Piazza trapezio curvo numericamente uguale ad un integrale definito

Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico. In classe ho detto che un integrale definito è un numero. E ora è il momento di dirne un’altra fatto utile. Dal punto di vista della geometria l'integrale definito è l'AREA.

Questo è, l'integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di una certa figura. Consideriamo ad esempio l’integrale definito. L'integrando definisce una certa curva sul piano (può sempre essere disegnata se lo si desidera), e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area corrispondente trapezio curvo.

Esempio 1

Questa è una tipica dichiarazione di assegnazione. Primo e il momento più importante soluzioni - disegno. Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.

Quando si costruisce un disegno, consiglio il seguente ordine: All'inizioè meglio costruire tutte le rette (se esistono) e solo Poi– parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. È più redditizio costruire grafici di funzioni punto per punto, la tecnica di costruzione punto per punto si trova in materiale di riferimento.

Lì puoi anche trovare materiale molto utile per la nostra lezione: come costruire rapidamente una parabola.

In questo problema, la soluzione potrebbe assomigliare a questa.
Disegniamo il disegno (nota che l'equazione definisce l'asse):

Non tratterò un trapezio curvo, qui è ovvio quale sia l'area stiamo parlando. La soluzione continua così:

Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, Ecco perché:

Risposta:

Chi ha difficoltà nel calcolare l'integrale definito e nell'applicare la formula di Newton-Leibniz , fare riferimento alla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Una volta completata l'attività, è sempre utile guardare il disegno e capire se la risposta è reale. In questo caso, contiamo il numero di celle nel disegno “a occhio” - beh, ce ne saranno circa 9, sembra essere vero. È assolutamente chiaro che se otteniamo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora è ovvio che è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle ovviamente non rientrano nella cifra in questione, al massimo una dozzina. Se la risposta è negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.

Esempio 2

Calcola l'area di una figura delimitata dalle linee , e dall'asse

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Cosa fare se si trova il trapezio curvo sotto l'asse?

Esempio 3

Calcola l'area della figura delimitata da linee e assi coordinati.

Soluzione: facciamo un disegno:

Se un trapezio curvo completamente posizionato sotto l'asse, allora la sua area può essere trovata utilizzando la formula:
In questo caso:

Attenzione! Non bisogna confondere i due tipi di compiti:

1) Se ti viene chiesto di risolvere semplicemente un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora potrebbe essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura utilizzando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché nella formula appena discussa appare il segno meno.

In pratica, molto spesso la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore, e quindi dal più semplice problemi scolastici Passiamo ad esempi più significativi.

Esempio 4

Trova l'area di una figura piana delimitata dalle linee , .

Soluzione: per prima cosa devi fare un disegno. In generale, quando costruiamo un disegno per problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Troviamo i punti di intersezione della parabola e della retta. Questo può essere fatto in due modi. Il primo metodo è analitico. Risolviamo l'equazione:

Ciò significa che il limite inferiore di integrazione è , il limite superiore di integrazione è .
È meglio non utilizzare questo metodo, se possibile.

È molto più redditizio e veloce costruire linee punto per punto, e i limiti dell’integrazione diventano chiari “da soli”. La tecnica di costruzione punto per punto di vari grafici è discussa in dettaglio nella guida Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Tuttavia, il metodo analitico per la ricerca dei limiti talvolta deve ancora essere utilizzato se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande o la costruzione dettagliata non ha rivelato i limiti dell'integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). E considereremo anche un esempio del genere.

Torniamo al nostro compito: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Facciamo il disegno:

Ripeto che quando si costruisce puntualmente, i limiti dell'integrazione vengono spesso scoperti “automaticamente”.

E ora la formula di lavoro: Se su un segmento c'è qualche funzione continua maggiore o uguale a qualche funzione continua, quindi l'area della figura corrispondente può essere trovata utilizzando la formula:

Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura: sopra o sotto l'asse e, in parole povere, importa quale grafico è PIÙ ALTO(relativo ad un altro grafico), e quale è SOTTO.

Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi occorre sottrarre da

La soluzione completata potrebbe assomigliare a questa:

La figura desiderata è limitata da una parabola sopra e da una linea retta sotto.
Sul segmento, secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Infatti, la formula scolastica per l'area di un trapezio curvilineo nel semipiano inferiore (vedi semplice esempio n. 3) è caso speciale formule . Poiché l'asse è specificato dall'equazione e il grafico della funzione si trova sotto l'asse, allora

E ora un paio di esempi per la tua soluzione

Esempio 5

Esempio 6

Trova l'area della figura delimitata dalle linee , .

Quando si risolvono problemi che coinvolgono il calcolo dell'area utilizzando un integrale definito, a volte accade un incidente divertente. Il disegno è stato fatto correttamente, i calcoli erano corretti, ma per disattenzione... è stata trovata l'area della figura sbagliata, è proprio così che il tuo umile servitore ha commesso un errore più volte. Qui caso reale dalla vita:

Esempio 7

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , , , .

Per prima cosa facciamo un disegno:

La figura di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu(guarda attentamente le condizioni: come è limitata la cifra!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, capita spesso di dover trovare l'area della figura ombreggiata verde!

