Tangenteè una retta che passa per un punto della curva e coincide con esso in questo punto fino al primo ordine (Fig. 1).

Un'altra definizione: questa è la posizione limite della secante a Δ X→0.

Spiegazione: prendi una linea retta che interseca la curva in due punti: UN E B(Guarda l'immagine). Questa è una secante. Lo ruoteremo in senso orario finché non troverà un solo punto in comune con la curva. Questo ci darà una tangente.

Definizione rigorosa di tangente:

Tangente al grafico di una funzione F, differenziabile nel punto XO, è una retta passante per il punto ( XO; F(XO)) e avere una pendenza F′( XO).

La pendenza ha una linea retta della forma y =kx+B. Coefficiente K ed è pendenza questa linea retta.

Fattore di pendenza uguale alla tangente angolo acuto, formato da questa retta con asse delle ascisse:

K = abbronzatura α

Qui l'angolo α è l'angolo formato dalla retta y =kx+B e la direzione positiva (cioè in senso antiorario) dell'asse x. È chiamato angolo di inclinazione di una retta(Fig. 1 e 2).

Se l'angolo di inclinazione è dritto y =kx+B acuto, allora la pendenza è numero positivo. Il grafico è in aumento (Fig. 1).

Se l'angolo di inclinazione è dritto y =kx+Bè ottuso, allora la pendenza è un numero negativo. Il grafico è decrescente (Fig. 2).

Se la retta è parallela all'asse x, l'angolo di inclinazione della retta è zero. In questo caso, anche la pendenza della retta è zero (poiché la tangente di zero è zero). L'equazione della retta sarà simile a y = b (Fig. 3).

Se l'angolo di inclinazione di una retta è 90º (π/2), cioè è perpendicolare all'asse delle ascisse, allora la retta è data dall'uguaglianza x =C, Dove C– qualche numero reale (Fig. 4).

Equazione della tangente al grafico di una funzionesì = F(X) al punto XO:

Esempio: Trova l'equazione della tangente al grafico della funzione F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 nel punto con ascissa 2.

Soluzione.

Seguiamo l'algoritmo.

1) Punto di contatto XOè uguale a 2. Calcola F(XO):

F(XO) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Trova F′( X). Per fare ciò, applichiamo le formule di differenziazione delineate nella sezione precedente. Secondo queste formule, X 2 = 2X, UN X 3 = 3X 2. Significa:

F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Ora, utilizzando il valore risultante F′( X), calcolare F′( XO):

F′( XO) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Quindi, abbiamo tutti i dati necessari: XO = 2, F(XO) = 1, F ′( XO) = 4. Sostituisci questi numeri nell'equazione della tangente e trova la soluzione finale:

y = F(XO) + F′( XO) (x-xo) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Risposta: y = 4x – 7.

Istruzioni

Determiniamo il coefficiente angolare della tangente alla curva nel punto M.
La curva che rappresenta il grafico della funzione y = f(x) è continua in un certo intorno del punto M (compreso il punto M stesso).

Se il valore f‘(x0) non esiste, allora o non esiste la tangente oppure è verticale. In considerazione di ciò, la presenza di una derivata della funzione nel punto x0 è dovuta all'esistenza di una tangente non verticale tangente al grafico della funzione nel punto (x0, f(x0)). In questo caso, il coefficiente angolare della tangente sarà uguale a f "(x0). Pertanto, diventa chiaro significato geometrico derivata – calcolo della pendenza della tangente.

Trova il valore dell'ascissa del punto tangente, che è indicato con la lettera "a". Se coincide con un dato punto tangente, allora "a" sarà la sua coordinata x. Determinare il valore funzioni f(a) sostituendo nell'equazione funzioni valore dell'ascissa.

Determinare la derivata prima dell'equazione funzioni f’(x) e sostituirvi il valore del punto “a”.

Prendere equazione generale tangente, che è definita come y = f(a) = f (a)(x – a), e sostituisci in essa i valori trovati di a, f(a), f "(a). Di conseguenza, si troverà la soluzione del grafico e la tangente.

