Le equazioni sono un argomento difficile da padroneggiare, ma sono un potente strumento per risolvere la maggior parte dei problemi.

Le equazioni servono per descrivere vari processi, presenti in natura. Le equazioni sono ampiamente utilizzate in altre scienze: economia, fisica, biologia e chimica.

IN questa lezione Cercheremo di comprendere l'essenza delle equazioni più semplici, impareremo a esprimere incognite e risolvere diverse equazioni. Man mano che impari nuovi materiali, le equazioni diventeranno più complesse, quindi comprendere le nozioni di base è molto importante.

Competenze preliminari Contenuto della lezione

Cos'è un'equazione?

Un'equazione è un'uguaglianza che contiene una variabile di cui si desidera trovare il valore. Questo valore deve essere tale che, una volta sostituito nell'equazione originale, si ottenga l'uguaglianza numerica corretta.

Ad esempio, l'espressione 2 + 2 = 4 è un'uguaglianza. Quando si calcola il lato sinistro, si ottiene l'uguaglianza numerica corretta 4 = 4.

Ma l'uguaglianza è 2+ X= 4 è un'equazione perché contiene una variabile X, il cui valore può essere trovato. Il valore deve essere tale che sostituendo questo valore nell'equazione originale si ottenga l'uguaglianza numerica corretta.

In altre parole, dobbiamo trovare un valore in corrispondenza del quale il segno uguale giustificherebbe la sua posizione: il lato sinistro deve essere uguale al lato destro.

Equazione 2+ X= 4 è elementare. Valore variabile Xè uguale al numero 2. Per qualsiasi altro valore, l'uguaglianza non verrà rispettata

Dicono che il numero 2 sia radice O risolvendo l'equazione 2 + X = 4

Radice O soluzione dell'equazione- questo è il valore della variabile in cui l'equazione si trasforma in una vera uguaglianza numerica.

Potrebbero esserci più radici o nessuna. Risolvi l'equazione significa trovare le sue radici o dimostrare che radici non ci sono.

La variabile inclusa nell'equazione viene altrimenti chiamata sconosciuto. Hai il diritto di chiamarlo come preferisci. Questi sono sinonimi.

Nota. La frase “risolvere un’equazione” parla da sola. Risolvere un'equazione significa “equalizzare” l'equazione, rendendola bilanciata in modo che il lato sinistro sia uguale al lato destro.

Esprimere una cosa attraverso l'altra

Lo studio delle equazioni inizia tradizionalmente con l'imparare ad esprimere un numero compreso in un'uguaglianza attraverso una serie di altri. Non rompiamo questa tradizione e facciamo lo stesso.

Consideriamo la seguente espressione:

8 + 2

Questa espressione è la somma dei numeri 8 e 2. Il valore di questa espressione è 10

8 + 2 = 10

Abbiamo l'uguaglianza. Ora puoi esprimere qualsiasi numero da questa uguaglianza attraverso altri numeri inclusi nella stessa uguaglianza. Ad esempio, esprimiamo il numero 2.

Per esprimere il numero 2 è necessario porre la domanda: “cosa si deve fare con i numeri 10 e 8 per ottenere il numero 2”. È chiaro che per ottenere il numero 2 bisogna sottrarre il numero 8 dal numero 10.

Questo è ciò che facciamo. Scriviamo il numero 2 e tramite il segno uguale diciamo che per ottenere questo numero 2 abbiamo sottratto il numero 8 dal numero 10:

2 = 10 − 8

Abbiamo espresso il numero 2 dall'uguaglianza 8 + 2 = 10. Come puoi vedere dall'esempio, non c'è nulla di complicato in questo.

Quando si risolvono le equazioni, in particolare quando si esprime un numero in termini di altri, è conveniente sostituire il segno uguale con la parola “ C'è" . Questo deve essere fatto mentalmente e non nell'espressione stessa.

Quindi, esprimendo il numero 2 dall'uguaglianza 8 + 2 = 10, abbiamo l'uguaglianza 2 = 10 − 8. Questa uguaglianza può essere letta come segue:

2 C'è 10 − 8

Cioè, un segno = sostituito dalla parola "è". Inoltre, l'uguaglianza 2 = 10 − 8 può essere tradotta da linguaggio matematico nel linguaggio umano completo. Allora si può leggere così:

Numero 2 C'è differenza tra il numero 10 e il numero 8

Numero 2 C'è differenza tra il numero 10 e il numero 8.

Ma ci limiteremo a sostituire solo il segno di uguale con la parola “è”, e non sempre lo faremo. Le espressioni elementari possono essere comprese senza tradurre il linguaggio matematico in linguaggio umano.

Riportiamo l'uguaglianza risultante 2 = 10 − 8 al suo stato originale:

8 + 2 = 10

Esprimiamo il numero 8 questa volta. Cosa bisogna fare con i numeri rimanenti per ottenere il numero 8? Esatto, devi sottrarre 2 dal numero 10

8 = 10 − 2

Riportiamo l'uguaglianza risultante 8 = 10 − 2 al suo stato originale:

8 + 2 = 10

Questa volta esprimeremo il numero 10. Ma si scopre che non è necessario esprimere il dieci, poiché è già espresso. È sufficiente scambiare le parti sinistra e destra, quindi otteniamo ciò di cui abbiamo bisogno:

10 = 8 + 2

Esempio 2. Considera l'uguaglianza 8 − 2 = 6

Esprimiamo il numero 8 da questa uguaglianza Per esprimere il numero 8, è necessario aggiungere i restanti due numeri:

8 = 6 + 2

Riportiamo l'uguaglianza risultante 8 = 6 + 2 al suo stato originale:

8 − 2 = 6

Esprimiamo il numero 2 da questa uguaglianza. Per esprimere il numero 2, devi sottrarre 6 da 8

2 = 8 − 6

Esempio 3. Considera l'uguaglianza 3 × 2 = 6

Esprimiamo il numero 3. Per esprimere il numero 3, hai bisogno di 6 diviso per 2

Riportiamo l'uguaglianza risultante al suo stato originale:

3×2 = 6

Esprimiamo il numero 2 da questa uguaglianza. Per esprimere il numero 2, è necessario 6 diviso 3

Esempio 4. Considera l'uguaglianza

Esprimiamo il numero 15 da questa uguaglianza. Per esprimere il numero 15, devi moltiplicare i numeri 3 e 5

15 = 3×5

Riportiamo l'uguaglianza risultante 15 = 3 × 5 al suo stato originale:

Esprimiamo il numero 5 da questa uguaglianza. Per esprimere il numero 5, hai bisogno di 15 diviso 3

Regole per trovare incognite

Consideriamo diverse regole per trovare incognite. Potrebbero esserti familiari, ma non fa male ripeterli di nuovo. In futuro, potranno essere dimenticati, poiché impareremo a risolvere le equazioni senza applicare queste regole.

Torniamo al primo esempio, che abbiamo visto nell'argomento precedente, dove nell'uguaglianza 8 + 2 = 10 dovevamo esprimere il numero 2.

Nell'uguaglianza 8 + 2 = 10, i numeri 8 e 2 sono i termini e il numero 10 è la somma.

Per esprimere il numero 2, abbiamo fatto quanto segue:

2 = 10 − 8

Cioè dalla somma di 10 abbiamo sottratto il termine 8.

Immaginiamo ora che nell'uguaglianza 8 + 2 = 10, al posto del numero 2, ci sia una variabile X

8 + X = 10

In questo caso l'uguaglianza 8+2=10 diventa l'equazione 8+ X= 10 e la variabile X termine sconosciuto

Il nostro compito è trovare questo termine sconosciuto, cioè risolvere l'equazione 8 + X= 10. Per trovare un termine sconosciuto, viene fornita la seguente regola:

Per trovare il termine sconosciuto, è necessario sottrarre il termine noto dalla somma.

Questo è fondamentalmente ciò che abbiamo fatto quando abbiamo espresso due nell'uguaglianza 8 + 2 = 10. Per esprimere il termine 2, abbiamo sottratto un altro termine 8 dalla somma 10

2 = 10 − 8

Ora, per trovare il termine sconosciuto X, dobbiamo sottrarre il termine noto 8 dalla somma 10:

X = 10 − 8

Se calcoli il lato destro dell'uguaglianza risultante, puoi scoprire a cosa è uguale la variabile X

X = 2

Abbiamo risolto l'equazione. Valore variabile X equivale a 2. Per verificare il valore di una variabile X inviato all'equazione originale 8 + X= 10 e sostituisci X.È consigliabile farlo con qualsiasi equazione risolta, poiché non si può essere assolutamente sicuri che l'equazione sia stata risolta correttamente:

Di conseguenza

La stessa regola varrebbe se il termine sconosciuto fosse il primo numero 8.

X + 2 = 10

In questa equazione Xè il termine sconosciuto, 2 è il termine noto, 10 è la somma. Trovare un termine sconosciuto X, devi sottrarre il termine noto 2 dalla somma 10

X = 10 − 2

X = 8

Ritorniamo al secondo esempio dell'argomento precedente, dove nell'uguaglianza 8 − 2 = 6 era necessario esprimere il numero 8.

Nell'uguaglianza 8 − 2 = 6, il numero 8 è il minuendo, il numero 2 è il sottraendo e il numero 6 è la differenza

Per esprimere il numero 8, abbiamo fatto quanto segue:

8 = 6 + 2

Cioè, abbiamo aggiunto la differenza di 6 e sottratto 2.

Ora immagina che nell'uguaglianza 8 − 2 = 6, invece del numero 8, ci sia una variabile X

X − 2 = 6

In questo caso la variabile X assume il ruolo del cosiddetto minuendo sconosciuto

Per trovare un minuendo sconosciuto, viene fornita la seguente regola:

Per trovare il minuendo sconosciuto, devi aggiungere il sottraendo alla differenza.

Questo è ciò che abbiamo fatto quando abbiamo espresso il numero 8 nell'uguaglianza 8 − 2 = 6. Per esprimere il minuendo di 8, aggiungiamo il sottraendo di 2 alla differenza di 6.

Ora, per trovare il minuendo sconosciuto X, dobbiamo aggiungere il sottraendo 2 alla differenza 6

X = 6 + 2

Se calcoli il lato destro, puoi scoprire a cosa è uguale la variabile X

X = 8

Ora immagina che nell'uguaglianza 8 − 2 = 6, invece del numero 2, ci sia una variabile X

8 − X = 6

In questo caso la variabile X assume il ruolo sottraendo sconosciuto

Per trovare un sottraendo sconosciuto, viene fornita la seguente regola:

Per trovare il sottraendo sconosciuto, devi sottrarre la differenza dal minuendo.

Questo è ciò che abbiamo fatto quando abbiamo espresso il numero 2 nell'uguaglianza 8 − 2 = 6. Per esprimere il numero 2, abbiamo sottratto la differenza 6 dal minuendo 8.

Ora, per trovare il sottraendo sconosciuto X, devi nuovamente sottrarre la differenza 6 dal minuendo 8

X = 8 − 6

Calcoliamo il lato destro e troviamo il valore X

X = 2

Torniamo al terzo esempio dell'argomento precedente, dove nell'uguaglianza 3 × 2 = 6 abbiamo cercato di esprimere il numero 3.

Nell'uguaglianza 3 × 2 = 6, il numero 3 è il moltiplicando, il numero 2 è il moltiplicatore, il numero 6 è il prodotto

Per esprimere il numero 3 abbiamo fatto quanto segue:

Cioè, abbiamo diviso il prodotto di 6 per il fattore 2.

Ora immagina che nell'uguaglianza 3 × 2 = 6, al posto del numero 3 ci sia una variabile X

X×2 = 6

In questo caso la variabile X assume il ruolo moltiplicando sconosciuto.

Per trovare un moltiplicando sconosciuto, viene fornita la seguente regola:

Per trovare un moltiplicando sconosciuto, devi dividere il prodotto per il fattore.

Questo è ciò che abbiamo fatto quando abbiamo espresso il numero 3 dall'uguaglianza 3 × 2 = 6. Abbiamo diviso il prodotto 6 per il fattore 2.

Ora dobbiamo trovare il moltiplicando sconosciuto X, devi dividere il prodotto 6 per il fattore 2.

Calcolare il membro destro ci permette di trovare il valore di una variabile X

X = 3

La stessa regola si applica se la variabile X si trova al posto del moltiplicatore, non del moltiplicando. Immaginiamo che nell'uguaglianza 3 × 2 = 6, al posto del numero 2 ci sia una variabile X.

In questo caso la variabile X assume il ruolo moltiplicatore sconosciuto. Per trovare un fattore incognito è prevista la stessa procedura utilizzata per trovare un moltiplicando incognito, ovvero dividendo il prodotto per un fattore noto:

Per trovare un'incognita è necessario dividere il prodotto per il moltiplicando.

Questo è ciò che abbiamo fatto quando abbiamo espresso il numero 2 dall'uguaglianza 3 × 2 = 6. Quindi per ottenere il numero 2 abbiamo diviso il prodotto di 6 per il suo moltiplicando 3.

Ora dobbiamo trovare l'incognita X Abbiamo diviso il prodotto di 6 per il moltiplicando di 3.

Calcolare il lato destro dell'uguaglianza ti permette di scoprire a cosa è uguale x

X = 2

Il moltiplicando e il moltiplicatore insieme sono detti fattori. Poiché le regole per trovare un moltiplicando e un moltiplicatore sono le stesse, possiamo formularle regola generale trovare l'incognita:

Per trovare un fattore sconosciuto è necessario dividere il prodotto per il fattore noto.

