto a=1 la derivata f΄(a)= f΄(1)=1. Utilizzando i dati ottenuti, viene elaborata l'equazione della tangente y=-1+(x-1), o y=x-2.

Nell'esempio 2 è necessario trovare l'equazione della tangente al grafico della funzione y=x 3 +3x 2 -2x-2. La condizione principale è il parallelismo della tangente e della retta y=-2x+1. Innanzitutto troviamo il coefficiente angolare della tangente, pari al coefficiente angolare della retta y=-2x+1. Poiché f΄(a)=-2 per una data retta, allora k=-2 per la tangente desiderata. Troviamo la derivata della funzione (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Sapendo che f΄(a)=-2, troviamo le coordinate del punto 3a 2 +6a-2=-2. Dopo aver risolto l'equazione, otteniamo 1 = 0 e 2 = -2. Utilizzando le coordinate trovate, puoi trovare l'equazione della tangente utilizzando un algoritmo noto. Troviamo il valore della funzione nei punti f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Il valore della derivata nel punto f΄(à 1)= f΄(à 2)=-2. Sostituendo i valori trovati nell'equazione della tangente, otteniamo per il primo punto a 1 =0 y=-2x-2, e per il secondo punto a 2 =-2 l'equazione della tangente y=-2x-22.

L'esempio 3 descrive la composizione dell'equazione tangente per disegnarla nel punto (0;3) al grafico della funzione y=√x. La soluzione viene realizzata utilizzando un algoritmo ben noto. Il punto tangente ha coordinate x=a, dove a>0. Il valore della funzione nel punto f(a)=√x. La derivata della funzione f΄(х)=1/2√х, quindi in un dato punto f΄(а)=1/2√а. Sostituendo tutti i valori ottenuti nell'equazione della tangente, otteniamo y = √a + (x-a)/2√a. Trasformando l'equazione, otteniamo y=x/2√а+√а/2. Sapendo che la tangente passa per il punto (0;3), troviamo il valore di a. Troviamo a da 3=√a/2. Quindi √a=6, a=36. Troviamo l'equazione tangente y=x/12+3. La figura mostra il grafico della funzione in esame e la tangente desiderata costruita.

Si ricordano agli studenti le uguaglianze approssimative Δy=≈f΄(x)Δxe f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Prendendo x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, otteniamo f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), quindi f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

Nell'esempio 4 è necessario trovare il valore approssimativo dell'espressione 2.003 6. Poiché è necessario trovare il valore della funzione f(x)=x 6 nel punto x=2.003, possiamo utilizzare la nota formula, assumendo f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f΄(x)=6x 5. Derivata nel punto f΄(2)=192. Pertanto, 2.003 6 ≈65-192·0.003. Calcolata l'espressione, otteniamo 2.003 6 ≈64.576.

La videolezione “Equazione della tangente al grafico di una funzione” è consigliata per l'uso in una lezione di matematica tradizionale a scuola. Per un insegnante che insegna a distanza, il materiale video aiuterà a spiegare l'argomento in modo più chiaro. Il video può essere consigliato agli studenti per rivederlo in modo indipendente, se necessario, per approfondire la comprensione dell'argomento.

DECODIFICA DEL TESTO:

Sappiamo che se un punto M (a; f(a)) (em con coordinate a ed ef da a) appartiene al grafico della funzione y = f (x) e se in questo punto è possibile tracciare una tangente al grafico della funzione che non è perpendicolare all'asse delle ascisse, allora il coefficiente angolare della tangente è pari a f"(a) (eff primo da a).

Sia data una funzione y = f(x) e un punto M (a; f(a)), e si sa anche che esiste f´(a). Creiamo un'equazione per la tangente al grafico di una data funzione in un dato punto. Questa equazione, come l'equazione di qualsiasi linea retta che non sia parallela all'asse delle ordinate, ha la forma y = kx+m (la y è uguale a ka x più em), quindi il compito è trovare i valori di i coefficienti k e m (ka ed em)

Coefficiente angolare k= f"(a). Per calcolare il valore di m utilizziamo il fatto che la retta desiderata passa per il punto M(a; f (a)). Ciò significa che se sostituiamo le coordinate del punto M nell'equazione della retta, otteniamo l'uguaglianza corretta: f(a) = ka+m, da cui risulta che m = f(a) - ka.

