A cosa è uguale la tangente in trigonometria? Regole per trovare le funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e cotangente

Il segno della funzione trigonometrica dipende esclusivamente dal quadrante delle coordinate in cui si trova l'argomento numerico. L'ultima volta abbiamo imparato a convertire gli argomenti da una misura in radianti a una misura in gradi (vedi lezione “ Radiante e misura in gradi di un angolo”), e quindi a determinare lo stesso quarto di coordinate. Ora determiniamo effettivamente il segno di seno, coseno e tangente.

Il seno dell'angolo α è l'ordinata (coordinata y) di un punto su un cerchio trigonometrico che si verifica quando il raggio viene ruotato dell'angolo α.

Il coseno dell'angolo α è l'ascissa (coordinata x) di un punto su un cerchio trigonometrico, che si verifica quando il raggio viene ruotato dell'angolo α.

La tangente dell'angolo α è il rapporto tra seno e coseno. Oppure, che è la stessa cosa, il rapporto tra la coordinata y e la coordinata x.

Notazione: sin α = y ; cosα = x ; tgα = y : x .

Tutte queste definizioni ti sono familiari dall'algebra delle scuole superiori. Tuttavia, non siamo interessati alle definizioni stesse, ma alle conseguenze che derivano dal cerchio trigonometrico. Guarda:

Il colore blu indica la direzione positiva dell'asse OY (asse delle ordinate), il rosso indica la direzione positiva dell'asse OX (asse delle ascisse). Ci sono segnali su questo “radar” funzioni trigonometriche diventare ovvio. In particolare:

sin α > 0 se l'angolo α si trova nel I o nel II quadrante delle coordinate. Questo perché, per definizione, il seno è un'ordinata (coordinata y). E la coordinata y sarà positiva proprio nei quarti di coordinata I e II;
cos α > 0, se l'angolo α si trova nel 1° o nel 4° quadrante delle coordinate. Perché solo lì la coordinata x (detta ascissa) sarà maggiore di zero;
tan α > 0 se l'angolo α si trova nel quadrante delle coordinate I o III. Ciò segue dalla definizione: dopotutto tan α = y : x, quindi è positivo solo dove i segni di xey coincidono. Ciò accade nel primo quarto di coordinate (qui x > 0, y > 0) e nel terzo quarto di coordinate (x< 0, y < 0).

Per chiarezza, notiamo i segni di ciascuna funzione trigonometrica - seno, coseno e tangente - su "radar" separati. Otteniamo la seguente immagine:

Nota: nelle mie discussioni non ho mai parlato della quarta funzione trigonometrica: la cotangente. Il fatto è che i segni cotangenti coincidono con i segni tangenti: lì non ci sono regole speciali.

Ora propongo di considerare esempi simili ai problemi di B11 prova dell'Esame di Stato Unificato in matematica, avvenuta il 27 settembre 2011. Dopotutto, Il modo migliore comprendere la teoria è pratica. È consigliabile fare molta pratica. Naturalmente, le condizioni dei compiti sono state leggermente modificate.

Compito. Determina i segni delle funzioni e delle espressioni trigonometriche (non è necessario calcolare i valori delle funzioni stesse):

peccato(3π/4);

cos(7π/6);

tg(5π/3);

sin (3π/4) cos (5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

peccato (5π/6) cos (7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Il piano d'azione è questo: prima convertiamo tutti gli angoli da radianti in gradi (π → 180°), quindi osserviamo in quale quarto di coordinate si trova il numero risultante. Conoscendo i quartieri, possiamo facilmente trovare la segnaletica - secondo le regole appena descritte. Abbiamo:

