Regole sui numeri primi. Numeri primi: storia e fatti

L'articolo discute i concetti di numeri primi e composti. Le definizioni di tali numeri sono fornite con esempi. Dimostriamo che il numero dei numeri primi è illimitato e lo registreremo nella tavola dei numeri primi utilizzando il metodo di Eratostene. Verranno fornite prove per determinare se un numero è primo o composto.

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Numeri primi e compositi: Definizioni ed esempi

I numeri primi e composti sono classificati come interi positivi. Devono essere maggiori di uno. I divisori si dividono anche in semplici e compositi. Per comprendere il concetto di numeri composti, devi prima studiare i concetti di divisore e multiplo.

Definizione 1

I numeri primi sono numeri interi maggiori di uno che hanno due divisori positivi, cioè se stessi e 1.

Definizione 2

I numeri compositi sono numeri interi maggiori di uno e che hanno almeno tre divisori positivi.

Uno non è né un numero primo né un numero composto. Ha un solo divisore positivo, quindi è diverso da tutti gli altri numeri positivi. Tutti i numeri interi positivi sono chiamati numeri naturali, cioè utilizzati nei conteggi.

Definizione 3

numeri primi sono numeri naturali che hanno solo due divisori positivi.

Definizione 4

Numero compostoè un numero naturale che ha più di due divisori positivi.

Qualsiasi numero maggiore di 1 è primo o composto. Dalla proprietà di divisibilità si ricava che 1 e il numero a saranno sempre divisori di qualsiasi numero a, cioè sarà divisibile per se stesso e per 1. Diamo una definizione di numeri interi.

Definizione 5

I numeri naturali che non sono primi si chiamano numeri composti.

Numeri primi: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Sono divisibili solo per se stessi e 1. Numeri compositi: 6, 63, 121, 6697. Cioè, il numero 6 può essere scomposto in 2 e 3 e 63 in 1, 3, 7, 9, 21, 63 e 121 in 11, 11, ovvero i suoi divisori saranno 1, 11, 121. Il numero 6697 viene scomposto in 37 e 181. Si noti che i concetti di numeri primi e numeri coprimi sono concetti diversi.

Per facilitare l'uso dei numeri primi è necessario utilizzare una tabella:

Una tabella per tutti i numeri naturali esistenti non è realistica, poiché ce ne sono un numero infinito. Quando i numeri raggiungono dimensioni pari a 10000 o 1000000000, dovresti prendere in considerazione l'utilizzo del Setaccio di Eratostene.

Consideriamo il teorema che spiega l'ultima affermazione.

Teorema 1

Il più piccolo divisore positivo diverso da 1 numero naturale, maggiore di uno, è un numero primo.

Prova 1

Supponiamo che a sia un numero naturale maggiore di 1 e b sia il più piccolo divisore non uno di a. È necessario dimostrare che b è un numero primo utilizzando il metodo della contraddizione.

Supponiamo che b sia un numero composto. Da qui si deduce che esiste un divisore per b, che è diverso sia da 1 che da b. Tale divisore è indicato come b 1. È necessario che la condizione 1< b 1 < b venne terminato.

Dalla condizione è chiaro che a è diviso per b, b è diviso per b 1, il che significa che il concetto di divisibilità è espresso come segue: a = bq e b = b 1 · q 1 , da dove a = b 1 · (q 1 · q) , dove q e q1 sono numeri interi. Secondo la regola della moltiplicazione dei numeri interi, abbiamo che il prodotto dei numeri interi è un numero intero con uguaglianza della forma a = b 1 · (q 1 · q) . Si può vedere che b 1 è il divisore del numero a. Disuguaglianza 1< b 1 < b Non corrisponde, perché troviamo che b è il più piccolo divisore positivo e non 1 di a.

Teorema 2

Esistono infiniti numeri primi.

Prova 2

Presumibilmente prendiamo un numero finito di numeri naturali n e li denotiamo come p 1, p 2, …, p n. Consideriamo la possibilità di trovare un numero primo diverso da quelli indicati.

Prendiamo in considerazione il numero p, che è uguale a p 1, p 2, ..., p n + 1. Non è uguale a ciascuno dei numeri corrispondenti ai numeri primi della forma p 1, p 2, ..., p n. Il numero p è primo. Allora il teorema si considera dimostrato. Se è composto, devi prendere la notazione p n + 1 e mostrare che il divisore non coincide con nessuno tra p 1, p 2, ..., p n.