Resta da sostituire i valori trovati dei coefficienti ki e m nell'equazione della retta:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

sì= F(UN)+ F"(UN) (X- UN). ( y è uguale a ef da a più ef primo da a, moltiplicato per x meno a).

Abbiamo ottenuto l'equazione per la tangente al grafico della funzione y = f(x) nel punto x=a.

Se, diciamo, y = x 2 e x = -2 (cioè a = -2), allora f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, che significa f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (allora ef di a è uguale a quattro, ef del primo di x è uguale a due x, che significa ef primo da a è uguale a meno quattro)

Sostituendo nell'equazione i valori trovati a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4, otteniamo: y = 4+(-4)(x+2), cioè y = -4x-4.

(E è uguale a meno quattro x meno quattro)

Creiamo un'equazione per la tangente al grafico della funzione y = tgx(greco uguale alla tangente x) all'origine. Abbiamo: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , che significa f"(0) = l. Sostituendo nell'equazione i valori trovati a=0, f(a)=0, f´(a) = 1, otteniamo: y=x.

Riassumiamo i nostri passaggi per trovare l'equazione della tangente al grafico di una funzione nel punto x utilizzando un algoritmo.

ALGORITMO PER LO SVILUPPO DI UN'EQUAZIONE TANGENTE AL GRAFICO DELLA FUNZIONE y = f(x):

1) Designare l'ascissa del punto tangente con la lettera a.

2) Calcolare f(a).

3) Trova f´(x) e calcola f´(a).

4) Sostituisci i numeri trovati a, f(a), f´(a) nella formula sì= F(UN)+ F"(UN) (X- UN).

Esempio 1. Crea un'equazione per la tangente al grafico della funzione y = - in

punto x = 1.

Soluzione. Usiamo l'algoritmo, tenendo conto di quello in in questo esempio

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Sostituiamo i tre numeri trovati: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 nella formula. Otteniamo: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Risposta: y = x-2.

Esempio 2. Data la funzione y = x3 +3x2 -2x-2. Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione y = f(x), parallela alla retta y = -2x +1.

Utilizzando l'algoritmo per comporre l'equazione della tangente, teniamo conto che in questo esempio f(x) = x3 +3x2 -2x-2, ma qui non è indicata l'ascissa del punto tangente.

Cominciamo a pensare in questo modo. La tangente desiderata deve essere parallela alla retta y = -2x+1. E le rette parallele hanno coefficienti angolari uguali. Ciò significa che il coefficiente angolare della tangente è uguale al coefficiente angolare della retta data: k tangente. = -2. Ok, caso. = f"(a). Pertanto, possiamo trovare il valore di a dall'equazione f ´(a) = -2.

Troviamo la derivata della funzione y=F(X):

F"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;F"(a)= 3a2+6a-2.

Dall'equazione f"(a) = -2, cioè 3a2+6a-2=-2 troviamo a 1 =0, a 2 =-2. Ciò significa che ci sono due tangenti che soddisfano le condizioni del problema: una nel punto con ascissa 0, l'altra nel punto con ascissa -2.

Ora puoi seguire l'algoritmo.

1) a 1 =0 e 2 =-2.

2) f(a1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Sostituendo i valori a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 nella formula, otteniamo:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Sostituendo nella formula i valori a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2, otteniamo:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Risposta: y=-2x-2, y=-2x+2.

Esempio 3. Dal punto (0; 3) traccia una tangente al grafico della funzione y = . Soluzione. Usiamo l'algoritmo per comporre l'equazione della tangente, tenendo conto che in questo esempio f(x) = . Si noti che qui, come nell'esempio 2, l'ascissa del punto tangente non è esplicitamente indicata. Tuttavia, seguiamo l'algoritmo.

