Cos'è un numero razionale? Cosa sono i numeri razionali? Quali altri ce ne sono?

Numeri razionali

Quarti

Ordine. UN E B esiste una regola che permette di individuare univocamente una ed una sola delle tre relazioni tra loro: “< », « >" o " = ". Questa regola si chiama regola di ordinamento ed è formulato come segue: due numeri non negativi e sono legati dalla stessa relazione di due numeri interi e ; due numeri non positivi UN E B sono legati dalla stessa relazione di due numeri non negativi e ; se all'improvviso UN non negativo, ma B- negativo, allora UN > B.
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Aggiunta di frazioni Operazione di addizione. UN E B Per qualsiasi numero razionale c'è un cosiddetto regola di sommatoria C regola di sommatoria. Inoltre, il numero stesso chiamato quantità UN E B numeri ed è indicato con , e il processo per trovare tale numero è chiamato somma . La regola della sommatoria ha: .
vista successiva Operazione di addizione. UN E B Per qualsiasi numero razionale Operazione di moltiplicazione. regola della moltiplicazione regola di sommatoria C regola di sommatoria. Inoltre, il numero stesso , che assegna loro un numero razionale quantità UN E B lavoro ed è indicato con , e viene anche chiamato il processo per trovare tale numero moltiplicazione .
. La regola della moltiplicazione è simile alla seguente: Transitività della relazione d'ordine. UN , B E regola di sommatoria Per ogni terna di numeri razionali UN Se B E B Se regola di sommatoria meno UN Se regola di sommatoria, Quello UN, e se B E B, e se regola di sommatoria meno UN, e se regola di sommatoriaè uguale
. 6435">Commutatività dell'addizione. Cambiare il posto dei termini razionali non cambia la somma.
Associatività dell'addizione. L'ordine in cui vengono aggiunti tre numeri razionali non influisce sul risultato.
Presenza dello zero. Esiste un numero razionale 0 che preserva ogni altro numero razionale quando viene aggiunto.
La presenza di numeri opposti. Ogni numero razionale ha un numero razionale opposto, che sommato dà 0.
Commutatività della moltiplicazione. Cambiare la posizione dei fattori razionali non cambia il prodotto.
Associatività della moltiplicazione. L'ordine in cui vengono moltiplicati tre numeri razionali non influisce sul risultato.
Disponibilità dell'unità. Esiste un numero razionale 1 che preserva ogni altro numero razionale quando moltiplicato.
Presenza di numeri reciproci. Qualsiasi numero razionale ha un numero razionale inverso, che moltiplicato per dà 1.
Distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione. Lo stesso numero razionale può essere aggiunto ai lati sinistro e destro di una disuguaglianza razionale.
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.

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Proprietà aggiuntive

Tutte le altre proprietà inerenti ai numeri razionali non si distinguono come fondamentali, perché in generale non si basano più direttamente sulle proprietà degli interi, ma possono essere dimostrate sulla base delle proprietà di base date o direttamente mediante la definizione di qualche oggetto matematico . Ci sono molte di queste proprietà aggiuntive. È opportuno elencarne qui solo alcuni.

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Numerabilità di un insieme Numerazione dei numeri razionali.

Per stimare il numero dei numeri razionali è necessario trovare la cardinalità del loro insieme. È facile dimostrare che l’insieme dei numeri razionali è numerabile. Per fare ciò è sufficiente fornire un algoritmo che enumeri i numeri razionali, cioè stabilisca una biiezione tra gli insiemi dei numeri razionali e numeri naturali Il più semplice di questi algoritmi si presenta così. Viene creata una tabella infinita frazioni ordinarie, su ciascuno io-esima riga in ciascuno frazioni ordinarie J io l'esima colonna di cui si trova la frazione. Per chiarezza si presuppone che le righe e le colonne di questa tabella siano numerate a partire da uno. Le celle della tabella sono indicate con , dove

- il numero della riga della tabella in cui si trova la cella e

- numero di colonna.

