Le formule trigonometriche più necessarie. La trigonometria resa semplice e chiara

- -
Di solito, quando vogliono spaventare qualcuno con la MATEMATICA SPAVENTOSA, citano come esempio tutti i tipi di seni e coseni, come qualcosa di molto complesso e disgustoso. Ma in realtà questa è una sezione bella e interessante che può essere compresa e risolta.
L'argomento inizia in prima media e non sempre tutto è chiaro la prima volta, ci sono molte sottigliezze e trucchi. Ho provato a dire qualcosa sull'argomento.

Introduzione al mondo della trigonometria:
Prima di buttarsi a capofitto nelle formule, bisogna capire dalla geometria cosa sono seno, coseno, ecc.
Seno dell'angolo- il rapporto tra il lato opposto (angolo) e l'ipotenusa.
Coseno- il rapporto tra adiacente e ipotenusa.
Tangente- lato opposto al lato adiacente
Cotangente- adiacente all'opposto.

Ora considera un cerchio di raggio unitario sul piano delle coordinate e segna un angolo alfa su di esso: (le immagini sono cliccabili, almeno alcune)
-
-
Le sottili linee rosse sono la perpendicolare dal punto di intersezione del cerchio e l'angolo retto sugli assi bue e oy. Le x e y rosse sono il valore delle coordinate x e y sugli assi (le x e y grigie servono solo per indicare che si tratta di assi di coordinate e non solo di linee).
Va notato che gli angoli sono calcolati dalla direzione positiva dell'asse del bue in senso antiorario.
Troviamo il seno, il coseno, ecc.
sin a: il cateto opposto è uguale a y, l'ipotenusa è uguale a 1.
peccato a = y / 1 = y
Per rendere completamente chiaro da dove ottengo y e 1, per chiarezza, sistemiamo le lettere e guardiamo i triangoli.
- -
AF = AE = 1 - raggio del cerchio.
Quindi AB = 1 come raggio. AB - ipotenusa.
BD = CA = y - come valore per oh.
AD = CB = x - come valore secondo oh.
peccato a = BD / AB = y / 1 = y
Il prossimo è il coseno:
cos a: lato adiacente - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Abbiamo anche prodotto tangente e cotangente.
tg a = y / x = sin a / cos a
lettino a = x / y = cos a / sin a
All'improvviso abbiamo derivato la formula per tangente e cotangente.

Bene, diamo uno sguardo concreto a come risolvere questo problema.
Ad esempio, a = 45 gradi.
Otteniamo un triangolo rettangolo con un angolo di 45 gradi. Ad alcuni è subito chiaro che si tratta di un triangolo equilatero, ma lo descriverò comunque.
Troviamo il terzo angolo del triangolo (il primo è 90, il secondo è 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Se due angoli sono uguali, allora i loro lati sono uguali, ecco come sembrava.
Quindi, risulta che se aggiungiamo due di questi triangoli uno sopra l'altro, otteniamo un quadrato con una diagonale uguale a raggio = 1. Per il teorema di Pitagora, sappiamo che la diagonale di un quadrato con lato a è uguale a una radice di due.
Ora pensiamo. Se 1 (l'ipotenusa detta anche diagonale) è uguale al lato del quadrato per la radice di due, allora il lato del quadrato dovrebbe essere uguale a 1/sqrt(2), e se moltiplichiamo il numeratore e il denominatore di questa frazione dalla radice di due, otteniamo sqrt(2)/2 . E poiché il triangolo è isoscele, allora AD = AC => x = y
Trovare le nostre funzioni trigonometriche:
peccato 45 = quadrato(2)/2 / 1 = quadrato(2)/2
cos 45 = quadrato(2)/2 / 1 = quadrato(2)/2
tg 45 = quadrato(2)/2 / quadrato(2)/2 = 1
ctg 45 = quadrato(2)/2 / quadrato(2)/2 = 1
Devi lavorare con i restanti valori dell'angolo allo stesso modo. Solo che i triangoli non saranno isosceli, ma i lati si potranno trovare altrettanto facilmente utilizzando il teorema di Pitagora.
In questo modo otteniamo una tabella dei valori delle funzioni trigonometriche da diverse angolazioni:
-
-
Inoltre, questo tavolo è imbroglione e molto conveniente.
Come comporlo da solo senza problemi: Disegna una tabella come questa e scrivi i numeri 1 2 3 nelle caselle.
-
-
Ora da questi 1 2 3 prendi la radice e dividi per 2. Risulta così:
-
-
Ora cancelliamo il seno e scriviamo il coseno. I suoi valori sono il seno speculare:
-
-
La tangente è altrettanto semplice da ricavare: devi dividere il valore della linea seno per il valore della linea coseno:
-
-
Il valore della cotangente è il valore invertito della tangente. Di conseguenza, otteniamo qualcosa del genere:
- -

Nota quella tangente non esiste in P/2, per esempio. Pensa perché. (Non è possibile dividere per zero.)