1) Sia x = a l'ascissa del punto di tangenza; è chiaro che >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Sostituendo i valori di a, f(a) = , f"(a) = nella formula

y=f (a) +f "(a) (x-a), noi abbiamo:

Per condizione, la tangente passa per il punto (0; 3). Sostituendo nell'equazione i valori x = 0, y = 3, otteniamo: 3 = , e quindi =6, a =36.

Come puoi vedere, in questo esempio, solo al quarto passo dell'algoritmo siamo riusciti a trovare l'ascissa del punto tangente. Sostituendo nell'equazione il valore a=36 otteniamo: y=+3

Nella fig. La Figura 1 mostra un'illustrazione geometrica dell'esempio considerato: viene costruito un grafico della funzione y =, viene disegnata una linea retta y = +3.

Risposta: y = +3.

Sappiamo che per una funzione y = f(x), che ha una derivata nel punto x, vale l'uguaglianza approssimata: Δyf´(x)Δx (delta y è approssimativamente uguale all'ef primo di x moltiplicato per delta x)

o, più in dettaglio, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff da x più delta x meno ef da x è approssimativamente uguale a eff primo da x per delta x).

Per comodità di ulteriore discussione, cambiamo la notazione:

invece di x scriveremo UN,

invece di x+Δx scriveremo x

Invece di Δx scriveremo x-a.

Allora l’uguaglianza approssimativa scritta sopra assumerà la forma:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff da x è approssimativamente uguale a ef da a più ef primo da a, moltiplicato per la differenza tra x e a).

Esempio 4: trovare un valore approssimativo espressione numerica 2,003 6 .

Soluzione. Riguarda su come trovare il valore della funzione y = x 6 nel punto x = 2.003. Usiamo la formula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), tenendo conto che in questo esempio f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) =26=64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 e, quindi, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Di conseguenza otteniamo:

2.003 6 64+192· 0.003, cioè 2.003 6 =64.576.

Se usiamo una calcolatrice otteniamo:

2,003 6 = 64,5781643...

Come puoi vedere, la precisione di approssimazione è abbastanza accettabile.

Considera la seguente figura:

Rappresenta una certa funzione y = f(x), che è differenziabile nel punto a. Il punto M con coordinate (a; f(a)) è contrassegnato. Una MR secante viene tracciata attraverso un punto arbitrario P(a + ∆x; f(a + ∆x)) del grafico.

Se ora si sposta il punto P lungo il grafico fino al punto M, la retta MR ruoterà attorno al punto M. In questo caso ∆x tenderà a zero. Da qui possiamo formulare la definizione di tangente al grafico di una funzione.

Tangente al grafico di una funzione

La tangente al grafico di una funzione è la posizione limite della secante poiché l'incremento dell'argomento tende a zero. Occorre comprendere che l'esistenza della derivata della funzione f nel punto x0 significa che in questo punto del grafico c'è tangente a lui.

In questo caso il coefficiente angolare della tangente sarà uguale alla derivata di questa funzione in questo punto f’(x0). Questo è il significato geometrico della derivata. La tangente al grafico di una funzione f differenziabile nel punto x0 è una certa retta passante per il punto (x0;f(x0)) e avente coefficiente angolare f’(x0).

Equazione tangente

Proviamo a ottenere l'equazione della tangente al grafico di una funzione f nel punto A(x0; f(x0)). L'equazione di una retta con pendenza k ha vista successiva:

Poiché il nostro coefficiente di pendenza è uguale alla derivata f'(x0), allora l'equazione assumerà la seguente forma: y = f'(x0)*x+b.

Ora calcoliamo il valore di b. Per fare ciò sfruttiamo il fatto che la funzione passa per il punto A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, da qui esprimiamo b e otteniamo b = f(x0) - f'(x0)*x0.

Sostituiamo il valore risultante nell'equazione della tangente:

y = f’(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Considera il seguente esempio: trova l'equazione della tangente al grafico della funzione f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 nel punto x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Sostituiamo i valori ottenuti nella formula della tangente, otteniamo: y = 1 + 4*(x - 2). Aprendo le parentesi e portando termini simili otteniamo: y = 4*x - 7.

Risposta: y = 4*x - 7.