peccato (3π/4) = peccato (3 · 180°/4) = peccato 135°. Poiché 135° ∈ , questo è un angolo dal II quadrante delle coordinate. Ma il seno nel secondo quarto è positivo, quindi sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Perché 210° ∈ , questo è l'angolo dal terzo quadrante di coordinate, in cui tutti i coseni sono negativi. Quindi cos(7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Dato che 300° ∈ ci troviamo nel IV quarto, dove prende la tangente valori negativi. Pertanto tan (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Parliamo del seno: perché 135° ∈ , questo è il secondo quarto in cui i seni sono positivi, cioè sin (3π/4) > 0. Ora lavoriamo con il coseno: 150° ∈ - ancora il secondo quarto, lì i coseni sono negativi. Quindi cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Consideriamo il coseno: 120° ∈ è il II quarto di coordinata, quindi cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Ancora una volta abbiamo un prodotto in cui i fattori hanno segni diversi. Poiché “meno per più dà meno”, abbiamo: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Lavoriamo con il seno: poiché 150° ∈ , stiamo parlando circa il II quarto di coordinate, dove i seni sono positivi. Pertanto sin (5π/6) > 0. Allo stesso modo, 315° ∈ è il quarto delle coordinate IV, i coseni lì sono positivi. Quindi cos (7π/4) > 0. Abbiamo ottenuto il prodotto di due numeri positivi- tale espressione è sempre positiva. Concludiamo: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ma l'angolo 135° ∈ è il secondo quarto, cioè tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Poiché “meno per più dà un segno meno”, abbiamo: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Consideriamo l'argomento della cotangente: 240° ∈ è il III quarto di coordinata, quindi ctg (4π/3) > 0. Analogamente, per la tangente abbiamo: 30° ∈ è il I quarto di coordinata, cioè l'angolo più semplice. Pertanto tan (π/6) > 0. Anche in questo caso abbiamo due espressioni positive: anche il loro prodotto sarà positivo. Pertanto cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

Infine, esaminiamo alcuni problemi più complessi. Oltre a determinare il segno della funzione trigonometrica, qui dovrai fare un po' di calcoli, esattamente come si fa nei problemi reali B11. In linea di principio si tratta di problemi quasi reali che effettivamente compaiono nell'Esame di Stato Unificato di matematica.

Compito. Trovare sin α se sin 2 α = 0,64 e α ∈ [π/2; π].

Poiché sin 2 α = 0,64, abbiamo: sin α = ±0,8. Non resta che decidere: più o meno? Per condizione, l'angolo α ∈ [π/2; π] è il II quarto di coordinata, dove tutti i seni sono positivi. Pertanto sin α = 0,8 - l'incertezza con i segni viene eliminata.

Compito. Trovare cos α se cos 2 α = 0,04 e α ∈ [π; 3π/2].

Noi agiamo in modo simile, ad es. estratto Radice quadrata: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Per condizione, l'angolo α ∈ [π; 3π/2], cioè Stiamo parlando del terzo quarto di coordinate. Tutti i coseni sono negativi, quindi cos α = −0,2.

Compito. Trova sin α se sin 2 α = 0,25 e α ∈ .

Abbiamo: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Consideriamo nuovamente l'angolo: α ∈ è il IV quarto di coordinata, in cui, come sappiamo, il seno sarà negativo. Quindi concludiamo: sin α = −0,5.

Compito. Trova tan α se tan 2 α = 9 e α ∈ .

Tutto è uguale, solo per la tangente. Estrai la radice quadrata: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Ma secondo la condizione, l'angolo α ∈ è il quarto di coordinata. Tutte le funzioni trigonometriche, incl. tangente, ci sono positivi, quindi tan α = 3. Questo è tutto!

Questo articolo contiene tabelle di seni, coseni, tangenti e cotangenti. Innanzitutto, forniremo una tabella dei valori di base delle funzioni trigonometriche, ovvero una tabella di seni, coseni, tangenti e cotangenti degli angoli di 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 gradi ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radiante). Successivamente, forniremo una tabella di seni e coseni, nonché una tabella di tangenti e cotangenti di V. M. Bradis, e mostreremo come utilizzare queste tabelle per trovare i valori delle funzioni trigonometriche.

