Trova l'area del trapezio se conosci tutti i lati. Come trovare l'altezza di un trapezio: formule per tutte le occasioni

(S) trapezio, inizia a calcolare l'altezza (h) trovando la metà della somma delle lunghezze dei lati paralleli: (a+b)/2. Quindi dividi l'area per il valore risultante: il risultato sarà il valore desiderato: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b).

Conoscendo la lunghezza della linea centrale (m) e l'area (S), puoi semplificare la formula del passaggio precedente. Per definizione, la linea mediana di un trapezio è pari alla metà della somma delle sue basi, quindi per calcolare l'altezza (h) della figura è sufficiente dividere l'area per la lunghezza della linea mediana: h = S/m.

È possibile determinare l'altezza (h) di una cosa del genere se si danno solo la lunghezza di uno dei lati (c) e l'angolo (α) formato da esso e dalla base lunga. In questo caso bisogna considerare la forma formata da questo lato, l'altezza e il breve segmento della base, che viene tagliato dall'altezza ribassata su di essa. Questo triangolo sarà rettangolo lato conosciuto sarà l'ipotenusa e l'altezza sarà la gamba. Il rapporto tra le lunghezze e l'ipotenusa è uguale all'angolo opposto alla gamba, quindi per calcolare l'altezza del trapezio moltiplica la lunghezza nota del lato per il seno dell'angolo noto: h = с*sin(α).

Vale la pena considerare lo stesso triangolo se vengono date la lunghezza del lato (c) e l'ampiezza dell'angolo (β) tra esso e l'altra base (corta). In questo caso l'angolo tra il lato (ipotenusa) e l'altezza (gamba) sarà di 90° inferiore all'angolo noto dalle condizioni: β-90°. Poiché il rapporto tra le lunghezze del cateto e dell'ipotenusa è uguale al coseno dell'angolo formato tra loro, calcola l'altezza del trapezio moltiplicando il coseno dell'angolo ridotto di 90° per la lunghezza del lato: h = с* cos(β-90°).

Se è inscritto un cerchio di raggio noto (r), calcolare l'altezza (h) sarà molto semplice e non richiederà altri parametri. Un tale cerchio, per definizione, deve avere un solo punto in ciascuna delle sue basi, e questi punti si troveranno sulla stessa linea con il centro. Ciò significa che la distanza tra loro sarà pari al diametro (il doppio del raggio) tracciato perpendicolarmente alle basi, cioè coincidente con l'altezza del trapezio: h=2*r.

Un trapezio è un quadrilatero in cui due lati sono paralleli e gli altri due no. L'altezza di un trapezio è un segmento tracciato perpendicolarmente tra due linee parallele. A seconda dei dati di origine, può essere calcolato in diversi modi.

Ne avrai bisogno

• Conoscenza dei lati, delle basi, della linea mediana di un trapezio e anche, facoltativamente, della sua area e/o perimetro.

Istruzioni

Diciamo che c'è un trapezio con gli stessi dati della Figura 1. Disegniamo 2 altezze, otteniamo , che ha 2 lati più piccoli dalle gambe dei triangoli rettangoli. Indichiamo il rotolo più piccolo come x. Lo è

La geometria è una delle scienze con cui le persone incontrano nella pratica quasi ogni giorno. Tra le diversità forme geometriche Anche il trapezio merita un'attenzione speciale. È una figura convessa con quattro lati, due dei quali paralleli tra loro. Queste ultime si chiamano basi, le restanti due si chiamano lati. Il segmento perpendicolare alle basi e che determina la dimensione dello spazio tra loro sarà l'altezza del trapezio. Come puoi calcolarne la lunghezza?

Trova l'altezza di un trapezio arbitrario

Sulla base dei dati iniziali, è possibile determinare l'altezza di una figura in diversi modi.

