Progressione aritmetica nominare una sequenza di numeri (termini di una progressione)

In cui ogni termine successivo differisce dal precedente per un nuovo termine, chiamato anche differenza di passo o progressione.

Pertanto, specificando il passo di progressione e il suo primo termine, puoi trovare qualsiasi dei suoi elementi utilizzando la formula

Proprietà di una progressione aritmetica

1) Ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo numero, è la media aritmetica del membro precedente e successivo della progressione

È vero anche il contrario. Se la media aritmetica dei termini pari (dispari) adiacenti di una progressione è uguale al termine che si trova tra di loro, allora questa sequenza di numeri è una progressione aritmetica. Utilizzando questa istruzione, è molto semplice controllare qualsiasi sequenza.

Inoltre, per la proprietà della progressione aritmetica, la formula di cui sopra può essere generalizzata come segue

Questo è facile da verificare se scrivi i termini a destra del segno uguale

Viene spesso utilizzato nella pratica per semplificare i calcoli nei problemi.

2) La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica si calcola utilizzando la formula

Ricorda bene la formula per la somma di una progressione aritmetica: è indispensabile nei calcoli e la si trova molto spesso in situazioni semplici della vita;

3) Se hai bisogno di trovare non l'intera somma, ma parte della sequenza a partire dal suo k-esimo termine, allora ti sarà utile la seguente formula di somma

4) Di interesse pratico è trovare la somma di n termini di una progressione aritmetica a partire dal k-esimo numero. Per fare ciò, usa la formula

È qui che finisce il materiale teorico e passiamo alla risoluzione dei problemi comuni nella pratica.

Esempio 1. Trovare il quarantesimo termine della progressione aritmetica 4;7;...

Soluzione:

Secondo la condizione che abbiamo

Determiniamo il passo di progressione

Utilizzando una formula ben nota troviamo il quarantesimo termine della progressione

Esempio 2.

Soluzione:

Una progressione aritmetica è data dal terzo e dal settimo termine. Trova il primo termine della progressione e la somma di dieci.

Scriviamo gli elementi dati della progressione utilizzando le formule

Sottraiamo la prima dalla seconda equazione, di conseguenza troviamo il passaggio di progressione

Sostituiamo il valore trovato in una qualsiasi delle equazioni per trovare il primo termine della progressione aritmetica

Calcoliamo la somma dei primi dieci termini della progressione

Esempio 3. Una progressione aritmetica è data dal denominatore e da uno dei suoi termini. Trova il primo termine della progressione, la somma dei suoi 50 termini partendo da 50 e la somma dei primi 100.

Soluzione:

Scriviamo la formula per il centesimo elemento della progressione

e trova il primo

In base al primo troviamo il cinquantesimo termine della progressione

Trovare la somma delle parti della progressione

e la somma dei primi 100

L'importo della progressione è 250.

Esempio 4.

Trovare il numero di termini di una progressione aritmetica se:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Soluzione:

Scriviamo le equazioni in termini del primo termine e del passo di progressione e determiniamole

Sostituiamo i valori ottenuti nella formula della somma per determinare il numero di termini nella somma

Effettuiamo semplificazioni

e risolvere l'equazione quadratica

Dei due valori trovati, solo il numero 8 rientra nelle condizioni problematiche. Pertanto la somma dei primi otto termini della progressione è 111.

Esempio 5.

Risolvi l'equazione

1+3+5+...+x=307.

Soluzione: questa equazione è la somma di una progressione aritmetica. Scriviamo il suo primo termine e troviamo la differenza nella progressione

Calcolatore in linea.
Risoluzione di una progressione aritmetica.
Dati: a n , d, n
Trova: un 1

Questo programma di matematica trova \(a_1\) di una progressione aritmetica basata sui numeri specificati dall'utente \(a_n, d\) e \(n\).
I numeri \(a_n\) e \(d\) possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni. Inoltre, il numero frazionario può essere inserito sotto forma di frazione decimale (\(2.5\)) e sotto forma di frazione ordinaria (\(-5\frac(2)(7)\)).

Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo per trovare una soluzione.

Questo calcolatore online può essere utile per gli studenti delle scuole superiori scuole secondarie in preparazione per test ed esami, per testare le conoscenze prima dell'Esame di Stato Unificato, per consentire ai genitori di controllare la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? Oppure vuoi semplicemente farlo il più velocemente possibile? compiti a casa

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o sorelle, mentre aumenta il livello di istruzione nel campo dei problemi da risolvere.