Cosa devi ricordare qui: il seno è il valore y, il coseno è il valore x. La tangente è il rapporto tra y e x e la cotangente è l'opposto. quindi, per determinare i valori di seno/coseno, è sufficiente disegnare la tabella che ho descritto sopra e un cerchio con gli assi coordinati (è conveniente guardare i valori agli angoli 0, 90, 180, 360).
- -

Bene, spero che tu possa distinguere quarti:
- -
Il segno del suo seno, coseno, ecc. dipende dal quarto in cui si trova l'angolo. Tuttavia, il pensiero logico assolutamente primitivo ti porterà alla risposta corretta se tieni conto che nel secondo e nel terzo trimestre x è negativo e y è negativo nel terzo e quarto. Niente di spaventoso o spaventoso.

Penso che non sarebbe fuori luogo menzionarlo formule di riduzione ala fantasmi, come tutti sentono, che ha un fondo di verità. Non esistono formule vere e proprie perché non necessarie. Il significato stesso di tutta questa azione: troviamo facilmente i valori dell'angolo solo per il primo quarto (30 gradi, 45, 60). Le funzioni trigonometriche sono periodiche, quindi possiamo trascinare qualsiasi angolo grande nel primo quarto. Allora troveremo subito il suo significato. Ma semplicemente trascinare non è sufficiente: devi ricordare il segno. Ecco a cosa servono le formule di riduzione.
Abbiamo quindi un angolo grande, ovvero più di 90 gradi: a = 120. E dobbiamo trovarne il seno e il coseno. Per fare ciò, scomporremo 120 nei seguenti angoli con cui possiamo lavorare:
peccato a = peccato 120 = peccato (90 + 30)
Vediamo che questo angolo si trova nel secondo quarto, lì il seno è positivo, quindi il segno + davanti al seno viene conservato.
Per eliminare i 90 gradi, cambiamo il seno in coseno. Bene, questa è una regola che devi ricordare:
sin (90 + 30) = cos 30 = quadrato(3) / 2
Oppure puoi immaginarlo in un altro modo:
peccato 120 = peccato (180 - 60)
Per eliminare i 180 gradi, non modifichiamo la funzione.
peccato (180 - 60) = peccato 60 = quadrato(3) / 2
Abbiamo ottenuto lo stesso valore, quindi tutto è corretto. Ora il coseno:
cos 120 = cos (90 + 30)
Il coseno nel secondo quarto è negativo, quindi mettiamo un segno meno. E cambiamo la funzione in quella opposta, poiché dobbiamo rimuovere 90 gradi.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
O:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Quello che devi sapere, saper fare e fare per trasferire gli angoli al primo quarto:
- scomporre l'angolo in termini digeribili;
-tenere conto in quale quarto si trova l'angolo e mettere l'apposito segno se la funzione in questo quarto è negativa o positiva;
-eliminare le cose inutili:
*se è necessario eliminare 90, 270, 450 e i restanti 90+180n, dove n è un numero intero qualsiasi, la funzione viene invertita (seno-coseno, tangente-cotangente e viceversa);
*se è necessario eliminare 180 e il restante 180+180n, dove n è un numero intero qualsiasi, la funzione non cambia. (C'è una caratteristica qui, ma è difficile da spiegare a parole, ma vabbè).
È tutto. Non penso che sia necessario memorizzare le formule stesse quando puoi ricordare un paio di regole e usarle facilmente. A proposito, queste formule sono molto facili da dimostrare:
-
-
E compilano anche tabelle ingombranti, quindi sappiamo:
-
-

Equazioni di base della trigonometria: bisogna conoscerli molto, molto bene, a memoria.
Identità trigonometrica fondamentale(uguaglianza):
peccato^2(a) + cos^2(a) = 1
Se non ci credi, è meglio controllarlo tu stesso e vedere di persona. Sostituisci i valori di angoli diversi.
Questa formula è molto, molto utile, ricordatela sempre. usandolo puoi esprimere seno attraverso coseno e viceversa, il che a volte è molto utile. Ma, come ogni altra formula, devi sapere come gestirla. Ricorda sempre che il segno della funzione trigonometrica dipende dal quadrante in cui si trova l'angolo. Ecco perché quando si estrae la radice è necessario conoscere il quarto.

Tangente e cotangente: Abbiamo già derivato queste formule all'inizio.
tg a = peccato a / cos a
culla a = cos a / sin a

Prodotto di tangente e cotangente:
tg a * ctg a = 1
Perché:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - le frazioni vengono cancellate.

Come puoi vedere, tutte le formule sono un gioco e una combinazione.
Eccone altri due, ottenuti dividendo per il coseno quadrato e il seno quadrato della prima formula:
-
-
Tieni presente che le ultime due formule possono essere utilizzate con una limitazione sul valore dell'angolo a, poiché non è possibile dividere per zero.

