Con questo video inizio una serie di lezioni dedicate ai sistemi di equazioni. Oggi parleremo della risoluzione di sistemi di equazioni lineari metodo di addizione- questo è uno dei più modi semplici, ma allo stesso tempo uno dei più efficaci.

Il metodo di addizione consiste in tre semplici passaggi:

1. Osserva il sistema e scegli una variabile che abbia gli stessi (o opposti) coefficienti in ciascuna equazione;
2. Esegui la sottrazione algebrica (per numeri opposti - addizione) di equazioni l'una dall'altra, quindi porta termini simili;
3. Risolvi la nuova equazione ottenuta dopo il secondo passaggio.

Se tutto è fatto correttamente, in uscita otterremo un'unica equazione con una variabile– non sarà difficile risolverlo. Quindi non resta che sostituire la radice trovata nel sistema originale e ottenere la risposta finale.

Tuttavia, in pratica, tutto non è così semplice. Ci sono diverse ragioni per questo:

• Risolvere le equazioni utilizzando il metodo dell'addizione implica che tutte le linee debbano contenere variabili con coefficienti uguali/opposti. Cosa fare se questo requisito non viene soddisfatto?
• Non sempre, dopo aver sommato/sottratto le equazioni nel modo indicato, si ottiene una bella costruzione facilmente risolvibile. È possibile in qualche modo semplificare i calcoli e accelerare i calcoli?

Per ottenere la risposta a queste domande e allo stesso tempo comprendere alcune sottigliezze aggiuntive in cui molti studenti falliscono, guarda la mia lezione video:

Con questa lezione iniziamo una serie di lezioni dedicate ai sistemi di equazioni. E inizieremo dalle più semplici, cioè quelle che contengono due equazioni e due variabili. Ognuno di essi sarà lineare.

I sistemi sono materiali di seconda media, ma questa lezione sarà utile anche per gli studenti delle scuole superiori che vogliono rispolverare la loro conoscenza di questo argomento.

In generale, esistono due metodi per risolvere tali sistemi:

1. Metodo di addizione;
2. Un metodo per esprimere una variabile in termini di un'altra.

Oggi ci occuperemo del primo metodo: utilizzeremo il metodo di sottrazione e addizione. Ma per fare questo, devi capire il fatto seguente: una volta che hai due o più equazioni, puoi prenderne due qualsiasi e aggiungerle l'una all'altra. Vengono aggiunti membro per membro, ad es. "X" vengono aggiunte a "X" e vengono dati simili, "Y" con "Y" sono di nuovo simili, e anche ciò che è a destra del segno uguale viene aggiunto l'uno all'altro, e anche lì vengono dati simili .

Il risultato di tali macchinazioni sarà una nuova equazione che, se avrà radici, sarà sicuramente tra le radici dell'equazione originale. Pertanto, il nostro compito è eseguire la sottrazione o l'addizione in modo tale che $x$ o $y$ scompaiano.

Come raggiungere questo obiettivo e quale strumento utilizzare a tal fine: ne parleremo ora.

Risolvere problemi semplici utilizzando l'addizione

Quindi, impariamo a usare il metodo dell'addizione usando l'esempio di due semplici espressioni.

Compito n. 1

\[\sinistra\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Nota che $y$ ha un coefficiente di $-4$ nella prima equazione e $+4$ nella seconda. Sono reciprocamente opposti, quindi è logico presumere che se li sommiamo, nella somma risultante i "giochi" verranno distrutti a vicenda. Aggiungilo e ottieni:

Risolviamo la costruzione più semplice:

Ottimo, abbiamo trovato la "x". Cosa dovremmo farne adesso? Abbiamo il diritto di sostituirlo in qualsiasi equazione. Sostituiamo nella prima:

\[-4y=12\sinistra| :\sinistra(-4 \destra) \destra.\]

Risposta: $\sinistra(2;-3 \destra)$.

Problema n.2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

La situazione qui è completamente simile, solo con “X”. Sommiamoli:

Abbiamo l'equazione lineare più semplice, risolviamola:

Ora troviamo $x$:

Risposta: $\sinistra(-3;3 \destra)$.

