Applicazione

Integrali online sul sito per studenti e scolari per consolidare il materiale trattato. E allenare le tue abilità pratiche. Una soluzione completa di integrali online per te in pochi istanti ti aiuterà a determinare tutte le fasi del processo. Ogni volta che inizi a risolvere un integrale online, devi identificarne il tipo, senza di esso non puoi utilizzare nessun metodo, a meno che tu non lo faccia consideriamo l'integrale tabulare. Non tutti gli integrali di tabella sono chiaramente visibili da un dato esempio a volte è necessario trasformare la funzione originale per trovare l'antiderivativa. In pratica, risolvere gli integrali si riduce a interpretare il problema di trovare l'originale, cioè l'antiderivativa da una famiglia infinita di funzioni, ma se sono dati i limiti di integrazione, allora secondo la formula di Newton-Leibniz esiste una sola funzione rimasto a cui applicare i calcoli. Integrali online: integrale indefinito online e integrale definito online. L'integrale di una funzione online è la somma di tutti i numeri destinati alla loro integrazione. Pertanto, informalmente, l'integrale definito in linea è l'area compresa tra il grafico della funzione e l'asse x entro i limiti dell'integrazione. Esempi di risoluzione di problemi con integrali. Valutiamo un integrale complesso su una variabile e colleghiamo la sua risposta all'ulteriore soluzione del problema. È possibile, come si suol dire, trovare direttamente l'integrale dell'integrando. Qualsiasi integrale determina con elevata precisione l'area della figura delimitata dalle linee. Questo è uno dei suoi significati geometrici. Questo metodo rende le cose più facili per gli studenti. Diversi passaggi, infatti, non avranno un grande impatto sull'analisi vettoriale. L'integrale di una funzione online è il concetto base del calcolo integrale. Risoluzione degli integrali indefiniti. Secondo il teorema principale dell'analisi, l'integrazione è l'operazione inversa della differenziazione, che aiuta a risolvere le equazioni differenziali. Esistono diverse definizioni dell'operazione di integrazione, che differiscono nei dettagli tecnici. Tuttavia, sono tutti compatibili, ovvero due metodi di integrazione qualsiasi, se possono essere applicati a una determinata funzione, daranno lo stesso risultato. Il più semplice è l'integrale di Riemann: integrale definito o integrale indefinito. Informalmente, l'integrale di una funzione di una variabile può essere introdotto come l'area sotto il grafico (la figura racchiusa tra il grafico della funzione e l'asse x). Qualsiasi sottoproblema di questo tipo può giustificare che il calcolo dell'integrale sarà estremamente necessario proprio all'inizio di un approccio importante. Non dimenticarlo! Cercando di trovare quest'area, possiamo considerare figure costituite da un certo numero di rettangoli verticali, le cui basi insieme formano un segmento di integrazione e si ottengono dividendo il segmento in un opportuno numero di piccoli segmenti. Risoluzione degli integrali online.. Integrale online - integrale indefinito online e integrale definito online. Risoluzione di integrali online: integrale indefinito online e integrale definito online. La calcolatrice risolve integrali con una descrizione dettagliata delle azioni e gratuitamente! Un integrale indefinito in linea per una funzione è l'insieme di tutte le antiderivative di una determinata funzione. Se una funzione è definita e continua su un intervallo, allora esiste funzione antiderivativa(o famiglia di primitivi). L'integrale definisce solo un'espressione, le cui condizioni vengono stabilite da te al verificarsi di tale necessità. È meglio affrontare la questione con attenzione e provare soddisfazione interiore dal lavoro svolto. Ma calcolare l'integrale con un metodo diverso da quello classico porta talvolta a risultati inaspettati e di questo non c'è da stupirsi. Sono felice che questo fatto avrà una risonanza positiva su quanto sta accadendo. Elenco di integrali definiti e integrali indefiniti di integrali con soluzione completa dettagliata passo dopo passo. Tutti gli integrali con soluzioni dettagliate online. Integrale indefinito. Trovando n integrale definito online è un problema molto comune nella matematica superiore e in altre aree tecniche della scienza. Metodi fondamentali di integrazione. Definizione di integrale, integrale definito e indefinito, tavola degli integrali, formula di Newton-Leibniz. Ancora una volta, puoi trovare il tuo integrale utilizzando la tabella delle espressioni integrali, ma questo deve ancora essere raggiunto, poiché non tutto è così semplice come potrebbe sembrare a prima vista. Pensa agli edifici completati prima che vengano trovati errori. Integrale definito e metodi per il suo calcolo. Integrale definito in linea con limite superiore variabile. Risolvere integrali online. Sarà qualsiasi esempio che aiuterà a calcolare l'integrale utilizzando le formule tabulari guida utile all’azione per gli studenti di qualsiasi livello di preparazione. Il passo più importante verso la risposta corretta.. Integrali online. Integrali indefiniti contenenti funzioni esponenziali e logaritmiche. Risolvere integrali online: riceverai soluzione dettagliata Per tipi diversi integrali: indefiniti, definiti, impropri. Il calcolatore dell'integrale definito calcola l'integrale definito online di una funzione su un intervallo utilizzando l'integrazione numerica. L'integrale di una funzione è un analogo della somma di una sequenza. Informalmente parlando, un integrale definito è l'area di una parte del grafico di una funzione. Risolvere l'integrale online.. Integrale online - integrale indefinito online e integrale definito online. Spesso, un tale integrale determina quanto più pesante è un corpo rispetto a un oggetto della stessa densità rispetto ad esso, e non importa quale sia la sua forma, perché la superficie non assorbe acqua. Risoluzione degli integrali online.. Integrali online: integrale indefinito online e integrale definito online. Ogni studente junior sa come trovare l'integrale online. Sulla base curriculum scolastico anche questa sezione della matematica viene studiata, ma non in dettaglio, ma solo le basi di un argomento così complesso e importante. Nella maggior parte dei casi, gli studenti iniziano a studiare gli integrali con la teoria estesa, anch'essa preceduta da argomenti importanti, come la derivata e il passaggio al limite, sono anch'essi limiti. La risoluzione degli integrali inizia gradualmente con gli esempi più elementari di funzioni semplici e termina con l'uso di molti approcci e regole proposti nel secolo scorso