Navigazione della pagina.

Tabella di seni, coseni, tangenti e cotangenti per angoli di 0, 30, 45, 60, 90, ... gradi

Bibliografia.

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I concetti di seno, coseno, tangente e cotangente sono le principali categorie della trigonometria, una branca della matematica, e sono indissolubilmente legati alla definizione di angolo. La padronanza di questa scienza matematica richiede la memorizzazione e la comprensione di formule e teoremi, nonché il pensiero spaziale sviluppato. Questo è il motivo per cui i calcoli trigonometrici spesso causano difficoltà a scolari e studenti. Per superarli, dovresti acquisire maggiore familiarità con le funzioni e le formule trigonometriche.

Concetti di trigonometria

Per comprendere i concetti di base della trigonometria, devi prima capire cosa sono un triangolo rettangolo e un angolo in un cerchio e perché tutti i calcoli trigonometrici di base sono associati ad essi. Un triangolo in cui uno degli angoli misura 90 gradi è rettangolare. Storicamente, questa figura veniva spesso utilizzata da persone nel campo dell'architettura, della navigazione, dell'arte e dell'astronomia. Di conseguenza, studiando e analizzando le proprietà di questa figura, le persone sono arrivate a calcolare i rapporti corrispondenti dei suoi parametri.

Le principali categorie associate ai triangoli rettangoli sono l'ipotenusa e i cateti. L'ipotenusa è il lato di un triangolo opposto all'angolo retto. Le gambe, rispettivamente, sono i restanti due lati. La somma degli angoli di qualsiasi triangolo è sempre 180 gradi.

La trigonometria sferica è una sezione della trigonometria che non viene studiata a scuola, ma nelle scienze applicate come l'astronomia e la geodesia, gli scienziati la usano. La particolarità di un triangolo nella trigonometria sferica è che ha sempre una somma degli angoli maggiore di 180 gradi.

Angoli di un triangolo

In un triangolo rettangolo, il seno di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto all'angolo desiderato e l'ipotenusa del triangolo. Di conseguenza, il coseno è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa. Entrambi questi valori hanno sempre grandezza inferiore a uno, poiché l'ipotenusa è sempre più lunga della gamba.

La tangente di un angolo è un valore uguale al rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente dell'angolo desiderato, o seno-coseno. La cotangente, a sua volta, è il rapporto tra il lato adiacente dell'angolo desiderato e il lato opposto. La cotangente di un angolo può essere ottenuta anche dividendo uno per il valore della tangente.

Cerchio unitario

Un cerchio unitario in geometria è un cerchio il cui raggio è uguale a uno. Tale cerchio è costruito in un sistema di coordinate cartesiane, con il centro del cerchio che coincide con il punto di origine, e la posizione iniziale del raggio vettore è determinata lungo la direzione positiva dell'asse X (asse delle ascisse). Ogni punto del cerchio ha due coordinate: XX e YY, cioè le coordinate dell'ascissa e dell'ordinata. Selezionando un punto qualsiasi della circonferenza nel piano XX e trascinando da esso una perpendicolare all'asse delle ascisse, otteniamo un triangolo rettangolo formato dal raggio del punto selezionato (indicato con la lettera C), la perpendicolare tracciata all'asse X (il punto di intersezione è indicato con la lettera G), e il segmento è l'asse delle ascisse tra l'origine (il punto è indicato con la lettera A) e il punto di intersezione G. Il triangolo risultante ACG è un triangolo rettangolo inscritto in un cerchio, dove AG è l'ipotenusa e AC e GC sono i cateti. L'angolo tra il raggio del cerchio AC e il segmento dell'asse delle ascisse contrassegnato dalla designazione AG è definito come α (alfa). Quindi, cos α = AG/AC. Considerando che AC è il raggio della circonferenza unitaria, ed è uguale a uno, risulta che cos α=AG. Allo stesso modo, sin α=CG.