Risolvi il problema in modo diverso se il punto di tangenza dato non coincide con il punto di tangente. In questo caso è necessario sostituire “a” al posto dei numeri nell’equazione della tangente. Successivamente, al posto delle lettere “x” e “y”, sostituisci il valore delle coordinate del punto indicato. Risolvi l'equazione risultante in cui “a” è l'incognita. Inserisci il valore risultante nell'equazione della tangente.

Scrivi un'equazione per una tangente con la lettera "a" se la formulazione del problema specifica l'equazione funzioni ed equazione linea parallela rispetto alla tangente desiderata. Dopodiché abbiamo bisogno della derivata funzioni, alla coordinata al punto “a”. Sostituisci il valore appropriato nell'equazione della tangente e risolvi la funzione.

In questo articolo analizzeremo tutti i tipi di problemi da trovare

Ricordiamo significato geometrico della derivata: se si traccia una tangente al grafico di una funzione in un punto, allora il coefficiente di pendenza della tangente (uguale alla tangente dell'angolo compreso tra la tangente e la direzione positiva dell'asse) è uguale alla derivata della funzione al punto.

Prendiamo un punto arbitrario sulla tangente con le coordinate:

E considera triangolo rettangolo :

In questo triangolo

Da qui

Questa è l'equazione della tangente tracciata al grafico della funzione nel punto.

Per scrivere l'equazione della tangente, dobbiamo solo conoscere l'equazione della funzione e il punto in cui viene disegnata la tangente. Quindi possiamo trovare e .

Esistono tre tipi principali di problemi di equazioni tangenti.

1. Dato un punto di contatto

2. Viene fornito il coefficiente di pendenza della tangente, ovvero il valore della derivata della funzione nel punto.

3. Si danno le coordinate del punto attraverso il quale viene tracciata la tangente, ma che non è il punto di tangenza.

Diamo un'occhiata a ciascun tipo di attività.

1 . Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione al punto .

.

b) Trovare il valore della derivata al punto . Per prima cosa troviamo la derivata della funzione

Sostituiamo i valori trovati nell'equazione della tangente:

Apriamo le parentesi sul lato destro dell'equazione. Noi abbiamo:

Risposta: .

2. Trova l'ascissa dei punti in cui le funzioni sono tangenti al grafico parallelo all'asse x.

Se la tangente è parallela all'asse x, allora l'angolo tra la tangente e la direzione positiva dell'asse è zero, quindi la tangente dell'angolo tangente è zero. Ciò significa che il valore della derivata della funzione nei punti di tangenza è zero.

a) Trovare la derivata della funzione.

b) Uguagliamo la derivata a zero e troviamo i valori in cui la tangente è parallela all'asse:

Uguagliando ogni fattore a zero, otteniamo:

Risposta: 0;3;5

3. Scrivere le equazioni per le tangenti al grafico di una funzione , parallelo Dritto .

Una tangente è parallela ad una retta. La pendenza di questa linea è -1. Poiché la tangente è parallela a questa retta, anche la pendenza della tangente è -1. Questo è conosciamo la pendenza della tangente, e con ciò, valore della derivata nel punto di tangenza.

Questo è il secondo tipo di problema per trovare l'equazione della tangente.

Quindi, ci viene data la funzione e il valore della derivata nel punto di tangenza.

a) Trova i punti in cui la derivata della funzione è uguale a -1.

Innanzitutto, troviamo l'equazione della derivata.

Uguagliamo la derivata al numero -1.

Troviamo il valore della funzione nel punto.

(per condizione)

.

b) Trovare l'equazione della tangente al grafico della funzione nel punto .

Troviamo il valore della funzione nel punto.

(per condizione).

Sostituiamo questi valori nell'equazione della tangente:

.

Risposta:

4 . Scrivi l'equazione della tangente alla curva , passando per un punto

Per prima cosa controlliamo se il punto è tangente. Se un punto è tangente, allora appartiene al grafico della funzione e le sue coordinate devono soddisfare l'equazione della funzione. Sostituiamo le coordinate del punto nell'equazione della funzione.

Titolo="1qrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} un numero negativo, l'uguaglianza non è vera e il punto non appartiene al grafico della funzione e non è un punto di contatto.

Questo è l'ultimo tipo di problema per trovare l'equazione della tangente. Prima cosa dobbiamo trovare l'ascissa del punto tangente.

Troviamo il valore.

