Come trovare tutte le radici di un'equazione appartenente a un segmento. Equazioni trigonometriche

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Per risolvere con successo equazioni trigonometriche comodo da usare metodo di riduzione ai problemi precedentemente risolti. Scopriamo qual è l'essenza di questo metodo?

In qualsiasi problema proposto, devi vedere un problema precedentemente risolto e quindi, utilizzando successive trasformazioni equivalenti, provare a ridurre il problema che ti è stato dato a uno più semplice.

Pertanto, quando risolvono equazioni trigonometriche, di solito creano una certa sequenza finita di equazioni equivalenti, l'ultimo collegamento delle quali è un'equazione con una soluzione ovvia. È importante solo ricordare che se non vengono sviluppate le capacità per risolvere le equazioni trigonometriche più semplici, risolvere equazioni più complesse sarà difficile e inefficace.

Inoltre, quando risolvi le equazioni trigonometriche, non dovresti mai dimenticare che esistono diversi metodi di soluzione possibili.

Esempio 1. Trova il numero di radici dell'equazione cos x = -1/2 nell'intervallo.

Soluzione:

Metodo I Tracciamo le funzioni y = cos x e y = -1/2 e troviamo il numero dei loro punti comuni sull'intervallo (Fig. 1).

Poiché i grafici delle funzioni hanno due punti comuni sull'intervallo, l'equazione contiene due radici su questo intervallo.

II metodo. Utilizzando un cerchio trigonometrico (Fig. 2), troviamo il numero di punti appartenenti all'intervallo in cui cos x = -1/2. La figura mostra che l'equazione ha due radici.

III metodo. Usando la formula per le radici dell'equazione trigonometrica, risolviamo l'equazione cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – intero (k€Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – intero (k€Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – intero (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – intero (k€Z).

L'intervallo contiene le radici 2π/3 e -2π/3 + 2π, k è un numero intero. Pertanto, l'equazione ha due radici su un dato intervallo.

Risposta: 2.

In futuro, le equazioni trigonometriche verranno risolte utilizzando uno dei metodi proposti, che in molti casi non esclude l'uso di altri metodi.

Esempio 2. Trovare il numero di soluzioni dell'equazione tg (x + π/4) = 1 sull'intervallo [-2π; 2π].

Soluzione:

Usando la formula per le radici di un'equazione trigonometrica, otteniamo:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k – intero (k€Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – intero (k€Z);

x = πk, k – intero (k€Z);

L'intervallo [-2π; 2π] appartengono ai numeri -2π; -π; 0; π; 2π. Quindi, l'equazione ha cinque radici su un dato intervallo.

Risposta: 5.

Esempio 3. Trova il numero di radici dell'equazione cos 2 x + sin x · cos x = 1 sull'intervallo [-π; π].

Soluzione:

Poiché 1 = sin 2 x + cos 2 x (l'identità trigonometrica di base), l'equazione originale assume la forma:

cos 2 x + peccato x · cos x = peccato 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – sin x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Il prodotto è uguale a zero, il che significa che almeno uno dei fattori deve essere uguale a zero, quindi:

sin x = 0 oppure sin x – cos x = 0.

Poiché i valori della variabile per cui cos x = 0 non sono le radici della seconda equazione (il seno e il coseno dello stesso numero non possono essere uguali a zero contemporaneamente), dividiamo entrambi i lati della seconda equazione per cos x:

sin x = 0 o sin x / cos x - 1 = 0.

Nella seconda equazione utilizziamo il fatto che tg x = sin x / cos x, quindi:

sin x = 0 o tan x = 1. Usando le formule abbiamo:

x = πk oppure x = π/4 + πk, k – intero (k € Z).

Dalla prima serie di radici all'intervallo [-π; π] appartengono ai numeri -π; 0; π. Dalla seconda serie: (π/4 – π) e π/4.

Pertanto, le cinque radici dell'equazione originale appartengono all'intervallo [-π; π].

Risposta: 5.

Esempio 4. Trova la somma delle radici dell'equazione tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 sull'intervallo [-π; 1.1π].

Soluzione:

Riscriviamo l'equazione come segue:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 e fai una sostituzione.

Sia tg x + сtgx = a. Facciamo il quadrato di entrambi i lati dell'equazione:

(tg x + ñtg x) 2 = a 2. Espandiamo le parentesi:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

Poiché tg x · сtgx = 1, allora tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, che significa

tg 2 x + ñtg 2 x = a 2 – 2.

Ora l'equazione originale è simile a:

a2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Utilizzando il teorema di Vieta, troviamo che a = -1 oppure a = -2.

Facciamo la sostituzione inversa, abbiamo:

tg x + сtgx = -1 oppure tg x + сtgx = -2. Risolviamo le equazioni risultanti.

tgx + 1/tgx = -1 o tgx + 1/tgx = -2.

Dalla proprietà di due numeri reciprocamente inversi determiniamo che la prima equazione non ha radici e dalla seconda equazione abbiamo:

tg x = -1, cioè x = -π/4 + πk, k – intero (k€Z).