Schema generale per la composizione dell'equazione tangente al grafico della funzione y = f(x):

1. Determina x0.

2. Calcola f(x0).

3. Calcola f’(x)

L'articolo fornisce una spiegazione dettagliata delle definizioni, del significato geometrico della derivata con notazioni grafiche. Verrà considerata l'equazione di una retta tangente con esempi, si troveranno le equazioni di una tangente alle curve del 2° ordine.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definizione 1

L'angolo di inclinazione della retta y = k x + b si chiama angolo α, che si misura dalla direzione positiva dell'asse x alla retta y = k x + b nella direzione positiva.

Nella figura, la direzione x è indicata da una freccia verde e da un arco verde, e l'angolo di inclinazione da un arco rosso. La linea blu si riferisce alla linea retta.

Definizione 2

La pendenza della retta y = k x + b è detta coefficiente numerico k.

Il coefficiente angolare è uguale alla tangente della retta, cioè k = t g α.

• L'angolo di inclinazione di una retta è uguale a 0 solo se è parallela ad x e la pendenza è uguale a zero, perché la tangente di zero è uguale a 0. Ciò significa che la forma dell'equazione sarà y = b.
• Se l'angolo di inclinazione della retta y = k x + b è acuto, allora le condizioni 0 sono soddisfatte< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается numero positivo, perché il valore della tangente soddisfa la condizione t g α > 0, e si ha un aumento nel grafico.
• Se α = π 2, allora la posizione della linea è perpendicolare a x. L'uguaglianza è specificata da x = c dove il valore c è un numero reale.
• Se l’angolo di inclinazione della retta y = k x + b è ottuso allora corrisponde alle condizioni π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает significato negativo e il grafico diminuisce.

Definizione 3

Una secante è una retta che passa per 2 punti della funzione f (x). In altre parole, una secante è una linea retta che passa attraverso due punti qualsiasi sul grafico di una determinata funzione.

La figura mostra che A B è una secante e f (x) è una curva nera, α è un arco rosso, che indica l'angolo di inclinazione della secante.

Quando il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione, è chiaro che la tangente di un triangolo rettangolo A B C si trova dal rapporto tra il lato opposto e quello adiacente.

Definizione 4

Otteniamo una formula per trovare una secante della forma:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, dove le ascisse dei punti A e B sono i valori x A, x B e f (x A), f (x B) sono le funzioni dei valori in questi punti.

Ovviamente il coefficiente angolare della secante si determina utilizzando l'uguaglianza k = f (x B) - f (x A) x B - x A oppure k = f (x A) - f (x B) x A - x B , e l'equazione deve essere scritta come y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) oppure
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

La secante divide visivamente il grafico in 3 parti: a sinistra del punto A, da A a B, a destra di B. La figura seguente mostra che ci sono tre secanti che sono considerate coincidenti, cioè vengono impostate utilizzando un equazione simile.

Per definizione è chiaro che la retta e la sua secante in questo caso coincidono.

Una secante può intersecare più volte il grafico di una determinata funzione. Se esiste un'equazione della forma y = 0 per una secante, allora il numero di punti di intersezione con la sinusoide è infinito.

Definizione 5

Tangente al grafico della funzione f (x) nel punto x 0 ; f(x 0) è una retta passante per un dato punto x 0; f (x 0), con la presenza di un segmento che ha molti valori x prossimi a x 0.

Esempio 1

Diamo uno sguardo più da vicino all'esempio seguente. Allora è chiaro che la retta definita dalla funzione y = x + 1 è considerata tangente a y = 2 x nel punto di coordinate (1; 2). Per chiarezza è necessario considerare i grafici con valori prossimi a (1; 2). La funzione y = 2 x è mostrata in nero, la linea blu è la linea tangente e il punto rosso è il punto di intersezione.

Ovviamente y = 2 x si fonde con la linea y = x + 1.

Per determinare la tangente, dovremmo considerare il comportamento della tangente A B quando il punto B si avvicina infinitamente al punto A. Per chiarezza, presentiamo un disegno.

La secante A B, indicata dalla linea blu, tende alla posizione della tangente stessa, e l'angolo di inclinazione della secante α inizierà a tendere all'angolo di inclinazione della tangente stessa α x.