Questo esempio è utile anche perché calcola l'area di una figura utilizzando due integrali definiti. Veramente:

1) Sul segmento sopra l'asse c'è il grafico di una retta;

2) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico di un'iperbole.

È abbastanza ovvio che le aree possono (e devono) essere aggiunte, quindi:

Risposta:

Esempio 8

Calcola l'area di una figura delimitata da linee,
Presentiamo le equazioni in forma “scolastica” e facciamo un disegno punto per punto:

Dal disegno è chiaro che il nostro limite superiore è “buono”: .
Ma qual è il limite inferiore?! È chiaro che questo non è un numero intero, ma cos'è? Forse ? Ma dov'è la garanzia che il disegno sia stato eseguito con perfetta precisione, potrebbe benissimo risultare che... O la radice. Cosa succederebbe se costruissimo il grafico in modo errato?

In questi casi è necessario dedicare ulteriore tempo e chiarire analiticamente i limiti dell’integrazione.

Troviamo i punti di intersezione di una retta e di una parabola.
Per fare ciò, risolviamo l'equazione:

Quindi, .

L'ulteriore soluzione è banale, l'importante è non confondersi in sostituzioni e segni, i calcoli qui non sono dei più semplici;

Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Bene, per concludere la lezione, esaminiamo due compiti più difficili.

Esempio 9

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , ,

Soluzione: rappresentiamo questa figura nel disegno.

Per disegnare un disegno punto per punto devi sapere aspetto sinusoidi (e generalmente utile sapere grafici di tutte le funzioni elementari), così come alcuni valori del seno, possono essere trovati in tavola trigonometrica. In alcuni casi (come in questo caso) è possibile costruire un disegno schematico, sul quale dovrebbero essere visualizzati fondamentalmente correttamente i grafici ed i limiti di integrazione.

Non ci sono problemi con i limiti di integrazione qui; derivano direttamente dalla condizione: “x” cambia da zero a “pi”. Prendiamo un'ulteriore decisione:

Sul segmento il grafico della funzione si trova sopra l'asse, quindi:

(1) Puoi vedere come i seni e i coseni sono integrati nelle potenze dispari nella lezione Integrali da funzioni trigonometriche . Questa è una tecnica tipica, pizzichiamo un seno.

(2) Usiamo l'identità trigonometrica principale nella forma

(3) Cambiamo quindi la variabile:

Nuove aree di integrazione:

Chiunque sia davvero pessimo con le sostituzioni, per favore prenda una lezione. Metodo di sostituzione in integrale indefinito . Per coloro che non comprendono bene l'algoritmo di sostituzione in un integrale definito, visitare la pagina Integrale definito. Esempi di soluzioni.

È necessario calcolare l'area di un trapezio curvo delimitato da linee rette,
,
e curva
.

Dividiamo il segmento
puntina segmenti elementari, lunghezza
sesto segmento
. Ripristiniamo le perpendicolari dai punti di divisione del segmento all'intersezione con la curva
, permettere
. Di conseguenza otteniamo trapezi elementari, la somma delle loro aree è ovviamente uguale alla somma di un dato trapezio curvilineo.

Determiniamo i valori più grandi e più piccoli della funzione su ciascun intervallo elementare sul primo intervallo che si tratta;
, sul secondo
e così via. Calcoliamo gli importi

La prima somma rappresenta l'area di tutto quanto descritto, la seconda è l'area di tutti i rettangoli inscritti in un trapezio curvo.

È chiaro che la prima somma fornisce un valore approssimativo dell'area del trapezio "con eccesso", la seconda - "con carenza". La prima somma si chiama somma Darboux superiore, la seconda somma Darboux inferiore. Pertanto, l'area di un trapezio curvo è soddisfa la disuguaglianza
. Vediamo come si comportano le somme di Darboux all'aumentare del numero di punti di partizione del segmento
. Lascia che il numero di punti di partizione aumenti di uno e lascia che sia al centro dell'intervallo
.

Ora il numero è come
rettangoli inscritti e circoscritti aumentati di uno. Consideriamo come è cambiata la somma Darboux inferiore. Invece di un quadrato
th rettangolo inscritto, uguale a
otteniamo la somma delle aree di due rettangoli
, poiché la lunghezza
non può essere di meno
il valore più piccolo della funzione a
. Dall'altro lato,
non può esserci di più
il valore più grande della funzione nell'intervallo
. Pertanto, l'aggiunta di nuovi punti per dividere un segmento aumenta il valore della somma Darboux inferiore e diminuisce la somma Darboux superiore. In questo caso la somma di Darboux inferiore, all’aumentare del numero dei punti di partizione, non può superare il valore dell’eventuale somma superiore, poiché la somma delle aree dei rettangoli descritti è sempre più dell'importo aree di rettangoli inscritti in un trapezio curvo.

Pertanto la successione delle somme di Darboux inferiori aumenta con il numero dei punti di partizione del segmento ed è delimitata dall'alto secondo il noto teorema, ha un limite; Questo limite è l'area di un dato trapezio curvo.