Ad esempio, risolviamo l'equazione 9 × X= 18. Variabile Xè un fattore sconosciuto. Per trovare questo fattore sconosciuto, devi dividere il prodotto 18 per il fattore noto 9

Risolviamo l'equazione X× 3 = 27. Variabile Xè un fattore sconosciuto. Per trovare questo fattore sconosciuto, devi dividere il prodotto 27 per il fattore noto 3

Torniamo al quarto esempio dell'argomento precedente, dove in un'uguaglianza dovevamo esprimere il numero 15. In questa uguaglianza, il numero 15 è il dividendo, il numero 5 è il divisore e il numero 3 è il quoziente.

Per esprimere il numero 15 abbiamo fatto quanto segue:

15 = 3×5

Cioè abbiamo moltiplicato il quoziente di 3 per il divisore di 5.

Ora immagina che nell'uguaglianza, al posto del numero 15, ci sia una variabile X

In questo caso la variabile X assume il ruolo dividendo sconosciuto.

Per trovare un dividendo sconosciuto, viene fornita la seguente regola:

Per trovare il dividendo sconosciuto, devi moltiplicare il quoziente per il divisore.

Questo è ciò che abbiamo fatto quando abbiamo espresso il numero 15 dall'uguaglianza. Per esprimere il numero 15 moltiplichiamo il quoziente di 3 per il divisore di 5.

Ora, per trovare il dividendo sconosciuto X, devi moltiplicare il quoziente 3 per il divisore 5

X= 3×5

X .

X = 15

Ora immagina che nell'uguaglianza, al posto del numero 5, ci sia una variabile X .

In questo caso la variabile X assume il ruolo divisore sconosciuto.

Per trovare un divisore sconosciuto, viene fornita la seguente regola:

Questo è ciò che abbiamo fatto quando abbiamo espresso il numero 5 dall'uguaglianza. Per esprimere il numero 5, dividiamo il dividendo 15 per il quoziente 3.

E ora da trovare divisore sconosciuto X, devi dividere il dividendo 15 per il quoziente 3

Calcoliamo il lato destro dell'uguaglianza risultante. In questo modo scopriamo a cosa è uguale la variabile X .

X = 5

Quindi, per trovare le incognite, abbiamo studiato le seguenti regole:

• Per trovare il termine sconosciuto è necessario sottrarre il termine noto dalla somma;
• Per trovare il minuendo sconosciuto bisogna aggiungere il sottraendo alla differenza;
• Per trovare il sottraendo sconosciuto, devi sottrarre la differenza dal minuendo;
• Per trovare un moltiplicando sconosciuto è necessario dividere il prodotto per il fattore;
• Per trovare un'incognita è necessario dividere il prodotto per il moltiplicando;
• Per trovare un dividendo sconosciuto, devi moltiplicare il quoziente per il divisore;
• Per trovare un divisore sconosciuto, devi dividere il dividendo per il quoziente.

Componenti

Chiameremo componenti i numeri e le variabili incluse nell'uguaglianza

Quindi, i componenti dell'addizione sono termini E somma

I componenti di sottrazione sono minuendo, sottraendo E differenza

Le componenti della moltiplicazione sono moltiplicando, fattore E lavoro

Le componenti della divisione sono il dividendo, il divisore e il quoziente.

A seconda dei componenti con cui abbiamo a che fare, verranno applicate le regole corrispondenti per la ricerca di incognite. Abbiamo studiato queste regole nell'argomento precedente. Quando si risolvono le equazioni, è consigliabile conoscere queste regole a memoria.

Esempio 1. Trova la radice dell'equazione 45+ X = 60

45 - termine, X- termine sconosciuto, 60 - somma. Abbiamo a che fare con le componenti dell'addizione. Ricordiamo che per trovare il termine sconosciuto è necessario sottrarre il termine noto dalla somma:

X = 60 − 45

Calcoliamo il lato destro e otteniamo il valore X pari a 15

X = 15

Quindi la radice dell'equazione è 45+ X= 60 è uguale a 15.

Molto spesso, un termine sconosciuto deve essere ridotto a una forma in cui possa essere espresso.

Esempio 2. Risolvi l'equazione

Qui, a differenza dell'esempio precedente, il termine sconosciuto non può essere espresso immediatamente, poiché contiene un coefficiente pari a 2. Il nostro compito è portare questa equazione in una forma in cui possa essere espressa X

IN in questo esempio Abbiamo a che fare con le componenti dell'addizione: i termini e la somma. 2 Xè il primo termine, 4 è il secondo termine, 8 è la somma.

In questo caso, termine 2 X contiene una variabile X. Dopo aver trovato il valore della variabile X termine 2 X avrà un aspetto diverso. Pertanto il termine 2 X può essere preso completamente come un termine sconosciuto:

Ora applichiamo la regola per trovare il termine sconosciuto. Sottrai il termine noto dalla somma:

Calcoliamo il lato destro dell'equazione risultante:

Abbiamo una nuova equazione. Ora abbiamo a che fare con le componenti della moltiplicazione: il moltiplicando, il moltiplicatore e il prodotto. 2 - moltiplicando, X- moltiplicatore, 4 - prodotto

In questo caso, la variabile X non è solo un moltiplicatore, ma un moltiplicatore sconosciuto

Per trovare questa incognita è necessario dividere il prodotto per il moltiplicando:

Calcoliamo il lato destro e otteniamo il valore della variabile X

Per verificare, invia la radice trovata all'equazione originale e sostituisci X

Esempio 3. Risolvi l'equazione 3X+ 9X+ 16X= 56

Esprimi immediatamente l'ignoto Xè vietato. Per prima cosa devi portare questa equazione in una forma in cui possa essere espressa.

Presentiamo sul lato sinistro di questa equazione:

Abbiamo a che fare con le componenti della moltiplicazione. 28 - moltiplicando, X- moltiplicatore, 56 - prodotto. In cui Xè un fattore sconosciuto. Per trovare un'incognita è necessario dividere il prodotto per il moltiplicando:

Da qui X equivale a 2

Equazioni equivalenti

Nell'esempio precedente, quando si risolve l'equazione 3X + 9X + 16X = 56 , abbiamo fornito termini simili sul lato sinistro dell'equazione. Di conseguenza, abbiamo ottenuto una nuova equazione 28 X= 56. Vecchia equazione 3X + 9X + 16X = 56 e la nuova equazione risultante 28 X= 56 viene chiamato equazioni equivalenti, poiché le loro radici coincidono.

Le equazioni si dicono equivalenti se le loro radici coincidono.

Controlliamolo. Per l'equazione 3X+ 9X+ 16X= 56 abbiamo trovato la radice uguale a 2. Sostituiamo prima questa radice nell'equazione 3X+ 9X+ 16X= 56 , e poi nell'equazione 28 X= 56, che è stato ottenuto portando termini simili sul lato sinistro dell'equazione precedente. Dobbiamo ottenere le uguaglianze numeriche corrette

Secondo l'ordine delle operazioni, la moltiplicazione viene eseguita per prima:

Sostituiamo la radice 2 nella seconda equazione 28 X= 56

Vediamo che entrambe le equazioni hanno le stesse radici. Quindi le equazioni 3X+ 9X+ 16X= 6 e 28 X= 56 sono effettivamente equivalenti.

Per risolvere l'equazione 3X+ 9X+ 16X= 56 Ne abbiamo usato uno: la riduzione di termini simili. La corretta trasformazione dell'identità dell'equazione ci ha permesso di ottenere l'equazione equivalente 28 X= 56, che è più facile da risolvere.

Da trasformazioni identiche a questo momento Sappiamo solo come ridurre le frazioni, aggiungere termini simili, togliere il fattore comune dalle parentesi e anche aprire le parentesi. Ci sono altre conversioni di cui dovresti essere a conoscenza. Ma per idea generale riguardo alle trasformazioni identiche di equazioni, gli argomenti che abbiamo studiato sono abbastanza sufficienti.

Consideriamo alcune trasformazioni che ci permettono di ottenere l'equazione equivalente

Se aggiungi lo stesso numero a entrambi i lati dell'equazione, ottieni un'equazione equivalente a quella data.

e allo stesso modo:

Se sottrai lo stesso numero da entrambi i membri di un'equazione, ottieni un'equazione equivalente a quella data.

In altre parole, la radice dell'equazione non cambierà se lo stesso numero viene aggiunto (o sottratto da entrambi i membri) allo stesso numero.

Esempio 1. Risolvi l'equazione

Sottrai 10 da entrambi i lati dell'equazione

Abbiamo l'equazione 5 X= 10. Abbiamo a che fare con le componenti della moltiplicazione. Per trovare un'incognita X, devi dividere il prodotto 10 per il noto fattore 5.

e sostituire X valore trovato 2

Abbiamo ottenuto l'uguaglianza numerica corretta. Ciò significa che l'equazione è risolta correttamente.

Risolvere l'equazione abbiamo sottratto il numero 10 da entrambi i lati dell'equazione. Di conseguenza, abbiamo ottenuto un'equazione equivalente. La radice di questa equazione, come l'equazione è anche uguale a 2

Esempio 2. Risolvi l'equazione 4( X+ 3) = 16

Sottrai il numero 12 da entrambi i lati dell'equazione

Ne rimarranno 4 sul lato sinistro X, e sul lato destro il numero 4

Abbiamo l'equazione 4 X= 4. Abbiamo a che fare con le componenti della moltiplicazione. Per trovare un'incognita X, devi dividere il prodotto 4 per il fattore noto 4

Torniamo all'equazione originale 4( X+ 3) = 16 e sostituisci X trovato valore 1

Abbiamo ottenuto l'uguaglianza numerica corretta. Ciò significa che l'equazione è risolta correttamente.

Risolvere l'equazione 4( X+ 3) = 16 abbiamo sottratto il numero 12 da entrambi i lati dell'equazione. Di conseguenza, abbiamo ottenuto l'equazione equivalente 4 X= 4. La radice di questa equazione, come l'equazione 4( X+ 3) = 16 è anche uguale a 1

Esempio 3. Risolvi l'equazione

Espandiamo le parentesi sul lato sinistro dell'uguaglianza:

Aggiungi il numero 8 a entrambi i lati dell'equazione

Presentiamo termini simili su entrambi i lati dell'equazione:

Ne rimarranno 2 sul lato sinistro X, e sul lato destro il numero 9

Nell'equazione risultante 2 X= 9 esprimiamo il termine sconosciuto X

Torniamo all'equazione originale e sostituire X trovato valore 4.5

Abbiamo ottenuto l'uguaglianza numerica corretta. Ciò significa che l'equazione è risolta correttamente.

Risolvere l'equazione abbiamo aggiunto il numero 8 a entrambi i lati dell'equazione, di conseguenza, abbiamo ottenuto un'equazione equivalente. La radice di questa equazione, come l'equazione pari anch'esso a 4,5

La regola successiva che ci permette di ottenere un'equazione equivalente è la seguente

Se sposti un termine di un'equazione da una parte all'altra, cambiandone il segno, otterrai un'equazione equivalente a quella data.

Cioè, la radice dell'equazione non cambierà se spostiamo un termine da una parte all'altra dell'equazione, cambiandone il segno. Questa proprietà è una delle più importanti e una di quelle spesso utilizzate quando si risolvono le equazioni.

Considera la seguente equazione:

La radice di questa equazione è uguale a 2. Sostituiamo X questa radice e controlla se l'uguaglianza numerica è corretta

Il risultato è un'uguaglianza corretta. Ciò significa che il numero 2 è effettivamente la radice dell'equazione.

Proviamo ora a sperimentare i termini di questa equazione, spostandoli da una parte all'altra, cambiandone i segni.

Ad esempio, il termine 3 X si trova sul lato sinistro dell'equazione. Spostiamolo sul lato destro, cambiando il segno al contrario:

Il risultato è un'equazione 12 = 9X − 3X . sul lato destro di questa equazione:

Xè un fattore sconosciuto. Troviamo questo fattore ben noto:

Da qui X= 2. Come puoi vedere, la radice dell'equazione non è cambiata. Quindi le equazioni sono 12 + 3 X = 9X E 12 = 9X − 3X sono equivalenti.

In realtà, questa trasformazione è un metodo semplificato della trasformazione precedente, in cui lo stesso numero veniva aggiunto (o sottratto) ad entrambi i membri dell'equazione.

Lo abbiamo detto nell'equazione 12 + 3 X = 9X termine 3 Xè stato spostato a destra, cambiando segno. In realtà è successo quanto segue: il termine 3 è stato sottratto da entrambi i lati dell'equazione X

Successivamente sono stati forniti termini simili sul lato sinistro e si è ottenuta l'equazione 12 = 9X − 3X. Quindi furono nuovamente forniti termini simili, ma sul lato destro, e fu ottenuta l'equazione 12 = 6 X.

Ma per tali equazioni è più conveniente la cosiddetta “traduzione”, motivo per cui è diventata così diffusa. Quando risolviamo le equazioni, utilizzeremo spesso questa particolare trasformazione.