Definizione 6

La tangente al grafico della funzione y = f (x) nel punto A è considerata la posizione limite della secante A B poiché B tende ad A, cioè B → A.

Passiamo ora a considerare il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto.

Passiamo a considerare la secante A B per la funzione f (x), dove A e B di coordinate x 0, f (x 0) e x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), e ∆ x è indicato come incremento dell'argomento . Ora la funzione assumerà la forma ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Per chiarezza, diamo un esempio di disegno.

Consideriamo il risultato triangolo rettangolo A B C. Usiamo la definizione di tangente per risolvere, cioè otteniamo la relazione ∆ y ∆ x = t g α . Dalla definizione di tangente segue che lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Secondo la regola della derivata in un punto, abbiamo che la derivata f (x) nel punto x 0 è chiamata limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, dove ∆ x → 0 , allora lo denotiamo come f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Ne consegue che f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, dove k x è indicato come pendenza della tangente.

Otteniamo cioè che f ’ (x) può esistere nel punto x 0 e come la tangente a dato programma funzione nel punto di tangenza pari a x 0, f 0 (x 0), dove il valore della pendenza della tangente nel punto è uguale alla derivata nel punto x 0. Quindi otteniamo che k x = f " (x 0) .

Il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto è che dà il concetto dell'esistenza di una tangente al grafico nello stesso punto.

Per scrivere l'equazione di una qualsiasi retta su un piano è necessario avere un coefficiente angolare con il punto per il quale passa. La sua notazione è x 0 all'intersezione.

L'equazione tangente al grafico della funzione y = f (x) nel punto x 0, f 0 (x 0) assume la forma y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Ciò significa che il valore finale della derivata f”(x 0) può determinare la posizione della tangente, cioè verticalmente, purché lim x → x 0 + 0 f”(x) = ∞ e lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ o assenza del tutto sotto la condizione lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

La posizione della tangente dipende dal valore del suo coefficiente angolare k x = f "(x 0). Quando è parallela all'asse o x, otteniamo che k k = 0, quando è parallela a circa y - k x = ∞, e la forma di l'equazione tangente x = x 0 aumenta con k x > 0, diminuisce con k x< 0 .

Esempio 2

Compila un'equazione per la tangente al grafico della funzione y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 nel punto con le coordinate (1; 3) e determina l'angolo di inclinazione.

Soluzione

Per condizione, abbiamo che la funzione è definita per tutti i numeri reali. Troviamo che il punto con le coordinate specificate dalla condizione, (1; 3) è un punto di tangenza, quindi x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

È necessario trovare la derivata nel punto con valore - 1. Lo capiamo

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Il valore di f' (x) nel punto di tangenza è la pendenza della tangente, che è uguale alla tangente della pendenza.

Allora k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Ne consegue che α x = a r c t g 3 3 = π 6

Risposta: l'equazione della tangente assume la forma

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Per chiarezza riportiamo un esempio in forma grafica.

Il colore nero viene utilizzato per il grafico della funzione originale, Colore blu– immagine di una tangente, punto rosso – punto di tangenza. La figura a destra mostra una vista ingrandita.

Esempio 3

Determinare l'esistenza di una tangente al grafico di una determinata funzione
y = 3 · x - 1 5 + 1 nel punto di coordinate (1 ; 1) . Scrivi un'equazione e determina l'angolo di inclinazione.

Soluzione

Per condizione, abbiamo che il dominio di definizione di una data funzione sia considerato l'insieme di tutti i numeri reali.

Passiamo alla ricerca della derivata

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Se x 0 = 1, allora f' (x) non è definita, ma i limiti sono scritti come lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ e lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , che significa tangente verticale di esistenza nel punto (1; 1).

Risposta: l'equazione assumerà la forma x = 1, dove l'angolo di inclinazione sarà pari a π 2.

Per chiarezza, rappresentiamolo graficamente.