Zona conosciuta

Se è nota la lunghezza dei lati paralleli e viene indicata anche l'area della figura, per determinare la perpendicolare desiderata è possibile utilizzare la seguente relazione:

S=h*(a+b)/2,
h – il valore desiderato (altezza),
S – area della figura,
a e b sono lati paralleli tra loro.
Dalla formula sopra segue che h=2S/(a+b).

Il valore della linea mediana è noto

Se tra i dati iniziali, oltre all'area del trapezio (S), è nota anche la lunghezza della sua linea mediana (l), allora per i calcoli è utile un'altra formula. Innanzitutto è bene chiarire quale sia la linea mediana per questo tipo di quadrilatero. Il termine definisce la parte della retta che collega i punti medi dei lati laterali della figura.

In base alla proprietà del trapezio l=(a+b)/2,
l – linea mediana,
a, b – i lati di base del quadrilatero.
Pertanto h=2S/(a+b)=S/l.

Sono noti i 4 lati della figura

In questo caso, il teorema di Pitagora aiuterà. Avendo abbassato le perpendicolari al lato maggiore della base, utilizzalo per i due triangoli rettangoli risultanti. L'espressione finale sarà simile a:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2,

c e d – 2 altri lati.

Angoli alla base

Se disponi di dati sugli angoli di base, utilizza le funzioni trigonometriche.

h = c* sinα = d*sinβ,

α e β sono gli angoli alla base del quadrilatero,
c e d sono i suoi lati.

Diagonali di una figura e angoli che esse formano intersecandosi

La lunghezza della diagonale è la lunghezza del segmento che collega i vertici opposti della figura. Indichiamo queste quantità con i simboli d1 e d2 e gli angoli tra loro con γ e φ. Poi:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a e b sono i lati di base della figura,
d1 e d2 sono le diagonali del trapezio,
γ e φ sono gli angoli tra le diagonali.

L'altezza della figura e il raggio del cerchio inscritto in essa

Come risulta dalla definizione di questo tipo di cerchio, tocca ciascuna base in 1 punto, che fa parte di una linea retta. Pertanto, la distanza tra loro è il diametro – l’altezza desiderata della figura. E poiché il diametro è il doppio del raggio, allora:

h = 2 * r,
r è il raggio del cerchio inscritto in questo trapezio.

Trova l'altezza di un trapezio isoscele

• Come segue dalla formulazione, una caratteristica distintiva di un trapezio isoscele è l'uguaglianza dei suoi lati laterali. Pertanto, per trovare l'altezza di una figura, utilizzare la formula per determinare questo valore nel caso in cui si conoscano i lati del trapezio.

Quindi, se c = d, allora h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b – lati di base del quadrilatero,
c = d – i suoi lati.

• Se ci sono angoli formati da due lati (base e lato), l'altezza del trapezio è determinata dal seguente rapporto:

h = c* sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α – angolo alla base della figura,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d – i suoi lati.

• Se vengono forniti i valori delle diagonali della figura, l'espressione per trovare l'altezza della figura cambierà, perché d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.

La pratica dell'esame di stato unificato e dell'esame di stato dell'anno scorso mostra che i problemi di geometria causano difficoltà a molti scolari. Puoi affrontarli facilmente se memorizzi tutte le formule necessarie e ti eserciti a risolvere i problemi.

In questo articolo vedrai le formule per trovare l'area di un trapezio, nonché esempi di problemi con soluzioni. Potresti imbatterti negli stessi nei KIM durante gli esami di certificazione o alle Olimpiadi. Pertanto, trattali con attenzione.

Cosa devi sapere sul trapezio?

Per cominciare, ricordiamocelo trapezio si chiama quadrilatero in cui due lati opposti, detti anche basi, sono paralleli, e gli altri due no.

In un trapezio l'altezza (perpendicolare alla base) può anche essere abbassata. Viene tracciata la linea di mezzo: questa è una linea retta parallela alle basi e uguale alla metà della loro somma. Così come le diagonali che possono intersecarsi formando angoli acuti e ottusi. O, in alcuni casi, ad angolo retto. Inoltre, se il trapezio è isoscele, in esso è inscritto un cerchio. E descrivi un cerchio attorno ad esso.

