Diamo un sistema di equazioni lineari con sconosciuto:

Assumeremo che la matrice principale non degenerato. Allora, per il Teorema 3.1, esiste una matrice inversa
Moltiplicazione dell'equazione della matrice
alla matrice
a sinistra, utilizzando la Definizione 3.2, nonché l'enunciato 8) del Teorema 1.1, otteniamo la formula su cui si basa il metodo matriciale per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari:

Commento. Si noti che il metodo matriciale per risolvere sistemi di equazioni lineari, a differenza del metodo di Gauss, ha un'applicazione limitata: questo metodo può risolvere solo sistemi di equazioni lineari in cui, in primo luogo, il numero di incognite è uguale al numero di equazioni, e in secondo luogo, la matrice principale è non singolare.

Esempio. Risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo delle matrici.

Viene fornito un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite
Dove

La matrice principale del sistema di equazioni non è singolare, poiché il suo determinante è diverso da zero:

Matrice inversa
Componiamo utilizzando uno dei metodi descritti nel paragrafo 3.

Usando la formula del metodo della matrice per risolvere sistemi di equazioni lineari, otteniamo

5.3. Metodo Cramer

Questo metodo, come il metodo matriciale, è applicabile solo per sistemi di equazioni lineari in cui il numero di incognite coincide con il numero di equazioni. Il metodo di Cramer si basa sul teorema omonimo:

Teorema 5.2. Sistema equazioni lineari con sconosciuto

la cui matrice principale è non singolare, ha un'unica soluzione che può essere ottenuta utilizzando le formule

Dove
determinante di una matrice derivata dalla matrice base sistema di equazioni sostituendolo
esima colonna con una colonna di membri gratuiti.

Esempio. Troviamo la soluzione del sistema di equazioni lineari considerato nell'esempio precedente utilizzando il metodo di Cramer. La matrice principale del sistema di equazioni non è degenere, poiché
Calcoliamo le determinanti

Utilizzando le formule presentate nel Teorema 5.2, calcoliamo i valori delle incognite:

6. Studio di sistemi di equazioni lineari.

Soluzione di base

Studiare un sistema di equazioni lineari significa determinare se questo sistema è compatibile o incompatibile e, se è compatibile, scoprire se questo sistema è definito o indefinito.

La condizione di compatibilità per un sistema di equazioni lineari è data dal seguente teorema

Teorema 6.1 (Kronecker–Capelli).

Un sistema di equazioni lineari è coerente se e solo se il rango della matrice principale del sistema è uguale al rango della sua matrice estesa:

Per un sistema simultaneo di equazioni lineari, la questione della sua definitezza o incertezza viene risolta utilizzando i seguenti teoremi.

Teorema 6.2. Se il rango della matrice principale di un sistema articolato è pari al numero di incognite, allora il sistema è definito

Teorema 6.3. Se il rango della matrice principale di un sistema articolato è inferiore al numero di incognite, il sistema è incerto.

Dai teoremi formulati consegue quindi un metodo per lo studio dei sistemi di equazioni algebriche lineari. Permettere N– numero di incognite,

Poi:

Definizione 6.1. La soluzione di base di un sistema indefinito di equazioni lineari è una soluzione in cui tutte le incognite libere sono uguali a zero.

Esempio. Esplora un sistema di equazioni lineari. Se il sistema è incerto, trova la sua soluzione di base.

Calcoliamo i ranghi del principale e matrici estese di questo sistema di equazioni, per il quale portiamo la matrice estesa (e allo stesso tempo principale) del sistema in una forma graduale:

Aggiungi la seconda riga della matrice alla sua prima riga, moltiplicata per terza riga - con la prima riga moltiplicata per
e la quarta riga - con la prima moltiplicata per otteniamo una matrice

Alla terza riga di questa matrice aggiungiamo la seconda riga moltiplicata per
e alla quarta riga – la prima, moltiplicata per
Di conseguenza, otteniamo la matrice

rimuovendo la terza e la quarta riga da cui otteniamo una matrice a gradini

Così,

Di conseguenza, questo sistema di equazioni lineari è coerente e poiché il valore del rango è inferiore al numero di incognite, il sistema è incerto. La matrice a gradini ottenuta come risultato delle trasformazioni elementari corrisponde al sistema di equazioni

Sconosciuto E sono i principali, e le incognite E
gratuito. Assegnando valori nulli alle incognite libere, otteniamo una soluzione di base a questo sistema di equazioni lineari.