Esempio 4

Trova i punti sul grafico della funzione y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, dove

1. Non c'è tangente;
2. La tangente è parallela a x;
3. La tangente è parallela alla retta y = 8 5 x + 4.

Soluzione

È necessario prestare attenzione alla portata della definizione. Per condizione, abbiamo che la funzione è definita sull'insieme di tutti i numeri reali. Espandiamo il modulo e risolviamo il sistema con intervalli x ∈ - ∞ ; 2 e [-2; + ∞) . Lo capiamo

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

È necessario differenziare la funzione. Ce l'abbiamo

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Quando x = − 2, allora la derivata non esiste perché i limiti unilaterali in quel punto non sono uguali:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Calcoliamo il valore della funzione nel punto x = - 2, dove lo otteniamo

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, cioè la tangente nel punto ( - 2; - 2) non esisterà.
2. La tangente è parallela a x quando la pendenza è zero. Quindi k x = t g α x = f "(x 0). Cioè, è necessario trovare i valori di tale x quando la derivata della funzione la porta a zero. Cioè, i valori di f ' (x) saranno i punti di tangenza, dove la tangente è parallela a x .

Quando x ∈ - ∞ ; - 2, quindi - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, e per x ∈ (- 2; + ∞) otteniamo 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Calcolare i valori della funzione corrispondente

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Quindi - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 85, 3; 4 3 sono considerati i punti richiesti del grafico della funzione.

Diamo un'occhiata a una rappresentazione grafica della soluzione.

La linea nera è il grafico della funzione, i punti rossi sono i punti di tangenza.

1. Quando le rette sono parallele i coefficienti angolari sono uguali. Successivamente è necessario cercare sul grafico della funzione i punti in cui la pendenza sarà pari al valore 8 5. Per fare ciò, è necessario risolvere un'equazione della forma y "(x) = 8 5. Quindi, se x ∈ - ∞; - 2, otteniamo che - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, e se x ∈ ( - 2 ; + ∞), allora 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

La prima equazione non ha radici poiché il discriminante è minore di zero. Scriviamolo

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Un'altra equazione ha quindi due radici reali

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Passiamo alla ricerca dei valori della funzione. Lo capiamo

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punti con valori - 1; 4 15, 5; 8 3 sono i punti in cui le tangenti sono parallele alla retta y = 8 5 x + 4.

Risposta: linea nera – grafico della funzione, linea rossa – grafico di y = 8 5 x + 4, linea blu – tangenti nei punti - 1; 4 15, 5; 83.

Potrebbe esserci un numero infinito di tangenti per determinate funzioni.

Esempio 5

Scrivi le equazioni di tutte le tangenti disponibili della funzione y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, che si trovano perpendicolari alla retta y = - 2 x + 1 2.

Soluzione

Per compilare l'equazione della tangente è necessario trovare il coefficiente e le coordinate del punto tangente, in base alla condizione di perpendicolarità delle rette. La definizione è la seguente: il prodotto dei coefficienti angolari perpendicolari alle rette è uguale a - 1, cioè si scrive k x · k ⊥ = - 1. Dalla condizione si ha che il coefficiente angolare si trova perpendicolare alla linea ed è uguale a k ⊥ = - 2, quindi k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Ora devi trovare le coordinate dei punti di contatto. Devi trovare x e quindi il suo valore per una determinata funzione. Si noti che dal significato geometrico della derivata al punto
x 0 otteniamo che k x = y "(x 0). Da questa uguaglianza troviamo i valori di x per i punti di contatto.

Lo capiamo

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 19

Questo equazione trigonometrica verrà utilizzato per calcolare le ordinate dei punti tangenti.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk oppure 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk oppure 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk oppure x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z è un insieme di numeri interi.

sono stati trovati x punti di contatto. Adesso bisogna passare alla ricerca dei valori di y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 oppure y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 oppure y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 oppure y 0 = - 4 5 + 1 3

Da ciò otteniamo che 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sono i punti di tangenza.

Risposta: le equazioni necessarie verranno scritte come

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Per una rappresentazione visiva, considera una funzione e una tangente su una linea coordinata.

La figura mostra che la funzione si trova nell'intervallo [-10; 10], dove la linea nera è il grafico della funzione, le linee blu sono le tangenti, che si trovano perpendicolari alla linea data della forma y = - 2 x + 1 2. I punti rossi sono punti di contatto.