Formule dell'area del trapezio

Per prima cosa, diamo un'occhiata alle formule standard per trovare l'area di un trapezio. Di seguito considereremo i modi per calcolare l'area degli isoscele e dei trapezi curvilinei.

Quindi, immagina di avere un trapezio con basi a e b, in cui l'altezza h è abbassata alla base maggiore. Calcolare l'area di una figura in questo caso è facile come sgusciare le pere. Devi solo dividere la somma delle lunghezze delle basi per due e moltiplicare il risultato per l'altezza: S = 1/2(a+b)*h.

Prendiamo un altro caso: supponiamo che in un trapezio, oltre all'altezza, ci sia una linea mediana m. Conosciamo la formula per trovare la lunghezza della linea mediana: m = 1/2(a + b). Pertanto, possiamo giustamente semplificare la formula per l'area di un trapezio il seguente tipo: S = m*h. In altre parole, per trovare l'area di un trapezio, devi moltiplicare la linea centrale per l'altezza.

Consideriamo un'altra opzione: il trapezio contiene le diagonali d 1 e d 2, che non si intersecano ad angolo retto α. Per calcolare l'area di un tale trapezio, è necessario dividere il prodotto delle diagonali per due e moltiplicare il risultato per il peccato dell'angolo tra di loro: S= 1/2d 1 d 2 *senα.

Consideriamo ora la formula per trovare l'area di un trapezio se non si sa altro che la lunghezza di tutti i suoi lati: a, b, c e d. Questa è una formula macchinosa e complessa, ma ti sarà utile ricordarla per ogni evenienza: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

A proposito, gli esempi sopra riportati valgono anche nel caso in cui sia necessaria la formula per l'area di un trapezio rettangolare. Questo è un trapezio, il cui lato confina con le basi ad angolo retto.

Trapezio isoscele

Un trapezio i cui lati sono uguali si dice isoscele. Considereremo diverse opzioni per la formula per l'area di un trapezio isoscele.

Prima opzione: nel caso in cui un cerchio di raggio r sia inscritto in un trapezio isoscele e il lato e la base maggiore formino angolo acutoα. Un cerchio può essere inscritto in un trapezio purché la somma delle lunghezze delle sue basi sia uguale alla somma delle lunghezze dei lati.

L'area di un trapezio isoscele si calcola come segue: moltiplica il quadrato del raggio del cerchio inscritto per quattro e dividi il tutto per sinα: S = 4r 2 /senα. Un'altra formula dell'area è un caso speciale per l'opzione quando l'angolo tra la base grande e il lato è 30 0: S = 8r2.

Seconda opzione: questa volta prendiamo un trapezio isoscele, nel quale sono disegnate in aggiunta le diagonali d 1 e d 2, nonché l'altezza h. Se le diagonali di un trapezio sono tra loro perpendicolari, l'altezza è la metà della somma delle basi: h = 1/2(a + b). Sapendo questo, è facile trasformare la formula per l'area di un trapezio già familiare in questa forma: S = h2.

Formula per l'area di un trapezio curvo

Cominciamo scoprendo cos'è un trapezio curvo. Immagina un asse delle coordinate e un grafico di una funzione continua e non negativa f che non cambia segno all'interno di un dato segmento sull'asse x. Un trapezio curvilineo è formato dal grafico della funzione y = f(x) - in alto, l'asse x è in basso (segmento), e sui lati - linee rette tracciate tra i punti a e b e il grafico di la funzione.

È impossibile calcolare l'area di una figura così non standard utilizzando i metodi sopra indicati. Qui devi candidarti analisi matematica e utilizzare l'integrale. Vale a dire: la formula di Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In questa formula, F è l'antiderivativa della nostra funzione sul segmento selezionato. E la zona trapezio curvo corrisponde all'incremento dell'antiderivativa su un dato segmento.