Un sistema di m equazioni lineari con n incognite chiamato sistema della forma

Dove un ij E b i (io=1,…,M; B=1,…,N) sono alcuni numeri noti, e x1,...,xn- sconosciuto. Nella designazione dei coefficienti un ij primo indice io denota il numero dell'equazione e il secondo J– il numero dell'incognita a cui si trova questo coefficiente.

Scriveremo i coefficienti per le incognite sotto forma di matrice , che chiameremo matrice del sistema.

I numeri sul lato destro delle equazioni sono b 1 ,…,b m sono chiamati membri liberi.

Totalità N numeri c 1 ,…,c n chiamato decisione di un dato sistema, se ciascuna equazione del sistema diventa un'uguaglianza dopo aver sostituito dei numeri al suo interno c 1 ,…,c n invece delle corrispondenti incognite x1,...,xn.

Il nostro compito sarà trovare soluzioni al sistema. In questo caso si possono verificare tre situazioni:

Si dice che un sistema di equazioni lineari che abbia almeno una soluzione giunto. Altrimenti, ad es. se il sistema non ha soluzioni, allora viene chiamato non congiunto.

Consideriamo i modi per trovare soluzioni al sistema.

METODO MATRICISTICO PER LA RISOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

Le matrici consentono di scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Sia dato un sistema di 3 equazioni in tre incognite:

Consideriamo la matrice del sistema e colonne di matrici di termini sconosciuti e liberi

Troviamo il lavoro

quelli. come risultato del prodotto, otteniamo i membri sinistri delle equazioni di questo sistema. Quindi, utilizzando la definizione di uguaglianza di matrici, questo sistema può essere scritto nella forma

o più breve UN∙X=B.

Ecco le matrici UN E B sono noti e la matrice X sconosciuto. È necessario trovarlo, perché... i suoi elementi sono la soluzione a questo sistema. Questa equazione si chiama equazione di matrice.

Sia il determinante della matrice diverso da zero | UN| ≠ 0. Quindi l'equazione della matrice viene risolta come segue. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione a sinistra per la matrice A-1, inverso della matrice UN: . Perché LA -1 LA = E E E∙X = X, quindi otteniamo una soluzione all'equazione della matrice nella forma X = UN-1B .

Si noti che poiché la matrice inversa può essere trovata solo per matrici quadrate, il metodo della matrice può risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni coincide con il numero di incognite. Tuttavia, la registrazione matriciale del sistema è possibile anche nel caso in cui il numero di equazioni non sia uguale al numero di incognite, quindi la matrice UN non sarà quadrato e quindi è impossibile trovare una soluzione al sistema nella forma X = UN-1B.

Esempi. Risolvere sistemi di equazioni.

REGOLA DI CRAMER

Considera un sistema di 3 equazioni lineari con tre incognite:

Determinante del terzo ordine corrispondente alla matrice del sistema, cioè composto da coefficienti per incognite,

chiamato determinante del sistema.

Componiamo altri tre determinanti come segue: sostituiamo in sequenza 1, 2 e 3 colonne nel determinante D con una colonna di termini liberi

Allora possiamo dimostrare il seguente risultato.

Teorema (regola di Cramer). Se il determinante del sistema Δ ≠ 0, allora il sistema in esame ha una ed una sola soluzione, e

Prova. Consideriamo quindi un sistema di 3 equazioni in tre incognite. Moltiplichiamo la prima equazione del sistema per il complemento algebrico UN 11 elemento un 11, 2a equazione – on A 21 e 3° – in poi A 31:

Aggiungiamo queste equazioni:

Diamo un'occhiata a ciascuna delle parentesi e al lato destro di questa equazione. Dal teorema sull'espansione del determinante negli elementi della 1a colonna

Allo stesso modo, si può dimostrare che e .