Se così non fosse, allora, in base alla proprietà di divisibilità del prodotto p 1, p 2, ..., p n , troviamo che sarebbe divisibile per pn + 1. Si noti che l'espressione p n + 1 dividendo il numero p è uguale alla somma p 1, p 2, ..., p n + 1. Otteniamo che l'espressione p n + 1 Il secondo termine di questa somma, che è uguale a 1, deve essere diviso, ma ciò è impossibile.

Si può vedere che qualsiasi numero primo può essere trovato tra qualsiasi numero di numeri primi dati. Ne consegue che esistono infiniti numeri primi.

Poiché i numeri primi sono molti, le tabelle sono limitate ai numeri 100, 1000, 10000 e così via.

Quando compili una tabella di numeri primi, dovresti tenere presente che tale attività richiede un controllo sequenziale dei numeri, a partire da 2 a 100. Se non è presente alcun divisore, viene registrato nella tabella; se è composto, non viene inserito nella tabella.

Diamo un'occhiata passo dopo passo.

Se inizi con il numero 2, avrà solo 2 divisori: 2 e 1, il che significa che può essere inserito nella tabella. Stessa cosa con il numero 3. Il numero 4 è composto; deve essere scomposto in 2 e 2. Il numero 5 è primo, il che significa che può essere registrato nella tabella. Fatelo fino al numero 100.

Questo metodo scomodo e lungo. Puoi creare una tabella, ma dovrai spendere un gran numero di tempo. È necessario utilizzare criteri di divisibilità, che accelereranno il processo di ricerca dei divisori.

Il metodo che utilizza il setaccio di Eratostene è considerato il più conveniente. Consideriamo come esempio le tabelle seguenti. Per cominciare si scrivono i numeri 2, 3, 4, ..., 50.

Ora devi cancellare tutti i numeri che sono multipli di 2. Esegui barrature sequenziali. Otteniamo una tabella del tipo:

Passiamo a cancellare i numeri multipli di 5. Noi abbiamo:

Cancella i numeri multipli di 7, 11. Alla fine il tavolo sembra

Passiamo alla formulazione del teorema.

Teorema 3

Il più piccolo divisore positivo e diverso da 1 del numero base a non supera a, dove a è la radice aritmetica del numero dato.

Prova 3

Deve essere designato b minimo divisore numero composto a. Esiste un intero q, dove a = b · q, e abbiamo che b ≤ q. Le disuguaglianze di forma sono inaccettabili b > q, perché la condizione è violata. Entrambi i lati della disuguaglianza b ≤ q devono essere moltiplicati per qualsiasi numero positivo b diverso da 1. Otteniamo che b · b ≤ b · q, dove b 2 ≤ a e b ≤ a.

Dal teorema dimostrato è chiaro che cancellare i numeri nella tabella porta al fatto che è necessario iniziare con un numero uguale a b 2 e che soddisfa la disuguaglianza b 2 ≤ a. Cioè, se elimini numeri multipli di 2, il processo inizia con 4, i multipli di 3 con 9 e così via fino a 100.

La compilazione di tale tabella utilizzando il teorema di Eratostene suggerisce che quando tutti i numeri compositi vengono cancellati, rimarranno numeri primi che non superano n. Nell'esempio in cui n = 50, abbiamo che n = 50. Da qui si ricava che il crivello di Eratostene vaglia tutti i numeri composti che non hanno valore maggior valore radice di 50. La ricerca dei numeri viene effettuata barrando.

Prima di risolvere, devi scoprire se il numero è primo o composto. Spesso vengono utilizzati criteri di divisibilità. Diamo un'occhiata a questo nell'esempio qui sotto.

Esempio 1

Dimostrare che il numero 898989898989898989 è composto.

Soluzione

La somma delle cifre di un dato numero è 9 8 + 9 9 = 9 17. Ciò significa che il numero 9 · 17 è divisibile per 9, in base al test di divisibilità per 9. Ne consegue che è composito.

Tali segni non sono in grado di dimostrare l'eccellenza di un numero. Se è necessaria la verifica, dovrebbero essere intraprese altre azioni. Il modo più adatto è enumerare i numeri. Durante il processo è possibile trovare numeri primi e composti. Cioè, i numeri non dovrebbero superare il valore a. Cioè, il numero a deve essere scomposto in fattori primi. se questo è soddisfatto, allora il numero a può essere considerato primo.