Problemi di esempio

Per rendere tutte queste formule più facili da comprendere nella tua testa, ecco alcuni esempi di problemi per trovare l'area di un trapezio. Sarebbe meglio se prima provassi a risolvere i problemi da solo e solo allora confrontassi la risposta che riceverai con la soluzione già pronta.

Compito n. 1: Dato un trapezio. La sua base più grande è di 11 cm, quella più piccola è di 4 cm. Il trapezio ha le diagonali, una lunga 12 cm, la seconda 9 cm.

Soluzione: costruire un trapezio AMRS. Traccia una linea retta РХ passante per il vertice P in modo che sia parallela alla diagonale MC e intersechi la retta AC nel punto X. Otterrai un triangolo APХ.

Considereremo due figure ottenute come risultato di queste manipolazioni: triangolo APX e parallelogramma CMRX.

Grazie al parallelogramma apprendiamo che PX = MC = 12 cm e CX = MR = 4 cm. Da dove possiamo calcolare il lato AX del triangolo ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Possiamo anche dimostrare che il triangolo APX è rettangolo (per fare ciò applichiamo il teorema di Pitagora - AX 2 = AP 2 + PX 2). E calcola la sua area: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Successivamente dovrai dimostrare che i triangoli AMP e PCX hanno la stessa area. La base sarà l'uguaglianza delle parti MR e CX (già dimostrata sopra). E anche le altezze che abbassi su questi lati sono uguali all'altezza del trapezio AMRS.

Tutto ciò ti permetterà di dire che S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Compito n. 2:È dato il trapezio KRMS. Sui suoi lati laterali ci sono i punti O ed E, mentre OE e KS sono paralleli. È anche noto che le aree dei trapezi ORME e OKSE sono nel rapporto 1:5. RM = a e KS = b. Devi trovare OE.

Soluzione: tracciare una linea parallela alla RK passante per il punto M, e designare il punto della sua intersezione con OE come T. A è il punto di intersezione della linea tracciata attraverso il punto E parallela alla RK con la base KS.

Introduciamo un'altra notazione: OE = x. E anche l'altezza h 1 per il triangolo TME e l'altezza h 2 per il triangolo AEC (puoi dimostrare indipendentemente la somiglianza di questi triangoli).

Supponiamo che b > a. Le aree dei trapezi ORME e OKSE sono nel rapporto 1:5, il che ci dà il diritto di creare la seguente equazione: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Trasformiamo e otteniamo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Poiché i triangoli TME e AEC sono simili, abbiamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combiniamo entrambe le voci e otteniamo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Pertanto, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Conclusione

La geometria non è la scienza più semplice, ma puoi sicuramente affrontare le domande dell'esame. Basta mostrare un po' di perseveranza nella preparazione. E, naturalmente, ricorda tutte le formule necessarie.

Abbiamo provato a raccogliere tutte le formule per calcolare l'area di un trapezio in un unico posto in modo che tu possa usarle quando ti prepari per gli esami e ripassi il materiale.

Assicurati di parlare di questo articolo ai tuoi compagni di classe e ai tuoi amici. reti sociali. Che ci siano più buoni voti per l'Esame di Stato Unificato e per gli Esami di Stato!

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Esistono molti modi per trovare l'area di un trapezio. Solitamente un tutor di matematica conosce diversi metodi per calcolarlo, vediamoli più nel dettaglio:
1) , dove AD e BC sono le basi e BH è l'altezza del trapezio. Dimostrazione: traccia la diagonale BD ed esprimi le aree dei triangoli ABD e CDB attraverso il semiprodotto delle loro basi e delle loro altezze:

, dove DP è l'altezza esterna in

Sommiamo queste uguaglianze termine per termine e tenendo conto che le altezze BH e DP sono uguali, otteniamo:

Mettiamolo fuori parentesi

Q.E.D.