Formule di addizione: sono dimostrati utilizzando l'algebra vettoriale.
- -
Usato raramente, ma con precisione. Nella scansione sono presenti delle formule, ma potrebbero essere illeggibili o la forma digitale è più facile da percepire:
- -

Formule del doppio angolo:
Si ottengono sulla base di formule di addizione, ad esempio: il coseno di un doppio angolo è cos 2a = cos (a + a) - ti ricorda qualcosa? Hanno appena sostituito la betta con una alfa.
- -
Le due formule successive derivano dalla prima sostituzione sin^2(a) = 1 - cos^2(a) e cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Il seno di un doppio angolo è più semplice e viene utilizzato molto più spesso:
- -
E pervertiti speciali possono ricavare la tangente e la cotangente di un doppio angolo, dato che tan a = sin a / cos a, ecc.
-
-

Per le persone sopra indicate Formule del triplo angolo: si ricavano sommando gli angoli 2a e a, poiché conosciamo già le formule per gli angoli doppi.
-
-

Formule del mezzo angolo:
- -
Non so come si derivano o, più precisamente, come spiegarlo... Se scriviamo queste formule, sostituendo l'identità trigonometrica principale con a/2, la risposta convergerà.

Formule per addizione e sottrazione di funzioni trigonometriche:
-
-
Si ottengono da formule di addizione, ma a nessuno importa. Non accadono spesso.

Come capisci, ci sono ancora un sacco di formule, il che è semplicemente inutile, perché non sarò in grado di scrivere qualcosa di adeguato su di esse, e le formule secche possono essere trovate ovunque, e sono un gioco con le formule esistenti in precedenza. Tutto è terribilmente logico e preciso. Te lo dirò solo per ultimo riguardo al metodo dell'angolo ausiliario:
Convertire l'espressione a cosx + b sinx nella forma Acos(x+) o Asin(x+) è chiamato metodo di introduzione di un angolo ausiliario (o di un argomento aggiuntivo). Il metodo viene utilizzato per risolvere equazioni trigonometriche, quando si stimano i valori delle funzioni, nei problemi estremi, e ciò che è importante notare è che alcuni problemi non possono essere risolti senza introdurre un angolo ausiliario.
Non importa come hai provato a spiegare questo metodo, non ne è venuto fuori nulla, quindi dovrai farlo da solo:
-
-
Una cosa spaventosa, ma utile. Se risolvi i problemi, dovrebbe funzionare.
Da qui, ad esempio: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Successivamente nel corso verranno trattati i grafici delle funzioni trigonometriche. Ma questo è sufficiente per una lezione. Considerando che a scuola lo insegnano per sei mesi.

Scrivi le tue domande, risolvi problemi, chiedi scansioni di alcune attività, scoprilo, provalo.
Sempre tuo, Dan Faraday.

Mantenere la tua privacy è importante per noi. Per questo motivo, abbiamo sviluppato un'Informativa sulla privacy che descrive come utilizziamo e archiviamo le tue informazioni. Si prega di rivedere le nostre pratiche sulla privacy e di farci sapere se avete domande.

Raccolta e utilizzo delle informazioni personali

Le informazioni personali si riferiscono ai dati che possono essere utilizzati per identificare certa persona o contattare con lui.

Ti potrebbe essere chiesto di fornire le tue informazioni personali in qualsiasi momento quando ci contatti.

Di seguito sono riportati alcuni esempi dei tipi di informazioni personali che potremmo raccogliere e di come potremmo utilizzare tali informazioni.

Quali informazioni personali raccogliamo:

Quando invii una richiesta sul sito, potremmo raccogliere varie informazioni, incluso il tuo nome, numero di telefono, indirizzo E-mail eccetera.

Come utilizziamo le tue informazioni personali:

Le informazioni personali che raccogliamo ci consentono di contattarti e informarti in merito offerte uniche, promozioni e altri eventi e prossimi eventi.
Di tanto in tanto, potremmo utilizzare le tue informazioni personali per inviare avvisi e comunicazioni importanti.
Potremmo anche utilizzare le informazioni personali per scopi interni, come condurre audit, analisi dei dati e varie ricerche al fine di migliorare i servizi che forniamo e fornirti consigli sui nostri servizi.
Se partecipi a un'estrazione a premi, a un concorso o a una promozione simile, potremmo utilizzare le informazioni fornite per amministrare tali programmi.

Divulgazione di informazioni a terzi

Non divulghiamo le informazioni ricevute da te a terzi.

Eccezioni:

Se necessario, in conformità con la legge, procedura giudiziaria, in procedimenti legali e/o sulla base di inchieste o richieste pubbliche da parte di agenzie governative sul territorio della Federazione Russa - divulgare le tue informazioni personali. Potremmo anche divulgare informazioni su di te se stabiliamo che tale divulgazione è necessaria o appropriata per motivi di sicurezza, applicazione della legge o altri scopi di importanza pubblica.
In caso di riorganizzazione, fusione o vendita, potremmo trasferire le informazioni personali che raccogliamo alla terza parte successore applicabile.