Infine, è facile notarlo

Otteniamo così l'uguaglianza: .

Quindi, .

Le uguaglianze e si derivano in modo simile, da cui segue l'enunciato del teorema.

Notiamo quindi che se il determinante del sistema Δ ≠ 0, allora il sistema ha un'unica soluzione e viceversa. Se il determinante del sistema è uguale a zero, allora il sistema o ha un numero infinito di soluzioni oppure non ha soluzioni, cioè incompatibile.

Esempi. Risolvere il sistema di equazioni

METODO GAUSS

I metodi precedentemente discussi possono essere utilizzati per risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni coincide con il numero di incognite e il determinante del sistema deve essere diverso da zero. Il metodo di Gauss è più universale e adatto a sistemi con qualsiasi numero di equazioni. Consiste nell'eliminazione coerente delle incognite dalle equazioni del sistema.

Consideriamo ancora un sistema di tre equazioni in tre incognite:

.

Lasceremo invariata la prima equazione e dalla 2a e 3a escluderemo i termini contenenti x1. Per fare ciò, dividi la seconda equazione per UN 21 e moltiplicare per – UN 11, quindi aggiungilo alla prima equazione. Allo stesso modo, dividiamo la terza equazione per UN 31 e moltiplicare per – UN 11, e poi aggiungerlo al primo. Di conseguenza, il sistema originale assumerà la forma:

Ora dall'ultima equazione eliminiamo il termine contenente x2. Per fare ciò, dividi la terza equazione per, moltiplica per e aggiungi per la seconda. Quindi avremo un sistema di equazioni:

Da qui, dall'ultima equazione è facile da trovare x3, quindi dalla 2a equazione x2 e infine, dal 1° - x1.

Quando si utilizza il metodo gaussiano, le equazioni possono essere scambiate, se necessario.

Spesso, invece di scrivere un nuovo sistema di equazioni, si limitano a scrivere la matrice estesa del sistema:

e poi portarlo alla forma triangolare o diagonale mediante trasformazioni elementari.

A trasformazioni elementari le matrici includono le seguenti trasformazioni:

1. riorganizzare righe o colonne;
2. moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero;
3. aggiungendo altre righe a una riga.

Esempi: Risolvere sistemi di equazioni utilizzando il metodo di Gauss.

Il sistema ha quindi un numero infinito di soluzioni.

6.4. Alcune applicazioni del prodotto scalare

11. Espressione del prodotto scalare di un vettore attraverso le coordinate dei fattori. Teorema.

12. Lunghezza di un vettore, lunghezza di un segmento, angolo tra i vettori, condizione di perpendicolarità dei vettori.

13. Prodotto vettoriale di vettori, sue proprietà. Area di un parallelogramma.

14. Prodotto misto di vettori, sue proprietà. Condizione di complanarità vettoriale. Volume di un parallelepipedo. Volume della piramide.

15. Metodi per definire una retta su un piano.

16. Equazione normale di una retta su un piano (derivazione). Significato geometrico dei coefficienti.

17. Equazione di una retta su un piano in segmenti (derivazione).

Ridurre l'equazione generale del piano all'equazione del piano in segmenti.

18. Equazione di una retta su un piano con un coefficiente angolare (derivazione).

19. Equazione di una retta su un piano passante per due punti (derivazione).

20. Angolo tra rette su un piano (uscita).

21. Distanza da un punto a una linea retta su un piano (output).

22. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità delle rette su un piano (derivazione).