La tabella risultante viene attraversata utilizzando un “serpente” secondo il seguente algoritmo formale. Queste regole vengono cercate dall'alto verso il basso e la posizione successiva viene selezionata in base alla prima corrispondenza. Nel processo di tale attraversamento, ogni nuovo numero razionale è associato a un altro numero naturale. Cioè, la frazione 1/1 è assegnata al numero 1, la frazione 2/1 al numero 2, ecc. Va notato che vengono numerate solo le frazioni irriducibili.

Seguendo questo algoritmo, possiamo enumerare tutti i numeri razionali positivi. Ciò significa che l’insieme dei numeri razionali positivi è numerabile. È facile stabilire una biiezione tra gli insiemi dei numeri razionali positivi e negativi semplicemente assegnando a ciascun numero razionale il suo opposto. Quello. è numerabile anche l’insieme dei numeri razionali negativi. Anche la loro unione è numerabile per la proprietà degli insiemi numerabili. L'insieme dei numeri razionali è numerabile anche come unione di un insieme numerabile con uno finito.

L'affermazione sulla numerabilità dell'insieme dei numeri razionali può causare qualche confusione, poiché a prima vista sembra che sia molto più estesa dell'insieme dei numeri naturali. In realtà non è così e ci sono abbastanza numeri naturali per enumerare tutti quelli razionali.

Mancanza di numeri razionali

L'ipotenusa di un tale triangolo non può essere espressa da nessun numero razionale

Numeri razionali della forma 1 / N in generale NÈ possibile misurare quantità arbitrariamente piccole. Questo fatto crea l'impressione fuorviante che i numeri razionali possano essere utilizzati per misurare qualsiasi distanza geometrica. È facile dimostrare che ciò non è vero.

Note

Letteratura

I. Kushnir. Manuale di matematica per gli scolari. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Alexandrov. Introduzione alla teoria degli insiemi e alla topologia generale. - M.: cap. ed. fisica e matematica lett. ed. "Scienza", 1977
I. L. Khmelnitsky. Introduzione alla teoria dei sistemi algebrici

Collegamenti

Fondazione Wikimedia.

2010. Numero

- un importante concetto matematico che è cambiato nel corso dei secoli.

Le prime idee sui numeri sono nate dal conteggio di persone, animali, frutta, prodotti vari, ecc. Il risultato sono i numeri naturali: 1, 2, 3, 4, ...

Storicamente la prima estensione del concetto di numero è l’addizione dei numeri frazionari al numero naturale. Frazione

viene chiamata una parte (quota) di un'unità o più parti uguali. Designato da: , dove m, n

- numeri interi; N Frazioni con denominatore 10 N, Dove - un numero intero, chiamato: .

decimale Tra i decimali posto speciale occupare: frazioni periodiche - frazione periodica pura,

- frazione periodica mista. Un'ulteriore espansione del concetto di numero è causata dallo sviluppo della matematica stessa (algebra). Cartesio nel XVII secolo. introduce il concetto.

numero negativo Vengono chiamati i numeri interi (positivi e negativi), frazioni (positivi e negativi) e zero numeri razionali

Per studiare le quantità variabili in continuo cambiamento, si è rivelata necessaria una nuova espansione del concetto di numero - l'introduzione dei numeri reali (reali) - aggiungendo numeri irrazionali a numeri razionali: numeri irrazionali sono infinite frazioni decimali non periodiche.

I numeri irrazionali sono comparsi quando si misurano segmenti incommensurabili (il lato e la diagonale di un quadrato), in algebra - quando si estraggono le radici, un esempio di numero trascendente e irrazionale è π, e .

Numeri naturale(1, 2, 3,...), Totale(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), razionale(rappresentabile come frazione) e irrazionale(non rappresentabile come frazione ) formare un insieme reale (reale) numeri.

I numeri complessi si distinguono separatamente in matematica.

Numeri complessi sorgono in relazione al problema della risoluzione dei quadrati per il caso D< 0 (здесь D– discriminante di un’equazione quadratica). Per molto tempo questi numeri non hanno trovato applicazione fisica, motivo per cui sono stati chiamati numeri “immaginari”. Tuttavia, ora sono ampiamente utilizzati in vari campi della fisica e della tecnologia: ingegneria elettrica, idro e aerodinamica, teoria dell'elasticità, ecc.