Corollario alla formula per l'area di un trapezio:
Poiché la semisomma delle basi è uguale a MN, quindi la linea mediana del trapezio

2) Applicazione formula generale area di un quadrilatero.
L'area di un quadrilatero è pari alla metà del prodotto delle diagonali moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra loro
Per dimostrarlo è sufficiente dividere il trapezio in 4 triangoli, esprimere l'area di ciascuno in termini di “metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro” (preso come angolo, sommare il risultato espressioni, toglile dalla parentesi e fattorizza questa parentesi utilizzando il metodo di raggruppamento per ottenere la sua uguaglianza con l'espressione Quindi

3) Metodo dello spostamento diagonale
Questo è il mio nome. Un tutor di matematica non incontrerà un titolo del genere nei libri di testo scolastici. Una descrizione della tecnica può essere trovata solo in allegato libri di testo come esempio di risoluzione di un problema. Noto che la maggior parte delle cose interessanti e fatti utili i tutor di matematica della planimetria rivelano agli studenti in fase di esecuzione lavoro pratico. Questo è estremamente non ottimale, perché lo studente deve isolarli in teoremi separati e chiamarli “ grandi nomi" Uno di questi è lo “spostamento diagonale”. Riguardo a cosa stiamo parlando?Tracciamo una linea parallela ad AC passante per il vertice B fino ad intersecare la base inferiore nel punto E. In questo caso il quadrilatero EBCA sarà un parallelogramma (per definizione) e quindi BC=EA ed EB=AC. La prima uguaglianza è importante per noi adesso. Abbiamo:

Nota che il triangolo BED, la cui area è uguale all'area del trapezio, ha molte altre proprietà notevoli:
1) La sua area è uguale all'area del trapezio
2) Il suo isoscele avviene contemporaneamente agli isoscele del trapezio stesso
3) Il suo angolo superiore al vertice B è uguale all'angolo tra le diagonali del trapezio (che viene utilizzato molto spesso nei problemi)
4) La sua mediana BK è uguale alla distanza QS tra i punti medi delle basi del trapezio. Recentemente ho riscontrato l'uso di questa proprietà durante la preparazione di uno studente di Meccanica e Matematica all'Università statale di Mosca utilizzando il libro di testo di Tkachuk, versione del 1973 (il problema è riportato in fondo alla pagina).

Tecniche speciali per un insegnante di matematica.

A volte propongo problemi utilizzando un modo molto complicato per trovare l'area di un trapezio. La classifico come una tecnica speciale perché in pratica il tutor le usa estremamente raramente. Se hai bisogno di prepararti per l’Esame di Stato Unificato di matematica solo nella Parte B, non sei obbligato a leggerli. Per gli altri ti dirò di più. Si scopre che l'area del trapezio è raddoppiata più area un triangolo con i vertici alle estremità di un lato e al centro dell'altro, cioè il triangolo ABS nella figura:
Dimostrazione: traccia le altezze SM e SN nei triangoli BCS e ADS ed esprimi la somma delle aree di questi triangoli:

Poiché il punto S è il punto medio di CD, allora (dimostralo tu stesso) troviamo la somma delle aree dei triangoli:

Poiché questa somma era pari alla metà dell'area del trapezio, quindi la sua seconda metà. Ecc.

Includerei nella raccolta di tecniche speciali del tutor la forma di calcolo dell'area di un trapezio isoscele lungo i suoi lati: dove p è il semiperimetro del trapezio. Non darò prove. Altrimenti, il tuo tutor di matematica rimarrà senza lavoro :). Vieni a lezione!

Problemi sull'area di un trapezio:

Nota dell'insegnante di matematica: L'elenco seguente non è un accompagnamento metodologico all'argomento, è solo una piccola selezione di compiti interessanti basati sulle tecniche discusse sopra.