Allo stesso modo, la sequenza delle somme di Darboux superiori diminuisce all'aumentare del numero dei punti di partizione dell'intervallo ed è limitata dal basso da qualsiasi somma di Darboux inferiore, il che significa che anch'essa ha un limite, ed è pari anche all'area di il trapezio curvilineo.

Pertanto, per calcolare l'area di un trapezio curvo, è sufficiente partizioni dell'intervallo, determinare la somma Darboux inferiore o superiore, quindi calcolare
, O
.

Tuttavia, tale soluzione al problema presuppone qualsiasi, arbitrariamente elevato numero partizioni
, trovando il valore più grande o più piccolo di una funzione su ciascun intervallo elementare, il che è un compito molto laborioso.

Una soluzione più semplice si ottiene utilizzando la somma integrale di Riemann, che è

Dove
qualche punto di ciascun intervallo elementare, cioè
. Di conseguenza, la somma integrale di Riemann è la somma delle aree di tutti i possibili rettangoli, e
. Come mostrato sopra, i limiti delle somme Darboux superiore e inferiore sono uguali e uguali all'area del trapezio curvo. Utilizzando una delle proprietà del limite di una funzione (la regola dei due poliziotti), otteniamo che per qualsiasi partizione del segmento
e selezionando i punti L'area di un trapezio curvo può essere calcolata utilizzando la formula
.

Esempio 1 . Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 e x = 2

Costruiamo una figura (vedi figura) Costruiamo una retta x + 2y – 4 = 0 utilizzando due punti A(4;0) e B(0;2). Esprimendo y tramite x, otteniamo y = -0,5x + 2. Usando la formula (1), dove f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, troviamo

S = = [-0,25=11,25 mq. unità

Esempio 2. Calcola l’area della figura delimitata dalle linee: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 e y = 0.

Soluzione. Costruiamo la figura.

Costruiamo una retta x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Costruiamo una retta x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Troviamo il punto di intersezione delle rette risolvendo il sistema di equazioni:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Per calcolare l'area richiesta, dividiamo il triangolo AMC in due triangoli AMN e NMC, poiché quando x cambia da A a N, l'area è limitata da una linea retta e quando x cambia da N a C - da una linea retta

Per il triangolo AMN abbiamo: ; y = 0,5x + 2, cioè f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Per il triangolo NMC abbiamo: y = - x + 5, cioè f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calcolando l'area di ciascun triangolo e sommando i risultati, troviamo:

mq. unità

mq. unità

9 + 4, 5 = 13,5 mq. unità Verifica: = 0,5AC = 0,5 mq. unità

Esempio 3. Calcola l'area di una figura delimitata dalle linee: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

In questo caso, devi calcolare l'area di un trapezio curvo delimitato dalla parabola y = x 2 , le linee rette x = 2 e x = 3 e l'asse del bue (vedi figura) Utilizzando la formula (1) troviamo l'area del trapezio curvilineo

= = 6 mq. unità

Esempio 4. Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: y = - x 2 + 4 e y = 0

Costruiamo la figura. L'area richiesta è racchiusa tra la parabola y = - x 2 + 4 e l'asse del Bue.

Troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse del Bue. Assumendo y = 0, troviamo x = Poiché questa figura è simmetrica rispetto all'asse Oy, calcoliamo l'area della figura situata a destra dell'asse Oy, e raddoppieremo il risultato ottenuto: = +4x]sq. unità 2 = 2 mq. unità

Esempio 5. Calcola l'area di una figura delimitata dalle linee: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Qui è necessario calcolare l'area di un trapezio curvilineo delimitato dal ramo superiore della parabola 2 = x, asse Ox e rette x = 1 e x = 4 (vedi figura)

Secondo la formula (1), dove f(x) = a = 1 e b = 4, abbiamo = (= unità quadrate.

Esempio 6 . Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

L'area richiesta è limitata dalla semionda della sinusoide e dall'asse Ox (vedi figura).

Abbiamo - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 mq. unità

Esempio 7. Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: y = - 6x, y = 0 e x = 4.

La figura si trova sotto l'asse del Bue (vedi figura).

Pertanto, troviamo la sua area utilizzando la formula (3)

= =

Esempio 8. Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: y = e x = 2. Costruisci la curva y = dai punti (vedi figura). Pertanto, troviamo l'area della figura usando la formula (4)

Esempio 9 .

X 2 + sì 2 = r 2 .

Qui devi calcolare l'area racchiusa dal cerchio x 2 + sì 2 = r 2 , cioè l'area di un cerchio di raggio r con centro nell'origine. Troviamo la quarta parte di quest'area prendendo i limiti di integrazione da 0

Prima; abbiamo: 1 = = [

Quindi, 1 =

Esempio 10. Calcola l'area di una figura delimitata dalle linee: y= x 2 e y = 2x

Questa figura limitato dalla parabola y=x 2 e la retta y = 2x (vedi figura) Per determinare i punti di intersezione delle rette date, risolviamo il sistema di equazioni: x 2 – 2x = 0 x = 0 e x = 2

Usando la formula (5) per trovare l'area, otteniamo

= }