L'intervallo [-π; 1,1π] appartengono alle radici: -π/4; -π/4 + π. La loro somma:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Risposta: π/2.

Esempio 5. Trova la media aritmetica delle radici dell'equazione sin 3x + sin x = sin 2x sull'intervallo [-π; 0,5π].

Soluzione:

Usiamo la formula sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), quindi

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x e l'equazione diventa

2sen 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Prendiamo il divisore comune sin 2x tra parentesi

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Risolvi l'equazione risultante:

sin 2x = 0 oppure 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 o cos x = 1/2;

2x = πk oppure x = ±π/3 + 2πk, k – intero (k € Z).

Abbiamo così le radici

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – intero (k € Z).

L'intervallo [-π; 0,5π] appartengono alle radici -π; -π/2; 0; π/2 (dalla prima serie di radici); π/3 (dalla seconda serie); -π/3 (dalla terza serie). La loro media aritmetica è:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Risposta: -π/6.

Esempio 6. Trova il numero di radici dell'equazione sin x + cos x = 0 nell'intervallo [-1,25π; 2π].

Soluzione:

Questa equazione è un'equazione omogenea di primo grado. Dividiamo entrambe le sue parti per cosx (i valori della variabile in cui cos x = 0 non sono le radici di questa equazione, poiché il seno e il coseno dello stesso numero non possono essere uguali a zero contemporaneamente). L'equazione originale è:

x = -π/4 + πk, k – intero (k€Z).

L'intervallo [-1,25π; 2π] appartengono alle radici -π/4; (-π/4 + π); e (-π/4 + 2π).

Pertanto, l'intervallo dato contiene tre radici dell'equazione.

Risposta: 3.

Impara a fare la cosa più importante: immagina chiaramente un piano per risolvere un problema, e quindi qualsiasi equazione trigonometrica sarà a portata di mano.

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Per risolvere con successo equazioni trigonometriche comodo da usare metodo di riduzione ai problemi precedentemente risolti. Scopriamo qual è l'essenza di questo metodo?

Inoltre, quando risolvi le equazioni trigonometriche, non dovresti mai dimenticare che esistono diversi metodi di soluzione possibili.

Esempio 1. Trova il numero di radici dell'equazione cos x = -1/2 nell'intervallo.

Soluzione:

Metodo I Tracciamo le funzioni y = cos x e y = -1/2 e troviamo il numero dei loro punti comuni sull'intervallo (Fig. 1).

Poiché i grafici delle funzioni hanno due punti comuni sull'intervallo, l'equazione contiene due radici su questo intervallo.

II metodo. Utilizzando un cerchio trigonometrico (Fig. 2), troviamo il numero di punti appartenenti all'intervallo in cui cos x = -1/2. La figura mostra che l'equazione ha due radici.

III metodo. Usando la formula per le radici dell'equazione trigonometrica, risolviamo l'equazione cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – intero (k€Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – intero (k€Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – intero (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – intero (k€Z).

L'intervallo contiene le radici 2π/3 e -2π/3 + 2π, k è un numero intero. Pertanto, l'equazione ha due radici su un dato intervallo.

Risposta: 2.

In futuro, le equazioni trigonometriche verranno risolte utilizzando uno dei metodi proposti, che in molti casi non esclude l'uso di altri metodi.

Esempio 2. Trovare il numero di soluzioni dell'equazione tg (x + π/4) = 1 sull'intervallo [-2π; 2π].

Soluzione:

Usando la formula per le radici di un'equazione trigonometrica, otteniamo:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k – intero (k€Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – intero (k€Z);

x = πk, k – intero (k€Z);

L'intervallo [-2π; 2π] appartengono ai numeri -2π; -π; 0; π; 2π. Quindi, l'equazione ha cinque radici su un dato intervallo.

Risposta: 5.

Esempio 3. Trova il numero di radici dell'equazione cos 2 x + sin x · cos x = 1 sull'intervallo [-π; π].

Soluzione:

Poiché 1 = sin 2 x + cos 2 x (l'identità trigonometrica di base), l'equazione originale assume la forma:

cos 2 x + peccato x · cos x = peccato 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – sin x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Il prodotto è uguale a zero, il che significa che almeno uno dei fattori deve essere uguale a zero, quindi:

sin x = 0 oppure sin x – cos x = 0.

sin x = 0 o sin x / cos x - 1 = 0.

Nella seconda equazione utilizziamo il fatto che tg x = sin x / cos x, quindi:

sin x = 0 o tan x = 1. Usando le formule abbiamo:

x = πk oppure x = π/4 + πk, k – intero (k € Z).

Dalla prima serie di radici all'intervallo [-π; π] appartengono ai numeri -π; 0; π. Dalla seconda serie: (π/4 – π) e π/4.

Pertanto, le cinque radici dell'equazione originale appartengono all'intervallo [-π; π].

Risposta: 5.

Esempio 4. Trova la somma delle radici dell'equazione tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 sull'intervallo [-π; 1.1π].