Inoltre, conoscendo questi dati, puoi determinare la coordinata del punto C sul cerchio, poiché cos α=AG e sin α=CG, il che significa che il punto C ha le coordinate indicate (cos α; sin α). Sapendo che la tangente è uguale al rapporto seno/coseno, possiamo determinare che tan α = y/x e cot α = x/y. Considerando gli angoli in un sistema di coordinate negativo, puoi calcolare che i valori seno e coseno di alcuni angoli possono essere negativi.

Calcoli e formule fondamentali

Valori di funzioni trigonometriche

Avendo considerato l'essenza delle funzioni trigonometriche attraverso il cerchio unitario, possiamo derivare i valori di queste funzioni per alcuni angoli. I valori sono elencati nella tabella seguente.

Le identità trigonometriche più semplici

Equazioni in cui contiene il segno della funzione trigonometrica valore sconosciuto, sono detti trigonometrici. Identità con il valore sin x = α, k - qualsiasi numero intero:

peccato x = 0, x = πk.
2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
peccato x = -1, x = -π/2 + 2πk.
peccato x = a, |a| > 1, nessuna soluzione.
peccato x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcoseno α + πk.

Identità con il valore cos x = a, dove k è un numero intero qualsiasi:

cos x = 0, x = π/2 + πk.
cos x = 1, x = 2πk.
cos x = -1, x = π + 2πk.
cos x = a, |a| > 1, nessuna soluzione.
cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arcos α + 2πk.

Identità con il valore tg x = a, dove k è un numero intero qualsiasi:

tan x = 0, x = π/2 + πk.
tan x = a, x = arctan α + πk.

Identità con il valore ctg x = a, dove k è un numero intero qualsiasi:

lettino x = 0, x = π/2 + πk.
ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Formule di riduzione

Questa categoria di formule costanti denota metodi con cui è possibile passare da funzioni trigonometriche della forma a funzioni di argomento, cioè ridurre seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di qualsiasi valore ai corrispondenti indicatori dell'angolo di l'intervallo da 0 a 90 gradi per una maggiore comodità di calcolo.

Le formule per ridurre le funzioni per il seno di un angolo si presentano così:

sin(900 - α) = α;
sin(900 + α) = cos α;
peccato(1800 - α) = peccato α;
sin(1800 + α) = -senα;
sin(2700 - α) = -cos α;
sin(2700 + α) = -cos α;
sin(3600 - α) = -sen α;
peccato(3600 + α) = peccato α.

Per il coseno dell'angolo:

cos(900 - α) = sin α;
cos(900 + α) = -sen α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sen α;
cos(2700 + α) = sin α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

L'uso delle formule di cui sopra è possibile nel rispetto di due regole. Innanzitutto, se l'angolo può essere rappresentato come un valore (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), il valore della funzione cambia:

dal peccato al cos;
dal cos al peccato;
da tg a ctg;
da ctg a tg.

Il valore della funzione rimane invariato se l'angolo può essere rappresentato come (π ± a) o (2π ± a).

In secondo luogo, il segno della funzione ridotta non cambia: se inizialmente era positivo, tale rimane. Lo stesso con le funzioni negative.

Formule di addizione

Queste formule esprimono i valori di seno, coseno, tangente e cotangente della somma e differenza di due angoli di rotazione attraverso le loro funzioni trigonometriche. Tipicamente gli angoli sono indicati come α e β.

Le formule appaiono così:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Queste formule sono valide per qualsiasi angolo α e β.