e anche molto prima. Il calcolo integrale è per scopi didattici nei licei e nelle scuole, cioè nella scuola secondaria istituzioni educative. Il nostro sito Web ti aiuterà sempre e la risoluzione degli integrali online diventerà per te un luogo comune e, soprattutto, un compito comprensibile. Sulla base di questa risorsa, puoi facilmente raggiungere la perfezione in questa sezione matematica. Comprendendo le regole che stai imparando passo dopo passo, come l'integrazione per parti o l'applicazione del metodo di Chebyshev, puoi facilmente decidere su importo massimo punti per qualsiasi prova. Allora come possiamo calcolare ancora l'integrale utilizzando la nota tabella degli integrali, ma in modo tale che la soluzione sia corretta, corretta e con la risposta più accurata possibile? Come impararlo ed è possibile per una normale matricola farlo? appena possibile? Rispondiamo affermativamente a questa domanda: puoi! Allo stesso tempo, non solo sarai in grado di risolvere qualsiasi esempio, ma anche di raggiungere il livello di un ingegnere altamente qualificato. Il segreto è più semplice che mai: devi fare il massimo sforzo e dedicare la quantità di tempo necessaria all'auto-preparazione. Sfortunatamente, nessuno ha ancora trovato un altro modo! Ma non tutto è così nebuloso come sembra a prima vista. Se contatti il ​​nostro sito web di servizio con questa domanda, ti semplificheremo la vita, perché il nostro sito web può calcolare gli integrali online in dettaglio, con molto ad alta velocità e una risposta impeccabilmente accurata. Fondamentalmente, l’integrale non determina in che modo il rapporto degli argomenti influisce sulla stabilità del sistema nel suo insieme. Se solo tutto fosse equilibrato. Insieme a come imparerai le basi di questo argomento matematico, il servizio può trovare l'integrale di qualsiasi integrando se questo integrale può essere risolto in funzioni elementari. Diversamente, per gli integrali che non vengono presi nelle funzioni elementari, in pratica non è necessario trovare la risposta in forma analitica o, in altre parole, in forma esplicita. Tutti i calcoli degli integrali si riducono alla determinazione della funzione antiderivativa di un dato integrando. Per fare ciò, calcola prima l'integrale indefinito secondo tutte le leggi della matematica online. quindi, se necessario, sostituire i valori superiore e inferiore dell'integrale. Se non è necessario determinare o calcolare valore numerico integrale indefinito, viene aggiunta una costante alla funzione antiderivativa risultante, definendo così una famiglia di funzioni antiderivative. Posto speciale nella scienza e in generale in qualsiasi campo dell'ingegneria, compresa la meccanica dei continui, l'integrazione descrive interi sistemi meccanici, i loro movimenti e molto altro ancora. In molti casi, l'integrale composto determina la legge del moto punto materiale. È uno strumento molto importante nello studio delle scienze applicate. Sulla base di ciò, non si può fare a meno di menzionare calcoli su larga scala per determinare le leggi dell'esistenza e del comportamento sistemi meccanici. Il calcolatore per la risoluzione degli integrali online sul sito Web è un potente strumento per ingegneri professionisti. Te lo garantiamo sicuramente, ma potremo calcolare il tuo integrale solo dopo che avrai inserito l'espressione corretta nel dominio dell'integrando. Non aver paura di commettere errori, tutto può essere corretto in questa materia! Di solito, la risoluzione degli integrali si riduce all'utilizzo di funzioni tabulari tratte da famosi libri di testo o enciclopedie. Come ogni altro integrale indefinito, verrà calcolato utilizzando la formula standard senza grandi critiche. Gli studenti del primo anno afferrano facilmente e con naturalezza il materiale che hanno studiato sul posto, e per trovare un integrale a volte non ci vogliono più di due minuti. E se uno studente ha imparato la tabella degli integrali, generalmente può determinare le risposte nella sua testa. L'espansione delle funzioni tramite variabili relative alle superfici inizialmente significa la direzione corretta del vettore in un punto dell'ascissa. Il comportamento imprevedibile delle linee di superficie prende integrali definiti come base nella fonte di risposta delle funzioni matematiche. Il bordo sinistro della palla non tocca il cilindro in cui è inscritto il cerchio, se si guarda il taglio su un piano. La somma di piccole aree suddivise in centinaia di funzioni continue a tratti è l'integrale in linea di data funzione. Il significato meccanico dell'integrale risiede in molti problemi applicativi, come la determinazione del volume dei corpi e il calcolo della massa di un corpo. In questi calcoli sono coinvolti integrali tripli e doppi. Insistiamo sul fatto che la soluzione degli integrali online viene effettuata solo sotto la supervisione di insegnanti esperti e attraverso numerosi controlli. Spesso ci viene chiesto del rendimento degli studenti che non frequentano le lezioni, le saltano senza motivo e come riescono a trovarsi gli integrali stessi. Rispondiamo che gli studenti sono persone libere e sono perfettamente in grado di studiare esternamente, prepararsi per un test o un esame nel comfort di casa propria. In pochi secondi, il nostro servizio aiuterà chiunque a calcolare l'integrale di qualsiasi funzione su una variabile. Il risultato ottenuto dovrebbe essere controllato prendendo la derivata della funzione antiderivativa. In questo caso, la costante della soluzione dell'integrale diventa zero. Questa regola ovviamente vale per tutti. Poiché le operazioni multidirezionali sono giustificate, l'integrale indefinito è spesso ridotto alla divisione del dominio in piccole parti. Tuttavia, alcuni studenti e scolari trascurano questo requisito. Come sempre gli integrali on-line possono essere risolti nel dettaglio tramite il nostro sito di servizio e non ci sono limiti al numero di richieste, tutto è gratuito e alla portata di tutti. Non ci sono molti siti che forniscono una risposta passo passo in pochi secondi e, soprattutto, con elevata precisione e in una forma conveniente. Nell'ultimo esempio a pagina cinque compiti a casa Ne ho trovato uno che indica la necessità di calcolare l'integrale passo dopo passo. Ma non dobbiamo dimenticare come sia possibile trovare l'integrale utilizzando un servizio già pronto, testato nel tempo e testato su migliaia di esempi risolti online. Come un tale integrale determini il movimento del sistema ci è chiaramente e chiaramente dimostrato dalla natura del movimento del fluido viscoso, che è descritto da questo sistema di equazioni.