Lascia che sia il punto di contatto. Il punto appartiene alla tangente al grafico della funzione. Se sostituiamo le coordinate di questo punto nell'equazione della tangente, otteniamo l'uguaglianza corretta:

.

Il valore della funzione in un punto è .

Troviamo il valore della derivata della funzione nel punto.

Per prima cosa troviamo la derivata della funzione. Questo .

La derivata in un punto è uguale a .

Sostituiamo le espressioni per e nell'equazione della tangente. Otteniamo l'equazione per:

Risolviamo questa equazione.

Riduci numeratore e denominatore della frazione di 2:

Portiamo il lato destro dell'equazione a un denominatore comune. Noi abbiamo:

Semplifichiamo il numeratore della frazione e moltiplichiamo entrambi i lati per: questa espressione è strettamente maggiore di zero.

Otteniamo l'equazione

Risolviamolo. Per fare ciò, eleviamo al quadrato entrambe le parti e passiamo al sistema.

Titolo="delim(lbrace)(matrice(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Risolviamo la prima equazione.

Decidiamo equazione quadrata, noi abbiamo

La seconda radice non soddisfa la condizione title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Scriviamo l'equazione della tangente alla curva nel punto. Per fare ciò, sostituisci il valore nell'equazione - L'abbiamo già registrato.

Risposta:
.

SU palcoscenico moderno sviluppo dell'istruzione, uno dei suoi compiti principali è la formazione di una personalità dal pensiero creativo. La capacità di creatività negli studenti può essere sviluppata solo se sono sistematicamente coinvolti nelle basi delle attività di ricerca. La base affinché gli studenti possano utilizzare i propri poteri creativi, abilità e talenti è costituita da conoscenze e abilità a tutti gli effetti. A questo proposito, il problema di formare un sistema conoscenza di base e competenze per ciascun argomento corso scolastico la matematica non ha poca importanza. Allo stesso tempo, le competenze a tutti gli effetti dovrebbero essere l'obiettivo didattico non dei compiti individuali, ma di un loro sistema attentamente studiato. Nel senso più ampio, un sistema è inteso come un insieme di elementi interagenti e interconnessi che hanno integrità e una struttura stabile.

Consideriamo una tecnica per insegnare agli studenti come scrivere un'equazione per una tangente al grafico di una funzione. In sostanza, tutti i problemi nella ricerca dell'equazione tangente si riducono alla necessità di selezionare da un insieme (fascio, famiglia) di linee quelle che soddisfano un determinato requisito: sono tangenti al grafico di una determinata funzione. In questo caso l'insieme delle linee da cui effettuare la selezione può essere specificato in due modi:

a) un punto giacente sul piano xOy (matita centrale delle linee);
b) coefficiente angolare (raggio parallelo di rette).

A questo proposito, studiando l’argomento “Tangente al grafico di una funzione” per isolare gli elementi del sistema, abbiamo individuato due tipologie di problemi:

1) problemi di tangente, dato dal punto, attraverso il quale passa;
2) problemi su una tangente dati dalla sua pendenza.

La formazione sulla risoluzione dei problemi tangenti è stata svolta utilizzando l'algoritmo proposto da A.G. Mordkovich. Il suo differenza fondamentale da quelli già noti è che l'ascissa del punto di tangenza è indicata con la lettera a (invece di x0), e quindi l'equazione della tangente assume la forma

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(confrontare con y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Questo tecnica metodica, a nostro avviso, consente agli studenti di capire rapidamente e facilmente dove sono scritte le coordinate del punto corrente nell'equazione generale della tangente e dove si trovano i punti tangenti.

Algoritmo per comporre l'equazione tangente al grafico della funzione y = f(x)

1. Designare l'ascissa del punto tangente con la lettera a.
2. Trova f(a).
3. Trova f "(x) e f "(a).
4. Sostituisci i numeri trovati a, f(a), f "(a) nell'equazione generale della tangente y = f(a) = f "(a)(x – a).

Questo algoritmo può essere compilato sulla base dell’identificazione indipendente delle operazioni da parte degli studenti e della sequenza della loro implementazione.