Anche le equazioni 12+3 sono equivalenti X= 9X E 3x− 9X= −12 . Questa volta l'equazione è 12 + 3 X= 9X il termine 12 è stato spostato a destra e il termine 9 X A sinistra. Non dobbiamo dimenticare che i segni di questi termini sono stati modificati durante il trasferimento

La regola successiva che ci permette di ottenere un’equazione equivalente è la seguente:

Se entrambi i membri dell'equazione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero, diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

In altre parole, le radici di un'equazione non cambieranno se entrambi i membri vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero. Questa azione viene spesso utilizzata quando è necessario risolvere un'equazione contenente espressioni frazionarie.

Per prima cosa, diamo un'occhiata agli esempi in cui entrambi i lati dell'equazione verranno moltiplicati per lo stesso numero.

Esempio 1. Risolvi l'equazione

Quando si risolvono equazioni contenenti espressioni frazionarie, è consuetudine prima semplificare l'equazione.

In questo caso abbiamo a che fare proprio con una simile equazione. Per semplificare questa equazione, entrambi i membri possono essere moltiplicati per 8:

Ricordiamo che per , dobbiamo moltiplicare il numeratore di una data frazione per questo numero. Abbiamo due frazioni e ciascuna di esse viene moltiplicata per il numero 8. Il nostro compito è moltiplicare i numeratori delle frazioni per questo numero 8

Ora accade la parte interessante. I numeratori e i denominatori di entrambe le frazioni contengono un fattore 8, che può essere ridotto di 8. Questo ci permetterà di eliminare l'espressione frazionaria:

Di conseguenza, rimane l’equazione più semplice

Beh, non è difficile indovinare che la radice di questa equazione è 4

X trovato il valore 4

Il risultato è un'uguaglianza numerica corretta. Ciò significa che l'equazione è risolta correttamente.

Quando risolviamo questa equazione, abbiamo moltiplicato entrambi i lati per 8. Di conseguenza, abbiamo ottenuto l'equazione. La radice di questa equazione, come l'equazione, è 4. Ciò significa che queste equazioni sono equivalenti.

Il fattore per il quale vengono moltiplicati entrambi i lati dell'equazione viene solitamente scritto prima della parte dell'equazione e non dopo di essa. Quindi, risolvendo l'equazione, abbiamo moltiplicato entrambi i lati per un fattore 8 e abbiamo ottenuto la seguente voce:

Ciò non ha cambiato la radice dell'equazione, ma se l'avessimo fatto a scuola saremmo stati rimproverati, poiché in algebra è consuetudine scrivere un fattore prima dell'espressione con cui viene moltiplicato. Pertanto è consigliabile riscrivere la moltiplicazione di entrambi i membri dell'equazione per un fattore 8 come segue:

Esempio 2. Risolvi l'equazione

Sul lato sinistro i fattori 15 possono essere ridotti di 15, mentre sul lato destro i fattori 15 e 5 possono essere ridotti di 5

Apriamo le parentesi sul lato destro dell'equazione:

Spostiamo il termine X dal lato sinistro dell'equazione al lato destro, cambiando segno. E spostiamo il termine 15 dal lato destro dell'equazione al lato sinistro, cambiando nuovamente il segno:

Presentiamo termini simili in entrambe le parti, otteniamo

Abbiamo a che fare con le componenti della moltiplicazione. Variabile X

Torniamo all'equazione originale e sostituire X trovato il valore 5

Il risultato è un'uguaglianza numerica corretta. Ciò significa che l'equazione è risolta correttamente. Nel risolvere questa equazione, abbiamo moltiplicato entrambi i lati per 15. Eseguendo ulteriormente identiche trasformazioni, abbiamo ottenuto l'equazione 10 = 2 X. La radice di questa equazione, come l'equazione equivale a 5. Ciò significa che queste equazioni sono equivalenti.

Esempio 3. Risolvi l'equazione

Sul lato sinistro puoi ridurre due tre e il lato destro sarà uguale a 18

Resta l'equazione più semplice. Abbiamo a che fare con le componenti della moltiplicazione. Variabile Xè un fattore sconosciuto. Troviamo questo fattore ben noto:

Torniamo all'equazione originale e sostituiamo X trovato il valore 9

Il risultato è un'uguaglianza numerica corretta. Ciò significa che l'equazione è risolta correttamente.

Esempio 4. Risolvi l'equazione

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 6

Apriamo le parentesi sul lato sinistro dell'equazione. Sul lato destro, il fattore 6 può essere elevato al numeratore:

Riduciamo ciò che può essere ridotto su entrambi i lati delle equazioni:

Riscriviamo ciò che ci è rimasto:

Usiamo il trasferimento di termini. Termini contenenti l'ignoto X, raggruppiamo sul lato sinistro dell'equazione e i termini privi di incognite - sul lato destro:

Presentiamo termini simili in entrambe le parti:

Ora troviamo il valore della variabile X. Per fare ciò, dividi il prodotto 28 per il noto fattore 7

Da qui X= 4.

Torniamo all'equazione originale e sostituire X trovato il valore 4

Il risultato è un'equazione numerica corretta. Ciò significa che l'equazione è risolta correttamente.

Esempio 5. Risolvi l'equazione

Apriamo le parentesi su entrambi i lati dell'equazione ove possibile:

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 15

Apriamo le parentesi su entrambi i lati dell'equazione:

Riduciamo ciò che può essere ridotto su entrambi i lati dell'equazione:

Riscriviamo ciò che ci è rimasto:

Espandiamo le parentesi dove possibile:

Usiamo il trasferimento di termini. Raggruppiamo i termini contenenti l'incognita sul lato sinistro dell'equazione e i termini privi di incognite sul lato destro. Non dimenticare che durante il trasferimento i termini cambiano segno in senso opposto:

Presentiamo termini simili su entrambi i lati dell'equazione:

Troviamo il valore X

La risposta risultante può essere divisa in una parte intera:

Torniamo all'equazione originale e sostituiamo X trovato valore

Risulta essere un'espressione piuttosto macchinosa. Usiamo le variabili. Mettiamo il lato sinistro dell'uguaglianza in una variabile UN e il lato destro dell'uguaglianza in una variabile B

Il nostro compito è assicurarci che il lato sinistro sia uguale a quello destro. In altre parole, dimostrare l’uguaglianza A = B

Troviamo il valore dell'espressione nella variabile A.

Valore variabile UN equivale . Ora troviamo il valore della variabile B. Cioè, il valore del lato destro della nostra uguaglianza. Se anche questo è uguale, l'equazione verrà risolta correttamente

Vediamo che il valore della variabile B, così come il valore della variabile A è . Ciò significa che il lato sinistro è uguale al lato destro. Da ciò concludiamo che l’equazione è risolta correttamente.

Ora proviamo a non moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per lo stesso numero, ma a dividere.

Considera l'equazione 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 . Risolviamolo usando il solito metodo: raggruppiamo i termini contenenti incognite sul lato sinistro dell'equazione e i termini privi di incognite sul lato destro. Successivamente, eseguendo le trasformazioni di identità note, troviamo il valore X

Sostituiamo invece il valore trovato 2 X nell'equazione originale:

Ora proviamo a separare tutti i termini dell'equazione 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 da un certo numero Notiamo che tutti i termini di questa equazione hanno un fattore comune di 2. Dividiamo ogni termine per esso:

Eseguiamo una riduzione in ciascun termine:

Riscriviamo ciò che ci è rimasto:

Risolviamo questa equazione utilizzando le ben note trasformazioni di identità:

Abbiamo la radice 2. Quindi le equazioni 15X+ 7X+ 7 = 35x− 20X+ 21 E 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 sono equivalenti.

Dividendo entrambi i membri dell'equazione per lo stesso numero puoi rimuovere l'incognita dal coefficiente. Nell'esempio precedente quando abbiamo ottenuto l'equazione 7 X= 14, bisognava dividere il prodotto 14 per il fattore noto 7. Ma se avessimo liberato l'incognita dal fattore 7 a sinistra, la radice sarebbe stata trovata immediatamente. Per fare questo è sufficiente dividere entrambi i lati per 7

Utilizzeremo spesso anche questo metodo.

Moltiplicazione per meno uno

Se entrambi i lati dell'equazione vengono moltiplicati per meno uno, ottieni un'equazione equivalente a questa.

Questa regola deriva dal fatto che moltiplicare (o dividere) entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero non cambia la radice dell'equazione data. Ciò significa che la radice non cambierà se entrambe le sue parti vengono moltiplicate per −1.

Questa regola ti consente di cambiare i segni di tutti i componenti inclusi nell'equazione. Cosa serve? Ancora una volta, per ottenere un'equazione equivalente che sia più facile da risolvere.

Considera l'equazione. Qual è la radice di questa equazione?

Aggiungi il numero 5 a entrambi i lati dell'equazione

Diamo un'occhiata a termini simili:

Ora ricordiamolo. Qual è il lato sinistro dell'equazione? Questo è il prodotto di meno uno e una variabile X

Cioè, il segno meno davanti alla variabile X non si riferisce alla variabile stessa X, ma a uno, che non vediamo, poiché il coefficiente 1 solitamente non viene scritto. Ciò significa che l'equazione in realtà assomiglia a questa:

Abbiamo a che fare con le componenti della moltiplicazione. Trovare X, devi dividere il prodotto −5 per il fattore noto −1.

oppure dividere entrambi i membri dell'equazione per −1, il che è ancora più semplice

Quindi la radice dell'equazione è 5. Per verificare, sostituiamolo nell'equazione originale. Non dimenticare che nell'equazione originale il meno è davanti alla variabile X si riferisce a un'unità invisibile

Il risultato è un'equazione numerica corretta. Ciò significa che l'equazione è risolta correttamente.

Ora proviamo a moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per meno uno:

Dopo aver aperto le parentesi, l'espressione si formerà sul lato sinistro e il lato destro sarà uguale a 10

La radice di questa equazione, come l'equazione, è 5

Ciò significa che le equazioni sono equivalenti.

Esempio 2. Risolvi l'equazione

In questa equazione, tutti i componenti sono negativi. È più conveniente lavorare con le componenti positive che con quelle negative, quindi cambiamo il segno di tutte le componenti incluse nell’equazione. Per fare ciò, moltiplica entrambi i lati di questa equazione per −1.

È chiaro che moltiplicato per −1, qualsiasi numero cambierà segno nel contrario. Pertanto, la procedura di moltiplicazione per −1 e di apertura delle parentesi non viene descritta in dettaglio, ma vengono immediatamente scritte le componenti dell'equazione con segno opposto.

Pertanto, moltiplicando un'equazione per −1 può essere scritta in dettaglio come segue:

oppure puoi semplicemente cambiare i segni di tutti i componenti:

Il risultato sarà lo stesso, ma la differenza sarà che risparmieremo tempo.

Quindi, moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per −1, otteniamo l'equazione. Risolviamo questa equazione. Sottrai 4 da entrambi i lati e dividi entrambi i lati per 3

Quando viene trovata la radice, la variabile viene solitamente scritta sul lato sinistro e il suo valore su quello destro, che è ciò che abbiamo fatto.

Esempio 3. Risolvi l'equazione

Moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione per −1. Quindi tutti i componenti cambieranno i loro segni in opposti:

Sottrai 2 da entrambi i membri dell'equazione risultante X e fornire termini simili:

Aggiungiamo uno a entrambi i lati dell'equazione e diamo termini simili:

Pari a zero

Recentemente abbiamo appreso che se spostiamo un termine di un'equazione da una parte all'altra, cambiandone il segno, otterremo un'equazione equivalente a quella data.

Cosa succede se si sposta da una parte all'altra non solo un termine, ma tutti i termini? Esatto, nella parte in cui sono stati tolti tutti i termini ne rimarranno zero. In altre parole, non rimarrà nulla.

Ad esempio, considera l'equazione. Risolviamo questa equazione come al solito: raggrupperemo i termini contenenti incognite in una parte e lasceremo i termini numerici privi di incognite nell'altra. Successivamente, eseguendo le trasformazioni di identità note, troviamo il valore della variabile X

Ora proviamo a risolvere la stessa equazione uguagliando a zero tutte le sue componenti. Per fare ciò spostiamo tutti i termini dal lato destro a quello sinistro, cambiando i segni:

Presentiamo termini simili sul lato sinistro:

Aggiungi 77 a entrambi i lati e dividi entrambi i lati per 7

Un'alternativa alle regole per la ricerca di incognite

Ovviamente, conoscendo trasformazioni identiche di equazioni, non è necessario memorizzare le regole per trovare le incognite.

Ad esempio, per trovare l'incognita in un'equazione, abbiamo diviso il prodotto 10 per il fattore noto 2

Ma se dividi entrambi i membri dell'equazione per 2, la radice verrà trovata immediatamente. Sul lato sinistro dell'equazione al numeratore il fattore 2 e al denominatore il fattore 2 sarà ridotto di 2. E il lato destro sarà uguale a 5

Abbiamo risolto le equazioni della forma esprimendo il termine incognito:

Ma puoi utilizzare le identiche trasformazioni che abbiamo studiato oggi. Nell'equazione, il termine 4 può essere spostato a destra cambiando il segno:

Sul lato sinistro dell'equazione, due due si annulleranno. Il lato destro sarà uguale a 2. Quindi .

Oppure potresti sottrarre 4 da entrambi i lati dell'equazione. Quindi otterresti quanto segue:

Nel caso delle equazioni della forma è più conveniente dividere il prodotto per un fattore noto. Confrontiamo entrambe le soluzioni:

La prima soluzione è molto più breve e più ordinata. La seconda soluzione può essere notevolmente abbreviata se fai la divisione nella tua testa.