Punti importanti

Quindi, abbiamo appena risolto due semplici sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo dell'addizione. Ancora punti chiave:

1. Se ci sono coefficienti opposti per una delle variabili, è necessario sommare tutte le variabili nell'equazione. In questo caso, uno di essi verrà distrutto.
2. Sostituiamo la variabile trovata in una qualsiasi delle equazioni del sistema per trovare la seconda.
3. Il record della risposta finale può essere presentato in diversi modi. Ad esempio, in questo modo - $x=...,y=...$, o sotto forma di coordinate di punti - $\left(...;... \right)$. È preferibile la seconda opzione. La cosa principale da ricordare è che la prima coordinata è $x$ e la seconda è $y$.
4. La regola di scrivere la risposta sotto forma di coordinate puntuali non è sempre applicabile. Ad esempio, non può essere utilizzato quando le variabili non sono $x$ e $y$, ma, ad esempio, $a$ e $b$.

Nei problemi seguenti considereremo la tecnica della sottrazione quando i coefficienti non sono opposti.

Risolvere semplici problemi utilizzando il metodo della sottrazione

Compito n. 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Nota che qui non ci sono coefficienti opposti, ma ce ne sono di identici. Pertanto sottraiamo la seconda dalla prima equazione:

Ora sostituiamo il valore $x$ in una qualsiasi delle equazioni del sistema. Andiamo prima:

Risposta: $\sinistra(2;5\destra)$.

Problema n.2

\[\sinistra\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Vediamo ancora lo stesso coefficiente di $5$ per $x$ nella prima e nella seconda equazione. Pertanto, è logico supporre che sia necessario sottrarre la seconda dalla prima equazione:

Abbiamo calcolato una variabile. Ora troviamo il secondo, ad esempio, sostituendo il valore $y$ nella seconda costruzione:

Risposta: $\sinistra(-3;-2 \destra)$.

Sfumature della soluzione

Quindi cosa vediamo? In sostanza lo schema non si differenzia dalla soluzione dei sistemi precedenti. L'unica differenza è che non aggiungiamo equazioni, ma le sottraiamo. Stiamo facendo una sottrazione algebrica.

In altre parole, non appena vedi un sistema formato da due equazioni in due incognite, la prima cosa che devi guardare sono i coefficienti. Se sono uguali ovunque, le equazioni vengono sottratte e, se sono opposte, viene utilizzato il metodo dell'addizione. Questo viene sempre fatto in modo che uno di essi scompaia e nell'equazione finale, che rimane dopo la sottrazione, rimane solo una variabile.

Naturalmente, non è tutto. Considereremo ora i sistemi in cui le equazioni sono generalmente incoerenti. Quelli. Non ci sono variabili in essi che siano uguali o opposte. In questo caso, per risolvere tali sistemi, viene utilizzata una tecnica aggiuntiva, ovvero moltiplicando ciascuna delle equazioni per un coefficiente speciale. Come trovarlo e come risolvere tali sistemi in generale, ne parleremo ora.

Risolvere problemi moltiplicando per un coefficiente

Esempio 1

\[\sinistra\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vediamo che né per $x$ né per $y$ i coefficienti non solo sono opposti tra loro, ma anche non sono in alcun modo correlati con l'altra equazione. Questi coefficienti non scompariranno in alcun modo, anche se aggiungiamo o sottraiamo le equazioni l'una dall'altra. Pertanto, è necessario applicare la moltiplicazione. Proviamo a sbarazzarci della variabile $y$. Per fare ciò, moltiplichiamo la prima equazione per il coefficiente $y$ della seconda equazione e la seconda equazione per il coefficiente $y$ della prima equazione, senza toccare il segno. Moltiplichiamo e otteniamo un nuovo sistema:

\[\sinistra\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Vediamolo: a $y$ i coefficienti sono opposti. In una situazione del genere, è necessario utilizzare il metodo dell'addizione. Aggiungiamo:

Ora dobbiamo trovare $y$. Per fare ciò, sostituisci $x$ nella prima espressione:

\[-9y=18\sinistra| :\sinistra(-9 \destra) \destra.\]

Risposta: $\sinistra(4;-2 \destra)$.