23. Equazione di un piano. Equazione del piano normale (derivazione). Significato geometrico dei coefficienti.

24. Equazione di un piano in segmenti (derivazione).

25. Equazione di un piano passante per tre punti (derivazione).

26. Angolo tra i piani (uscita).

27. Distanza da un punto a un piano (output).

28. Condizioni per il parallelismo e la perpendicolarità dei piani (conclusione).

29. Equazioni di una retta in r3. Equazioni di una retta passante per due punti fissi (derivazione).

30. Equazioni canoniche di una retta nello spazio (derivazione).

Elaborazione delle equazioni canoniche di una retta nello spazio.

Casi particolari di equazioni canoniche di una retta nello spazio.

Equazioni canoniche della retta passante per due punti dati nello spazio.

Transizione dalle equazioni canoniche di una retta nello spazio ad altri tipi di equazioni di una retta.

31. Angolo tra rette (uscita).

32. Distanza da un punto ad una retta su un piano (output).

Distanza da un punto ad una retta su un piano: teoria, esempi, soluzioni.

Il primo modo per trovare la distanza da un dato punto a una data linea retta su un piano.

Il secondo metodo consente di trovare la distanza da un dato punto a una data linea retta su un piano.

Risolvere problemi di determinazione della distanza da un dato punto a una data retta su un piano.

Distanza da un punto a una linea nello spazio: teoria, esempi, soluzioni.

Il primo modo per trovare la distanza da un punto a una linea nello spazio.

Il secondo metodo consente di trovare la distanza da un punto a una linea nello spazio.

33. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità delle linee nello spazio.

34. La posizione relativa delle linee nello spazio e una linea con un piano.

35. Equazione classica dell'ellisse (derivazione) e sua costruzione. L'equazione canonica di un'ellisse ha la forma in cui sono presenti numeri reali positivi e. Come costruire un'ellisse?

36. Equazione classica dell'iperbole (derivazione) e sua costruzione. Asintoti.

37. Equazione della parabola canonica (derivazione) e costruzione.

38. Funzione. Definizioni di base. Grafici delle funzioni elementari di base.

39. Sequenze numeriche. Limite della sequenza numerica.

40. Quantità infinitamente piccole e infinitamente grandi. Teorema sulla connessione tra loro, proprietà.

41. Teoremi sulle azioni su variabili aventi limiti finiti.

42. Numero e.

Contenuto

Metodi di determinazione

Proprietà

Storia

Approssimazioni

43. Determinazione del limite di una funzione. Scoprire le incertezze.

44. Limiti notevoli, loro conclusione. Quantità infinitesime equivalenti.

Contenuto

Il primo meraviglioso limite

Secondo meraviglioso limite

45. Limiti unilaterali. Continuità e discontinuità della funzione. Limiti unilaterali

Limiti sinistro e destro di una funzione

Punto di discontinuità del primo tipo

Punto di discontinuità del secondo tipo

Punto di rottura rimovibile

46. ​​​​Definizione di derivato. Significato geometrico, significato meccanico della derivata. Equazioni tangenti e normali per una curva e un punto.

47. Teoremi sulla derivata di funzioni complesse inverse.

48. Derivate delle funzioni elementari più semplici.

49. Differenziazione di funzioni parametriche, implicite ed esponenziali di potenza.

21. Differenziazione di funzioni implicite e definite parametricamente

21.1. Funzione implicita

21.2. Funzione definita parametricamente

50. Derivate di ordine superiore. La formula di Taylor.

51. Differenziale. Applicazione del differenziale a calcoli approssimati.

52. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. La regola dell'Hopital.

53. Teorema sulle condizioni necessarie e sufficienti per la monotonicità di una funzione.

54. Determinazione del massimo e del minimo di una funzione. Teoremi sulle condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di un estremo di una funzione.

Teorema (condizione necessaria per l'estremo)

55. Convessità e concavità delle curve. Punti di flesso. Teoremi sulle condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza dei punti di flesso.

Prova

57. Determinanti dell'ennesimo ordine, loro proprietà.

58. Matrici e azioni su di esse. Rango della matrice.

Definizione

Definizioni correlate

Proprietà

Trasformazione lineare e rango di matrice

59. Matrice inversa. Teorema sull'esistenza di una matrice inversa.

60. Sistemi di equazioni lineari. Soluzione matriciale di sistemi di equazioni lineari. Regola di Cramer. Metodo di Gauss. Teorema di Kronecker-Capelli.