Numeri complessi sono scritti nella forma: z= UN+ bi. Qui UN E B – numeri reali, UN frazioni ordinarie – unità immaginaria, cioèe. frazioni ordinarie 2 = –1. Numero UN chiamato ascissa, UN B -ordinata numero complesso UN+ bi. Due numeri complessi UN+ bi E a–bi sono chiamati coniugare numeri complessi.

Proprietà:

1. Numero reale UN può anche essere scritto nella forma dei numeri complessi: UN+ 0frazioni ordinarie O UN - 0frazioni ordinarie. Ad esempio 5 + 0 frazioni ordinarie e 5 – 0 frazioni ordinarie significa lo stesso numero 5.

2. Numero complesso 0 + bi chiamato puramente immaginario numero. Documentazione bi significa uguale a 0 + bi.

3. Due numeri complessi UN+ bi E regola di sommatoria+ di sono considerati uguali se UN= C E B= D. Altrimenti numeri complessi non uguale.

Azioni:

Aggiunta. Somma di numeri complessi UN+ bi E regola di sommatoria+ diè chiamato numero complesso ( UN+ regola di sommatoria) + (B+ D)frazioni ordinarie. Così, Quando si sommano numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono aggiunte separatamente.

Sottrazione. La differenza di due numeri complessi UN+ bi(diminuito) e regola di sommatoria+ di(sottraendo) è chiamato numero complesso ( a–c) + (b-d)frazioni ordinarie. Così, Quando si sottraggono due numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono sottratte separatamente.

Moltiplicazione. Prodotto di numeri complessi UN+ bi E regola di sommatoria+ di si chiama numero complesso:

(ac–bd) + (a.D+ a.C)frazioni ordinarie. Questa definizione deriva da due requisiti:

1) numeri UN+ bi E regola di sommatoria+ di devono essere moltiplicati come binomi algebrici,

2) numero frazioni ordinarie ha la proprietà principale: frazioni ordinarie 2 = –1.

ESEMPIO ( a+bi)(a–bi)=a 2 + b 2 . Quindi, lavorodi due numeri complessi coniugati è uguale a un numero reale positivo.

Divisione. Dividere un numero complesso UN+ bi(divisibile) per un altro regola di sommatoria+ di (divisore) - significa trovare il terzo numero e+ f i(chat), che se moltiplicato per un divisore regola di sommatoria+ di, si traduce nel dividendo UN+ bi. Se il divisore è diverso da zero la divisione è sempre possibile.

ESEMPIO Trova (8+ frazioni ordinarie) : (2 – 3frazioni ordinarie) .

Soluzione. Riscriviamo questo rapporto come una frazione:

Moltiplicando il suo numeratore e denominatore per 2 + 3 frazioni ordinarie e dopo aver eseguito tutte le trasformazioni, otteniamo:

Attività 1: aggiungi, sottrai, moltiplica e dividi z 1 su z 2

Estrazione della radice quadrata: Risolvi l'equazione X 2 = -UN. Per risolvere questa equazione siamo costretti a usare numeri di nuovo tipo - numeri immaginari . Così, immaginario il numero viene chiamato la cui seconda potenza è un numero negativo. Secondo questa definizione di numeri immaginari possiamo definire e immaginario unità:

Quindi per l'equazione X 2 = – 25 otteniamo due immaginario radice:

Compito 2: Risolvi l'equazione:

1)X 2 = – 36; 2) X 2 = – 49; 3) X 2 = – 121

Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. I numeri reali sono rappresentati da punti sulla retta numerica:

Ecco il punto UN indica il numero –3, punto B– numero 2, e O-zero. Al contrario, i numeri complessi sono rappresentati da punti sul piano delle coordinate. A questo scopo scegliamo coordinate rettangolari (cartesiane) con la stessa scala su entrambi gli assi. Quindi il numero complesso UN+ bi sarà rappresentato da un punto P con ascissaUN e ordinataB. Questo sistema di coordinate si chiama piano complesso .