1) La base inferiore di un trapezio isoscele è 13 e quella superiore è 5. Trova l'area del trapezio se la sua diagonale è perpendicolare al lato.
2) Trova l'area di un trapezio se le sue basi sono 2 cm e 5 cm e i suoi lati sono 2 cm e 3 cm.
3) In un trapezio isoscele, la base maggiore è 11, il lato è 5 e la diagonale è Trova l'area del trapezio.
4) La diagonale di un trapezio isoscele è 5 e la linea mediana è 4. Trova l'area.
5) In un trapezio isoscele le basi sono 12 e 20 e le diagonali sono tra loro perpendicolari. Calcola l'area di un trapezio
6) La diagonale di un trapezio isoscele forma un angolo con la sua base inferiore. Trova l'area del trapezio se la sua altezza è 6 cm.
7) L'area del trapezio è 20 e uno dei suoi lati è 4 cm Trova la distanza dal centro del lato opposto.
8) La diagonale di un trapezio isoscele lo divide in triangoli con aree di 6 e 14. Trova l'altezza se il lato laterale è 4.
9) In un trapezio, le diagonali sono uguali a 3 e 5 e il segmento che collega i punti medi delle basi è uguale a 2. Trova l'area del trapezio (Mekhmat MSU, 1970).

Non ho scelto i problemi più difficili (non abbiate paura del dipartimento di meccanica e matematica!) con l'aspettativa di poterli risolvere in modo indipendente. Decidi per la tua salute! Se hai bisogno di preparazione per l'esame di stato unificato in matematica, senza la partecipazione a questo processo, potrebbero sorgere formule per l'area di un trapezio problemi seri anche con il problema B6 e ancor di più con C4. Non aprire l'argomento e in caso di difficoltà chiedere aiuto. Un tutor di matematica è sempre felice di aiutarti.

Kolpakov A.N.
Tutor di matematica a Mosca, preparazione all'Esame di Stato Unificato a Strogino.

Un trapezio è un quadrilatero i cui due lati sono paralleli (queste sono le basi del trapezio, indicate nelle figure aeb), e gli altri due non lo sono (nelle figure AD e CB). L'altezza di un trapezio è un segmento h tracciato perpendicolare alle basi.

Come trovare l'altezza di un trapezio dati i valori noti dell'area del trapezio e delle lunghezze delle basi?

Per calcolare l'area S del trapezio ABCD utilizziamo la formula:

S = ((a+b) × h)/2.

Qui i segmenti a e b sono le basi del trapezio, h è l'altezza del trapezio.

Trasformando questa formula possiamo scrivere:

Usando questa formula otteniamo il valore di h se sono note l'area S e le lunghezze delle basi a e b.

Esempio

Se è noto che l'area del trapezio S è di 50 cm², la lunghezza della base a è di 4 cm e la lunghezza della base b è di 6 cm, per trovare l'altezza h usiamo la formula:

Sostituiamo le quantità note nella formula.

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 cm

Risposta: L'altezza del trapezio è 10 cm.

Come trovare l'altezza di un trapezio se vengono fornite l'area del trapezio e la lunghezza della linea mediana?

Usiamo la formula per calcolare l'area di un trapezio:

Qui m è la linea mediana, h è l'altezza del trapezio.

Se sorge la domanda su come trovare l'altezza di un trapezio, la formula è:

h = S/m sarà la risposta.

Possiamo quindi trovare l'altezza h del trapezio, dati i valori noti dell'area S e del segmento mediano m.

Esempio

Sono note la lunghezza della linea mediana del trapezio m, che è di 20 cm, e l'area S, che è di 200 cm². Troviamo il valore dell'altezza del trapezio h.

Sostituendo i valori di S e m, otteniamo:

h = 200/20 = 10 cm

Risposta: l'altezza del trapezio è 10 cm

Come trovare l'altezza di un trapezio rettangolo?

Se un trapezio è un quadrilatero, con due lati paralleli (basi) del trapezio. Allora una diagonale è un segmento che collega due vertici opposti degli angoli di un trapezio (segmento AC nella figura). Se il trapezio è rettangolare, utilizzando la diagonale troviamo l'altezza del trapezio h.