Le equazioni canoniche delle curve del 2° ordine non sono funzioni a valore singolo. Le equazioni tangenti per loro sono compilate secondo schemi noti.

Tangente ad una circonferenza

Per definire un cerchio con centro nel punto x centro; y centro e raggio R, applica la formula x - x centro 2 + y - y centro 2 = R 2 .

Questa uguaglianza può essere scritta come l'unione di due funzioni:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

La prima funzione è posizionata in alto, la seconda in basso, come mostrato in figura.

Per compilare l'equazione di una circonferenza nel punto x 0; y 0 , che si trova nel semicerchio superiore o inferiore, dovresti trovare l'equazione del grafico di una funzione della forma y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r o y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r nel punto indicato.

Quando nei punti x c e n t e r ; y centro + R e x centro; Le tangenti y c e n t e r - R possono essere date dalle equazioni y = y c e n t e r + R e y = y c e n t e r - R , e nei punti x c e n t e r + R ; y c e n t e r
x centro - R; y c e n t e r sarà parallelo a o y, quindi otteniamo equazioni della forma x = x c e n t e r + R e x = x c e n t e r - R .

Tangente ad un'ellisse

Quando l'ellisse ha centro in x centro; y c e n t e r con semiassi a e b, allora può essere specificato utilizzando l'equazione x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Un'ellisse e un cerchio possono essere denotati combinando due funzioni, vale a dire la semiellisse superiore e quella inferiore. Allora lo capiamo

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Se le tangenti si trovano ai vertici dell'ellisse, allora sono parallele attorno a x o attorno a y. Di seguito, per chiarezza, si consideri la figura.

Esempio 6

Scrivi l'equazione della tangente all'ellisse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 nei punti con valori di x pari a x = 2.

Soluzione

È necessario trovare i punti di tangenza che corrispondono al valore x = 2. Sostituiamo nell'equazione esistente dell'ellisse e lo troviamo

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Quindi 2; 5 3 2 + 5 e 2; - 5 3 2 + 5 sono i punti tangenti che appartengono alla semiellisse superiore e inferiore.

Passiamo a trovare e risolvere l'equazione dell'ellisse rispetto a y. Lo capiamo

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Ovviamente, la semiellisse superiore viene specificata utilizzando una funzione della forma y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, e la semiellisse inferiore y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Applichiamo un algoritmo standard per creare un'equazione per una tangente al grafico di una funzione in un punto. Scriviamo che l'equazione per la prima tangente al punto 2; 5 3 2 + 5 apparirà

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Troviamo che l'equazione della seconda tangente con un valore nel punto
2; - 5 3 2 + 5 assume la forma

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficamente, le tangenti sono designate come segue:

Tangente all'iperbole

Quando un'iperbole ha centro in x centro; y centro e vertici x centro + α ; y centro e x centro - α ; y c e n t e r , si verifica la disuguaglianza x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, se con vertici x c e n t e r ; y centro + b e x centro; y c e n t e r - b , allora viene specificato utilizzando la disuguaglianza x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Un'iperbole può essere rappresentata come due funzioni combinate della forma

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r o y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x centro) 2 + a 2 + y centro

Nel primo caso abbiamo che le tangenti sono parallele a y, nel secondo sono parallele a x.

Ne consegue che per trovare l'equazione della tangente ad un'iperbole è necessario scoprire a quale funzione appartiene il punto di tangenza. Per determinarlo, è necessario sostituire nelle equazioni e verificarne l'identità.

Esempio 7

Scrivi un'equazione per la tangente all'iperbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 nel punto 7; - 3 3 - 3 .

Soluzione

È necessario trasformare il record della soluzione per trovare un'iperbole utilizzando 2 funzioni. Lo capiamo

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 e y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Occorre individuare a quale funzione appartiene un dato punto di coordinate 7; - 3 3 - 3 .

Ovviamente per verificare la prima funzione è necessario y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, allora il punto non appartiene al grafico, poiché l'uguaglianza non vale.