Esempio n.2

\[\sinistra\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Ancora una volta, i coefficienti di nessuna delle variabili sono coerenti. Moltiplichiamo per i coefficienti di $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Nostro nuovo sistemaè equivalente al precedente, tuttavia, i coefficienti di $y$ sono tra loro opposti, e quindi è facile applicare qui il metodo dell'addizione:

Ora troviamo $y$ sostituendo $x$ nella prima equazione:

Risposta: $\sinistra(-2;1 \destra)$.

Sfumature della soluzione

La regola chiave qui è la seguente: moltiplichiamo sempre solo per numeri positivi- questo ti salverà da errori stupidi e offensivi associati al cambiamento dei segnali. In generale, lo schema della soluzione è abbastanza semplice:

1. Osserviamo il sistema e analizziamo ciascuna equazione.
2. Se vediamo che né $y$ né $x$ i coefficienti sono coerenti, cioè non sono né uguali né opposti, quindi facciamo quanto segue: selezioniamo la variabile di cui dobbiamo sbarazzarci e poi guardiamo i coefficienti di queste equazioni. Se moltiplichiamo la prima equazione per il coefficiente della seconda e la seconda, corrispondentemente, moltiplichiamo per il coefficiente della prima, alla fine otterremo un sistema completamente equivalente al precedente e i coefficienti di $ y$ sarà coerente. Tutte le nostre azioni o trasformazioni mirano solo a ottenere una variabile in un'equazione.
3. Troviamo una variabile.
4. Sostituiamo la variabile trovata in una delle due equazioni del sistema e troviamo la seconda.
5. Scriviamo la risposta sotto forma di coordinate di punti se abbiamo variabili $x$ e $y$.

Ma anche un algoritmo così semplice ha le sue sottigliezze, ad esempio i coefficienti di $x$ o $y$ possono essere frazioni e altri numeri “brutti”. Considereremo ora questi casi separatamente, perché in essi puoi agire in modo leggermente diverso rispetto all'algoritmo standard.

Risoluzione di problemi con le frazioni

Esempio 1

\[\sinistra\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Innanzitutto, nota che la seconda equazione contiene frazioni. Tieni però presente che puoi dividere $4$ per $0,8$. Riceveremo $ 5 $. Moltiplichiamo la seconda equazione per $5$:

\[\sinistra\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Sottraiamo le equazioni l'una dall'altra:

Abbiamo trovato $n$, ora contiamo $m$:

Risposta: $n=-4;m=5$

Esempio n.2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Giusto.\]

Qui, come nel sistema precedente, ci sono coefficienti frazionari, ma per nessuna delle variabili i coefficienti si incastrano tra loro un numero intero di volte. Pertanto, utilizziamo l'algoritmo standard. Sbarazzarsi di $p$:

\[\sinistra\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Utilizziamo il metodo della sottrazione:

Troviamo $p$ sostituendo $k$ nella seconda costruzione:

Risposta: $p=-4;k=-2$.

Sfumature della soluzione

Questa è tutta ottimizzazione. Nella prima equazione, non abbiamo moltiplicato per nulla, ma abbiamo moltiplicato la seconda equazione per $5$. Di conseguenza, abbiamo ricevuto un'equazione coerente e persino identica per la prima variabile. Nel secondo sistema abbiamo seguito un algoritmo standard.

Ma come trovare i numeri per cui moltiplicare le equazioni? Dopotutto, se moltiplichiamo per frazioni, otteniamo nuove frazioni. Pertanto, le frazioni devono essere moltiplicate per un numero che dia un nuovo numero intero, quindi le variabili devono essere moltiplicate per coefficienti, seguendo l'algoritmo standard.

In conclusione, vorrei attirare la vostra attenzione sul formato per registrare la risposta. Come ho già detto, poiché qui non abbiamo $x$ e $y$, ma altri valori, utilizziamo una notazione non standard della forma:

Risoluzione di sistemi complessi di equazioni

Come nota finale al video tutorial di oggi, diamo un'occhiata ad un paio di essi sistemi complessi. La loro complessità consisterà nel fatto che avranno variabili sia a sinistra che a destra. Pertanto, per risolverli dovremo applicare la preelaborazione.