Esempio 2

Determina il numero composito o primo 11723.

Soluzione

Ora devi trovare tutti i divisori del numero 11723. È necessario valutare 11723 .

Da qui vediamo che 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 e 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 meno numero 200 .

Per una stima più accurata del numero 11723, è necessario scrivere l'espressione 108 2 = 11 664, e 109 2 = 11 881 , Quello 108 2 < 11 723 < 109 2 . Ne consegue che 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Quando si espande, troviamo che 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 sono tutti numeri primi. L'intero processo può essere rappresentato come una divisione per colonna. Cioè, dividi 11723 per 19. Il numero 19 è uno dei suoi fattori, poiché otteniamo la divisione senza resto. Rappresentiamo la divisione come una colonna:

Ne consegue che 11723 è un numero composto, perché oltre a se stesso e 1 ha come divisore 19.

Risposta: 11723 è un numero composto.

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numero primo

un numero naturale maggiore di uno e che non ha divisori diversi da se stesso e uno: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Il numero dei numeri primi è infinito.

numero primo

un intero positivo maggiore di uno, che non ha divisori diversi da se stesso e uno: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Il concetto di numero è fondamentale nello studio della divisibilità dei naturali (interi positivi ) numeri; Vale a dire, il teorema principale della teoria della divisibilità stabilisce che ogni intero positivo, tranne 1, è scomposto in modo univoco nel prodotto di un numero di numeri (l'ordine dei fattori non viene preso in considerazione). Esistono infiniti numeri primi (questa proposta era nota agli antichi matematici greci; la sua dimostrazione è disponibile nel IX libro degli Elementi di Euclide). Nello studio dei gruppi sono importanti le questioni sulla divisibilità dei numeri naturali, e quindi le questioni relative ai numeri primi; in particolare, la struttura di un gruppo con un numero finito di elementi è strettamente correlata al modo in cui tale numero di elementi (l'ordine del gruppo) viene scomposto in fattori primi. La teoria dei numeri algebrici affronta i problemi della divisibilità degli interi algebrici; Il concetto di numero parziale si rivelò insufficiente per costruire una teoria della divisibilità, ciò portò alla creazione del concetto di ideale; P. G. L. Dirichlet stabilì nel 1837 che la progressione aritmetica a + bx per x = 1, 2,... con interi coprimi a e b contiene infiniti numeri primi. Determinare la distribuzione dei numeri primi nella serie naturale dei numeri è molto difficile problema in teoria dei numeri. È formulato come studio del comportamento asintotico della funzione p(x), che denota il numero di numeri parziali che non superano un numero positivo x. I primi risultati in questa direzione appartengono a P.L. Chebyshev, che nel 1850 dimostrò che esistono due costanti a e A tali che ═< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен

Successivamente, sforzi significativi dei matematici sono stati diretti a chiarire la legge asintotica della distribuzione del numero P. Vengono studiate le questioni sulla distribuzione del numero P. e metodi elementari e metodi analisi matematica. Particolarmente fruttuoso è il metodo basato sull'uso dell'identità

(il prodotto si estende a tutti i P. h. p = 2, 3,...), indicato per primo da L. Euler; questa identità è valida per tutti gli s complessi con parte reale maggiore dell'unità. Sulla base di questa identità, le questioni sulla distribuzione dei numeri P. portano allo studio di una funzione speciale ≈ funzione zeta x(s), determinata per Res > 1 dalla serie

Questa funzione è stata utilizzata in questioni sulla distribuzione dei numeri primi per i reali da Chebyshev; B. Riemann ha sottolineato l'importanza di studiare x(s) per valori complessi di s. Riemann ipotizzò che tutte le radici dell'equazione x(s) = 0 giacenti nel semipiano destro abbiano parte reale pari a 1/

Questa ipotesi non è stata dimostrata fino ad oggi (1975); la sua dimostrazione sarebbe molto utile per risolvere il problema della distribuzione dei numeri primi. Le questioni relative alla distribuzione dei numeri primi sono strettamente legate al problema di Goldbach, al problema ancora irrisolto dei “gemelli” e ad altri problemi della teoria analitica dei numeri. Il problema dei “gemelli” è scoprire se il numero dei numeri P. diversi di 2 (come, ad esempio, 11 e 13) è finito o infinito. Le tabelle dei numeri P. compresi nei primi 11 milioni di numeri naturali mostrano la presenza di "gemelli" molto grandi (ad esempio, 10006427 e 10006429), ma questa non è una prova dell'infinità del loro numero. Al di fuori delle tabelle compilate, sono noti singoli numeri P. che consentono una semplice espressione aritmetica [ad esempio, è stato stabilito (1965) che 211213 ≈1 è un numero P.; ha 3376 cifre].