Protezione delle informazioni personali

Prendiamo precauzioni, comprese quelle amministrative, tecniche e fisiche, per proteggere le tue informazioni personali da perdita, furto e uso improprio, nonché da accesso non autorizzato, divulgazione, alterazione e distruzione.

Rispettare la tua privacy a livello aziendale

Per garantire che le tue informazioni personali siano sicure, comunichiamo gli standard di privacy e sicurezza ai nostri dipendenti e applichiamo rigorosamente le pratiche sulla privacy.

Quando esegui conversioni trigonometriche, segui questi suggerimenti:

Non cercare di trovare immediatamente una soluzione all'esempio dall'inizio alla fine.
Non provare a convertire l'intero esempio in una volta. Fai piccoli passi avanti.
Ricorda che oltre alle formule trigonometriche in trigonometria, puoi ancora applicare tutto equo trasformazioni algebriche(parentesi tra parentesi, frazioni riducenti, formule di moltiplicazione abbreviate e così via).
Credi che andrà tutto bene.

Formule trigonometriche di base

La maggior parte delle formule in trigonometria vengono spesso utilizzate sia da destra a sinistra che da sinistra a destra, quindi è necessario imparare queste formule così bene da poter applicare facilmente alcune formule in entrambe le direzioni. Scriviamo prima le definizioni delle funzioni trigonometriche. Sia un triangolo rettangolo:

Quindi, la definizione di seno:

Definizione di coseno:

Definizione di tangente:

Definizione di cotangente:

Identità trigonometrica di base:

I corollari più semplici dall'identità trigonometrica di base:

Formule del doppio angolo. Seno del doppio angolo:

Coseno del doppio angolo:

Tangente del doppio angolo:

Cotangente del doppio angolo:

Ulteriori formule trigonometriche

Formule di addizione trigonometriche. Seno della somma:

Seno della differenza:

Coseno della somma:

Coseno della differenza:

Tangente della somma:

Tangente della differenza:

Cotangente dell'importo:

Cotangente della differenza:

Formule trigonometriche per convertire una somma in un prodotto. Somma dei seni:

Differenza seno:

Somma dei coseni:

Differenza dei coseni:

Somma delle tangenti:

Differenza tangente:

Somma di cotangenti:

Differenza cotangente:

Formule trigonometriche per convertire un prodotto in una somma. Prodotto dei seni:

Prodotto di seno e coseno:

Prodotto di coseni:

Formule di riduzione dei gradi.

Formule del mezzo angolo.

Formule di riduzione trigonometrica

Viene chiamata la funzione coseno cofunzione funzioni seno e viceversa. Allo stesso modo, le funzioni tangente e cotangente sono cofunzioni. Le formule di riduzione possono essere formulate come la seguente regola:

Se nella formula di riduzione viene sottratto (aggiunto) un angolo a 90 gradi o 270 gradi, allora la funzione ridotta si trasforma in una cofunzione;
Se nella formula di riduzione l'angolo viene sottratto (aggiunto) a 180 gradi o 360 gradi, viene mantenuto il nome della funzione ridotta;
In questo caso, il segno che ha la funzione ridotta (cioè originaria) nel quadrante corrispondente è posto davanti alla funzione ridotta, se consideriamo acuto l'angolo sottratto (aggiunto).

Formule di riduzione sono riportati in forma tabellare:

Di cerchio trigonometrico valori tabulari facili da determinare delle funzioni trigonometriche:

Equazioni trigonometriche

Per risolvere una determinata equazione trigonometrica, è necessario ridurla a una delle equazioni trigonometriche più semplici, che verrà discussa di seguito. Per questo:

Puoi utilizzare le formule trigonometriche fornite sopra. Allo stesso tempo, non è necessario provare a trasformare l'intero esempio in una volta, ma è necessario andare avanti a piccoli passi.
Non dobbiamo dimenticare la possibilità di trasformare alcune espressioni utilizzando metodi algebrici, ad es. ad esempio, prendi qualcosa tra parentesi o, al contrario, apri parentesi, riduci una frazione, applica una formula di moltiplicazione abbreviata, porta le frazioni a un denominatore comune e così via.
Quando risolvi le equazioni trigonometriche, puoi usare metodo di raggruppamento. Va ricordato che affinché il prodotto di più fattori sia uguale a zero, è sufficiente che uno qualsiasi di essi sia uguale a zero, e il resto esisteva.
Applicazione metodo di sostituzione delle variabili, come al solito, l'equazione dopo aver introdotto la sostituzione dovrebbe diventare più semplice e non contenere la variabile originale. È inoltre necessario ricordarsi di eseguire una sostituzione inversa.
Ricorda che le equazioni omogenee compaiono spesso in trigonometria.
Quando si aprono moduli o si risolvono equazioni irrazionali con funzioni trigonometriche, è necessario ricordare e tenere conto di tutte le sottigliezze della risoluzione delle equazioni corrispondenti con funzioni ordinarie.
Ricorda l'ODZ (nelle equazioni trigonometriche, le restrizioni sull'ODZ si riducono principalmente al fatto che non è possibile dividere per zero, ma non dimenticare altre restrizioni, in particolare la positività delle espressioni nei poteri razionali e sotto le radici dei poteri pari). Ricorda inoltre che i valori di seno e coseno possono essere compresi solo tra meno uno e più uno compreso.

