Esempi di equazioni 5. Equazioni online

Un'equazione ad una incognita, che, dopo aver aperto le parentesi e riportato termini simili, assume la forma

ax + b = 0, dove a e b sono numeri arbitrari, viene chiamato equazione lineare con uno sconosciuto. Oggi scopriremo come risolvere queste equazioni lineari.

Ad esempio, tutte le equazioni:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineare.

Viene chiamato il valore dell'incognita che trasforma l'equazione in una vera uguaglianza decisione O radice dell'equazione .

Ad esempio, se nell'equazione 3x + 7 = 13 al posto dell'incognita x sostituiamo il numero 2, otteniamo l'uguaglianza corretta 3 2 +7 = 13. Ciò significa che il valore x = 2 è la soluzione o radice dell'equazione.

E il valore x = 3 non trasforma l'equazione 3x + 7 = 13 in una vera uguaglianza, poiché 3 2 +7 ≠ 13. Ciò significa che il valore x = 3 non è una soluzione o una radice dell'equazione.

Soluzione di qualsiasi equazioni lineari si riduce a risolvere equazioni della forma

ax + b = 0.

Spostiamo il termine libero dal lato sinistro dell'equazione a destra, cambiando il segno davanti a b in quello opposto, otteniamo

Se a ≠ 0, allora x = ‒ b/a .

Esempio 1. Risolvi l'equazione 3x + 2 =11.

Spostiamo 2 dal lato sinistro dell'equazione a destra, cambiando il segno davanti a 2 in quello opposto, otteniamo
3x = 11 – 2.

Facciamo allora la sottrazione
3x = 9.

Per trovare x, devi dividere il prodotto per un fattore noto
x = 9:3.

Ciò significa che il valore x = 3 è la soluzione o radice dell'equazione.

Risposta: x = 3.

Se a = 0 e b = 0, quindi otteniamo l'equazione 0x = 0. Questa equazione ha infinite soluzioni, poiché quando moltiplichiamo qualsiasi numero per 0 otteniamo 0, ma anche b è uguale a 0. La soluzione di questa equazione è un numero qualsiasi.

Esempio 2. Risolvi l'equazione 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Espandiamo le parentesi:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Ecco alcuni termini simili:
0x = 0.

Risposta: x - qualsiasi numero.

Se a = 0 e b ≠ 0, quindi otteniamo l'equazione 0x = - b. Questa equazione non ha soluzioni, poiché moltiplicando qualsiasi numero per 0 otteniamo 0, ma b ≠ 0.

Esempio 3. Risolvi l'equazione x + 8 = x + 5.

Raggruppiamo i termini contenenti incognite sul lato sinistro e i termini liberi sul lato destro:
x – x = 5 – 8.

Ecco alcuni termini simili:
0х = ‒ 3.

Risposta: nessuna soluzione.

SU Figura 1 mostra un diagramma per risolvere un'equazione lineare

Elaboriamo uno schema generale per risolvere equazioni con una variabile. Consideriamo la soluzione dell'Esempio 4.

Esempio 4. Supponiamo di dover risolvere l'equazione

1) Moltiplicare tutti i termini dell'equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori, pari a 12.

2) Dopo la riduzione otteniamo
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Per separare i termini contenenti termini sconosciuti e liberi, aprire le parentesi:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Raggruppiamo da una parte i termini contenenti incognite e dall'altra i termini liberi:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Presentiamo termini simili:
-22x = -154.

6) Dividi per – 22, otteniamo
x = 7.

Come puoi vedere, la radice dell'equazione è sette.

Generalmente tale le equazioni possono essere risolte utilizzando il seguente schema:

a) portare l'equazione alla sua forma intera;

b) aprire le parentesi;

c) raggruppare i termini contenenti l'incognita in una parte dell'equazione, e i termini liberi nell'altra;

d) portare membri simili;

e) risolvere un'equazione della forma aх = b, ottenuta dopo aver introdotto termini simili.