Bibliografia: Vinogradov I.M., Fondamenti della teoria dei numeri, 8a ed., M., 1972; Hasse G., Lezioni sulla teoria dei numeri, trad. da tedesco, M., 1953; Ingham A.E., Distribuzione dei numeri primi, trad. dall'inglese, M. ≈ L., 1936; Prahar K., Distribuzione dei numeri primi, trad. da tedesco, M., 1967; Trost E., Numeri primi, trad., dal tedesco, M., 1959.

Wikipedia

numero primo

numero primo- un numero naturale che ha esattamente due divisori naturali distinti - e se stesso. In altre parole, il numero Xè primo se è maggiore di 1 ed è divisibile senza resto solo per 1 e X. Ad esempio, 5 è un numero primo e 6 è un numero composto poiché, oltre a 1 e 6, è divisibile anche per 2 e 3.

I numeri naturali maggiori di uno e che non sono primi si chiamano numeri composti. Pertanto, tutti i numeri naturali sono divisi in tre classi: uno. La teoria dei numeri studia le proprietà dei numeri primi. Nella teoria degli anelli, i numeri primi corrispondono agli elementi irriducibili.

La sequenza dei numeri primi inizia così:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …

Enumerazione dei divisori. Per definizione, numero Nè primo solo se non è uniformemente divisibile per 2 e altri numeri interi tranne 1 e se stesso. La formula sopra elimina i passaggi non necessari e fa risparmiare tempo: ad esempio, dopo aver verificato se un numero è divisibile per 3, non è necessario verificare se è divisibile per 9.

• La funzione floor(x) arrotonda x all'intero più vicino minore o uguale a x.

Conoscere l'aritmetica modulare. L'operazione è "x mod y" (mod è l'abbreviazione di Parola latina"modulo" significa "dividi x per y e trova il resto". In altre parole, nell'aritmetica modulare, al raggiungimento di un certo valore, che si chiama modulo, i numeri “tornano” nuovamente a zero. Ad esempio, un orologio segna l'ora con modulo 12: segna le 10, le 11 e le 12 e poi ritorna all'1.

• Molte calcolatrici hanno una chiave mod. La fine di questa sezione mostra come calcolare manualmente questa funzione grandi numeri.

Scopri le insidie ​​del Piccolo Teorema di Fermat. Tutti i numeri per i quali le condizioni del test non sono soddisfatte sono compositi, ma i numeri rimanenti lo sono solo probabilmente sono classificati come semplici. Se vuoi evitare risultati errati, cerca N nell'elenco dei "numeri di Carmichael" (numeri compositi che soddisfano questo test) e “numeri di Fermat pseudo-primi” (questi numeri corrispondono alle condizioni di test solo per determinati valori UN).

Se conveniente, utilizzare il test di Miller-Rabin. Sebbene questo metodo sia piuttosto complicato da calcolare manualmente, viene spesso utilizzato programmi per computer. Fornisce una velocità accettabile e produce meno errori rispetto al metodo di Fermat. Un numero composto non sarà accettato come numero primo se i calcoli vengono effettuati per più di ¼ dei valori UN. Se selezioni a caso significati diversi UN e per tutti loro il test darà un risultato positivo, possiamo presumerlo con un grado di sicurezza abbastanza elevato Nè un numero primo.

Per numeri grandi, utilizzare l'aritmetica modulare. Se non hai una calcolatrice con mod a portata di mano, o la tua calcolatrice non è progettata per gestire numeri così grandi, usa le proprietà delle potenze e dell'aritmetica modulare per rendere i calcoli più facili. Di seguito è riportato un esempio per 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod.50:

• Riscrivi l'espressione in una forma più comoda: mod 50. Quando si eseguono calcoli manuali potrebbero essere necessarie ulteriori semplificazioni.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Qui abbiamo preso in considerazione la proprietà della moltiplicazione modulare.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 * 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
• = 49 (\displaystyle =49).