Se non hai familiarità con le regole per l'immissione dei numeri, ti consigliamo di familiarizzare con esse.

Regole per l'immissione dei numeri
I numeri \(a_n\) e \(d\) possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni.

Il numero \(n\) può essere solo un numero intero positivo.
Regole per l'immissione delle frazioni decimali.
Le parti intere e frazionarie nelle frazioni decimali possono essere separate da un punto o da una virgola. Ad esempio, puoi inserire quindi 2,5 circa 2,5

Regole per l'immissione delle frazioni ordinarie.
Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.

Il denominatore non può essere negativo.

Quando si inserisce una frazione numerica, il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: /
Ingresso:
Risultato: \(-\frac(2)(3)\)

Parte intera separato dalla frazione da una e commerciale: &
Ingresso:
Risultato: \(-1\frac(2)(3)\)

Immettere i numeri a n, d, n

Trova un 1

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Una piccola teoria.

Sequenza numerica

Nella pratica quotidiana, la numerazione dei vari oggetti viene spesso utilizzata per indicare l'ordine in cui sono disposti. Ad esempio, le case di ogni strada sono numerate. In biblioteca gli abbonamenti dei lettori vengono numerati e poi disposti secondo l'ordine dei numeri assegnati in appositi schedari.

In una cassa di risparmio, utilizzando il numero di conto personale del depositante, puoi facilmente trovare questo conto e vedere quale deposito c'è su di esso. Supponiamo che il conto n. 1 contenga un deposito di a1 rubli, il conto n. 2 contenga un deposito di a2 rubli, ecc. sequenza numerica
un 1, un 2, un 3, ..., un N
dove N è il numero di tutti i conti. Qui, ogni numero naturale n da 1 a N è associato a un numero a n.

Ha studiato anche matematica sequenze di numeri infinite:
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ... .
Il numero viene chiamato 1 primo termine della sequenza, numero a 2 - secondo termine della sequenza, numero a 3 - terzo termine della sequenza ecc.
Si chiama il numero a n ennesimo (ennesimo) membro della sequenza, e il numero naturale n è suo numero.

Ad esempio, in una sequenza di quadrati numeri naturali 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... e 1 = 1 è il primo termine della successione; e n = n 2 è ennesimo termine sequenze; a n+1 = (n + 1) 2 è il (n + 1)esimo (n più il primo) termine della sequenza. Spesso una sequenza può essere specificata dalla formula del suo ennesimo termine. Ad esempio, la formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definisce la sequenza \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Progressione aritmetica

La durata dell'anno è di circa 365 giorni. Di più valore esattoè uguale a \(365\frac(1)(4)\) giorni, quindi ogni quattro anni si accumula un errore di un giorno.

Per tenere conto di questo errore, viene aggiunto un giorno ogni quattro anni e l'anno prolungato viene chiamato anno bisestile.

Ad esempio, nel terzo millennio anni bisestili sono gli anni 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

In questa sequenza ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente, sommato allo stesso numero 4. Tali sequenze sono chiamate progressioni aritmetiche.

Definizione.
La sequenza numerica è chiamata a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... progressione aritmetica, se per tutto naturale n l'uguaglianza
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
dove d è un numero.

Da questa formula segue che a n+1 - a n = d. Il numero d è chiamato differenza progressione aritmetica.

Per definizione di progressione aritmetica abbiamo:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Dove
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), dove \(n>1 \)

Pertanto ogni termine di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei suoi due termini adiacenti. Questo spiega il nome progressione "aritmetica".

Si noti che se vengono forniti a 1 e d, i restanti termini della progressione aritmetica possono essere calcolati utilizzando la formula ricorrente a n+1 = a n + d. In questo modo non è difficile calcolare i primi termini della progressione, però, ad esempio, un 100 richiederà già molti calcoli. In genere, a questo scopo viene utilizzata la formula dell'ennesimo termine. Per definizione di progressione aritmetica
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
ecc.
Affatto,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
Perché ennesimo termine di una progressione aritmetica si ottiene dal primo termine sommando (n-1) volte il numero d.
Questa formula si chiama formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.

Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

Trova la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 100.
Scriviamo questo importo in due modi:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Sommiamo queste uguaglianze termine per termine:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Questa somma ha 100 termini
Pertanto, 2S = 101 * 100, quindi S = 101 * 50 = 5050.