È necessario però conoscere entrambi i metodi e solo successivamente utilizzare quello che si preferisce.

Quando ci sono più radici

Un'equazione può avere più radici. Ad esempio l'equazione X(x+ 9) = 0 ha due radici: 0 e −9.

Nell'eq. X(x+ 9) = 0 era necessario trovare tale valore X in cui il lato sinistro sarebbe uguale a zero. Il lato sinistro di questa equazione contiene le espressioni X E (x+9), che sono fattori. Dalle leggi del prodotto sappiamo che un prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero (o il primo fattore o il secondo).

Cioè, nell'Eq. X(x+ 9) = 0 l'uguaglianza sarà raggiunta se X sarà uguale a zero o (x+9) sarà uguale a zero.

X= 0 o X + 9 = 0

Impostando entrambe queste espressioni a zero, possiamo trovare le radici dell'equazione X(x+ 9) = 0 . La prima radice, come si vede dall'esempio, è stata trovata subito. Per trovare la radice seconda è necessario risolvere l'equazione elementare X+9 = 0. È facile intuire che la radice di questa equazione è −9. Il controllo mostra che la radice è corretta:

−9 + 9 = 0

Esempio 2. Risolvi l'equazione

Questa equazione ha due radici: 1 e 2. Il lato sinistro dell'equazione è il prodotto delle espressioni ( X− 1) e ( X−2) . E il prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero (o il fattore ( X− 1) o fattore ( X − 2) ).

Troviamo qualcosa del genere X sotto il quale le espressioni ( X− 1) o ( X− 2) diventa zero:

Sostituiamo uno per uno i valori trovati nell'equazione originale e assicuriamoci che per questi valori il lato sinistro sia uguale a zero:

Quando ci sono infinite radici

Un’equazione può avere infinite radici. Cioè, sostituendo qualsiasi numero in tale equazione, otteniamo l'uguaglianza numerica corretta.

Esempio 1. Risolvi l'equazione

La radice di questa equazione è un numero qualsiasi. Se apri le parentesi sul lato sinistro dell'equazione e aggiungi termini simili, otterrai l'uguaglianza 14 = 14. Questa uguaglianza sarà ottenuta per qualsiasi X

Esempio 2. Risolvi l'equazione

La radice di questa equazione è un numero qualsiasi. Se apri le parentesi sul lato sinistro dell'equazione, ottieni l'uguaglianza 10X + 12 = 10X + 12. Questa uguaglianza sarà ottenuta per qualsiasi X

Quando non ci sono radici

Succede anche che l'equazione non abbia affatto soluzioni, cioè non abbia radici. Ad esempio, l'equazione non ha radici, poiché per qualsiasi valore X, il lato sinistro dell'equazione non sarà uguale al lato destro. Ad esempio, lasciamo . Quindi l'equazione assumerà la seguente forma

Esempio 2. Risolvi l'equazione

Espandiamo le parentesi sul lato sinistro dell'uguaglianza:

Diamo un'occhiata a termini simili:

Vediamo che il lato sinistro non è uguale al lato destro. E questo sarà il caso per qualsiasi valore. sì. Ad esempio, lasciamo sì = 3 .

Equazioni di lettere

Un'equazione può contenere non solo numeri con variabili, ma anche lettere.

Ad esempio, la formula per trovare la velocità è un'equazione letterale:

Questa equazione descrive la velocità di un corpo durante il moto uniformemente accelerato.

Un'abilità utile è la capacità di esprimere qualsiasi componente incluso in un'equazione di lettere. Ad esempio, per determinare la distanza da un'equazione, è necessario esprimere la variabile S .

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per T

Variabili sul lato destro T tagliamola T

Nell'equazione risultante, invertiamo i lati sinistro e destro:

Ora abbiamo la formula per trovare la distanza che abbiamo studiato in precedenza.

Proviamo a determinare il tempo dall'equazione. Per fare ciò è necessario esprimere la variabile T .

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per T

Variabili sul lato destro T tagliamola T e riscriviamo ciò che ci resta:

Nell'equazione risultante v×t = s dividere entrambe le parti in v

Variabili a sinistra v tagliamola v e riscriviamo ciò che ci resta:

Abbiamo la formula per determinare il tempo, che abbiamo studiato in precedenza.

Supponiamo che la velocità del treno sia 50 km/h

v= 50 chilometri all'ora

E la distanza è di 100 km

S= 100 km

Quindi la lettera assumerà la seguente forma

Il tempo può essere trovato da questa equazione. Per fare questo è necessario essere in grado di esprimere la variabile T. Puoi utilizzare la regola per trovare un divisore sconosciuto dividendo il dividendo per il quoziente e determinando così il valore della variabile T

oppure puoi utilizzare trasformazioni identiche. Per prima cosa moltiplica entrambi i lati dell'equazione per T

Poi dividi entrambi i lati per 50

Esempio 2 X

Sottrai da entrambi i lati dell'equazione UN

Dividiamo entrambi i lati dell'equazione per B

a + bx = c, allora avremo una soluzione già pronta. Sarà sufficiente sostituirlo con i valori richiesti. Quei valori che verranno sostituiti alle lettere a, b, c solitamente chiamato parametri. Ed equazioni della forma a + bx = c chiamato equazione con parametri. A seconda dei parametri, la radice cambierà.

Risolviamo l'equazione 2+4 X= 10. Sembra un'equazione di lettere a + bx = c. Invece di eseguire trasformazioni identiche, possiamo utilizzare una soluzione già pronta. Confrontiamo entrambe le soluzioni:

Vediamo che la seconda soluzione è molto più semplice e più breve.

Per una soluzione già pronta, è necessario fare una piccola osservazione. Parametro B non deve essere uguale a zero (b ≠ 0), poiché è consentita la divisione per zero per.

Esempio 3. Viene data un'equazione letterale. Esprimere da questa equazione X

Apriamo le parentesi su entrambi i lati dell'equazione

Usiamo il trasferimento di termini. Parametri contenenti una variabile X, raggruppiamo sul lato sinistro dell'equazione e i parametri liberi da questa variabile - sul lato destro.

Sul lato sinistro togliamo il fattore tra parentesi X

Dividiamo entrambi i membri per l'espressione un - b

Sul lato sinistro, il numeratore e il denominatore possono essere ridotti di un - b. Ecco come viene finalmente espressa la variabile X

Ora, se ci imbattiamo in un'equazione della forma a(x − c) = b(x + d), allora avremo una soluzione già pronta. Sarà sufficiente sostituirlo con i valori richiesti.

Supponiamo che ci venga data un'equazione 4(x− 3) = 2(X+ 4) . Sembra un'equazione a(x − c) = b(x + d). Risolviamolo in due modi: utilizzando trasformazioni identiche e utilizzando una soluzione già pronta:

Per comodità, eliminiamolo dall'equazione 4(x− 3) = 2(X+ 4) valori dei parametri UN, B, C, D . Questo ci permetterà di non commettere errori nel sostituire:

Come nell'esempio precedente, il denominatore qui non dovrebbe essere uguale a zero ( un - b ≠ 0). Se incontriamo un'equazione della forma a(x − c) = b(x + d) in cui i parametri UN E B sarà lo stesso, possiamo dire senza risolverlo che questa equazione non ha radici, poiché la differenza tra numeri identici è zero.

Ad esempio, l'equazione 2(x − 3) = 2(x + 4)è un'equazione della forma a(x − c) = b(x + d). Nell'eq. 2(x − 3) = 2(x + 4) opzioni UN E B lo stesso. Se iniziamo a risolverlo, arriveremo alla conclusione che il lato sinistro non sarà uguale al lato destro:

Esempio 4. Viene data un'equazione letterale. Esprimere da questa equazione X

Portiamo il lato sinistro dell'equazione a un denominatore comune:

Moltiplica entrambi i lati per UN

Sul lato sinistro X mettiamolo fuori parentesi

Dividere entrambi i membri per l'espressione (1 − UN)

Equazioni lineari ad una incognita

Le equazioni discusse in questa lezione si chiamano equazioni lineari di primo grado ad una incognita.

Se l'equazione è data di primo grado, non contiene la divisione per l'ignoto e non contiene radici dell'ignoto, allora può essere chiamata lineare. Non abbiamo ancora studiato poteri e radici, quindi per non complicarci la vita, intendiamo la parola “lineare” come “semplice”.

La maggior parte delle equazioni risolte in questa lezione alla fine si riducono a una semplice equazione in cui dovevi dividere il prodotto per un fattore noto. Ad esempio, questa è l'equazione 2( X+ 3) = 16 . Risolviamolo.

Apriamo le parentesi sul lato sinistro dell'equazione, otteniamo 2 X+ 6 = 16. Spostiamo il termine 6 a destra, cambiando segno. Quindi ne otteniamo 2 X= 16 − 6. Calcola il lato destro, otteniamo 2 X= 10. Per trovare X, dividi il prodotto 10 per il fattore noto 2. Quindi X = 5.

Equazione 2( X+ 3) = 16 è lineare. Si tratta dell'equazione 2 X= 10, per trovare la radice del quale era necessario dividere il prodotto per un fattore noto. Questa equazione più semplice si chiama equazione lineare di primo grado ad una incognita in forma canonica. La parola "canonico" è sinonimo delle parole "semplice" o "normale".

Un'equazione lineare di primo grado con un'incognita in forma canonica è detta equazione della forma ascia = b.

La nostra equazione risultante 2 X= 10 è un'equazione lineare di primo grado con un'incognita in forma canonica. Questa equazione ha il primo grado, un'incognita, non contiene divisione per l'incognita e non contiene radici dell'incognita, e si presenta in forma canonica, cioè nella forma più semplice in cui il valore può essere facilmente determinato X. Al posto dei parametri UN E B la nostra equazione contiene i numeri 2 e 10. Ma tale equazione può contenere anche altri numeri: positivi, negativi o uguali a zero.

Se in un'equazione lineare UN= 0 e B= 0, allora l'equazione ha infinite radici. Infatti, se UN uguale a zero e Bè uguale a zero, quindi l'equazione lineare ascia= B assumerà la forma 0 X= 0. Per qualsiasi valore X il lato sinistro sarà uguale al lato destro.

Se in un'equazione lineare UN= 0 e B≠ 0, allora l'equazione non ha radici. Infatti, se UN uguale a zero e Bè uguale a un numero diverso da zero, ad esempio il numero 5, quindi l'equazione ascia = b assumerà la forma 0 X= 5. Il lato sinistro sarà zero e il lato destro sarà cinque. E zero non è uguale a cinque.

Se in un'equazione lineare UN≠ 0 e Bè uguale a qualsiasi numero, l'equazione ha una radice. Si determina dividendo il parametro B per parametro UN

Infatti, se UN uguale a un numero diverso da zero, diciamo il numero 3, e B uguale a un numero, ad esempio il numero 6, l'equazione assumerà la forma .
Da qui.

Esiste un altro modo per scrivere un'equazione lineare di primo grado con un'incognita. Sembra questo: ascia−b= 0. Questa è la stessa equazione di ascia = b

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Equazioni

Come risolvere le equazioni?

In questa sezione ricorderemo (o studieremo, a seconda di chi scegli) le equazioni più elementari. Allora qual è l'equazione? Nel linguaggio umano, questa è una sorta di espressione matematica in cui sono presenti un segno uguale e un'incognita. Che di solito è indicato con la lettera "X". Risolvi l'equazione- si tratta di trovare tali valori di x che, quando sostituiti in originale l'espressione ci darà l'identità corretta. Permettetemi di ricordarvi che l'identità è un'espressione fuori dubbio anche per una persona che non è assolutamente gravata di conoscenze matematiche. Come 2=2, 0=0, ab=ab, ecc. Allora come risolvere le equazioni? Scopriamolo.

Ci sono tutti i tipi di equazioni (sono sorpreso, vero?). Ma tutta la loro infinita varietà può essere divisa in soli quattro tipi.

4. Altro.)

Tutto il resto, ovviamente, soprattutto sì...) Ciò include cubico, esponenziale, logaritmico, trigonometrico e ogni genere di altro. Lavoreremo a stretto contatto con loro nelle sezioni appropriate.

Dirò subito che a volte le equazioni del primo tre tipi ti inganneranno così tanto che non li riconoscerai nemmeno... Niente. Impareremo come svolgerli.

E perché abbiamo bisogno di questi quattro tipi? E poi cosa equazioni lineari risolto in un modo piazza altri, razionali frazionari - terzo, UN riposo Non osano affatto! Beh, non è che non riescano affatto a decidere, è che mi sbagliavo con la matematica.) È solo che hanno le loro tecniche e i loro metodi speciali.

Ma per qualsiasi (ripeto - per Qualunque!) le equazioni forniscono una base affidabile e sicura per la risoluzione. Funziona ovunque e sempre. Questa fondazione - Sembra spaventoso, ma è molto semplice. E molto (Molto!) importante.

In realtà, la soluzione dell'equazione consiste proprio in queste trasformazioni. 99% Rispondi alla domanda: " Come risolvere le equazioni?" sta proprio in queste trasformazioni. È chiaro il suggerimento?)

Trasformazioni identiche di equazioni.