• Traduzione

Le proprietà dei numeri primi furono studiate per la prima volta dai matematici Grecia antica. I matematici della scuola pitagorica (500-300 a.C.) erano interessati principalmente alle proprietà mistiche e numerologiche dei numeri primi. Sono stati i primi a inventare idee sui numeri perfetti e amichevoli.

Un numero perfetto ha la somma dei propri divisori uguale a se stesso. Ad esempio, i divisori propri del numero 6 sono 1, 2 e 3. 1 + 2 + 3 = 6. I divisori del numero 28 sono 1, 2, 4, 7 e 14. Inoltre, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

I numeri sono chiamati amichevoli se la somma dei divisori propri di un numero è uguale a un altro e viceversa, ad esempio 220 e 284. Possiamo dire che un numero perfetto è amico di se stesso.

Al tempo degli Elementi di Euclide nel 300 a.C. molti sono già stati dimostrati fatti importanti riguardo ai numeri primi. Nel Libro IX degli Elementi Euclide dimostrò che i numeri primi sono infiniti. Questo, tra l'altro, è uno dei primi esempi di utilizzo della prova per contraddizione. Dimostra anche il teorema fondamentale dell'aritmetica: ogni intero può essere rappresentato in modo univoco come prodotto di numeri primi.

Mostrò anche che se il numero 2n-1 è primo, allora il numero 2n-1 * (2n-1) sarà perfetto. Un altro matematico, Eulero, riuscì a dimostrare nel 1747 che tutti i numeri perfetti pari possono essere scritti in questa forma. Ad oggi non è noto se esistano numeri perfetti dispari.

Nell'anno 200 a.C. Il greco Eratostene inventò un algoritmo per trovare i numeri primi chiamato Setaccio di Eratostene.

E poi è successo grande occasione nella storia dello studio dei numeri primi, associata al Medioevo.

Le seguenti scoperte furono fatte già all'inizio del XVII secolo dal matematico Fermat. Dimostrò la congettura di Albert Girard secondo cui qualsiasi numero primo della forma 4n+1 può essere scritto unicamente come somma di due quadrati e formulò anche il teorema secondo cui qualsiasi numero primo può essere scritto come somma di quattro quadrati.

Si è sviluppato nuovo metodo fattorizzazione dei grandi numeri, e lo dimostrò sul numero 2027651281 = 44021 × 46061. Dimostrò anche il Piccolo Teorema di Fermat: se p è un numero primo, allora per ogni intero a sarà vero che a p = a modulo p.

Questa affermazione dimostra la metà di quella che era conosciuta come la “congettura cinese” e risale a 2000 anni fa: un intero n è primo se e solo se 2 n -2 è divisibile per n. La seconda parte dell'ipotesi si è rivelata falsa: ad esempio 2.341 - 2 è divisibile per 341, sebbene il numero 341 sia composto: 341 = 31 × 11.

Il Piccolo Teorema di Fermat servì come base per molti altri risultati nella teoria dei numeri e metodi per verificare se i numeri sono primi, molti dei quali sono ancora utilizzati oggi.

Fermat corrispondeva molto con i suoi contemporanei, soprattutto con un monaco di nome Maren Mersenne. In una delle sue lettere ipotizzò che i numeri della forma 2 n +1 saranno sempre primi se n è una potenza di due. Lo testò per n = 1, 2, 4, 8 e 16 ed era sicuro che nel caso in cui n non fosse una potenza di due, il numero non fosse necessariamente primo. Questi numeri sono chiamati numeri di Fermat, e solo 100 anni dopo Eulero dimostrò che il numero successivo, 2 32 + 1 = 4294967297, è divisibile per 641, e quindi non è primo.

Anche i numeri della forma 2 n - 1 sono stati oggetto di ricerca, poiché è facile dimostrare che se n è composto, allora anche il numero stesso è composto. Questi numeri sono chiamati numeri di Mersenne perché li studiò approfonditamente.

Ma non tutti i numeri della forma 2 n - 1, dove n è primo, sono primi. Ad esempio, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Questo fu scoperto per la prima volta nel 1536.