Consideriamo ora una progressione aritmetica arbitraria
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ...
Sia S n la somma dei primi n termini di questa progressione:
S n = un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n
Poi la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale a
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Poiché \(a_n=a_1+(n-1)d\), sostituendo una n in questa formula otteniamo un'altra formula per trovare somma dei primi n termini di una progressione aritmetica:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

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Molte persone hanno sentito parlare di progressione aritmetica, ma non tutti hanno una buona idea di cosa sia. In questo articolo daremo la definizione corrispondente, considereremo anche la questione di come trovare la differenza di una progressione aritmetica e forniremo una serie di esempi.

Definizione matematica

Quindi se stiamo parlando riguardo alla progressione aritmetica o algebrica (questi concetti definiscono la stessa cosa), ciò significa che esiste una certa serie di numeri che soddisfa la seguente legge: ogni due numeri adiacenti nella serie differiscono dello stesso valore. Matematicamente è scritto così:

Qui n significa il numero dell'elemento a n nella sequenza e il numero d è la differenza della progressione (il suo nome deriva dalla formula presentata).

Cosa significa conoscere la differenza d? Informazioni su quanto sono "distanti" i numeri vicini l'uno dall'altro. Tuttavia la conoscenza di d è condizione necessaria ma non sufficiente per determinare (ripristinare) l'intera progressione. Devi conoscere un altro numero, che può essere assolutamente qualsiasi elemento della serie in esame, ad esempio 4, a10, ma, di regola, usano il primo numero, cioè 1.

Formule per la determinazione degli elementi di progressione

In generale, le informazioni di cui sopra sono già sufficienti per passare alla risoluzione di problemi specifici. Tuttavia, prima che venga fornita la progressione aritmetica, e sarà necessario trovarne la differenza, presenteremo un paio di formule utili, facilitando così il successivo processo di risoluzione dei problemi.

È facile dimostrare che qualsiasi elemento della sequenza con numero n può essere trovato come segue:

un n = un 1 + (n - 1) * d

In effetti, chiunque può controllare questa formula con una semplice ricerca: se sostituisci n = 1, ottieni il primo elemento, se sostituisci n = 2, allora l'espressione dà la somma del primo numero e la differenza, e così via.

Le condizioni di molti problemi sono composte in modo tale che, data una coppia di numeri nota, i cui numeri sono anche dati nella sequenza, è necessario ricostruire l'intera serie di numeri (trovare la differenza e il primo elemento). Ora risolveremo questo problema in forma generale.

Quindi, siano dati due elementi con numeri n e m. Utilizzando la formula ottenuta sopra, puoi creare un sistema di due equazioni:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

un m = un 1 + (m - 1) * d

Per trovare quantità sconosciute, usiamo il noto semplice trucco soluzioni a un tale sistema: sottrai i lati sinistro e destro a coppie, l'uguaglianza rimarrà valida. Abbiamo:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Pertanto, abbiamo escluso uno sconosciuto (a 1). Ora possiamo scrivere l'espressione finale per determinare d:

d = (a n - a m) / (n - m), dove n > m

Siamo diventati molto formula semplice: per calcolare la differenza d in base alle condizioni del problema, è sufficiente prendere il rapporto tra le differenze tra gli elementi stessi e i loro numeri di serie. Dovresti prestare attenzione a uno punto importante attenzione: le differenze sono prese tra il membro “più alto” e quello “più basso”, cioè n > m (per “più alto” si intende quello situato più lontano dall'inizio della sequenza, il suo valore assoluto può essere maggiore o minore di l'elemento “junior”).

L'espressione per la differenza d progressione dovrebbe essere sostituita in una qualsiasi delle equazioni all'inizio della risoluzione del problema per ottenere il valore del primo termine.

Nella nostra epoca di sviluppo tecnologia informatica Molti scolari cercano di trovare soluzioni per i loro compiti su Internet, quindi spesso sorgono domande di questo tipo: trova la differenza di una progressione aritmetica online. Per tale richiesta, il motore di ricerca restituirà un numero di pagine web, accedendo alle quali sarà necessario inserire i dati conosciuti dalla condizione (possono essere due termini della progressione o la somma di un certo numero di essi ) e riceverai immediatamente una risposta. Tuttavia, questo approccio alla risoluzione del problema è improduttivo in termini di sviluppo e comprensione da parte dello studente dell'essenza del compito che gli è stato assegnato.