IN eventuali equazioni Per trovare l'ignoto, è necessario trasformare e semplificare l'esempio originale. E così quando si cambia aspetto l'essenza dell'equazione non è cambiata. Tali trasformazioni sono chiamate identico o equivalente.

Tieni presente che si applicano queste trasformazioni specificatamente alle equazioni. Ci sono anche trasformazioni di identità in matematica espressioni. Questo è un altro argomento.

Ora ripeteremo tutto, tutto, tutto di base trasformazioni identiche di equazioni.

Fondamentali perché applicabili Qualunque equazioni: lineari, quadratiche, frazionarie, trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, ecc. e così via.

Prima trasformazione dell'identità: puoi aggiungere (sottrarre) a entrambi i lati di qualsiasi equazione Qualunque(ma lo stesso!) numero o espressione (inclusa un'espressione con un'incognita!). Ciò non cambia l’essenza dell’equazione.

A proposito, hai utilizzato costantemente questa trasformazione, pensavi solo di trasferire alcuni termini da una parte all'altra dell'equazione con un cambio di segno. Tipo:

Il caso è familiare, spostiamo i due a destra e otteniamo:

In realtà tu portato via da entrambi i lati dell'equazione è due. Il risultato è lo stesso:

x+2 - 2 = 3 - 2

Lo spostamento dei termini a sinistra e a destra con un cambio di segno è semplicemente una versione abbreviata della prima trasformazione dell'identità. E perché ne abbiamo bisogno profonda conoscenza? - tu chiedi. Niente nelle equazioni. Per l'amor di Dio, sopportalo. Basta non dimenticare di cambiare il segno. Ma nelle disuguaglianze, l’abitudine al transfert può portare a un vicolo cieco...

Seconda trasformazione dell'identità: entrambi i lati dell'equazione possono essere moltiplicati (divisi) per la stessa cosa diverso da zero numero o espressione. Qui appare già una limitazione comprensibile: moltiplicare per zero è stupido e dividere è completamente impossibile. Questa è la trasformazione che usi quando risolvi qualcosa di interessante come

È chiaro X= 2. Come l'hai trovato? Per selezione? O ti è venuto in mente solo adesso? Per non selezionare e non aspettare l'intuizione, devi capire che sei giusto diviso entrambi i lati dell'equazione per 5. Quando si divideva il lato sinistro (5x), il cinque veniva ridotto, lasciando X puro. Che è esattamente ciò di cui avevamo bisogno. E dividendo il lato destro di (10) per cinque, otteniamo due.

È tutto.

È divertente, ma queste due (solo due!) trasformazioni identiche sono la base della soluzione tutte le equazioni della matematica. Oh! Ha senso guardare esempi di cosa e come, giusto?)

Esempi di trasformazioni identiche di equazioni. Principali problemi.

Iniziamo con Primo trasformazione dell'identità. Trasferimento da sinistra a destra.

Un esempio per i più piccoli.)

Diciamo che dobbiamo risolvere la seguente equazione:

3-2x=5-3x

Ricordiamo l'incantesimo: "con X - a sinistra, senza X - a destra!" Questo incantesimo contiene le istruzioni per utilizzare la prima trasformazione dell'identità.) Qual è l'espressione con una X a destra? 3x? La risposta non è corretta! Alla nostra destra - 3x! Meno tre x! Pertanto, quando ci si sposta a sinistra, il segno cambierà in più. Risulterà:

3-2x+3x=5

Quindi, le X sono state raccolte in una pila. Entriamo nei numeri. C'è un tre a sinistra. Con quale segno? La risposta “con nessuno” non è accettata!) Davanti ai tre, infatti, non viene disegnato nulla. E questo vuol dire che prima del tre c'è più. Quindi i matematici furono d'accordo. Non c'è scritto nulla, il che significa più. Pertanto, la tripla verrà trasferita sul lato destro con un segno meno. Noi abbiamo:

-2x+3x=5-3

Sono rimaste solo sciocchezze. A sinistra - portane di simili, a destra - conta. La risposta arriva subito:

In questo esempio è stata sufficiente una trasformazione dell'identità. Il secondo non ce n'era bisogno. Allora ok.)

Un esempio per i bambini più grandi.)

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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Questa lezione discute in dettaglio la procedura per l'esecuzione operazioni aritmetiche nelle espressioni senza e con parentesi. Agli studenti viene data l'opportunità, durante il completamento dei compiti, di determinare se il significato delle espressioni dipende dall'ordine in cui vengono eseguite le operazioni aritmetiche, di scoprire se l'ordine delle operazioni aritmetiche è diverso nelle espressioni senza parentesi e con parentesi, di esercitarsi nell'applicazione la regola appresa, per trovare e correggere gli errori commessi nel determinare l'ordine delle azioni.

Nella vita compiamo costantemente qualche tipo di azione: camminiamo, studiamo, leggiamo, scriviamo, contiamo, sorridiamo, litighiamo e facciamo la pace. Eseguiamo queste azioni in in ordine diverso. A volte possono essere scambiati, a volte no. Ad esempio, quando ti prepari per andare a scuola la mattina, puoi prima fare degli esercizi, poi rifare il letto o viceversa. Ma non puoi andare prima a scuola e poi vestirti.

In matematica è necessario eseguire le operazioni aritmetiche in un certo ordine?

Controlliamo

Confrontiamo le espressioni:
8-3+4 e 8-3+4

Vediamo che entrambe le espressioni sono esattamente le stesse.

Eseguiamo le azioni in un'espressione da sinistra a destra e nell'altra da destra a sinistra. È possibile utilizzare i numeri per indicare l'ordine delle azioni (Fig. 1).

Riso. 1. Procedura

Nella prima espressione eseguiremo prima l'operazione di sottrazione e poi aggiungeremo il numero 4 al risultato.

Nella seconda espressione, troviamo prima il valore della somma, quindi sottraiamo il risultato risultante 7 da 8.

Vediamo che i significati delle espressioni sono diversi.

Concludiamo: L'ordine in cui vengono eseguite le operazioni aritmetiche non può essere modificato.

Impariamo la regola per eseguire operazioni aritmetiche in espressioni senza parentesi.

Se un'espressione senza parentesi include solo addizione e sottrazione o solo moltiplicazione e divisione, le azioni vengono eseguite nell'ordine in cui sono scritte.

Facciamo un pò di pratica.

Considera l'espressione

Questa espressione contiene solo operazioni di addizione e sottrazione. Queste azioni sono chiamate azioni della prima fase.

Eseguiamo le azioni da sinistra a destra in ordine (Fig. 2).

Riso. 2. Procedura

Consideriamo la seconda espressione

Questa espressione contiene solo operazioni di moltiplicazione e divisione - Queste sono le azioni della seconda fase.

Eseguiamo le azioni da sinistra a destra in ordine (Fig. 3).

Riso. 3. Procedura

In quale ordine vengono eseguite le operazioni aritmetiche se l'espressione contiene non solo addizione e sottrazione, ma anche moltiplicazione e divisione?

Se un'espressione senza parentesi include non solo le operazioni di addizione e sottrazione, ma anche la moltiplicazione e la divisione, o entrambe queste operazioni, esegui prima in ordine (da sinistra a destra) la moltiplicazione e la divisione, quindi l'addizione e la sottrazione.

Diamo un'occhiata all'espressione.

Pensiamo così. Questa espressione contiene le operazioni di addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione. Agiamo secondo la regola. Innanzitutto, eseguiamo in ordine (da sinistra a destra) la moltiplicazione e la divisione, quindi l'addizione e la sottrazione. Organizziamo l'ordine delle azioni.

Calcoliamo il valore dell'espressione.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

In quale ordine vengono eseguite le operazioni aritmetiche se in un'espressione sono presenti parentesi?

Se un'espressione contiene parentesi, viene valutato per primo il valore delle espressioni tra parentesi.

Diamo un'occhiata all'espressione.

30 + 6 * (13 - 9)

Vediamo che in questa espressione c'è un'azione tra parentesi, il che significa che eseguiremo prima questa azione, poi la moltiplicazione e l'addizione in ordine. Organizziamo l'ordine delle azioni.

30 + 6 * (13 - 9)

Calcoliamo il valore dell'espressione.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Come ragionare per stabilire correttamente l'ordine delle operazioni aritmetiche in un'espressione numerica?

Prima di iniziare i calcoli, devi guardare l'espressione (scoprire se contiene parentesi, quali azioni contiene) e solo allora eseguire le azioni nel seguente ordine:

1. azioni scritte tra parentesi;

2. moltiplicazione e divisione;

3. addizione e sottrazione.

Il diagramma ti aiuterà a ricordare questa semplice regola (Fig. 4).

Riso. 4. Procedura

Facciamo un pò di pratica.

Consideriamo le espressioni, stabiliamo l'ordine delle azioni ed eseguiamo calcoli.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Agiremo secondo la regola. L'espressione 43 - (20 - 7) +15 contiene operazioni tra parentesi, nonché operazioni di addizione e sottrazione. Stabiliamo una procedura. La prima azione è eseguire l'operazione tra parentesi, quindi, in ordine da sinistra a destra, sottrazione e addizione.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

L'espressione 32 + 9 * (19 - 16) contiene operazioni tra parentesi, nonché operazioni di moltiplicazione e addizione. Secondo la regola, eseguiamo prima l'azione tra parentesi, quindi la moltiplicazione (moltiplicamo il numero 9 per il risultato ottenuto mediante sottrazione) e l'addizione.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Nell'espressione 2*9-18:3 non ci sono parentesi, ma ci sono operazioni di moltiplicazione, divisione e sottrazione. Agiamo secondo la regola. Innanzitutto, eseguiamo la moltiplicazione e la divisione da sinistra a destra, quindi sottraiamo il risultato ottenuto dalla divisione dal risultato ottenuto dalla moltiplicazione. Cioè la prima azione è la moltiplicazione, la seconda la divisione e la terza la sottrazione.

2*9-18:3=18-6=12

Scopriamo se l'ordine delle azioni nelle seguenti espressioni è definito correttamente.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Pensiamo così.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Non ci sono parentesi in questa espressione, il che significa che prima eseguiamo la moltiplicazione o la divisione da sinistra a destra, quindi l'addizione o la sottrazione. In questa espressione la prima azione è la divisione, la seconda la moltiplicazione. La terza azione dovrebbe essere l'addizione, la quarta la sottrazione. Conclusione: la procedura è determinata correttamente.

Troviamo il valore di questa espressione.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Continuiamo a parlare.

La seconda espressione contiene parentesi, il che significa che prima eseguiamo l'azione tra parentesi, poi, da sinistra a destra, la moltiplicazione o divisione, l'addizione o la sottrazione. Controlliamo: la prima azione è tra parentesi, la seconda è la divisione, la terza è l'addizione. Conclusione: la procedura è definita in modo errato. Correggiamo gli errori e troviamo il significato dell'espressione.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Questa espressione contiene anche parentesi, il che significa che prima eseguiamo l'azione tra parentesi, poi da sinistra a destra la moltiplicazione o divisione, addizione o sottrazione. Controlliamo: la prima azione è tra parentesi, la seconda è la moltiplicazione, la terza è la sottrazione. Conclusione: la procedura è definita in modo errato. Correggiamo gli errori e troviamo il significato dell'espressione.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Completiamo l'attività.

Organizziamo l'ordine delle azioni nell'espressione utilizzando la regola appresa (Fig. 5).

Riso. 5. Procedura

non possiamo vedere valori numerici, quindi non riusciremo a trovare il significato delle espressioni, ma ci eserciteremo applicando la regola appresa.

Agiamo secondo l'algoritmo.

La prima espressione contiene parentesi, il che significa che la prima azione è tra parentesi. Poi da sinistra a destra moltiplicazione e divisione, poi da sinistra a destra sottrazione e addizione.

Anche la seconda espressione contiene parentesi, il che significa che eseguiamo la prima azione tra parentesi. Successivamente, da sinistra a destra, moltiplicazione e divisione, quindi sottrazione.

Controlliamo noi stessi (Fig. 6).

Riso. 6. Procedura

Oggi in classe abbiamo imparato la regola per l'ordine delle azioni nelle espressioni senza e con parentesi.

Bibliografia

1. MI. Moreau, M.A. Bantova e altri. Matematica: libro di testo. 3a elementare: in 2 parti, parte 1. - M.: “Illuminismo”, 2012.
2. MI. Moreau, M.A. Bantova e altri. Matematica: libro di testo. 3a elementare: in 2 parti, parte 2. - M.: “Illuminismo”, 2012.
3. MI. Moro. Lezioni di matematica: Linee guida per l'insegnante. 3a elementare. - M.: Educazione, 2012.
4. Documento normativo. Monitoraggio e valutazione dei risultati dell'apprendimento. - M.: “Illuminismo”, 2011.
5. “Scuola di Russia”: programmi per la scuola primaria. - M.: “Illuminismo”, 2011.
6. S.I. Volkova. Matematica: Lavoro di prova. 3a elementare. - M.: Educazione, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Test. - M.: “Esame”, 2012.

1. Festival.1settembre.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Compiti a casa

1. Determinare l'ordine delle azioni in queste espressioni. Trova il significato delle espressioni.

2. Determinare in quale espressione viene eseguito questo ordine di azioni:

1. moltiplicazione; 2. divisione;. 3. addizione; 4. sottrazione; 5. aggiunta. Trova il significato di questa espressione.