Per molti anni numeri di questo tipo hanno fornito ai matematici i più grandi numeri primi conosciuti. Che M 19 fu dimostrato da Cataldi nel 1588, e per 200 anni fu il più grande numero primo conosciuto, finché Eulero dimostrò che anche M 31 era primo. Questo record durò altri cento anni, poi Lucas dimostrò che M 127 è primo (e questo è già un numero di 39 cifre), e successivamente la ricerca continuò con l'avvento dei computer.

Nel 1952 fu dimostrata l'eccellenza dei numeri M 521, M 607, M 1279, M 2203 e M 2281.

Nel 2005 erano stati trovati 42 primi di Mersenne. Il più grande di essi, M 25964951, è composto da 7816230 cifre.

Il lavoro di Eulero ha avuto un enorme impatto sulla teoria dei numeri, compresi i numeri primi. Estese il Piccolo Teorema di Fermat e introdusse la funzione φ. Fattorizza il 5° numero di Fermat 2 32 +1, trova 60 coppie numeri amichevoli, e formulò (ma non riuscì a dimostrarla) la legge di reciprocità quadratica.

Fu il primo a introdurre metodi di analisi matematica e a sviluppare la teoria analitica dei numeri. Dimostrò che non solo la serie armonica ∑ (1/n), ma anche una serie della forma

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Anche il risultato ottenuto dalla somma dei reciproci dei numeri primi diverge. La somma degli n termini della serie armonica cresce approssimativamente come log(n), e la seconda serie diverge più lentamente come log[ log(n) ]. Ciò significa che, ad esempio, l'importo reciproci a tutti i numeri primi trovati finora ne verranno forniti solo 4, anche se la serie diverge ancora.

A prima vista, sembra che i numeri primi siano distribuiti in modo abbastanza casuale tra gli interi. Ad esempio, tra i 100 numeri immediatamente prima di 10000000 ci sono 9 numeri primi, e tra i 100 numeri immediatamente dopo questo valore ce ne sono solo 2. Ma su segmenti grandi i numeri primi sono distribuiti in modo abbastanza uniforme. Legendre e Gauss hanno affrontato i problemi della loro distribuzione. Gauss una volta disse a un amico che in ogni 15 minuti liberi conta sempre il numero di primi nei successivi 1000 numeri. Alla fine della sua vita aveva contato tutti i numeri primi fino a 3 milioni. Legendre e Gauss calcolarono ugualmente che per grandi n la densità primaria è 1/log(n). Legendre ha stimato il numero dei numeri primi nell'intervallo da 1 a n as

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

E Gauss è come un integrale logaritmico

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Con un intervallo di integrazione da 2 a n.

L'affermazione sulla densità dei numeri primi 1/log(n) è nota come Teorema della distribuzione dei primi. Tentarono di dimostrarlo per tutto il XIX secolo e i progressi furono ottenuti da Chebyshev e Riemann. Lo collegarono all'ipotesi di Riemann, un'ipotesi ancora non dimostrata sulla distribuzione degli zeri della funzione zeta di Riemann. La densità dei numeri primi fu dimostrata contemporaneamente da Hadamard e Vallée-Poussin nel 1896.

Ci sono ancora molte domande irrisolte nella teoria dei numeri primi, alcune delle quali risalgono a centinaia di anni fa:

• L’ipotesi dei primi gemelli riguarda un numero infinito di coppie di numeri primi che differiscono tra loro di 2
• Congettura di Goldbach: qualsiasi numero pari, a partire da 4, può essere rappresentato come la somma di due numeri primi
• Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n 2 + 1?
• È sempre possibile trovare un numero primo compreso tra n 2 e (n + 1) 2? (il fatto che tra n e 2n esista sempre un numero primo è stato dimostrato da Chebyshev)
• Il numero dei primi di Fermat è infinito? Esistono numeri primi di Fermat dopo il 4?
• esiste? progressione aritmetica di numeri primi consecutivi per una data lunghezza? ad esempio per la lunghezza 4: 251, 257, 263, 269. La lunghezza massima trovata è 26.
• Esiste un numero infinito di serie di tre numeri primi consecutivi in ​​una progressione aritmetica?
• n 2 - n + 41 è un numero primo per 0 ≤ n ≤ 40. Esiste un numero infinito di tali numeri primi? La stessa domanda per la formula n 2 - 79 n + 1601. Questi numeri sono primi per 0 ≤ n ≤ 79.
• Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n# + 1? (n# è il risultato della moltiplicazione di tutti i numeri primi minori di n)
• Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n# -1 ?
• Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n? +1?
• Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n? - 1?
• se p è primo, 2 p -1 non contiene sempre quadrati primi tra i suoi fattori?
• la sequenza di Fibonacci contiene un numero infinito di numeri primi?