Sistemi risolutivi di equazioni algebriche lineari, metodi risolutivi, esempi.

Definizioni, concetti, designazioni.

Risoluzione di sistemi elementari di equazioni algebriche lineari.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Cramer.

Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo matriciale (utilizzando una matrice inversa).

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss.

Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale.

Teorema di Kronecker-Capelli.

Metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale.

Scrivere una soluzione generale a sistemi algebrici lineari omogenei e disomogenei utilizzando i vettori del sistema fondamentale di soluzioni.

Risoluzione di sistemi di equazioni che si riducono allo slough.

Esempi di problemi che si riducono alla soluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari.

Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo matriciale (utilizzando una matrice inversa).

Sia dato il sistema di equazioni algebriche lineari in forma matriciale, dove la matrice UN ha dimensione N SU N e il suo determinante è diverso da zero.

Da allora la matrice UN– è invertibile, cioè esiste una matrice inversa. Se moltiplichiamo entrambi i membri dell'uguaglianza a sinistra, otteniamo una formula per trovare una colonna di matrice di variabili sconosciute. In questo modo abbiamo ottenuto la soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo della matrice.

metodo della matrice.

Riscriviamo il sistema di equazioni in forma matriciale:

Perché quindi lo SLAE può essere risolto utilizzando il metodo della matrice. Utilizzando la matrice inversa, la soluzione di questo sistema può essere trovata come .

Costruiamo una matrice inversa utilizzando una matrice dai complementi algebrici degli elementi della matrice UN(se necessario, vedere l'articolo metodi per trovare la matrice inversa):

Resta da calcolare la matrice delle variabili sconosciute moltiplicando la matrice inversa ad una matrice-colonna di membri liberi (se necessario, vedere l'articolo operazioni sulle matrici):

o in un altro post X 1 = 4,x 2 = 0,x 3 = -1 .

Il problema principale quando si trovano soluzioni a sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo matriciale è la complessità di trovare la matrice inversa, soprattutto per matrici quadrate di ordine superiore al terzo.

Per una descrizione più dettagliata della teoria e ulteriori esempi, vedere l'articolo Metodo della matrice per risolvere sistemi di equazioni lineari.

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Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss.

Supponiamo di dover trovare una soluzione al sistema da N equazioni lineari con N variabili sconosciute il cui determinante della matrice principale è diverso da zero.

L'essenza del metodo Gauss consiste nell'eliminare in sequenza le variabili sconosciute: prima eliminare X 1 da tutte le equazioni del sistema, a partire dalla seconda, è ulteriormente escluso X 2 da tutte le equazioni, a partire dalla terza, e così via, finché nell'ultima equazione rimane solo la variabile sconosciuta X N. Viene chiamato questo processo di trasformazione delle equazioni di un sistema per eliminare sequenzialmente le variabili sconosciute metodo gaussiano diretto. Dopo aver completato la progressione in avanti del metodo gaussiano, dall'ultima equazione troviamo X N, utilizzando questo valore della penultima equazione che calcoliamo X n-1, e così via, a partire dalla prima equazione che troviamo X 1 . Viene chiamato il processo di calcolo delle variabili sconosciute quando si passa dall'ultima equazione del sistema alla prima inverso del metodo gaussiano.

Descriviamo brevemente l'algoritmo per eliminare le variabili sconosciute.

Lo assumeremo , poiché possiamo sempre ottenere questo risultato riorganizzando le equazioni del sistema. Eliminare la variabile sconosciuta X 1 da tutte le equazioni del sistema, a partire dalla seconda. Per fare questo, alla seconda equazione del sistema aggiungiamo la prima, moltiplicata per, alla terza equazione aggiungiamo la prima, moltiplicata per, e così via, a ennesimo all'equazione aggiungiamo il primo moltiplicato per. Il sistema di equazioni dopo tali trasformazioni assumerà la forma dove e .