Un trapezio rettangolare è un trapezio in cui uno dei lati è perpendicolare alle basi. In questo caso la sua lunghezza (AD) coincide con l'altezza h.

Consideriamo quindi un trapezio rettangolo ABCD, dove AD è l'altezza, DC è la base, AC è la diagonale. Usiamo il teorema di Pitagora. Quadrato dell'ipotenusa AC triangolo rettangolo ADC pari alla somma i quadrati delle sue gambe AB e BC.

Allora possiamo scrivere:

AC² = AD² + DC².

AD è il cateto del triangolo, il lato laterale del trapezio e, allo stesso tempo, la sua altezza. Dopotutto il segmento AD è perpendicolare alle basi. La sua lunghezza sarà:

AD = √(AC² - DC²)

Quindi, abbiamo una formula per calcolare l'altezza di un trapezio h = AD

Esempio

Se la lunghezza della base di un trapezio rettangolare (DC) è 14 cm, e la diagonale (AC) è 15 cm, usiamo il teorema di Pitagora per ottenere il valore dell'altezza (AD - lato).

Sia x il cateto sconosciuto di un triangolo rettangolo (AD).

Si può scrivere AC² = AD² + DC²

15² = 14² + x²,

x = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 cm

Risposta: l'altezza di un trapezio rettangolo (AB) sarà √29 cm, ovvero circa 5,385 cm

Come trovare l'altezza di un trapezio isoscele?

Un trapezio isoscele è un trapezio le cui lunghezze dei lati sono uguali tra loro. La linea retta tracciata attraverso i punti medi delle basi di tale trapezio sarà l'asse di simmetria. Un caso speciale è un trapezio, le cui diagonali sono perpendicolari tra loro, quindi l'altezza h sarà pari alla metà della somma delle basi.

Consideriamo il caso in cui le diagonali non sono perpendicolari tra loro. In un trapezio equilatero (isoscele) gli angoli alle basi sono uguali e le lunghezze delle diagonali sono uguali. È anche noto che tutti i vertici di un trapezio isoscele toccano la linea di un cerchio disegnato attorno a questo trapezio.

Diamo un'occhiata al disegno. ABCD è un trapezio isoscele. È noto che le basi del trapezio sono parallele, il che significa che BC = b è parallelo ad AD = a, lato AB = CD = c, il che significa che gli angoli alle basi sono corrispondentemente uguali, possiamo scrivere l'angolo BAQ = CDS = α e l'angolo ABC = BCD = β. Pertanto, concludiamo che il triangolo ABQ è uguale al triangolo SCD, che significa il segmento

AQ = SD = (AD - BC)/2 = (a - b)/2.

Avendo, secondo le condizioni del problema, i valori delle basi a e b, e la lunghezza del lato c, troviamo l'altezza del trapezio h, pari al segmento BQ.

Consideriamo il triangolo rettangolo ABQ. VO è l'altezza del trapezio, perpendicolare alla base AD, e quindi al segmento AQ. Troviamo il lato AQ del triangolo ABQ utilizzando la formula che abbiamo derivato in precedenza:

Avendo i valori di due cateti di un triangolo rettangolo, troviamo l'ipotenusa BQ = h. Usiamo il teorema di Pitagora.

AB²= AQ² + BQ²

Sostituiamo questi compiti:

c² = AQ² + h².

Otteniamo una formula per trovare l'altezza di un trapezio isoscele:

h = √(c²-AQ²).

Esempio

Dato un trapezio isoscele ABCD, dove base AD = a = 10 cm, base BC = b = 4 cm e lato AB = c = 12 cm. In tali condizioni, vediamo un esempio di come trovare l'altezza di un trapezio isoscele ABCD.

Troviamo il lato AQ del triangolo ABQ sostituendo i dati noti:

AQ = (a - b)/2 = (10-4)/2=3 cm.

Ora sostituiamo i valori dei lati del triangolo nella formula del teorema di Pitagora.

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.

Risposta. L'altezza h del trapezio isoscele ABCD è 11,6 cm.