I numeri primi gemelli più grandi sono 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sono costituiti da 58711 cifre e sono stati scoperti nel 2007.

Il numero primo fattoriale più grande (del tipo n! ± 1) è 147855! - 1. È composto da 142891 cifre ed è stato trovato nel 2002.

Il più grande numero primo primoriale (un numero della forma n# ± 1) è 1098133# + 1.

I numeri sono diversi: naturali, razionali, razionali, interi e frazionari, positivi e negativi, complessi e primi, pari e dispari, reali, ecc. Da questo articolo puoi scoprire cosa sono i numeri primi.

Quali numeri sono chiamati “semplici” in inglese?

Molto spesso, gli scolari non sanno a prima vista come rispondere a una delle domande più semplici di matematica, su cosa sia un numero primo. Spesso confondono i numeri primi con i numeri naturali (cioè i numeri che le persone usano quando contano gli oggetti, mentre in alcune fonti iniziano con zero e in altre con uno). Ma questi sono due concetti completamente diversi. I numeri primi sono i numeri naturali, cioè i numeri interi e positivi maggiori di uno e che hanno solo 2 divisori naturali. Inoltre, uno di questi divisori è il numero indicato e il secondo è uno. Ad esempio, tre è un numero primo perché non può essere diviso senza resto per nessun numero diverso da se stesso e uno.

Numeri compositi

L’opposto dei numeri primi sono i numeri composti. Sono anche naturali, anche più grandi di uno, ma non ne hanno due, ma grande quantità divisori. Quindi, ad esempio, i numeri 4, 6, 8, 9, ecc. sono numeri naturali, compositi, ma non primi. Come puoi vedere, questo è fondamentalmente numeri pari, Ma non tutto. Ma “due” è un numero pari e il “primo numero” di una serie di numeri primi.

Sotto sequenza

Per costruire una serie di numeri primi, è necessario selezionare tra tutti i numeri naturali, tenendo conto della loro definizione, ovvero è necessario agire per contraddizione. È necessario esaminare ciascuno dei numeri naturali positivi per vedere se ha più di due divisori. Proviamo a costruire una serie (sequenza) composta da numeri primi. L'elenco inizia con due, seguito da tre, poiché è divisibile solo per se stesso e per uno. Consideriamo il numero quattro. Ha divisori diversi da quattro e uno? Sì, quel numero è 2. Quindi quattro non è un numero primo. Anche il cinque è primo (non è divisibile per nessun altro numero, eccetto 1 e 5), ma il sei è divisibile. E in generale, se segui tutti i numeri pari, noterai che, ad eccezione del “due”, nessuno di essi è primo. Da ciò concludiamo che i numeri pari, eccetto due, non sono primi. Un'altra scoperta: anche tutti i numeri divisibili per tre, eccetto il tre stesso, pari o dispari, non sono primi (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ecc.). Lo stesso vale per i numeri divisibili per cinque e sette. Anche tutta la loro moltitudine non è semplice. Riassumiamo. Quindi, i numeri semplici a una cifra includono tutti i numeri dispari tranne uno e nove, e anche i “due” sono numeri pari. Le decine stesse (10, 20,... 40, ecc.) non sono semplici. I numeri primi a due, tre cifre, ecc. possono essere determinati in base ai principi di cui sopra: se non hanno altri divisori oltre a se stessi e uno.

Teorie sulle proprietà dei numeri primi

Esiste una scienza che studia le proprietà dei numeri interi, compresi i numeri primi. Questa è una branca della matematica chiamata superiore. Oltre alle proprietà degli interi, si occupa anche dei numeri algebrici e trascendenti, nonché di funzioni di varia origine legate all'aritmetica di questi numeri. In questi studi, oltre ai metodi elementari e algebrici, vengono utilizzati anche quelli analitici e geometrici. Nello specifico, la “Teoria dei Numeri” si occupa dello studio dei numeri primi.