Arriveremmo allo stesso risultato se esprimessimo X 1 attraverso altre variabili sconosciute nella prima equazione del sistema e l'espressione risultante è stata sostituita in tutte le altre equazioni. Quindi la variabile X 1 escluso da tutte le equazioni, a partire dalla seconda.

Successivamente si procede in modo simile, ma solo con una parte del sistema risultante, contrassegnato in figura

Per fare questo, alla terza equazione del sistema aggiungiamo la seconda, moltiplicata per, alla quarta equazione aggiungiamo la seconda, moltiplicata per, e così via, a ennesimo all'equazione aggiungiamo il secondo, moltiplicato per. Il sistema di equazioni dopo tali trasformazioni assumerà la forma dove e . Quindi la variabile X 2 escluso da tutte le equazioni a partire dalla terza.

Successivamente procediamo all'eliminazione dell'ignoto X 3 , in questo caso si agisce in modo analogo con la parte del sistema contrassegnata in figura

Continuiamo quindi la progressione diretta del metodo gaussiano finché il sistema non prende forma

Da questo momento iniziamo il contrario del metodo gaussiano: calcoliamo X N dall'ultima equazione come, utilizzando il valore ottenuto X N troviamo X n-1 dalla penultima equazione, e così via, troviamo X 1 dalla prima equazione.

Risolvere sistemi di equazioni lineari Metodo di Gauss.

Eliminare la variabile sconosciuta X 1 dalla seconda e terza equazione del sistema. Per fare ciò, ad entrambi i membri della seconda e della terza equazione aggiungiamo le parti corrispondenti della prima equazione, moltiplicate per e rispettivamente:

Ora escludiamo dalla terza equazione X 2 , aggiungendo ai suoi lati sinistro e destro i lati sinistro e destro della seconda equazione, moltiplicata per:

Questo completa la corsa in avanti del metodo Gauss, iniziamo la corsa inversa.

Dall'ultima equazione del sistema di equazioni risultante troviamo X 3 :

Dalla seconda equazione otteniamo .

Dalla prima equazione troviamo la restante variabile sconosciuta e completiamo così il procedimento inverso di Gauss.

X 1 = 4,x 2 = 0,x 3 = -1 .

Per informazioni più dettagliate ed esempi aggiuntivi, vedere la sezione sulla risoluzione dei sistemi elementari di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo di Gauss.

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Questo calcolatore online risolve un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo della matrice. Viene fornita una soluzione molto dettagliata. Per risolvere un sistema di equazioni lineari, seleziona il numero di variabili. Scegli un metodo per calcolare la matrice inversa. Quindi inserisci i dati nelle celle e fai clic sul pulsante "Calcola".

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Metodo matriciale per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari

Consideriamo il seguente sistema di equazioni lineari:

Data la definizione di matrice inversa, abbiamo UN −1 UN=E, Dove E- matrice identitaria. Pertanto la (4) può essere scritta come segue:

Pertanto, per risolvere il sistema di equazioni lineari (1) (o (2)), è sufficiente moltiplicare l'inverso di UN matrice per vettore di vincolo B.

Esempi di risoluzione di un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo matriciale

Esempio 1. Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo della matrice:

Troviamo l'inverso della matrice A utilizzando il metodo Jordan-Gauss. Sul lato destro della matrice UN Scriviamo la matrice identità:

Escludiamo gli elementi della prima colonna della matrice sotto la diagonale principale. Per fare ciò, aggiungi le righe 2,3 con la riga 1, moltiplicate rispettivamente per -1/3, -1/3:

Escludiamo gli elementi della 2a colonna della matrice sotto la diagonale principale. Per fare ciò, aggiungi la riga 3 con la riga 2 moltiplicata per -24/51:

Escludiamo gli elementi della 2a colonna della matrice sopra la diagonale principale. Per fare ciò, aggiungi la riga 1 con la riga 2 moltiplicata per -3/17:

Separa il lato destro della matrice. La matrice risultante è la matrice inversa di UN :

Forma matriciale per scrivere un sistema di equazioni lineari: Ascia=b, Dove

Calcoliamo tutti i complementi algebrici della matrice UN:

,

,

,

,

,

Dove UN ij − complemento algebrico di un elemento di matrice UN, situato all'incrocio io-esima riga e J-esima colonna e Δ è il determinante della matrice UN.