La pratica ha dimostrato che la soluzione sequenziale di ciascuno dei problemi chiave utilizzando un algoritmo consente di sviluppare le capacità di scrivere l'equazione di una tangente al grafico di una funzione in più fasi e i passaggi dell'algoritmo servono come punti di riferimento per le azioni . Questo approccio è coerente con la teoria formazione graduale azioni mentali, sviluppate da P.Ya. Galperin e N.F. Talisina.

Nella prima tipologia di compiti, sono stati individuati due compiti chiave:

• la tangente passa per un punto giacente sulla curva (problema 1);
• la tangente passa per un punto che non giace sulla curva (problema 2).

Attività 1. Scrivi un'equazione per la tangente al grafico della funzione nel punto M(3; – 2).

Soluzione. Il punto M(3; – 2) è un punto tangente, poiché

1. a = 3 – ascissa del punto tangente.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – equazione tangente.

Problema 2. Scrivi le equazioni di tutte le tangenti al grafico della funzione y = – x 2 – 4x + 2 passante per il punto M(– 3; 6).

Soluzione. Il punto M(– 3; 6) non è un punto tangente, poiché f(– 3) 6 (Fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – equazione tangente.

La tangente passa per il punto M(– 3; 6), quindi le sue coordinate soddisfano l'equazione della tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Se a = – 4, allora l'equazione della tangente è y = 4x + 18.

Se a = – 2, l'equazione della tangente ha la forma y = 6.

Nel secondo tipo, i compiti chiave saranno i seguenti:

• la tangente è parallela ad una retta (problema 3);
• la tangente passa ad un certo angolo rispetto alla linea data (problema 4).

Problema 3. Scrivi le equazioni di tutte le tangenti al grafico della funzione y = x 3 – 3x 2 + 3, parallela alla retta y = 9x + 1.

1. a – ascissa del punto tangente.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ma, d'altra parte, f "(a) = 9 (condizione di parallelismo). Ciò significa che dobbiamo risolvere l'equazione 3a 2 – 6a = 9. Le sue radici sono a = – 1, a = 3 (Fig. 3 ).

4.1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – equazione tangente;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – equazione tangente.

Problema 4. Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione y = 0,5x 2 – 3x + 1, passante con un angolo di 45° alla retta y = 0 (Fig. 4).

Soluzione. Dalla condizione f"(a) = tan 45° troviamo a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – ascissa del punto tangente.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – equazione tangente.

È facile dimostrare che la soluzione a qualsiasi altro problema si riduce alla risoluzione di uno o più problemi chiave. Consideriamo come esempio i due problemi seguenti.

1. Scrivi le equazioni delle tangenti alla parabola y = 2x 2 – 5x – 2, se le tangenti si intersecano ad angolo retto e una di esse tocca la parabola nel punto con ascissa 3 (Fig. 5).

Soluzione. Poiché l'ascissa del punto tangente è data, la prima parte della soluzione si riduce al problema chiave 1.

1. a = 3 – ascissa del punto di tangenza di uno dei lati angolo retto.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – equazione della prima tangente.

Sia a l'angolo di inclinazione della prima tangente. Poiché le tangenti sono perpendicolari, allora lo è l'angolo di inclinazione della seconda tangente. Dall'equazione y = 7x – 20 della prima tangente si ottiene tg a = 7. Troviamo

Ciò significa che la pendenza della seconda tangente è uguale a .

L’ulteriore soluzione si riduce al compito chiave 3.

Sia allora B(c; f(c)) il punto di tangenza della seconda retta

1. – ascissa del secondo punto di tangenza.
2.
3.
4.
– equazione della seconda tangente.

Nota. Il coefficiente angolare della tangente può essere trovato più facilmente se gli studenti conoscono il rapporto dei coefficienti delle rette perpendicolari k 1 k 2 = – 1.

2. Scrivi le equazioni di tutte le tangenti comuni ai grafici delle funzioni

Soluzione. Il problema si riduce a trovare l'ascissa dei punti di tangenza delle tangenti comuni, cioè a risolvere il problema chiave 1 in vista generale, elaborando un sistema di equazioni e la sua successiva soluzione (Fig. 6).

1. Sia a l'ascissa del punto tangente che giace sul grafico della funzione y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Sia c l'ascissa del punto tangente che giace sul grafico della funzione
2.
3. f "(c) = c.
4.

Poiché le tangenti sono generali, allora

Quindi y = x + 1 e y = – 3x – 3 sono tangenti comuni.