Sistema n. 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Ogni equazione comporta una certa complessità. Pertanto, trattiamo ciascuna espressione come se fosse una costruzione lineare regolare.

In totale, otteniamo il sistema finale, che è equivalente a quello originale:

\[\sinistra\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Diamo un'occhiata ai coefficienti di $y$: $3$ rientra due volte in $6$, quindi moltiplichiamo la prima equazione per $2$:

\[\sinistra\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

I coefficienti di $y$ ora sono uguali, quindi sottraiamo il secondo dalla prima equazione: $$

Ora troviamo $y$:

Risposta: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistema n. 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\sinistra(a-5 \destra)+b \\\end(allinea) \destra.\]

Trasformiamo la prima espressione:

Affrontiamo il secondo:

\[-3\sinistra(b-2a \destra)-12=2\sinistra(a-5 \destra)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

In totale, il nostro sistema iniziale assumerà la seguente forma:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Osservando i coefficienti di $a$, vediamo che la prima equazione deve essere moltiplicata per $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Sottrarre il secondo dalla prima costruzione:

Ora troviamo $a$:

Risposta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

È tutto. Spero che questo video tutorial ti aiuti a comprendere questo argomento difficile, ovvero la risoluzione di sistemi di semplici equazioni lineari. Ci saranno molte altre lezioni su questo argomento: ne parleremo di più esempi complessi, dove ci saranno più variabili e le equazioni stesse saranno già non lineari. Ci vediamo!

Un sistema di equazioni lineari con due incognite è costituito da due o più equazioni lineari per le quali è necessario trovarle tutte soluzioni generali. Considereremo sistemi di due equazioni lineari in due incognite. Forma generale un sistema di due equazioni lineari in due incognite è presentato nella figura seguente:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Qui xey sono variabili sconosciute, a1,a2,b1,b2,c1,c2 sono alcuni numeri reali. Una soluzione a un sistema di due equazioni lineari in due incognite è una coppia di numeri (x,y) tale che se sostituiamo questi numeri nelle equazioni del sistema, ciascuna delle equazioni del sistema si trasforma in un'uguaglianza vera. Esistono diversi modi per risolvere un sistema di equazioni lineari. Consideriamo uno dei modi per risolvere un sistema di equazioni lineari, vale a dire il metodo dell'addizione.

Algoritmo per la risoluzione con il metodo dell'addizione

Un algoritmo per risolvere un sistema di equazioni lineari con due incognite utilizzando il metodo dell'addizione.

1. Se necessario, utilizzare trasformazioni equivalenti per uguagliare i coefficienti di una delle variabili incognite in entrambe le equazioni.

2. Aggiungendo o sottraendo le equazioni risultanti, ottieni un'equazione lineare con un'incognita

3. Risolvi l'equazione risultante con un'incognita e trova una delle variabili.

4. Sostituisci l'espressione risultante in una qualsiasi delle due equazioni del sistema e risolvi questa equazione, ottenendo così la seconda variabile.

5. Controlla la soluzione.

Un esempio di soluzione che utilizza il metodo dell'addizione

Per maggiore chiarezza, risolviamo il seguente sistema di equazioni lineari a due incognite utilizzando il metodo dell'addizione:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Poiché nessuna delle variabili ha coefficienti identici, uguagliamo i coefficienti della variabile y. Per fare ciò, moltiplica la prima equazione per tre e la seconda equazione per due.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Noi abbiamo il seguente sistema di equazioni:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Ora sottraiamo la prima dalla seconda equazione. Presentiamo termini simili e risolviamo l'equazione lineare risultante.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Sostituiamo il valore risultante nella prima equazione del nostro sistema originale e risolviamo l'equazione risultante.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Il risultato è una coppia di numeri x=6 ey=14. Stiamo controllando. Facciamo una sostituzione.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Come puoi vedere, abbiamo ottenuto due uguaglianze corrette, quindi abbiamo trovato la soluzione corretta.