La cosa principale è, se non sai cosa fare, fare almeno qualcosa, e la cosa principale è usare correttamente le formule trigonometriche. Se ciò che ottieni migliora sempre di più, continua con la soluzione e, se peggiora, torna all'inizio e prova ad applicare altre formule, fallo finché non trovi la soluzione corretta.

Formule per la soluzione delle più semplici equazioni trigonometriche. Per il seno esistono due forme equivalenti di scrittura della soluzione:

Per altre funzioni trigonometriche, la notazione non è ambigua. Per coseno:

Per la tangente:

Per cotangente:

Risoluzione di equazioni trigonometriche in alcuni casi particolari:

Impara tutte le formule e le leggi della fisica e le formule e i metodi della matematica. In effetti, anche questo è molto semplice da fare; in fisica ci sono solo circa 200 formule necessarie, e anche un po' meno in matematica. Ciascuno di questi argomenti ha circa una dozzina di metodi standard per risolvere i problemi livello di base difficoltà che possono anche essere apprese e quindi risolte in modo completamente automatico e senza difficoltà momento giusto la maggior parte del DH. Dopodiché dovrai pensare solo ai compiti più difficili.

Partecipa a tutte e tre le fasi delle prove generali di fisica e matematica. Ogni RT può essere visitato due volte per decidere su entrambe le opzioni. Ancora una volta, nel TC, oltre alla capacità di risolvere problemi in modo rapido ed efficiente e alla conoscenza di formule e metodi, è necessario anche essere in grado di pianificare adeguatamente il tempo, distribuire le forze e, soprattutto, compilare correttamente il modulo di risposta, senza confondere i numeri delle risposte e dei problemi, o il proprio cognome. Inoltre, durante il RT, è importante abituarsi allo stile di porre domande sui problemi, che può sembrare molto insolito per una persona impreparata al DT.

L'implementazione riuscita, diligente e responsabile di questi tre punti ti consentirà di mostrare un risultato eccellente al CT, il massimo di ciò di cui sei capace.

Trovato un errore?

Se pensi di aver trovato un errore in materiali didattici, quindi per favore scrivilo via e-mail. Puoi anche segnalare un bug a rete sociale(). Nella lettera indica l'argomento (fisica o matematica), il nome o il numero dell'argomento o del test, il numero del problema o il punto del testo (pagina) dove, secondo te, c'è un errore. Descrivi anche qual è l'errore sospetto. La tua lettera non passerà inosservata, l'errore verrà corretto oppure ti verrà spiegato perché non si tratta di un errore.

Indietro avanti

Attenzione! Le anteprime delle diapositive sono solo a scopo informativo e potrebbero non rappresentare tutte le funzionalità della presentazione. Se siete interessati questo lavoro, scarica la versione completa.

1. Introduzione.

Avvicinandomi alla scuola, sento le voci dei ragazzi della palestra, vado avanti: cantano, disegnano... ci sono emozioni e sentimenti ovunque. Il mio ufficio, lezione di algebra, studenti della seconda media. Ecco il nostro libro di testo, in cui il corso di trigonometria costituisce metà del suo volume e contiene due segnalibri: questi sono i luoghi in cui ho trovato parole che non sono correlate alla teoria della trigonometria.

Tra i pochi ci sono gli studenti che amano la matematica, ne sentono la bellezza e non si chiedono perché è necessario studiare la trigonometria, dove viene applicato il materiale appreso? La maggior parte sono quelli che semplicemente portano a termine i compiti per non prendere un brutto voto. E crediamo fermamente che il valore applicato della matematica sia ottenere conoscenze sufficienti per avere successo superamento dell'Esame di Stato Unificato e l'ammissione all'università (entra e dimentica).

L'obiettivo principale della lezione presentata è mostrare il valore applicato della trigonometria in vari campi attività umana. Gli esempi forniti aiuteranno gli studenti a vedere la connessione tra questa sezione di matematica e altre materie studiate a scuola. Il contenuto di questa lezione è un elemento di formazione professionale per gli studenti.

Racconta qualcosa di nuovo su ciò che sembra tanto tempo fa fatto noto. Mostrare una connessione logica tra ciò che già sappiamo e ciò che resta da imparare. Apri un po' la porta e guarda fuori curriculum scolastico. Compiti insoliti, connessioni con gli eventi di oggi: queste sono le tecniche che utilizzo per raggiungere i miei obiettivi. Dopotutto, la matematica scolastica come materia contribuisce non tanto all'apprendimento quanto allo sviluppo dell'individuo, del suo pensiero e della sua cultura.