3. Componi tre espressioni in cui viene eseguito il seguente ordine di azioni:

1. moltiplicazione; 2. addizione; 3. sottrazione

1. aggiunta; 2. sottrazione; 3. aggiunta

1. moltiplicazione; 2. divisione; 3. aggiunta

Trova il significato di queste espressioni.

Un'equazione è un'uguaglianza contenente una lettera il cui valore deve essere trovato.

Nelle equazioni, l'incognita è solitamente rappresentata da una lettera minuscola Lettera latina. Le lettere più comunemente usate sono “x” [ix] e “y” [y].

• Radice dell'equazione- questo è il valore della lettera in cui si ottiene l'uguaglianza numerica corretta dall'equazione.
• Risolvi l'equazione- significa trovare tutte le sue radici o assicurarsi che non ci siano radici.

Dopo aver risolto l'equazione, scriviamo sempre un assegno dopo la risposta.

Informazioni per i genitori

Cari genitori, attiriamo la vostra attenzione sul fatto che scuola elementare e in quinta elementare, i bambini NON conoscono l'argomento “Numeri negativi”.

Pertanto, devono risolvere equazioni utilizzando solo le proprietà di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Di seguito sono riportati i metodi per risolvere le equazioni per il grado 5.

Non cercare di spiegare la soluzione delle equazioni trasferendo numeri e lettere da una parte all'altra dell'equazione con un cambio di segno.

Puoi rispolverare i concetti relativi ad addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione nella lezione “Leggi dell'aritmetica”.

Risoluzione di equazioni di addizione e sottrazione

Come trovare l'ignoto
termine

Come trovare l'ignoto
minuendo

Come trovare l'ignoto
sottraendo

Per trovare il termine sconosciuto, è necessario sottrarre il termine noto dalla somma.

Per trovare il minuendo sconosciuto, devi aggiungere il sottraendo alla differenza.

Per trovare il sottraendo sconosciuto, devi sottrarre la differenza dal minuendo.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Visita medica

x−14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Visita medica

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Visita medica

Risoluzione delle equazioni di moltiplicazione e divisione

Come trovare uno sconosciuto
fattore

Come trovare l'ignoto
dividendo

Come trovare uno sconosciuto
divisore

Per trovare un fattore sconosciuto è necessario dividere il prodotto per il fattore noto.

Per trovare il dividendo sconosciuto, devi moltiplicare il quoziente per il divisore.

Per trovare un divisore sconosciuto, devi dividere il dividendo per il quoziente.

y4 = 12
y=12:4
y=3
Visita medica

y: 7 = 2
y = 2 7
y=14
Visita medica

8:y=4
y=8:4
y=2
Visita medica

Un'equazione è un'uguaglianza contenente una lettera di cui bisogna trovare il segno. La soluzione di un'equazione è l'insieme dei valori delle lettere che trasforma l'equazione in una vera uguaglianza:

Ricordatelo per risolverlo equazioneè necessario trasferire i termini con l'ignoto in una parte dell'uguaglianza e i termini numerici nell'altra, portarne di simili e ottenere la seguente uguaglianza:

Dall'ultima uguaglianza determiniamo l'incognita secondo la regola: "uno dei fattori è uguale al quoziente diviso per il secondo fattore".

Perché numeri razionali a e b possono avere lo stesso e segni diversi, quindi il segno dell'ignoto è determinato dalle regole per la divisione dei numeri razionali.

Procedura per risolvere equazioni lineari

L'equazione lineare deve essere semplificata aprendo le parentesi ed eseguendo le operazioni del secondo passaggio (moltiplicazione e divisione).

Spostare le incognite da una parte del segno uguale, e i numeri dall'altra parte del segno uguale, ottenendo un'uguaglianza identica a quella data,

Portare quelli simili a sinistra e a destra del segno di uguale, ottenendo un'uguaglianza della forma ascia = B.

Calcola la radice dell'equazione (trova l'incognita X dall'uguaglianza X = B : UN),

Verifica sostituendo l'incognita nell'equazione data.

Se otteniamo un'identità in un'uguaglianza numerica, l'equazione viene risolta correttamente.

Casi particolari di risoluzione di equazioni

1. Se l'equazione dato un prodotto uguale a 0, allora per risolverlo utilizziamo la proprietà della moltiplicazione: “il prodotto è uguale a zero se uno dei fattori o entrambi i fattori sono uguali a zero”.

27 (X - 3) = 0
27 non è uguale a 0, il che significa X - 3 = 0

Il secondo esempio ha due soluzioni dell'equazione, poiché
questa è un'equazione di secondo grado:

Se i coefficienti dell'equazione sono frazioni ordinarie, allora prima di tutto dobbiamo eliminare i denominatori. Per questo:

Trova il denominatore comune;

Determinare fattori aggiuntivi per ciascun termine dell'equazione;

Moltiplica i numeratori di frazioni e numeri interi per fattori aggiuntivi e scrivi tutti i termini dell'equazione senza denominatori (il denominatore comune può essere scartato);

Spostare i termini con incognite da un lato dell'equazione, e i termini numerici dall'altro dal segno di uguale, ottenendo un'uguaglianza equivalente;

Porta membri simili;

Proprietà fondamentali delle equazioni

In qualsiasi parte dell'equazione puoi aggiungere termini simili o aprire una parentesi.

Qualsiasi termine dell'equazione può essere trasferito da una parte all'altra dell'equazione cambiando il suo segno nel contrario.

Entrambi i membri dell'equazione possono essere moltiplicati (divisi) per lo stesso numero, tranne 0.

Nell'esempio sopra, tutte le sue proprietà sono state utilizzate per risolvere l'equazione.

Equazioni di moltiplicazione

1) Sviluppare la capacità di costruire un algoritmo utilizzando l'esempio della costruzione di un algoritmo per risolvere semplici equazioni di moltiplicazione, sviluppare la capacità di utilizzare l'algoritmo costruito durante la risoluzione di un'equazione.

2) Allena le tue capacità informatiche e risolvi problemi di parole.

Operazioni mentali necessarie in fase di progettazione: analisi, sintesi, confronto, analogia.

Fase 1. Motivazione per le attività di apprendimento

1) motivare gli studenti a attività educative,

2) determinare la struttura del contenuto della lezione.

Organizzazione processo educativo nella fase 1:

— Quale argomento stiamo studiando nelle lezioni di matematica adesso? (Moltiplicazione e divisione)

— In quali compiti utilizziamo queste azioni? (Nella risoluzione di esempi, problemi)

— Vuoi sapere quali altri compiti ci sono in cui possiamo utilizzare queste azioni? (SÌ)

Ragazzi, guardate chi è venuto alla nostra lezione oggi? Li hai riconosciuti? Cosa sai di questi eroi? (...)

(Appaiono punti interrogativi). Cosa sta succedendo? I Kolobok sono perplessi e turbati. Volevano completare l'attività, ma per la prima volta fallirono. Non sanno come scoprire nuove conoscenze. Aiutiamo? (...)

È possibile mettersi al lavoro con lo stesso umore dei kolobok? (È impossibile, non ci sarà alcun risultato)

Sorridiamoci a vicenda e auguriamoci buona fortuna! Bene, agiamo secondo il piano per scoprire nuove conoscenze. Lo conosci bene.

Fase 2. Aggiornamento delle conoscenze e risoluzione delle difficoltà in un'azione di prova

1) aggiornare i metodi di azione studiati sufficienti per la costruzione, la loro fissazione e generalizzazione verbale e simbolica;

2) attualizzazione del mentale e processo cognitivo, sufficienti per la costruzione di nuova conoscenza;

3) motivazione di un'azione educativa sperimentale e sua attuazione autonoma;

4) registrazione delle difficoltà individuali degli studenti nel portare a termine la prova azione educativa o la sua giustificazione.

Organizzazione del processo educativo nella fase 2:

1) Aggiornamento delle formule per trovare l'area e il lato sconosciuto di un rettangolo.

Da dove cominciamo? (Con ripetizione). Dovremmo ripetere tutto ciò che sappiamo? (No, solo ciò che ci è utile per scoprire nuove conoscenze)



- Cosa devi trovare in questo compito? (Area del rettangolo)

— Come trovare l'area di un rettangolo? (Per trovare l'area di un rettangolo, moltiplica la lunghezza per la larghezza)

Viene visualizzata la formula dell'area.

Gli studenti completano il compito.

-Qual è la zona? (18 mq)

- Chi ha avuto una risposta diversa?

- Qual è il tuo errore?

- Come trovare lato conosciuto rettangolo? (Per trovare il lato sconosciuto di un rettangolo, dividere l'area per il lato noto)

— Viene visualizzata una formula per trovare il lato sconosciuto di un rettangolo.

— Crea un problema inverso in cui devi trovare la lunghezza di un rettangolo (...)

— Scriviamo la soluzione del problema inverso.

Lo studente che ha composto il problema inverso lo risolve alla lavagna: 18:3=6(m) – lunghezza

- Ora crea un altro problema inverso.

Lo studente che ha composto il problema inverso lo risolve alla lavagna: 18:6=3 (m) – larghezza

Chi non ha commesso errori in questo compito? Mettiti un segno + sulla scheda del percorso accanto alla ripetizione. Chi ha commesso l'errore? Perché si è verificato l'errore? Capisci il motivo? Correggi l'errore. Cosa ti prepari? (? e +).

2) Aggiornamento dell'algoritmo per la risoluzione di equazioni di addizione e sottrazione.

— Annota: la somma di X + 5 è uguale a 7. Come puoi chiamare questa voce? (L'equazione)

— Cos’è un’equazione? (Un'uguaglianza in cui c'è un numero sconosciuto è chiamata equazione)

- Cosa ci aiuterà a risolvere questa equazione? (Standard per la risoluzione delle equazioni di addizione)

Uno studente alla lavagna commenta. (Indicherò i componenti dell'equazione, sottolineerò le parti, cercherò il tutto (somma). Vedo che la parte è sconosciuta. Per trovare la parte sconosciuta, è necessario sottrarre la parte nota dalla somma.

Chi non ha commesso errori in questo compito? Mettiti un segno + sulla scheda del percorso accanto alla ripetizione. Chi ha commesso l'errore? Perché si è verificato l'errore? Capisci il motivo? Correggi l'errore. Cosa ti prepari? (- e +).

- Perché l'abbiamo ripetuto? (Questo ci sarà utile per scoprire nuove conoscenze)

- Quale passo successivo? (Azione di prova) A cosa serve? (Per capire cosa non sappiamo)

L'insegnante distribuisce agli studenti le carte con un compito per un'azione di prova:

— Quale compito deve essere completato? (Risolvere l'equazione)



- Con quale azione? (Con moltiplicazione)

- Cosa c'è di nuovo in questo compito? (Non abbiamo risolto le equazioni di moltiplicazione)

Prova questo compito. (30 secondi)

— Chi non ha completato l'attività?

Cosa non sei riuscito a fare? (Non siamo riusciti a risolvere l'equazione)

- Chi ha trovato la radice dell'equazione? Che risultati hai ottenuto?

L'insegnante registra i risultati sulla lavagna accanto all'azione di prova.

- Giustifica la tua opinione.

Cosa non puoi fare? (Non possiamo giustificare la nostra risposta.)

Hai un problema. (difficoltà). Mettiamo... (punto interrogativo) accanto all'azione di prova sulla scheda del percorso.

— Qual è il passo successivo della lezione? (Capisci qual è il nostro problema)

- E poiché è sorta una difficoltà, devi... (Fermati e pensa)

Fase 3. Identificazione della posizione e della causa del problema

1) ripristinare le operazioni eseguite e registrare l'ubicazione del problema;

2) correlare le proprie azioni con il metodo di azione utilizzato e, su questa base, identificare e registrare nel discorso esterno la causa della difficoltà.

Organizzazione del processo educativo nella fase 3:

-Che compito dovevi completare? (Dovevamo risolvere un'equazione di moltiplicazione)

- Come hai ragionato durante l'esecuzione dell'azione di prova? (Abbiamo provato a utilizzare un algoritmo ben noto per risolvere le equazioni...)

- Qual è il problema? (L'algoritmo non è adatto)

Perché è nata la difficoltà? (Non abbiamo un modo per risolvere le equazioni di moltiplicazione)

Capisci quello che non sai? (SÌ). Metti un segno + sulla scheda del percorso accanto al terzo passaggio.

Fase 4. Costruire un progetto per uscire da un problema

1) concordare e registrare lo scopo e l'argomento della lezione;

2) costruire un piano e determinare i mezzi per raggiungere l'obiettivo.

Organizzazione del processo educativo nella fase 4:

- Abbiamo capito quello che non sappiamo, ora possiamo... (Scopriamo noi stessi il metodo)

Per prima cosa devi fissare un obiettivo. Se non sai come risolvere le equazioni di moltiplicazione, il tuo obiettivo è... (Scopri un modo per risolvere tali equazioni)

- Formulare l'argomento della nostra lezione (...)

Scrivi l'argomento alla lavagna:

- Ci comporteremo come veri detective. Elaboriamo un piano d'azione. Diapositiva

- Pensiamo a cosa può aiutarci. Ricorda, hai ripetuto all'inizio della lezione. (Algoritmo per risolvere le equazioni di addizione, formula per trovare l'area)

- Quale formula può aiutarci? (Formula per trovare l'area e il lato sconosciuto di un rettangolo)

— Proviamo ad applicare la formula per l'area di un rettangolo.