Soluzione senza l'utilizzo di formule

Risolviamo il primo problema senza utilizzare nessuna delle formule fornite. Siano dati gli elementi della serie: a6 = 3, a9 = 18. Trova la differenza della progressione aritmetica.

Gli elementi noti stanno uno accanto all'altro in fila. Quante volte bisogna sommare la differenza d al più piccolo per ottenere il più grande? Tre volte (la prima volta aggiungendo d, otteniamo il 7o elemento, la seconda volta - l'ottavo, infine, la terza volta - il nono). Quale numero deve essere sommato a tre tre volte per ottenere 18? Questo è il numero cinque. Veramente:

Pertanto, la differenza sconosciuta d = 5.

Naturalmente la soluzione avrebbe potuto essere effettuata utilizzando la formula appropriata, ma ciò non è stato fatto intenzionalmente. Spiegazione dettagliata la soluzione al problema dovrebbe diventare chiara e un fulgido esempio Cos'è una progressione aritmetica?

Un compito simile al precedente

Ora risolviamo un problema simile, ma modifichiamo i dati di input. Quindi dovresti trovare se a3 = 2, a9 = 19.

Naturalmente è possibile ricorrere nuovamente al metodo di soluzione “frontale”. Ma poiché vengono forniti gli elementi della serie relativamente distanti tra loro, questo metodo non sarà del tutto conveniente. Ma l’utilizzo della formula risultante ci porterà rapidamente alla risposta:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Qui abbiamo arrotondato il numero finale. La misura in cui questo arrotondamento ha portato ad un errore può essere giudicata controllando il risultato:

un 9 = un 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Questo risultato differisce solo dello 0,1% dal valore indicato nella condizione. Pertanto l'arrotondamento utilizzato ai centesimi più vicini può essere considerato una scelta vincente.

Problemi che riguardano l'applicazione della formula per il termine an

Consideriamo un classico esempio di problema per determinare l'incognita d: trovare la differenza di una progressione aritmetica se a1 = 12, a5 = 40.

Quando vengono forniti due numeri di uno sconosciuto sequenza algebrica, e uno di questi è l'elemento a 1, non devi pensarci a lungo, ma dovresti applicare immediatamente la formula per il membro a n. In questo caso abbiamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Abbiamo ottenuto numero esatto durante la divisione, quindi non ha senso verificare l'accuratezza del risultato calcolato, come è stato fatto nel paragrafo precedente.

Risolviamo un altro problema simile: dobbiamo trovare la differenza di una progressione aritmetica se a1 = 16, a8 = 37.

Utilizziamo un approccio simile al precedente e otteniamo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Cos'altro dovresti sapere sulla progressione aritmetica?

Oltre ai problemi relativi alla ricerca di una differenza sconosciuta o di singoli elementi, spesso è necessario risolvere problemi relativi alla somma dei primi termini di una sequenza. La considerazione di questi compiti va oltre lo scopo dell'articolo, tuttavia, per completezza delle informazioni che presentiamo formula generale per la somma di n numeri in una serie:

∑ n io = 1 (a io) = n * (a 1 + a n) / 2

Prima di iniziare a decidere problemi di progressione aritmetica, consideriamo cos'è una sequenza numerica, poiché lo è una progressione aritmetica caso speciale sequenza numerica.

La sequenza numerica è numero impostato, ogni elemento del quale ha il suo numero di serie . Gli elementi di questo insieme sono chiamati membri della sequenza. Il numero di serie di un elemento di sequenza è indicato da un indice:

Il primo elemento della sequenza;

Il quinto elemento della sequenza;

- l'elemento “n-esimo” della sequenza, ovvero elemento "in coda" al numero n.

Esiste una relazione tra il valore di un elemento di sequenza e il suo numero di sequenza. Pertanto, possiamo considerare una sequenza come una funzione il cui argomento è il numero ordinale dell'elemento della sequenza. In altre parole, possiamo dirlo la sequenza è una funzione dell'argomento naturale:

La sequenza può essere impostata in tre modi:

1 . La sequenza può essere specificata utilizzando una tabella. In questo caso, impostiamo semplicemente il valore di ciascun membro della sequenza.

Ad esempio, qualcuno ha deciso di dedicarsi alla gestione del tempo personale e, per cominciare, di contare quanto tempo trascorre su VKontakte durante la settimana. Registrando il tempo nella tabella riceverà una sequenza composta da sette elementi:

La prima riga della tabella indica il numero del giorno della settimana, la seconda l'ora in minuti. Vediamo che lunedì qualcuno ha trascorso 125 minuti su VKontakte, cioè giovedì - 248 minuti e venerdì solo 15.