Modulo numero complesso è la lunghezza del vettore OP, che rappresenta un numero complesso sulla coordinata ( completo) aereo. Modulo di un numero complesso UN+ bi indicato | UN+ bi| o) lettera R ed è uguale a:

I numeri complessi coniugati hanno lo stesso modulo.

Le regole per disegnare un disegno sono quasi le stesse di un disegno in un sistema di coordinate cartesiane Lungo gli assi è necessario impostare la dimensione, nota:

e
unità lungo l'asse reale; Riz

unità immaginaria lungo l'asse immaginario. Sono z

Attività 3. Costruisci i seguenti numeri complessi sul piano complesso: , , , , , , ,

1. I numeri sono esatti e approssimativi. I numeri che incontriamo nella pratica sono di due tipi. Alcuni danno il valore reale della quantità, altri solo approssimativo. I primi sono chiamati esatti, i secondi approssimativi. Molto spesso è conveniente utilizzare un numero approssimativo anziché esatto, soprattutto perché in molti casi numero esatto assolutamente impossibile da trovare.

Quindi, se dicono che ci sono 29 studenti in una classe, allora il numero 29 è esatto. Se dicono che la distanza da Mosca a Kiev è di 960 km, allora qui il numero 960 è approssimativo, poiché, da un lato, i nostri strumenti di misurazione non sono assolutamente accurati, dall'altro le città stesse hanno una certa estensione.

Anche il risultato di azioni con numeri approssimativi è un numero approssimativo. Eseguendo alcune operazioni sui numeri esatti (divisione, estrazione della radice), si possono ottenere anche numeri approssimati.

La teoria dei calcoli approssimati consente:

1) conoscendo il grado di accuratezza dei dati, valutare il grado di accuratezza dei risultati;

2) acquisire dati con un adeguato grado di accuratezza sufficiente a garantire l'accuratezza richiesta del risultato;

3) razionalizzare il processo di calcolo, liberandolo da quei calcoli che non influenzeranno l'accuratezza del risultato.

2. Arrotondamento. Una fonte per ottenere numeri approssimativi è l'arrotondamento. Sia i numeri approssimativi che quelli esatti vengono arrotondati.

Arrotondare un dato numero a una certa cifra si chiama sostituirlo con un nuovo numero, che si ottiene da quello dato scartando tutte le sue cifre scritte a destra della cifra di questa cifra, o sostituendole con zeri. Questi zeri sono solitamente sottolineati o scritti più piccoli. Per garantire che il numero arrotondato sia il più vicino possibile a quello da arrotondare, è necessario utilizzare le seguenti regole: per arrotondare un numero a uno di una certa cifra, è necessario scartare tutte le cifre dopo la cifra di questa cifra e sostituire con zeri nel numero intero. Vengono presi in considerazione:

1) se la prima cifra scartata (a sinistra) è inferiore a 5, allora l'ultima cifra rimasta non viene modificata (arrotondamento per difetto);

2) se la prima cifra da scartare è maggiore di 5 o uguale a 5, allora l'ultima cifra rimasta viene incrementata di uno (arrotondamento per eccesso).

Mostriamolo con degli esempi. Girare:

a) fino ai decimi 12,34;

b) ai centesimi 3,2465; 1038.785;

c) fino ai millesimi 3,4335.

d) fino a mille 12375; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12.375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Errori assoluti e relativi. La differenza tra il numero esatto e il suo valore approssimativo è chiamata errore assoluto del numero approssimativo. Ad esempio, se il numero esatto 1.214 viene arrotondato al decimo più vicino, otteniamo un numero approssimativo di 1.2. In questo caso errore assoluto il numero approssimativo 1.2 è uguale a 1.214 - 1.2, cioè 0,014.

Ma nella maggior parte dei casi valore esatto la quantità presa in considerazione è sconosciuta, ma solo approssimativa. Quindi l'errore assoluto è sconosciuto. In questi casi indicare il limite che non deve essere superato. Questo numero è chiamato errore assoluto limite. Dicono che il valore esatto di un numero è uguale al suo valore approssimativo con un errore inferiore all'errore marginale. Ad esempio, il numero 23.71 è un valore approssimativo del numero 23.7125 con una precisione di 0,01, poiché l'errore assoluto dell'approssimazione è 0,0025 e inferiore a 0,01. Qui l'errore assoluto limite è 0,01 *.