I numeri primi sono i “mattoni” dei numeri naturali

In aritmetica esiste un teorema chiamato teorema fondamentale. Secondo esso, qualsiasi numero naturale, tranne uno, può essere rappresentato come un prodotto, i cui fattori sono numeri primi, e l'ordine dei fattori è unico, il che significa che il metodo di rappresentazione è unico. Si chiama fattorizzazione di un numero naturale in fattori primi. C'è un altro nome per questo processo: fattorizzazione dei numeri. In base a ciò i numeri primi possono essere chiamati “ materiale da costruzione”, “blocchi” per la costruzione dei numeri naturali.

Cerca i numeri primi. Test di semplicità

Molti scienziati di epoche diverse hanno cercato di trovare alcuni principi (sistemi) per trovare un elenco di numeri primi. La scienza conosce sistemi chiamati crivello Atkin, crivello Sundartham e crivello Eratostene. Tuttavia, non producono risultati significativi e per trovare i numeri primi viene utilizzato un semplice test. I matematici hanno anche creato algoritmi. Di solito sono chiamati test di primalità. Ad esempio, esiste un test sviluppato da Rabin e Miller. È utilizzato dai crittografi. Esiste anche il test Kayal-Agrawal-Sasquena. Tuttavia, nonostante la sufficiente precisione, è molto difficile da calcolare, il che ne riduce l’importanza pratica.

L’insieme dei numeri primi ha un limite?

L'antico scienziato greco Euclide scrisse nel suo libro “Elementi” che l'insieme dei numeri primi è infinito. Ha detto questo: “Immaginiamo per un momento che i numeri primi abbiano un limite. Quindi moltiplichiamoli tra loro e aggiungiamone uno al prodotto. Il numero ottenuto come risultato di queste semplici azioni non può essere diviso per nessuna delle serie di numeri primi, perché il resto sarà sempre uno. Ciò significa che esiste qualche altro numero che non è ancora incluso nell'elenco dei numeri primi. Pertanto, la nostra ipotesi non è vera e questo insieme non può avere limiti. Oltre alla dimostrazione di Euclide, esiste una formula più moderna data dal matematico svizzero del XVIII secolo Leonhard Euler. Secondo esso la somma reciproca della somma dei primi n numeri cresce illimitatamente all'aumentare del numero n. Ed ecco la formula del teorema riguardante la distribuzione dei numeri primi: (n) cresce come n/ln (n).

Qual è il numero primo più grande?

Lo stesso Leonard Euler riuscì a trovare il più grande numero primo del suo tempo. Questo è 2 31 - 1 = 2147483647. Tuttavia, nel 2013, è stato calcolato un altro più accurato nell'elenco dei numeri primi: 2 57885161 - 1. Si chiama numero di Mersenne. Contiene circa 17 milioni di cifre decimali. Come puoi vedere, il numero trovato da uno scienziato del diciottesimo secolo è molte volte inferiore a questo. Dovrebbe essere così, perché Eulero effettuava questo calcolo manualmente, mentre il nostro contemporaneo probabilmente si avvaleva dell'aiuto di un computer. Inoltre, questo numero è stato ottenuto presso la Facoltà di Matematica di uno dei dipartimenti americani. I numeri che prendono il nome da questo scienziato superano il test di primalità di Luc-Lemaire. La scienza, però, non vuole fermarsi qui. La Electronic Frontier Foundation, fondata nel 1990 negli Stati Uniti d'America (EFF), ha offerto una ricompensa in denaro per aver trovato grandi numeri primi. E se fino al 2013 il premio fosse assegnato a quegli scienziati che li avrebbero trovati tra 1 e 10 milioni numeri decimali, quindi oggi questa cifra è arrivata da 100 milioni a 1 miliardo. I premi vanno da 150 a 250mila dollari americani.

Nomi di numeri primi speciali

Sono detti speciali quei numeri che sono stati trovati grazie ad algoritmi creati da alcuni scienziati e che hanno superato il test di semplicità. Ecco qui alcuni di loro:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills et al.

La semplicità di questi numeri, che prendono il nome dagli scienziati sopra menzionati, viene stabilita utilizzando i seguenti test:

1.Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart-Lemaire-Selfridge e altri.

La scienza moderna non si ferma qui e probabilmente nel prossimo futuro il mondo conoscerà i nomi di coloro che hanno potuto ricevere il premio di 250.000 dollari trovando il numero primo più grande.