Per la seconda funzione abbiamo che y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, il che significa che il punto appartiene al grafico dato. Da qui dovreste ritrovare la pendenza.

Lo capiamo

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Risposta: l'equazione della tangente può essere rappresentata come

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

È chiaramente raffigurato in questo modo:

Tangente ad una parabola

Per creare un'equazione per la tangente alla parabola y = a x 2 + b x + c nel punto x 0, y (x 0), è necessario utilizzare un algoritmo standard, quindi l'equazione assumerà la forma y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Tale tangente al vertice è parallela a x.

Dovresti definire la parabola x = a y 2 + b y + c come l'unione di due funzioni. Pertanto, dobbiamo risolvere l'equazione per y. Lo capiamo

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Rappresentiamolo graficamente come:

Per scoprire se un punto x 0, y (x 0) appartiene ad una funzione, procedi delicatamente secondo l'algoritmo standard. Tale tangente sarà parallela a oy rispetto alla parabola.

Esempio 8

Scriviamo l'equazione della tangente al grafico x - 2 y 2 - 5 y + 3 quando abbiamo un angolo tangente di 150°.

Soluzione

Iniziamo la soluzione rappresentando la parabola come due funzioni. Lo capiamo

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49-8x-4

Il valore della pendenza è uguale al valore della derivata nel punto x 0 di questa funzione ed è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione.

Noi abbiamo:

k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Da qui determiniamo il valore x per i punti di contatto.

La prima funzione verrà scritta come

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Ovviamente non ci sono radici reali, poiché abbiamo ottenuto un valore negativo. Concludiamo che per tale funzione non esiste una tangente con un angolo di 150°.

La seconda funzione verrà scritta come

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Abbiamo che i punti di contatto sono 23 4 ; -5 + 3 4 .

Risposta: l'equazione della tangente assume la forma

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Rappresentiamolo graficamente in questo modo:

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Sia data una funzione f, che in un punto x 0 ha una derivata finita f (x 0). Allora la retta passante per il punto (x 0 ; f (x 0)), avente coefficiente angolare f ’(x 0), si chiama tangente.

Cosa succede se la derivata non esiste nel punto x 0? Ci sono due opzioni:

1. Non c'è nemmeno una tangente al grafico. Un classico esempio è la funzione y = |x | nel punto (0; 0).
2. La tangente diventa verticale. Questo vale ad esempio per la funzione y = arcoseno x nel punto (1; π /2).

Equazione tangente

Qualsiasi retta non verticale è data da un'equazione della forma y = kx + b, dove k è la pendenza. La tangente non fa eccezione e per creare la sua equazione ad un certo punto x 0 è sufficiente conoscere il valore della funzione e la derivata in questo punto.

Sia data quindi una funzione y = f (x) che ha derivata y = f ’(x) sul segmento. Allora in ogni punto x 0 ∈ (a ; b) si può tracciare una tangente al grafico di questa funzione, che è data dall'equazione:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Qui f ’(x 0) è il valore della derivata nel punto x 0, e f (x 0) è il valore della funzione stessa.

Compito. Data la funzione y = x 3 . Scrivi un'equazione per la tangente al grafico di questa funzione nel punto x 0 = 2.

Equazione tangente: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Il punto x 0 = 2 ci è dato, ma bisognerà calcolare i valori f (x 0) e f ’(x 0).

Per prima cosa troviamo il valore della funzione. Qui è tutto facile: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Ora troviamo la derivata: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Sostituiamo x 0 = 2 nella derivata: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
In totale otteniamo: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Questa è l'equazione della tangente.

Compito. Scrivi un'equazione per la tangente al grafico della funzione f (x) = 2sen x + 5 nel punto x 0 = π /2.

Questa volta non descriveremo ogni azione nel dettaglio: indicheremo solo i passaggi chiave. Abbiamo:

f(x0) = f(π /2) = 2sin(π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sen x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Equazione tangente:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

In quest'ultimo caso, la linea retta si è rivelata orizzontale, perché il suo coefficiente angolare k = 0. Non c'è niente di sbagliato in questo: ci siamo appena imbattuti in un punto estremo.