Errore assoluto al contorno del numero approssimato UN indicato con il simbolo Δ UN. Documentazione

X≈UN(±Δ UN)

va inteso come segue: il valore esatto della quantità Xè tra i numeri UN– Δ UN E UN+ Δ UN, chiamati rispettivamente limite inferiore e limite superiore X e denotare NG X VG X.

Ad esempio, se X≈ 2,3 (±0,1), quindi 2,2<X< 2,4.

Viceversa, se 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). L'errore assoluto assoluto o marginale non caratterizza la qualità della misurazione eseguita. Lo stesso errore assoluto può essere considerato significativo e insignificante a seconda del numero con cui viene espresso il valore misurato. Ad esempio, se misuriamo la distanza tra due città con una precisione di un chilometro, tale precisione è abbastanza sufficiente per questo cambiamento, ma allo stesso tempo, quando si misura la distanza tra due case sulla stessa strada, tale precisione sarà inaccettabile. Di conseguenza, l'accuratezza del valore approssimativo di una grandezza dipende non solo dall'entità dell'errore assoluto, ma anche dal valore della grandezza misurata. Pertanto, la misura dell’accuratezza è l’errore relativo.

L'errore relativo è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore del numero approssimativo. Il rapporto tra l'errore assoluto limite e il numero approssimativo è chiamato errore relativo limite; lo designano così: . Gli errori relativi relativi e marginali sono solitamente espressi in percentuale. Ad esempio, se le misurazioni mostrassero che la distanza X tra due punti è superiore a 12,3 km, ma inferiore a 12,7 km, quindi la media aritmetica di questi due numeri viene presa come valore approssimativo, cioè la loro semisomma, allora l'errore marginale assoluto è uguale alla semidifferenza di questi numeri. In questo caso X≈ 12,5 (±0,2). Qui l'errore assoluto limite è 0,2 km e quello relativo

) sono numeri con segno positivo o negativo (interi e frazioni) e zero. Un concetto più preciso di numeri razionali suona così:

Numero razionale- un numero rappresentato come una frazione comune m/n, dove il numeratore M sono numeri interi e il denominatore N- numeri naturali, ad esempio 2/3.

Le frazioni infinite non periodiche NON sono incluse nell'insieme dei numeri razionali.

a/b, Dove UN∈ Z (UN appartiene a numeri interi), B∈ N (B appartiene ai numeri naturali).

Usare i numeri razionali nella vita reale.

Nella vita reale, l'insieme dei numeri razionali viene utilizzato per contare le parti di alcuni oggetti interi divisibili, Per esempio, torte o altri alimenti tagliati a pezzi prima del consumo o per stimare approssimativamente le relazioni spaziali di oggetti estesi.

Proprietà dei numeri razionali.

Proprietà fondamentali dei numeri razionali.

1. Ordine UN E B esiste una regola che permette di identificare inequivocabilmente 1 e una sola delle 3 relazioni tra loro: “<», «>" o "=". Questa è la regola - regola di ordinamento e formularlo così:

2 numeri positivi a=m a /n a E b=m b /n b sono legati dalla stessa relazione di 2 numeri interi ma un⋅ nb E m b⋅ n / a;
2 numeri negativi UN E B sono legati dallo stesso rapporto di 2 numeri positivi |b| E |a|;
Quando UN positivo e B- negativo, allora a>b.

∀ un, b∈ D(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operazione di addizione. Per tutti i numeri razionali UN E B C'è c'è un cosiddetto, che li associa ad un certo numero razionale regola di sommatoria. Inoltre, il numero stesso regola di sommatoria- Questo somma quantità UN E B ed è indicato come (a+b) somma.

Regola della sommatoria assomiglia a questo:

ma un/n a + m b/nb =(m a⋅ nb + m b⋅ n / a)/(n / a⋅ nb).