2. Riepilogo della lezione su algebra e principi di analisi (grado 10).

Tempo di organizzazione: Disporre sei tavoli a semicerchio (modello goniometro), fogli di lavoro per gli studenti sui tavoli (Allegato 1).

Annunciando l'argomento della lezione: "La trigonometria è semplice e chiara".

Nel corso dell'algebra e dell'analisi elementare iniziamo a studiare la trigonometria. Vorrei parlare del significato applicato di questa sezione della matematica;

Tesi della lezione:

“Il grande libro della natura può essere letto solo da chi conosce la lingua in cui è scritto, e quella lingua è la matematica.”
(G.Galileo).

Alla fine della lezione penseremo insieme se siamo stati in grado di esaminare questo libro e comprendere la lingua in cui è stato scritto.

Trigonometria angolo acuto.

Trigonometria è una parola greca e tradotta significa “misura dei triangoli”. L'emergere della trigonometria è associato alle misurazioni sulla terra, all'edilizia e all'astronomia. E la tua prima conoscenza con esso è avvenuta quando hai preso in mano un goniometro. Hai notato come sono posizionati i tavoli? Pensaci nella tua mente: se prendi una tavola come accordo, allora qual è la misura di laurea l'arco che si contrae?

Ricordiamo la misura degli angoli: 1 ° = 1/360 parte di un cerchio (“grado” – dal latino grad – gradino). Sapete perché il cerchio era diviso in 360 parti, perché non diviso in 10, 100 o 1000 parti, come avviene, ad esempio, quando si misurano le lunghezze? Ti dirò una delle versioni.

In precedenza, le persone credevano che la Terra fosse il centro dell'Universo ed è immobile, e che il Sole fa una rivoluzione attorno alla Terra ogni giorno, il sistema geocentrico del mondo, "geo" - Terra ( Figura n. 1). I sacerdoti babilonesi che effettuavano osservazioni astronomiche scoprirono che nel giorno dell'equinozio il Sole, dall'alba al tramonto, descrive nella volta celeste un semicerchio, nel quale il diametro apparente (diametro) del Sole rientra esattamente 180 volte, 1 ° - traccia del sole. ( Figura n. 2).

Per molto tempo la trigonometria è stata di natura puramente geometrica. In continuerai la tua introduzione alla trigonometria risolvendo i triangoli rettangoli. Impari che il seno di un angolo acuto triangolo rettangolo- questo è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, il coseno è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa, la tangente è il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente e la cotangente è il rapporto tra il cateto adiacente e quello opposto. E ricorda che in un triangolo rettangolo avente un dato angolo, il rapporto tra i lati non dipende dalla dimensione del triangolo. Impara i teoremi seno e coseno per risolvere triangoli arbitrari.

Nel 2010 la metropolitana di Mosca ha compiuto 75 anni. Ogni giorno scendiamo in metropolitana e non ci accorgiamo che...

Compito n. 1. L'angolo di inclinazione di tutte le scale mobili nella metropolitana di Mosca è di 30 gradi. Conoscendo questo, il numero di lampade sulla scala mobile e la distanza approssimativa tra le lampade, è possibile calcolare la profondità approssimativa della stazione. Ci sono 15 lampioni sulla scala mobile alla stazione Tsvetnoy Boulevard e 2 lampioni alla stazione Prazhskaya. Calcolare la profondità di queste stazioni se le distanze tra i lampioni, dall'ingresso della scala mobile al primo lampione e dall'ultimo lampione all'uscita della scala mobile, sono 6 m ( Figura n. 3). Risposta: 48 me 9 m

Compiti a casa. La stazione più profonda della metropolitana di Mosca è Parco della Vittoria. Qual è la sua profondità? Ti suggerisco di trovare autonomamente i dati mancanti per risolvere il tuo problema di compiti.

Ho tra le mani un puntatore laser, che è anche un telemetro. Misuriamo, ad esempio, la distanza dal tabellone.

Il designer cinese Huan Qiaokun ha intuito di combinare due telemetri laser e un goniometro in un unico dispositivo e ha ottenuto uno strumento che consente di determinare la distanza tra due punti su un piano ( Figura n. 4). Quale teorema pensi che risolva questo problema? Ricorda la formulazione del teorema del coseno. Sei d'accordo con me che le tue conoscenze sono già sufficienti per realizzare una simile invenzione? Risolvi problemi di geometria e fai piccole scoperte ogni giorno!

Trigonometria sferica.

Oltre alla geometria piana di Euclide (planimetria), possono esserci altre geometrie in cui le proprietà delle figure sono considerate non su un piano, ma su altre superfici, ad esempio sulla superficie di una palla ( Figura n.5). Il primo matematico che gettò le basi per lo sviluppo delle geometrie non euclidee fu N.I. Lobachevskij – “Copernico della geometria”. Dal 1827 per 19 anni fu rettore dell'Università di Kazan.

La trigonometria sferica, che fa parte della geometria sferica, considera le relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli su una sfera formata da archi di cerchi massimi su una sfera ( Figura n. 6).