Risolvere gli integrali è un compito facile, ma solo per pochi eletti. Questo articolo è per coloro che vogliono imparare a comprendere gli integrali, ma non ne sanno nulla o quasi. Integrale... Perché serve? Come calcolarlo? Cosa sono gli integrali definiti e indefiniti? Se l'unico utilizzo che conosci di un integrale è usare un uncinetto a forma di icona integrale per ottenere qualcosa di utile da luoghi difficili da raggiungere, allora benvenuto! Scopri come risolvere gli integrali e perché non puoi farne a meno.

Studiamo il concetto di “integrale”

L'integrazione era già nota Antico Egitto. Ovviamente non dentro forma moderna, ma comunque. Da allora, i matematici hanno scritto molti libri su questo argomento. Si sono particolarmente distinti Newton E Leibniz , ma l'essenza delle cose non è cambiata. Come comprendere gli integrali da zero? Non c'è modo! Per comprendere questo argomento avrai ancora bisogno conoscenza di base nozioni di base analisi matematica. Sono queste le informazioni fondamentali che troverai sul nostro blog.

Integrale indefinito

Cerchiamo di avere qualche funzione f(x) .

Funzione integrale indefinita f(x) si chiama questa funzione F(x) , la cui derivata è uguale alla funzione f(x) .

In altre parole, l'integrale è una derivata al contrario o antiderivativa. A proposito, leggi come nel nostro articolo.

Esiste una primitiva per tutte le funzioni continue. Inoltre, all'antiderivativa viene spesso aggiunto un segno costante, poiché le derivate di funzioni che differiscono per una costante coincidono. Il processo per trovare l'integrale è chiamato integrazione.

Esempio semplice:

Per non calcolare costantemente le antiderivative delle funzioni elementari, è conveniente metterle in una tabella e utilizzare valori già pronti:

Integrale definito

Quando si tratta del concetto di integrale, abbiamo a che fare con quantità infinitesimali. L'integrale aiuterà a calcolare l'area della figura, la massa del corpo disomogeneo, la distanza percorsa a movimento irregolare percorso e molto altro ancora. Va ricordato che un integrale è la somma di un numero infinitamente grande di termini infinitesimi.

Ad esempio, immagina il grafico di una funzione. Come trovare l'area di una figura, limitato dal programma funzioni?