Usando la formula della matrice inversa, otteniamo:

Secondo le formule di Cramer;

Metodo di Gauss;

Soluzione: Teorema di Kronecker-Capelli. Un sistema è coerente se e solo se il rango della matrice di questo sistema è uguale al rango della sua matrice estesa, cioè R(UN)=r(UN 1), Dove

La matrice estesa del sistema è simile a:

Moltiplicare la prima riga per ( –3 ), e il secondo a ( 2 ); Successivamente, aggiungi gli elementi della prima riga ai corrispondenti elementi della seconda riga; sottrai il terzo dalla seconda riga. Nella matrice risultante, lasciamo invariata la prima riga.

6 ) e scambiare la seconda e la terza riga:

Moltiplicare la seconda riga per ( –11 ) e aggiungere agli elementi corrispondenti della terza riga.

Dividere gli elementi della terza riga per ( 10 ).

Troviamo il determinante della matrice UN.

Quindi, R(UN)=3 . Grado Matrix esteso R(UN 1) è anche uguale 3 , cioè.

R(UN)=r(UN 1)=3 Þ Il sistema è cooperativo.

1) Durante l'esame della consistenza del sistema, la matrice estesa è stata trasformata utilizzando il metodo gaussiano.

Il metodo gaussiano è il seguente:

1. Ridurre la matrice a una forma triangolare, ovvero dovrebbero esserci zeri sotto la diagonale principale (movimento diretto).

2. Dall'ultima equazione che troviamo x3 e sostituirlo nel secondo, troviamo x2, e sapere x3, x2 li sostituiamo nella prima equazione, troviamo x1(inversione).

Scriviamo la matrice estesa trasformata gaussiana

sotto forma di un sistema di tre equazioni:

Þ x3 =1

x2 = x3Þ x3 =1

2x1 =4+x2 +x3Þ 2x1 =4+1+1Þ

Þ 2x1 =6 Þ x1 =3

.

2) Risolviamo il sistema utilizzando le formule di Cramer: se il determinante del sistema di equazioni Δ è diverso da zero, allora il sistema ha un'unica soluzione, che si trova utilizzando le formule

Calcoliamo il determinante del sistema Δ:

Perché Se il determinante del sistema è diverso da zero, allora secondo la regola di Cramer il sistema ha un'unica soluzione. Calcoliamo i determinanti Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Si ottengono dal determinante del sistema Δ sostituendo la colonna corrispondente con una colonna di coefficienti liberi.

Troviamo le incognite utilizzando le formule:

Risposta: x1 =3, x2 =1, x3 =1 .

3) Risolviamo il sistema utilizzando il calcolo matriciale, ovvero utilizzando la matrice inversa.

A×X=B Þ X=A-1×B, Dove A-1– matrice inversa a UN,

Colonna dei membri gratuiti,

Matrice-colonna delle incognite.

La matrice inversa viene calcolata utilizzando la formula:

Dove D- determinante della matrice UN, A ij– complementi algebrici dell'elemento a ij matrici UN. D= 60 (dal paragrafo precedente). Il determinante è diverso da zero, quindi la matrice A è invertibile e la sua matrice inversa può essere trovata utilizzando la formula (*). Troviamo i complementi algebrici per tutti gli elementi della matrice A utilizzando la formula:

E ij =(-1 )i+j M ij .

x 1, x 2, x 3 hanno trasformato ciascuna equazione in un'identità, quindi sono state trovate correttamente.

Esempio 6. Risolvi il sistema utilizzando il metodo gaussiano e trova due soluzioni fondamentali del sistema.