Tuttavia, questo schema non è necessario per ogni equazione. Quando risolvi molte equazioni più semplici, devi iniziare non dalla prima, ma dalla seconda ( Esempio. 2), terzo ( Esempio. 13) e anche dalla quinta fase, come nell'esempio 5.

Esempio 5. Risolvi l'equazione 2x = 1/4.

Trova l'incognita x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Vediamo di risolvere alcune equazioni lineari trovate nell'esame di stato principale.

Esempio 6. Risolvi l'equazione 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Risposta: - 0,125

Esempio 7. Risolvi l'equazione – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Risposta: 2.3

Esempio 8. Risolvi l'equazione

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Esempio 9. Trova f(6) se f (x + 2) = 3 7

Soluzione

Poiché dobbiamo trovare f(6) e conosciamo f (x + 2),
allora x + 2 = 6.

Risolviamo l'equazione lineare x + 2 = 6,
otteniamo x = 6 – 2, x = 4.

Se x = 4 allora
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Risposta: 27.

Se hai ancora domande o vuoi capire più a fondo la risoluzione delle equazioni, iscriviti alle mie lezioni nel PROGRAMMA. Sarò felice di aiutarti!

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Una delle abilità più importanti quando ammissione alla 5a elementareè la capacità di risolvere semplici equazioni. Dal momento che la quinta elementare non è ancora così lontana scuola elementare, allora non ci sono così tanti tipi di equazioni che uno studente può risolvere. Ti presenteremo tutti i tipi base di equazioni di cui hai bisogno per poter risolvere, se lo desideri entrare in una scuola di fisica e matematica.

Tipo 1: "bulboso"
Queste sono equazioni che è molto probabile che incontrerai quando ammissione a qualsiasi scuola o un club di 5a elementare come compito separato. Sono facili da distinguere dagli altri: in essi la variabile è presente una sola volta. Ad esempio, o.
Si risolvono in modo molto semplice: basta “arrivare” verso l'ignoto, “rimuovendo” gradualmente tutto ciò che non è necessario che lo circonda - come se si sbucciasse una cipolla - da cui il nome. Per risolverlo, basta ricordare alcune regole della seconda lezione. Elenchiamoli tutti:

Aggiunta

termine1 + termine2 = somma
termine1 = somma - termine2
termine2 = somma - termine1

Sottrazione

minuendo - sottraendo = differenza
minuendo = sottraendo + differenza
sottraendo = minuendo - differenza

Moltiplicazione

fattore1 * fattore2 = prodotto
fattore1 = prodotto: fattore2
fattore2 = prodotto: fattore1

Divisione

dividendo: divisore = quoziente
dividendo = divisore * quoziente
divisore = dividendo: quoziente

Vediamo un esempio di come applicare queste regole.

Tieni presente che stiamo dividendo acceso e riceviamo . In questa situazione, conosciamo il divisore e il quoziente. Per trovare il dividendo devi moltiplicare il divisore per il quoziente:

Siamo diventati un po’ più vicini a noi stessi. Ora lo vediamo viene aggiunto e risulta . Ciò significa che per trovare uno dei termini è necessario sottrarre il termine noto dalla somma:

E un altro “strato” è stato rimosso dall’ignoto! Ora vediamo la situazione con valore conosciuto prodotto () e un fattore noto ().

Ora la situazione è “minuendo - sottraendo = differenza”

E l'ultimo passo - opera famosa() e uno dei moltiplicatori ()

Tipo 2: equazioni con parentesi
Equazioni di questo tipo si trovano più spesso nei problemi: il 90% di tutti i problemi per ammissione alla 5a elementare. A differenza di "equazioni della cipolla" la variabile qui può apparire più volte, quindi è impossibile risolverla utilizzando i metodi del paragrafo precedente. Equazioni tipiche: o
La difficoltà principale è aprire correttamente le parentesi. Dopo che sei riuscito a farlo correttamente, dovresti ridurre i termini simili (numeri in numeri, variabili in variabili), dopodiché otterremo il più semplice "equazione della cipolla" che possiamo risolvere. Ma prima le cose principali.