Utilizzando un integrale! Dividiamo il trapezio curvilineo, limitato dagli assi coordinati e dal grafico della funzione, in segmenti infinitesimi. In questo modo la figura verrà divisa in colonne sottili. La somma delle aree delle colonne sarà l'area del trapezio. Ma ricorda che un tale calcolo darà un risultato approssimativo. Tuttavia, quanto più piccoli e stretti saranno i segmenti, tanto più accurato sarà il calcolo. Se li riduciamo a tal punto che la lunghezza tende a zero, allora la somma delle aree dei segmenti tenderà all'area della figura. Questo è un integrale definito, che si scrive così:

I punti a e b sono detti limiti di integrazione.

Bari Alibasov e il gruppo "Integrale"

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Regole per il calcolo degli integrali per le manichine

Proprietà dell'integrale indefinito

Come risolvere un integrale indefinito? Qui esamineremo le proprietà dell'integrale indefinito, che sarà utile quando si risolvono gli esempi.

• La derivata dell'integrale è uguale all'integrando:

• La costante può essere tolta da sotto il segno integrale:

• Integrale della somma pari alla somma integrali. Questo vale anche per la differenza:

Proprietà di un integrale definito

• Linearità:

• Il segno dell'integrale cambia se si invertono i limiti di integrazione:

• A Qualunque punti UN, B E Con:

Abbiamo già scoperto che un integrale definito è il limite di una somma. Ma come ottenere un valore specifico quando si risolve un esempio? Per questo esiste la formula di Newton-Leibniz:

Esempi di risoluzione di integrali

Di seguito considereremo diversi esempi di ricerca di integrali indefiniti. Ti invitiamo a capire tu stesso le complessità della soluzione e, se qualcosa non è chiaro, fai domande nei commenti.

Per rafforzare il materiale, guarda un video su come vengono risolti nella pratica gli integrali. Non disperare se l'integrale non viene dato subito. Chiedi e ti diranno tutto quello che sanno sul calcolo degli integrali. Con il nostro aiuto, qualsiasi integrale triplo o curvo su una superficie chiusa sarà alla vostra portata.

Trovare integrale indefinito(insieme di antiderivativi o "antiderivativi") significa ripristinare una funzione da un derivato noto di tale funzione. Insieme restaurato di antiderivativi F(X) + CON per funzione F(X) tiene conto della costante di integrazione C. In base alla velocità di movimento di un punto materiale (derivata), è possibile ripristinare la legge di movimento di questo punto (antiderivativa); secondo l'accelerazione del movimento di un punto: la sua velocità e la legge del movimento. Come puoi vedere, l'integrazione è un campo molto ampio per le attività degli Sherlock Holmes della fisica. E in economia, molti concetti sono rappresentati attraverso funzioni e loro derivati, e quindi, ad esempio, è possibile ripristinare il volume dei prodotti prodotti in un momento corrispondente utilizzando la produttività del lavoro in un determinato momento (derivato).

Per trovare l'integrale indefinito ci vuole un bel po' un gran numero di formule di integrazione fondamentali. Ma il processo per trovarlo è molto più difficile della semplice applicazione di queste formule. Tutta la complessità non riguarda l'integrazione, ma il portare l'espressione integrabile ad una forma che permetta di trovare l'integrale indefinito utilizzando le formule base sopra menzionate. Ciò significa che per iniziare la pratica dell’integrazione è necessario attivare ciò che hai imparato Scuola superiore capacità di trasformazione dell'espressione.

Impareremo a trovare gli integrali usando proprietà e tavola degli integrali indefiniti da una lezione sui concetti base di questo argomento (si apre in una nuova finestra).

Esistono diversi metodi per trovare l'integrale, di cui metodo di sostituzione delle variabili E metodo dell'integrazione per parti- un set da gentiluomo obbligatorio per tutti coloro che hanno superato con successo la matematica superiore. Tuttavia, è più utile e divertente iniziare a padroneggiare l'integrazione utilizzando il metodo dello sviluppo, basato sui seguenti due teoremi sulle proprietà dell'integrale indefinito, che ripetiamo qui per comodità.

Teorema 3. Il fattore costante nell'integrando può essere tolto dal segno dell'integrale indefinito, cioè

Teorema 4. L'integrale indefinito di una somma algebrica di un numero finito di funzioni è uguale a somma algebrica integrali indefiniti di queste funzioni, cioè

(2)

Inoltre, nell'integrazione può essere utile la seguente regola: se l'espressione dell'integrando contiene un fattore costante, allora l'espressione dell'antiderivativa viene moltiplicata per l'inverso del fattore costante, cioè

(3)

Poiché questa è una lezione introduttiva alla risoluzione dei problemi di integrazione, è importante notare due cose che all'inizio o poco dopo potrebbero sorprendervi. La sorpresa è dovuta al fatto che l'integrazione è l'operazione inversa della differenziazione e l'integrale indefinito può a buon diritto chiamarsi “antiderivativa”.

La prima cosa di cui non dovresti sorprenderti durante l'integrazione. Nella tabella degli integrali ci sono formule che non hanno analoghi tra le formule della tabella delle derivate . Queste sono le seguenti formule:

Tuttavia, puoi assicurarti che le derivate delle espressioni a destra di queste formule coincidano con i corrispondenti integrandi.

La seconda cosa che non dovrebbe sorprendere durante l'integrazione. Sebbene la derivata di qualsiasi funzione elementare sia anche una funzione elementare, gli integrali indefiniti di alcune funzioni elementari non sono più funzioni elementari . Esempi di tali integrali potrebbero essere i seguenti:

Per sviluppare tecniche di integrazione saranno utili le seguenti competenze: ridurre le frazioni, dividere un polinomio al numeratore di una frazione per un monomio al denominatore (per ottenere la somma degli integrali indefiniti), convertire le radici in potenze, moltiplicare un monomio per un polinomiale, elevandolo a potenza. Queste competenze sono necessarie per le trasformazioni dell'integrando, che dovrebbero risultare nella somma degli integrali presenti nella tabella degli integrali.

Trovare insieme gli integrali indefiniti

Esempio 1. Trova l'integrale indefinito

.

Soluzione. Vediamo nel denominatore dell'integrando un polinomio in cui x è al quadrato. Questo è un segno quasi sicuro che puoi applicare l'integrale 21 della tabella (con un arcotangente come risultato). Togliamo il fattore due dal denominatore (esiste una tale proprietà dell'integrale: il fattore costante può essere eliminato oltre il segno dell'integrale; è stato menzionato sopra come Teorema 3). Il risultato di tutto questo:

Ora il denominatore è la somma dei quadrati, il che significa che possiamo applicare l'integrale della tabella menzionato. Finalmente otteniamo la risposta:

.

Esempio 2. Trova l'integrale indefinito

Soluzione. Applichiamo nuovamente il Teorema 3 - la proprietà dell'integrale, in base alla quale il fattore costante può essere tolto dal segno dell'integrale:

Applichiamo la formula 7 dalla tabella degli integrali (variabile a una potenza) alla funzione integranda:

.

Riduciamo le frazioni risultanti e abbiamo la risposta finale:

Esempio 3. Trova l'integrale indefinito

Soluzione. Applicando prima il Teorema 4 e poi il Teorema 3 alle proprietà, troviamo questo integrale come somma di tre integrali:

Tutti e tre gli integrali ottenuti sono tabulari. Usiamo la formula (7) dalla tabella degli integrali per N = 1/2, N= 2 e N= 1/5, e poi

combina tutte e tre le costanti arbitrarie introdotte durante la ricerca dei tre integrali. Pertanto, in situazioni simili, dovrebbe essere introdotta solo una costante di integrazione arbitraria.

Esempio 4. Trova l'integrale indefinito

Soluzione. Quando il denominatore dell'integrando contiene un monomio, possiamo dividere il numeratore per il denominatore termine per termine. L'integrale originale si è trasformato nella somma di due integrali:

.

Per applicare l'integrale tabellare trasformiamo le radici in potenze ed ecco la risposta finale:

Continuiamo a trovare insieme gli integrali indefiniti

Esempio 7. Trova l'integrale indefinito

Soluzione. Se trasformiamo l'integrando elevando al quadrato il binomio e dividendo il numeratore per il denominatore termine per termine, l'integrale originale diventa la somma di tre integrali.

Integrale indefinito.
Esempi dettagliati soluzioni

In questa lezione inizieremo a studiare l'argomento Integrale indefinito, e analizzeremo in dettaglio anche esempi di soluzioni degli integrali più semplici (e meno semplici). In questo articolo mi limiterò a un minimo di teoria, e ora il nostro compito è imparare a risolvere gli integrali.

Cosa devi sapere per padroneggiare con successo il materiale? Per affrontare il calcolo integrale, è necessario essere in grado di trovare le derivate, almeno a un livello intermedio. Pertanto, se il materiale è stato lanciato, ti consiglio di leggere prima attentamente le lezioni Come trovare la derivata? E Derivata di una funzione complessa. Non sarà uno spreco di esperienza se hai diverse dozzine (preferibilmente un centinaio) di derivati ​​trovati in modo indipendente al tuo attivo. Per lo meno, non dovresti lasciarti confondere dai compiti per differenziare le funzioni più semplici e comuni. Sembrerebbe, cosa c'entrano le derivate se l'articolo riguarda gli integrali?! Ecco il punto. Il fatto è che trovare le derivate e trovare gli integrali indefiniti (differenziazione e integrazione) sono due azioni reciprocamente inverse, come addizione/sottrazione o moltiplicazione/divisione. Pertanto, senza l'abilità (+ un po' di esperienza) nel trovare derivati, sfortunatamente non è possibile avanzare ulteriormente.

A questo proposito, avremo bisogno di quanto segue materiale didattico: Tabella dei derivati E Tabella degli integrali. I manuali di riferimento possono essere aperti, scaricati o stampati sulla pagina Formule e tabelle matematiche.

Qual è la difficoltà nell'apprendimento degli integrali indefiniti? Se nelle derivate ci sono rigorosamente 5 regole di differenziazione, una tabella delle derivate e un algoritmo di azioni abbastanza chiaro, allora negli integrali tutto è diverso. Esistono dozzine di metodi e tecniche di integrazione. E, se inizialmente il metodo di integrazione viene scelto in modo errato (cioè non si sa come risolverlo), allora l'integrale può essere “punteggiato” letteralmente per giorni, come un vero e proprio puzzle, cercando di individuare varie tecniche e trucchi. Ad alcune persone piace addirittura. A proposito, questo non è uno scherzo, ho sentito spesso dagli studenti un'opinione del tipo: "Non ho mai avuto alcun interesse a risolvere un limite o una derivata, ma gli integrali sono una questione completamente diversa, è affascinante, c'è sempre il desiderio di “hackerare” un integrale complesso”. Fermare. Basta con l'umorismo nero, passiamo a questi integrali molto indefiniti.

Dato che ci sono tanti modi per risolverlo, allora da dove cominciare a studiare gli integrali indefiniti per una teiera? Nel calcolo integrale, secondo me, ci sono tre pilastri o una sorta di “asse” attorno al quale ruota tutto il resto. Prima di tutto, dovresti avere una buona conoscenza degli integrali più semplici (questo articolo). Quindi è necessario elaborare la lezione in dettaglio. QUESTO LA TECNICA PIÙ IMPORTANTE! Forse anche l'articolo più importante di tutti i miei articoli sugli integrali. E in terzo luogo, dovresti assolutamente familiarizzare con il metodo di integrazione per parti, poiché può essere utilizzato per integrare un'ampia classe di funzioni. Se padroneggi almeno queste tre lezioni, non ne avrai più due. Potresti essere perdonato se non conosci gli integrali delle funzioni trigonometriche, gli integrali delle frazioni, gli integrali delle funzioni frazionarie-razionali, gli integrali delle funzioni irrazionali (radici), ma se rimani bloccato sul metodo di sostituzione o sul metodo di integrazione per parti, allora sarà molto, molto brutto.

I demotivatori sono ora molto comuni sulla RuNet. Nel contesto dello studio degli integrali, al contrario, è semplicemente necessario MOTIVATORE. Come in quella battuta su Vasily Ivanovich, che ha motivato sia Petka che Anka. Cari pigri, scrocconi e altri studenti normali, assicuratevi di leggere quanto segue. Conoscenze e competenze sull'integrale indefinito saranno necessarie negli studi successivi, in particolare per lo studio dell'integrale definito, degli integrali impropri e delle equazioni differenziali al 2° anno. La necessità di prendere l'integrale nasce anche nella teoria della probabilità! Così, senza integrali il percorso verso la sessione estiva e il 2° anno SARÀ VERAMENTE CHIUSO. Dico sul serio. La conclusione è questa. Più integrali vari tipi decidi tu, più facile sarà vita futura . Sì, ci vorrà parecchio tempo, sì, a volte non vuoi, sì, a volte "al diavolo, con questo integrale, forse non lo capirai". Ma il prossimo pensiero dovrebbe ispirare e riscaldare la tua anima; i tuoi sforzi saranno pienamente ripagati! Sarai in grado di risolvere equazioni differenziali come matti e gestire facilmente gli integrali che incontrerai in altre sezioni della matematica superiore. Avendo compreso a fondo l'integrale indefinito, EFFETTIVAMENTE PADRONEGHERAI MOLTE ALTRE SEZIONI DELLA TORRE.

E quindi non ho potuto fare a meno di creare corso intensivo sulla tecnica di integrazione, che si è rivelata sorprendentemente breve: chi lo desidera può utilizzare il libro in pdf e prepararsi MOLTO velocemente. Ma i materiali sul sito non sono affatto peggiori!

Quindi, iniziamo in modo semplice. Diamo un'occhiata alla tabella degli integrali. Come per le derivate, notiamo diverse regole di integrazione e una tabella degli integrali di alcune funzioni elementari. È facile vedere che qualsiasi integrale di tabella (e in effetti qualsiasi integrale indefinito) ha la forma:

Comprendiamo subito le notazioni e i termini:

– icona integrale.

– funzione integranda (scritta con la lettera “s”).

– icona differenziale. Durante la scrittura dell'integrale e durante la soluzione è importante non perdere questa icona. Ci sarà un difetto evidente.

– espressione integranda o “riempimento” dell'integrale.

– funzione antiderivativa.

– molte funzioni originali. Non è necessario caricarsi di termini; la cosa più importante è che in ogni integrale indefinito venga aggiunta una costante alla risposta.

Risolvere un integrale significa trovare una determinata funzione utilizzando alcune regole, tecniche e una tabella.

Consideriamo nuovamente la voce:

Diamo un'occhiata alla tabella degli integrali.

Cosa sta succedendo? Abbiamo le parti sinistre trasformarsi in ad altre funzioni: .

Semplifichiamo la nostra definizione.

Risolvere un integrale indefinito significa TRASFORMARLO in una funzione definita, utilizzando alcune regole, tecniche e una tabella.

Prendiamo ad esempio l'integrale della tabella . Quello che è successo? trasformato in una funzione.

Come nel caso delle derivate, per imparare a trovare gli integrali non è necessario conoscerli cos'è un integrale, una funzione antiderivativa da un punto di vista teorico. È sufficiente effettuare semplicemente delle trasformazioni secondo alcune regole formali. Quindi, nel caso Non è affatto necessario capire perché l'integrale si trasforma in . Per ora possiamo dare per scontate questa e altre formule. Tutti usano l'elettricità, ma poche persone pensano a come gli elettroni viaggiano attraverso i fili.

Poiché la differenziazione e l'integrazione sono operazioni opposte, lo è per qualsiasi antiderivativa che si trovi Giusto, è vero quanto segue:

In altre parole, se differenziate la risposta corretta, dovete ottenere la funzione integranda originale.

Torniamo alla stessa tabella integrale .

Verifichiamo la validità di questa formula. Prendiamo la derivata del secondo membro:

è la funzione integranda originale.

A proposito, è diventato più chiaro il motivo per cui una costante è sempre assegnata a una funzione. Quando differenziata, la costante torna sempre a zero.

Risolvere l'integrale indefinito- significa trovare un mucchio di tutti antiderivativi e non solo una funzione. Nell'esempio di tabella in esame, , , , ecc. – tutte queste funzioni sono soluzioni dell'integrale. Le soluzioni sono infinite, quindi le scriviamo brevemente:

Pertanto, qualsiasi integrale indefinito è abbastanza facile da verificare (a differenza delle derivate, dove una buona verifica può essere eseguita solo utilizzando programmi matematici). Questa è una sorta di compensazione per un gran numero di integrali di diverso tipo.

Passiamo a considerare esempi specifici. Cominciamo, come nello studio della derivata,
con due regole di integrazione, dette anche proprietà di linearità integrale indefinito:

– il fattore costante può (e deve) essere tolto dal segno integrale.

– l'integrale della somma algebrica di due funzioni è uguale alla somma algebrica di due integrali di ciascuna funzione separatamente. Questa proprietà valido per qualsiasi numero di termini.

Come puoi vedere, le regole sono sostanzialmente le stesse dei derivati.

Esempio 1

Soluzione: è più conveniente riscriverlo su carta.

(1) Applicare la regola . Non dimenticare di scrivere il simbolo differenziale sotto ciascun integrale. Perché sotto ciascuno? - questo è un moltiplicatore completo, se descriviamo la soluzione in dettaglio, allora il primo passo dovrebbe essere scritto in questo modo:

(2) Secondo la regola , prendiamo tutte le costanti fuori dai segni integrali. Tieni presente che l'ultimo termine è una costante, lo eliminiamo anche noi.
Inoltre, in questa fase prepariamo le radici e le forze per l’integrazione. Allo stesso modo della differenziazione, le radici devono essere rappresentate nella forma . Sposta verso l'alto le radici e le potenze che si trovano nel denominatore.

! Nota: a differenza delle derivate, le radici negli integrali non vanno sempre ridotte alla forma , ma i gradi vanno trasferiti verso l'alto. Ad esempio, questa è una tabella integrale già pronta e tutti i tipi di trucchi cinesi simili completamente inutile. Allo stesso modo: – anche integrale tabulare, non ha senso rappresentare la frazione nella forma . Studia attentamente la tabella!

(3) Tutti i nostri integrali sono tabulari. Eseguiamo la trasformazione utilizzando una tabella utilizzando le formule: , E .
Attenzione speciale Mi riferisco alla formula di integrazione funzione di potenza , capita molto spesso, è meglio ricordarlo. Va notato che l'integrale della tabella lo è caso speciale la stessa formula: .
È sufficiente aggiungere la costante una volta alla fine dell'espressione (e non metterla dopo ogni integrale).
(4) Scriviamo il risultato ottenuto in una forma più compatta, tutte le potenze della forma vengono nuovamente rappresentate come radici, le potenze con esponente negativo vengono riportate al denominatore.

Visita medica. Per poter effettuare la verifica è necessario differenziare la risposta ricevuta:

Ricevuto iniziale integrando, il che significa che l'integrale è stato trovato correttamente. Ciò da cui hanno ballato è ciò a cui sono tornati. Sai, è molto bello quando una storia con un integrale finisce in questo modo.

Di tanto in tanto c'è un approccio leggermente diverso per controllare l'integrale indefinito e non la derivata, ma il differenziale viene preso dalla risposta:

Chi ha capito fin dal primo semestre ha capito, ma ora per noi ciò che è importante non sono le sottigliezze teoriche, ma ciò che è importante è cosa fare dopo con questo differenziale. Ha bisogno di essere rivelato e, da un punto di vista tecnico-formale, è quasi come trovare un derivato. Il differenziale si rivela come segue: rimuoviamo l'icona, inseriamo un tratto a destra sopra la parentesi e aggiungiamo un fattore alla fine dell'espressione:

Ricevuto originale integrando, il che significa che l'integrale è stato trovato correttamente.

Mi piace meno il secondo metodo di controllo, poiché devo disegnare inoltre parentesi grandi e trascinare l'icona del differenziale fino alla fine del controllo. Anche se è più corretto o “più rispettabile” o qualcosa del genere.

In effetti, avrei potuto tacere del tutto sul secondo metodo di verifica. Il punto non è nel metodo, ma nel fatto che abbiamo imparato ad aprire il differenziale. Ancora.

Il differenziale si rivela come segue:

1) rimuovi l'icona;
2) a destra sopra la parentesi mettiamo un tratto (denotazione della derivata);
3) alla fine dell'espressione assegniamo un fattore .

Per esempio:

Ricorda questo. Avremo bisogno di questa tecnica molto presto.

Esempio 2

Trova l'integrale indefinito. Eseguire il controllo.

Quando troviamo un integrale indefinito, proviamo SEMPRE a verificare Inoltre, c'è una grande opportunità per questo. Non tutti i tipi di problemi di matematica superiore sono un dono da questo punto di vista. Non importa così spesso compiti di prova non è richiesta alcuna verifica, nessuno lo controlla e nulla impedisce che venga effettuato su progetto. Si può fare un'eccezione solo quando non c'è abbastanza tempo (ad esempio durante una prova o un esame). Personalmente, controllo sempre gli integrali e considero la mancanza di controllo un lavoro da hacker e un compito mal completato.

Esempio 3

Trova l'integrale indefinito. Eseguire il controllo.

Soluzione: analizzando l'integrale, vediamo che abbiamo il prodotto di due funzioni e anche l'elevamento a potenza di un'intera espressione. Purtroppo nel campo della battaglia integrale non esistono formule buone e convenienti per integrare il prodotto e il particolare , .

E quindi, quando è dato un prodotto o un quoziente, ha sempre senso vedere se è possibile trasformare l'integrando in una somma?

L'esempio in esame è il caso in cui è possibile. Per prima cosa fornirò la soluzione completa, i commenti saranno di seguito.

(1) Usiamo la buona vecchia formula del quadrato della somma, eliminando il grado.

(2) Lo mettiamo tra parentesi, eliminando il prodotto.

Esempio 4

Trova l'integrale indefinito. Eseguire il controllo.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. La risposta e la soluzione completa si trovano alla fine della lezione.

Esempio 5

Trova l'integrale indefinito. Eseguire il controllo.

IN in questo esempio l'integrando è una frazione. Quando vediamo una frazione nell'integrando, il primo pensiero dovrebbe essere la domanda: è possibile in qualche modo eliminare questa frazione, o almeno semplificarla?

Notiamo che il denominatore contiene una singola radice di “X”. Uno in campo non è un guerriero, il che significa che possiamo dividere il numeratore per il denominatore termine per termine:

Azioni con poteri frazionari Non commento, poiché se ne è parlato più volte negli articoli sulla derivata di una funzione. Se sei ancora perplesso da un esempio come , e non riesci ancora a ottenere la risposta corretta, allora ti consiglio di rivolgerti ai libri di testo scolastici. Nella matematica superiore, le frazioni e le operazioni con esse si incontrano ad ogni passo.

Si noti inoltre che alla soluzione manca un passaggio, vale a dire l’applicazione delle regole , . Di solito, anche durante la prima esperienza di risoluzione degli integrali, queste proprietà vengono date per scontate e non vengono descritte in dettaglio.

Esempio 6

Trova l'integrale indefinito. Eseguire il controllo.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. La risposta e la soluzione completa si trovano alla fine della lezione.

In generale, le cose non sono così semplici con le frazioni negli integrali, materiale aggiuntivo sull'integrazione di frazioni di alcuni tipi può essere trovato nell'articolo Integrazione di alcune frazioni.

! Ma, prima di passare all'articolo sopra, devi familiarizzare con la lezione Metodo di sostituzione nell'integrale indefinito. Il punto è che sussumere una funzione in un metodo di sostituzione differenziale o variabile lo è punto chiave nello studio dell’argomento, poiché si trova non solo “nei compiti puri sul metodo di sostituzione”, ma anche in molti altri tipi di integrali.

Volevo davvero includere qualche altro esempio questa lezione, ma adesso sono seduto qui, scrivo questo testo in Verde e noto che l'articolo ha già raggiunto una dimensione decente.
E quindi corso introduttivo gli integrali per i manichini sono giunti al termine.

Vi auguro il successo!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2: Soluzione:

Esempio 4: Soluzione:

In questo esempio abbiamo utilizzato la formula di moltiplicazione abbreviata

Esempio 6: Soluzione:

Io ho completato il controllo e tu? ;)