∀ un, b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operazione di moltiplicazione. Per tutti i numeri razionali UN E B C'è Operazione di moltiplicazione., li associa ad un certo numero razionale regola di sommatoria. Viene chiamato il numero c , che assegna loro un numero razionale quantità UN E B e denotare (a⋅b) e viene chiamato il processo per trovare questo numero moltiplicazione.

Regola di moltiplicazione assomiglia a questo: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. . La regola della moltiplicazione è simile alla seguente: Per tre numeri razionali qualsiasi UN, B E regola di sommatoria Se UN meno B E B meno regola di sommatoria, Quello UN meno C, e se UNè uguale B E Bè uguale regola di sommatoria, Quello UNè uguale C.

∀ a, b, c∈ D(a ∧ B ⇒ UN ∧ (a = b∧ b = c⇒ un = c)

5. Commutatività dell'addizione. Cambiare la posizione dei termini razionali non cambia la somma.

∀ un, b∈ Q a+b=b+a

6. Associatività dell'addizione. L'ordine in cui vengono aggiunti 3 numeri razionali non influisce sul risultato.

∀ a, b, c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Presenza dello zero. C'è un numero razionale 0, conserva ogni altro numero razionale quando viene aggiunto.

∃ 0 ∈ Q∀ UN∈ Qa+0=a

8. Presenza di numeri opposti. Ogni numero razionale ha un numero razionale opposto e quando vengono sommati il risultato è 0.

∀ UN∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(−a)=0

9. Commutatività della moltiplicazione. Cambiare la posizione dei fattori razionali non cambia il prodotto.

∀ un, b∈ D a⋅ b=b⋅ UN

10. Associatività della moltiplicazione. L'ordine in cui vengono moltiplicati 3 numeri razionali non ha alcun effetto sul risultato.

∀ a, b, c∈ D(a⋅ B)⋅ c=a⋅ (B⋅ C)

11. Disponibilità unità. Esiste un numero razionale 1, preserva ogni altro numero razionale nel processo di moltiplicazione.

∃ 1 ∈ Q∀ UN∈ D a⋅ 1=un

12. Disponibilità numeri reciproci . Ogni numero razionale diverso da zero ha un numero razionale inverso, moltiplicandolo per otteniamo 1 .

∀ UN∈ Q∃ a−1∈ D a⋅ a−1=1

13. Distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione. L'operazione di moltiplicazione è legata all'addizione utilizzando la legge distributiva:

∀ a, b, c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ regola di sommatoria

14. Relazione tra la relazione d'ordine e l'operazione di addizione. Lo stesso numero razionale viene aggiunto ai lati sinistro e destro di una disuguaglianza razionale.

∀ a, b, c∈ D a ⇒ a+c

15. Relazione tra la relazione d'ordine e l'operazione di moltiplicazione. I lati sinistro e destro di una disuguaglianza razionale possono essere moltiplicati per lo stesso numero razionale non negativo.

∀ a, b, c∈ Qc>0∧ UN ⇒ UN⋅ C ⋅ regola di sommatoria

16. Assioma di Archimede. Qualunque sia il numero razionale UN, è facile prendere così tante unità che la loro somma sarà maggiore UN.