Storicamente, la trigonometria e la geometria sferica sono nate dalle esigenze dell'astronomia, della geodesia, della navigazione e della cartografia. Pensa a quale di queste direzioni l'anno scorso ha ricevuto uno sviluppo così rapido che il suo risultato è già utilizzato nei comunicatori moderni. ... Una moderna applicazione della navigazione è un sistema di navigazione satellitare, che consente di determinare la posizione e la velocità di un oggetto da un segnale proveniente dal suo ricevitore.

Sistema di navigazione globale (GPS). Per determinare la latitudine e la longitudine del ricevitore è necessario ricevere segnali da almeno tre satelliti. La ricezione di un segnale dal quarto satellite consente di determinare l'altezza dell'oggetto sopra la superficie ( Figura n.7).

Il computer ricevente risolve quattro equazioni in quattro incognite finché non viene trovata una soluzione che disegna tutti i cerchi attraverso un punto ( Figura n. 8).

La conoscenza della trigonometria dell'angolo acuto si è rivelata insufficiente per risolvere problemi pratici più complessi. Quando si studiano i movimenti rotatori e circolari, il valore dell'angolo e dell'arco circolare non è limitato. È nata la necessità di passare alla trigonometria di un argomento generalizzato.

Trigonometria di un argomento generalizzato.

Il cerchio ( Figura n. 9). Gli angoli positivi vengono tracciati in senso antiorario, gli angoli negativi vengono tracciati in senso orario. Conoscete la storia di un simile accordo?

Come sapete, gli orologi meccanici e solari sono progettati in modo tale che le loro lancette ruotino "lungo il sole", cioè nella stessa direzione in cui vediamo il movimento apparente del Sole attorno alla Terra. (Ricorda l'inizio della lezione: il sistema geocentrico del mondo). Ma con la scoperta da parte di Copernico del vero movimento (positivo) della Terra attorno al Sole, il movimento del Sole attorno alla Terra che vediamo (cioè apparente) è fittizio (negativo). Sistema eliocentrico mondo (elio – Sole) ( Figura n. 10).

Riscaldamento.

Tirare fuori mano destra di fronte a te, parallelamente alla superficie del tavolo ed esegui un giro circolare di 720 gradi.
Tirare fuori mano sinistra di fronte a te, parallelamente alla superficie del tavolo ed esegui una rotazione circolare di (-1080) gradi.
Metti le mani sulle spalle ed esegui 4 movimenti circolari avanti e indietro. Qual è la somma degli angoli di rotazione?

I Giochi invernali si sono svolti nel 2010 Olimpiadi a Vancouver, apprendiamo i criteri per valutare l’esercizio completato di un pattinatore risolvendo il problema.

Compito n. 2. Se un pattinatore effettua una virata di 10.800 gradi mentre esegue l'esercizio "avvita" in 12 secondi, riceve una valutazione "eccellente". Determina quante rivoluzioni farà il pattinatore durante questo periodo e la velocità della sua rotazione (rivoluzioni al secondo). Risposta: 2,5 giri/sec.

Compiti a casa. Con quale angolo gira il pattinatore, che ha ricevuto una valutazione "insoddisfacente", se allo stesso tempo di rotazione la sua velocità era di 2 giri al secondo.

La misura più conveniente di archi e angoli associati ai movimenti di rotazione si è rivelata la misura del radiante (raggio), come unità di misura più grande di un angolo o arco ( Figura n. 11). Questa misura per misurare gli angoli è entrata nella scienza attraverso le straordinarie opere di Leonhard Euler. Svizzero di nascita, ha vissuto in Russia per 30 anni ed è stato membro dell'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo. È a lui che dobbiamo l’interpretazione “analitica” di tutta la trigonometria, derivò le formule che ora state studiando, introdusse i segni uniformi: peccato X,così X, tg X,ctg X.

Se prima del XVII secolo lo sviluppo della dottrina dell' funzioni trigonometriche fu costruito su base geometrica, poi, a partire dal XVII secolo, le funzioni trigonometriche iniziarono ad essere utilizzate per risolvere problemi di meccanica, ottica, elettricità, per descrivere processi oscillatori e propagazione delle onde. Ovunque abbiamo a che fare con processi e oscillazioni periodiche, le funzioni trigonometriche hanno trovato applicazione. Le funzioni che esprimono le leggi dei processi periodici hanno solo uno speciale proprietà intrinseca: Ripetono i loro valori dopo lo stesso intervallo di cambio argomento. I cambiamenti in qualsiasi funzione sono trasmessi più chiaramente sul suo grafico ( Figura n. 12).

Ci siamo già rivolti al nostro corpo per chiedere aiuto nella risoluzione dei problemi riguardanti la rotazione. Ascoltiamo il nostro battito cardiaco. Il cuore è un organo indipendente. Il cervello controlla tutti i nostri muscoli tranne il cuore. Ha il proprio centro di controllo: il nodo senoatriale. Ad ogni contrazione del cuore, si diffonde in tutto il corpo, a partire dal nodo del seno (delle dimensioni di un chicco di miglio). elettricità. Può essere registrato utilizzando un elettrocardiografo. Disegna un elettrocardiogramma (sinusoide) ( Figura n. 13).