— Suggerisco di utilizzare l'algoritmo che conosci per risolvere le equazioni di addizione.

Algoritmo.

2. Distinguo il tutto e le parti.
3. Cosa è sconosciuto?
4. Applico la regola.
5. Trovo sconosciuto x.
6. Cosa in questo algoritmo chiaramente non ti soddisfa? (1 punto)
7. Quando avevi equazioni di addizione, mettevi in ​​relazione i loro componenti con parti e interi utilizzando segmenti di linea. Con cosa hai correlato le componenti della moltiplicazione? (Con area)
8. Cosa utilizzerai al posto del segmento? (Modello rettangolare)

Sostituiamo l'elemento 1 con Indichiamo i componenti dell'equazione utilizzando il modello rettangolare.

— I restanti punti dell'algoritmo ti soddisfano?

— Usando questo algoritmo, puoi provare a risolvere l'equazione?

— Cosa possiamo fare perché sia ​​conveniente utilizzare sempre questa regola? (Scriviamo la regola vista generale)

Scriviamo la regola in forma generale.

- Che mezzi utilizzeremo?

Proviamo ad applicare la formula per l'area di un rettangolo...

Strumenti: modello rettangolare, algoritmo.

Fase 5. Realizzazione del progetto completato

1) attuare il progetto costruito secondo il piano;

2) fissare le modalità di scrittura delle espressioni sullo standard;

3) organizzare la registrazione del superamento della difficoltà;

4) organizzare il chiarimento della natura generale della nuova conoscenza.

Organizzazione del processo educativo nella fase 5:

Ti consiglio di lavorare in gruppo. Stabilire le regole per lavorare in gruppo.

Regole per lavorare in gruppo

1. Nel gruppo deve essere presente una persona responsabile.

2. Uno parla, gli altri ascoltano.

3. Esprimi il tuo disaccordo in modo educato.

4. Tutti devono lavorare.

Gli studenti formano dei gruppi.

- Realizzare il piano in gruppi.

Il responsabile di ciascun gruppo riceve un compito.

1. Utilizzerò un modello rettangolare e traccerò le componenti dell'equazione sul modello.

2. Applicherò la regola per l'area di un rettangolo. (Per trovare il lato sconosciuto di un rettangolo, dividere l'area per il lato noto)

3. Trova la radice dell'equazione

Abbiamo segnato i numeri sul modello rettangolare. Si può notare che il lato del rettangolo non è noto. Per trovare il lato sconosciuto di un rettangolo è necessario dividere l'area per il lato noto. Abbiamo eseguito i calcoli e trovato la radice dell'equazione, x=5.

— Cosa resta da fare secondo i piani? (Scrivi l'equazione in forma generale)

— Come scrivere l'equazione in forma generale? (Utilizzando lettere dell'alfabeto latino)

— Come si designano i numeri nell'equazione che rappresentano i lati del rettangolo? (Sottolineiamo)

— Propongo di prendere il numero, che è l'area, in un rettangolo, perché è conveniente? (Mi ricorda la formula che usiamo)

— Sarà necessario creare uno standard diverso per il caso in cui x è al posto di un altro fattore? (NO)

- Perché? (Puoi usare la proprietà commutativa della moltiplicazione)

— Come verificare la tua scoperta? Quali chiavi della conoscenza abbiamo? (Guarda nel libro di testo)

Apri i tuoi libri di testo a pagina 1. Leggi la regola.

Ben fatto! Hai aiutato i kolobok. Diapositiva (applausi).

Torniamo ora all'azione processuale.

Completa ciò che è necessario sulla lavagna.

Sei riuscito a superare la difficoltà? (SÌ). Mettiamo un segno + sulla scheda del percorso.

Su una bacheca normale, sotto il passaggio "Troverò un modo da solo", allega nuovi standard.

Cosa puoi fare ora con l’aiuto delle tue nuove conoscenze? (Risolvere equazioni)

Fase 6. Consolidamento primario

1) organizzare l'assimilazione da parte dei bambini di un nuovo metodo di azione quando si risolvono le equazioni di moltiplicazione con la loro pronuncia nel discorso esterno.

Organizzazione del processo educativo nella fase 6:

1) Lavoro frontale. Sulla lavagna, il lato sinistro è l'algoritmo, il lato destro è l'equazione + modello.

2) 4x=8; 3x=9; x · 4=12.

3) L'insegnante apre un compito di consolidamento alla lavagna. Gli studenti si avvicinano alla lavagna uno per uno e completano il compito commentandolo. Opzione commento:

- Per prima cosa segnerò l'area del rettangolo con un quadrato e sottolineerò i lati. In questa equazione il lato del rettangolo non è noto. Ciò significa che l'area del rettangolo deve essere divisa per il lato noto. Otto diviso per 4 fa 2, x è uguale a 2.

L'ulteriore esecuzione dell'attività viene commentata allo stesso modo.

Esercizi fisici per gli occhi.

Ci riposeremo un po'. e troveremo la risposta a tutto.
Alziamoci in punta di piedi e allunghiamo le braccia.
Mani sulla vita, piegarsi in avanti.
Ora saltiamo e sediamoci!

Adesso tutti si sono riposati, e c’è una nuova preoccupazione:

Devi fare un eccellente lavoro di coppia.

L'insegnante distribuisce le carte con un compito su cui le coppie possono lavorare.

Gli studenti completano le attività in coppia con i commenti. Il controllo è organizzato secondo il modello D-7.

— Controlla i risultati.

Correggi gli errori. Chi non ha commesso errori in questo compito? Mettiti un segno + sulla scheda del percorso accanto al 5° passaggio. Chi ha commesso l'errore? Perché si è verificato l'errore? Capisci il motivo? Correggi l'errore. Cosa ti prepari? (? e +)

— Qual è il passo successivo della lezione? (Mettici alla prova per vedere se riusciamo a gestirlo da soli)

Fase 7. Automonitoraggio con autotest rispetto a uno standard

1) allenare la capacità di autocontrollo e autostima;

2) prova la tua capacità di risolvere le equazioni di moltiplicazione.

Organizzazione del processo educativo nella fase 7:

- Completa tu stesso queste equazioni. Gli studenti svolgono un lavoro indipendente sulle carte

— Il controllo è organizzato secondo lo standard D-8.

- Trarre una conclusione. (Serve più pratica.)

- Trarre una conclusione. (Abbiamo imparato tutto bene.)

- Chi non ha commesso errori in questo compito? Mettiti un segno + sulla scheda del percorso accanto al 5° passaggio. Chi ha commesso l'errore? Perché si è verificato l'errore? Capisci il motivo? Correggi l'errore. Cosa ti prepari? (? e +).

Fase 8. Inclusione nel sistema della conoscenza e ripetizione

1) includere nuove conoscenze nel sistema della conoscenza;

2) allenare la capacità di risolvere problemi.

Organizzazione del processo educativo nella fase 8:

— Cosa devi sapere per risolvere correttamente le equazioni di moltiplicazione? (Tabelle di moltiplicazione e divisione, formula dell'area). Ti suggerisco di risolvere il problema n. 4 p.2.

Gli studenti completano il compito. Il controllo è organizzato secondo il modello D-9.

-Chi di voi ha commesso un errore?

- Dov'è l'errore? (Nella scelta di una regola, nei calcoli, ...)

Fase 9. Riflessione sulle attività di apprendimento in classe

Obiettivi:

1) registrare nuovi contenuti appresi nella lezione;

2) valutare il proprio lavoro e quello della classe durante la lezione;

4) delineare gli indirizzi per le future attività didattiche;

3) discutere i compiti.

Organizzazione del processo educativo nella fase 9:

– Che obiettivo ti sei prefissato? (...)

— Hai raggiunto il tuo obiettivo? (Provalo)

— Ti suggerisco di valutare il tuo lavoro in classe. Dai un'altra occhiata ai tuoi programmi di lezione, vedi quanti aspetti positivi hai.

— Su una tavola normale c'è un'immagine dei kolobok individualmente. Uno sorride. Quelli di voi che pensano di capire e ricordare nuovo argomento, prendi i punti esclamativi e attaccali accanto al sorridente Kolobok. Coloro che non sono ancora sicuri di qualcosa, che hanno ancora domande, che hanno commesso degli errori lavoro indipendente- allegare punto interrogativo accanto al serio Kolobok. Ti eserciterai e supererai sicuramente le tue difficoltà.

- Hai lavorato molto bene oggi, ma questo significa che non hai più bisogno di allenarti? (Devo fare i compiti)

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Risolvere equazioni mediante moltiplicazione

Una quantità sconosciuta può essere collegata a una quantità nota non solo con il segno + o -, ma anche con diviso di una certa quantità, come in questa equazione: $\frac = b$.

Qui la soluzione non può essere trovata, come negli esempi precedenti, trasferendo un termine nell'equazione. Ma se entrambi i termini dell'equazione moltiplicare su a, l'equazione assume la forma
$x = ab.$

Cioè, il denominatore della frazione a sinistra si annulla. Ciò può essere dimostrato dalle proprietà delle frazioni.

Quando la quantità sconosciuta diviso con un valore noto, l'equazione viene risolta da moltiplicazione ciascun lato per questa quantità nota.

In questo caso devono essere effettuati gli stessi trasferimenti degli esempi precedenti. Dobbiamo però ricordare che è necessario moltiplicarsi ogni termine dell'equazione.

Esempio 1. Risolvi l'equazione $\frac + a = b + d$
Moltiplica entrambi i membri per $c$
Il prodotto sarà $x + ac = bc + cd$
E $x = bc + cd - ac$.

Esempio 1: risolvere l'equazione $\frac + d = h$
Moltiplicare per $a + b$ $x + ad + bd = ah + bh$.
E $x = ag + bh - ad - bd.$

Quando valore sconosciutoè dentro denominatore frazioni, l'equazione viene risolta in modo simile, cioè moltiplicando l'equazione per il denominatore.

Esempio 3: Risolvi l'equazione $\frac + 7 = 8$
Moltiplicando per $10 - x$ $6 + 70 - 7x = 80 - 8x$
Allora $x = 4$.

Anche se questo lo è non necessario, ma spesso è molto conveniente eliminare il denominatore di una frazione composta solo da famoso le quantità Questo può essere fatto in modo simile, eliminando il denominatore, che include la quantità sconosciuta.

Prendiamo come esempio $\frac = \frac +\frac$
Moltiplicare per a $x = \frac +\frac$
Moltiplicare per b $bx = ad + \frac $
Moltiplicare per c$bcx = acd + abh$.

Oppure possiamo moltiplicare per il prodotto di tutti i denominatori contemporaneamente.

Nella stessa equazione $\frac = \frac +\frac$
Moltiplica i termini per abc $\frac = \frac +\frac$

Dopo aver ridotto ogni valore identico in una frazione, otteniamo $bcx = acd + abh$, come nella versione precedente. Da qui,

Nell'equazione possiamo sbarazzarci di frazioni, moltiplicando ciascun lato dell'equazione per tutti denominatori.

Quando si eliminano le frazioni in un'equazione, è necessario assicurarsi che i segni e i coefficienti di ciascuna frazione siano scritti correttamente quando si aprono le parentesi

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• Atmosfera di vacanza del marchio
• Articolo 1060173
• Certificato Non soggetto a certificazione
• Paese Russia
• Confezione
• La confezione contiene 2000 pezzi
• Confezione: 20 pz.
• Confezione individuale Nessun imballaggio
• Dimensioni della confezione 0,1 cm × 6 cm × 13 cm
• Dimensioni e peso
• Dimensioni 0,1 cm × 7 cm × 13 cm
• Peso 3 g
• Peculiarità
• Densità g/m² 190
• Finitura Senza finitura
• Per chi è unisex
• Tema festivo Nessun motivo
• Destinatario Nessun destinatario
• Materiale Cartone
• Materia scolastica Matematica

La Russia è uno dei dieci paesi più letti al mondo! L'interesse per la lettura tra i nostri connazionali cresce di anno in anno, il che è una buona notizia, perché è un'abitudine meravigliosa e molto utile.

Studiando varie pubblicazioni, puoi ottenere molte informazioni preziose, ampliare i tuoi orizzonti, lessico e diventare erudito. Inoltre, il libro lo è ottimo modo rilassati e divertiti. Lascia che il foglietto illustrativo “Risoluzione delle equazioni. Come trovare l'ignoto", Moltiplicazione e divisione, 11x20 cm sarà un'altra pubblicazione utile nella tua collezione.

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In questo video analizzeremo tutta una serie di equazioni lineari che vengono risolte utilizzando lo stesso algoritmo: ecco perché sono chiamate le più semplici.

Per prima cosa definiamo: cos'è un'equazione lineare e quale è chiamata la più semplice?

Un'equazione lineare è un'equazione in cui esiste una sola variabile e solo di primo grado.

L'equazione più semplice significa la costruzione:

Tutte le altre equazioni lineari sono ridotte al più semplice utilizzando l'algoritmo:

1. Espandi le parentesi, se presenti;
2. Sposta i termini che contengono una variabile da un lato del segno di uguale e i termini senza una variabile dall'altro;
3. Assegna termini simili a sinistra e a destra del segno di uguale;
4. Dividi l'equazione risultante per il coefficiente della variabile $x$.