2 . La sequenza può essere specificata utilizzando la formula dell'ennesimo termine.

In questo caso, la dipendenza del valore di un elemento di sequenza dal suo numero è espressa direttamente sotto forma di formula.

Ad esempio, se , allora

Per trovare il valore di un elemento di sequenza con un dato numero, sostituiamo il numero dell'elemento nella formula dell'ennesimo termine.

Facciamo la stessa cosa se dobbiamo trovare il valore di una funzione conoscendo il valore dell'argomento. Sostituiamo il valore dell'argomento nell'equazione della funzione:

Se, ad esempio, , Quello

Vorrei notare ancora una volta che in una sequenza, a differenza di una funzione numerica arbitraria, l'argomento può essere solo un numero naturale.

3 . La sequenza può essere specificata utilizzando una formula che esprime la dipendenza del valore del membro della sequenza numero n dai valori dei membri precedenti.

In questo caso non è sufficiente conoscere solo il numero del membro della sequenza per trovarne il valore. Dobbiamo specificare il primo membro o i primi membri della sequenza. ,

Consideriamo ad esempio la sequenza Possiamo trovare i valori dei membri della sequenza uno per uno

, a partire dal terzo: Cioè ogni volta, per trovare il valore dell'ennesimo termine della successione, si torna ai due precedenti. Questo metodo per specificare una sequenza viene chiamato ricorrente , da Parola latina ricorrere

- ritorno.

Progressione aritmetica Ora possiamo definire una progressione aritmetica. Una progressione aritmetica è un semplice caso speciale di una sequenza numerica.

è una sequenza numerica, ciascun membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente sommato allo stesso numero. Il numero viene chiamato differenza di progressione aritmetica

. La differenza di una progressione aritmetica può essere positiva, negativa o uguale a zero.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Se titolo="d>0.

in aumento

Ad esempio, 2; 5; 8; 11;... Se , allora ogni termine di una progressione aritmetica è minore del precedente, e la progressione è.

decrescente

Ad esempio, 2; -1; -4; -7;... Se , allora tutti i termini della progressione sono uguali allo stesso numero e la progressione lo è.

stazionario

Ad esempio, 2;2;2;2;...

La proprietà principale di una progressione aritmetica:

Diamo un'occhiata alla foto.

Lo vediamo

, e allo stesso tempo

.

Sommando queste due uguaglianze, otteniamo:

Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per 2:

Quindi ogni membro della progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei due vicini:

Lo vediamo

Inoltre, da allora

, Quello

, e quindi">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Ogni termine di una progressione aritmetica, che inizia con title="k>l

Formula dell'esimo termine.

Vediamo che i termini della progressione aritmetica soddisfano le seguenti relazioni:

e infine Abbiamo ottenuto

formula dell'ennesimo termine. IMPORTANTE!

Qualsiasi membro di una progressione aritmetica può essere espresso tramite e. Conoscendo il primo termine e la differenza di una progressione aritmetica, puoi trovare qualsiasi suo termine.

La somma di n termini di una progressione aritmetica.

In una progressione aritmetica arbitraria, le somme dei termini equidistanti da quelli estremi sono uguali tra loro:

Consideriamo una progressione aritmetica con n termini. Sia la somma di n termini di questa progressione uguale a .

Disponiamo i termini della progressione prima in ordine crescente di numeri, e poi in ordine decrescente:

Aggiungiamo a coppie:

Otteniamo:

COSÌ, la somma di n termini di una progressione aritmetica può essere trovata utilizzando le formule:

Consideriamo Risoluzione di problemi di progressione aritmetica.

1 . La sequenza è data dalla formula dell'ennesimo termine: . Dimostrare che questa sequenza è una progressione aritmetica.

Dimostriamo che la differenza tra due termini adiacenti della successione è uguale allo stesso numero.

Abbiamo scoperto che la differenza tra due membri adiacenti della sequenza non dipende dal loro numero ed è una costante. Pertanto, per definizione, questa sequenza è una progressione aritmetica.

2 . Data una progressione aritmetica -31; -27;...

a) Trova 31 termini della progressione.

b) Determina se il numero 41 è incluso in questa progressione.

UN) Lo vediamo;

Scriviamo la formula per l'ennesimo termine della nostra progressione.

Generalmente

Nel nostro caso , Ecco perché