Ora parliamo di musica. La matematica è musica, è unione di intelligenza e bellezza.
La musica è matematica nel calcolo, algebra nell'astrazione, trigonometria nella bellezza. L'oscillazione armonica (armonica) è un'oscillazione sinusoidale. Il grafico mostra come cambia la pressione dell'aria sul timpano dell'ascoltatore: su e giù secondo un arco, periodicamente. L'aria preme, ora più forte, ora più debole. La forza dell'impatto è molto piccola e le vibrazioni avvengono molto rapidamente: centinaia e migliaia di scosse al secondo. Percepiamo tali vibrazioni periodiche come suono. L'aggiunta di due armoniche diverse dà una vibrazione di forma più complessa. La somma di tre armoniche è ancora più complessa e naturale, suoni e suoni naturali strumenti musicali sono costituiti da un gran numero di armoniche. ( Figura n. 14.)

Ogni armonica è caratterizzata da tre parametri: ampiezza, frequenza e fase. La frequenza di oscillazione mostra quanti shock di pressione atmosferica si verificano in un secondo. Le alte frequenze sono percepite come suoni “alti”, “sottili”. Sopra i 10 KHz – cigolio, fischio. Le piccole frequenze sono percepite come suoni “bassi”, “bassi”, rimbombi. L'ampiezza è la gamma delle vibrazioni. Maggiore è l'ambito, maggiore è l'impatto sul timpano e più forte è il suono che sentiamo ( Figura n. 15). La fase è lo spostamento delle oscillazioni nel tempo. La fase può essere misurata in gradi o radianti. A seconda della fase, il punto zero sul grafico si sposta. Per impostare un'armonica è sufficiente specificare la fase da –180 a +180 gradi, poiché a valori elevati l'oscillazione si ripete. Due segnali sinusoidali con la stessa ampiezza e frequenza, ma fasi diverse, vengono sommati algebricamente ( Figura n. 16).

Riepilogo della lezione. Pensi che siamo riusciti a leggere qualche pagina del Grande Libro della Natura? Dopo aver appreso il significato applicato della trigonometria, ti è diventato più chiaro il suo ruolo in vari ambiti dell'attività umana, hai compreso il materiale presentato? Quindi ricorda ed elenca le aree di applicazione della trigonometria che hai incontrato oggi o che conoscevi prima. Spero che ognuno di voi abbia trovato qualcosa di nuovo e interessante nella lezione di oggi. Forse questa novità ti mostrerà la strada da scegliere futura professione, ma non importa chi diventerai, la tua educazione matematica ti aiuterà a diventare una persona professionale e intellettualmente sviluppata.

Compiti a casa. Leggi il riassunto della lezione (

Il videocorso "Ottieni una A" include tutti gli argomenti di cui hai bisogno completamento avvenuto con successo Esame di Stato Unificato di Matematica per 60-65 punti. Completamente tutti i problemi 1-13 Profilo Esame di Stato unificato matematica. Adatto anche per superare l'Esame di Stato Unificato Base di matematica. Se vuoi superare l'Esame di Stato Unificato con 90-100 punti, devi risolvere la parte 1 in 30 minuti e senza errori!

Corso di preparazione all'Esame di Stato Unificato per i gradi 10-11, nonché per insegnanti. Tutto il necessario per risolvere la Parte 1 dell'Esame di Stato Unificato di matematica (i primi 12 problemi) e il Problema 13 (trigonometria). E questo è più di 70 punti all'Esame di Stato Unificato, e né uno studente da 100 punti né uno studente di discipline umanistiche possono farne a meno.

Tutta la teoria necessaria. Modi rapidi soluzioni, insidie e segreti dell'Esame di Stato Unificato. Sono stati analizzati tutti i compiti attuali della parte 1 della Task Bank FIPI. Il corso è pienamente conforme ai requisiti dell'Esame di Stato Unificato 2018.

Il corso contiene 5 argomenti di grandi dimensioni, 2,5 ore ciascuno. Ogni argomento è dato da zero, in modo semplice e chiaro.

Centinaia di compiti per l'Esame di Stato Unificato. Problemi di parole e teoria della probabilità. Algoritmi semplici e facili da ricordare per la risoluzione dei problemi. Geometria. Teoria, materiale di riferimento, analisi di tutti i tipi di compiti dell'Esame di Stato unificato. Stereometria. Soluzioni complicate, foglietti illustrativi utili, sviluppo dell'immaginazione spaziale. Trigonometria da zero al problema 13. Capire invece di stipare. Spiegazioni chiare di concetti complessi. Algebra. Radici, potenze e logaritmi, funzione e derivata. Una base per risolvere i problemi complessi della Parte 2 dell'Esame di Stato Unificato.