Numeri razionali

Quarti

Ordine. UN E B esiste una regola che permette di identificare univocamente uno e uno solo dei tre tra loro relazioni : « < », « >" o " = ". Questa regola si chiama regola di ordinamento ed è formulato come segue: due numeri non negativi e sono legati dalla stessa relazione di due numeri interi e ; due numeri non positivi UN E B sono legati dalla stessa relazione di due numeri non negativi e ; se all'improvviso UN non negativo, ma B- negativo, allora UN > B.
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Operazione di addizione. Operazione di addizione. UN E B Per qualsiasi numero razionale c'è un cosiddetto regola di sommatoria C regola di sommatoria. Inoltre, il numero stesso quantità quantità UN E B numeri ed è indicato con , e il processo per trovare tale numero è chiamato. La regola della sommatoria ha la seguente forma: .
Operazione di moltiplicazione. Operazione di addizione. UN E B Per qualsiasi numero razionale Operazione di moltiplicazione. regola della moltiplicazione regola di sommatoria C regola di sommatoria. Inoltre, il numero stesso lavoro quantità UN E B lavoro ed è indicato con , e viene anche chiamato il processo per trovare tale numero moltiplicazione .
Transitività rapporti d'ordine. Transitività della relazione d'ordine. UN , B E regola di sommatoria Per ogni terna di numeri razionali UN Se B E B Se regola di sommatoria meno UN Se regola di sommatoria, Quello UN, e se B E B, e se regola di sommatoria meno UN, e se regola di sommatoriaè uguale
Associatività aggiunta. 6435">Commutatività dell'addizione. Cambiare il posto dei termini razionali non cambia la somma.
Disponibilità zero. L'ordine in cui vengono aggiunti tre numeri razionali non influisce sul risultato.
Presenza dello zero. Esiste un numero razionale 0 che preserva ogni altro numero razionale quando viene aggiunto.
La presenza di numeri opposti. Ogni numero razionale ha un numero razionale opposto, che sommato dà 0.
Commutatività della moltiplicazione. Cambiare la posizione dei fattori razionali non cambia il prodotto.
Disponibilità unità. L'ordine in cui vengono moltiplicati tre numeri razionali non influisce sul risultato.
Disponibilità numeri reciproci. Esiste un numero razionale 1 che preserva ogni altro numero razionale quando moltiplicato.
Distributività moltiplicazione rispetto all'addizione. Qualsiasi numero razionale ha un numero razionale inverso, che moltiplicato per dà 1.
Distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione. Lo stesso numero razionale può essere aggiunto ai lati sinistro e destro di una disuguaglianza razionale.
Assioma di Archimede. Assioma di Archimede. UN Qualunque sia il numero razionale UN, puoi prendere così tante unità che la loro somma supera

.

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Proprietà aggiuntive

Tutte le altre proprietà inerenti ai numeri razionali non si distinguono come fondamentali, perché in generale non si basano più direttamente sulle proprietà degli interi, ma possono essere dimostrate sulla base delle proprietà di base date o direttamente mediante la definizione di qualche oggetto matematico . Ci sono molte di queste proprietà aggiuntive. È opportuno elencarne qui solo alcuni.

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Per stimare il numero di numeri razionali, è necessario trovare energia ce ne sono molti. È facile dimostrare che l’insieme dei numeri razionali numerabile. Per fare ciò è sufficiente fornire un algoritmo che numera i numeri razionali, cioè stabilisce biiezione tra gli insiemi dei numeri razionali e naturali.

Il più semplice di questi algoritmi si presenta così. Su ciascuna viene compilata una tabella infinita di frazioni ordinarie frazioni ordinarie, su ciascuno io-esima riga in ciascuno frazioni ordinarie J io l'esima colonna di cui si trova la frazione. Per chiarezza si presuppone che le righe e le colonne di questa tabella siano numerate a partire da uno. Le celle della tabella sono indicate con , dove

- il numero della riga della tabella in cui si trova la cella e

- numero di colonna.

Nel processo di tale attraversamento, ogni nuovo numero razionale è associato a un altro numero naturale. Cioè, la frazione 1/1 è assegnata al numero 1, la frazione 2/1 al numero 2, ecc. Va notato che vengono numerate solo le frazioni irriducibili. Un segno formale di irriducibilità è l’uguaglianza a uno massimo comun divisore numeratore e denominatore della frazione.

Mancanza di numeri razionali

L'ipotenusa di un tale triangolo non può essere espressa da nessun numero razionale

Numeri razionali della forma 1 / N in generale N può essere misurato quantità arbitrariamente piccole. Questo fatto crea l'impressione fuorviante che i numeri razionali possano misurare qualsiasi cosa geometrico distanze. È facile dimostrare che ciò non è vero.

Note

Letteratura

I. Kushnir. Manuale di matematica per gli scolari. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Alexandrov. Introduzione alla teoria degli insiemi e alla topologia generale. - M.: cap. ed. fisica e matematica lett. ed. "Scienza", 1977
I. L. Khmelnitsky. Introduzione alla teoria dei sistemi algebrici