L'uso delle equazioni è molto diffuso nella nostra vita. Sono utilizzati in molti calcoli, costruzione di strutture e persino sport. L'uomo usava le equazioni nei tempi antichi e da allora il loro uso non ha fatto che aumentare. Solo decidendo tu stesso di varia complessità sistemi di equazioni, imparerai a determinare rapidamente i metodi per risolvere qualsiasi sistema. A volte può essere piuttosto difficile risolvere il sistema equazioni quadratiche.

Tuttavia, il metodo più comunemente utilizzato per risolvere queste equazioni è il metodo di sostituzione/addizione.

Supponiamo di avere il seguente sistema di equazioni:

\[\sinistra\(\begin(matrice) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(matrice)\destra.\]

Aggiungiamo le equazioni del sistema:

\[\sinistra\(\begin(matrice) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(matrice)\destra.\]

Risolviamo il sistema risultante:

\[\sinistra\(\begin(matrice) x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(matrice)\destra.\]

\[(x - y) = -1 \] oppure \[(x - y) = 1\] - otteniamo da 2 equazioni

Sostituiamo 1 o -1 in 1:

\ O \

\[-3 - y= -1\] o \

Sostituiamo 1 o -1 in 1:

Risposta: \[(-3; -2); (3; 4)\]

Se devi risolvere un sistema di 2 gradi e 1 lineare, puoi esprimere 1 delle variabili del lineare e sostituire questa equazione in quella quadratica.

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Analizziamo due tipi di soluzioni ai sistemi di equazioni:

1. Risolvere il sistema utilizzando il metodo di sostituzione.
2. Risolvere il sistema mediante addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema.

Per risolvere il sistema di equazioni con il metodo di sostituzione devi seguire un semplice algoritmo:
1. Esprimere. Da qualsiasi equazione esprimiamo una variabile.
2. Sostituto. Sostituiamo il valore risultante in un'altra equazione invece della variabile espressa.
3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile. Troviamo una soluzione al sistema.

Risolvere sistema mediante il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine bisogno di:
1. Seleziona una variabile per la quale creeremo coefficienti identici.
2. Aggiungiamo o sottraiamo equazioni, ottenendo un'equazione con una variabile.
3. Risolvi l'equazione lineare risultante. Troviamo una soluzione al sistema.

La soluzione del sistema sono i punti di intersezione dei grafici delle funzioni.

Consideriamo in dettaglio la soluzione dei sistemi utilizzando esempi.

Esempio 1:

Risolviamo con il metodo di sostituzione

Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione

2x+5y=1 (1 equazione)
x-10y=3 (2a equazione)

1. Esprimere
Si può vedere che nella seconda equazione c'è una variabile x con un coefficiente pari a 1, il che significa che è più semplice esprimere la variabile x dalla seconda equazione.
x=3+10y

2.Dopo averlo espresso, sostituiamo 3+10y nella prima equazione al posto della variabile x.
2(3+10a)+5a=1

3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile.
2(3+10y)+5y=1 (aprire le parentesi)
6+20a+5a=1
25 anni=1-6
25a=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

La soluzione del sistema di equazioni sono i punti di intersezione dei grafici, quindi dobbiamo trovare xey, perché il punto di intersezione è costituito da xey. Troviamo x, nel primo punto in cui l'abbiamo espresso, lì sostituiamo y .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

È consuetudine scrivere i punti, in primo luogo scriviamo la variabile x e in secondo luogo la variabile y.
Risposta: (1; -0,2)

Esempio n.2:

Risolviamo utilizzando il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine.

Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo dell'addizione

3x-2y=1 (1 equazione)
2x-3y=-10 (2a equazione)

1. Scegliamo una variabile, diciamo che scegliamo x. Nella prima equazione, la variabile x ha un coefficiente di 3, nella seconda - 2. Dobbiamo rendere uguali i coefficienti, per questo abbiamo il diritto di moltiplicare le equazioni o dividerle per qualsiasi numero. Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 3 e otteniamo un coefficiente totale di 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Sottrai il secondo dalla prima equazione per eliminare la variabile x.
__6x-4y=2

5a=32 | :5
y=6,4

3. Trova x. Sostituiamo la y trovata in una qualsiasi delle equazioni, diciamo nella prima equazione.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Il punto di intersezione sarà x=4.6; y=6,4
Risposta: (4.6; 6.4)

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Regole per l'immissione di equazioni
Qualsiasi lettera latina può fungere da variabile.