Formule del doppio e del triplo angolo

Le formule trigonometriche del doppio e del triplo angolo sono formule che mettono in relazione rispettivamente le funzioni degli angoli 2α e 3α con le funzioni trigonometriche dell'angolo α. Derivato da formule di addizione:

sin2α = 2senα*cosα.
cos2α = 1 - 2sen^2α.
tan2α = 2tgα / (1 - tan^2α).
sin3α = 3senα - 4sen^3α.
cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Transizione dalla somma al prodotto

Considerando che 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), semplificando questa formula, otteniamo l'identità sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Allo stesso modo sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sen(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Transizione dal prodotto alla somma

Queste formule seguono dalle identità della transizione di una somma a un prodotto:

sinα * sinβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

Formule di riduzione dei gradi

In queste identità, le potenze quadrata e cubica di seno e coseno possono essere espresse in termini di seno e coseno della prima potenza di un angolo multiplo:

peccato^2α = (1 - cos2α)/2;
cos^2α = (1 + cos2α)/2;
peccato^3α = (3 * sinα - sin3α)/4;
cos^3α = (3 * cosα + cos3α)/4;
peccato^4α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Sostituzione universale

Le formule per la sostituzione trigonometrica universale esprimono le funzioni trigonometriche in termini di tangente di un semiangolo.

sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), con x = π + 2πn;
cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), dove x = π + 2πn;
tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), dove x = π + 2πn;
lettino x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), con x = π + 2πn.

Casi speciali

Casi particolari di protozoi equazioni trigonometriche sono riportati di seguito (k è un numero intero qualsiasi).

Quozienti per il seno:

Peccato x valore	valore x
0	ok
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk o 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk o -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk o 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk o -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk oppure 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk oppure -2π/3 + 2πk

Quozienti per coseno:

valore cosx	valore x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2+2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Quozienti per la tangente:

valore tgx	valore x
0	ok
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Quozienti per cotangente:

ctg x valore	valore x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremi

Teorema dei seni

Esistono due versioni del teorema: semplice ed estesa. Teorema semplice del seno: a/sen α = b/sen β = c/sen γ. In questo caso, a, b, c sono rispettivamente i lati del triangolo e α, β, γ sono gli angoli opposti.

Teorema del seno esteso per un triangolo arbitrario: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. In questa identità, R denota il raggio del cerchio in cui è inscritto il triangolo dato.

Teorema del coseno

L'identità viene visualizzata come segue: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Nella formula a, b, c sono i lati del triangolo e α è l'angolo opposto al lato a.

Teorema della tangente

La formula esprime il rapporto tra le tangenti di due angoli e la lunghezza dei lati ad essi opposti. I lati sono indicati con a, b, c e i corrispondenti angoli opposti sono α, β, γ. Formula del teorema della tangente: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Teorema della cotangente

Collega il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo con la lunghezza dei suoi lati. Se a, b, c sono i lati del triangolo e A, B, C sono rispettivamente gli angoli opposti ad essi, r è il raggio del cerchio inscritto e p è il semiperimetro del triangolo, vale quanto segue le identità sono valide:

lettino A/2 = (p-a)/r;
lettino B/2 = (p-b)/r;
lettino C/2 = (p-c)/r.

Applicazione

La trigonometria non è solo una scienza teorica associata alle formule matematiche. Le sue proprietà, teoremi e regole sono utilizzate nella pratica da vari settori. attività umana- astronomia, aerea e navigazione marittima, teoria musicale, geodesia, chimica, acustica, ottica, elettronica, architettura, economia, ingegneria meccanica, lavori di misurazione, computer grafica, cartografia, oceanografia e molti altri.

Seno, coseno, tangente e cotangente sono i concetti base della trigonometria, con l'aiuto dei quali si possono esprimere matematicamente le relazioni tra gli angoli e le lunghezze dei lati di un triangolo e trovare le quantità richieste attraverso identità, teoremi e regole.

Problema 6.12. Stessa domanda del problema precedente, ma per un pentagono regolare (suggerimento: vedi problema 3.5).