L'obiettivo principale dei compiti considerati è preparare gli studenti a riconoscere autonomamente il tipo di problema chiave nella risoluzione di problemi più complessi che richiedono determinate capacità di ricerca (capacità di analizzare, confrontare, generalizzare, avanzare un'ipotesi, ecc.). Tali attività includono qualsiasi attività in cui l'attività chiave è inclusa come componente. Consideriamo come esempio il problema (inverso al Problema 1) di trovare una funzione dalla famiglia delle sue tangenti.

3. Per cosa sono b e c le rette y = x e y = – 2x tangenti al grafico della funzione y = x 2 + bx + c?

Sia t l'ascissa del punto di tangenza della retta y = x con la parabola y = x 2 + bx + c; p è l'ascissa del punto di tangenza della retta y = – 2x con la parabola y = x 2 + bx + c. Quindi l'equazione tangente y = x assumerà la forma y = (2t + b)x + c – t 2 , e l'equazione tangente y = – 2x assumerà la forma y = (2p + b)x + c – p 2 .

Componiamo e risolviamo un sistema di equazioni

Risposta:

Primo livello

Equazione di una tangente al grafico di una funzione. Guida completa (2019)

Sai già cos'è un derivato? In caso contrario, leggi prima l'argomento. Quindi dici di conoscere la derivata. Controlliamolo ora. Trova l'incremento della funzione quando l'incremento dell'argomento è uguale a. Sei riuscito? Dovrebbe funzionare. Ora trova la derivata della funzione in un punto. Risposta: . Accaduto? Se riscontri difficoltà con uno qualsiasi di questi esempi, ti consiglio vivamente di tornare sull'argomento e studiarlo di nuovo. So che l'argomento è molto vasto, ma per il resto non ha senso andare oltre. Consideriamo il grafico di una funzione:

Selezioniamo un certo punto sulla linea del grafico. Lascia che sia l'ascissa, quindi l'ordinata è uguale. Quindi selezioniamo un punto con un'ascissa vicino al punto; la sua ordinata è:

Disegniamo una linea retta attraverso questi punti. Si chiama secante (proprio come in geometria). Indichiamo l'angolo di inclinazione della retta rispetto all'asse come. Come nella trigonometria, questo angolo viene misurato dalla direzione positiva dell'asse x in senso antiorario. Che valori può assumere l'angolo? Non importa come inclini questa linea retta, una metà rimarrà comunque sollevata. Pertanto, l'angolo massimo possibile è , e l'angolo minimo possibile è . Significa, . L'angolo non è incluso, poiché la posizione della linea retta in questo caso coincide esattamente con, ed è più logico scegliere un angolo più piccolo. Prendiamo un punto della figura tale che la retta sia parallela all'asse delle ascisse e a sia l'asse delle ordinate:

Dalla figura si vede che, a. Quindi il rapporto di incremento è:

(poiché è rettangolare).

Riduciamolo adesso. Quindi il punto si avvicinerà al punto. Quando diventa infinitesimo, il rapporto diventa uguale alla derivata della funzione nel punto. Cosa accadrà alla secante? Il punto sarà infinitamente vicino al punto, in modo che possano essere considerati lo stesso punto. Ma una linea retta che ha un solo punto in comune con una curva non è altro che tangente(in questo caso, questa condizione è soddisfatta solo in una piccola area - vicino al punto, ma questo è sufficiente). Dicono che in questo caso prenda la secante posizione limite.

Chiamiamo angolo di inclinazione della secante rispetto all'asse. Quindi si scopre che la derivata

questo è la derivata è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione in un dato punto.