Ad esempio: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), ecc. Quando si immettono equazioni puoi usare le parentesi
. In questo caso, le equazioni vengono prima semplificate.

Le equazioni dopo le semplificazioni devono essere lineari, cioè della forma ax+by+c=0 con l'accuratezza dell'ordine degli elementi.

Ad esempio: 6x+1 = 5(x+y)+2
Nelle equazioni è possibile utilizzare non solo numeri interi, ma anche frazioni sotto forma di decimali e frazioni ordinarie. Regole per l'immissione delle frazioni decimali. Parti intere e frazionarie
Ad esempio: 2,1n + 3,5m = 55

Regole per l'immissione delle frazioni ordinarie.
Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.
Il denominatore non può essere negativo.
Quando si inserisce una frazione numerica, il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: /
Parte intera separato dalla frazione da una e commerciale: &

Esempi.
-1&2/3a + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Risolvere il sistema di equazioni

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Risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Metodo di sostituzione

La sequenza di azioni quando si risolve un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di sostituzione:
1) esprimere una variabile da qualche equazione del sistema in termini di un'altra;
2) sostituire l'espressione risultante in un'altra equazione del sistema invece di questa variabile;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Esprimiamo y in termini di x dalla prima equazione: y = 7-3x. Sostituendo nella seconda equazione l'espressione 7-3x invece di y, otteniamo il sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

È facile dimostrare che il primo ed il secondo sistema hanno le stesse soluzioni. Nel secondo sistema, la seconda equazione contiene solo una variabile. Risolviamo questa equazione:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Freccia destra -5x+14-6x=3 \ Freccia destra -11x=-11 \ Freccia destra x=1 $$

Sostituendo il numero 1 invece di x nell'uguaglianza y=7-3x, troviamo il valore corrispondente di y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Freccia destra y=4 $$

Coppia (1;4) - soluzione del sistema

Si chiamano sistemi di equazioni in due variabili che hanno le stesse soluzioni equivalente. Anche i sistemi che non hanno soluzioni sono considerati equivalenti.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari mediante addizione

Consideriamo un altro modo per risolvere sistemi di equazioni lineari: il metodo dell'addizione. Quando risolviamo i sistemi in questo modo, così come quando risolviamo per sostituzione, passiamo da questo sistema a un altro sistema equivalente, in cui una delle equazioni contiene solo una variabile.

La sequenza di azioni quando si risolve un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo dell'addizione:
1) moltiplicare le equazioni del sistema termine per termine, selezionando i fattori in modo che i coefficienti di una delle variabili diventino numeri opposti;
2) sommare termine per termine i membri sinistro e destro delle equazioni del sistema;
3) risolvere l'equazione risultante con una variabile;
4) trovare il valore corrispondente della seconda variabile.

Esempio. Risolviamo il sistema di equazioni:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Nelle equazioni di questo sistema, i coefficienti di y sono numeri opposti. Sommando i lati sinistro e destro delle equazioni termine per termine, otteniamo un'equazione con una variabile 3x=33. Sostituiamo una delle equazioni del sistema, ad esempio la prima, con l'equazione 3x=33. Prendiamo il sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Dall'equazione 3x=33 troviamo che x=11. Sostituendo questo valore x nell'equazione \(x-3y=38\) otteniamo un'equazione con la variabile y: \(11-3y=38\). Risolviamo questa equazione:
\(-3y=27 \Freccia destra y=-9 \)

Pertanto, abbiamo trovato la soluzione del sistema di equazioni mediante addizione: \(x=11; y=-9\) o \((11;-9)\)

Approfittando del fatto che nelle equazioni del sistema i coefficienti di y sono numeri opposti, abbiamo ridotto la sua soluzione alla soluzione di un sistema equivalente (sommando entrambi i membri di ciascuna delle equazioni del sistema originale), in cui uno delle equazioni contiene una sola variabile.

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