Problema 6.13. Nel Problema 4.8 si è detto che come valore approssimativo del coseno di un piccolo angolo α possiamo prendere il numero 1, cioè il valore della funzione coseno a zero. Cosa succederebbe se, senza ulteriori indugi, prendessimo 0 = sin 0 come valore approssimativo del seno di un piccolo angolo α? Perché è una cosa negativa?

Riso. 6.4. Il punto M si muove lungo una cicloide.

Problema 6.14. Consideriamo una ruota di raggio 1 che tocca l'asse x nell'origine (Fig. 6.4). Supponiamo che la ruota rotoli lungo l'asse x in direzione positiva con una velocità pari a 1 (ovvero, durante il tempo t il suo centro si sposta t verso destra).

a) Disegnare (approssimativamente) una curva che sarà descritta dal punto M, toccando in un primo momento l'asse delle ascisse.

b) Trovare quali saranno l'ascissa e l'ordinata del punto M dopo il tempo t dall'inizio del movimento.

6.1. Asse tangente

In questa sezione abbiamo definito seno e coseno geometricamente, come l'ordinata e l'ascissa di un punto, e la tangente - algebricamente, come sin t/ cos t. È possibile però dare alla tangente un significato geometrico.

Per fare ciò, traccia attraverso il punto con coordinate (1; 0) (l'origine sul cerchio trigonometrico) una tangente al cerchio trigonometrico - una linea retta parallela all'asse

Riso. 6.5. Asse tangente.

ordinato Chiameremo questa linea retta asse tangente (Fig. 6.5). Questo nome è giustificato in questo modo: sia M un punto del cerchio trigonometrico corrispondente al numero t. Continuiamo il raggio SM finché non interseca l'asse tangente. Quindi risulta che l'ordinata del punto di intersezione è uguale a tg t.

Infatti, i triangoli NOS e MP S in Fig. 6.5, ovviamente

	ma simile. Da qui



	che è quanto affermato.									o (0; −1), quindi direttamente
	Se il punto M ha coordinate (0; 1)

May SM è parallelo all'asse tangente e la tangente non può essere determinata utilizzando il nostro metodo. Ciò non sorprende: l’ascissa di questi punti è 0, quindi cost t = 0 per i corrispondenti valori di t, e tg t = sin t/ cos t non è definito.

6.2. Segni di funzioni trigonometriche

Scopriamo a quali valori di t seno, coseno e tangente sono positivi e a quali valori sono negativi. Secondo la definizione sin t è l'ordinata di un punto del cerchio trigonometrico corrispondente al numero t. Pertanto sin t > 0 se il punto t è acceso

Centrato in un punto UN.
α - angolo espresso in radianti.

Definizione
Seno (seno α)è una funzione trigonometrica che dipende dall'angolo α tra l'ipotenusa e la gamba triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del lato opposto |BC| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.

Coseno (cos α)è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.

Notazioni accettate

;
;
.

Grafico della funzione seno, y = sin x

Grafico della funzione coseno, y = cos x

Proprietà di seno e coseno

Periodicità

Funzioni y = peccato x e y = cos x periodico con periodo 2π.

Parità

La funzione seno è dispari. La funzione coseno è pari.

Dominio delle definizioni e dei valori, estremi, aumento, diminuzione

Le funzioni seno e coseno sono continue nel loro dominio di definizione, cioè per tutti gli x (vedi prova di continuità). Le loro proprietà principali sono presentate nella tabella (n - intero).

	y = peccato x	y = cos x
Portata e continuità	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Intervallo di valori	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Crescente
Discendente
Massimi, y = 1
Minimi, y = - 1
Zeri, y = 0
Punti di intercetta con l'asse delle ordinate, x = 0	y = 0	y = 1

Formule di base

Somma dei quadrati di seno e coseno

Formule per seno e coseno da somma e differenza

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Formule per il prodotto di seni e coseni

Formule di somma e differenza

Esprimere seno attraverso coseno

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Esprimere coseno attraverso seno