Parentesi espandibili. Forniremo diverse regole che dovrebbero essere utilizzate in questo caso. Ma, come dimostra la pratica, lo studente inizia ad aprire correttamente le parentesi solo dopo 70-80 problemi completati. La regola di base è questa: qualsiasi fattore fuori dalle parentesi deve essere moltiplicato per ogni termine all'interno delle parentesi. E il segno meno davanti alla parentesi cambia il segno di tutte le espressioni all'interno. Quindi, le regole di base della divulgazione:

Portare simili. Qui tutto è molto più semplice: è necessario, trasferendo i termini attraverso il segno uguale, assicurarsi che da un lato ci siano solo termini con l'ignoto e dall'altro solo numeri. La regola di base è questa: ogni termine trasferito cambia segno: se era con, diventerà con e viceversa. Dopo un trasferimento riuscito, è necessario contare il numero totale di incognite, il numero totale dall'altra parte dell'uguaglianza rispetto alle variabili, e risolvere un semplice "equazione della cipolla".

Un'equazione è un'uguaglianza in cui è presente un termine sconosciuto - x. Bisogna trovarne il significato.

La quantità sconosciuta è chiamata radice dell'equazione. Risolvere un'equazione significa trovarne la radice, e per farlo è necessario conoscere le proprietà delle equazioni. Le equazioni per la quinta elementare non sono difficili, ma se impari a risolverle correttamente, non avrai problemi con esse in futuro.

La proprietà principale delle equazioni

Quando entrambi i lati di un'equazione cambiano della stessa quantità, continua ad essere la stessa equazione con la stessa radice. Risolviamo alcuni esempi per comprendere meglio questa regola.

Come risolvere le equazioni: addizione o sottrazione

Supponiamo di avere un'equazione della forma:

a + x = b - qui aeb sono numeri e x è il termine sconosciuto dell'equazione.

Se aggiungiamo (o sottraiamo da essi) il valore c ad entrambi i lati dell'equazione, non cambierà:

a + x + c = b + c
a + x - c = b - c.

Esempio 1

Usiamo questa proprietà per risolvere l'equazione:

37+x=51

Sottrai il numero 37 da entrambi i lati:

37+x-37=51-37

noi abbiamo:

x=51-37.

La radice dell'equazione è x=14.

Se osserviamo attentamente l'ultima equazione, possiamo vedere che è uguale alla prima. Abbiamo semplicemente spostato il termine 37 da un lato all'altro dell'equazione, sostituendo il più con il meno.

Si scopre che qualsiasi numero può essere trasferito da una parte dell'equazione a un'altra con il segno opposto.

Esempio 2

37+x=37+22

Eseguiamo la stessa azione, spostiamo il numero 37 dal lato sinistro dell'equazione a quello destro:

x=37-37+22

Poiché 37-37=0, riduciamo semplicemente questo e otteniamo:

x =22.

Termini identici di un'equazione con lo stesso segno, situati in parti differenti le equazioni possono essere ridotte (cancellate).

Moltiplicazione e divisione di equazioni

Entrambi i lati dell'uguaglianza possono anche essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero:

Se l'uguaglianza a = b viene divisa o moltiplicata per c, non cambia:

a/c = b/c,
ac = bñ.

Esempio 3

5x = 20

Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per 5:

5x/5 = 20/5.

Poiché 5/5 = 1, riduciamo questi moltiplicatori e divisori sul lato sinistro dell'equazione e otteniamo:

x = 20/5, x=4

Esempio 4

5x = 5a

Se dividiamo entrambi i membri dell'equazione per 5, otteniamo:

5x/5 = 5a/5.

Il 5 nel numeratore e nel denominatore dei lati sinistro e destro viene cancellato, risultando in x = a. Ciò significa che i fattori identici sui lati sinistro e destro delle equazioni si annullano.

Risolviamo un altro esempio: