L'insieme di tutte le primitive. Funzione antiderivativa e integrale indefinito

Bersaglio:

Formazione del concetto di antiderivativa.
Preparazione alla percezione dell'integrale.
Formazione di competenze informatiche.
Coltivare il senso della bellezza (la capacità di vedere la bellezza nell'insolito).

L'analisi matematica è un insieme di rami della matematica dedicati allo studio delle funzioni e delle loro generalizzazioni utilizzando i metodi del calcolo differenziale e integrale.

Finora abbiamo studiato una branca dell'analisi matematica chiamata calcolo differenziale, la cui essenza è lo studio di una funzione nel “piccolo”.

Quelli. studio di una funzione in intorni sufficientemente piccoli di ciascun punto di definizione. Una delle operazioni di differenziazione è trovare la derivata (differenziale) e applicarla allo studio delle funzioni.

Il problema inverso non è meno importante. Se si conosce il comportamento di una funzione in prossimità di ciascun punto della sua definizione, come si può ricostruire la funzione nel suo insieme, cioè nell’intero ambito della sua definizione. Questo problema è oggetto di studio del cosiddetto calcolo integrale.

L’integrazione è l’azione inversa della differenziazione. Oppure ripristinando la funzione f(x) da una data derivata f`(x). Parola latina“Integro” significa restauro.

Esempio n. 1.

Sia (x)`=3x 2.
Troviamo f(x).

Soluzione:

Basandosi sulla regola della differenziazione, non è difficile indovinare che f(x) = x 3, perché (x 3)` = 3x 2
Tuttavia si può facilmente notare che f(x) non si trova in modo univoco.
Come f(x) possiamo prendere
f(x)=x3+1
f(x)=x3+2
f(x)= x 3 -3, ecc.

Perché la derivata di ciascuno di essi è pari a 3x 2. (La derivata di una costante è 0). Tutte queste funzioni differiscono tra loro per un termine costante. Ecco perché soluzione generale il problema può essere scritto nella forma f(x)= x 3 +C, dove C è un numero reale costante qualsiasi.

Viene chiamata una qualsiasi delle funzioni trovate f(x). PRIMODIO per la funzione F`(x)= 3x 2

Definizione. Una funzione F(x) è detta antiderivativa per una funzione f(x) su un dato intervallo J se per tutti gli x da questo intervallo F`(x)= f(x). Quindi la funzione F(x)=x 3 è antiderivativa per f(x)=3x 2 su (- ∞ ; ∞).
Poiché per ogni x ~R vale l'uguaglianza: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Come abbiamo già notato, questa funzione ha un numero infinito di antiderivative (vedi esempio n. 1).

Esempio n.2. La funzione F(x)=x è antiderivativa per ogni f(x)= 1/x sull'intervallo (0; +), perché per tutti gli x di questo intervallo vale l'uguaglianza.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Esempio n.3. La funzione F(x)=tg3x è una antiderivativa per f(x)=3/cos3x sull'intervallo (-n/ 2; P/ 2),
Perché F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Esempio n.4. La funzione F(x)=3sin4x+1/x-2 è antiderivativa per f(x)=12cos4x-1/x 2 sull'intervallo (0;∞)
Perché F`(x)=(3sen4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Lezione 2.

Argomento: Antiderivativa. La proprietà principale di una funzione antiderivativa.

Quando studieremo l'antiderivativa, faremo affidamento sulla seguente affermazione. Segno di costanza di una funzione: Se sull'intervallo J la derivata Ψ(x) della funzione è uguale a 0, allora su questo intervallo la funzione Ψ(x) è costante.

Questa affermazione può essere dimostrata geometricamente.

È noto che Ψ`(x)=tgα, γde α è l'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione Ψ(x) nel punto con ascissa x 0. Se Ψ`(υ)=0 in qualsiasi punto dell'intervallo J, allora tanα=0 δper qualsiasi tangente al grafico della funzione Ψ(x). Ciò significa che la tangente al grafico della funzione in ogni punto è parallela all'asse delle ascisse. Pertanto, sull'intervallo indicato, il grafico della funzione Ψ(x) coincide con il segmento di retta y=C.

Quindi, la funzione f(x)=c è costante sull'intervallo J se f`(x)=0 su questo intervallo.

Infatti, per x 1 e x 2 arbitrari dell'intervallo J, utilizzando il teorema sul valore medio di una funzione, possiamo scrivere:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), perché f`(c)=0, allora f(x 2)= f(x 1)

Teorema: (La proprietà principale della funzione antiderivativa)

Se F(x) è una delle antiderivative della funzione f(x) sull'intervallo J, allora l'insieme di tutte le antiderivative di questa funzione ha la forma: F(x) + C, dove C è un numero reale qualsiasi.

Prova:

Sia F`(x) = f (x), allora (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), per x Є J.
Supponiamo che esista Φ(x) - un'altra antiderivativa per f (x) sull'intervallo J, cioè Φ`(x) = f (x),
allora (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, per x Є J.
Ciò significa che Φ(x) - F(x) è costante sull'intervallo J.
Pertanto, Φ(x) - F(x) = C.
Da dove Φ(x)= F(x)+C.
Ciò significa che se F(x) è un'antiderivativa per una funzione f (x) sull'intervallo J, allora l'insieme di tutte le antiderivative di questa funzione ha la forma: F(x)+C, dove C è un numero reale qualsiasi.
Di conseguenza, due qualsiasi antiderivative di una data funzione differiscono l'una dall'altra per un termine costante.

Esempio: Trova l'insieme delle antiderivative della funzione f (x) = cos x. Disegna i grafici dei primi tre.

Soluzione: Sin x è una delle antiderivative della funzione f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – l'insieme di tutte le antiderivative.

F 1 (x) = Sin x-1
F2(x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Illustrazione geometrica: Il grafico di una qualsiasi antiderivativa F(x)+C può essere ottenuto dal grafico della antiderivativa F(x) utilizzando il trasferimento parallelo r (0;c).

Esempio: Per la funzione f (x) = 2x, trovare una primitiva il cui grafico passi per t.M (1;4)

Soluzione: F(x)=x 2 +C – l'insieme di tutte le antiderivative, F(1)=4 - secondo le condizioni del problema.
Pertanto, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x2+3

Una delle operazioni di differenziazione è trovare la derivata (differenziale) e applicarla allo studio delle funzioni.

L’integrazione è l’azione inversa della differenziazione. Oppure ripristinando la funzione f(x) da una data derivata f`(x). La parola latina “integro” significa restaurazione.

Esempio n. 1.

Sia (f(x))’ = 3x 2. Troviamo f(x).

Soluzione:

Basandosi sulla regola della differenziazione, non è difficile indovinare che f(x) = x 3, perché

(x 3)’ = 3x 2 Tuttavia si può facilmente notare che f(x) non si trova in modo univoco. Poiché f(x), puoi prendere f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3, ecc.

Perché la derivata di ciascuno di essi è 3x 2. (La derivata di una costante è 0). Tutte queste funzioni differiscono tra loro per un termine costante. Pertanto, la soluzione generale del problema può essere scritta come f(x) = x 3 + C, dove C è un numero reale costante.

Viene chiamata una qualsiasi delle funzioni trovate f(x). antiderivativo per la funzione F`(x)= 3x 2

Definizione.

Una funzione F(x) è detta antiderivativa per una funzione f(x) su un dato intervallo J se per tutti gli x da questo intervallo F`(x)= f(x). Quindi la funzione F(x)=x 3 è antiderivativa per f(x)=3x 2 su (- ∞ ; ∞). Poiché per ogni x ~R vale l'uguaglianza: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Come abbiamo già notato, questa funzione ha un numero infinito di antiderivative.

Esempio n.2.

La funzione è antiderivativa per tutti sull'intervallo (0; +∞), perché per tutti gli h di questo intervallo vale l'uguaglianza.

Il problema dell'integrazione è quello data funzione trovare tutti i suoi antiderivativi. Quando si risolve questo problema, la seguente dichiarazione gioca un ruolo importante:

Un segno di costanza di funzione. Se F"(x) = 0 su un certo intervallo I, allora la funzione F è costante su questo intervallo.

Prova.

Fissiamo qualche x 0 dall'intervallo I. Allora per qualsiasi numero x da tale intervallo, in virtù della formula di Lagrange, possiamo indicare un numero c contenuto tra x e x 0 tale che

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Per condizione, F’ (c) = 0, poiché c ∈1, quindi,

F(x) - F(x 0) = 0.

Quindi, per tutti gli x dell'intervallo I

cioè la funzione F mantiene un valore costante.

Tutte le funzioni antiderivative f possono essere scritte utilizzando una formula, chiamata forma generale degli antiderivativi per la funzione F. Vale il seguente teorema ( proprietà principale degli antiderivativi):

Teorema. Qualsiasi antiderivativa per una funzione f sull'intervallo I può essere scritta nella forma

F(x) + C, (1) dove F (x) è una delle antiderivative della funzione f (x) sull'intervallo I e C è una costante arbitraria.

Spieghiamo questa affermazione, in cui vengono brevemente formulate due proprietà dell'antiderivativo:

Qualunque sia il numero che mettiamo nell'espressione (1) al posto di C, otteniamo la primitiva di f sull'intervallo I;
qualunque sia l'antiderivativa Ф per f sull'intervallo I, è possibile selezionare un numero C tale che per tutti gli x dell'intervallo I valga l'uguaglianza

Prova.

Per condizione, la funzione F è antiderivativa per f sull'intervallo I. Di conseguenza, F"(x)= f (x) per ogni x∈1, quindi (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), cioè F(x) + C è l'antiderivativa della funzione f.
Sia Ф (x) una delle antiderivative della funzione f sullo stesso intervallo I, cioè Ф "(x) = f (х) per ogni x∈I.

Allora (Ô(x) - F (x))" = Ô"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Da qui segue c. la potenza del segno di costanza della funzione, che la differenza Ф(х) - F(х) è una funzione che assume un valore costante C sull'intervallo I.

Pertanto, per tutti gli x dell'intervallo I è vera l'uguaglianza Ф(x) - F(x)=С, che è ciò che doveva essere dimostrato. Alla proprietà principale dell'antiderivativo può essere attribuito un significato geometrico: i grafici di due qualsiasi antiderivative per la funzione f sono ottenuti l'uno dall'altro mediante traslazione parallela lungo l'asse Oy

Domande per gli appunti

La funzione F(x) è una antiderivativa della funzione f(x). Trova F(1) se f(x)=9x2 - 6x + 1 e F(-1) = 2.

Trova tutte le antiderivative per la funzione

Per la funzione (x) = cos2 * sin2x, trova l'antiderivativa di F(x) se F(0) = 0.

Per una funzione, trova un'antiderivativa il cui grafico passa per il punto

Lezione e presentazione sul tema: "Una funzione antiderivativa. Grafico di una funzione"

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Funzione antiderivativa. Introduzione

Ragazzi, sapete come trovare le derivate di funzioni utilizzando varie formule e regole. Oggi studieremo l'operazione inversa del calcolo della derivata. Il concetto di derivato è spesso utilizzato in vita reale. Lascia che te lo ricordi: la derivata è il tasso di variazione di una funzione in un punto specifico. I processi che coinvolgono movimento e velocità sono ben descritti in questi termini.

Consideriamo questo problema: “La velocità di un oggetto che si muove in linea retta è descritta dalla formula $V=gt$. È necessaria per ripristinare la legge del movimento.
Soluzione.
Conosciamo bene la formula: $S"=v(t)$, dove S è la legge del moto.
Il nostro compito si riduce a trovare una funzione $S=S(t)$ la cui derivata è uguale a $gt$. Osservando attentamente, puoi indovinare che $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Verifichiamo la correttezza della soluzione a questo problema: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Conoscendo la derivata della funzione, abbiamo trovato la funzione stessa, ovvero abbiamo eseguito l'operazione inversa.
Ma vale la pena prestare attenzione a questo punto. La soluzione al nostro problema richiede chiarimenti; se aggiungiamo un numero qualsiasi (costante) alla funzione trovata, il valore della derivata non cambierà: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=cost$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Ragazzi, fate attenzione: il nostro problema ha un'infinità di soluzioni!
Se il problema non specifica una condizione iniziale o qualche altra condizione, non dimenticare di aggiungere una costante alla soluzione. Ad esempio, il nostro compito può specificare la posizione del nostro corpo all'inizio del movimento. Quindi non è difficile calcolare la costante; sostituendo zero nell'equazione risultante, otteniamo il valore della costante.

Come si chiama questa operazione?
L’operazione inversa della differenziazione si chiama integrazione.
Trovare una funzione da una derivata data – integrazione.
La funzione stessa verrà chiamata antiderivativa, cioè l'immagine da cui è stata ottenuta la derivata della funzione.
È consuetudine scrivere l'antiderivativa lettera maiuscola$y=F"(x)=f(x)$.

Definizione. La funzione $y=F(x)$ si dice antiderivativa della funzione $у=f(x)$ sull'intervallo X se per ogni $хϵХ$ vale l'uguaglianza $F'(x)=f(x)$ .

Facciamo una tabella degli antiderivativi per varie funzioni. Dovrebbe essere stampato come promemoria e memorizzato.

Non ce ne sono nella nostra tabella condizioni iniziali non è stato chiesto. Ciò significa che è necessario aggiungere una costante a ciascuna espressione sul lato destro della tabella. Chiariremo questa regola più avanti.

Regole per trovare gli antiderivativi

Scriviamo alcune regole che ci aiuteranno a trovare gli antiderivativi. Sono tutti simili alle regole di differenziazione.

Regola 1. L'antiderivativa di una somma è uguale alla somma delle antiderivative. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Esempio.
Trova l'antiderivativa per la funzione $y=4x^3+cos(x)$.
Soluzione.
L'antiderivativa della somma è uguale alla somma delle antiderivative, quindi dobbiamo trovare l'antiderivativa per ciascuna delle funzioni presentate.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sen(x)$.
Quindi l'antiderivativa della funzione originale sarà: $y=x^4+sin(x)$ o qualsiasi funzione della forma $y=x^4+sin(x)+C$.

Regola 2. Se $F(x)$ è un'antiderivativa per $f(x)$, allora $k*F(x)$ è un'antiderivativa per la funzione $k*f(x)$.(Possiamo facilmente prendere il coefficiente come una funzione).

Esempio.
Trova le antiderivative delle funzioni:
a) $y=8peccato(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Soluzione.
a) La primitiva di $sin(x)$ è meno $cos(x)$. Quindi l'antiderivativa della funzione originale assumerà la forma: $y=-8cos(x)$.

B) La primitiva di $cos(x)$ è $sin(x)$. Quindi l'antiderivativa della funzione originale assumerà la forma: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) La primitiva di $x^2$ è $\frac(x^3)(3)$. La primitiva di x è $\frac(x^2)(2)$. La primitiva di 1 è x. Quindi l'antiderivativa della funzione originale assumerà la forma: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

Regola 3. Se $у=F(x)$ è un'antiderivativa per la funzione $y=f(x)$, allora l'antiderivativa per la funzione $y=f(kx+m)$ è la funzione $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.

Esempio.
Trova le antiderivative delle seguenti funzioni:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=peccato(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Soluzione.
a) La primitiva di $cos(x)$ è $sin(x)$. Quindi l'antiderivativa per la funzione $y=cos(7x)$ sarà la funzione $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) La primitiva di $sin(x)$ è meno $cos(x)$. Quindi l'antiderivativa per la funzione $y=sin(\frac(x)(2))$ sarà la funzione $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) L'antiderivativa di $x^3$ è $\frac(x^4)(4)$, quindi l'antiderivativa della funzione originale $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Semplificare leggermente l'espressione alla potenza $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
L'antiderivativa della funzione esponenziale è essa stessa funzione esponenziale. L'antiderivativa della funzione originale sarà $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Teorema. Se $y=F(x)$ è un'antiderivativa per la funzione $y=f(x)$ sull'intervallo X, allora la funzione $y=f(x)$ ha infinite antiderivative e tutte hanno forma $y=F( x)+С$.

Se in tutti gli esempi discussi sopra fosse necessario trovare l'insieme di tutte le antiderivative, allora la costante C dovrebbe essere aggiunta ovunque.
Per la funzione $y=cos(7x)$ tutte le antiderivative hanno la forma: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Per la funzione $y=(-2x+3)^3$ tutte le antiderivative hanno la forma: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Esempio.
Data la legge della variazione della velocità di un corpo nel tempo $v=-3sin(4t)$, trovare la legge del moto $S=S(t)$ se nell'istante iniziale il corpo aveva una coordinata pari a 1,75.
Soluzione.
Poiché $v=S’(t)$, dobbiamo trovare l’antiderivativa per una data velocità.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
In questo problema viene data una condizione aggiuntiva: il momento iniziale del tempo. Ciò significa che $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Quindi la legge del moto è descritta dalla formula: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Problemi da risolvere in autonomia

1. Trova le antiderivative delle funzioni:
a) $y=-10peccato(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Trova le antiderivative delle seguenti funzioni:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=peccato(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Secondo la legge data della variazione della velocità di un corpo nel tempo $v=4cos(6t)$, trovare la legge del movimento $S=S(t)$ se nell'istante iniziale il corpo aveva un coordinata pari a 2.

Integrale indefinito

Il compito principale del calcolo differenziale era calcolare la derivata o il differenziale di una data funzione. Il calcolo integrale, allo studio del quale stiamo procedendo, risolve il problema inverso, cioè trovare la funzione stessa dalla sua derivata o differenziale. Cioè, avere dF(x)= f(x)d (7.1) o F′(x)= f(x),

Dove f(x)- funzione nota, è necessario trovare la funzione F(x).

Definizione:Viene chiamata la funzione F(x). antiderivativo funzione f(x) sul segmento se l'uguaglianza vale in tutti i punti di questo segmento: F′(x) = f(x) O dF(x)= f(x)d.

Per esempio, una delle funzioni antiderivative per la funzione f(x)=3x2 Volere F(x)= x 3, Perché ( x3)′=3x2. Ma un prototipo per la funzione f(x)=3x2 ci saranno anche le funzioni e , poiché .

Quindi questa funzione f(x)=3x2 ha un numero infinito di primitive, ciascuna delle quali differisce solo per un termine costante. Mostriamo che questo risultato vale anche nel caso generale.

Teorema Due diverse antiderivative della stessa funzione definita in un certo intervallo differiscono tra loro su questo intervallo per un termine costante.

Prova

Lasciamo la funzione f(x) definito nell'intervallo (a¸b) E F1 (x) E F2(x) - antiderivativi, cioè F 1 ′(x)= f(x) e F 2 ′(x)= f(x).

Poi F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ FA 1 (x) - FA 2 (x) = DO

Da qui, F2(x) = F1(x) + C

Dove CON - costante (qui viene utilizzato un corollario del teorema di Lagrange).

Il teorema è quindi dimostrato.

Illustrazione geometrica. Se A = F1 (x) E A = F2(x) – antiderivative della stessa funzione f(x), quindi la tangente ai loro grafici nei punti con un'ascissa comune X paralleli tra loro (Fig. 7.1).

In questo caso, la distanza tra queste curve lungo l'asse OH rimane costante Fa 2 (x) - Fa 1 (x) = C , cioè, queste curve dentro una certa comprensione"paralleli" tra loro.

Conseguenza .

Aggiunta di qualche antiderivativo F(x) per questa funzione f(x), definito sull'intervallo X, tutte le possibili costanti CON, otteniamo tutte le possibili antiderivative per la funzione f(x).

Quindi l'espressione F(x)+C , dove e F(x) – qualche antiderivativa di una funzione f(x) include tutti i possibili antiderivativi per f(x).

Esempio 1. Controlla se le funzioni lo sono antiderivative della funzione

Soluzione:

Risposta: antiderivative per una funzione ci saranno delle funzioni E

Definizione: Se la funzione F(x) è una qualche antiderivativa della funzione f(x), allora l'insieme di tutte le antiderivative F(x)+ C è chiamato integrale indefinito di f(x) e denotiamo:

∫f(х)dх.

Per definizione:

f(x) - funzione integranda,

f(х)dх - espressione integrando

Da ciò consegue che integrale indefinitoè una funzione visione generale, il cui differenziale è uguale all'integrando, e la cui derivata rispetto alla variabile Xè uguale all'integrando in tutti i punti.

CON punto geometrico visione un integrale indefinito è una famiglia di curve, ciascuna delle quali si ottiene spostando verso l'alto o verso il basso, cioè lungo l'asse, una delle curve parallele a sé stesse OH(Fig. 7.2).

Viene chiamata l'operazione di calcolo dell'integrale indefinito di una determinata funzione integrazione questa funzione.

Si noti che se la derivata di una funzione elementare è sempre una funzione elementare, allora l'antiderivativa di una funzione elementare potrebbe non essere rappresentata da un numero finito di funzioni elementari.

Consideriamo ora proprietà dell'integrale indefinito.

Dalla Definizione 2 segue:

1. La derivata dell'integrale indefinito è uguale all'integrando, cioè se F′(x) = f(x) , Quello

2. Il differenziale dell'integrale indefinito è uguale all'integrando

. (7.4)

Dalla definizione di differenziale e proprietà (7.3)

3. L'integrale indefinito del differenziale di qualche funzione è uguale a questa funzione fino a un termine costante, cioè (7.5)

Antiderivativo.

L'antiderivativa è facile da capire con un esempio.

Prendiamo la funzione y = x 3. Come sappiamo dalle sezioni precedenti, la derivata di X 3 è 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Pertanto, dalla funzione y = x 3 otteniamo nuova funzionalità: A = 3X 2 .
In senso figurato, la funzione A = X 3 funzione prodotta A = 3X 2 ed è il suo “genitore”. In matematica non esiste la parola “genitore”, ma esiste un concetto correlato: antiderivativa.

Cioè: funzione y = x 3 è una primitiva della funzione A = 3X 2 .

Definizione di antiderivativo:

Nel nostro esempio ( X 3)" = 3X 2 quindi y = x 3 – antiderivativo per A = 3X 2 .

Integrazione.

Come sai, il processo per trovare la derivata di una determinata funzione si chiama differenziazione. E l’operazione inversa si chiama integrazione.

Esempio-spiegazione:

A = 3X 2 + peccato X.

Soluzione:

Sappiamo che l'antiderivativa per 3 X 2 è X 3 .

Antiderivativa del peccato Xè –cos X.

Aggiungiamo due antiderivative e otteniamo l'antiderivativa per la funzione data:

y = x 3+(–cos X),

y = x 3 – cos X.

Risposta :
per funzione A = 3X 2 + peccato X y = x 3 – cos X.

Esempio-spiegazione:

Troviamo un'antiderivativa per la funzione A= 2 peccato X.

Soluzione:

Notiamo che k = 2. L'antiderivativa di sin Xè –cos X.

Pertanto, per la funzione A= 2 peccato X l'antiderivativa è la funzione A= –2cos X.
Coefficiente 2 nella funzione y = 2 sin X corrisponde al coefficiente dell'antiderivativa da cui è stata formata questa funzione.

Esempio-spiegazione:

Troviamo un'antiderivativa per la funzione sì= peccato 2 X.

Soluzione:

Lo notiamo k= 2. Antiderivativo per peccato Xè –cos X.

Applichiamo la nostra formula per trovare l'antiderivativa della funzione sì= cos2 X:

1
sì= - · (–cos 2 X),
2

cos2 X
sì = – ----
2

cos2 X
Risposta: per una funzione sì= peccato 2 X l'antiderivativa è la funzione sì = – ----
2

(4)

Esempio-spiegazione.

Prendiamo la funzione dell'esempio precedente: sì= peccato 2 X.

Per questa funzione, tutti gli antiderivativi hanno la forma:

cos2 X
sì = – ---- + C.
2

Spiegazione.

Prendiamo la prima riga. Si legge così: se la funzione y = f( X) è 0, allora la sua primitiva è 1. Perché? Perché la derivata dell'unità è zero: 1" = 0.

Le righe rimanenti vengono lette nello stesso ordine.

Come scrivere i dati da una tabella? Prendiamo la riga otto:

(-cos X)" = peccato X

Scriviamo la seconda parte con il segno della derivata, poi il segno dell'uguale e la derivata.

Leggiamo: antiderivativa per funzioni peccato Xè la funzione -cos X.

Oppure: funzione -cos Xè antiderivativo per la funzione sin X.