Poiché una tangente è una linea, ricordiamo ora l'equazione di una linea:

A cosa è responsabile il coefficiente? Per la pendenza della retta. Questo è quello che si chiama: pendenza. Cosa significa? E il fatto che sia uguale alla tangente dell'angolo formato dalla retta all'asse! Quindi questo è ciò che accade:

Ma abbiamo ottenuto questa regola considerando una funzione crescente. Cosa cambierà se la funzione diminuisce? Vediamo:
Ora gli angoli sono ottusi. E l'incremento della funzione è negativo. Consideriamo ancora: . Dall'altro lato, . Otteniamo: , cioè tutto è uguale all'ultima volta. Dirigiamo nuovamente il punto verso il punto e la secante assumerà una posizione limite, cioè si trasformerà in una tangente al grafico della funzione nel punto. Quindi, formuliamo la regola finale:
La derivata di una funzione in un dato punto è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione in questo punto, o (che è lo stesso) alla pendenza di questa tangente:

Questo è quello che è significato geometrico della derivata. Ok, tutto questo è interessante, ma perché ne abbiamo bisogno? Qui esempio:
La figura mostra un grafico di una funzione e una tangente ad essa nel punto dell'ascissa. Trova il valore della derivata della funzione in un punto.
Soluzione.
Come abbiamo recentemente scoperto, il valore della derivata nel punto di tangenza è uguale alla pendenza della tangente, che a sua volta è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione di questa tangente all'asse delle ascisse: . Ciò significa che per trovare il valore della derivata dobbiamo trovare la tangente dell'angolo tangente. Nella figura abbiamo segnato due punti giacenti sulla tangente, le cui coordinate ci sono note. Completiamo quindi la costruzione di un triangolo rettangolo passante per questi punti e troviamo la tangente dell'angolo tangente!

L'angolo di inclinazione della tangente all'asse è. Troviamo la tangente di questo angolo: . Pertanto, la derivata della funzione in un punto è uguale a.
Risposta:. Ora provalo tu stesso:

Risposte:

Conoscere significato geometrico della derivata, possiamo spiegare molto semplicemente la regola secondo cui la derivata nel punto di massimo o minimo locale è uguale a zero. Infatti, la tangente al grafico in questi punti è “orizzontale”, cioè parallela all’asse x:

Qual è l'angolo tra le rette parallele? Ovviamente zero! E anche la tangente dello zero è zero. Quindi la derivata è uguale a zero:

Maggiori informazioni al riguardo nell'argomento “Monotonicità delle funzioni. Punti estremi."

Ora concentriamoci sulle tangenti arbitrarie. Diciamo che abbiamo qualche funzione, ad esempio, . Abbiamo disegnato il suo grafico e ad un certo punto vogliamo tracciarne una tangente. Ad esempio, ad un certo punto. Prendiamo un righello, lo colleghiamo al grafico e disegniamo:

Cosa sappiamo di questa linea? Qual è la cosa più importante da sapere sul direct to piano delle coordinate? Poiché una retta è l'immagine di una funzione lineare, sarebbe molto comodo conoscerne l'equazione. Cioè, i coefficienti nell'equazione

Ma lo sappiamo già! Questa è la pendenza della tangente, che è uguale alla derivata della funzione in quel punto:

Nel nostro esempio sarà così:

Adesso non resta che trovarlo. È semplice come sgusciare le pere: dopo tutto, il valore di. Graficamente, questa è la coordinata dell'intersezione della linea con l'asse delle ordinate (dopo tutto, in tutti i punti dell'asse):

Disegniamolo (quindi è rettangolare). Quindi (allo stesso angolo tra la tangente e l'asse x). Cosa sono e uguali a? La figura mostra chiaramente che, a. Quindi otteniamo:

Combiniamo tutte le formule ottenute nell'equazione di una linea retta:

Ora decidi tu stesso:

1. Trovare equazione tangente ad una funzione in un punto.
2. La tangente ad una parabola interseca l'asse con un angolo. Trova l'equazione di questa tangente.
3. La retta è parallela alla tangente al grafico della funzione. Trova l'ascissa del punto tangente.
4. La retta è parallela alla tangente al grafico della funzione. Trova l'ascissa del punto tangente.

Soluzioni e risposte:

EQUAZIONE DI UNA TANGENTE AL GRAFICO DI UNA FUNZIONE. BREVE DESCRIZIONE E FORMULE BASE

La derivata di una funzione in un punto particolare è uguale alla tangente della tangente al grafico della funzione in questo punto, o alla pendenza di questa tangente:

Equazione della tangente al grafico di una funzione in un punto:

Algoritmo per trovare l'equazione della tangente:

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!

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Insomma...

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“Capire” e “posso risolvere” sono abilità completamente diverse. Hai bisogno di entrambi.

Trova i problemi e risolvili!