Naturalmente, questo algoritmo non sempre aiuta. Il fatto è che a volte dopo tutte queste macchinazioni il coefficiente della variabile $x$ risulta essere uguale a zero. In questo caso sono possibili due opzioni:

1. L’equazione non ha alcuna soluzione. Ad esempio, quando risulta qualcosa come $0\cdot x=8$, cioè a sinistra c'è zero e a destra c'è un numero diverso da zero. Nel video qui sotto esamineremo diversi motivi per cui questa situazione è possibile.
2. La soluzione sono tutti i numeri. L'unico caso in cui ciò è possibile è quando l'equazione è stata ridotta alla costruzione $0\cdot x=0$. È abbastanza logico che, qualunque sia il $x$ che sostituiamo, risulterà comunque "zero è uguale a zero", cioè corretta uguaglianza numerica.

Ora vediamo come funziona tutto questo utilizzando esempi di vita reale.

Esempi di risoluzione di equazioni

Oggi ci occupiamo di equazioni lineari, e solo di quelle più semplici. In generale, un'equazione lineare significa qualsiasi uguaglianza che contiene esattamente una variabile e va solo al primo grado.

Tali costruzioni sono risolte più o meno allo stesso modo:

1. Prima di tutto bisogna espandere le parentesi, se ce ne sono (come nel nostro ultimo esempio);
2. Quindi combina simili
3. Infine, isola la variabile, ad es. spostare da un lato tutto ciò che è connesso con la variabile – i termini in cui è contenuta – e dall’altro tutto ciò che ne rimane senza.

Quindi, di regola, è necessario portarne di simili su ciascun lato dell'uguaglianza risultante, dopodiché non resta che dividere per il coefficiente "x" e otterremo la risposta finale.

In teoria, sembra bello e semplice, ma in pratica anche gli studenti esperti delle scuole superiori possono commettere errori offensivi in ​​modo abbastanza semplice equazioni lineari. In genere, gli errori vengono commessi quando si aprono le parentesi o quando si calcolano i "più" e i "meno".

Inoltre, accade che un'equazione lineare non abbia alcuna soluzione, o che la soluzione sia l'intera retta numerica, cioè qualsiasi numero. Esamineremo queste sottigliezze nella lezione di oggi. Ma inizieremo, come hai già capito, con il vero compiti semplici.

Schema per la risoluzione di semplici equazioni lineari

Per prima cosa, lasciatemi scrivere ancora una volta l'intero schema per risolvere le equazioni lineari più semplici:

1. Espandi le parentesi, se presenti.
2. Isoliamo le variabili, cioè Spostiamo tutto ciò che contiene "X" da un lato e tutto ciò che non contiene "X" dall'altro.
3. Presentiamo termini simili.
4. Dividiamo tutto per il coefficiente “x”.

Naturalmente, questo schema non sempre funziona; contiene alcune sottigliezze e trucchi, e ora li conosceremo.

Risoluzione di esempi reali di semplici equazioni lineari

Compito n. 1

Il primo passaggio richiede l'apertura delle parentesi. Ma non sono in questo esempio, quindi saltiamo questo passaggio. Nella seconda fase dobbiamo isolare le variabili. Nota: stiamo parlando solo sui termini individuali. Scriviamolo:

Presentiamo termini simili a sinistra e a destra, ma questo è già stato fatto qui. Passiamo quindi al quarto passaggio: dividiamo per il coefficiente:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Quindi abbiamo ottenuto la risposta.

Compito n. 2

Possiamo vedere le parentesi in questo problema, quindi espandiamole:

Sia a sinistra che a destra vediamo approssimativamente lo stesso disegno, ma agiamo secondo l'algoritmo, ad es. separando le variabili:

Eccone alcuni simili:

Con quali radici funziona? Risposta: per qualsiasi. Pertanto, possiamo scrivere che $x$ è un numero qualsiasi.

Compito n. 3

La terza equazione lineare è più interessante:

\[\sinistra(6-x \destra)+\sinistra(12+x \destra)-\sinistra(3-2x \destra)=15\]

Ci sono diverse parentesi, ma non vengono moltiplicate per nulla, sono semplicemente precedute da vari segni. Analizziamoli:

Eseguiamo il secondo passo a noi già noto:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Facciamo i conti:

Eseguiamo l'ultimo passaggio: dividiamo tutto per il coefficiente "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Cose da ricordare quando si risolvono equazioni lineari

Se ignoriamo compiti troppo semplici, vorrei dire quanto segue:

• Come ho detto sopra, non tutte le equazioni lineari hanno una soluzione: a volte semplicemente non ci sono radici;
• Anche se ci sono radici, potrebbero non essercene zero: non c'è niente di sbagliato in questo.

Lo zero è lo stesso numero degli altri; non dovresti discriminarlo in alcun modo o dare per scontato che se ottieni zero, hai fatto qualcosa di sbagliato.

Un'altra caratteristica è legata all'apertura delle parentesi. Nota: quando c'è un "meno" davanti a loro, lo rimuoviamo, ma tra parentesi cambiamo i segni in opposto. E poi possiamo aprirlo utilizzando algoritmi standard: otterremo ciò che abbiamo visto nei calcoli sopra.

Capire questo semplice fatto ti permetterà di evitare di commettere errori stupidi e offensivi al liceo, quando compiere tali azioni è dato per scontato.

Risoluzione di equazioni lineari complesse

Passiamo ad equazioni più complesse. Ora le costruzioni diventeranno più complesse e quando si eseguono varie trasformazioni apparirà una funzione quadratica. Tuttavia, non dovremmo averne paura, perché se, secondo il piano dell'autore, stiamo risolvendo un'equazione lineare, durante il processo di trasformazione tutti i monomi contenenti una funzione quadratica si annulleranno necessariamente.

Esempio n. 1

Ovviamente il primo passo è aprire le parentesi. Facciamolo con molta attenzione:

Ora diamo un'occhiata alla privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Eccone alcuni simili:

Ovviamente questa equazione non ha soluzioni, quindi scriveremo questo nella risposta:

\[\nulla\]

oppure non ci sono radici.

Esempio n.2

Eseguiamo le stesse azioni. Primo passo:

Spostiamo tutto con una variabile a sinistra e senza di essa a destra:

Eccone alcuni simili:

Ovviamente questa equazione lineare non ha soluzione, quindi la scriveremo in questo modo:

\[\nulla\],

oppure non ci sono radici.

Sfumature della soluzione

Entrambe le equazioni sono completamente risolte. Usando queste due espressioni come esempio, eravamo ancora una volta convinti che anche nelle equazioni lineari più semplici tutto potrebbe non essere così semplice: possono esserci una, o nessuna, o infinite radici. Nel nostro caso, abbiamo considerato due equazioni, entrambe semplicemente non hanno radici.

Ma vorrei attirare la vostra attenzione su un altro fatto: come lavorare con le parentesi e come aprirle se davanti a loro c'è un segno meno. Considera questa espressione:

Prima di aprire, devi moltiplicare tutto per “X”. Nota: moltiplica ogni singolo termine. All'interno ci sono due termini, rispettivamente due termini e moltiplicati.

E solo dopo che queste trasformazioni apparentemente elementari, ma molto importanti e pericolose sono state completate, puoi aprire la parentesi dal punto di vista del fatto che dietro di essa c'è un segno meno. Sì, sì: solo ora, quando le trasformazioni sono completate, ricordiamo che davanti alle parentesi c'è un segno meno, il che significa che tutto sotto cambia semplicemente segno. Allo stesso tempo, le parentesi stesse scompaiono e, soprattutto, scompare anche il "meno" anteriore.

Facciamo lo stesso con la seconda equazione:

Non è un caso che presto attenzione a questi piccoli fatti, apparentemente insignificanti. Perché risolvere equazioni è sempre una sequenza di trasformazioni elementari, dove l'incapacità di eseguire azioni semplici in modo chiaro e competente porta al fatto che gli studenti delle scuole superiori vengono da me e imparano di nuovo a risolvere equazioni così semplici.

Naturalmente, arriverà il giorno in cui affinerai queste abilità fino al punto di automatismo. Non dovrai più eseguire tante trasformazioni ogni volta; scriverai tutto su una riga. Ma mentre stai solo imparando, devi scrivere ogni azione separatamente.

Risoluzione di equazioni lineari ancora più complesse

Ciò che risolveremo ora difficilmente può essere definito il compito più semplice, ma il significato rimane lo stesso.

Compito n. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Moltiplichiamo tutti gli elementi della prima parte:

Facciamo un po' di privacy:

Eccone alcuni simili:

Completiamo l'ultimo passaggio:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ecco la nostra risposta finale. E, nonostante il fatto che nel processo di risoluzione avessimo coefficienti con una funzione quadratica, si sono annullati a vicenda, il che rende l'equazione lineare e non quadratica.

Compito n. 2

\[\sinistra(1-4x \destra)\sinistra(1-3x \destra)=6x\sinistra(2x-1 \destra)\]

Eseguiamo attentamente il primo passaggio: moltiplichiamo ciascun elemento della prima parentesi per ciascun elemento della seconda. Dovrebbero esserci un totale di quattro nuovi termini dopo le trasformazioni:

Ora eseguiamo attentamente la moltiplicazione in ciascun termine:

Spostiamo i termini con "X" a sinistra e quelli senza - a destra:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ecco termini simili:

Ancora una volta abbiamo ricevuto la risposta definitiva.

Sfumature della soluzione

La nota più importante riguardo queste due equazioni è la seguente: non appena iniziamo a moltiplicare parentesi che contengono più di un termine, ciò avviene secondo la seguente regola: prendiamo il primo termine dal primo e moltiplichiamo con ciascun elemento da il secondo; quindi prendiamo il secondo elemento dal primo e moltiplichiamo allo stesso modo con ciascun elemento del secondo. Di conseguenza, avremo quattro termini.

Sulla somma algebrica

Con quest’ultimo esempio, vorrei ricordare agli studenti cosa somma algebrica. Nella matematica classica, per $1-7$ si intende una costruzione semplice: sottrarre sette da uno. In algebra, con questo intendiamo quanto segue: al numero "uno" aggiungiamo un altro numero, vale a dire "meno sette". Ecco come una somma algebrica differisce da una somma aritmetica ordinaria.

Non appena, eseguendo tutte le trasformazioni, ogni addizione e moltiplicazione, inizierai a vedere costruzioni simili a quelle sopra descritte, semplicemente non avrai problemi in algebra quando lavori con polinomi ed equazioni.

Infine, diamo un'occhiata ad un altro paio di esempi che saranno ancora più complessi di quelli appena visti, e per risolverli dovremo espandere leggermente il nostro algoritmo standard.

Risoluzione di equazioni con le frazioni

Per risolvere tali compiti, dovremo aggiungere un ulteriore passaggio al nostro algoritmo. Ma prima, lascia che ti ricordi il nostro algoritmo:

1. Apri le parentesi.
2. Variabili separate.
3. Portatene di simili.
4. Dividi per il rapporto.

Purtroppo, questo meraviglioso algoritmo, nonostante tutta la sua efficacia, risulta non essere del tutto appropriato quando abbiamo davanti le frazioni. E in quello che vedremo di seguito, in entrambe le equazioni abbiamo una frazione sia a sinistra che a destra.

Come lavorare in questo caso? Sì, è molto semplice! Per fare ciò, è necessario aggiungere un ulteriore passaggio all'algoritmo, che può essere eseguito sia prima che dopo la prima azione, ovvero eliminare le frazioni. Quindi l'algoritmo sarà il seguente:

1. Sbarazzarsi delle frazioni.
2. Apri le parentesi.
3. Variabili separate.
4. Portatene di simili.
5. Dividi per il rapporto.

Cosa significa “sbarazzarsi delle frazioni”? E perché ciò può essere fatto sia dopo che prima del primo passaggio standard? Infatti, nel nostro caso, tutte le frazioni sono numeriche al denominatore, cioè Ovunque il denominatore è solo un numero. Pertanto, se moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per questo numero, elimineremo le frazioni.

Esempio n. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Eliminiamo le frazioni in questa equazione:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nota: tutto viene moltiplicato per "quattro" una volta, cioè solo perché hai due parentesi non significa che devi moltiplicarle ciascuna per "quattro". Scriviamo:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Ora espandiamo:

Secludiamo la variabile:

Eseguiamo la riduzione di termini simili:

\[-4x=-1\sinistra| :\sinistra(-4 \destra) \destra.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Noi abbiamo decisione finale, passiamo alla seconda equazione.

Esempio n.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Qui eseguiamo tutte le stesse azioni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Il problema è risolto.

Questo, in effetti, è tutto ciò che volevo dirti oggi.

Punti chiave

I risultati principali sono:

• Conoscere l'algoritmo per risolvere equazioni lineari.
• Possibilità di aprire parentesi.
• Non preoccuparti se vedi funzioni quadratiche, molto probabilmente, nel processo di ulteriori trasformazioni diminuiranno.
• Ci sono tre tipi di radici nelle equazioni lineari, anche quelle più semplici: una radice singola, l'intera linea numerica è una radice e nessuna radice.

Spero che questa lezione ti aiuti a padroneggiare un argomento semplice, ma molto importante per un'ulteriore comprensione di tutta la matematica. Se qualcosa non è chiaro, vai sul sito e risolvi gli esempi lì presentati. Restate sintonizzati, tante altre cose interessanti vi aspettano!