Soluzione:

Riscriviamo l'equazione come segue:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 e fai una sostituzione.

Sia tg x + сtgx = a. Facciamo il quadrato di entrambi i lati dell'equazione:

(tg x + ñtg x) 2 = a 2. Espandiamo le parentesi:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

Poiché tg x · сtgx = 1, allora tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, che significa

tg 2 x + ñtg 2 x = a 2 – 2.

Ora l'equazione originale è simile a:

a2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Utilizzando il teorema di Vieta, troviamo che a = -1 oppure a = -2.

Facciamo la sostituzione inversa, abbiamo:

tg x + сtgx = -1 oppure tg x + сtgx = -2. Risolviamo le equazioni risultanti.

tgx + 1/tgx = -1 o tgx + 1/tgx = -2.

Dalla proprietà di due numeri reciprocamente inversi determiniamo che la prima equazione non ha radici e dalla seconda equazione abbiamo:

tg x = -1, cioè x = -π/4 + πk, k – intero (k€Z).

L'intervallo [-π; 1,1π] appartengono alle radici: -π/4; -π/4 + π. La loro somma:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Risposta: π/2.

Esempio 5. Trova la media aritmetica delle radici dell'equazione sin 3x + sin x = sin 2x sull'intervallo [-π; 0,5π].

Soluzione:

Usiamo la formula sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), quindi

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x e l'equazione diventa

2sen 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Prendiamo il divisore comune sin 2x tra parentesi

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Risolvi l'equazione risultante:

sin 2x = 0 oppure 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 o cos x = 1/2;

2x = πk oppure x = ±π/3 + 2πk, k – intero (k € Z).

Abbiamo così le radici

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – intero (k € Z).

L'intervallo [-π; 0,5π] appartengono alle radici -π; -π/2; 0; π/2 (dalla prima serie di radici); π/3 (dalla seconda serie); -π/3 (dalla terza serie). La loro media aritmetica è:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Risposta: -π/6.

Esempio 6. Trova il numero di radici dell'equazione sin x + cos x = 0 nell'intervallo [-1,25π; 2π].

Soluzione:

x = -π/4 + πk, k – intero (k€Z).

L'intervallo [-1,25π; 2π] appartengono alle radici -π/4; (-π/4 + π); e (-π/4 + 2π).

Pertanto, l'intervallo dato contiene tre radici dell'equazione.

Risposta: 3.

Impara a fare la cosa più importante: immagina chiaramente un piano per risolvere un problema, e quindi qualsiasi equazione trigonometrica sarà a portata di mano.

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13. Risolvi l'equazione 3-4cos 2 x=0. Trova la somma delle sue radici appartenenti all'intervallo .

Riduciamo il grado del coseno utilizzando la formula: 1+cos2α=2cos 2 α. Otteniamo un'equazione equivalente:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per (-2) e otteniamo l'equazione trigonometrica più semplice:

14. Trova b 5 della progressione geometrica se b 4 =25 e b 6 =16.

Ogni termine della progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei termini vicini:

(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . Abbiamo (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20.

15. Trova la derivata della funzione: f(x)=tgx-ctgx.

16. Trova i valori più grande e più piccolo della funzione y(x)=x 2 -12x+27

sul segmento.

Trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione y=f(x) sul segmento, è necessario trovare i valori di questa funzione alle estremità del segmento e in quei punti critici che appartengono a questo segmento, quindi selezionare il più grande e il più piccolo tra tutti i valori ottenuti.

Troviamo i valori della funzione in x=3 e in x=7, cioè alle estremità del segmento.

y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Trova la derivata di questa funzione: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); il punto critico x=6 appartiene a questo intervallo. Troviamo il valore della funzione in x=6.

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. Scegliamo ora tra i tre valori ottenuti: 0; -8 e -9 più grande e più piccolo: al più grande. =0; al nome =-9.

17. Trova la forma generale delle antiderivative per la funzione:

Questo intervallo è il dominio di definizione di questa funzione. Le risposte dovrebbero iniziare con F(x) e non con f(x): dopo tutto, stiamo cercando un'antiderivativa. Per definizione, la funzione F(x) è una antiderivativa della funzione f(x) se vale l’uguaglianza: F’(x)=f(x). Quindi puoi semplicemente trovare i derivati delle risposte proposte finché non ottieni la funzione data. Una soluzione rigorosa è il calcolo dell'integrale di una data funzione. Applichiamo le formule:

19. Scrivi un'equazione per la retta contenente la mediana BD del triangolo ABC se i suoi vertici sono A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).

Per compilare l'equazione di una retta, è necessario conoscere le coordinate di 2 punti di questa retta, ma conosciamo solo le coordinate del punto B. Poiché la mediana BD divide a metà il lato opposto, il punto D è il punto medio del segmento AC. Le coordinate del centro di un segmento sono le mezze somme delle corrispondenti coordinate delle estremità del segmento. Troviamo le coordinate del punto D.